Методы оценивания погрешности решения некорректных задач на компактах в банаховых решетках тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.03, кандидат физико-математических наук Королев, Юрий Михайлович

• Королев, Юрий Михайлович
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Королев, Юрий Михайлович

Содержание

Введение

1 Существующие методы оценки погрешности приближенных решений некорректных задач

1.1 Оценка погрешности на компактных множествах

1.2 Оценка погрешности для истокопредставимых решений

1.3 Схема апостериорной оценки погрешности A.C. Леонова

1.4 Задача нахождения коэффициента в параболическом уравнении - пример из теории ценообразования опционов Блэка-Шоулза

1.4.1 Постановка задачи

1.4.2 Решение прямой задачи

1.4.3 Обратная задача

1.4.4 Пример

2 Обратные задачи на компактах в банаховых решетках

2.1 Введение. Некоторые сведения о векторных решетках

2.2 Постановка обратных задач в банаховых решетках. Сходимость приближенных решений

2.3 О вычислении оценки погрешности на введенном множестве приближенных решений

2.4 Нижняя и верхняя оценки приближенного решения

2.5 Пример

3 Задача об определении толщины ледяного щита

3.1 Введение

3.2 Вычисление нижнего и верхнего операторов

3.3 Численный эксперимент

4 Задача о восстановлении параметров намагниченности корабля 68 4.1 Постановка задачи

4.2 Вычисление верхнего и нижнего операторов

4.3 Программная реализация

4.4 Пример расчета

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы оценивания погрешности решения некорректных задач на компактах в банаховых решетках»

Введение

Актуальность темы Многие практически важные задачи могут быть записаны в виде операторного уравнения

Ах = и, (0.1)

где z^Z,u^U1A:Z->U - линейный ограниченный инъективный оператор, Z и II - линейные нормированные пространства. Согласно определению, данному Ж. Адамаром [1], задача (0.1) называется корректно поставленной, если для любый входных данных А, и из некоторого класса ее решение существует, единственно, и малые изменения в правой части и и операторе А влекут малые изменения в решении.

Многие практически важные задачи не являются корректно поставленными, в частности, зачастую решение не зависит непрерывно от входных данных задачи. Для решения таких задач нельзя применять стандартные методы, и в середине XX века стали разрабатываться специальные методы. Основополагающими работами по теории некорректно поставленных задач являются работы А.Н. Тихонова [2-7], В.К. Иванова [8-11], М.М. Лаврентьева [12,13]. Теория некоректных задач активно развивалась и развивается как в нашей стране, так и за рубежом. Некоторые результаты представлены в [14-43].

Впервые подход к решению некорректных задач был предложен академиком А.Н. Тихоновым в работах [2, 3] и основывается на понятии регуляризующего алгоритма. Предположим, что вместо точных входных данных (А, и), А € Ь^, II) нам известны лишь приближенные данные (Л/г, и,5), Аь £ и), а также мера близости приближенных и точных данных К ^ 0 и 6 > 0: \\АН- А\\ ^ к, Цг^ — ^ 6. Обозначим вектор погрешностей входных данных ту = (/г, 6). Обозначим через 2 точное решение задачи (0.1) .

Определение 0.1 Оператор R: L(Z, U) xU хЩ_ —» Z называется pe-гуляризующим алгоритмом, если R(Ah,us,h,6) = zn —> z при г] = (h,S) —> 0 для любых точных данных (А, и) из некоторого "допустимого" класса.

Таким образом, регуляризующий алгоритм ставит в соответствие любым допустимым приближенным данным (Ah,us):i значению погрешности Г] некий элемент zv Е Z, который стремится к точному при 77 —> 0. Регуляризующие алгоритмы существуют во многих важных случаях. Например, если Z и U суть гильбертовы пространства, регуляризующий алгоритм для задачи (0.1) существует [31].

Если регуляризующий алгоритм R для некоторой задачи существует, то он не является единственным. Действительно, любой оператор R, такой что R{Ah,us,h,5) = R(Ah,U5,h,6) • (1 + const ■ 6), также является регуляризующим алгоритмом. Заметим, что регуляризущих алгоритмов, не зависящих явно от погрешности входных данных, для некорректных задач не существует [44].

Рассмотрим функционал А.Н. Тихонова

Ma(z) = \\Ahz-u5\\2u + a\\z\\2z. (0.2)

Он является сильно выпуклым Va > 0, если Z - гильбертово пространство (как сумма сильно выпуклого функционала a||z||| и выпуклого функционала \\AhZ — щ\\ц). Следовательно, он достигает глобального минимума (на любом выпуклом замкнутом множестве) в единственной точке Этот элемент рассматривается в качестве приближенного решения задачи (0.1). Если параметр регуляризации а выбран надлежащим образом, это решение сходится к точному при 7] —>■ 0.

Существуют различные способы выбора параметра регуляризации а [31] (обобщенный принцип невязки и др.). Заметим, что выбор параметра регуляризации, не зависящий явно от погрешности 77, невоз-

можен [45]. Подробнее останавливаться на вопросах выбора параметра регуляризации а мы здесь не будем.

При решении некорректно поставленных задач крайне важно использовать всю дополнительную априорную информацию о решении. Пусть нам известно априори, что точное решение принадлежит компактному множеству М С Z. В этом случае возможно построение специальных регуляризующих алгоритмов. Например, В.К. Иванов в работе [8] предложил использовать в этом случае т.н. квазирешения. Для задачи (0.1) квазирешение определятся как

zq = argmin{||A2 - : * 6 М С Z}.

Наряду с квазирешениями, также используются г]-квазирешения. Элемент zv Е М называется 77-квазирешением, если для него выполнено соотношение

I\Ahzv - щ\\ ^ <5 + h\\zv\\.

В монографии [31] было показано, что lim \\zn — z|| = 0, т.е. метод квазирешений является регуляризующим алгоритмом.

На практике, помимо нахождения приближенного решения, сходящегося к точному, требуется также оценивать точность приближения. К сожалению, в общем случае оценить погрешность приближенного решения некорректной задачи нельзя. Предположим для простоты, что оператор известен точно (т.е. Ah = Л). Ошибка приближенного решения zs есть функция ошибки входных данных, а также, возможно, точного решения z:

pi-*KCV(M), (0-3)

где константа С не зависит от z и Ö. Оценки такого вида называются точечными. Ввиду того, что точное решение z неизвестно, большее значение имеют т.н. равномерные оценки, где <р = (р(6) не зависит от z.

Пусть R(us, 6) - некоторый регуляризующий алгоритм для задачи (0.1). Обозначим оценку погрешности для метода R в точке z

Л (Д,М)= sup \\R(us,S)-z\\.

щ: ||uj-u||^5

Пусть V С Z - некоторое множество априорных ограничений (возможно, совпадающее с Z). Оказывается, что если отображение R непрерывно и существует равномерная на множестве V оценка погрешности

sup A(R, 6, z) ^ <р(6) 0,

zeV

то сужение оператора А'1 на множество AV С U непрерывно на AV С U [31,46]. Таким образом, невозможно построить оценку погрешности решения на всем пространстве Z. Однако если множество априорных ограничений V есть компакт, то оператор Л-1, определенный на AV, непрерывен, и оценка погрешности может быть найдена.

Общая идея построения оценки погрешности приближенного решения состоит в нахождении некоторого множества, диаметр которого конечен при 7] Ф 0 и стремится к нулю при TJ —>■ 0, и которому заведомо принадлежит точное решение. Такое множество называется множеством приближенных решений. Обозначим его Zapv(rf). Пусть приближенное решение zv также принадлежит множеству Zapp(r]). В этом случае, очевидно, выполнено неравенство

\\Zrj ~ z\\ ^ (p{zv,rj) = sup ||^-z||<00. (0.4)

z£Zapp(T/)

Здесь zv £ Zapp(r]) - приближенное решение, погрешность которого требуется оценить. Так как при 77 —> 0 диаметр Zapp(r]) стремится к нулю, lim^o vizri, v) = 0, и величина </9(2^,77) интерпретируется как оценка погрешности приближенного решения zv.

В некоторых случаях, когда априорной информации для построения множества приближенных решений с указанными свойствами недостаточно, иногда все же удается построить множество, диаметр которого

стремится к нулю при при Г] —» 0, но которому точное решение принадлежит лишь при достаточно малой погрешности: Ц77Ц ^ 7]0, где г)0 зависит от неизвестного точного решения. Если а таком множестве построить оценку, аналогичную (0.4), то эта величина действительно будет оценкой погрешности лишь при достаточно малых г). Такая оценка погрешности называется апостериорной.

Множество приближенных решений может быть построено различными способами. Различные множества приближенных решений, построенные для одной и той же физической задачи, могут отличаться свойствами выпуклости, типом задающих их ограничений; в некоторых случаях удается установить вложенность одного множества в другое. Естественно, желательно выбирать множества приближенных решений, которые были бы по возможности "уже", чтобы получающаяся оценка погрешности была меньше. Кроме того, от вида множества приближенных решений зависит сложность вычисления самой оценки погрешности (0.4). Все это стоит учитывать при постановке задачи. Выбор функциональных пространств также является весьма существенным. Чаще всего, в качестве пространства решений выбирают гильбертовы (1/2, И^1 и др.) или рефлексивные банаховы пространства (Ьр, р > 1 и др.). Это обеспечивает существование регуляризующих алгоритмов. Выбор пространства и зачастую существенным не является, можно, например, в качестве и выбрать пространство непрерывных функций С. Множество приближенных решений обычно задается какими-либо нелинейными ограничениями по норме соответствующих пространств. Погрешность понимается также как некоторая величина, ограничивающая сверху норму разности между приближенным и точным решениями.

Однако зачастую в приложениях оказываются важными понятия положительности, неравенства. Эту информацию о частичной упорядоченности нельзя отразить без использования аппарата теории векторных

решеток (линейных полуупорядоченных пространств, в которых векторная и порядковая структуры определенным образом согласованы). Теория таких пространств была развита, в основном, в 30-е годы XX века в работах Л. В. Канторовича [47-50].

Вещественное векторное пространство X называется векторной решеткой, если X является одновременно частично упорядоченным множеством, в котором для любых двух элементов х, у (Е X существуют их супремум х Vу и инфимум хАу, причем выполнены следующие условия согласования алгебраических операций и порядка:

1) для любого z £ X из х ^ у вытекает х + z ^ у + z\

2) если х ^ 0 и Л ^ 0, Л 6 М, то Хх ^ 0.

Для любого х £ X элемент х+ = ж V 0 называется его положительной частью, элемент = (—ж) V 0 = (—х)+ - его отрицательной частью, а элемент |ж| = х+ + - его модулем.

Очевидно, что в векторной решетке существуют супремум и инфимум любого конечного числа элементов. Важным свойством векторной решетки является существование в ней точных граней у бесконечных (счетных или несчетных) множеств. Полной векторной решеткой (или К - пространством) называется векторная решетка, в которой всякое ограниченное сверху множество имеет супремум. Если же для любого ограниченного сверху множества А С X существует счетное подмножество А' С А такое, что sup А = sup А', то векторная решетка X называется К - пространством счетного типа.

Многие функциональные пространства могут быть наделены как нормой, так и отношением частичного порядка. Важным является вопрос согласования нормы и порядка. Норма || • || на векторной решетке X называется монотонной, если из \х\ ^ \у\ вытекает, что ||ж|| ^ ||г/||. Нормированной решеткой называется векторная решетка, снабженная

монотонной нормой. Полная по норме векторная решетка называется банаховой решеткой.

Обратные задачи в полных по норме векторных решетках (банаховых решетках) и будут рассмотрены в настоящей диссертации. Наличие более богатой по сравнению с обычным нормированным пространством структуры в банаховой решетке требует несколько по-новому сформулировать обратную задачу. Однако наличие упорядочения позволяет построить множество приближенных решений, обладающее рядом достоинств по сравнению с множествами приближенных решений, которые могут быть построены, опираясь только на понятие нормы. Во-первых, это множество приближенных решений является выпуклым, в т.ч., в случае неточно заданного оператора. Во-вторых, ограничения, задающие это множество, являются линейными, что позволяет (по крайней мере, в некоторых случаях) более эффективно решать задачу вычисления оценки погрешности. В-третьих, это множество приближенных решений обычно уже аналогичного множества, использующего нелинейные ограничения по норме (при тех же входных данных).

Кроме того, в некоторых случаях можно построить точную нижнюю и верхнюю грани множества приближенных решений (используя порядковую полноту пространства приближенных решений), обладающие свойством сходимости по норме к точному решению. Это позволяет по-новому взглянуть на оценку погрешности приближенного решения. Вместо некоторой величины, ограничивающей норму разности между точным и приближенным решениями, мы получаем два элемента пространства решений, задающих некоторый "коридор" в смысле частичного порядка в пространстве решений, гарантированно содержащий в себе точное решение. Такая оценка погрешности зачастую допускает более естественную интерпретацию и может оказаться более полезной на практике.

Цель работы Целью диссертации являются

• постановка обратной задачи в банаховых пространствах, наделенных структурой частичного упорядочения, - банаховых решетках,

• разработка математического аппарата для решения обратных задач на компактных множествах в банаховых решетках и оценки погрешности приближенных решений,

• изучение вопросов существования точных нижней и верхней граней (в смысле частичного порядка) множества приближенных решений, а также условий их сходимости к точному решению,

• применение методов оценки погрешности приближенных решений к задачам:

1) нахождения коэффициента параболического уравнения на примере одной задачи из теории ценообразования опционов Блэка-Шоулза;

2) определения толщины ледяного щита по измерениям поля скоростей льда с использованием условия сохранения массы;

3) восстановления параметров намагниченности корабля по измеренным значениям магнитного поля вне него.

В работе используются методы функционального анализа, теории некорректно поставленных задач, теории поллупорядоченных пространств, выпуклого анализа, математического программирования. Положения, выносимые на защиту

1) постановка обратной задачи в банаховых решетках, определение множества приближенных решений;

2) теорема о сходимости элементов множества приближенных решений к точному решению;

3) теорема существования точных нижней и верхней граней множества приближенных решений и их сходимости к точному решению;

4) применение методов оценки погрешности приближенного решения для обратных задач финансовой математики, гляциологии и магнетизма.

Личный вклад автора Основные результаты, полученные в данной диссертационной работе, были впервые получены автором. Постановка математической задачи и анализ полученных результатов проводились под руководством профессора А. Г. Яголы. Постановка задачи определения толщины ледяного щита проводилась совместно с профессором Дж. Джонсоном из Университета Монтаны, США. Научная новизна и практическая значимость Автором впервые рассмотрены обратные задачи в функциональных пространствах, наделенных отношением частичного порядка, - банаховых решетках. Построено множество приближенных решений в случае, когда известно априори, что точное решение принадлежит компактному множеству. Построенное множество приближенных решений задается с использованием порядковой структуры пространства решений и по некоторым параметрам выгодно отличается от множеств приближенных решений, которые могут быть построены без использования информации о порядке. Доказана сходимость элементов построенного множества приближенных решений к точному. Кроме того, изучен вопрос о существовании точных верхней и нижней граней множества приближенных решений (в смысле частичного порядка) и их сходимости к точному. Эти точные грани могут рассматриваться как верхняя и нижняя оценки неизвестного точного решения в смысле частичного порядка в пространстве решений. Этот способ описания погрешности приближенного решения в приложениях зачастую допускает более простую и естественную интерпретацию,

нежели классическая оценка погрешности по норме.

С вычислительной точки зрения эти оценки во многих случаях могут быть получены весьма эффективно. Например, в случае, когда пространством решений является пространство Lœ(Q), где - замкнутая ограниченная область в Rn, и неизвестное решение аппроксимируется кусочно-постоянной функцией, эти оценки могут быть получены путем решения линейного по размерности пространства, аппроксимирующего пространство решений, числа задач линейного программирования. Таким образом, оценки могут быть найдены за полиномиальное время.

Разработанные методы могут быть применены при решении различных линейных обратных задач при наличии достаточного количества априорной информации. К числу возможных приложений относятся:

• задачи томографии,

• обратные задачи астрофизики,

• обратные задачи геофизики,

• задачи науки о материалах,

в методы неразрушающего контроля,

• задачи обработки изображений и др.

В настоящей диссертации методы оценки погрешности приближенных решений некорректных задач применены к задачам финансовой математики, гляциологии и магнетизма.

Апробация работы Основные результаты диссертационной работы были представлены:

1) на международной конференции "Computers and Information in Engineering Conference IDETC/CIE 2011" в Вашингтоне, округ Колумбия, США, 28-31 августа 2011,

2) на на международной конференции "The 8th Congress of the ISAAC" в Москве, 22-27 августа 2011 года,

3) на первом симпозиуме по обратным задачам в рамках программы Висби в Гетеборге, Швеция, 2-3 июня 2011 года,

4) на втором симпозиуме по обратным задачам в рамках программы Висби в Сунне, Швеция, 4 мая 2012 года,

5) на научном семинаре кафедры общих проблем управления механико-математического факультета МГУ им М. В. Ломоносова в Москве, 22 марта 2012 года,

6) на научном семинаре "Обратные задачи математической физики" НИВЦ МГУ им. М. В. Ломоносова под руководством А. Б. Баку-шинского, А. В. Тихонравова и А. Г. Яголы в Москве, 25 апреля 2012 года и 13 февраля 2013 года,

7) на научном семинаре кафедры прикладной математики факультета математики Университета Монтаны в Мизуле, Монтана, США, 4 сентября 2012 года,

8) на коллоквиуме факультета математики Университета Монтаны в Мизуле, Монтана, США, 10 декабря 2012 года,

9) на научном семинаре кафедры математики Физического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова в Москве, 13 февраля 2013 года.

Публикации По теме диссертации опубликовано 8 работ, из которых 3 статьи в рецензируемых печатных научных журналах [51-53], 2 статьи в сборниках трудов конференций [54,55] и 3 тезиса докладов на конференциях [56-58]. В журналах из списка ВАК РФ опубликовано 3 статьи [51-53].

Структура работы Работа состоит из четырех глав. В первой главе обсуждаются известные методы оценки погрешности приближенных решений некорректных задач. Рассматривается вопрос нахождения решений, обладающих оптимальной оценкой погрешности. Схема оценки погрешности на компакте используется для оценки погрешности приближенного решения в обратной задаче нахождения коэффициента параболического уравнения. Практической задачей, в которой возникает данная постановка, является задача определения неизвестной ожидаемой доходности акций в модели ценообразования опционов Блэка-Шоулза.

Во второй главе рассматривается постановка обратных задач в банаховых решетках. Априори предполагается, что точное решение принадлежит компактному множеству. Вводится множество приближенных решений, основанное на отношении частичного порядка в пространстве решений. Выясняются вопросы существования точных верхней и нижней граней (в смысле частичного порядка) введенного множества приближенных решений и их сходимости к точному решению. Обсуждается сложность вычисления оценки погрешности по норме, а также верхней и нижней оценок неизвестного решения в смысле частичного порядка в пространстве решений.

В третьей главе метод построения верхней и нижней оценок решения, описанный в главе 2, применяется к задаче определения толщины ледяного щита по измерениям поля скоростей. Толщина ледяного щита описывается уравнением в частных производных, выражающим закон сохранения массы. Строятся верхняя и нижняя оценки для функции двух переменных, о которой априори известны ее оценка сверху (снизу функция ограничена нулем), а также константа Липшица.

В четвертой главе этот метод применяется для решения задачи восстановления параметров намагниченности корабля по измеренным значениям магнитного поля вне его. Математически эта задача пред-

ставляет собой трехмерное интегральное уравнение Фредгольма первого рода для векторной функции. Априорная информация о решении состоит из ограничения на модуль неизвестного решения, а также из его константы Липшица. Строятся верхняя и нижняя оценки неизвестного точного решения. Тестовые расчеты были выполнены с использованием Суперкомпьютерного комплекса Московского Университета (суперкомпьютер "Ломоносов"; суперкомпьютер СКИФ МГУ "Чебышёв").

Объем диссертации - 95 страниц. Она содержит 22 рисунка. Число наименований в списке литературы - 98.

1 Существующие методы оценки погрешности приближенных решений некорректных задач

В данной главе обсуждаются известные методы оценки погрешности приближенных решений некорректных задач. Рассматриваются вопрос нахождения решений, обладающих оптимальной оценкой погрешности. Описанные методы оценки погрешности применяются в обратной задаче нахождения коэффициента параболического уравнения, возникающей в теории ценообразования опционов Блэка-Шоулза.

1.1 Оценка погрешности на компактных множествах

где г Є Z, и Є и, А: И и - линейный ограниченный инъективный оператор, Z и II - линейные нормированные пространства. Предположим, что точное решение х принадлежит компактному множеству М С Z. Пусть вместо точного оператора А и точной правой части и известны их приближения Аи и щ такие, что Ц^ — А\\ ^ /г, ||и — щ\\ ^ 6. Вектор ошибок обозначим т\ — (И, 5). Пусть гп Є М - приближенное решение задачи (1.1), сходящееся к точному решению при 77 —> 0.

Как показано в монографии [31], в качестве приближенного решения можно выбрать любой элемент множества

Рассмотрим операторное уравнение

Ах — и,

(1.1)

гл = {геМ: \\Анг - и^Ц ^ Щх\\ + 5}

(1.2)

либо множества

= {геМ: \\AhZ — щ\\ < НС + 6}

(1.3)

где С — та,хгем 1И1- Очевидно, что Zv С Любой элемент компактного множества Z^ обладает свойством сходимости к точному решению z. Значит,

diam Z% = max \\zi - z21| \\z - z\\ = 0

zi,Z2€ZC

при г] —> 0. Таким образом, диаметры множеств (1.2) и (1.3) конечны для любого Tj ф 0 и стремятся к нулю при 77 —^ 0. Кроме того, точное решение z принадлежит обоим этим множествам.

Определение 1.1 Множество Zapp(r}), принадлежащее пространству решений Z, называется множеством приближенных решений задачи (1.1), если

1 ) его диаметр конечен для любого г) ф 0 и стремится к нулю при 7] —> 0;

2) точное решение z принадлежит Zapp{rf).

Таким образом, множества (1.2) и (1.3) являются множествами приближенных решений. Явным преимуществом множества (1.3) является его выпуклость, однако оно шире множества (1.2). При h = 0 эти множества, очевидно, совпадают. Рассмотрим функционал

<Pri{z)= тгх M-z\\, (1.4)

(€Zapp{Ti)

заданный на некотором множестве приближенных решений Zapp{rf). Очевидно, что эта величина конечна для любого г; ф 0 и стремится к нулю при 7] —> 0. Кроме того, ||z — z\\ Vrïiz) для любого Z £ Zapp(r]). Это позволяет интерпретировать (prj{z) как оценку погрешности приближенного решения z G Zapp{rj). Заметим, что величина maxzezapp(ri) Ф-niz) является априорной (т.е. не зависящей от самого приближенного решения) оценкой погрешности решения уравнения (1.1).

Заметим, что линейность оператора А здесь существенной не является (существенной является его непрерывность). Как показано в той же

монографии [31], аналогичным способом может быть построена оценка погрешности приближенного решения нелинейного операторного уравнения. В случае, когда оператор А известен точно, множество приближенных решений может быть выбрано следующим образом:

г1 = {г ^М:\\А{г)-щ\\^8}. (1.5)

В отличие от линейного случая, такое множество приближенных решений уже не будет выпуклым, что усложняет вычисление оценки погрешности.

Вернемся к случаю, когда А - линейный оператор. Приведем некоторые сведения из выпуклого анализа, необходимые в дальнейшем [59].

Определение 1.2 Множество X С Z называется выпуклым, если У Х\, Х2 Е X, УА Е [0,1] выполнено х = Хх\ + (1 — А)£2 Е X.

Определение 1.3 Функционал /: X —> М, заданный на выпуклом множестве X, называется выпуклым, если У Х1,Х2 Е X, УА Е [0,1] выполнено неравенство

/(А®! + (1 - Х)х2) ^ л/(ая) + (1 - А)/(®2).

Определение 1.4 Функционал /: X —¥ М, заданный на выпуклом множестве X, называется строго выпуклым, если V Х\,Х2 Е а?! ф х2, и УА Е (0,1) выполнено неравенство

/(Лая + (1 - А)®2) < А/(®1) + (1 - А)/(г2).

Определение 1.5 Функционал /: X —» М, заданный на выпуклом множестве X, называется сильно выпуклым с константой в > О, если У £1,22 Е X и УА Е [0,1] выполнено неравенство

/(Ах1 + (1 - А)®2) < А/(®0 + (1 - А)/(Ж2) - 0А(1 - А)||®1 - ж2||2.

Очевидно, из сильной выпуклости следует строгая выпуклость, а из строгой выпуклости следует обычная выпуклость.

Рассмотрим задачу выпуклого программирования

mm/(*) = /(**) = Л (1-6)

где f(z) - выпуклый функционал, заданный на выпуклом множестве X.

Теорема 1.1 ( [59]) Пусть Z - "рефлексивное банахово пространство, f{z) - полунепрерывный снизу выпуклый функционал, X - выпуклое замкнутое ограниченное множество в Z. Тогда задана выпуклого программирования (1.6) имеет решение.

Теорема 1.2 ( [59]) Пусть задача выпуклого программирования (1.6) имеет решение. Тогда множество X* = Arg min/(z) - выпуклое. Если функционал f(z) строго выпуклый, X* состоит из одной точки.

Теорема 1.3 ( [59]) В задаче выпуклого программирования (1.6) любая точка локального минимума является точкой глобального минимума.

Изучим некоторые свойства оценки погрешности <pv(z) как функционала, зависящего от z. Справедливо следующее утверждение.

Утверждение 1.1 ( [51]) Пусть функционал (рл(г) задан на выпуклом множестве приближенных решений Zapp{rj). Тогда функционал <pv(z) является выпуклым.

Доказательство. Рассмотрим элемент z = Xz\ + (1 — X)z2, где zi,z2 G Zappiv), A G [0,1]. Так как Zapp(rj) - выпуклое множество, z G Zapp(v)-Для любого элемента С G Zapp{rj) выполнено неравенство

HC - z\\ = НС - А*! - (1 - Ä)z2|| = ||А(С - *i) + (1 - А)(С - ¿2)11 ^

^ X\\Ç - Zl\\ + {1 - X)\\Ç - z2\\.

Так как максимум суммы двух функций не превосходит суммы их максимумов,

<pv(z) = max IK - z\\ ^ max (A||C - + (1 - \)\\( ~ ^ (ezapp(ri) CtZappiv)

^ X J?33? ^ ^ - zill + (! - A) .max lie - Z2\\ =

(&Zapp{ri) (€Zapp(ri)

= ^<Pv(zi) + (1 - X)(pv(z2),

что и доказывает утверждение. □

По Теореме 1.1, функционал (prj{z) достигает нижней грани на множестве Zapp(r}), причем любая точка локального минимума является и точкой глобального минимума. Следовательно, любой элемент z*, принадлежащий множеству

Arg min <pv(z) = Arg min max \\( - z\\, (1.7)

z€Zapp{Ti) z€Zapp(ri) (£Zapp(r])

обладает оптимальной оценкой погрешности. По Теореме 1.2, множество решений с оптимальной оценкой погрешности является выпуклым.

Если известен эффективный способ вычисления оценки погрешности <pr]{z) для любого приближенного решения z 6 Zapp(r]), то решение с оптимальной оценкой погрешности может быть найдено достаточно просто с использованием градиентных методов оптимизации [60].

На практике часто рассматриваются различные компактные множества в пространствах Lp[a,b], р > 1: множество ограниченных монотонных функций на отрезке [31,61], множество ограниченных выпуклых функций на отрезке [31], множество кусочно-выпуклых функций на отрезке. Рассматривались также обратные задачи для ограниченных выпуклых функций, заданных в замкнутой ограниченной двумерной области [62]. В числе рассмотренных ранее практических приложений отметим задачи теплопроводности [63], диффузии [64], восстановления свойств потоков жидкости [65], задачи восстановления функции распределения размеров частиц аэрозоля в атмосфере [66] и др.

Задача вычисления оценки погрешности (1.4) является задачей максимизации выпуклой функции на некотором выпуклом или невыпуклом множестве, заданном нелинейными ограничениями. Это сложная с вычислительной точки зрения задача, ее решение на практике может быть затруднительным. Поэтому возникает интерес в нахождении других множеств приближенных решений, на которых оценить погрешность приближенного решения было бы проще. Об этом речь пойдет в главе 2.

1.2 Оценка погрешности для истокопредставимых решений

Рассмотрим другой тип априорной информации о точном решении, которая может быть доступна. Пусть нам априори известно, что точное решение г задачи (1.1) представимо в виде

г — Ву, У е V, (1.8)

где V - рефлексивное банахово пространство, а В : V —» Z -линейный инъективный вполне непрерывный оператор. Обозначим через Я(Л) область значений оператора А.

Для простоты рассмотрим случай к — 0, т.е. оператор А задан точно. Рассмотрим следующий алгоритм построения приближенного решения уравнения (1.1).

Шаг 1. Положим п — 1.

Шаг 2. Определим для любого п 6 N множество Zn следующим образом:

= {г 6 г : г = Ву, у е V, ||г;|| ^ п}.

Шаг 3. Если

тт{||Аг - и^Ц : г <Е Zn} ^ 6,

полагаем п(8) — п. Если нет, увеличиваем п на единицу и возвращаемся к шагу 2.

Справедлива следующая

Теорема 1.4 ( [67,68]) Описанный выше процесс сходится, т.е. п{5) < +оо. Существует некоторое число 8о > О (зависящее, в общем случае, от точного решения z) такое, что п(8) = п(8о) для любого 8 £ (0,£о]- Кроме того, справедливо предельное соотношение Zn(5) —> z при 8 —> 0.

В качестве приближенного решения zn^) можно выбрать любой элемент z 6 ^п(<5), удовлетворяющий неравенству \\Az — и$\\ ^ S.

Данная процедура является версией метода расширяющихся компактов, предложенного в работе [69]. Этот метод также позволяет производить апостериорную оценку погрешности приближенного решения. Определим функцию

<p{zn(6)) = Hiax{||zn(«5) - z\\:ze Zn{5), \\Az - ^ 5}.

Справедлива следующая теорема

Теорема 1.5 ( [67,68]) Выполнено предельное соотношение (p(zn^)) —> О при 5 —^ 0. Кроме того, хотя бы при достаточно малых 8 > 0 выполнено неравенство ||£n(<5) ~ z\\ ^ ip(zn(s))-

Напомним, что апостериорная оценка решения действительно является оценкой погрешности решения лишь при достаточно малой погрешности входных данных.

Ясно, что в описанном методе последовательность п = 1,2,... можно заменить любой возрастающей последовательностью положительных чисел 7"i, г2,... таких, что Hin гп — +оо. В работах [67,68] был также рассмотрен случай неточно заданных операторов А и В. Здесь на этих результатах мы останавливаться не будем.

1.3 Схема апостериорной оценки погрешности A.C. Леонова

Предположим, что априорная информация о решении отсутствует (или ее недостаточно). В этом случае построить обычную оценку погрешности приближенного решения некорректной задачи нельзя, однако можно построить апостериорную оценку, которая действительно является оценкой погрешности лишь при достаточно малых 77 (далее мы будем писать, ЧТО ||771| ^ 77о). Здесь 7]о зависит от неизвестного точного решения. A.C. Леоновым в работах [70,71] была предложена следующая схема апостериорной оценки погрешности приближенного решения уравнения (1.1). Предположим, что приближенное решение zv минимизирует функционал А.Н. Тихонова

Ma{z) = \\Ahz - щ\\2и + aü{z)

с соответствующим образом выбранным параметром регуляризации а. Функционал называется стабилизатором. Пусть Q(z) удовлетворяет следующим условиям:

(i) он определен, непрерывен и ограничен снизу на Z (не ограничивая общности, считаем, что Q(z) ^ 0),

(ii) непустые множества вида fic = {z € Z: Ci(z) ^ С} являются сильными компактами в Z.

Если, кроме этого, выполнены условия регулярности

lim < const, lim WA^Zn — = 0,

77—>0 77—>0

и решение единственно, то имеет место сходимость zv —» z и, в силу условия (i), £l(zv) —»

Зафиксируем некоторую оценочную константу С > 1 и вычислим значения величин

А?? = С • ЦЛл^ - игЦу, RV = C- n(zv).

Рассмотрим множество

Zv = {z: il(z) < Rv, ||Ahz - us\\u ^ AJ.

Выясним, можно ли использовать это множество как множество приближенных решений (хотя бы при досточно малых Ц77Ц ^ г]о). Справедлива следующая

Лемма 1.1 ( [70]) Предположим, что выполнено условие (i), fi(^) > 0 и хотя бы для достаточно малых rj выполнено условие

8 + h\\z\\z<C -WAnZn-usWu. (1.9)

Тогда

• справедливы неравенства \\AhZ — и$\\и ^ A??; \\AhZv — щ\\и < А^,

• хотя бы для достаточно малых г] справедливы неравенства i2(z) ^ Rr, и £l(zv) < Rv.

Таким образом, если выполнены условия леммы 1.1, то при достаточно малых г\ точное решение z и приближенное решение zn принадлежат множеству Zv. Условие (1.9) выполнено для различных регуля-ризующих алгоритмов. Например, если в качестве стабилизатора взять f2(z) = а параметр регуляризации выбирать по обобщенному прин-

ципу невязки, то будет выполнено равенство [38,72]

\\Ahzr, - щ\\ц = С(8 + h\\zv\\z), С = const > 1.

Из последнего равенства вытекает (1.9) в виду сходимости zv —> z.

Рассмотрим величину

£Q(t7) = sup{||^ - z\\: z G Z, Q{z) <C Rv, \\Ahz - u5\\u ^ AJ. (1.10)

В работе [70] было показано, что она является апостериорной оценкой погрешности приближенного решения задачи (1.1). Справедлива следующая теорема.

Теорема 1.6 ( [70]) Пусть выполнены условия (i) и (ii). Тогда при каждом фиксированном Ц77Ц щ точная грань в (1.10) достигается на некотором элементе zv. Выполнено предельное соотношение lim £0(77) = lim \\zv — zv\\ — 0.

Заключение диссертации по теме «Математическая физика», Королев, Юрий Михайлович

Заключение

Диссертация посвящена изучению обратных задач для некорректных операторных уравнений на компактах в банаховых пространствах, наделенных порядковой структурой, - банаховых решетках. Построено множество приближенных решений, опирающееся на отношение частичного порядка в пространстве решений. Показано, что любой элемент этого множества может быть выбран в качестве приближенного решения обратной задачи.

Кроме того, показана возможность построения оценки погрешности по норме на введенном множестве приближенных решений. К сожалению, с вычислительной точки зрения задача нахождения оценки погрешности является трудной (задача принадлежит классу ЫР-полных задач). Это заставляет нас посмотреть с другой стороны на оценку погрешности. Предлагается вместо пары "приближенное решение и оценка сверху нормы разности приближенного и точного решений" находить верхнюю и нижнюю оценку (в смысле частичного порядка) неизвестного точного решения, задавая таким образом некоторый "коридор", заведомо его содержащий. Доказана сходимость этих оценок к точному решению. Кроме того, показано, что во многих случаях эти оценки могут быть найдены за полиномиальное время.

Описанные методы применены к задаче о нахождении толщины ледяного щита по измерениям поля его скоростей, а также к задаче о восстановлении параметров намагниченности судна по измерениям магнитного поля вне него. Показана возможность эффективного использования данных методов для решения указанных задач.

Автор выражает свою искреннюю благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Анатолию Григорьевичу Яголе за постоянное внимание к работе, интересные обсуждения полученных результатов, а также за готовность ответить на любые вопросы. Кроме того, автор выражает благодарность профессору Джесси Джонсону из Университета Монтаны, США, и его научной группе за плодотворное сотрудничество и проявленный интерес к новым методам оценки погрешности, а также коллеге Дмитрию Витальевичу Лукьяненко за плодотворную совместную работу над программной реализацией предложенного метода решения задачи об определении намагниченности. Автор также выражает благодарность РФФИ (гранты 11-01-00040-а и 12-01-91153-ГФЕНа) за частичную финансовую поддержку. И, наконец, автор благодарен близким, без постоянной поддержки и терпения которых он никогда бы ничего не написал.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Королев, Юрий Михайлович, 2013 год

Список литературы

[1] Hadamard J. Lectures on Cauchy's problem in linear partial differential equations. New Haven: Yale University Press, 1923.

[2] Тихонов A. H. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации // Доклады Академии наук СССР. 1963. Т. 151, № 3. С. 501-504.

[3] Тихонов А. Н. О регуляризации некорректно поставленных задач // Доклады Академии наук СССР. 1963. Т. 153, № 1. С. 49-52.

[4] Тихонов А. Н. Об устойчивости обратных задач // Доклады Академии наук СССР. 1943. Т. 39, № 5. С. 195-198.

[5] Тихонов А. Н. О решении нелинейных интегральных уравнений первого рода // Доклады Академии наук СССР. 1964. Т. 156, № 6. С. 1296-1299.

[6] Тихонов А. Н. О нелинейных уравнениях первого рода // Доклады Академии наук СССР. 1965. Т. 161, № 5. С. 1023-1026.

[7] Тихонов А. Н. О методах регуляризации задач оптимального управления // Доклады Академии наук СССР. 1965. Т. 162, № 4. С. 763765.

[8] Иванов В. К. О линейных некорректных задачах // Доклады Академии наук СССР. 1962. Т. 145, № 2. С. 270-272.

[9] Иванов В. К. О некорректно поставленных задачах // Математический сборник. 1963. Т. 61, № 2. С. 211-223.

[10] Иванов В. К. О приближенном решении операторных уравнений первого рода // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1966. Т. 6, № 1089-1094.

[11] Иванов В. К. Некорректные задачи в топологических пространствах // Сибирский математический журнал. 1969. Т. 10, К2 5. С. 1065-1074.

[12] Лаврентьев М. М. Об интегральных уравнениях первого рода // Доклады Академии наук СССР. 1959. Т. 127, № 1. С. 31-33.

[13] Лаврентьев М. М. О некоторых некорректно поставленных задачах математической физики. Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1962.

[14] Иванов В. К., Васин В. В., Танана В. П. Теория линейных некорректных задач и ее пиложения. Москва: Наука, 1978.

[15] Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некорректные задачи математической физики и анализа. Москва: Наука, 1980.

[16] Танана В. П. Методы решения операторных уравнений. Москва: Наука, 1981.

[17] Лаврентьев М. М., Резницкая К. Г., Яхно В. Г. Одномерные обратные задачи математической физики. Новосибирск: Наука, 1982.

[18] Вайникко Г. М. Методы решения линейных некорректно поставленных задач в гильбертовых пространствах. Тарту: Изд-во Тарт. гос. университета, 1982.

[Т9]~~Федотов А~М.~~Линейные некорректные задачи со случайными ошибками в данных. Новосибирск: Наука, 1982.

[20] Бухгейм А. Л. Операторные уравнения Вольтерра. Новосибирск: Наука, 1983.

[21] Гласко В. Б. Обратные задачи математической физики. Москва: Изд-во МГУ, 1984.

[22] Романов В. Г. Обратные задачи математической физики. Москва: Наука, 1984.

[23] Гончарский А. В., Черепащук А. М., Ягола А. Г. Некорректные задачи астрофизики. Москва: Наука, 1986.

[24] Вайникко Г. М., Веретенников А. Ю. Итерационные процедуры в некорректных задачах. Москва: Наука, 1986.

[25] Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. Москва: Наука, 1986.

[26] Гилязов С. Ф. Методы решения линейных некорректных задач. Москва: Изд-во МГУ, 1987.

[27] Морозов В. А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. Москва: Наука, 1987.

[28] Алифанов О. М., Артюхин Е. А., Румянцев С. В. Экстремальные методы решения некорректных задач. Москва: Наука, 1988.

[29] Бухгейм А. Л. Введение в теорию обратных задач. Новосибирск: Наука, 1988.

[30] Бакушинский А. В., Гончарский А. В. Некорректные задачи. Численные методы и приложения. Москва: Изд-во МГУ, 1989.

[31] Тихонов А. Н., Гончарский А. В., Степанов В. В., Ягола А. Г. Численные методы решения некорректных задач. Москва: Наука, 1990.

[32] Федотов А. М. Некорректные задачи со случайными ошибками в данных. Новосибирск: Наука, 1990.

[33] Васин В. В., Агеев А. Л. Некорректные задачи с априорной информацией. Екатеринбург: Наука, 1993.

[34] Groetsch С. W. Inverse problems in the mathematical sciences. Braunschweig: Vieweg, 1993.

[35] Кочиков И. В., Курамшина Г. М., Пентин Ю. А., Ягола А. Г. Обратные задачи колебательной спектроскопии. Москва: Изд-во МГУ, 1993.

[36] Денисов А. М. Введение в теорию обратных задач. Москва: Изд-во МГУ, 1994.

[37] Иванов В. К., Мельникова И. В., Филинков А. И. Дифференциально-операторные уравнения и некорректные задачи. Москва: Физматлит, 1995.

[38] Тихонов А. Н., Леонов А. С., Ягола А. Г. Нелинейные некорректные задачи. Москва: Наука, 1995.

[39] Engl Н. W., Hanke М., Neubauer A. Regularization of inverse problems. Dordrecht: Kluwer, 1996.

[40] Лаврентьев M. M., Савельев Л. Я. Теория операторов и некорректные задачи. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 1999.

[41] Осипов Ю. С., Васильев Ф. П., Потапов М. М. Основы метода динамической регуляризации. Москва: Изд-во МГУ, 1999.

[42] Винокуров В. А. Регуляризуемые функции в топологических пространствах и обратные задачи // Доклады Академии наук СССР. 1979. Т. 246, № 5. С. 1033-1037.

[43] Винокуров В. А. О порядке погрешности вычисления функции с приближенно заданным аргументом // Журнал вычислительной

математики и математической физики. 1973. Т. 13, № 5. С. 1112— 1123.

[44] Леонов А. С., Ягола А. Г. Можно ли решить некорректную задачу без знания погрешности данных? // Вестник Московского университета. Серия 3. Физика, астрономия. 1995. по. 36. Р. 28-33.

[45] Бакушинский А. Б. Замечания о выборе параметра регуляризации по критерию квазиоптимальности и отношения / / Журнал вычислительной математики и математической физики. 1984. Т. 24, № 4. С. 181-182.

[46] Бакушинский А. В., Гончарский А. В. Итерационные методы решения некорректных задач. Москва: Наука, 1988.

[47] Канторович Л. В. О полуупорядоченных линейных пространствах и их применениях в теории линейных операций // Доклады Академии наук СССР. 1935. Т. 4. С. 11-14.

[48] Канторович Л. В. Линейные полуупорядоченные пространства // Математический сборник. 1937. Т. 2, № 44. С. 121-168.

[49] Канторович Л. В. О функциональных уравнениях // Ученые записки ЛГУ. 1937. Т. 3, № 17. С. 24-50.

[50] Канторович Л. В. Линейные операции в полуупорядоченных пространствах // Математический сборник. 1940. Т. 7, К2 49. С. 209284.

[51] Королев Ю. М., Ягола А. Г. Оценка погрешности в линейных некорректных задачах с априорной информацией // Вычислительные методы и программирование. 2012. Т. 13. С. 14-18.

[52] Korolev Y., Kubo Н., Yagola A. Parameter identification problem for a parabolic equation - application to the Black-Scholes option pricing

model // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. 2012. Vol. 20, no. 3. P. 327-337.

[53] Korolev Y., Yagola A. On inverse problems in partially ordered spaces with a priori information // Journal of Inverse and 111-Posed Problems. 2012. Vol. 20, no. 4. P. 567-573.

[54] Yagola A., Korolev Y. Error estimations in linear inverse problems in ordered spaces // Progress in Analysis. Proceedings of the 8th Congress of the International Society for Analysis, its Applications, and Computations / Peoples' Friendship University of Russia. Moscow: 2012. P. 60-68.

[55] Yagola A., Korolev Y. Error estimation in linear inverse problems with a priori information // Proceedings of the ASME 2011 International Design Engineering Technical Conferences and Computers and Information in Engineering Conference IDETC/CIE 2011, August 28-31, 2011, Washington, DC, USA / ASME. Vol. DETC2011-4. Washington, DC: 2011.' P. 1-6.

[56] Yagola A., Korolev Y. Error estimation in linear inverse problems in ordered spaces // Abstracts. 8th International ISAAC Congress. Moscow, August 22-27, 2011 / Peoples' Friendship University of Russia. Moscow: 2011. P. 312.

[57] Yagola A., Korolev Y. A posteriori error estimations in linear ill-posed problems // PROGRAM OF THE FIRST ANNUAL WORKSHOP ON INVERSE PROBLEMS, 2-3 June 2011, Goteborg, Sweden / Chalmers University of Technology, Goteborg University. Goteborg: 2011. P. 3.

[58] Yagola A., Korolev Y. Error estimations for ill-posed problems in Banach lattices // PROGRAM OF THE SECOND ANNUAL WORKSHOP

ON INVERSE PROBLEMS, 2-6 May 2012, Sunne, Sweden / Chalmers University of Technology, Goteborg University. Goteborg: 2012. P. 3.

[59] Васильев Ф. П. Методы оптимизации. Москва: Факториал Пресс, 2002.

[60] Luenberger D. Linear and nonlinear programming. 2 edition. Boston: ADDISON-WESLEY PUBLISHING COMPANY, 1984.

[61] Titarenko V. N., Yagola A. G. Uniform approximation for exact solutions of ill-posed problems on the set of monotone functions // Mosc. Univ. Phys. Bull. 2001. Vol. 56, no. 6. P. 20-23.

[62] Titarenko V., Yagola A. Linear ill-posed problems on sets of convex functions on two-dimensional sets // Journal of Inverse and 111-Posed Problems. 2006. Vol. 14, no. 7. P. 735-750.

[63] Dorofeev K. Y., Nikolaeva N. N., Titarenko V. N., Yagola A. G. New approaches to error estimation to ill-posed problems with applications to inverse problems of heat conductivity // Journal of Inverse and 111-Posed Problems. 2002. Vol. 10, no. 2. P. 155-169.

[64] Zotyev D. V., Usmanov S. M., Shakir'yanov E. D., Yagola A. G. Solution of the inverse problem of self-diffusion in composite polymeric systems in the presence of information given a priori // Num. Methods and Programming. 2005. Vol. 6. P. 249-252.

[65] Nikolaeva N. N., Rychagov N. M., Titarenko V. N., Yagola A. G. Error estimation for symmetric velocity profiles reconstructed from multi-path flow measurements // Comput. Math. Math. Phys. 2004. Vol. 44, no. 1. P. 16-26.

[66] Ван Я., Чжан E., Лукьяненко Д. В., Ягола А. Г. Метод решения обратной задачи восстановления функции распределения размеров ча-

стиц аэрозоля в атмосфере на множестве кусочно-выпкулых функций // Вычислительные методы и программирование. 2012. Vol. 13. Р. 49-66.

[67] Yagola A., Dorofeev К. Sourcewise representation and a posteriori error estimates for ill-posed problems // Operator theory and its applications. Proc. of the int. conf., Winnipeg, Canada, October 7-11, 1998. Fields Inst. Commun., 25. Providence, RI: AMS, 2000. P. 543-550.

[68] Dorofeev K. Y., Yagola A. G. The method of extending compacts and a posteriori error estimates for nonlinear ill-posed problems //J. Inverse Ill-Posed Probl. 2004. Vol. 12, no. 6. P. 627-636.

[69] Домбровская И. H., Иванов В. К. К теории некоторых линейных уравнений в абстрактных пространствах // Сибирский математический журнал. 1965. Т. 6. С. 499-508.

[70] Леонов А. С. Об апостериорных оценках точности решения линейных некорректно поставленных задач и экстраоптимальных регуля-ризующих алгоритмах // Вычислительные методы и программирование. 2010. Т. 11. С. 14-24.

[71] Леонов А. С. Экстраоптимальные апостериорные оценки точности решения некорректных задач продолжения потенциальных геофизических полей // Физика Земли. 2011. Т. 6. С. 69-78.

[72] Леонов А. С. Решение некорректных обратных задач. Очек теории, практические алгоритмы и и демонстрации в MATLAB. Москва: УРСС, 2009.

[73] Merton R. On the pricing of Corporate Debt: The Risk Structure of Interest Rates // Journal of Finance. 1974. no. 29. P. 449-470.

[74] Dupire B. Pricing with a smile // Risk. 1994. Vol. 7. P. 18-20.

[75] Bouchouev I., Isakov V. Uniqueness, stability, and numerical methods for the inverse problem that arises in financial markets // Inverse problems. 1999. Vol. 15. P. 95-116.

[76] Тихонов A. H., Самарский А. А. Уравнения математической физики. Москва: Наука, 1977.

[77] Friedman A. Partial differential equations of parabolic type. Englewood Cliffs, N. J.: Prentice-Hall, Inc., 1964.

[78] Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы Математического анализа. Ч. 1-2. Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2001.

[79] Калиткин Н. Н. Численные методы. Москва: Наука, 1978.

[80] Данфорд Н., Шварц Д. Т. Линейные операторы. Общая теория. Москва: Издательство иностранной литературы, 1962.

[81] Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. Санкт-Петербург: Невский диалект, 2004.

[82] Schaefer Н. Banach Lattices and Positive Operators. Berlin, New York: Springer Verlag, 1974.

[83] Вулих Б. 3. Введение в теорию полуупорядоченных пространств. Москва: Государственное издательство физико-математической литературы, 1961.

[84] Cormen Т., Leiserson С., Rivest R., Stein С. Introduction to Algorithms. 2nd edition edition. Boston: The MIT Press, 2002.

[85] Mangasarian O., Shiau T.-H. A variable complexity norm maximization problem // SIAM J. Algebraic and discrete methods. 1986. Vol. 7. P. 455-461.

[86] Yagola A., Titarenko V. Numerical methods and regularization techniques for the solution of ill-posed problems // Inverse Problems in Engineering: Theory and Practice / Ed. by H. R. B. Orlande. Rio de Janeiro: E-papers, 2002. Vol. 1. P. 49-58.

[87] Titarenko V., Yagola А. Метод отсечения выпуклых многогранников и его применение к некорректным задачам / / Вычислительные методы и программирование. 2000. Т. 1, № 1. С. 10-15.

[88] Yagola A., Titarenko V. Using a priori information about a solution of an ill-posed problem for constructing regularizing algorithms and their applications // Inverse Problems in Science and Engineering. 2007. — January. Vol. 15, no. 1. P. 3-17.

[89] Хачиян Л. Г. Полиномиальные алгоритмы в линйном программировании // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1980. Т. 20. С. 53-72.

[90] Karmarkar N. A New Polynomial Time Algorithm for Linear Programming // Combinatorica. 1984. Vol. 4, no. 4. P. 373-395.

[91] Morlighem M., Rignot E., Seroussi H. et al. A mass conservation approach for mapping glacier ice thickness / / Geophysical Research Letters. 2011. Vol. 38. P. LI9503.

[92] Strang G., Fix G. J. An Analysis of the Finite Element Method. Englewood Cliffs, N. J.: Prentice-Hall, Inc., 1973.

[93] Logg A., Wells G. N. DOLFIN: Automated finite element computing // ACM Trans. Math. Softw. 2010.-April. Vol. 37. P. 20:1-20:28. URL: http://doi.acm.org/10.1145/1731022.1731030.

[94] Pattyn F., Perichon L., Aschwanden A. et al. Benchmark experiments for higher-order and full Stokes ice sheet models (ISMIP-HOM) //

The Cryosphere Discussions. 2008. Vol. 2, no. 1. P. 111-151. URL: http://www.the-cryosphere-discuss.net/2/111/2008/.

[95] Brinkerhoff D., Johnson J. Data assimilation and prognostic whole ice-sheet modelling with the variationally derived, higher-order, open source, and fully parallel ice sheet model VarGlaS // Submitted to The Cryosphere. 2013.

[96] Лукьяненко Д. В., Ягола А. Г. Применение многопроцессорных систем для решения трехерных интегральных уравнений Фредгольма первого рода для векторных функций / / Вычислительные методы и программирование. 2010. Т. 11. С. 336-343.

[97] MPI: A Message-Passing Interface Standard. The Message Passing Interface Forum, Version 1.1, June 12, 1995. http://www.mpi-forum.org.

[98] Вычислительный кластер НИВЦ МГУ. http://parallel.ru/cluster.