Устойчивость положений относительного равновесия системы с деформируемыми элементами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.01, кандидат наук Мустафина, Анастасия Владимировна

• Мустафина, Анастасия Владимировна
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Мустафина, Анастасия Владимировна

Оглавление

Оглавление

Введение

Глава 1. Относительное равновесие твердого тела на вращающемся гибком валу

1.1. Математическая модель системы

1.2. Положения относительного равновесия

1.3. Устойчивость относительного равновесия

1.3.1. Первый случай

1.3.2. Второй случай

1.4. Заключение

Глава 2. Относительное равновесие твердого тела на вращающемся массивном гибком валу в поле силы тяжести

2.1. Постановка задачи

2.2. Устойчивость положения относительного равновесия

2.3. Устойчивость положения относительного равновесия. Оценка функционала потенциальной энергии

2.4. Устойчивость положения относительного равновесия. Метод возмущений

2.5. Устойчивость положения относительного равновесия. Примеры

2.5.1. Точечная масса, закрепленная на конце невесомого стержня

2.5.2. Цилиндр, закрепленный на конце невесомого стержня

2.5.3. Диск, закрепленный на конце невесомого стержня

Глава 3. Положения относительного равновесия механической системы, состоящей из двух твердых тел, соединенных упругим стержнем, на круговой орбите. Их устойчивость

3.1. Постановка задачи

3.2. Стационарные движения

3.2.1. Выражение для измененной потенциальной энергии системы

3.2.2. Уравнения стационарных движений

3.2.3. Некоторые решения уравнений стационарных движений

3.3. Устойчивость стационарных движений

3.3.1. Общие соображения об исследовании устойчивости стационарных движений сложных систем

3.3.2. Устойчивость решения (3.2.3)

3.3.3. Устойчивость решения (3.2.4)

3.3.4. Устойчивость решения (3.2.5)

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Устойчивость положений относительного равновесия системы с деформируемыми элементами»

Введение

Актуальность темы

Ряд объектов современной техники можно моделировать механическими системами, состоящими из абсолютно твердых тел и связанных с ними деформируемых элементов.

Роторы некоторых современных высокоскоростных машин, таких как центрифуги, сепараторы, вентиляторы, веретена различных типов и др., включают в себя гибкий вал, несущий массивные сосредоточенные элементы. Турбинные лопатки, а также элементы конструкции роботов-манипуляторов в ряде случаев моделируются консольными стержнями, прикрепленными к вращающимся твердым телам.

Такого типа модели возникают и в динамике космических аппаратов (КА). Наличие деформируемых элементов в составе космических аппаратов может существенно повлиять на устойчивость стационарных движений системы, что следует учитывать при конструировании КА.

Цель работы

Диссертация посвящена решению задач об устойчивости положений относительного равновесия механической системы, состоящей из двух твердых тел, соединенных гибким массивным стержнем, центр масс которой движется по круговой орбите вокруг Земли, а также решению задач об устойчивости относительного равновесия твердого тела на вращающемся гибком валу, в том числе в поле силы тяжести.

Методы исследования

В работе используются методы теоретической механики и разработанные В.В.Румянцевым методы теории устойчивости механических систем, состоящих из твердых и деформируемых тел, основанные на идеях А.М.Ляпунова.

Задача об устойчивости установившегося движения сводится к исследованию характера экстремума функционала потенциальной энергии Ш. Устойчивому

движению соответствует минимум потенциальной энергии. Обычно вопрос о характере экстремума функционала Ж решается исследованием его второй

вариации 81Ж. Если 82Ж положительно определена, то функционал Ж имеет минимум и соответствующее установившееся движение устойчиво. Таким образом, достаточные условия устойчивости установившегося движения

получаются из условия положительной определенности функционала 82Ж.

Этот метод был развит в работе В.М. Морозова, В.Н. Рубановского, В.В.Румянцева, В.А. Самсонова [1], где были предложены два способа решения задачи минимума потенциальной энергии указанных механических систем, вторая вариация которых состоит из трех частей

д2Ж = Ж (и) + Ж (я) + 2Ж (д, и). Здесь Ж (и) - квадратичный функционал, отражающий изменение формы соответствующих элементов системы с распределенными параметрами, описываемое вектор-функцией и; Ж, (д) - квадратичная форма обобщенных

координат д, совпадающая с 82Ж для «отвердевшей» системы, получаемой из исходной отвердеванием сплошных сред; Щ (д, и) - функционал, билинейный относительно функции и и координат д, характеризующий взаимное влияние изменения положения подсистемы с конечным числом степеней свободы и деформации ее элементов с распределенными параметрами.

Методы установления положительной определенности функционала 82Ж„ описаны в [1], [2], [3] состоят в том, чтобы разделить функционал 82Ж на две независимые части, каждая из которых содержит только переменные и или только переменные д .

Первый способ установления положительной определенности функционала

82Ж, развитый в работах Г.К. Пожарицкого и В.В.Румянцева [4] и В.А. Самсонова [2], [3] состоит в следующем.

Предположим, что функционал Щ(и) является положительно определенным. Тогда при помощи решения и * (д) уравнения

8[Щ (и) + 2Щ (д, и)]

функционал 82Щ можно представить в виде

= 0

q=const

82Щ = Щ (и - и*) + и (д), ид = Щ(д) + Щ (д,и * (д)), где Щ (д, и * (д)) - квадратичная форма координат д.

Таким образом, функционал 8гЩ представлен в виде двух независимых частей, и условия его положительной определенности слагаются из условий положительной определенности функционала Щ (и) и квадратичной формы и(д).

При другом способе, развитом в работах В.Н. Рубановского [5], [6], предполагается, что квадратичная форма Щ (д) является положительно определенной. Тогда при помощи решения д *(и) уравнения

3[Ж2(д) + 2Щ3(д, и)\и__соШ = 0

выражение для 8гЩ можно представить в виде

§2Щ _ Щ (д - д*) + Ф (и), Ф (и) _ Щ (и) + Щ (д * (и),и),

где Щ3(д *(и), и) - квадратичный функционал от функции и. Условия

положительной определенности 8гЩ состоит из условий положительной определенности квадратичной формы Щ2(д) и положительной определенности функционала Ф( и).

Оба способа дают необходимые и достаточные условия положительной

определенности функционала 82Щ и тем самым достаточные условия устойчивости установившегося движения.

Отметим, что первый способ разбиения функционала 82Щ нагляднее, так

как первая группа условий положительной определенности 82Щ дает условия устойчивости недеформированной формы подсистемы с распределенными параметрами (Щ (и) >> 0), тогда как первая группа условий положительной

определенности квадратичной формы Ж, (д), характеризующей «отвердевшую» систему, при втором способе разбиения, очевидно, перекрывается условиями положительной определенности функционала Ф( и).

Следует также подчеркнуть, что указанные способы установления

положительной определенности функционала 82Ж дают наиболее широкие из всех возможных достаточных условий устойчивости установившегося движения, получающихся из условий положительной определенности §2Ж.

По этой причине условия устойчивости равномерных вращений и положений относительного равновесия системы на круговой орбите, полученные в работах В.М. Морозова, В.Н. Рубановского, В.В. Румянцева и В.А. Самсонова [1] точнее условий, приведенных для аналогичных задач в упомянутых выше работах.

В последние годы первый способ разбиения 82Ж был применен Чжао Цзе [7], [8], [9], [10], [11] при исследовании устойчивости стационарных вращений свободной механической системы, состоящей из двух твердых тел, соединенных массивным упругим стержнем, где получены достаточные условия устойчивости, выраженные в явном виде через параметры системы.

Такой же способ используется при решении задач об устойчивости положений относительного равновесия на круговой орбите системы, состоящей из двух твердых тел, соединенных массивным упругим стержнем, в представленной диссертации.

Достоверность результатов

Большая часть результатов диссертации получена строгими аналитическими методами и базируется на теории устойчивости стационарных движений сложных механических систем. Часть результатов получена с помощью методов численного анализа. Качественно-аналитические результаты проиллюстрированы и подтверждены с помощью численного анализа.

Научная новизна

Все основные результаты диссертации являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность

Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты могут найти применение в проектировании космических аппаратов сложной конструкции, а также при изучении устойчивости положений относительных равновесий механических систем, содержащих деформируемые элементы.

Апробация работы

Результаты, представленные в диссертации, были доложены и обсуждались на следующих научных семинарах и конференциях

• Международная конференция по механике. Шестые Поляховские чтения. Санкт-Петербург, 2012г.

• X Международная Четаевская конференция «Аналитическая механика, устойчивость и управление», Казань, 2012г.

• Научная конференция «Ломоносовские чтения» МГУ имени М.В.Ломоносова, 2012г.

• Конференция «Dynamical Systems Modeling and Stability Investigation» DSMSI -2013», Киев, Украина, 2013г.

• Международная конференция «Восьмые Окуневские чтения», Санкт-Петербург, 2013 г.

• Конференция-конкурс молодых ученых Института механики МГУ, 2012г

• XII Международная конференция «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления», Москва, ИПУ РАН, 2012 г.

• XX Международный научно-технический семинар «Современные технологии в задачах управления, автоматики и обработки информации», г. Алушта, 2011 г.

• Семинар по аналитической механике и теории устойчивости имени В.В.Румянцева под руководством чл.-корр. РАН, проф. В.В.Белецкого; проф. А.В.Карапетяна, МГУ, 2016г, 2017г.

• Семинар имени А.Ю.Ишлинского кафедры прикладной механики и управления механико-математического факультета МГУ, 2017г.

• Семинар «Динамика относительного движения» под руководством чл.-корр. РАН В.В.Белецкого, проф. Ю.Ф.Голубева, доц. К.Е.Якимовой, доц. Е.В.Мелкумовой, МГУ, 2017г.

Публикации

По теме диссертации опубликовано шесть печатных работ. Среди них три работы [12], [13], [14] опубликованы в журналах Scopus, WoS, RSCI.

Личный вклад

Научный руководитель предложил постановку задач и методы их исследования, а также консультировал соискателя в процессе выполнения работы. Все представленные в диссертации результаты получены лично соискателем.

Обзор литературы

Работ, посвященных вопросам динамики и устойчивости движения механических систем, состоящих из твердых и деформируемых тел, в настоящее время насчитывается много сотен. Обзоры работ общего характера в этом направлении содержатся в работах Л.В. Докучаева [15], A.A. Shabana [16], A.K. Banerjee [17], J.C. Simo и др. [18], [19], [20] R.S. Pawar, S.H. Sawant [21], T.M.Wasfy, A.K. Noor [22].

Одной из задач, представляющих интерес для различных областей техники, является задача о движении систем, состоящих из движущихся твердых тел и прикрепленных к ним тем или иным способом упругих стержней T.Kane и др. [23], K.W.London [24].

Критические частоты и формы колебаний упругих вращающихся стержней как систем с распределенными параметрами изучались в большом числе работ. См., например, S.V. Hoa [25], H.F. Bauer [26], R.B. Bhat [27], H. Kojima [28], H.F. Bauer, W. Eidel [29], A.Yigit, R.A. Scott, A.G. Ulsoy [30], M. Gürgöze [31], H.H. Yoo, S.H. Shin [32], J. Chung, H.H. Yoo [33], K. Shin, M.J. Brennan [34], S. Yukse, T.M. Aksoy [35], C.L. Huang; W.Y. Lin; K.M. Hsiao [36], M. Ansari, E. Esmailzadeh, N. Jalil [37].

При этом рассматривались два случая: первый - когда вращение с постоянной угловой скоростью происходит вокруг оси, вдоль которой расположен недеформированный стержень; второй - когда такое вращение происходит вокруг оси, перпендикулярной недеформированному стержню. В некоторых случаях на свободном конце стержня могла находиться точечная масса.

Уравнения движения механических систем, состоящих из твердых и деформируемых тел, выводятся, как правило, из принципа Гамильтона, а решение этих уравнений ищется в виде разложения в ряд по собственным формам колебаний, выбор которых определяется в том числе и различным типом закрепления концов стержня. В соответствии с этим характеристическое уравнение, определяющее критические частоты колебаний стержня, получается различным.

Важной и трудной задачей исследования систем, состоящих из твердых и деформируемых тел, является задача выделения их стационарных движений (в частности, положений относительного равновесия) и нелинейного анализа устойчивости этих движений.

Одной из таких задач служит задача об устойчивости стационарного вращения гибкого вала, несущего на свободном конце твердое тело, которая широко обсуждалась в литературе, посвященной гироскопическим системам. Здесь следует назвать монографии Р. Граммеля [38], К.Б. Бицено и Р. Граммеля [39], К. Магнуса [40], А.И. Лурье [41], Е.Л. Николаи [42], [43], Д.П. Ден-Гартога [44].

При этом, как правило, предполагалось, что вал невесомый и положение твердого тела определялось координатами точки крепления тела к валу и углами поворота сечения стержня, проходящего через эту точку. Тем самым предполагалось, что система имеет конечное число степеней свободы. Для моделирования воздействия упругих сил на движение твердого тела требовалось вводить так называемые коэффициенты влияния, отыскание которых представляло отдельную задачу [38], [41]. Устойчивость стационарного вращения системы, когда вал имеет недеформируемую прямолинейную форму, исследовалась на основании линейных уравнений и определялись критические частоты возникающих колебаний.

Другая совокупность задач аналогичного типа возникает и в динамике космических аппаратов (КА). В связи с тенденцией увеличения размеров орбитальных космических систем и уменьшения жесткости их конструкций, а также с требованием высокой точности ориентации, стали весьма актуальными проблемы устойчивости ориентации спутников и космических аппаратов, содержащих в своем составе упругие стержни, пластины, тросы и др.

Особый интерес представляют задачи устойчивости равномерных вращений КА и относительных равновесий на круговой орбите спутников, состоящих из твердых тел и деформируемых элементов. Этим вопросам посвящены обзоры В.М. Морозова [45], B.J. Modi [46], В.А. Сарычева [47], В.Н. Рубановского [48], Л.В. Докучаева [15], [49], S.K. Shrivastava, B.J. Modi [50], G.S. Nurre, R.S. Ryan, H.N. Scofield, J.L. Sims [51], P. Gasbarri, R. Monti, M. Sabatini [52], монография М.К. Набиуллина [53].

Для исследования устойчивости движения систем, содержащих элементы с распределенными параметрами, во многих работах применялись приближенные методы.

Один из таких методов - метод пространственной дискретизации, в котором элементы с распределенными параметрами заменяются сосредоточенными массами, соединенными между собой невесомыми упругими связями, упругие свойства которых представляются матрицами жесткостей [41], [38]. Другой метод

- метод нормальных форм колебаний, когда перемещения упругих элементов представляются в виде рядов по собственным формам колебаний, которые обычно заменяют конечными суммами [54], [39], [42], [55], [44], [40], [23], [56], [46], [57], [58], [41].

Распространенный подход к исследованию устойчивости движения рассматриваемых механических систем состоит в анализе линеаризованных уравнений возмущенного движения методами теории малых колебаний.

Следует отметить, что при использовании указанных методов одна задача, по существу, заменяется некоторой другой задачей и получаемые при этом условия устойчивости не во всех случаях гарантируют устойчивость движения исходной системы.

Более предпочтительным при исследовании устойчивости движения систем, состоящих из твердых и деформируемых тел, представляется применение строгих методов, основанных на прямом методе Ляпунова и позволяющих получать достаточные условия, гарантирующие устойчивость (в том или ином смысле) движения системы.

Здесь следует отметить работы L. Meirovitch [59], [60] по исследованию устойчивости так называемых гибридным систем (систем, содержащих твердые и упругие части) на основе прямого метода Ляпунова, а также цикл работ по устойчивости относительного равновесия систем с деформируемыми элементами, выполненный на основе энергетического метода [20], [18], [19], [61], [62], [63].

Основным объектом исследования в большинстве работ, посвященных проблемам устойчивости ориентации спутников и космических аппаратов, содержащих деформируемые элементы, является твердое тело с одной или несколькими парами упругих стержней. Устойчивость равномерных вращений и положений относительного равновесия на круговой орбите указанного объекта изучалось при помощи функционалов Ляпунова в работах L. Meirovitch [64], [60], [65], Л.В. Докучаева [66], С.В. Чайкина [67], [68], [69]. Влияние диссипативных моментов на устойчивость вращения космических аппаратов рассматривалось в работах Л.В. Докучаева [49], [70], В.Г. Вильке [71], А.В. Шатиной [72].

Гантелеобразная форма твердого тела может быть использована для представления больших космических аппаратов или астероидов с соответствующим распределением масс [73]. В работах A.K. Sanyal [74], [75], [76] гантелеобразное тело моделируется двумя одинаковыми материальными точками, связанными твердым невесомым линейным пружинным стержнем. Система имеет пять степеней свободы и находится в центральном гравитационном поле. Движения центра масс и около центра масс связаны. Определены положения относительного равновесия на круговой орбите и исследуется их устойчивость. Показано, что неустойчивое положение относительного равновесия может быть стабилизировано соответствующим выбором обратной связи по угловым переменным.

Задачи об устойчивости стационарных движений КА с упругими стержнями или полостью, содержащей жидкость, рассматривались также в работах В.М. Морозова и В.Н. Рубановского [77], [78], В.Н. Рубановского [79], [6], [48], В.М. Морозова, В.Н. Рубановского, В.В. Румянцева, В.А. Самсонова [1]. В этих работах использовался подход к исследованию устойчивости систем, состоящих из твердых и деформируемых тел, основанный на идеях Ляпунова, развитых им в теории устойчивости фигур равновесия вращающейся самогравитирующей жидкости [80], [81]. Для систем, содержащих как подсистемы с конечным числом степеней свободы, так и звенья с распределенными параметрами, такой подход был предложен В.В. Румянцевым [82], [83], [84], [1], [85]. При этом подходе установившимся движениям соответствуют стационарные значения потенциальной энергии системы.

Краткое содержание

Диссертация посвящена решению задач об устойчивости положений относительного равновесия механической системы, состоящей из двух твердых тел, соединенных гибким массивным стержнем, на орбите вокруг Земли, а также решению задач об устойчивости равномерных вращений твердого тела на гибком валу, в том числе в поле силы тяжести.

В Главе 1 рассматривается задача об относительном равновесии твердого тела, закрепленного на конце гибкого массивного вала, другой конец которого вставлен во вращающийся с постоянной угловой скоростью патрон. Предполагается, что никакие внешние силы на систему не действуют.

Исследуются два случая относительного равновесия описанной выше механической системы. В первом случае вращение происходит вокруг оси, совпадающей с недеформированным стержнем. Во втором случае - вокруг оси, ортогональной недеформированному стержню.

Достаточные условия устойчивости этих положений относительного равновесия получены как условия положительной определенности второй

вариации 82П функционала потенциальной энергии, которые накладывают ограничения сверху на угловую скорость вращения. Проведен параметрический анализ полученных условий устойчивости в зависимости от распределения масс в системе. Показано, что в случае массивного стержня ограничение на угловую скорость вращения более жесткое.

При помощи оценки снизу функционала 82П получены более простые, но грубые достаточные условия устойчивости относительного равновесия системы, которые позволяют оценить вклад массы стержня в выражение для критических значений параметра ЯI. При этом нет необходимости решать рассмотренные выше краевые задачи с переменными коэффициентами.

В Главе 2 рассматривается та же механическая система при учете силы тяжести. При этом вращение происходит вокруг вертикальной оси, вдоль которой расположен недеформированный стержень.

Для решения, описывающего равномерное вращение системы с недеформированным стержнем, в случае, когда масса стержня мала по сравнению с массой тела, получена краевая задача, из которой найдено характеристическое уравнение для определения критического значения угловой скорости вращения системы. Показано, что наличие силы тяжести мало влияет на значение критической угловой скорости вращения системы.

Для решения задачи устойчивости использован также метод возмущений в предположении, что масса стержня мала по сравнению с массой тела. Получено

приближенное значение параметра .

В Главе 3 рассматривается задача об устойчивости положений относительного равновесия механической системы, состоящей из двух твердых тел, соединенных массивным нерастяжимым упругим стержнем. Центр масс этой системы движется по круговой орбите.

Рассматриваемая механическая система допускает интеграл энергии T + W = const, где T - кинетическая энергия при движении системы относительно орбитальной системы координат, а W = Па + Пс + П - функционал измененной

потенциальной энергии системы, который состоит из потенциальной энергии гравитационных сил П , потенциальной энергии центробежных сил Пс и

потенциальной энергии упругих сил Па.

Указаны три частных решения уравнений равновесия, описывающие положения относительного равновесия системы, в которых главные оси инерции системы направлены по осям орбитальной системы координат. При этом ось, вдоль которой расположен недеформированный стержень, в одном положение равновесия направлена по радиус-вектору орбиты, в другом - по нормали к плоскости орбиты и в третьем - по касательной к орбите.

Описан метод исследования устойчивости приведенных выше стационарных движений, в основе которого лежит теорема В.В.Румянцева [82], [1].

Данная теорема заключается в том, что если для стационарного движения сложной системы измененная потенциальная энергия системы имеет изолированный минимум, то стационарное движение устойчиво.

Достаточными условиями минимума функционала измененной потенциальной энергии W служат условия положительной определенности

второй вариации S2W функционала W. Выражение для S2W представляется в виде трех слагаемых: квадратичного функционала F0 от компонент упругих

перемещений, билинейного функционала ^ относительно компонент упругих перемещений и обобщенных координат у твердого тела и квадратичной формы обобщенных координат у.

Условия положительной определенности представлены в виде двух

независимых групп, первая из которых обеспечивает положительную определенность функционала ^, а вторая представляет собой условия положительной определенности некоторой квадратичной формы и координат у:

и (у) = ^(у) +1 0(у),у),

где и0 (5) - решение краевых задач, получающихся из условий минимума по и функционала ^ + ^ при фиксированных значениях у.

Описанный метод применен к трем указанным выше положениям относительного равновесия.

В каждом из перечисленных выше пунктов выписаны в явном виде выражения для функционалов ^, ^ и квадратичной формы Г2.

Выписаны условия положительной определенности функционала ^. Эти

условия представляют собой условия устойчивости прямолинейной формы стержня и накладывают ограничения сверху на величину угловой скорости стационарного вращения. Также выписаны условия положительной определенности квадратичной формы и , которые представляют другую группу

достаточных условий устойчивости рассматриваемых решений.

Для безмассового стержня указанные условия положительной определенности представлены в явном виде через параметры системы.

Проведен анализ полученных достаточных условий устойчивости, который позволяет оценить влияние деформируемости соединительного стержня на устойчивость движения системы. Также показано, что условие устойчивости всей системы нарушается раньше, чем условие устойчивости прямолинейной формы стержня.

Глава 1. Относительное равновесие твердого тела на вращающемся гибком валу

1.1. Математическая модель системы.

Рассмотрим движение твердого тела, закрепленного на конце гибкого вала, другой конец которого вставлен во вращающийся с постоянной угловой скоростью патрон. Вал представляет собой тонкий нерастяжимый упругий стержень круглого сечения, масса которого учитывается.

Рисунок 1

Будем считать, что никакие внешние силы на систему не действуют.

Введем правые прямоугольные системы координат: неподвижную 0ху1 с началом 0 в указанном патроне; подвижную Мх'у' 1 с началом в другом конце стержня и осями, направленными по главным осям инерции тела относительно точки М (см. Рис. 1).

Пусть ц, ¿2, ц - единичные векторы, направленные по осям х, у, 1; а 1[, 1'2, Съ - по осям х', у', 1 '. Будем считать, что упругий стержень длины I защемлен в твердом теле в точке М. В недеформированном состоянии он расположен вдоль оси 1 (предполагается, что в недеформированном состоянии оси х', у'

параллельны осям х, у соответственно, а ось 1 ' совпадает с осью 1, при этом оси х и у параллельны главным центральным осям инерции поперечного сечения стержня).

Обозначим через и(8, t) = щ^ + и2\2 + и3Ь, 0 < 8 < I, £ > - вектор упругих перемещений точек оси стержня, а через ф( 8, t) - угол поворота сечения стержня. Условие нерастяжимости стержня приводит к соотношению (Лурье А.И., 1961)

' 1 / '2 , г2\ / ! 0и\ ,л л

и3 =~(и1 + и2 ), (и = ) (1.1.1)

2 08

Граничные условия при 8 = 0 имеют вид

и] = 0,и) = 0,ф = 0,ф 1 = 0, г > 1о ] = 1,2 (1.1.2)

Из (1.1.1) следует, что щ - величина второго порядка малости, если за

величины первого порядка малости приняты щ, и2 и и[, и'2. Заметим, что

равенство (1.1.1) представляет собой условие нерастяжимости стержня лишь с точностью до членов второго порядка малости относительно указанных величин.

Радиус-вектор какой-либо точки системы относительно точки 0 обозначим

через г = хЧ + х2Ь + х3Ь. Для точек стержня имеем: г = г0 + w(r0, t), где

w (г0, t) - вектор упругого перемещения точки стержня, положение которой в

недеформированном состоянии стержня определяется радиусом-вектором г0 . Для точек тела г = гм + г, где гм - радиус-вектор конца стержня М, а г -радиус- вектор точки тела относительно точки М .

Матрица перехода от системы координат Мх'у V к системе координат Охуг определяется выражением [41]

В =

1 - 1(и[]+Ф2)

1 , ,

Ф/ и11и21

"Ф/

1 2 1

г г

и1/и2/

1

1 - ^ (Ы21 + Ф/0 1

и2/ и1 / Ф/

и1 / -- и2/Ф/

1 2 1

-и1/ -- и2/Ф/

и2/ +- ии Ф/

1 - 1(ии + и221)

Здесь ф1 = ф(/, г), и^ = и (/, г), у = 1,2.

Радиус-вектор точки М можно представить в виде

ГМ = и1/Ч + и2/Ь + (/ + и31 •

Обозначим через гС = х'с 11 + у'с 1 С + 1 С радиус-вектор центра масс тела С относительно точки М. Далее для простоты будем считать, что X1 = УС = 0. Тензор инерции тела относительно точки О определяется по формуле [41]

0° = 0М + М(ЕГм • Гм - ГмГм) + 2М[ЕГм • гС - 1(ГмгС + г^)] (1.1.3)

Е - единичный тензор, аЬ, а • Ь - диадное и скалярное произведения векторов а и Ь соответственно.

Компоненты тензора инерции тела 0°, необходимые для дальнейшего исследования, имеют вид:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Мустафина, Анастасия Владимировна, 2018 год

Список литературы

1. Морозов В.М., Рубановский В.Н., Румянцев В.В., Самсонов В.А. О бифуркации и устойчивости установившихся движений сложных механических систем // Прикладная математика и механика, Т. 37, № 3, 1973. С. 387-399.

2. Самсонов В.А. О задаче минимума функционала при исследовании устойчивости движения тела с жидким наполнением // Прикладная математика и механика, Т. 31, № 3, 1967. С. 523-526.

3. Самсонов В.А. О некоторых задачах минимума в теории устойчивости движении тела с жидкостью // Математические методы в динамике космических аппаратов, № 6, 1968. С. 250-268.

4. Пожарицкий Г.К., Румянцев В.В. Задача минимума в вопросе об устойчивости движения твердого тела с полостью, заполненной жидкостью // Прикладная математика и механика, Т. 27, № 1, 1963. С. 11-26.

5. Рубановский В.Н. Устойчивость относительного равновесия на круговой орбите твердого тела с упругими стержнями, совершающими изгибно-крутильные колебания // Теоретическая и прикладная механика, Т. 3, № 2, 1972. С. 19-29.

6. Рубановский В.Н. Устойчивость стационарных вращений твердого тела с двумя упругими стержнями // Прикладная механика, Т. 40, № 1, 1976. С. 55-64.

7. Чжао Цзе. Устойчивость стационарных движений механических систем, содержащих деформируемые элементы. М. 2008. 75 с.

8. Чжао Цзе. Устойчивость стационарных движений одной механической системы с деформируемыми элементами // Доклады Академии Наук, Уо1. 418, N0. 6, 2008. рр. 775-776.

9. Морозов В.М., Чжао Цзе. Тез. докл. Междунар. Конгресса «Нелинейный динамический анализ-2007» // Об устойчивости стационарных движений механических систем, состоящих из двух твердых тел, соединенных упругим стержнем. Спб. 2007. С. 156.

10. Морозов В.М., Чжао Цзе. Тезисы конференции «Ломоносовские чтения» // Об устойчивости стационарных движений механической системы, состоящих из

двух твердых тел, соединенных упругим стержнем. 2007. С. 120.

11. Морозов В.М., Чжао Цзе. Труды IX Междунар.Четаевской конференции «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением», посв. 105-летию Н.Г. Четаева // Устойчивость стационарных движений механической системы, состоящих из двух твердых тел, соединенных упругим стержнем. Иркутск. 2007. Т. 2. С. 132-138.

12. Ильинская А.В. Об устойчивости относительного равновесия на круговой орбите одной механческой системы с деформируемыми элементами // Вестник МГУ, № 1, 2014. С. 60-65.

13. Морозов В.М., Ильинская А.В. Устойчивость относительного равновесия космической станции, состоящей из двух тел, соединенных упругим стержнем // Автоматика и телемеханика, № 8, 2013. С. 103-111.

14. Морозов В.М., Ильинская А.В., Чжао Цзе. Устойчивость относительного равновесия твердого тела на вращающемся массивном гибком валу // Математической моделирование, Т. 26, № 10, 2014. С. 19-32.

15. Докучаев Л.В. Нелинейная динамика упругого летательного аппарата // Итоги науки и техники, Т. 5, 1982. С. 135-197.

16. Shabana A. Flexible Multibody Dynamics: Review of Past and Recent Development // Multibody System Dynamics, Vol. 1, 1997. pp. 189-222.

17. Banerjee A.K. Contribution of Multibody Dynamics to Space Flight: A brief Review // J. of Guidance, Control and Dynamics, Vol. 26, No. 2, 2003. pp. 385-394.

18. Simo J.C., Marsden J.E., Krishnaprasad P.S. The Hamiltonian Structure of Nonlinear Elasticity: The Material and Convective Representations of Solids, Rods, and Plates // Archive for Rational Mechanics and Analysis, Vol. 104, 1988. pp. 125183.

19. Simo J.C., Posbergh T.A., Marsden J.E. Stability of coupled rigid body and geometrically exact rods: block diagonalization and the energy-momentum method // Physics Reports, Vol. 193, 1990. pp. 280-360.

20. Simo J.C., Posbergh T.A., Marsden J.E. Stability of relative equilibria. Part II: Application to nonlinear elasticity // Archive for Rational Mechanics and Analysis, Vol. 115, No. 1, 1991. pp. 61-100.

21. Pawar R.S., Sawant S.H. An Overview of Vibration Analysis of Cracked Cantilever Beam with Non-Linear Parameters and Harmonic Excitations // International Journal of Innovative Technology and Exploring Engineering, Vol. 3, No. 8, January 2014. pp. 53-55.

22. Wasfy T.M., Noor A.K. Computational strategies for flexible multibody systems // Appl Mech Rev, Vol. 56, No. 6, 2003. pp. 553-613.

23. Kane T., Ryan R., Banerjee A. Dynamics of a cantilever beam attached to a moving base // Journal of Guidance, Control, and Dynamics, Vol. 10, No. 2, 1987. pp. 139151.

24. London K.W. Comment on 'Dynamics of a cantilever beam attached to a moving base' // Journal of Guidance, Control, and Dynamics, Vol. 12, No. 2, 1989. pp. 284286.

25. Hoa S.V. Vibration of a rotating beam with tip mass // Journal of Sound and Vibration, Vol. 67, No. 3, 1979. pp. 369-381.

26. Bauer H.F. Vibration of rotating uniform beam, Part I: Orientation in the axis of rotation // Journal of Sound and Vibration, Vol. 72, No. 2, 1980. pp. 177-189.

27. Bhat R.B. Transverse vibrations of a rotating uniform cantilever beam with tip mass as predicted by using beam characteristic orthogonal polynomials in the Rayleigh-Ritz method // Journal of Sound and Vibration, Vol. 105, No. 2, 1986. pp. 199-210.

28. Kojima H. Transient vibrations of beam/mass system fixed to a rotating body // Journal of Sound and Vibration, Vol. 107, 1986. pp. 149-154.

29. Bauer H.F., Eidel W. Vibration of a rotating uniform beam, part II: Orientation perpendicular to the axis of rotation // Journal of Sound and Vibration, Vol. 122, No. 2, 1988. pp. 357-375.

30. Yigit A., Scott R.A., Ulsoy A.G. Flexural motion of a radially rotating beam attached to a rigid body // Journal of Sound and Vibration, Vol. 121, No. 2, 1988. pp. 201-210.

31. Gürgoze M. On the dynamical behaviour of a rotating beam // Journal of Sound and Vibration, Vol. 143, 1990. pp. 356-363.

32. Yoo H.H., Shin S.H. Vibration analysis of rotating cantilever beams // Journal of

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

Sound and Vibration, Vol. 212, No. 5, 1998. pp. 807-828.

Chung J., Yoo H.H. Dynamic analysis of a rotating cantilever beam by using the finite element method // Journal of Sound and Vibration, Vol. 249, 2002. pp. 147164.

Shin K., Brennan M.J. Two simple methods to suppress the residual vibrations of a translating or rotating flexible cantilever beam // Journal of Sound and Vibration, Vol. 312, 2008. pp. 140-150.

Yuksel S., Aksoy T.M. Flexural Vibrations of a Rotating Beam Subjected to Different Base Excitations // G.U. Journal of Science, Vol. 22, No. 1, 2009. pp. 3340.

Huang C.L., Lin W.Y., Hsiao K.M. Free vibration analysis of rotating Euler beams at high angular velocity // Computers and Structures, Vol. 88, 2010. pp. 991-1001.

Ansari M., Esmailzadeh E., Jalil N. Exact Frequency Analysis of a Rotating Cantilever Beam With Tip Mass Subjected to Torsional-Bending Vibrations // Journal of Vibration and Acoustics, Vol. 133, No. 4, 2011.

Граммель Р. Гироскоп. Его теория и применение. Т. II. М.: Издательство иностранной литературы, 1952. 318 с.

Бицено К.Б., Граммель Р. Техническая динамика. Т. II. М.-Л.: Гостехиздат, 1952. 630 с.

Магнус К. Гироскоп. Теория и применение. М.: Мир, 1974. 526 с.

Лурье А.И. Аналитическая механика. М.: Физматгиз, 1961. 824 с.

Николаи Е.Л. К теории гибкого вала. Труды по механике. М.-Л.: Гостехиздат, 1955. 419-435 с.

Николаи Е.Л. Теория гироскопов. М.-Л.: Гостехиздат, 1948. 171 с.

Ден-Гартог Д.П. Механические колебания. М.: Физматгиз, 1960. 574 pp.

Морозов В.М. Устойчивость движения космических аппаратов // Итоги науки и техникию. Сер. "Общая механика", Т. I, 1971. С. 5-83.

Modi V.J. Attitude Dynamics of Satellites with Flexible Appendages- A Brief

Review // Journal of Spacecraft and Rockets, Vol. 11, No. 11, 1974. pp. 743-751.

47. Сарычев В.А. Вопросы ориентации искусственных спутников // Итоги науки и техники. Сер. "Исследование космического пространства", Т. 11, 1978. С. 223.

48. Рубановский В.Н. Устойчивость установившихся движений сложных механических систем // Итоги науки и техники, Т. 5, 1982. С. 62-134.

49. Докучаев Л.В. Нелинейная динамика летательных аппаратов с деформируемыми элементами. М.: Машиностроение, 1987. 231 с.

50. Shrivastava S.K., Modi B.J. Satellite attitude dynamics and Control in the presence of environmental torques - a brief survey // Journal of Guidance, Control, and Dynamics, Vol. 6, 1983. pp. 461-471.

51. Nurre G.S., Ryan R.S., Scofield H.N., Sims J.L. Dynamics and Control of Large Space Structures // Journal of Guidance, Control, and Dynamics, Vol. 7, No. 5, 1984. pp. 514-526.

52. Gasbarri P., Monti R., Sabatini M. Very Large Space Structures: Non-Linear Control and Robustness to Structural uncertainties // Acta Astronautica, Vol. 93, 2014. pp. 252-265.

53. Набиуллин М.К. Стационарные движения и устойчивость упругих спутников. Новосибирск: Наука, 1990. 217 с.

54. Челомей В.А. Вибрации в технике: Справочник. Т. 3. М.: Машиностроение, 1981.

55. Филиппов А.П. Колебания деформируемых систем. М.: Машиностроение, 1970. 736 с.

56. Patter S., Manor H. Natural Frequencies of Radial Rotating Beams // Journal of Sound and Vibration, Vol. 56, No. 2, 1978. pp. 175-185.

57. Likins P.W., Barbera F.J., Baddelly V. Mathematical Modelling of Spinning Elastic Bodies for modal Analysis // AIAA, Vol. 11, No. 9, 1973. pp. 1251-1258.

58. Meirovitch L., Calico R. The stability of motion of force-free spinning satellites with flexible appendages // Journal of Spacecraft and Rockets, Vol. 9, No. 4, 1972. pp. 237-245.

59. Meirovitch L. A method for the Liapunov stability analysis of force-free dynamical systems // AIAA, Vol. 9, No. 9, 1971. pp. 1965-1701.

60. Meirovitch L. Liapunov stability analysis of hybrid dynamical systems with multi-elastic domains // International Journal of Non-Linear Mechanics, Vol. 7, No. 4, 1972. pp. 425-443.

61. Bloch A.M. Stability analysis of a rotating flexible system // Acta Applicandae Mathematica, Vol. 15, 1989. pp. 211-234.

62. Posbergh T.A., Krishnaprasad P.S., Marsden J.E. Stability Analysis of a Rigid Body with a Flexible Attachment Using the Energy-Casimir Method // Contemporary Mathematics, Vol. 68, 1987. pp. 253-273.

63. Krishnaprasad P.S., Marsden J.E. Hamiltonian structures and stability for rigid bodies with flexible attachments // Archive for Rational Mechanics and Analysis, Vol. 98, No. 1, 1987. pp. 71-93.

64. Meirovitch L. Stability of spinning body containing elastic parts via Liapunov's direct method // AIAA, Vol. 8, No. 7, 1970. pp. 1193-2000.

65. Meirovitch L., Calico R. A comparative study of stability methods for flexible satellites // AIAA, Vol. 11, No. 1, 1973. pp. 91-98.

66. Докучаев Л.В. Построение областей устойчивого вращения аппарата с упругими штангами // Космические исследования, Т. 7, № 4, 1969. С. 534-546.

67. Чайкин С.В. Устойчивость одноосных нетривиальных равновесных ориентаций на притягивающий центр гиростата с упругим стержнем // Прикладная математика и механика, Т. 6, № 68, 2004. С. 971-983.

68. Чайкин С.В. Устойчивость нетривиальных относительных равновесий гиростата с упругим стержнем с массой на конце // Механика твердого тела, Т. 35, 2005. С. 189-198.

69. Chaikin S.V. Equilibria stability of the satellite as a system with a countable number of degrees of freedom // Acta Astronaut, Vol. 48, No. 4, 2001. pp. 193-202.

70. Докучаев Л.В. Влияние диссипативных моментов, обусловленных вязкостью жидкого тела, на устойчивость вращения космического объекта // Космические исследования, Т. 40, № 1, 2002. С. 42-53.

71. Вильке В.Г., Шатина А.В. Эволюция движения симметричного спутника с гибкими вязкоупругими стержнями в центральном ньютоновском поле сил, Т. 37, № 3, 1999. С. 289-295.

72. Шатина А.В. Эволюция вращательного движения симметричного спутника с гибкими вязкоупругими стержнями // Космические исследования, Т. 40, № 2, 2002. С. 178-192.

73. Moran J.P. Effects of Plane Librations on the Orbital Motion of a Dumbbell Satellite // Aerospace Research Central, Vol. 31, No. 8, 1961. pp. 1089-1096.

74. Sanyal A.K., Bloch A.M., McClamroch N.H. Dynamics of multibody systems in planar motion in a central gravitational field // Dynamical Systems, Vol. 19, No. 4, 2004. pp. 303-343.

75. Sanyal A.K., Shen J., McClamroch H., Bloch A.M. Stability and Stabilization of Relative Equilibria of Dumbbell Bodies in Central Gravity // Journal of Guidance, Control and Dynamics, Vol. 28, No. 5, 2005. pp. 833-842.

76. Simo J.C., Lewis D., Marsden J.E. Stability of relative equilibria. Patr I: The reduced Energy-momentum method // Archive for Rational Mechanics and Analysis, Vol. 115, No. 1, 1991. pp. 15-59.

77. Морозов В.М., Рубановский В.Н. Устойчивость относительного равновесия на круговой орбите твердого тела с деформируемыми стержнями // Известия АН СССР Механика твердого тела, Т. 1, 1974. С. 163-168.

78. Морозов В.М., Рубановский В.Н. Некоторые задачи об устойчивости стационарных движений твердого тела с деформируемыми элементами // Научные труды Института механики Московского университета, № 22, 1973. С. 109-161.

79. Рубановский В.Н. Об устойчивости некоторых движений твердого тела с упругими стержнями и жидкостью // Прикладная математика и механика, Т. 36, № 1, 1972. С. 43-59.

80. Ляпунов А.М. Задача минимума в одном вопросе об устойчивости фигур равновесия вращающейся жидкости // Собрание сочинений, Т. 3, 1959. С. 237360.

81. Ляпунов А.М. Об устойчивости эллипсоидальных форм равновесия

вращающейся жидкости, Т. 3, 1959. С. 5-113.

82. Румянцев В.В. О движении и устойчивости упругого тела с полостью, содержащей жидкость // Прикладная математика и механика, Т. 33, № 6, 1969. С. 946-957.

83. Румянцев В.В. Об устойчивости установившихся движений твердых тел с полостями, наполненными жидкостью // Прикладная механика, Т. 26, 1962. С. 977-991.

84. Моисеев Н.Н., Румянцев В.В. Динамика тела с полостями содержащими жидкость. Москва: Наука, 1965.

85. Румянцев В.В. Некоторые задачи динамики сложных систем // Проблемы прикл. мат. и мех., 1971. рр. 179-188.

86. Вольмир А.С. Устойчивость упругих систем. Москва: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963. 130 рр.

87.

Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1970. 512 с.