Устойчивость стационарных движений механических систем, содержащих деформируемые элементы тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.01, кандидат физико-математических наук Чжао Цзе

• Чжао Цзе
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Чжао Цзе

Введение.

Глава 1. Относительное равновесие твердого тела на вращающемся гибком валу.

1.1. Постановка задачи.

1.2. Относительное равновесие.

1.2.1. Выражение для потенциальной энергии системы.

1.2.2 Уравнения относительного равновесия.

1.3. Устойчивость относительного равновесия.

1.3.1. Условия устойчивости относительного равновесия (1.2.5).

1.3.2. Достаточные условия устойчивости, полученные при помощи оценки функционалов.

Глава 2. Стационарные движения механической системы, состоящей из двух твердых тел, соединенных упругим стержнем, и их устойчивость.

2.1 Постановка задачи.

2.2. Стационарные движения.

2.2.1. Выражение для измененной потенциальной энергии системы.

2.2.2. Уравнения стационарных движений.

2.2.3. Некоторые решения уравнений стационарных движений.

2.3. Устойчивость стационарных движений.

2.3.1. Общие соображения об исследовании устойчивости стационарных движений сложных систем.

2.3.2. Устойчивость решения (2.2.3).

2.3.3. Устойчивость решения (2.2.4).

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Устойчивость стационарных движений механических систем, содержащих деформируемые элементы»

Развитие космической техники выдвигает новые важные задачи об устойчивости- ориентации спутников и космических аппаратов (КА) с упругими и жидкими элементами, такими как упругие штанги гравитационных стабилизаторов, упругие стержни передающих антенн, упругие пластины солнечных батарей, гибкие тросы, баки с запасом горючего и др.

В связи с тенденцией увеличения размеров орбитальных космических систем и уменьшения жесткости их конструкции, а также с повышенными требованиями к точности ориентации составных КА относительно инерциальной или орбитальной системы координат, стали весьма актуальными проблемы нелинейной динамики, устойчивости и стабилизации составных космических систем с учетом деформируемости их отдельных, звеньев.

Деформируемость конструкций, нежесткость КА может существенно изменить характеристики, определяющие устойчивость ориентации системы, и должна учитываться при проектировании систем управления КА. Эти факторы, весьма значительные сегодня, могут стать еще более важными В' будущем, так как конструкция КА все более усложняется.

Ряд систем пассивной гравитационной стабилизации космических объектов основан на изменении распределения масс системы, например, путем разнесения отдельных ее частей на значительные расстояния. Эти изменения способствуют стабилизации ориентации рассматриваемого объекта, однако, они обычно увеличивают деформируемость элементов системы, что может привести не только к значительному уменьшению ожидаемого эффекта стабилизации, но и в отдельных случаях и к дестабилизации движения.

В ряде космических систем используется стабилизация вращением, когда КА вращается относительно какой-либо оси, направленной, например, на Солнце. При этом, как правило, считают, что влияние внешних сил пренебрежимо мало.

Вращательное движение КА относительно „определенной- оси можно использовать также для создания искусственной гравитации.

Исследованию вращательного движения сложных космических систем относительно центра масс (как свободных, так и находящихся под действием сил различной физической природы), имеющих в своем составе упругие и жидкие части, посвящено большое количество работ как в России, так и в других странах. Библиографию работ этого направления можно найти в обзорах В.М.Морозова [16], В.А.Сарычева [36], В.Н.Рубановского [29], Л.В.Докучаева [9], М.З.Литвина-Седого [11], S.K.Shrivastava и BJ.Modi [50], G.S.Nurre, R.S.Ryan, H.N.Scofield, J.L.Sims [47], Shabana A. [49], A.K.Banerjee [40].

Следует отметить, что кроме больших космических конструкций и другие объекты современной техники (гироскопические приборы, центрифуги и т.п.) можно в ряде случаев моделировать механическими системами, состоящими из абсолютно твердых тел и связанных с ними деформируемых (упругих и жидких) тел.

В частности задача об устойчивости вращающегося гибкого вала, несущего на свободном конце твердое тело, широко обсуждалась в литературе [1,2,6,7,12,13,24,25]. При этом предполагалась, что вал невесомый, демпфирующие силы, как правило, отсутствуют, силы тяжести не оказывают влияние на движение; положение системы определяют конечным числом обобщенных координат. Устойчивость стационарного вращения системы, когда вал имеет недеформированную прямолинейную форму, исследовалась на основании линейных уравнений и определялись критические частоты возникающих колебаний.

Указанная задача возникает при изучении движения и устойчивости консольных валов вентиляторов, насосов и т.п.

При изучении систем, содержащих звенья с распределенными параметрами, эти звенья могут быть представлены либо в виде дискретной модели (системы с конечным., числом степенейсвободы), либо в виде непрерывной модели (системы с бесконечным числом степеней свободы), а анализ устойчивости рассматриваемых движений проводится по линеаризованным или нелинейным уравнениям возмущенного движения на основе метода малых колебаний или прямого метода Ляпунова.

Один из распространенных способов дискретизации системы с распределенными параметрами, т.е. представления исходной системы с бесконечным числом степеней свободы в виде упрощенной системы с конечным числом степеней свободы, заключается в замене упругих элементов абсолютно твердыми телами и сосредоточенными массами, соединенными между собой невесомыми упругими связями, упругие свойства которых представляются матрицами жесткости. Изложение этого метода содержится в монографии А.И.Лурье [12].

Другой распространенный способ дискретизации состоит в представлении перемещений упругих элементов системы в виде рядов по собственным функциям свободных колебаний, умноженным на обобщенные координаты, при этом в указанных рядах, как правило, оставляют небольшое число первых членов. Этот метод обычно называют «методом нормальных форм колебаний» [9,10,12,37,41-46].

Оба эти подхода из-за своей ограниченности обладают определенными недостатками и, в частности, не во всех случаях гарантируют устойчивость движения исходной системы.

Далее механические системы, содержащие в качестве своих частей как подсистемы с конечным числом степеней свободы, так и звенья с распределенными параметрами, будем для краткости называть сложными системами [19,29]. В иностранной литературе такие системы иногда называют гибридными [42-44].

Общие интегро-дифференциальные уравнения движения голономных сложных механических систем, содержащих упругие и жидкие тела, и их первые интегралы, впервые получены В.В. Румянцевым[3Or33], и приведены, в обзоре В.Н.Рубановского [29]. В монографии Л.В.Докучаева [10] также изложен вывод общих уравнений движения КА с упругими элементами. Монографии В.Г.Вильке [3,4] посвящены исследованию динамики и устойчивости движения сложных механических систем при наличии диссипативных сил. К этим работам примыкает работа В.Г.Вильке и

A.В.Шатиной [5], в которой рассматривается эволюция вращательного движения симметричного спутника с гибкими вязкоупругими стержнями.

Особый интерес при исследовании сложных систем представляет задача выделения стационарных движений и нелинейного анализа их устойчивости.

B.В.Румянцевым был предложен [15,30,31] строгий общий метод исследования устойчивости стационарных движений твердого тела с жидким наполнением, в основе которого лежат идеи второго метода Ляпунова. В работе [32] В.В.Румянцев распространил этот метод на упругое тело с полостью, содержащей жидкость. Суть предложенного метода состоит в том, что он сводит задачу об устойчивости стационарного движения системы, содержащей звенья с распределенными параметрами, к проблеме минимума функционала измененной потенциальной энергии.

Метод В.В.Румянцева использовали его ученики В.А.Самсонов, В.Н.Рубановский, В.М.Морозов, которые решили ряд конкретных задач об устойчивости стационарных движений сложных систем, содержащих упругие элементы и полости, наполненные жидкостью [17-19,26-28,34,35]. (Подробнее об этом см. Обзор В.Н.Рубановского [29]). Ряд задач об устойчивости стационарных движений упругих спутников содержится в монографии М.К.Набиуллина [23]. Отметим ряд работ непосредственно относящихся к теме диссертации.

В работах В.М.Морозова, В.Н.Рубановского [17,18] и В.М.Морозова, В.Н.Рубановского, В.В.Румянцева, В.А.Самсонова [19], В.Н.Рубановского [26

28] исследована устойчивость относительного равновесия на круговой орбите твердого тела с тремя парами упругих стержней, а также устойчивость равномерного, вращения этой системы при ее движении поинерции. Для. получения достаточных условий устойчивости используются условия положительной определенности второй вариации потенциальной энергии. Достаточные условия устойчивости представлены в явном виде. Показано, что деформируемость стержней приводит к сужению области устойчивости в пространстве параметров. Одно из условий устойчивости накладывает на квадрат угловой скорости орбитального движения или равномерного вращения системы ограничение сверху, связанное с возможностью потери устойчивости прямолинейной формы стержней.

Указанные задачи об устойчивости относительного равновесия и равномерного вращения твердого тела с упругими стержнями, рассматривались также в работах L.Meirovitch [42-44], L.Meirovitch и R.Calico [45,46]. T.R.Robe и T.R.Kane [48] исследовали динамику КА, которые состоят из двух твердых тел, соединенных невесомой упругой связью. Свойства упругости представлялись матрицей жесткости. Анализ устойчивости равномерного вращения при движении системы по инерции проводился по линеаризованным уравнениям возмущенного движения.

При решении задач, рассмотренных во второй главе диссертации, используется именно метод В.В.Румянцева.

В первой главе рассматривается задача об относительном равновесии твердого тела, закрепленного на конце гибкого вала, другой конец которого вставлен во вращающийся с постоянной угловой скоростью патрон. Вал представляет собой тонкий или тонкостенный нерастяжимый упругий стержень круглого сечения, масса которого учитывается. В п. 1.2 составлено выражение для функционала потенциальной энергии П системы, состоящей из потенциальной энергии упругих сил и потенциальной энергии центробежных сил. На основании принципа возможных перемещений, при использовании выражения для первой вариации функционала П, составлены уравнения относительного равновесия для перемещений точек стержня, представляющие собой обыкновенные дифференциальные уравнения четвертогопорядка,а .также соответствующее граничные условия. Указано частное решение этих краевых задач, описывающее равномерное вращение системы вокруг оси, вдоль которой расположен недеформированный стержень.

В п. 1.3 исследуется устойчивость указанного относительного равновесия. Достаточные условия устойчивости этого движения получены как условия положительной определенности второй вариации д2П функционала потенциальной энергии. Составлено уравнение для определения наименьшего собственного значения А* соответствующей краевой задачи. Достаточное условие устойчивости имеет вид Л4 < А4. Это условие накладывает ограничение сверху на угловую скорость вращения системы. Для случая малой массы (но не равной нулю) это уравнение упрощается, и критическое значение угловой скорости выписывается в явном виде. Показано, что это значение не зависит от величины массы стержня.

Проведен параметрический анализ полученных условий устойчивости в зависимости от формы тела, расположения центра масс и отношения массы стержня к массе твердого тела. Полученные результаты сравниваются с результатами, имеющимися в литературе для случая, когда массой вала пренебрегают по сравнению с массой твердого тела.

Применяемый для исследования устойчивости относительного равновесия подход позволяет получать более простые (но более грубые) достаточные условия устойчивости при помощи оценки функционалов, входящих в выражение для второй вариации S2П. В п. 1.3.2 эти оценки произведены и получены в явном виде достаточные условия устойчивости равномерного вращения системы, в которые входит масса стержня. По этим условиям можно оценить вклад, который вносит учет массы стержня в величину критической угловой скорости.

Во второй главе рассматривается задача о стационарных движениях свободной механической системы, состоящей из двух твердых тел, соединенных тонким или тонкостенным нерастяжимым упругим стержнем. Предполагается, что никакие внешние силы на систему не действуют, так что ее центр масс движется прямолинейно и равномерно. Рассматриваемый объект представляет собой сложную механическую систему, имеющую в своем составе подсистему с распределенными параметрами (упругий стержень).

В п. 2.1 введены необходимые системы координат, вектор упругих перемещений стержня, матрица перехода между системами координат, элементы которой выражены через компоненты упругих перемещений точки крепления стержня ко второму телу, выражения для компонент тензора инерции системы для ее центра масс, координаты центра масс системы. Приведено выражение для потенциальной энергии упругой деформации стержня. Отмечено, что рассматриваемая механическая система допускает интеграл энергии и интеграл площадей для плоскости, ортогональной оси вращения.

В п. 2.2 выписано выражение для функционала измененной потенциальной энергии системы W, полученной на основе указанных выше интегралов. В п. 2.2.2 из условия равенства нулю первой вариации SW функционала W получены уравнения стационарных движений и соответствующие граничные условия. Эти уравнения представляют собой совокупность алгебраических уравнений и дифференциальных уравнений четвертого порядка относительно компонент упругих перемещений.

В п. 2.2.3 указаны два частных решения уравнений стационарных движений. Первое решение описывает равномерное вращение исследуемой механической системы с произвольной угловой скоростью вокруг оси, вдоль которой расположен недеформированный стержень. Второе решение описывает равномерное вращение системы с произвольной угловой скоростью вокруг оси, которая ортогональна оси, вдоль которой расположен недеформированный стержень.

В п. 2.3 исследуется устойчивость указанных стационарных движений^ В п. 2.3.1 приведены общие соображения об исследовании устойчивости стационарных движений сложных механических систем, содержащих звенья с распределенными параметрами. Приведена теорема В.В.Румянцева об устойчивости, сводящая задачу об устойчивости стационарных движений сложных механических систем к проблеме минимума функционала измененной потенциальной энергии W. Достаточными условиями минимума

W служат условия положительной определенности второй вариации 82W функционала W. Выражение для 82W представляется в виде трех слагаемых: квадратичного функционала F0 от компонент упругих перемещений, билинейного функционала Fx относительно компонент упругих перемещений и обобщенных координат q твердого тела и квадратичной формы F2 координат q.

Условия положительной определенности S2W представлены в виде двух независимых групп, первая из которых обеспечивает положительную определенность функционала F0, а вторая представляет собой условия положительной определенности некоторой квадратичной формы U координат q

U(g) = F2(g)+^Fl(u\q) где и0 (s) - решение краевых задач, получающихся из условий минимума по и функционала F0 + Fx при фиксированных значениях q.

В п. 2.3.2 эти общие соображения применены к исследованию устойчивости первого стационарного движения. Выписано в явном виде выражение для второй вариации d2W и соответствующие выражения для функционалов F0, F{ и квадратичной формы F2. Из условий минимума функционала F0+ Fx получены соответствующие краевые задачи для переменных и\, и2 ^.Уравнения этих краевых задач - обыкновенные дифференциальные уравнения 4-го порядка с постоянными коэффициентами, решения которых можно получить в явном виде. На основании этих решений получено выражение для квадратичной формы U(yx,y2), условия положительной определенности которой представляют одну из групп достаточных условий устойчивости рассматриваемого решения. Вторая группа условий устойчивости, представляющая собой условия положительной определенности функционала F0, получена при определении наименьших собственных значений соответствующих краевых задач. Эти условия представляют собой условия устойчивости прямолинейной формы стержня и. накладывают ограничения сверху на величину угловой скорости стационарного вращения. Условия положительной определенности U показывают, что деформируемость стержня, соединяющего два твердых тела, приводит к сужению условий устойчивости по сравнению с системой той же конфигурации, состоящей из недеформируемых элементов.

Далее в п. 2.3 показано, что при помощи оценки снизу функционала F0 можно получить более простые, но более жесткие достаточные условия устойчивости.

В п.2.3.3 проведено исследование устойчивости второго решения. Выписано в явном виде выражение для второй вариации 82W и соответствующие выражения для функционалов Fq,Fxk квадратичной формы

F2. В этом случае функционал F0 имеет более сложный вид.

Соответствующие краевые задачи оказываются более сложными (дифференциальные уравнения являются уравнениями с переменными коэффициентами). Поэтому для получения явных выражений для условий устойчивости сделаны соответствующие оценки функционалов. Выписаны достаточные условия устойчивости рассматриваемого решения и обсуждены некоторые частные случаи.

Анализ,всехполученныхдостаточных условий устойчивости исследуемых стационарных движений позволяет оценить влияние деформируемости и массы соединительного стержня на устойчивость движения системы.

В заключении приведены основные результаты диссертации.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая механика», Чжао Цзе

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе единообразным строгим способом исследованы задачи об устойчивости относительного равновесия твердого тела на массивном гибком валу и стационарных движений свободной механической системы, состоящей из двух твердых тел, соединенных гибким массивным стержнем.

Получены уравнения относительного равновесия твердого тела на вращающемся гибком валу из равенства нулю первой вариации функционала потенциальной энергии системы. Указано частное решение этих уравнений, описывающее равномерное вращение системы вокруг оси, вдоль которой расположен недеформированный стержень.

Получены достаточные условия устойчивости указанного равномерного вращения из условий положительной определенности второй вариации функционала потенциальной энергии системы. Эти условия накладывают ограничения сверху на величину угловой скорости равномерного вращения и позволяют оценить влияние массы стержня и его дефомируемости на величину критической угловой скорости.

Получено выражение для функционала измененной потенциальной энергии системы, состоящей из двух твердых тел, соединенных гибким массивным стержнем. Получены уравнения стационарных движений системы. Указаны два частных решения, описывающих равномерные вращения недеформированной системы в различных конфигурациях.

Получены достаточные условия устойчивости указанных равномерных вращений из условий положительной определенности второй вариации функционала измененной потенциальной энергии системы.

Условия положительной определенности второй вариации функционала измененной потенциальной энергии системы представлены в виде двух независимых групп при помощи специального разбиения. Первая обеспечивает положительную определенность квадратичного функционала, характеризующего деформируемость системы, вторая представляет условия положительной определенности квадратичной формы, которая определяет характер устойчивости системы с учетом ее деформируемости.

Получены более простые (но более грубые) достаточные условия устойчивости указанных равномерных вращений при помощи оценки соответствующих функционалов, которые позволяют в явном виде оценить влияние массы стержня и его деформируемости на устойчивость системы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Чжао Цзе, 2008 год

1. Арнольд Р.Н., Мондер J1. Гиродинамика и ее техническое применение. М.: Машиностроение. 1964. 468с.

2. Биценко К.Б., Граммель Р. Техническая динамика. Т.П. M.-JI. Гостехиздат.1952. 630с.

3. Вильке В.Г. Аналитические и качественные методы механики систем с бесконечным числом степеней свободы. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1986. 192с.

4. Вильке В.Г. Аналитическая механика систем с бесконечным числом степеней свободы. М.: Изд-во мех-мат. ф-та МГУ, 1997.

5. Вильке В.Г., Шатина А.В. Эволюция движения симметричного спутника с гибкими вязкоупругими стержнями в центральном ньютоновском поле сил. Косм, исследования, 1999. т. 37. Вып. 3. С. 289-295.

6. Граммель Р. Гироскоп. Его теория и применение. Т. II. М.: Изд-во иностр. лит-ры. 1952. 318 с.

7. Гробов В.А., Кантемир И.И. Устойчивость стационарных движений свободного твердого тела с расположенным на упругом валу ротором. Прикл. механика. 1978. Т. XIV, №4. С.85-03.

8. Докучаев JI.B. Построение областей устойчивого вращения аппарата с упругими штангами. Косм, исследования, 1969. т. 7. Вып. 4. С. 534-546.

9. Докучаев JI.B. Нелинейная динамика упругого летательного аппарата. Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Сер. «Общая механика». 1982, Т.5. С. 135197.

10. Докучаев JI.B. Нелинейная динамика летательных аппаратов с деформируемыми элементами. М: Машиностроение. 1987. 231с.

11. Литвин Седой М.З. Механика систем связанных твердых тел. Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Сер. «Общая механика». 1982. Т.5. С. 3-61.

12. Лурье А.И. Аналитическая механика. М.: Физматгиз. 1961. 824с.

13. Магнус К. Гироскоп. Теория и применение. М.: Мир. 1974. 526с.

14. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука. 1970. 512с.

15. Моисеев Н.Н. , Румянцев В.В. Динамика тела с полостями, содержащими жидкость. М.: Наука. 1965. 439с.

16. Морозов В.М. Устойчивость движения космических аппаратов. Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Сер. «Общая механика». 1971. Т. 1. С. 5-83.

17. Морозов В.М., Рубановский В.Н. Некоторые задачи об устойчивости стационарных движений твердого тела с деформируемыми элементами. Научн. труды Ин-та мех. Моск. ун-та. 1973. №22. С. 109-161.

18. Морозов В.М., Рубановский В.Н. Устойчивость относительного равновесия на круговой орбите твердого тела с деформируемыми стержнями. Изв. АН СССР Мех. тверд, тела. 1974. №1. С. 163-168.

19. Морозов В.М., Рубановский В.Н., Румянцев В.В., Самсонов В.А. О бифуркации и устойчивости установившихся движений сложных механических систем. Прикл. мат. и мех. 1973 Т. 37. №3. С.387-399.

20. Морозов В.М., Чжао Цзе. Об устойчивости стационарных движений механических систем, состоящих из двух твердых тел, соединенных упругим стержнем. Тез. докл. Междунар. Конгресса «Нелинейный динамический анализ-2007». Спб. 2007. С. 156.

21. Морозов В.М., Чжао Цзе. Об устойчивости стационарных движений механической системы, состоящих из двух твердых тел, соединенных упругим стержнем. Тез. конф. «Ломоносовские чтения». М.: Изд-во Моск. унта. 2007. С. 120.

22. Набиуллин М.К. Стационарные движения и устойчивость упругих спутников. Новосибирск: Наука. 1990. 217с.

23. Николаи E.JI. Теория гироскопов. M.-JI. Гостехиздат. 1948. 171с.

24. Николаи E.JI. К теории гибкого вала. Труды по механике. M.-JI. Гостехиздат. 1955. С. 419-435.

25. Рубановский В.Н. Об устойчивости некоторых движений твердого тела с упругими стержнями и жидкостью. Прикл. мат. и мех. 1972. Т. 36. №1. С.43-59.

26. Рубановский В.Н. Устойчивость относительного равновесия на круговой орбите твердого тела с упругими стержнями, совершающими изгибно-крутильные колебания. Теор. и прикл. мех. 1972. Т. 3. №2. С. 19-29.

27. Рубановский В.Н. Устойчивость стационарных вращений твердого тела с двумя упругими стержнями. Прикл. мат. и мех. 1976. Т. 40. №1. С. 55-64.

28. Рубановский В.Н. Устойчивость установившихся движений сложных механических систем. Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Сер. «Общая механика». 1982. Т.5. С. 62-134.

29. Румянцев В.В. Об устойчивости установившихся движений твердых тел с полостями, наполненными жидкостью. Прикл. мат. и мех. 1962. Т. 26. №6. С. 977-991.

30. Румянцев В.В. Методы Ляпунова в исследовании устойчивости движения твердых тел с полостями, наполненными жидкостью. Изв. АН СССР. Мех. и машиностроение. 1963. №6. С. 119-140.

31. Румянцев В.В. О движении и устойчивости упругого тела с полостью, содержащей жидкость. Прикл. мат. и мех. 1969. Т. 33. №6. С. 946-957.

32. Румянцев В.В. Некоторые задачи динамики сложных систем. В сб. Проблемы прикл. мат. и мех. М. 1971. С. 179-188.

33. Самсонов В.А. О задаче минимума функционала при исследовании устойчивости движении тела с жидким наполнением. Прикл. мат. и мех. 1967. Т. 31. №3. С. 523-526.

34. Самсонов В.А. О некоторых задачах минимума в теории устойчивости движении тела с жидкостью. В сб. Математические методы в динамике космических аппаратов. Вып.6. М. ВЦ АНСССР. 1968. С.250-268.

35. Сарычев В.А. Вопросы ориентации искусственных спутников. Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Сер. Исследование космич. пространства. 1978. Т.Н. 223с.

36. Филиппов А.П. Колебания деформируемых систем. М.: Машиностроение. 1970. 736с.

37. Чжао Цзе. Относительное равновесие твердого тела на вращающемся гибком валу. Тез. конф. «Ломоносовские чтения». М.: Изд-во Моск. ун-та. 2006. С. 146.

38. Чжао Цзе. Устойчивость стационарных движений механической системы с деформируемыми элементами. Доклады Академии Наук, 2008, Т. 418. №6. С.1-2.

39. Banerjee А.К. Contribution of Multibody Dynamics to Space Flight: A brief Review. J. of Guidance, Control and Dynamics. 2003. V.26. №3. P. 385-394.

40. Meirovitch L., Calico R. The stability of motion of force-free spinning satellites with flexible appendages. J. Spacecraft and Rockets. 1972. V. 9. № 4. P. 237-245.

41. Meirovitch L., Calico R. A comparative study of stability methods for flexible satellites. AIAA J. 1973. V. 11. №1 P. 91-98. (Перевод: Мирович Л.,

42. Калико Р. Сравнение методов исследования устойчивости для нежестких спутников. РТ и К. 1973. Т. 11. № 1. С. 108-117).

43. Robe T.R., Kane T.R. Dynamics of an elastic satellite. Part I, II, III. Int. J. Solids and Struct. 1967. V. 3. PP. 333-352, 691-703, 1031-1051.

44. Shabana A. Flexible Multibody Dynamics: Review of Past and Recent Development. Multibody System Dynamics. V.l. Kluwer Academic. Dordrecht. 1997. P. 189-222.

45. Shrivastava S.K., Modi B.J. Satellite attitude dynamics and Control in the presence of environmental torques a brief survey. J. of Guidance, Control and Dynamics. 1983. V.6. P.461-471.