Устойчивость обратного стохастического дифференциального уравнения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Захаров, Алексей Владимирович

• Захаров, Алексей Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Захаров, Алексей Владимирович

1 Введение

2 Теорема устойчивости решения обратного стохастического дифференциального уравнения (ОСДУ)

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Устойчивость обратного стохастического дифференциального уравнения»

Теория обратных стохастических дифференциальныех уравнений (везде далее будем использовать сокращение ОСДУ) представляет собой сравнительно молодую область математики, которая начала развиваться в девяностых годах. ОСДУ в общем случае введены в 1990 году в работе [10]. Решением ОСДУ, рассматриваемого на отрезке времени [0,Т], является пара адаптированных процессов Y, Z, принимающих значения в пространствах Kd и соответственно, и удовлетворяющих уравнению: dYt = f(Yt, Zt)dt + ZtdWt, YT = (1) где

1. на вероятностном пространстве Р) задан n-мерный винеров-ский процесс Wt, порождающий фильтрацию {^Ft}t>Q]

2. случайная величина £ измерима относительно ег-алгебры Ft и выполнено условие Е£2 < оо;

3. функция / : R2 —> R удовлетворяет условиям Липшица по обоим аргументам, то есть f(y,z)-f(y\z')\<L(\y-y'\ + \z-z'\).

Заметим, что если отбросить терминальное условие в (1) и задать случайный процесс Zt и начальное условие Yq, то (1) будет представлять собой обычное (прямое) стохастическое дифференциальное уравнение. Таким образом, чтобы решить ОСДУ, необходимо подобрать случайную величину Yq и случайный процесс чтобы решение прямого СДУ в момент времени Т совпало почти наверное с граничным условием Ут — Вообще говоря, не очевидно, всегда ли можно так выбрать Yq, Zt. Ответ на этот вопрос дает следующая:

Теорема (существование и единственность решения О СДУ) В указанных выше предположениях решение (1) существует и единственно.

В данной работе всюду будут рассматриваться одномерные ОСДУ, то есть п = d = 1.

Укажем также на важную для понимания природы ОСДУ взаимосвязь решения ОСДУ с нелинейными параболическими уравнениями второго порядка. Допустим, что терминальное условие £ представимо в виде = ri{WT), (2) где г] — скалярная функция числового аргумента. Тогда решение Y, Z уравнения (1) представимо в виде

Yt = u(t,Wt), г? du(t,x) I где функция u(t, х) является решением следующего нелинейного параболического уравнения: du{t,x) , 1 d2u(t,x) г / /, ч Эц(*,з:)\ dt 2 дх2 J у \ ■> ) 1 gx J 1 ^^ и(Т,х) = ф).

Всюду в дальнейшем будем предполагать, что условие (2) выполнено.

Теория ОСДУ имеет множество различных применений, например, проблемы ценообразования и хеджирования опционов [11], решения стохастических дифференциальных игр [4]. Обзор применений теории ОСДУ для решения проблем финансовой математики может быть найден в работе [5]. Линейные ОСДУ возникают естественным образом при формулировании аналога принципа максимума Понтрягина для задач управления стохастическими дифференциальными уравенниеями [12]. В общем случае ОСДУ не может быть решено в аналитическом виде, поэтому представляет интерес построение эффективных численных методов решения ОСДУ

Теория численного решения прямых СДУ исследована достаточно хорошо (см. [6]). Для численного решения ОСДУ несколькими авторами разработаны различные вариации схемы Эйлера. Основные сложности на этом пути как правило оказывались связанными не с построением численного метода, а с обоснованием того факта, что аппроксимация в том или ином смысле сходится к решению ОСДУ.

В работах [8], [3] разработаны численные методы для решения уравнения вида т т

Yt = Z-f f(s, Ya)ds - J Z8dWSj YT = t t где Wt — винеровский процесс, а второй интеграл понимается в смысле Ито.

Рассмотрим следующую дискретизацию времени tj = -Т, j = 0, .,п.

Введем следующие обозначения: пусть М3, j = 0, .,п, — процесс случайного блуждания, выходящий из нуля, приращения которого независимы и с вероятностью 1/2 принимают значения Т/у/п и —Т/л/п Пара случайных переменных Y3, Z3 является аппроксимацией Ут3, Ztj значения решения в момент времени t3. Пусть, кроме того, Т3 — фильтрация, порожденная набором случайных величин (АМ\,., АМ3)

В этих обозначениях схема, построенная в работе [8], может быть записана в виде:

7"1 71—1 П-1

Ъ " - £ ~ £ Z3AM3+1. п j=i 3=г

То же самое можно записать и в рекуррентном виде:

Y, = e{Yj+1-^f

Нетрудно видеть, что на каждой итерации в каждом узле пространственной сетки приходится решать нелинейное уравнение относительно Уг. Для этой цели авторами предлагается использовать метод сжимающих отображений, сходящийся геометрически со скоростью LT/n < 1. В частности, авторами предлагается использовать в качестве приближения вторую итерацию метода сжимающих отображений. Численный метод принимает вид: п = £(М<п); Zn = О,

Хз = > yj — xj - nfttl'xj)'

Z3= E {(Y3+1 - If(t3,Y3) - Y3)(AM3+l)-^} .

Слабая сходимость в топологии Скорохода случайных процессов с кусочно постоянными траекториями, порожденных аппроксимацией 5

Yj, E ZjAMj+i ) , к решению (Y, Z) ОСДУ показана в предположениях 1=1 J липшицевости функции /(■,•) и липшицевости терминального условия £ в том смысле, что почти всюду выполнено равенство

М-£М1<К sup |u;(i)-u/(*)|, «е[о,г] где а; — траектория винеровского процесса, к — константа.

Заметим, что численный метод допускает терминальное условие зависящее существенным образом от всей траектории винеровского процесса Wt, а не только от Wt- Однако в этом случае необходимо в каждый момент времени вычислять Y3 в 23 точках (для каждой траектории случайного процесса М до момента времени j) даже в одномерном случае, что делает алгоритм практически нереализуемым из-за вычислительной сложности. Но если применять алгоритм для решения ОСДУ с терминальным условием £ = r)(Wr), то можно вычислять аппроксимацию решения Yj только для всех значений М3, а не для всех его траекторий М<„ что делает алгоритм значительно менее трудоемким.

В статье [3] условие £ = г)(Wt) предполагается выполненым изначально. В этой работе показано, что для полученной после проведения дискретизации времени аппроксимации

Уп = v(wn), . (6) Y3 = 1 - hf(tJ+uYj+i)\Fj] при некоторых технических предположениях выполнены оценки

У0 - Y0\ < КТ/п, где К — некоторая константа.

В отличие от работы [8], чтобы избежать роста количества состояний Wt при увеличении j (и, соответственно, уменьшить вычислительную сложность алгоритма) автором предлагается использовать в качестве пространственной сетки случайную выборку. Однако такое сокращение вычислительной сложности ведет и к невысокой скорости сходимости алгоритма: для пространственной сетки из N элементов погрешность метода ведет себя как

Заметим, что Уо — случайная величина, так как метод использует в качестве пространственной дискретизации случайную выборку некоторого распределения. Таким образом, чтобы увеличить точность в к раз, необходимо увеличить количество узлов временной сетки в к раз и количество точек множества в к2 раз, то есть совершить в к3 раз больше вычислительной работы. Такую скорость сходимости, конечно, нельзя признать удовлетворительной, и введение в качестве сетки случайно выборки вряд ли дает выигрыш с вычислительной точки зрения по сравнению с численным методом, разработанным в [3].

Однако оба рассмотренных выше метода разработаны только для функции /(•), не зависящей от процесса Z. Случаю, когда /(•) зависит от процесса Z, посвящена работа [2]. Здесь аппроксимация уравнения в дискретном времени записывается в виде

ЦП-loll <C(T/n + n/N).

Yj = Yj+1 - -/Й, Zj) - -ZjAMj+i, где M — процесс случайного блуждания, умноженный на

В каждый момент времени сначала вычисляется значение аппроксимации процесса Z: тем же образом, как это делалось в работе [8].

Для этого метода показана сходимость аппроксимации к решению в следующем смысле:

В работе [9] проблема численного решения несколько более общего класса прямых-обратных СДУ сводится к задаче решения нелинейного параболического уравнения.

Все упомянутые выше работы (кроме [9]) содержат в сущности различные реализации схемы Эйлера для решения ОСДУ. Скорость сходимости оценивалась только в работе [3] и оказалась невысокой. Более того, для случая, когда терминальное условие £ зависит от поведения винеровского процесса на всем отрезке времени [О, Т] не было предложено удовлетворительных с практической точки зрения алгоритмов, так как задача является вычислительно чрезвычайно сложной. Поэтому в данной диссертации рассматривается случай £ = v(Wt), допускающей с одной стороны численное решение за приемлемое время и представляющий практический интерес.

Все предложенные в этих работах методы не могут быть признаны удовлетворительными из-за низкой скорости сходимости, связанной с

Аппроксимацию У} для j = n — 1, п — 2, .,1,0 можно найти, например, для всех б > 0. тем, что в основе описанных методов лежит аналог схемы Эйлера. В отличие от теории прямых стохастических дифференциальных уравнений, методы более высокого порядка точности на сегодняшний день отсутствуют.

Перейдем к краткому изложению содержания диссертации. Во введении раскрываются цели работы и отражается ее актуальность.

Первая глава посвящена вопросу устойчивости решения ОСДУ. Напомним, что если выполнено условие (2) то решение ОСДУ представимо в виде (3), где функция u(t,x) является решением уравнения (4).

Рассмотрим непрерывную, всюду дважды дифференцируемую по переменной х функцию v(t,x). Под приближением решения ОСДУ будем понимать пару случайных процессов V, G, определенных следующими соотношениями:

У J (7)

Г* dv(t,x) |

Соответствующей этому приближению стохастической невязкой ф будем называть следующий случайный процесс: т т

Фг = VT - Vt - J f(Vu Gt)dt - J GtdWt. t t

Заметим, что случайный процесс ф тождественно равен нулю тогда и только тогда, когда пара (V, G) является точным решением ОСДУ

В работе показано, что процесс ф единственным образом разложим в следующем виде: т lH = 9(t,Wt)+ J M{t,Wt)dWu t где д(Т,х) = О Ус.

Используя единственность этого разложения, определим понятие нормы для процесса стохастической невязки:

Рассмотрим некоторую аппроксимацию решения ОСДУ, порожденную функцией v(t, х). Пусть точное решение ОСДУ представимо в виде (3). Пусть для этой аппроксимации при всех х выполнены следующие оценки в конечный момент времени Т:

Устойчивость ОСДУ в диссертации понимается следующим образом: если в момент времени Т два решения ОСДУ близки друг к другу вместе со своими производными по пространственной переменной, то это свойство сохранится для всех t < Т. Заметим, что требование близости производных по пространственной переменной существенно, так как функция f(Y, Z) зависит от этой производной.

Пусть помимо условия (27) имеет место неравенство: max х \g(t, ж)|, max |M(i, ж)| v(T,x)-u(T,x)\ <С2,

I dv(T,x) du(T,x) I ^ ri \ dx dx \ — 3

8)

M < Ci.

9)

Тогда при условии некоторых технических предположений верна оценка: u(t,x)-v(t,x)\ < С2 + С\(2Е — 2)+ [(2L(VT + + L] (С2 + С3)(Т - t), 9^)! < Сз + Ci{2E 2) + \^КСз{ЗС4 + Сз) + 2Ltc3+

LC3 + 2С2КСА + (2L(VT + 4l))2E{C2 + С3)] (T-t),

Таким образом условие (26) гарантирует, что аппроксимация, порожденная функцией v(t,x), хорошо приближает решение ОСДУ.

Первая глава содержит формулировку и доказательство этого результата.

Вторая глава посвящена построению численного метода для однородного ОСДУ, т.е. для случая, когда /(У, Z) = 0.

Напомним, что предполагается выполненным условие (2). Предположим, что функция г](х) на отрезке [do, dpj] представима в виде четырежды непрерывно дифференцируемого сплайна пятого порядка с узлами do, di,., d^f.

Рассмотрим на множестве [с?о,с?т] х [0, Т"] следующую функцию двух переменных:

Она может быть интерпретирована как разложение Тейлора по времени точного решения в функциональном пространстве. где 2

Е — ехр 2Цл/Т+л -)VT-t . w(t,x) = rj(x) + ^l(T-t)/2 +

Для успешного построения численного метода необходимо, чтобы алгоритм позволял сделать несколько итераций по времени. В данном же случае функция w(t,x), хоть и представима в кусочно-полиномиальном виде, не обязательно будет всюду четырежды непрерывно дифференцируемой по переменной х при t = 0, что препятствует проведению следующей итерации аналогичным образом. Таким образом, для построения аппроксимации решения необходимо модифицировать функцию w(t,x) так, чтобы она стала четырежды непрерывно дифференцируемой при t = 0 по переменной х функцией, но при этом оставалась бы сплайном пятого порядка с теми же узлами. Кроме того, модификация должна в некотором смысле быть минимальной, так как это позволяет построить высокоэффективный метод.

Функция «;(0, х) имеет разрывы первой рг и третьей ql производной по переменной х во внутренних узлах di,., d/v-i, удовлетворяющие соотношениям:

Пусть d\ — do = — d\ = . = djy — = А. Рассмотрим функцию, определенную на отрезке [О, 2Д]: где коэффициенты а, Р, 7 выбираются таким образом, чтобы скачки первой и третьей производной удовлетворяли бы тому же отношению (10), что и соответствующие скачки производных функции ги(0,ж). дг = Трг/4, % = l,.,iV 1.

10) д{х) = < ах + (Зхъ + 7ж5, для х € [0, А], а(2А - х) + /?(2Д - xf + 7(2Д - ж)5, для х G [Д, 2Д],

Определим набор функций дг(х), г = 0,., ./V — 2, с помощью сдвига функции д(х) следующим образом: дг(х) = д(х - гД), для х в [гД, (г + 2)Д], gt(x)= 0, для ж ф [гД,(г + 2)Д].

Определим аппроксимацию решения ОСДУ в начальный момент времени:

N-2 v(x) = w(О, х) + Y, Ъ9г{х), (11) г=0 где коэффициенты 7г выбираются так, чтобы функция v(x) была бы четырежды непрерывно дифференцируема по переменной х на множестве [d0,dN].

Кроме того, во второй главе исследуется вопрос устойчивости численного метода и вопрос о переходе от задачи на всем пространстве R1 к задаче на некотором отрезке с граничными условиями на его концах.

Третья глава диссертации посвящена построению численного метода для неоднородного ОСДУ и применению теоремы устойчивости решения ОСДУ, полученной в первой главе, для обоснования сходимости численного метода как в однородном, так и в неоднородном случае.

Для случая однородного ОСДУ обозначим через г(х) добавку из (76), с помощью которой корректируется решение, то есть:

N-2

Г(х) = J2 Ъ9г{х). г=0

Определим функцию v(t,x) следующим образом:

-С*.-) - .*.) + ^(Г - 0/2 + рё^8 + Е™ w) (Т - *)'■

Рассмотрим приближение решения ОСДУ, порожденное функцией v(t, х) по формулам (13). Процесс стохастической невязки, соответствующий этому приближению, примет вид: т

А = v(T, WT) ~ v(f, Wt) - j vx(t, x)dWT. t

Вспоминая, что v(T, x) и v(t, x) - сплайны пятого порядка по переменной ж, и преобразуя слагаемые, содержащие Wt получим, что 2 (12) M{t,x) = d-^{T-t)\

Соотношение (12) позволяет оценивать порядок малости нормы стохастической невязки. В частности, если шаг временной сетки убывает пропорционально квадрату шага пространственной сетки, то

IHI = о(т2д2), где Д - шаг пространственной сетки, Т - шаг сетки по времени. Таким образом после совершения 1 /Т шагов по времени, используя теорему устойчивости решения ОСДУ, можно оценить погрешность аппроксимации решения ОСДУ как 0(Д2Т) = 0(Д4).

Кроме того, в третьей главе диссертации содержится описание алгоритма решения ОСДУ в неоднородном случае и его обоснование с помощью теоремы о устойчивости решения ОСДУ. Идея доказательства сходимости сходна с однородным случаем и основана на малости нормы процесса стохастической невязки.

Четвертая глава содержит три примера, иллюстрирующие работу алгоритма приближенного решения ОСДУ. h(t,x) = r(x)(T-t)

В первом примере рассматривается простейшая задача приближенного решения однородного ОСДУ. Здесь показано, что реальная скорость сходимости метода согласуется с теоретической.

Во втором примере рассматривается задача управления линейным стохастическим дифференциальным уравнением с квадратичным функционалом, допускающая представление решения в виде квадратичной формы в каждый фиксированный момент времени, коэффициенты которой находятся с помощью уравнения Риккати. Это позволяет продемонстрировать эффективность метода, оценив погрешность приближенного решения.

Третий пример посвящен проблеме ценообразования производных финансовых инструментов в условиях модели типа Блека-Шоулса с различными ставками размещения и привлечения средств. Эта задача, рассматриваемая в работах [5], [13], приводит к решению существенно нелинейного ОСДУ.

В заключении, я бы хотел выразить благодарность своему научному руководителю Сергею Николаевичу Смирнову за постановку задачи и обсуждение результатов и академику РАН Александру Борисовичу Кур-жанскому за внимание к работе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Захаров, Алексей Владимирович, 2003 год

1. Bally V. Approximation scheme for solution of BSDE, Backward stochasticdifferential equations // Pitman res. Notes Math. Ser. 1997. Vol.364. P.177-191.

2. Briand Ph., Delyon В., Memin J. Donsker-type Theorem for BSDEs // Electronic

3. Communications in Probability. 2001. Vol.6. P.1-14.

4. Chevance D. Discretization of Pardoux-Peng's backward stochastic differentialequations // Applied Stochastics and Optimisation. Proceedings of ICIAM 95. 1996.

5. O. Mahrenholtz, K. Marti, R. Mennicken (eds.) Numero special de Zeitschrift fur

6. Angewandte Mathematik und Mechanik. 3, Akademie Verlag. P.323-326.

7. Hamadene S., Lepeltier J.P. Zero-sum stochastic differential games and backwardequations // System and Control Letters. 1995. Vol.24. P.259-263.

8. El Karoui N., Quenez M.C. Nonlinear pricing theory and backward stochasticdifferential equations // In: Financial Mathematics, Lecture Notes in Math. 1997. 1. Vol.1656. P.191-246.

9. Kloeden P.E., Platen E. Numerical solution of Stochastic Differential Equations.1. Springer-Verlag, 1992.

10. Kurzhanskii A.B. On the solutions sets for uncertain systems with phase constraints,in// Stochastic optimization (ed. V. Arkin, A. Shiryaev, R Wets). 1986. Lecture notes in Control and Information Science, Vol. 81, Springer-Verlag

11. Ma J., Protter P., Martin J., Torres S. Numerical Method for Backward Stochastic

12. Differential Equations // Annals of Applied Probability. 2002. Vol.12, N1. P. 302316.

13. Ma J., Protter P., Yong J. Solving forward-backward stochastic differentialequations explicitly - a four step scheme // Probability Theory and Related Fields. 1994. Vol.98, N3. P.339-359.

14. Pardoux E., Peng S.G. Adapted Solution of a Backward Stochastic Differential

15. Equation // System and Control Letters. 1990. Vol.14. P.55-61.

16. Rouge R., El Karoui N. Pricing via utility maximization and entropy //

17. Mathematical Finance. 2000. Vol.10, N2. P.259-276.

18. Аркин В.И., Саксонов М.Т. Необходимые условия оптимальности в задачахуправления стохастическими дифференциальными уравнениями // Доклады

19. РАН. 1979. 244, N 1. стр. 11-15.

20. Волков Н., Крамков Д. О. О методолгии хеджирования опционов // Обозрениеприкладной и промышленной математики. 1997. Т. 4, вып. 1, стр. 18-65.

21. Захаров А.В. Теорема устойчивости решения обратного стохастического дифференциального уравнения // Принято к публикации в журнале Доклады РАН.

22. Захаров А.В. Об устойчивости решения обратного стохастического дифференциального уравнения // Вычислительные методы и программирование. 2003. Т.4, стр. 327-335.

23. Захаров А.В. Об одном методе приближенного решения обратного стохастического дифференциального уравнения // Вычислительные методы и программирование. 2003. Т.4, стр. 336-347.

24. Куржанский А.Б. О вычислении оптимального управления в системе с неполнойинформацией// Дифференциальные уравнения. 1965. Т.1, N3, стр. 360-373.

25. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики, 5-е изд. М.,1. Наука, 1977.

26. Флеминг У, Ришел Р. Оптимальное управление детерминированными и стохастическими системами. М., Мир, 1978.

27. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики, М., ФАЗИС,1998.