Сходимость проекционно-разностных методов приближенного решения квазилинейных параболических уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Сотников, Денис Сергеевич

• Сотников, Денис Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Сотников, Денис Сергеевич

ВВЕДЕНИЕ

§1. ЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ СХОДИМОСТЬ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ С НЕСИММЕТРИЧНОЙ ФОРМОЙ ПО СПЕЦИАЛЬНЫМ ПРОЕКЦИОННЫМ ПОДПРОСТРАНСТВАМ

1.1. Случай не гладких исходных данных задачи

1.2. Случай гладких исходных данных задачи

§2. ЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ СХОДИМОСТЬ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ

С НЕСИММЕТРИЧНОЙ ФОРМОЙ ПО ПРОЕКЦИОННЫМ

ПОДПРОСТРАНСТВАМ ОБЩЕГО ВИДА.

§3. СРЕДНЕКВАДРАТИЧНАЯ СХОДИМОСТЬ ДЛЯ

УРАВНЕНИЯ С СИММЕТРИЧНОЙ ФОРМОЙ.

§4. ЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ СХОДИМОСТЬ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ С СИММЕТРИЧНОЙ ФОРМОЙ

В СЛУЧАЕ ОБОБЩЕННОЙ РАЗРЕШИМОСТИ.

§5. СХОДИМОСТЬ В СИЛЬНЫХ НОРМАХ

ДЛЯ ГЛАДКО РАЗРЕШИМОГО УРАВНЕНИЯ

С СИММЕТРИЧНОЙ ФОРМОЙ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Сходимость проекционно-разностных методов приближенного решения квазилинейных параболических уравнений»

Данная диссертационная работа посвящена теоретическому обоснованию сходимости и получению оценок скорости сходимости проекционно-разностных методов, позволяющих эффективно-строить приближенные решения для квазилинейного параболического уравнения. Установлены оценки погрешности приближенных решений к точному в различных нормах. Доказана сходимость и прослежена зависимость порядка скорости сходимости погрешности к нулю.

Параболическое уравнение рассматривается в вариационной форме. Изучение параболических уравнений, представленных в'вариационной форме наиболее последовательно представлено, например, в монографиях [1], [2], [3], где рассматриваются линейные задачи. Нелинейные задачи в вариационной форме изучаются, например, в [4] и [5]. Как правило, при этом главное внимание уделяется вопросам слабой разрешимости таких задач.

Методами, развитыми в отмеченных монографиях можно изучать разрешимость квазилинейных параболических уравнений. Например, слабая разрешимость таких задач была установлена в [6]. Разрешимость квазилинейных параболических уравнений изучалась многими авторами, отметим здесь монографии [7] и [8], а также имеющиеся там библиографии. При этом получены условия, позволяющие получать решения различной гладкости, в том числе и достаточно гладкие.

Вариационная форма параболического уравнения хороша не только для обоснования разрешимости исходной задачи, но и весьма удобна для рассмотрения проекционно-разностных методов приближенного решения таких задач. В диссертации изучается проекционно-разностный метод приближенного решения квазилинейных параболических уравнений, в которых для аппроксимации по времени используется схема Эйлера, неявная только в главной части. Получаемая при этом разностная задача линейна и устойчива. Обратим внимание, что проекционно-разностные методы являются методами полной дискретизации параболических задач. При этом приближенная задача сводится к серии линейных конечномерных алгебраических систем уравнений. В литературе предложенный способ дискретизации задач называют также -методом, Ротэ-Галеркина. Связывают это с работой Ротэ [9], который применил по времени простейшую неявную разностную схему к одномерному параболическому уравнению второго порядка.

Очевидно, что сходимость приближенных решений к точному зависит не только от аппроксимации задачи по временной переменной, но и от аппроксимации по пространственным переменным соответствующими конечномерными подпространствами. Отметим, что для численной реализации таких методов весьма удобны конечномерные подпространства типа "конечных элементов", например, [10] - [17]. Результаты, полученные в диссертационной работе, ориентированы именно на такие конечномерные подпространства типа "конечных элементов".

Проекционно-разностные методы для приближенного решения линейных параболических задач изучены достаточно хорошо. Из монографий, уделяющих внимание этой тематике выделим [3], [7], [10], [12], [15] -[22]. Среди работ посвященных исследованиям проекционно-разностного метода для параболических уравнений отметим работы [23] - [32].

Из работ, наиболее близких к полученным в диссертации результатам, выделим работы [33] - [38], в которых рассматриваются линейные параболические задачи.

Главное в работе — это получение оценок погрешностей приближенных решений, установленных в условиях слабой, обобщенной и более гладкой разрешимости исходной параболической задачи. Эти оценки погрешностей установлены с соответствующими порядками скорости сходимости как по времени, так и по пространству и являются точными по порядку аппроксимации, как по времени, так и по пространству.

При написании работы широко использовались методы функционального анализа. Соответствующие факты и утверждения можно найти в отмеченных выше монографиях, а также в книгах [39] - [42].

Далее будут приведены сведения для описания пространств, некоторых операторов и их свойств, которые понадобятся в дальнейшем изложении материала.

Пусть даны два сепарабельных гильбертовых пространства V и Н, причем У С Я и вложение плотно и непрерывно. Плотность вложения означает, что для любого х G Н существует последовательность {хп} С V такая, что — хп\\н —> 0. Непрерывность вложения означает, что существует число с > 0, такое, что для любого и Е V выполнено IMIя < cIM|v- Пусть V' и Н' — пространства двойственные к V и Н соответственно, тогда Н' С V' и данное вложение плотно и непрерывно. Далее по теореме Рисса проводится отождествление Н и Н'. Таким образом, приходим к включениям V С Н = Н' С V', где каждое пространство плотно в последующем и вложения непрерывны [11].

Для t G [0, Г] и u,v 6 V определено семейство полуторалинейных форм a(t,u,v). Предполагается, что для всех u^v Е V функции t —>■ a(t, и, v) измеримы на [0, Т] и выполнены оценки a(t,u,v)\< Mi\\u\\v\\v\\v, Rea(t,u, и) + > (1) где А > 0, S > 0. Форма a(t, и: v) порождает линейный ограниченный оператор A(t) : V —> V' такой, что для и: v G V выполняется a(t, гг., v) = (A(t)u, v).

Здесь под выражением типа (z, v) понимается значение функционала z Е V на элементе v 6 V. Заметим [11], что для z £ Н выражение (z, v), в силу отождествления Н = Н', совпадает со скалярным произведением в Н. Из определения оператора A(t) следует оценка ЦА^Ц^у < М\.

Пусть на [0,Т] х Н задана функция f(t,u) со значениями в V'. При каждом фиксированном и € Н функция f(t,u) €Е £2(0, Т; У). Кроме того для всех щ, и2 6 Н выполняется

Заметим, что для функции t —u(t) 6 Н, измеримой на [0,Т], функция t —> f(t:u(t)) s V' будет измеримой на [0,Т]. Кроме того, если u(t) Е ^2(0, Т; Я), то из оценки, следующей из (2), в которой в - нуль в Н, получаем f(t,u(t)) 6 Ь2{0,Т] У7). Обратим внимание, что в приложениях условие (2) означает возможность нелинейности /(£, и) содержать производные функции и £ Н по пространственным переменным.

Здесь и далее, под пространством 1^(0, Т;У) понимается пространство функций t u(t) ЕЕ V, измеримых на [0,Т] и таких, что ||гг(£)||у суммируемая на [0,Т] по Лебегу, с нормой

Подобным образом определяются пространства £/2(0, Т; Н) и -£/2(0, Т; V'). В пространстве V' рассмотрим задачу Коши:

Производные функций здесь и далее понимаются в обобщенном смысf,ui) - f(t,u2)\\v < м2\\щ - и2\\н.

2) f(t,u(t))\\v, < М2\\и(Щн+\\№,9)\\у, u'{t) + A{t)u(t) = f(ty «(*)), «(0) =

3) ле (см, напр, [1], [2], [3], [44], [43]).

При дополнительном предположении компактности вложения V С Н в [6] показано, что задача (3) имеет единственное решение u(t), называемое слабым, такое, что u(t) £ L2(0,T]V) П С([0, Т], Н), a u'(t) £ L2(0,T] V). При этом удовлетворяются начальное условие и почти всюду на [О,Т] уравнение (3).

Под С([0,Т],Н) понимается пространство функций t —>• u(t) £ Н, непрерывных на [0,Т], с нормой lhWllc([o,T],F) = max |Н*)||Я .

Для полноты восприятия картины приведем пример параболического уравнения, которое сводится к задаче (3).

Пусть задай прямоугольник Q = [0,Т] х [а, Ъ]. Пусть заданы функции p(t,x),q(t,x): принадлежащие пространству L0C(Q) и, кроме того,

О 1 p(t,x) > ро > 0,q(t,x) > до > 0. Положим Н = L2(a,b), V = W2{a,b), V' = W'1 (a, b). о

Для и, v £ W2 Ь) определим форму \ fh Г / \ du(x) dv(x) . \ / ч / N1 7 / ч a[t,u,v) = J --fa.—\-q{t,x)u{x)v{x)jdx. (4)

Нетрудно проверить, что для и, v £ V форма a(t, и, г;) удовлетворяет

О 1 условиям (1). Тогда для и £ W2(a-> оператор A(t) имеет вид

A{t)u = ~t(p{t' +q{t'х)и ■ (5) Рассмотрим функцию f(t,x,y,z), определенную на t £ [0,Т], х £ [а, Ь] и у, z £ К1. Предположим, что функция /(£, х,у, z) при фиксированных 2/, z £ М1 измерима на прямоугольнике Q и выполняется оценка ж, уи zx) - f(t, Ж, ?/2, *2)| < М2{\У1 - у2\ + \zi - z21). (6)

Из (6) для измеримой на [о, 6] функции и{х) получим [45], что функция f[t, х, и(х), J^u(x)] также будет измерима на Q.

Из (6) следует оценка l/(*,*,SJ,z)| < С(Ы + |г|) + |/(t,a:,0,0)|.

7)

Пусть /(£, ж, 0,0) G Z/2(Q). Если функция и G 6), то -^и(х) G

Ж и тогда из (7) получим

Цж)

9ж |/(«,Ж,0,0)|. (8)

Оценка (8) позволяет говорить, что функция f\t,x,u(x),^u{x)\ G z^r^M)).

Установим для функции / условие Липшица (2). Заметим [1, с. 107], что оператор ^ ограничено действует из L,2(a,b) в W"^1 (а, 6). В таком

О 1 случае, для произвольной функции ф G ТУ2(а' и и, г> G 6) а

С jf +

-/

9ж t, ж, —-у(ж)

1-0 (ж) с?ж ж) — г; (ж)]

С!||и(ж) - v(x)\\L2{a,b)\\i[)(x)\\L2{a:b)+

Со д и(х) - г;(ж)]

W-Jiafi) I

С3||п(ж) - v{x)\\L2{a!b)U(x)\\wiia!b) + С4\\и(ж)

Отсюда следует оценка (2).

В результате задача (3) в данном случае это абстрактный аналог начально-краевой задачи с условием Дирихле по пространству: ж) + A(t)u(t, ж) = f[t, ж, u(t, ж), ж)] (t, ж) G Q ;

9) u(t,a)=u(t,b) = 0 £G[0,T]; w(0, ж)=гг°(ж) ж G [а, 6].

Считаем п°(ж) G 1/2(а, Ъ) и получим решение u(t, ж) задачи (9) такое, что и G Ь2(0,Т;ТУ2(а,6))ПС([0,Г],^2(а,6)), и' G L2(0,T-W~2l(a1b)).

Уравнение в (9) удовлетворяется почти всюду на [О, Г] в смысле равенства обобщенных из b) функций, начальное условие выполняется в смысле пространства 1/2(а, 6).

Если же рассмотреть Н= L,2(a, b), V= W\{a, b) и для u,v E W\{a, b) форму a(t,u:v) задать видом (4). Оператор A(t) также задается выражением (5) для и Е (а' Функция /(t, ж,?/, z) Е £2(0, Т, (И^а, &))')• В этом случае задача (3) приведет нас к классической начально-краевой задаче со второым краевым условием по пространству: d;u(t, X) + A(t)u{t, х) = f[t, X, u(t, X), x)] (t, x) E a; ° (t,x)eQ; (10)

Qt \ 1 J ' ' / — j L0)1^) ) /' u(0, ж) = и0(ж) x E [a, 6].

Теперь если же на и, v Е V — W^a? Ь) определить форму \ СЬ \ / .du(x)dv(x) . 1 a{t,u,v) = J --^—Ь cte + /3(ф(г, b)u(b)v(b) - a(t)p(t, a)u(a)v(a), (11) где a(t),/3(t) - непрерывные на [0,T] функции, такие что а(£) < 0, /3(£) > 0, то форма (11) a(t,u,v) также удовлетворяет условиям (1) для u,v Е V. Оператор функция f(t,x,y,z) и п°(ж) определяется как и в предыдущем случае. Теперь задача (3) примет вид классической начально-краевой задачи с третьим краевым условием по пространству:

§-tu(t, х) + A(t)u(t, x) = f[t,x, u(t, х), £u(t: ж)] (t, х) Е Я; £u(t, а) + a{t)u(t, а) = Ъ) + (3(t)u(t, Ь) = 0 t Е [0, Т]; (12) п(0, х) — щ(х) х Е [а, Ъ],

Также в приложениях в качестве оператора A(t) можно брать, например, симметричный равномерно эллиптический оператор второго порядка в ограниченной области С Мп с гладкой границей, порожденный дифференциальным выражением второго порядка и первым краевым условием. Тогда Н = L2(tt), V = w\(P), V' = W^(П). Если же на границе области Q задано третье краевое условие, то Н = Lг(^), V = W\{ti). Можно рассматривать и эллиптические операторы произвольного 2га порядка, где га > 1.

Перейдем к рассмотрению проекционно-разностного метода приближенного решения задачи (3). Для построения приближенной задачи понадобятся некоторые факты, связанные с проекционными подпространствами.

Через Vh, где h - положительный параметр, обозначим конечномерное подпространство пространства V. Определим пространство V^, задав на ин Е Vh двойственную норму = sup \(иь, Vh)\, где точная верхняя граница берется по Vh Е Vh и ||г>/г||у = 1- Нетрудно видеть, что И^дЦу^ < Обозначим через Ph ортопроектор в пространстве Н на Vh- В работе [46] доказано, что оператор Ph допускает расширение по непрерывности до оператора Р/г : V' —> V^ и для и Е V' справедлива оценка Н-Р/Д^Цу^ < Отметим также для Uh Е Vh оценку \\uh\\v < \\Ph\\v->v\\uh\\vi и для ueV' оценку \\Phu\\v> < \\Ph\\v->v\\u\\v> [47]. Кроме того, для и Е V' и v Е Н справедливо важное соотношение (Phu, v) = {и, Phv) [35].

В условиях слабой разрешимости задачи (3) имеет смысл рассматривать следующую приближенную задачу, построенную с помощью проекционно-разностного метода, которая рассматривается в §1 (п. 1.1.)

4 - 4-1 +Akhuhk = (fc = lT2v), (13) где N - натуральное число, tN = Т, tk = кт,

А = - Г PhA(t) dt, f£(v) = - Г Phf(t, v) dt, T Jtk-1 r JtK-1 и элемент uk E V/j считаем заданным. Устанавливается разрешимость и находится энергетическая оценка почти погрешности Phu(tk) — ик = zk N

II zhh\\l +

Kk<N Dlkllk +114 " 4-ill2я +11(4 - 4-i)r~4\r) < 1 с T cl\\phu0-4III, + J II(ph-I)u{t)II2vdt+

N rh N rtk .

X] / \\Ph[u(t)-<tk-i)]\\2Hdt + J2 / II *№(**)-«(*)] \\vdt\. (14)

Л=1 Jtk-i k=1 Jtk-1 )

Для получения сходимости u(tk) — в энергетической норме к нулю следует предположить, что задана последовательность {14} конечномерных подпространств, где h > О параметр, предельно плотная в пространстве V, то есть ||(/ — Qh)v\\v 0 при h —> 0 для любого v £ V, где Qh - ортопроектор в пространстве V на Vh- Заметим, что тогда последовательность {Vh} предельно плотна и в Н и V'.

Используемые в работе подпространства Vh ориентированы на пространства типа "конечных элементов" [10] — [15], которые, как уже говорилось, являются весьма эффективными в приложениях.

Пусть также подпространства Vh такие, что выполнены оценки:

I - Qh)v\\H < nhMv (vevy, (15)

I\vh\\v < r2h-1\\vh\\H (vh E Vh), (16) где ri и 7*2 не зависят от v, Vh и h. Условие (15) типично для метода конечных элементов, а условие (16) в приложениях означает равномерное разбиение области пространственных переменных. Заметим, что в простейшем одномерном случае такими являются, например, подпространства непрерывных кусочно линейных на равномерной сетке функций [13], [15]. Из (15) и (16) легко следует необходимая в дальнейшем оценка \\Ph\\v^v < ПГ2 + 1

Одним из результатов §1 (п. 1.1.) является сходимость приближенных решений к точному в энергетической норме. Пусть {Vh} - предельно плотная в V последовательность конечномерных подпространств, для которой выполняются условия (15), (16). Пусть \\PhU° — Uq\\h 0 при h-t 0 и тЬг2 0. Тогда при г и h 0

N rtk \ 1/2 max ||«(**) - uhk||я + ( / IM«) ~ 4\\vdt) + к=1 Jtk~1 l<k<N п" V*—' Jfi , J — \ i—1 J ifc-i / N i rtt E- At)*t

4=1 ^ft-l 2 ч 1/2

Г ->0.

V J T

Из оценки (14) можно получить и скорость сходимости погрешности к нулю. Для этого рассмотрим гильбертово пространство Е такое, что Е С V и пространство V совпадает с интерполяционным пространством [Е, Н]i/2 [1, с.23]. Например, если оператор A{t) порожден в области Q С Мп с гладкой границей равномерно эллиптическим дифференциальным выражением второго порядка и краевым условием Дирихле, то полагаем Я = L2(ty, V = V' = W^iQ), Е = W22(tt) П Wlity. Если же на границе области О, задано условие Неймана, то полагаем Я =

V = W\{to)iE = W\{Sl).

Пусть также подпространства Vh такие, что

I - Qh)v\\v < Th\\v\\E (veE), (17) где константа г > 0 не зависит от v и h. Условие (17) является типичным для подпространств Vh типа "конечных элементов" (см, напр, [12], [14], [15]).

В [37] показано, что из (17) следует для всех v е V оценка - Qh)v\\H < rh\\(I - Qh)v\\v, (18) из которой очевидно образом получается (15).

Сделанное дополнительное предположение (17) позволяет получить оценки с порядком по т и h. Например, для и Е 1/2(0) Т] Е) ПС([0,Т], V) и и' Е Lp(0, Т\ Н) (1 < р < 2) верна оценка max \\u(tk) - uhk\\2H < с|||Л«° - uh0 h\\2 i Я + l<k<N k-2(max IKt)^ + £ ||„(t)HIй) + r3"2/^"2( jf ||„'(t)II*.di)2/"J, где пространство Z/2(0,T; E1) и Lp(0,T] H) определяются аналогично L2(0,T; V), a C([0,T], V) аналогично C([0,T],#).

Если решению добавить гладкости, то оценка для 1 < р < 2 будет иметь следующий вид max |Mt„) - u'ifu < c{||P„u° - и*|||+ h2 (max ||U(t)||2v + jf ||«(t)||| dt) }•

В §1 (п.1.2.) на функцию f(t,u{t)) и форму a(t,u,v) налагаются дополнительные требования, которые позволяют использовать более простую разностную схему.

Предположим теперь, что функция f(t, и) непрерывна по t Е [0, Т] со значениями в V' такая, что для всех щ^щ Е if и для ti,t2 Е [0, Т] выполняется fi,«i) - f(h,u2)\\v> < M3(|ti - t2\a + l|«i - Ч1я), (19) где 0 < а < 1, и a(t, и, г») - удовлетворяет условию Гельдера с 0 < 7 < 1 |a(t, и, v) - a(s, и, -и)| < MA\t - s|7|M|y (20)

Тогда вместо задачи (13) можно рассмотреть более простую задачу ик~ик-1 | Тэ л (■!■ \„.h 15 £(+ n,h т PhA(tk)uhk = Phf(tk, nti), (к = 1, N), (21) где N - натуральное число, tN — Т, tk = кт и элемент Uq Е Vh считаем заданным.

Для этой задачи находится оценка подобная установленной в §1 (п. 1.1.) оценке (14). Также доказывается сходимость приближенного решения к точному, и получаются оценки с порядком по т и h. Например, при соответствующем предположении гладкости решения u(t) для 1 <Р < 2 max IK**) - uhk\\2H < c{\\Phu° - u%\\2H+ l<k<N h2 { max ||u(t) Ц» + £ Hi) HI dt) + г3"2/» \\u'(t) И» <ft) +

T \

M32r2ff + r2^ \\u(t)\\2vdt\.

В §2 в качестве приближенной задачи рассматривается задача (21). При этом требуется большая, чем в §1, гладкость решения точной задачи (3), но уже не требуется равномерная по h ограниченность ЦР^Цу^у, а значит и (16). От формы a(t,u,v) потребуем выполнение оценок (1), а от функции /(£,гг) выполнение (2) для всех £ Н. Пусть u(t) слабое решение задачи (3). При условии и' £ £2(0, Т; V),u" € Т; V') находится энергетическая оценка погрешности N max \\u(tk) - uhk ||я + - uhkfvr+

Kk<N

-- к= 1 t) - dt с\ ||/W-«Sllir+

Я L iV Г1" / / к=1 Jtk~l 4

Т f*T \\(Qh-I)u(t)\\vdt+ \\(Qh-I)u'(t)\\2Hdt+ Jo Jo

T*(F\\u'(t)fvdt + JT\\u"(t)\\l,dt)\. (22)

Из (22) получается следующая сходимость. Пусть {Vh} ~ предельно плотная в V при h —У 0 последовательность конечномерных подпространств и \\PhU0 — г^о)|я —У 0 при h —> 0. Тогда при г —У 0 и h —» 0 N max |\u{tk) - vi\\H + ~ u

1 <k<N N h\\2 rtk (

E / kwk=i 4

U'l и k-1 dt T

0. я

Для получения скорости сходимости по пространству предполагается, что выполняется оценка (17). В этом случае при соответствующей гладкости решения u(t) справедлива следующая оценка N max \\u(tk) - uhkfH + |K4) - uhk\\2vr+ N E k=l

1 <k<N »tk k—1

U'(t)

4 - 4-1 dt tk-i cl IIPhu'

8112н+ H h2^ \Ht)\\%dt + Wu'mldt^

T T \ \\u'(t)\\ldt+ [ \\u"(t)fv,dt Jo J О У

23)

В последующих параграфах проекционно-разностный метод изучается для подпространств Т4 общего вида, как во §2. Однако при этом удается существенно ослабить требования на гладкость точного решения задачи (3). Одним из главных условий при этом в параграфах 3, 4 и 5 является симметричность формы a(t, и, v), то есть а(£, и, v) = a(£, v, и), где черта над выражением означает комплексное сопряжение. Кроме того в §5 получается сходимость приближенных решений к точному в норме более сильной, чем энергетическая.

Итак, в §3 форма a(t, и, v) симметрична и выполняются условия a{t:u,v)\ < M-lWuWvWvWv, a{t, и, и) > 5||u||fr,

24) где 6 > 0. Кроме того, для формы a(t, и, v) для всех t, s Е [0, Т] и и, v Е V выполняется условие Липшица

Функция f(t,u) Е ^2(0,Т;У) при каждом фиксированном и Е Н, и также удовлетворяет условию (2). Как и ранее, для задачи (3) существует u(t) - слабое решение задачи.

В Vh рассматривается проекционно-разностная задача где N - натуральное число, Nr = T,tk = kr,Ah{tk) = PhA{tk) и Uq E Vh считаем заданным.

Для последующей оценки необходимо определить для t Е [0, Т] гильбертовы пространства и ортопроектор Qh(t) в пространстве V(t) на Vh. Очевидно, что для и Е V и Vh Е Vh справедливо тождество a(t,u,Vh) — a{t, Qhifyu^Vh). Отсюда для всех и EV следует Ah(t)u = Ah(t)Qh{t)u.

Одной из оценок погрешности, полученных в этом параграфе является следующая

Из (27) можно получить сходимость приближенных решений к точному. Для этого потребуем, чтобы существовала {Vh} - предельно плотная в V при h —У 0 последовательность конечномерных подпространств. a(t, и, v) — a(s, и, г>)| < M^\t — в|||гг||у||и||у.

25)

V(t) = {u,v в V\(u,v)v(t) = a(t,u,v)}

Пусть \\PhU° — «о||я 0 при h —»■ 0. Тогда при t^0h/i->0

Е IW**) - ^ к=1

Так же можно получить порядок сходимости погрешностей к нулю не только по времени, но и по пространственным переменным.

Определим множество D[A(t)] = {v G V | A(t)v G Я}. Предположим теперь, что существует гильбертово пространство Е такое, что D[A(t)] с Е С V. Потребуем от оператора A(t) для всех и G D[A(t)] и £ G [О, Т] выполнение типичной для эллиптических операторов оценки [7]

1МЫ < a\\A(t)u\\Hl (28) где а > 0. Например, если оператор A(t) порожден в области Г2 С К.п с гладкой границей равномерно эллиптическим симметричным дифференциальным выражением второго порядка и краевым условием Дирихле, то полагаем Я - Ь2(П), V = W]^), Е = D[A(t)] = W\{Sl) П w\{Q). Если же на границе области Q задается условие Неймана, то считаем Я = L2(fi), V = Wl(Q), Е = W22(Q) d D[A(t)].

Пусть подпространства Vh обладают аппроксимационным свойством (17), тогда в условиях слабой разрешимости задачи (3)

Е ||«(tt) - «illirr < c{\\Phu° - uj||sa+ к= 1 ^ ji rj\ ^ h2jg мтьл+rj {Mt)fv+mtMmi')dty

А в случае более гладкого решения задачи (3) приближенные решения сходятся к точному решению с большей скоростью как по времени, так и по пространству.

Так если и' G Lp(0,T; Я), где 1 < р < 2, то справедлива следующая оценка Hh) - u{||%т < c{- ^11»,+ h2 [ \Ht)fvdt + r2 jT |H<)||2 A + ^""(jT & <ft) J.

Если же решение u(t) задачи (3) еще и такое, что и £ Ь2(0, Т; £?), то скорость сходимости по пространству еще больше возрастает.

Е ««ад - «гшгт < cjiiPftw0 -к=1 ^ ыше<Ц+т2 £ \\u(t)\\2v м+ik'wiijr

В 4 параграфе форма а(£, ад, v), как и в §3, симметрична и для нее выполняются условия (24), но условие Липшица (25) уже не требуется. Функция f(t,u) £ -£2(0, Т] V') при каждом фиксированном и 6 Н, и также удовлетворяет условию (2).

Для приближенного решения этой задачи строиться проекционно-разностная задача в Vh

U* " + = i Г P~hf{t, wti) (* = MD, (29) т т где iV - натуральное число, Nt = T,tk = кт £ Vh считаем заданным.

В отличие от предыдущих параграфов задаются дополнительные предположения.

Пусть форма a(t,u,v) абсолютно непрерывна по t Е [0,Т] и для ад, v £ V справедлива оценка M6\\u\\v\\v\\v. (30)

Пусть также при каждом и Е V функция f(t,u) действует в Н и справедлива оценка f(t,u)\\H<M7\\u\\v + M8(t), (31) д dt a(t, ад, v) где M8(t) Е L2(0,T). Из (31) следует, что для и Е L2(0,T;F) получим

Предполагается так же выполнения условия (28).

Пусть также и0 Е V. В таком случае, из работы [48] следует, что слабое решение u(t) задачи будет более гладкое: u(t) Е С([0,Т],У) П

1/2(0, Т;Е) и u'(t), A(t)u(t) G L2(0, Т; Л"). Такое решение назовем обобщенным.

Для и(£) - обобщенного решение задачи (3) и ик - решения задачи (29) получена оценка: N max |K*fc) - uhk\\2H + £ Hh) ~ uhk\\lr+

0 <k<N k=l

J^ rtk ( k=l Jtk-1 4 uk~uh-1 H с T c{\\u°-i4\\2H+J \\(I-Qh)u(t)\\ydt+ M£(t)dty\ \\U'm2Hd?j 1/2X

И^-в'-М^Ия1-) + T(jQ \\A(t)u(t)fHdt + Ml{t)dt} + г2(шв |Kt)||S, + £ *) }■ (32)

Для сходимости приближенных решений к точному потребуем, чтобы существовала предельно плотная в V при h —У 0 последовательность конечномерных подпространств {Vh}. Пусть ||и0 — Uq\\л —> 0 при h —У 0, а последовательность Цг^Цу равномерно ограничена. В таком случае при г 0 и h —У 0 получим N max ||u(tfc) - uhk fH + - uhkfvT+

0 <k<N '

N rtk / fc=1 4 к=1 г „.Л W

Uu — U k-l 0 я

Из (32) следует и скорость сходимости к обобщенному решению по пространству и по времени. Так при условии (17) получается N max \\u(tk) - uhk\\2Н + £ \\u{tk) - uhk\\2vr+ l<k<N

-- ft=1

N "tk / 4,h uk uk-l k=i ij dt н I

T + h2)(\\uh0fy + \\uYH + fo \Ht)fvdt + fo Mf(«)<«)}. (33)

В §5 установлены оценки погрешностей приближённых решений в более сильных нормах, чем например в оценке (33). Добиться этого удается за счёт больших требований на исходную задачу (3) и при больших предположениях гладкости на решения этой задачи.

Как и в параграфах 3 и 4, форма а(£, it, v) симметрична и удовлетворяет условиям (24) и (30).

От функции f(t,u) потребуем следующих свойств. Функция f(t,u) задана на [0, Т] х V со значениями в Н. При каждом фиксированном и G V функция f(t,u) G £2(0, Т; Н). Также для каждого фиксированного t G [0,Т] и для G V выполняется условие, отличное от (2),

IIf(t,m) - f{t,u2)\\H < М9\\щ - u2\\v. (34)

Заметим, что для функции t —^ u{t) G V, измеримой на [0,Т], функция t —У f(t,u(t)) G Н будет измеримой на [0,Т]. Кроме того, если u{t) G L2(0, Т] V), то из оценки, следующей из (34) f(t,u(t))\\H<M9\\u(t)\\v + \\f(t,e)\\H, получаем f(t,u(t)) G Ь2(0,Т] Н). Обратим внимание, что в приложениях условие (34), как и условие (2), означает возможность нелинейности f(i,u) содержать производные функции и G V по пространственным переменным.

Для обоснования разрешимости исходную задачу (3) будем рассматривать в пространстве Н. Для этого при t G [0,Т] определим, как и ранее, множество D[A(t)] = {v € V\A(t)v G if}. Будем рассматривать оператор A(t) : ,D[A(t)] С H H. Этот оператор самосопряжённый в пространстве Н и положительно определенный и существует самосопряженный положительно определенный оператор с областью определения D[AV2(t)] = V [49].

При сделанных предположениях в §5 установлено, что задача u'(t) + A(t)u(t) = f(t,u(t)), w(0) = u° GV. (35) имеет обобщенное решение u(t), то есть такое, что и G С([0,T],V) и и'(t), A(t)u(t) G Z/2(О, T]H), а так же выполняется начальное условие и почти всюду на [0,Т] удовлетворяется уравнение.

Обратим внимание, что условия компактности вложения V С Н в данном параграфе формально не предполагается.

Для построения приближенной задачи предположим дополнительно, что функция f(t,u) непрерывна по совокупности переменных. Тогда проекционно-разностную задачу можно рассмотреть, как и в §1 (п. 1.2) в виде ~ + P~hA(tk)uhk = Phf(tk, «ti) (* ^ Щ, (36) т где ./V - натуральное число, iVr = T,tk = кт и элемент itg G V/t считаем заданным. Задача (36) имеет единственное решение.

Для u(t) - обобщенного решения задачи (35) такого, что и' G L2(0,T]V),u" G Li(0,T;#) и - решения задачи (36) получена следующая оценка

А 1 rtk max \\u(tk) - uhk\\v + E ~ / dt l<k<N *—' T -- k=1 Jtk~l

4 ~ 4-1 T r+ H N E 1 tkт V с Т cjllQ^0 - 2у + ^ || (/ - Qh(t))u\t)\\%dt+max\\(I - Qfc)«(t)||?r+

T T / Т \ 2"

J \wm\2vdt+iJo \\u"(t)\\Hdt)

37)

Как и во всех предыдущих параграфах установлена сходимость приближенных решений к точному. Предполагается, что u(t) - обобщенное решение задачи (35) такое, что и' Е L2(0,T;V), и" Е 1/х(0,Т;Я), а ик - решение задачи (36). Пусть {Vh} - предельно плотная в V при h О последовательность конечномерных подпространств. Пусть также \\QhU0 — ^оЦу 0 при h —У 0. Тогда при г-уОи/г-^О следует N tk max + I Г u'^dt Kk<N z—' T h, , -- k=l Jtk~l uk - Щ-1 r r+ Я

E Г U - *

A=1 Jtk-i \ и к-1 dt т

-f 0.

Получены также оценки скорости сходимости приближенного решения к точному. Пусть u(t) - обобщенное решение задачи (35) такое, что u' Е L2(0, Т; У), и" Е Lp(0, Т; Я) для 1 < р < 2 и Е С([0, Г]; Я), н и к - решение задачи (36). Пусть подпространства Vh обладают свойством (17), а также выполнено условие (28). Тогда справедлива следующая оценка N max:\\u(tk) - uhk\\2v + f^ \ Г u'^dt l<k<N ^ Г uk - 4-1 T

T+ H

N uh - vh k=1 Г 2

T < H

-T \ 2/P-." ') . c{\\Qhu°-uUv + T3-2/p[l \W'{twHdt

IIAWtiMlli + j* \\u'(t)fyd?j }. (38)

Результаты, полученные в диссертационной работе являются новыми. Рассматривается вариационная постановка задачи как наиболее приспособленная к теории проекционных и проекционно-разностных методов. Важной особенностью рассматриваемого приближенного метода является сведение нелинейной задачи к линейному приближенному методу. Сформулированы приближенные задачи, установлены оценки в разных нормах точные по порядку аппроксимации как по времени так и по пространству. Доказана сходимость приближенных решений к точному.

Результаты диссертации хорошо согласуются с известными результатами и фактами, например, [33] - [38].

Полученные результаты имеют как теоретическую, так и практическую направленность и могут быть использованы при исследованиях конкретных параболических уравнений и их приближенном решении.

Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на Крымской осенней математической школе-симпозиуме — 2009, Воронежской зимней математической школе С.Г. Крейна — 2010, Воронежской весенней математической школе "Современные методы качественной теории краевых задач - Понтрягинские чтения - XXI" — 2010, ежегодных научных сессиях Воронежского государственного университета, семинаре под руководством профессора И.Я. Новикова и семинаре под руководством профессора А.Г. Баскакова.

Результаты диссертации опубликованы в работах [57] - [63].

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Сотников, Денис Сергеевич, 2010 год

1. Лионе Ж.-Л. Неоднородные граничные задачи и их приложения / Ж.-Л. Лионе, Э. Мадженес. — М. : Мир, 1971. — 372 с.

2. Лионе Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными / Ж.-Л. Лионе. — М. : Мир, 1972. 415 с.

3. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ / Р. Темам. М. : Мир, 1981. — 408 с.

4. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач / Ж.-Л. Лионе. М. : Мир, 1972. - 558 с.

5. Гаевский X. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения / X. Гаевский, К. Грегер, Захариас К. — М. : Мир, 1978. 336 с.

6. Смагин В.В. О слабой разрешимости нелинейной вариационной задачи параболического типа / В.В. Смагин, М.В. Тужикова // Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика. 2004. — № 1. — С. 153-156.

7. Ладыженская О.А. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа / О.А. Ладыженская, В.А. Солонников, Н.Н. Уральце-ва. М. : Наука, 1967. - 736 с.

8. Фридман А. Уравнения с частными производними параболического типа / А. Фридман. — М. : Мир, 1968. — 427 с.

9. Rothe Е. Warmeleitungsgleichung mit nichtconstanten koeffizienten / E. Rothe // Math. Ann. — 1931. Bd. 104. - P. 340-362.

10. Варга Р. Функциональный анализ и теория аппроксимации в численном анализе / Р. Варга. — М. : Мир, 1974. — 128 с.

11. Обэн Ж.-П. Приближенное решение эллиптических краевых задач / Ж.-П. Обэн. М. : Мир, 1977. - 352 с.

12. Стренг Г. Теория метода конечных элементов / Г. Стренг, Дж. Фикс. М. : Мир, 1977. - 352 с.

13. Оганесян JI.A. Вариационно-разностные методы решения эллиптических уравнений / JI.A. Оганесян, Л.А. Руховец. — Ереван, 1979. — 236 с.

14. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач / Ф. Сьярле. М. : Мир, 1980. — 512 с.

15. Марчук Г.И. Введение в проекционно-сеточпые методы / Г.И. Мар-чук, В.И. Агошков. — М. : Наука, 1981. — 416 с.

16. Митчел Э. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными / Э. Митчел, Р. Уэйт. — М. : Мир, 1981. — 216 с.

17. Morgan Ed. Finite-elment-metode: Eine Einfuhrung / Ed. Morgan, A. Michael. Berlin: Akad. Verl., 1993. - 252 p.

18. Бабушка И. Численные процессы решения дифференциальных уравнений / И. Бабушка, Э. Витасек, М. Прагер. — М. : Мир, 1969. — 368 с.

19. Babuska I. Servay lectures on the mathematical foundations of the FFM / I. Babuska, A.K. Aziz // The mathematical foundations of the FFM with applications to partial differential equations. — N.-Y.-London: Academic Press. 1972. - P. 1-359.

20. Лаевский Ю.М. Проекционно-сеточные методы решения двумерных параболических уравнений / Ю.М. Лаевский. — Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1987. 139 с.

21. Флетчер К. Численные методы на основеметода Галеркина / К. Флетчер. М. : Мир, 1988. - 352 с.

22. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики / Г.И. Марчук. — М. : Наука, 1989. 608 с.

23. Dendy J.F. An analysis of some Galerkin Schemes for the solution of nonlinear time-dependent problems / J.F. Dendy. — SIAM J. Numer. Anal.- 1975. V. 12, № 4. - P. 541-565.

24. Акопян Л.А. Вариационно-разностный метод решения двумерных линейных параболических задач / Л.А. Акопян, Л.А.Оганесян // ЖВМ и МФ. 1977. - Т. 17, № 1. - С. 109-118.

25. Thomee V. Some interior estimates for semidiscrete Galerkin approximations for parabolic equations / V. Thomee // Math. Comput.- 1979. V. 33, № 145. - P. 37-62.

26. Злотник А.А. Оценка скорости сходимости в V2(Qt) проекционно-разностных схем для параболических уравнений / А.А. Злотник // Вестник МГУ. Сер. 15. Вычислительная математика и кибернетика. — 1980. В. 1. - С. 27-35.

27. Соболевский П.Е. Теорема о смешанных производных и оценка скорости сходимости метода Эйлера-Галеркина для параболических уравнений / П.Е. Соболевский // Нелинейные краевые задачи. Институт математики АН Укр.ССР. Киев. 1989. - № 1. - С. 97-102.

28. Dan-Ping Yang. A coupling, method of difference and its error estimates for nonlinear parabolic initial boundary value problems / Yang Dan-Ping // Xitong kexue yu shuxue = J. Syst. Sci. and Math. Sci. — 1993. — V. 13, № 2. P. 171-177.

29. Chen Guting. An approximate solution of initial-boundary value problem of parabolic equation / Guting Chen // Gongcheng shuxue xuebao = Chin. J. Eng. Math. 1998. - V. 15, № 3. - P. 96-102.

30. Kim Jun. Сходимость метода явной дискретизации для нелинейных параболических уравнений / Jun Kim // Nam. Suhak = Mathematics.- 2000. № 1. - С. 31-35.

31. Йованович B.C. О сходимости одной разностной схемы для нелинейного уравнения теплопроводности с обобщенным решением / Б.С. Йованович, B.C. Щеглин // Весщ НАН Беларусь Сер. ф!з.-мат. н. — 2001. № 1. - С. 47-50.

32. Разгулин А.В. Проекционно-разностная схема для параболического функционально-дифференциального уравнения с двумерным преобразованием аргументов / А.В. Разгулин // Ж. вычисл. мат. и мат.физ.- 2005. 45, № 10. - С. 1848-1859.

33. Смагин В.В. Коэрцитивные оценки оценки погрешностей проецион-ного и проекционно-разностного методов для параболических уравнений / В.В. Смагин // Математ. сборник. — 1994. — Т. 185, № 11. — С. 79-94.

34. Смагин В.В. Оценки скорости сходимости проекционного и проекционно-разностного методов для слабо разрешимых параболических уравнений / В.В. Смагин // Математ. сборник. — 1997. — Т. 188, № 3,- С. 143—160.

35. Смагин В.В. Оценки в сильных нормах погрешности проекционно-разностного метода приближенного решения абстрактого параболического уравнения / В.В. Смагин // Математические заметки. — 1997.- Т. 62, В. 6. С. 898-909.

36. Смагин В.В. Проекционно-разностные методы приближенного решения параболических уравнений с несимметричными операторами / В.В. Смагин // Дифференц. уравнения. — 2001. — Т. 37, 1. —C. 115-123.

37. Смагин В.В. О скорости сходимости проекционно-разностных методов для гладко разрешимых параболических уравнений /В.В. Смагин // Математические заметки. — 2005. — Т. 78, В. 6. — С. 907—918.

38. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций / М.А. Красносельский, П.П. Забрейко, Е.И. Пустыльник и др. — М. : Наука, 1966. 500 с.

39. Иосида К. Функциональный анализ / К. Иосида — М.: Наука, 1967.- 624 с.

40. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве / С.Г. Крейн — М. : Наука, 1967. — 464 с.

41. Като К. Теория возмущения линейных операторов / К. Като — М. : Мир, 1972. 740 с.

42. Schwartz L. Theorie des distributions / L. Schwartz. — Paris, 1957. — 254 c.

43. Владимиров B.C. Уравнения математической физики /B.C. Владимиров. — M. : Наука, 1976. — 528 с.

44. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью / А.Ф. Филиппов — М. : Наука, 1985. — 224 с.

45. Вайникко Г.М. О сходимости и быстроте сходимости метода Га-леркина для абстрактных эволюционных уравнений / Г.М. Вайникко, П.Э. Оя // Дифференц. уравнения. — 1975. — Т. 11, № 7. — С. 1269-1277.

46. Смагин В.В. Оценки погрешности проекционного метода для параболических уравнений с несимметричными операторами / В.В. Смагин // Труды математ. ф-та (новая серия). ВГУ. — 1997. — № 2. — С. 63-67.

47. Смагин В.В. Обобщенная разрешимость вариационных задач параболического типа / В.В. Смагин // Труды математ. ф-та. ВГУ. — 2001/- № 6. С. 131 - 139.

48. Березанский Ю.М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов /Ю.М. Березанский // Наукова думка. Киев- 1965. 800 с.

49. Смагин В.В. Коэрцитивная энергетическая сходимость проекционно-разностного метода для параболических уравненийВ.В. Смагин // Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика — 2002. № 2. - С. 96-100.

50. Fijie Y. On some parabolic equations of evolutions in Hilbert space / Y. Fijie, H.Tanabe // Osaka J.Math. 1973. - № 10. - P. 115-130.

51. Смагин В.В. Среднеквадратичные оценки погрешности проекционно-разностного метода для параболических уравнений. / В.В. Смагин // Журнал вычислительной математики и математической физики 2000 - Т. 40, № 6 - С.908-919.

52. Смагин В.В. О разрешимости абстрактного параболического уравнения с оператором, область определения которого зависит от времени. / В.В. Смагин // Дифференц. уравнения. — 1996. — Т. 32, № 5. — С. 711-712.

53. Соболевский П.Е. Обобщенные решения дифференциальных уравнений первого порядка в гильбертовом пространстве / П.Е. Соболевский // ДАН СССР. 1958. - Т. 122, № 6. - С. 994-996.

54. Смагин В.В. Оценки погрешности полудискретных приближений по Галёркину для параболических уравнений с краевым условием типа Неймана / В.В. Смагин // Изв. вузов. Матем. — 1996. — №3. — С. 50-57.

55. Сотников Д.С. Сходимость проекционно-разностного метода для квазилинейных параболических уравнений / В.В. Смагин, Д.С. Сотников // Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика. — 2006. — № 1.- С. 193-198.

56. Сотников Д.С. Сходимость проекционно-разностного метода для-квазилинейных параболических задач в условиях обобщённой разрешимости / Д.С. Сотников // Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика. 2009. - № 1. - С. 170-176.

57. Сотников Д.С. Сходимость в сильных нормах проекционно-разностного метода для квазилинейного параболического уравнения / Д.С. Сотников // Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика. — 2009.- № 2. С. 126-133.

58. Сотников Д.С. Проекционно-разностный метод приближенного решения слаборазрешимых квазилинейных параболических уравнений / Д.С. Сотников // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна 2010. Тезисы докладов. — 2010. — С. 143.

59. Сотников Д.С. Среднеквадратичные оценки погрешности проекционно-разностного метода для слаборазрешимых квазилинейных параболических уравнений / В.В. Смагин, Д.С. Сотников // Дифференц. уравнения. 2010. — Т. 46, № 4. — С. 595-603.