Установившиеся движения телесного профиля в весомой жидкости с границами раздела тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, доктор физико-математических наук Филиппов, Сергей Иванович

• Филиппов, Сергей Иванович
• доктор физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Филиппов, Сергей Иванович

Введение.

Глава 1. Обтекание цилиндра и сферы потоком весомой жидкости с границами раздела

§ 1 Обтекание кругового цилиндра потоком двухслойной жидкости со свободной поверхностью.

1.1 Постановка задачи для контура произвольной формы. Граничные условия.

1.2 Сведение задачи бесциркуляционного обтекания кругового цилиндра к решению систем интегральных уравнений.

1.3 Циркуляционное обтекание кругового цилиндра.

1.4 Нахождение вида свободной поверхности и линии раздела жидкостей.

1.5 Алгоритм решения. Примеры расчета гидродинамических характеристик.

§2 Поступательное движение кругового цилиндра под свободной поверхностью жидкости при наличии горизонтального

2.1 Постановка задачи. Системы определяющих интегральных уравнений.

2.2 Вычисление гидродинамических характеристик.

§3 Обтекание цилиндра многослойным потоком жидкости.

3.1 Круговой цилиндр в трехслойном потоке жидкости.

3.2 Сравнительные расчеты для эллиптического цилиндра в двухслойном потоке.

Глава 2. Поступательное движение крылового профиля в многослойном потоке

§4 Крыловой профиль произвольной формы в трехслойной жидкости.

4.1 Конформное отображение внешности единичного круга на область течения.

4.2 Метод решения. Получение систем интегральных уравнений.

4.3 Определение циркуляции и гидродинамических характеристик.

§5 Крыловой профиль в канале.

5.1 Обтекание профиля потоком двухслойной жидкости при наличии горизонтального дна.

5.2 Профиль в открытом канале.

5.3 Профиль в потоке с горизонтальным дном и крышкой.

§6 Обтекание крылового профиля потоком двухслойной жидкости, имеющим свободную поверхность.

6.1 Профиль над границей раздела жидкостей.

6.2 Профиль под границей раздела жидкостей.

Глава 3. Установившиеся колебания контура под поверхностью раздела сред в ограниченной снизу весомой жидкости

§7 Колебания подводного контура при наличии горизонтального

7.1 Постановка задачи. Граничные условия.

7.2 Метод решения задачи для твердого тела.

7.3 Формулы для определения сил и примеры расчетов.

§8 Пульсирующий круг в открытом канале с весомой

Ф жидкостью.

8.1 Интегральные уравнения задачи.

8.2 Примеры расчетов.

§9 Колебания эллипса в двухслойной, ограниченной снизу жидкости.

9.1 Постановка задачи. Системы интегральных уравнений.

9.2 Расчеты осциллирующих колебаний эллипса. ф.

Глава 4. Обтекание подводного контура с учетом поверхностного натяжения на свободной границе

§10 Бесциркуляционное обтекание кругового цилиндра.

10.1 Постановка задачи. Граничные условия.

10.2 Вывод интегрального уравнения.

10.3 Расчеты гидродинамических характеристик.

§11 Капиллярно-гравитационные волны при циркуляционном обтекании кругового цилиндра. ф, 11.1 Определяющее интегральное уравнение.

11.2 Числовые расчеты.

Глава 5. Исследование нелинейных эффектов на свободной поверхности при обтекании подводного контура

§12 Обтекание подводного крылового профиля в рамках теории волн малой амплитуды к -го порядка.

12.1 Граничные условия. Схема возмущений.

12.2 Метод решения.

12.3 Числовые расчеты и сравнения.

§ 13 Обтекание подводного контура при больших числах Фру да

13.1 Постановка задачи.

Ф 13.2 Комплексный потенциал w(t)

13.3 Отображающая функция z(t).

13.4 Гидродинамические коэффициенты.

13.5 Алгоритм решения задачи.

13.6 Результаты расчетов.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Установившиеся движения телесного профиля в весомой жидкости с границами раздела»

Изучение движения тел в поле силы тяжести вблизи границ раздела сред: свободной поверхности, границы раздела жидкостей разной плотности, твердого дна относится к числу актуальных проблем современной гидроаэродинамики, что в значительной степени связано с созданием транспортных средств, использующих крылья в качестве несущих элементов и средств управления движением.

Отметим связь рассматриваемой темы с двумя классическими направлениями гидромеханики: обтеканием тел потоком идеальной жидкости и теорией волновых движений жидкости. Наиболее полно различные теоретические, экспериментальные, расчетные исследования в данных областях представлены в монографиях М.А. Басина и В.П. Шадрина [3], М.И. Гуревича [21], И.Т. Егорова и В.Т. Соколова [22], A.M. Елизарова, Н.Б. Ильинского, А.В. Поташева [23], A.M. Елизарова, Н.Б. Ильинского, А.В. Поташева, Г.Ю. Степанова [24], О.М. Киселева и Л.М. Котляра [40], А.А. Костюкова [46], Д.В. Маклакова [75], Дж. Ньюмена [81], А.Н. Панченкова [82], К.В. Рождественского [83, 200], J1.H. Сретенского [89], Дж. Дж. Стокера [92], Г.Г. Тумашева и М.Т. Нужина [106], М.Д. Хаскинда [141] и других.

Даже для модели установившегося безвихревого течения идеальной жидкости задача обтекания плоского контура вблизи границы раздела является очень сложной в силу нелинейности граничных условий на поверхности раздела и неизвестности формы самой границы, на которой эти условия должны выполняться. Проблемы с границами раздела дополняются учетом возможно сложной геометрией самого контура, на котором должно выполняться условие плавности обтекания. Поэтому, исходя из физических соображений, прибегают к различным гипотезам, упрощающим математическую модель течения. Самой известной является гипотеза о малости амплитуды волн по отношению к их длине, например, что имеет место, когда возмущения на границе раздела достаточно малы. Наиболее часто в литературе встречается линейная теория волн малой амплитуды. Используют также упрощения, связанные с исследованием предельных случаев, когда число Фруда стремится к нулю или бесконечности. В последнем случае жидкость невесомая.

Что касается тела (телесного контура), то прибегают к моделированию его одной или несколькими особенностями, а также используют замену слабо искривленной дугой (средней линией, хордой), что известно как модель тонкого крыла. То есть с точки зрения обтекания телесного контура вблизи границы раздела с учетом точности выполнения граничных условий на поверхности раздела и контуре задачи можно подразделить на полностью линейные, линейно-нелинейные и в полной нелинейной постановке.

Обзоры по гидродинамике подводного крыла представлены в работах: J.V. Wehausen, E.V. Laitone [24], J.V. Wehausen [213], R.W. Yeung [218], И.В. Стурова, H.H. Бородина, Л.Г. Гуляева [98], И.В. Стурова [97], Ю.А. Степанянц, И.В. Стурова, Э.В. Теодорович [91], С.И. Горлов [174].

Первой задачей подвергшейся изучению стала плоская задача об установившемся движении подводного кругового цилиндра, поставленная Kelvin [182] в 1904 году. Первое приближение в решении задачи в 1913 году сделал Н. Lamb [187], который заменил цилиндр диполем, использовав на свободной поверхности аппроксимацию граничного условия, принятую в рамках линейной теории волн малой амплитуды. Г. Ламбу принадлежит и первое систематическое изложение самой теории волн малой амплитуды в монографии [53]. Он применил теорию волн малой амплитуды к целому ряду задач, среди которых отметим задачу о движении подводной сферы в дипольном приближении и задачу об источнике, пульсирующем под свободной поверхностью по заданному гармоническому закону. ф Т.Н. Havelock [177] дал второе приближение в решении задачи о подводном круговом цилиндре, уточнив выполнение граничного условия на поверхности цилиндра. Позднее [176] им был указан путь, приводящий к решению с точным выполнением условия непротекания на цилиндре, и получены значения интегральных характеристик в виде рядов, коэффициенты которых находятся из решения бесконечной системы алгебраических уравнений. JI.H. Сретенский [87], заменив действие цилиндра действием диполя и вихря, изучал циркуляционное обтекание Ф кругового цилиндра. Им также рассматривались поверхностные гравитационно-капиллярные волны при обтекании вихря [89].

Фундаментальные методы теории подводного крыла были разработаны М.В. Келдышем и М.А. Лаврентьевым [36], Н.Е. Кочиным [48] и Л.И. Седовым [84]. В 1937 году М.В. Келдыш и М.А. Лаврентьев предложили в линейной постановке решение задачи обтекания тонкого крыла под свободной поверхностью, базирующееся на полученном ранее М.В. Келдышем решении задачи обтекания изолированной особенности [35]. ф Для многих методов задача обтекания особенности является модельной, поскольку, как отмечено в [36]: " . в случае движения тела под поверхностью воды это тело гидродинамически эквивалентно системе особенностей, которую нужно определять из условия обтекания тела. Если оставаться в предположениях теории малых волн, то поток, создаваемый системой особенностей, получается просто суммированием потоков, создаваемых отдельными особенностями". В работе М.В. Келдыша и М.А.

Лаврентьева крыло заменялось вихревым слоем, распределенным по хорде профиля. Решение сводилось к определению плотности распределенных вихрей из решения интегрального уравнения, полученного из граничного условия на контуре крыла. Решение уравнения отыскивалось путем разложения в ряд по малому параметру Llh, где L - длина хорды крыла, а h- его погружение. Были получены общие формулы для сил, действующих на крыло, и решены частные задачи о плоской пластинке, дужке круга и вытянутом эллипсе.

Одновременно с М.В. Келдышем и М.А. Лаврентьевым Н.Е. Кочин в рамках линейной теории малых волн получил общее решение плоской и пространственной задач о движении подводного тела. Его аналитический метод основан на введении функции Н(к), названной впоследствии функцией Кочина, через которую выражаются волновое сопротивление, подъемная сила и момент профиля. Функция Кочина в плоском случае определялась через комплексный потенциал течения w(z), вызванного движением крыла в жидкости при наличии свободной поверхности. где X - переменный параметр, а С, - произвольный контур, охватывающий профиль. Для нахождения решения задачи Н.Е. Кочин распределил по контуру источники. Комплексный потенциал при этом выбирался в виде удовлетворяющем заданному условию на свободной поверхности при произвольной плотности распределения источников. Для ее определения из граничного условия на профиле было выведено интегральное уравнение Фредгольма второго рода подробно исследованное для больших и малых чисел Фруда. При определении dw/dz, помимо удовлетворения граничных условий, требуется

0.1) удовлетворить и условию конечности скорости на задней кромке крыла. Это привело Н.Е. Кочина к сложному уравнению для определения циркуляции вокруг крыла. Заменяя в Н(Х) комплексную скорость рассматриваемого течения жидкости на комплексную скорость течения вызванного движением профиля в безграничной жидкости, Н.Е. Кочин ф нашел приближенное решение задачи о силах, действующих на профиль, без решения интегрального уравнения. Данный прием получил название гипотезы Кочина. Свой метод Н.Е. Кочин развил для исследования малых установившихся колебаний тела под свободной поверхностью для плоской и пространственной задач [49, 50], решение которых, как и для поступательного движения было сведено к интегральным уравнениям. В [49, 50] получены формулы для гидродинамических характеристик через функции аналогичные (0.1) и на ряде примеров продемонстрирован прием ф приближенного вычисления реакций жидкости на тело.

Н.Е. Кочин был также одним из первых, кто начал исследовать волны на поверхности раздела двух масс жидкости разной плотности, происходящих от наличия в жидкости какой-либо особенности под границей раздела [47]. При этом задача с неоднородными условиями на границе раздела была сведена к задаче с однородным условием, таким же как на свободной поверхности. Задачи о движении изолированной особенности над поверхностью раздела рассматривались позднее Я.И. ♦ Войткунским [8] и А.Б. Лотовым [55]. Теоретическое исследование обтекание профиля над и под границей раздела жидкостей разной плотности методом Кочина содержится в монографии А.Н. Панченкова [82].

Различные модификации методов Кочина и Келдыша-Лаврентьева, применяемые для практических расчетов при больших числах Фруда, когда весомостью жидкости можно пренебречь, обсуждаются в книге И.Т.

Егорова и В.Т. Соколова [22]. Численные методы в сочетании с развитием идей Н.Е. Кочина, М.В. Келдыша и М.А. Лаврентьева предлагаются в работах Isay W.H. [180], Н.А. Walderhaug [212], J.P. Giesing, А.М.О. Smith [172], M.S. Chang, P.C. Pien [164], T.-D. Nguyen, D. Fruman, T.S. Luu [196], B.A. Целищева [145, 146]. В [212] рассмотрен тонкий поводный профиль с ф распределением вихрей вдоль средней линии. В [172] предложен алгоритм для определения течения вблизи одного или нескольких подводных контуров на основе панельного метода в приближении постоянства интенсивности распределенных источников, описание которого можно найти в [178]. В [164] предложена модификация метода [172] на основе распределения по панели диполей. Распределение особенностей (источников) по контуру тела применяли при решении задачи обтекания тела произвольной формы под свободной поверхностью T.-D. Nguyen, D.

Fruman, T.S. Luu в [196], где определялись гидродинамические силы, действующие на контур, и для решения использовалась реоэлектрическая аналогия и численные методы. Исследование обтекания тонкого подводного крылового профиля проведено [145, 146] на основе коллокационного метода решения сингулярного интегрального уравнения, к которому сведено решение задачи. На основе приближенных конформных отображений задачу о толстом подводном крыловом профиле и круговом цилиндре рассматривали Т. Nishiyama [197] и S.H. Smith [206].

Ф Расчету гидродинамической нагрузки на круговой цилиндр в потоке двухслойной жидкости методом мультипольных разложений R.C. Thorne [210] посвящена работа G.X. Wu [215], R.Eatock Taylor и G.X. Wu [169] предложен метод гибридных конечных элементов. В этом методе потенциал скоростей представляется с помощью метода конечных элементов в узкой области, окружающей тело, и с помощью граничных интегральных уравнений во внешней области. Исследовано обтекание подводного контура. В [216] метод применен к исследованию осциллирующего цилиндра при наличии поступательного движения. Обтекание цилиндра потоком двухслойной жидкости методом гибридных конечных элементов выполнено И.В. Стуровой [94]. Для случая свободной поверхности представлены сравнения с результатами A. Mo, Е. Palm [193]. В [193] для эллиптического цилиндра применен метод особенностей и исследованы также радиационная и дифракционная задачи. Движение тела на волнении для двухслойного потока рассмотрено И.В. Стуровой в работе [93]. Простой и точный метод расчета сил, действующих, на круговой цилиндр вследствие дифракции волн, бегущих по границе раздела двухслойной жидкости, и при обтекании цилиндра равномерным двухслойным потоком невозмущенным перед телом предложен Т.И. Хабахпашевой [139, 140]. Решение задач дано в виде быстросходящихся рядов, коэффициенты которых определяются из рекуррентных соотношений. Результаты, обобщающие задачи [139, 140], представлены в работе Т.И. Хабахпашевой и И.В. Стуровой [184]. Приведены расчеты гидродинамических характеристик при расположении цилиндра над и под границей раздела жидкостей и для подводного цилиндра. Движение тонкого профиля вблизи границы раздела двух жидкостей рассмотрено G.X. Wu, Т. Miloh, G. Zilman [217] методом последовательного выполнения граничных условий на контуре и границе. Д.Н. Гореловым и С.И. Горловым [15, 18] исследовалось движение профиля над и под границей раздела. Задача сведена к двум интегральным уравнениям, для решения которых применен усовершенствованный метод дискретных вихрей.

Отметим некоторые методы и решения предложенные казанскими гидроаэромеханиками. Г.Г. Тумашевым [104] был предложен метод решения задачи о движении тонкого слабоизогнутого профиля под свободной поверхностью весомой жидкости. Краевая задача с помощью отображения на кольцо сведена к интегральному уравнению, решение которого отыскивается методом Б.Г. Габдулхаева [13] и методами регуляризации [14]. Получена формула для определения подъемной силы. С.И. Филипповым [112] метод [104] был применен к решению обратной Ф краевой задачи для тонкого подводного профиля с углом атаки.

В 1973 г. Г.Г. Тумашевым и Н.Д. Черепениным опубликована работа [108], в которой предложен новый метод для теории подводного крыла, базирующийся на идее распределения по свободной поверхности диполей. В [108] рассмотрена модельная для данного метода задача о движении подводного кругового цилиндра. Главной отличительной чертой метода является точное удовлетворение граничного условия на контуре по построению комплексного потенциала течения. Н.Д. Черепениным [151-ф 153] метод был развит для исследования поступательного и колебательного движений кругового цилиндра близи границы раздела двух полубезграничных жидкостей. В работах [149, 150] представлены примеры расчетов суммарных гидродинамических характеристик для поступательного движения кругового цилиндра и его горизонтальных колебаний под свободной поверхностью и над линией раздела двух жидкостей. Н.Д. Черепениным были проведены теоретические исследования по применению метода к обтеканию крылового профиля ф [147, 154, 109], получившие завершение в работах М.В. Лотфуллина [109,

57, 58, 60], разработавшего численные методы конформного отображения одно и двухсвязных областей [56, 59]. М.В. Лотфуллин [57, 58, 60] развил также метод [108] для решения задачи о движении двух подводных профилей. Данная задача имеет большой практический интерес. Первые приближения для нее получены A. Coombs [166] методом Хавелока и W.H.

Isay [180], применившим фактически метод Келдыша-Лаврентьева. В функциях Кочина решение задачи дано А.Н. Панченковым [82].

Среди задач о движении тел вблизи твердой границы отметим точное решение для кругового цилиндра А.Г. Терентьева и К.Е. Афанасьева [99], которое использовалось нами в качестве теста. Подробные изложение Ф методов и решений по данным задачам можно найти в монографиях Л.И.

Седова [84], М.А. Басина и В.П. Шадрина [3], A.M. Елизарова, Н.Б. Ильинского, А.В. Поташева, Г.Ю. Степанова [24], К.В. Рождественского [83, 200].

Проблемы однозначности решения плоской задачи о поверхностных волнах при наличии погруженного тела затронуты в работах М.В. Келдыша и М.А. Лаврентьева [36], Г.Г. Тумашева и Н.Д. Черепенина [108], Б.Р. Вайнберга и В.Г. Мазьи [6], M.J. Simon и F. Ursell [205]. В Ф последней работе представлен обзор на данную тему.

Наряду с исследованием линейных поверхностных и внутренних волн при движении тел в неограниченных потоках большое внимание уделялось исследованию потоков конечной глубины. Решение задачи о бесциркуляционном обтекании кругового цилиндра под свободной поверхностью весомой жидкости при наличии горизонтального дна в модели диполя в рамках линейной теории волн малой амплитуды дано Л.Н. Сретенским [87]. Обобщение методов Кочина и Келдыша-ф Лаврентьева на случай жидкости конечной глубины при поступательном движении сделано М. Д. Хаскиндом [142] и А.И. Тихоновым [102]. Теми же методами М.Д. Хаскиндом [143, 144] получено решение задачи о установившихся малых колебаниях тела в открытом канале.

J.P. Giesing и А.М.О. Smith [172] исследовали движении кругового цилиндра в канале путем расположения плоской стенки длиной 80 радиусов в качестве второго тела в жидкости бесконечной глубины.

Представлены расчеты формы свободной поверхности и распределения давления на цилиндре и дне. Исследованию обтекания эллипса и профиля в канале на основе локализованного метода конечных элементов посвящены работы K.J. Bai [157, 158]. Приведены результаты расчетов гидродинамических характеристик, которые хорошо согласуются с экспериментальными данными B.R. Parkin, В. Perry, T.Y. Wu [198]. Метод гибридных элементов, в котором вблизи тела реализуется обычный метод конечных элементов, а в оставшейся части бесконечной области -аналитическое решение, для задачи обтекания тела с учетом радиационной и дифракционной задач на основе вариационных принципов дан С.С. Mei и H.S. Chen [165, 192]. R.W. Yeung, Y.C. Bouger [219, 220] применили метод интегральных уравнений, полученных с помощью теоремы Грина. Выполнены расчеты для кругового и эллиптического цилиндров и гидрокрыла. К решению задачи о движении тел в канале применялся также метод R. Eatock Taylor, G.X. Wu [169]. Представлены расчеты гидродинамических характеристик для различных погружений. Бесциркуляционное обтекание тела в канале исследовалось С.И. Горловым [19] методом [15]. Проведены расчеты для эллиптического контура. В.Н. Кравец [51] рассмотрено движение слабоизогнутого профиля малой толщины под границей раздела двух жидкостей, ограниченных горизонтальным дном, методом потенциала ускорений. Получено сингулярное интегральное уравнение, решение которого ищется методом малых функциональных параметров. Построен алгоритм определения коэффициента подъемной силы профиля. Приведен пример расчета. Движение контура в двухслойной ограниченной снизу жидкости на основе интегральных представлений, учитывающих асимптотику на бесконечности, рассмотрено О.М. Мотыгиным и Н.Г. Кузнецовым [194]. Дана формула для волнового сопротивления и представлены результаты численных расчетов. И.В. Стуровой [95] методом мультипольных разложений построено решение о бесциркуляционном обтекании кругового цилиндра, расположенного в верхнем или нижнем слое двухслойной жидкости, ограниченной горизонтальным дном или твердой крышкой. Представлены расчеты гидродинамической нагрузки в Ф зависимости от числа Фруда.

Более сложными задачами о движении тела вблизи границ раздела являются задачи с двумя волновыми поверхностями. Задача о движении тела в двухслойной жидкости со свободной поверхностью связана с явлением "мертвой воды". Это явление состоит в том, что суда, например, в устьях рек и норвежских фиордах встречают со стороны воды очень большое "аномальное" сопротивление, что приводит к падению скорости судна. Впервые в поле научного исследования явление "мертвой воды" Ф перенес Ф. Нансен, наблюдавший его во время полярной экспедиции в

1896 году у полуострова Таймыр (см. [88]). Ф. Нансен обратил внимание на наличие слоя талой пресной воды, который располагался над соленой морской водой. Научное обоснование явления "мертвой воды" было дано в экспериментальной работе V.W. Ekman [171] и теоретических работах Г. Дамба [53] и JI.H. Сретенского [88]. Моделируя корабль импульсом давления, движущимся с постоянной скоростью по свободной поверхности, в работах [53, 88] показано, что на свободной поверхности и ф границе раздела жидкостей существует два типа волн, образование которых объясняется наличием бесконечно глубокого слоя жидкости и слоя конечной толщины, причем амплитуда волн на линии раздела жидкостей может быть значительно большей чем на свободной поверхности.

Движение гидродинамических особенностей в многослойной весомой жидкости рассматривалось Р. Б. Нудельманом [80] и С.И. Горловым [17].

Задачи обтекания и малых колебаний плоского контура над и под линией раздела жидкостей при наличии свободной поверхности изучал B.C. Войценя [9-12]. Применив метод Кочина, он получил выражения подъемной силы, волнового сопротивления и момента в функциях Кочина и вывел интегральное уравнение для определения неизвестной плотности ф распределения источников по контуру для бесциркуляционного течения.

В работе С.В. Бирюковой, В.В. Васильевой, Я.И. Войткунского [5] получены численные оценки волнового сопротивления тонкого судна, движущегося в слое жидкости над бесконечно глубокой жидкостью большей плотности. Применение численных методов к задаче для кругового и эллиптического цилиндров дано в работах И.В. Стуровой [95] и С.И. Горлова [16]. И.В. Стуровой [96] для тех же контуров рассмотрены радиационная и дифракционная задачи. В работах [16, 95, 96] ц представлены примеры расчетов гидродинамической нагрузки.

Значительно менее исследованы нелинейные волны на границе раздела при движении тела в весомой жидкости, в то время как при малых погружениях и больших числах Фруда учет нелинейных эффектов на поверхности раздела может существенно уточнить расчетные гидродинамические характеристики.

Первые работы по изучению нелинейных волн при обтекании вихря [77, 101, 110, 111] и профиля [78, 100] под свободной поверхностью ф выполнены для ограниченной снизу жидкости, носили характер доказательства теорем существования, единственности или не единственности решения и связаны с именами A.M. Тер-Крикорова, Н.Н. Моисеева и И.Г. Филиппова. А.Н. Некрасовым [79] с помощью конформных отображений задача о движении вихря под свободной поверхностью бесконечно глубокой жидкости сведена к решению интегральных уравнений. Численные и аналитико-численные методы к задаче обтекания особенностей (вихря, источника, диполя) применяли Э.Л. Амровин, Н.А. Вальдман, А.Н. Иванов [1, 7], В.П. Житников, О.И. Шерыхалин, Н.М. Шерыхалина [31, 32, 155], G. Jensen, Z.-X. Mi, Н. Soding [181], S.J. Liao [189, 190], N. Salvesen, С. Kerczek [202-204]. Наиболее значимые результаты для задачи обтекания вихря получены Д.В. ф Маклаковым [75, 76]. Разработанный им метод исследования докритического обтекания опирается на доказательство теоремы существования решения. Выведена замкнутая система нелинейных интегральных уравнений, которая в явном виде содержит три параметра, определяющих длину, амплитуду и фазу волн на бесконечности. Определены предельные режимы обтекания. Выполнены систематические расчеты, позволившие выявить ряд качественных нелинейных эффектов.

Рассмотрение нелинейных волн при обтекании подводного кругового щ цилиндра было положено работой Е.О. Tuck [211]. Ряд исследований нелинейных волн в рамках теории волн малой амплитуды получен на основе метода возмущений, предложенного J.V. Wehausen и E.V. Laitone [214]. Обтекание тонкого профиля по схеме возмущений посвящены работы G.R. Hough, S.P. Moran [179], A. Plotkin [199], С. Kennell, A. Plotkin [183], где учитываются члены второго порядка малости. Изучено влияние нелинейных эффектов в зависимости от числа Фруда и глубины погружения. Обтекание подводного телесного (толстого) профиля с # нулевым углом атаки рассмотрено N. Salvesen [201]. При расчетах волнового сопротивления и поверхностных волн учтены члены второго и третьего порядка малости. Полученные результаты хорошо согласуются с экспериментальными. Следует подчеркнуть вклад Н. Сальвесена в саму теорию возмущений при обтекании тела, выражающийся в получении условий сходимости осциллирующих интегралов, появляющихся при применении метода возмущений к обтеканию профиля.

Работа C.W. Dawson [167] стала отправной точкой исследований, основанных на приближениях другого рода. В [167], как и в последующих работах К. Nakatake, Т. Kawagoe, J. Andou, К. Kataoka [195], Н. Maruo, S. Ogiwara [191], M. Szajnbok, M. de Conti [207], используется предположение о близости рассматриваемого течения к течению около заданного тела при наличии сверху плоской горизонтальной стенки (при числе Фруда Fr = 0), потенциал скорости ф0 такого течения считается известным. Как и теория волн малой амплитуды, метод [167] основан на сносе граничных условий со свободной поверхности на невозмущенный уровень жидкости. Но если в теории волн малой амплитуды граничные условия получаются с помощью разложений потенциала скорости ф и возвышения свободной поверхности г| в ряды по малому параметру, то в методе [167] функция Ф, = Ф - ф0 и ее производные раскладываются в ряды Тейлора по степеням г|; используются только линейные и квадратичные члены этих разложений. Работы [191, 195] содержат примеры расчета гидродинамической нагрузки телесного профиля и поверхностных волн и сравнения с экспериментом. Е. Сатрапа, F. Lalli, U. Bulgarelli [161-163, 186] предложена модификация метода [167] для движения подводного тела в бесконечно глубокой и ограниченной снизу жидкости, а так же на пространственный случай обтекания подводной сферы. Представлены расчеты формы свободной поверхности и гидродинамических характеристик.

Локализованный метод конечных элементов для обтекания подводного профиля применен K.J. Bai, J.H. Han, J.W. Kim, H.S. Lee [159, 160, 185]. Даны расчеты коэффициентов волнового сопротивления, подъемной силы и распределения давления на профиле, проведено сравнения с экспериментом.

Панельный метод для исследования обтекания подводного контура применялся S.J. Lee [188], G. Thiart, V. Bertram, G. Jensen [208, 209], С.И. Горловым [20]. В [20] рассмотрено обтекание эллиптического контура, а в работах [188, 208, 209] панельный метод применен к исследованию обтекания профиля. Представлены результаты расчетов суммарных и ф распределенных гидродинамических характеристик, которые сравниваются с экспериментом и результатами других авторов. В [208] даны сопоставления с результатами H.J.Haussling, R.M. Coleman [175], полученными конечноразностным методом.

Тонкий профиль вблизи границы раздела двух весомых жидкостей исследовался В.В. Головченко и Д.Н. Гореловым [173]. Задача сведена к решению системы нелинейных уравнений методом последовательных приближений. Получены расчеты для случая свободной поверхности, ф Метод граничных элементов для задачи о движении подводного профиля в ограниченной снизу жидкости использовался Н.Н. Ясько [156]. Вычисления проведены для симметричного профиля и руля Жуковского при больших и малых числах Фруда. Модифицированный метод комплексных граничных элементов применен к аналогичной задаче К.Е. Афанасьевым и С.В. Стуколовым [2]. Получены численные результаты для циркуляционного обтекания кругового контура и руля Жуковского. Метод позволяет проводить исследования при числах Фруда близких к единице, ф где обнаружена неоднозначность решения.

Для невесомой жидкости задача о движении крылового профиля в двухслойной жидкости в точной постановке рассматривалась Д.В. Маклаковым [73, 75] на основе метода близкого идее Г.Г. Тумашева [115] моделирования границы раздела особенностями, позволяющего точно удовлетворить условию на профиле по построению решения. В итоге задача сведена к системе нелинейных уравнений. Дано конструктивное доказательство сходимости процесса прямых итераций для решения выведенной системы. Представлены результаты числовых расчетов.

Новая аппроксимация граничного условия на свободной поверхности, удобная для исследования течений весомой жидкости при больших числах Фруда, основанная на единственном допущении о том что модуль скорости на свободной поверхности близок к своему значению в невозмущенном потоке, то есть при отсутствии сноса граничных условий, введена Г.Г. Тумашевым и О.М. Киселевым [105, 39]. Подробное описание аппроксимации содержится в монографии О.М. Киселева и JI.M. Котляра [40]. В работах О.М. Киселева [37, 38] изложено решение задач о движении вихря и источника под свободной поверхностью весомой жидкости. О.В. Троепольская [103] решила этим методом задачу о движении диполя. Исследование обтекания телесного контура - кругового цилиндра достаточно удаленного от свободной поверхности на основе аппроксимации [105, 39] было положено работой О.М. Киселева и О.В. Троепольской [41].

Результаты, представленные в данной диссертации, группируются вокруг двух основных направлений исследования. Первое направление связано с исследованием установившихся течений весомой жидкости, в которой находится телесный контур произвольной формы, при наличии дополнительных факторов, усложняющих модель течения: поток с двумя границами раздела - свободной поверхностью, границей раздела жидкостей разной плотности и скорости течения, горизонтальной стенкой (дно или твердая крышка), в их различной комбинации с изучением поступательного и колебательного установившихся движений; учет наряду с силой тяжести силы поверхностного натяжения на свободной границе. Задачи рассматриваются в линейно-нелинейной постановке на основе развития и обобщения метода моделирования границ особенностями при точном выполнении краевых условий на твердых границах и линеаризованных - на свободной поверхности и линии раздела жидкостей. Частичная линеаризация представляет "плату" за усложнение модели потока. Решение задач теории подводного крыла с учетом дополнительных факторов моделирования потока в настоящее время -щ быстроразвивающаяся область исследований. Многие из представленных в диссертации решений являются одними из первых аналитико-численных результатов в этой области.

Второе направление связано с исследованием нелинейных поверхностных волн при обтекании подводного контура, то есть представляет одно из традиционных направлений теории подводного крыла, нацеленное на как можно более точное выполнение граничных условий на профиле и свободной поверхности. Решения здесь получены в щ двух диапазонах изменения числа Фруда. При небольших числах Фруда использована теория волн малой амплитуды и метод моделирования границ особенностями с привлечением метода возмущений. Основное внимание уделено рассмотрению профиля произвольной формы на примере гидропрофиля, то есть тонкого профиля без линеаризации его формы с углом атаки. Можно отметить, что в большинстве работ других авторов используется симметричный профиль 12% толщины либо функционально заданный профиль (профиль Жуковского). Применение # профилей с такими геометрическими ограничениями по-видимому связано с проблемами численного удовлетворения граничного условия на контуре, которых в развиваемом в диссертации аналитическом методе нет. При больших числах Фруда применяется аппроксимация Киселева-Тумашева и основное внимание уделено малопогруженному контуру, прежде всего круговому цилиндру, поскольку в данной области за исключением работы [41] исследования не проводились. Получены результаты и не для кругового контура, в том числе достаточно тонкого телесного контура с углом атаки. Заметим, что совместно оба аналитико-численных метода для нелинейных волн, представленных в диссертации, охватывают почти весь диапазон чисел Фруда и для первого решение задачи переходит в точное при Fr = 0, а для второго - при Fr —> оо. щ В главе 1 метод моделирования границ особенностями (МГО) применен к решению модельных задач обтекания цилиндра потоком весомой жидкости с одной и двумя границами раздела сред. Задачи имеют и прикладное значение связанное, к примеру, с обтеканием шайб, устанавливаемых на судах на подводных крыльях.

В §1 дано решение задачи обтекания кругового цилиндра потоком весомой жидкости при наличии свободной поверхности и границы раздела жидкостей. Представлена общая постановка задачи для произвольного ф. контура и граничные условия. Дано обобщение метода МГО на случай многослойного потока. Рассмотрен вопрос нахождения форм границ раздела сред.

В §2 метод МГО применен к решению классической задачи обтекания подводного кругового цилиндра потоком весомой жидкости, конечной глубины. Результаты сравниваются с известными вычислениями других авторов, в том числе J.P.Giesing, A.M.O.Smith [172] для формы свободной поверхности. Представлены результаты, полученные на основе «I систематических расчетов.

В §3 дано решение задачи для трехслойной жидкости, а также представлены результаты параллельных расчетов для эллиптического цилиндра в двухслойной жидкости, полученными методом МГО и методом гибридных конечных элементов. Последние выполнены И.В. Стуровой.

Во второй главе исследуются задачи обтекания профиля произвольной формы потоком многослойной весомой жидкости, для которых также развивается метод распределения особенностей по границам раздела. В §4 рассмотрен трехслойный поток. Предложена форма записи комплексного потенциала скорости возмущенного течения, удовлетворяющая условию £ на контуре в параметрической плоскости, что позволило свести решение задачи обтекания профиля к системам линейных интегральных уравнений для бесциркуляционного и чисто циркуляционного течений. Значение циркуляции находится на основе постулата Жуковского-Чаплыгина. Дан метод вычисления поверхностей раздела сред.

Исследование обтекания профиля в канале с горизонтальным дном рассмотрено в §5. Представлены решения для двухслойной жидкости, открытого канала со свободной поверхностью и канала с твердыми ф стенками. В последнем случае решение в точной постановке. В §6 даны решения для профиля в двухслойной жидкости со свободной поверхностью при расположении контура над и под границей раздела жидкостей. Проведены исследования явления "мертвой воды" и потоков с разной скоростью течения. В главах 1, 2 представлены также результаты и для задач с одной границей раздела, ряд из которых обладает новизной, а другие используются для сравнения с решениями иных авторов.

Глава 3 посвящена исследованию методом МГО установившихся 9 колебаний контура в весомой жидкости. §7 содержит решения об установившихся осциллирующих колебаниях тела в канале со свободной поверхностью и горизонтальным дном. В §8 рассмотрены равномерные и неравномерные пульсирующие колебания кругового цилиндра -единственный в диссертации случай нетвердого контура. В §9 решена задача о колебаниях эллиптического контура в двухслойной ограниченной снизу жидкости.

Глава 4 содержит решения задачи о капиллярно-гравитационных волнах на свободной поверхности при обтекании подводного контура на примере модельной задачи обтекания кругового цилиндра в бесциркуляционном - §10 и циркуляционном - §11 случаях . Для телесного контура такая задача является новой. Получены и ф проанализированы результаты по поверхностным волнам, а также вычислениям коэффициентов подъемной силы и волнового сопротивления в зависимости от числа Фруда при изменении глубины погружения, размеров тела, числа Вебера и температуры.

В главе 5 представлены нелинейные волны при обтекании подводного контура. В §12 методом МГО с использованием метода возмущений дано решение обтекания крылового профиля в канале со свободной поверхностью и горизонтальным дном. Задача сведена к решению систем ^ линейных интегральных уравнений Фредгольма второго рода. Расчеты выполнены на примере гидропрофиля NACA 66mod для бесконечно глубокой жидкости. Представлены сравнения результатов для NACA 0012 с результатами [208,209] и экспериментальными данными [168].

В §13 в отличие от §§1-12 предложен и реализован иной аналитико-численный метод, пригодный для рассмотрения интервала больших чисел Фруда. Получены результаты расчетов гидродинамических характеристик кругового цилиндра и поверхностных волн, а также примеры расчета тел • некруговой формы.

В приложении содержится обобщение метода моделирования границ особенностями на пространственный случай обтекания сферы. Решение задачи сведено к интегральному уравнению.

Результаты диссертации опубликованы в работах [26, 33, 34, 40, 113115] (глава 1), [25, 27, 34, 42, 52, 63-71, 116-123] (глава 2), [42, 62, 131— 136] (глава 3), [28-30, 123, 137, 138] (глава 4), [28, 43-45, 107, 123, 125

128] (глава 5). Исследования по методу моделирования границ особенностями §§1-12 получены в основном автором диссертации (идея обобщения метода, вывод интегральных уравнений, разработка алгоритмов решения систем интегральных уравнений, проведение расчетов гидродинамических характеристик). М.В. Лотфуллину ф принадлежит метод и алгоритм конформного отображения. A.M.

Елизаровым выполнено доказательство сходимости процесса последовательных приближений для задачи о капиллярно-гравитационных волнах. Результаты §13 получены в соавторстве с О.М. Киселевым, которому принадлежит идея построения комплексного потенциала. Расчеты выполнены С.И. Филипповым. Основные результаты получены при паритетном (по предложению О.М. Киселева) и очень плодотворном сотрудничестве. Автор диссертации искренне признателен всем своим щ соавторам.

Результаты диссертации по мере их получения докладывались: на научной конференции "Математические проблемы аэрогидродинамики" (Москва, 1986), на II Республиканской конференции "Механика машиностроения" (Набережные Челны, 1987), на семинаре "Математические модели и их применение в судостроении" НТО им. акад. А.Н. Крылова (Ленинград, 1988), на научно-технической конференции "Крыловские чтения" (Ленинград 1985, 1988, 1993), на Всесоюзном Ф совещании по численным методам в задачах волновой гидродинамики

Ростов-на-Дону, 1990), на VII Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (Москва, 1991), на Всероссийской научной школе "Модели механики сплошной среды" (Казань, 1993), на международной научно-технической конференции "Актуальные проблемы математического моделирования и автоматизированного проектирования в машиностроении" (Казань, 1995), на Всероссийских (Всесоюзных) школах

Гидродинамика больших скоростей" (Красноярск, 1987; Чебоксары, 1989, 1992, 1996), на научно-технических конференциях Казанского филиала военного артиллерийского университета (Казань, 1996 - 1999), на Всероссийской конференции "Краевые задачи и их приложения" (Казань, 1999), на международной научной конференции "Краевые задачи ф аэрогидромеханики и их приложения" (Казань, 2000), на международной научной конференции "Актуальные проблемы математики и механики" (Казань, 2000), на международной молодежной научной школе-конференции "Лобачевские чтения" (Казань, 2001), на международной научной школе "Модели и методы аэродинамики" (Евпатория, 2001), на итоговых научных конференциях Казанского университета и семинарах НИИММ им. Н.Г. Чеботарева (1985 - 2003).

Работы, представленные в диссертации, поддержаны РФФИ (проекты

96-01-00111, 99-01-00169, 99-01-00173, 02-01-00836, 03-01-00015), фондом НИОКР АНТ (2000 - 2003 гг.), программой "Университеты России" (2000 - 2001 гг.). Ряд исследований (главы 1-3) выполнен по хозяйственным договорам с ЦНИИ им. А.Н. Крылова (1988 - 1993 гг.) и передан ЦНИИ в виде научных отчетов и математического обеспечения.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Развитие и обобщение аналитико-численного метода моделирования границ особенностями для исследования задач о движении подводного крыла в потоке весомой жидкости с границами раздела.

2. Разработка аналитико-численного метода расчета обтекания подводного контура при больших числах Фруда с учетом силы тяжести.

3. Решение задач обтекания телесного контура произвольной формы потоком весомой жидкости с одной и двумя границами раздела сред в рамках линейной и нелинейной теории волн малой амплитуды.

4. Решение задач об установившихся осциллирующих и пульсирующих колебаниях контура в канале со свободной поверхностью и двухслойной жидкостью.

5. Исследование капиллярно-гравитационных волн при обтекании подводного контура.

6. Решение плоской задачи обтекания малопогруженного цилиндра потоком весомой жидкости при больших числах Фруда.

7. Числовые расчеты для задач об установившихся движениях телесного контура в потоке весомой жидкости с границами раздела и их анализ. Ф

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Филиппов, Сергей Иванович, 2003 год

1. Амровин Э.Л., Вальдман Н.А., Иванов А.Н. К нелинейной теории плоских волн на поверхности жидкости //Асимптотические методы. Задачи механики. - Новосибирск: Наука, 1988. - 169-176.

3. Басин М.А., Шадрин В.П. Гидроаэродинамика крыла вблизи границы раздела сред. - Л.: Судостроение, 1980. - 304 с.

4. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. - М.: Мир, 1973. - 758с.

5. Бирюкова СВ., Васильева В.В., Войткунский Я.И. Влияние внутренних волн на сопротивление судна // Сб. НТО им. акад. А.Н. Крылова. - Д.: Судостроение, 1985. - Вып. 414. - 23-41.

6. Вайнберг Б.Р., Мазья В.Г. Плоская задача о движении погруженного в жидкость тела //Труды Московского мат. общества. - 1973. - Т. 28. -С. 35-56.

7. Вальдман Н.А. Решение плоской задачи о движении вихря вблизи поверхности весомой жидкости методом малого параметра // Математические модели и САПР в судостроении. - Д.: Судостроение, 1985.-С 18-24.

8. Войткунский Я.И. Обтекание гидродинамических особенностей, расположенных над поверхностью раздела жидкостей разной - 2 0 9 -плотностии // Инж. журн. АН СССР. - 1963. - Т. 3. - № 2. - 262-270.

9. Войценя В. О колебаниях тела над поверхностью раздела двух жидкостей // ПММ. - 1963 - Т. XXVII. - Вып. 5. - 910-917.

10. Войценя В. Плоская задача о колебаниях тела под поверхностью раздела двух жидкостей // ПММ. - 1958. - Т. XXII. - Вып. 6. - 789-803.

11. Войценя B.C. О поступательном движении тела над поверхностью раздела двух жидкостей. //Изв. вузов. Математика, 1963. - К» 2. - 20-30.

12. Войценя B.C. Плоская задача о поступательном движении тела под поверхностью раздела двух жидкостей // Труды Новочеркасск. политехи, ин-та. - Новочеркасск: Изд-во Новочеркасск, политехи, ин-та,1959.-№104.-С. 95-111.

13. Габдулхаев Б.Г. Об одном общем квадратурном процессе и его применении к приближенному решению сингулярных интегральных уравнений //ДАН, 1968. - Т. 179. - № 3. - 515-517.

14. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. - М.: Наука, 1977. - 640 с.

15. Горелов Д.Н, Горлов СИ. Линейная задача о движении профиля под границей раздела двух тяжелых жидкостей // ПМТФ. - 1996. - Т. 37. -№ 5. - 43-47.

16. Горлов СИ. Влияние поверхностных и внутренних волн на гидродинамические характеристики контура в линейном приближении // Изв. РАН. МЖГ. - 1998. - № 3. - 121-127.

17. Горлов СИ. Гидродинамические характеристики вихреисточника, совершающего поступательное движение в многослойной тяжелой жидкости // ПМТФ. - 2000. - Т. 41. - № 5. - 140-147.

19. Горлов СИ. Линейная задача о движении контура под свободной поверхностью жидкости конечной глубины //ПМТФ. - 1998. - Т. 39. -№ 6. - 85-90.

20. Горлов СИ. Обтекание контура с образованием нелинейных волн на свободной поверхности // Динамика сплошных сред. - № 113. - 1998. - С 45-52.

21. Гуревич М.И. Теория струй идеальной жидкости. - М.: Наука, 1979. - 536 с.

22. Егоров И.Т., Соколов В.Т. Гидродинамика быстроходных судов. - Л.: Судостроение, 1965.

23. Елизаров A.M., Лотфуллин М.В., Филиппов СИ. Развитие некоторых методов Г.Г. Тумашева в теории подводного крыла // Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского. - Казань: ДАС, 2000. - Т . 7.-С.130-141.

24. Елизаров A.M., Спиридонов О.А., Филиппов СИ. Обтекание подводного контура с образование капиллярно-гравитационных волн // Изв. вузов. Авиационная техника . - 2001. - № 2. - С15-17.

25. Елизаров A.M., Спиридонов О.А., Филиппов СИ. Поступательное движение подводного контура. Гравитационно-капиллярные волны //Труды Математического центра им. Н.И. Лобачевского. - Казань: Унипресс, 2000. - Т. 5. - 269-270.

26. Карамышева А.О., Филиппов СИ. Движение кругового цилиндра вблизи линии раздела двух жидкостей при наличии свободной поверхности и дна /Казан, ун-т. - Казань, 2002. - 22 с. - Деп. в ВИНИТИ 05.04.02. - № 631.

27. Келдыш М.В. Замечания о некоторых движениях тяжелой жидкости // Технические заметки ЦАГИ. - М.: ЦАГИ, 1935. - № 52. - 5-9.

28. Келдыш М.В., Лаврентьев М.А. О движении крыла под поверхностью тяжелой жидкости // Труды конф. по теории волнового сопротивления. - М.: ЦАГИ, 1937. - 31-62.

29. Киселев О.М. Вихрь под свободной поверхностью тяжелой жидкости // Изв. АН СССР. МЖГ. - 1968. - № 3. - 45-52.

30. Киселев О.М. Источник под свободной поверхностью тяжелой жидкости // Изв. АН СССР. МЖГ. - 1969. - № 3. - 87-91.

31. Киселев О.М. О некоторых приближенных методах решения струйных задач для тяжелой жидкости // Итоговая научная конференция Казанского ун-та за 1962г. - Казань: Изд-во Казан, унта, 1963.-С. 118-120.

32. Киселев О.М., Котляр Л.М. Нелинейные задачи теории струйных течений тяжелой жидкости. - Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1978. -156 с.

34. Киселев О.М., Филиппов СИ. Движение подводного контура при больших числах Фруда и малом погружении // Труды Математического центра им. Н.И. Лобачевского. Казань: Унипресс, 1 9 9 9 . - Т З . - С 106-116.

35. Киселев О.М., Филиппов СИ. О движение цилиндра под свободной поверхностью жидкости при больших числах Фруда // Изв. РАН. МЖГ. - 2000. - № 4. - С 34-45.

36. Киселев О.М., Филиппов СИ. Решение задачи о движении подводного контура // VIII Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Анн. докладов. - Пермь, 2001. - 325.

37. Костюков А.А. Взаимодействие тел, движущихся в весомой жидкости. - Л.: Судостроение, 1972. - 310 с.

38. Кочин Н.Е. О влиянии рельефа земли на волны на поверхности раздела двух масс жидкости разной плотности (статья 2). Собр. соч. -М.: Изд-во АН СССР, 1949. - Т. 1. - 467-477.

39. Кочин Н.Е. О волновом сопротивлении и подъемной силе погруженных в жидкость тел. Собр. соч. - М.: Изд-во АН СССР, 1949. - Т . 2 . - С 105-182.

40. Кочин Н.Е. Теория волн, вынуждаемых колебаниями тела под свободной поверхностью тяжелой несжимаемой жидкости. Собр. соч. - М.: Изд-во АН СССР, 1949. - Т. 2. - 277-304.

41. Кочин Н.Е. Плоская задача об установившихся колебаниях тел под Ф - 2 1 4 -свободной поверхностью тяжелой несжимаемой жидкости // Собр. соч. - М.-Л.: АН СССР, 1949. - Т. 2. - 244-276.

42. Кравец В.Н. Движение телесного профиля вблизи линии раздела идеальных жидкостей разных плотностей // Асимптотические методы в теории систем. - Иркутск: Изд-во Восточно-Сибирского филиала СО АН СССР, 1982.-Вып. 15.-С, 129-135.

43. Кузнецов А.В., Лотфуллин М.В., Троепольская О.В., Филиппов СИ. Плоские задачи взаимодействия многослойных потоков с препятствием // VII Всесоюз. съезд по теор. и прикл. механике. Анн. докладов. - М., 1991. - 212.

44. Ламб Г. Гидродинамика. - М.-Л.: ГИТТЛ, 1947. - 928 с.

45. Лойцянский А.Г. Механика жидкости и газа. - М.: Наука, 1970. - 904 с. ^ 55. Лотов А.Б. О силах, действующих на вихрь движущейся над свободной поверхностью // Техн. отчеты ЦАГИ. - М: Изд-во ЦАГИ, 1963.-Вып. 237.-С. 3-16.

46. Лотфуллин М.В. Численный метод конформного отображения односвязных областей // Труды семинара по краевым задачам. -Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1985. - Вып. 22. - 148-150.

47. Лотфуллин М.В. Исследование движения системы двух тел под свободной поверхностью весомой жидкости // Труды Николаевского ф кораблестроительного ин-та. - Николаев: Изд-во НКИ, 1979. - № 152. - 77-85.

48. Лотфуллин М.В. Одна краевая задача и ее приложение к плоским задачам о движении тел под свободной поверхностью тяжелой жидкости // Труды семинара по краевым задачам. - Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1976.-№ 13.-С. 202-211.

49. Лотфуллин М.В. Построение функций, конформно отображающих 215-двусвязные области / Казан ун-т. - Казань, 1977. - Деп. в ВИНИТИ 27.09.77.-№37В7.

50. Лотфуллин М.В. Взаимодействие профилей вблизи свободной поверхности весомой жидкости// Труды семинара по краевым задачам. - Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1991. - № 26. - 171-187.

51. Лотфуллин М.В., Стурова И.В., Филиппов СИ. Гидродинамическое воздействие на контур, обтекаемый равномерным потоком двухслойной жидкости // Вычислительные технологии. -Новосибирск, 1994. - Т. 3, - № 8. - 108-115.

52. Лотфуллин М.В., Филиппов СИ. Колебания плоского контура под свободной поверхностью весомой жидкости конечной глубины // Проблемы гидродинамики больших скоростей. - Чебоксары: ЧГУ, 1993.-С 184-193.

53. Лотфуллин М.В. Филиппов СИ. Моделирование границ раздела в задачах обтекания профиля крыла весомой жидкостью // ПМТФ. -1992. - Т. 33. - № 4. - 84-89.

54. Лотфуллин М.В., Филиппов СИ. Влияние внутренних волн на гидродинамические характеристики подводного крыла // Гидродинамика больших скоростей. - Чебоксары: Изд-во Чувашского гос. ун-та, 1990. - С 61-70.

55. Лотфуллин М.В., Филиппов СИ. Движение крылового профиля вблизи границы раздела двух весомых жидкостей // Динамич. задачи механики сплошной среды. Тез. докл. регион, конф. - Краснодар: Куб.ГУ, 1988.-С.

57. Лотфуллин М.В., Филиппов СИ. Обтекание профиля весомой жидкостью вблизи границ раздела сред // Механика машиностроения. Тез, докл. II Республ. науч.-тех. конф. - Набережные Челны, 1988. -С. 44.

58. Лотфуллин М.В., Филиппов СИ. Поступательное движение крылового профиля в весомой жидкости при наличии двух границ раздела сред // Труды семинара по краевым задачам. - Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1991. - Вып. 26. - С 187-199.

59. Лотфуллин М.В., Филиппов СИ. Профиль в потоке весомой жидкости при наличии двух границ раздела сред // Гидродинамика больпшх скоростей . Тез. докл. IV Всесоюз. науч. школы. - Чебоксары: ЧТУ, 1989.-С 43-44.

60. Лотфуллин М.В., Филиппов СИ. Расчет гидродинамических характеристик подводного крылового профиля, движущегося в двухслойной весомой жидкости // Матем. модели в машиностр. Тез. докл. I Всесоюз. школы-конф. - Куйбышев, 1990. - 20-22.

61. Лотфуллин М.В., Филиппов СИ. Расчет поверхностных и внутренних волн при поступательном движении крылового профиля в весомой жидкости // Моделирование в механике. - Новосибирск, 1991. - Т. 5. -№ 4. - 76-82.

62. Люк Ю. Специальные математические функции и их аппроксимации. -М.: Мир, 1980.-608с.

63. Маклаков Д.В. Нелинейная задача о движении профиля произвольной формы вблизи границы раздела двух сред разной плотности // Труды семинара по краевым задачам. - Изд-во Казан, ун-та. - Казань, 1984. -JNb21.-C 126-131.

64. Маклаков Д.В. Нелинейная теория докритических течений. Предельные режимы обтекания. Препринт № 2 / НИИММ КГУ. -# ф Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1992. - 48 с.

65. Маклаков Д.В. Нелинейные задачи гидродинамики потенциальных течений с неизвестными границами. - Янус-К. - М., 1997.

66. Милн-Томсон Л.М. Теоретическая гидродинамика. - М.: Мир, 1964. - 656 с.

67. Моисеев Н.Н. О неединственности возможных форм установившихся течений тяжелой жидкости при числах Фруда, близких к единицу // ПММ. - 1957. - Т. 21. - № 6. - 860-864.

68. Моисеев Н.П., Тер-Крикоров A.M. О неединственности решения задачи о подводном крыле // ДАН СССР. - 1958. - Т. 119. - № 5. - 899-902.

69. Некрасов А.И. О точечном вихре под поверхностью тяжелой идеальной жидкости в плоскопараллельном потоке. Собр. соч. - М.: Изд-во АН СССР, 1962. - Т. 2. - 351-370.

70. Нудельман Р.Б. Движение тела в многослойной жидкости // Гидроаэродинамика несущих поверхностей. - Киев: Наукова думка, 1966.-С. 70-79.

71. Ньюмен Дж. Морская гидродинамика. - Л.: Судостроение, 1985.

72. Панченков А.Н. Гидродинамика подводного крыла - Киев: Наукова думка, 1965.-552 с.

73. Рождественский К.В. Метод сращиваемых асимптотических разложений в гидродинамике крыла. - Л.: Судостроение, 1979. -208 с.

74. Седов Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. - М: Наука, 1966.-448 с.

76. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами / Под ред. М. Абрамовича, И. Стиган. -М.: Наука, 1979. - 832с.

77. Сретенский Л.Н. Движение цилиндра под поверхностью тяжелой жидкости // Труды ЦАГИ. - 1938. - Вып. 346. - 1-27.

78. Сретенский Л.Н. О волн^с на поверхности раздела двух жидкостей с применением к явлению "мертвой воды" // Журнал геофизики. -1934. - Т. IV. - № 3. - 332-370.

79. Сретенский Л.Н. Теория волновых движений жидкости. - М.: Наука, 1977.-816 с.

80. Сретенский Л.Н. Теория Ньютоновского потенциала. - М.-Л.: ОГИЗ ГТТИ, 1946.-318 с.

81. Степанянц Ю.А., Стурова И.В., Теодорович Э.В. Линейная теория генерации поверхностных и внутренних волн // Итоги науки и техники. Сер. Механика жидкости и газа. - М.: ВРШИТИ, 1987. - Т. 21. -С. 93-179.

82. Стокер Дж. Дж. Волны на воде. - М.: Изд-во Ин. Лит. - 1959. - 617 с.

83. Стурова И.В. Влияние регулярного волнения на погруженное тело, движущееся в стратифицированной жидкости // Вычислительные технологии. - Новосибирск, 1992. - Т. 1. - № 3. - 263-270.

84. Стурова И.В. Влияние внутренних волн на гидродинамические характеристики погруженного тела // Изв. РАН. Физика атмосф. и океана, 1993. - Т. 29. - № 6. - 732-738.

85. Стурова И.В. Плоская задача об обтекании кругового цилиндра равномерным потоком двухслойной жидкости конечной глубины // ПМТФ. - 1998. - Т. 3. - № 6. - 91-101.

86. Стурова И.В. Плоская задача о гидродинамической качке погруженного тела без хода в двухслойной жидкости // Изв. РАН. -т 219-1994. - Х о З . - С . 144-155.

87. Стурова И.В. Численные расчеты в задачах генерации плоских поверхностных волн: Препринт Х» 5 / ВЦ СО АН СССР. - Красноярск, 1990.-48с.

88. Стурова И.В., Бородина Н.Н., Гуляева Л.Г. Поверхностные и внутренние волны // Библиографический указатель (1977-1984 гг.): в 2 ч . - Новосибирск: Ин-т гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО АН СССР. - 1985. - 210 с. - 1986. -259 с.

89. Терентьев А.Г., Афанасьев К.Е. Численные методы в гидродинамике / Чуваш, ун-т. - Чебоксары. - 1987. - 80 с.

90. Тер-Крикоров A.M. Нелинейная задача теории подводного крыла // ДАН СССР.-1958.-Т. 119 . -№6. -С . 1115-1117.

91. Тер-Крикоров A.M. Точное решение задачи о движении вихря под поверхностью жидкости // Изв. АН. Сер. математическая. - 1958. - Т. 22.-С. 177-200.

92. Тихонов А.И. ЕЬтоская задача о движении крыла под свободной поверхностью тяжелой жидкости конечной глубины // Изв. АН СССР. ОТН.- 1940 . -№4.-С. 57-78.

93. Троепольская О.В. Обтекание круглого цилиндра потоком тяжелой жидкости // Изв. вузов. Математика. - 1969. - № 11. - 94-102.

94. Тумашев Г.Г. Задача о движении профиля под свободной поверхностью жидкости // Труды семинара по краевым задачам. -Казань: Изд-во. Казан, ун-та, 1970. - Вып. 7. - 262-265.

95. Тумашев Г.Г. Одна обратная краевая задача о кавитационном течении тяжелой несжимаемой жидкости // Итоговая научная конференция Казанского ун-та за 1962г. - Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1963. - 112-113.

96. Тумашев Г.Г., Нужин М.Т. Обратные краевые задачи и их - 2 2 0 -приложения. - Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1965. - 333 с.

97. Тумашев Г.Г., Филиппов СИ., Черепенин Н.Д. Поступательное движение подводного крылового профиля //Материалы школы-семинара "Современные проблемы механики и прикладной математики". - Воронеж: ВГУ, 2000. - 454-458.

98. Тумашев Г.Г., Черепенин Н.Д. Задача о движении круглого цилиндра под свободной поверхностью тяжелой жидкости // Труды семинара по краевым задачам. - Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1973. - Вып. 10. - 140-15L

99. Филиппов И.Г. Решение задачи о движении вихря под поверхностью жидкости при числах Фруда, близких к единице // ПММ. - 1960. - Т. 24. - 478-490.

100. Филиппов И. Обратная краевая задача о движении профиля под свободной поверхностью жидкости // Труды семинара по краевым задачам. - Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1983.-Вып. 19.-С. 198-202.

101. Филиппов И. Задача о движении круглого цилиндра под свободной поверхностью двухслойной жидкости // Труды семинара по краевым задачам. - Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1987. - Вып. 23. - 226-230.

102. Филиппов СИ. Движение круглого цилиндра в потоке многослойной весомой жидкости //Труды семинара по краевым задачам. - Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1990. - Вып. 24. - С 234-240.

103. Филиппов СИ. Задача о движении круглого цилиндра в слое весомой - 2 2 1 -жидкости / Казан, ун-т. - Казань, 1986. - 10 с. - Деп. а ВИНИТИ 22.08.86.->fo 6055.

104. Филиппов СИ. Обтекание подводного профиля двухслойным потоком жидкости с различными скоростями слоев //Труды Математического центра им. Н.И. Лобачевского. - Казань: Унипресс, 1999.-Т. 3.-С.54-59.

105. Филиппов СИ. . Обтекание подводного профиля двухслойным потоком весомой жидкости // Изв. вузов. Авиационная техника. -2000 . -№3. -С 27-30.

106. Филиппов СИ. Две задачи о движении профиля вблизи границы раздела сред при наличии горизонтального дна / Казан, ун-т. -Казань, 1987. - 19 с. - Деп. в ВИНИТИ 17.07.87. - № 5211.

107. Филиппов СИ. Движение крылового профиля в канале // Сб. науч.- тех. статей КВАКНУ. - Казань, 1997. - 77-79.

108. Филиппов СИ. Крыловой профиль в многослойном потоке // Внутрикамерные процессы в энергетических установках, акустика, диагностика. Тез. докл. 11 науч.-тех. семинара - Казань: КФВАУ, 1999.-С 48.

109. Филиппов СИ. Обтекание профиля под свободной поверхностью двухслойной весомой жидкости. / Казан, ун-т. - Казань, 1987. - 15 с. - Деп. в ВИНИТИ 20.05.87. - № 3592.

110. Филиппов СИ. Обтекание профиля произвольной формы в слое весомой жидкости. / Казан, ун-т. - Казань, 1987. - 19 с. - Деп. в ВИНИТИ 17.04.87. - № 2700.

111. Филиппов СИ, К задаче обтекания подводного цилиндра // Механика машиностроения. Тез. докл. междунар. науч.-тех. конф. - Н. Челны, 1997.-С 3-4.

112. Филиппов СИ. Обтекание подводного кругового цилиндра потоком весомой жидкости по теории волн малой амплитуды второго порядка // Сб. науч.-тех. статей КВАКНУ. - Казань, 1996. - 74-76.

113. Филиппов СИ. Обтекание подводного цилиндра с учетом нелинейности граничных условий // "Крыловские чтения, 1997". Тез. докл. науч.-тех. конф. - -Петербург, 1997. - 127.

114. Филиппов СИ. Обтекание подводного крылового профиля // Изв. РАН. МЖГ. - 2001. - № 3. - 155-162.

115. Филиппов СИ. Решения задачи о движении подводного контура // Проблемы теоретической и прикладной гидродинамики. Тез. докладов Всероссийской НТК "Криница 2000". - Краснодар, 2000. -С.31.

116. Филиппов СИ. Расчет гидродинамических характеристик подводного контура при больших числах Фруда // Внутрикамерные процессы в энергетических установках, акустика, диагностика. Тез. докл. 12 межвуз. семинара. - Казань: КФВАУ, 2000. - С 128.

117. Филиппов СИ. Обтекание подводного контура при больших числах Фруда // Технико-экономические проблемы промышленного производства. Тез. докл. междунар. НТК. - Набережные Челны, 2000. - С,20.

118. Филиппов СИ. Дифракция волн на подводном контуре // Сб. науч.- тех. статей КВАКР1У. - Казань, 1997. - 78-79.

120. Филиппов СИ. Плоская задача о колебаниях тела в дв)0(слойной жидкости конечной глубины // Междунар. симпозиум по гидродинамике судна, посвященный 85-летию со дня рождения A.M. Басина. - -Петербург, 1995. - 408-409.

121. Филиппов СИ. Плоский контур, осциллирующий в двухслойной ^ весомой жидкости над горизонтальным дном // Механика машиностроения. Тез. докл. междунар. науч.-тех. конф, - Н. Челны, 1995.-С 28-29.

122. Филиппов СИ, Пульсирующий контур в канале с весомой жидкостью // Труды VI Всеросс. науч. школы "Гидродинамика больших скоростей". - Чебоксары: Изд-во Чувашского гос. ун-та, 1996. - 190-195.

123. Филиппов СИ. Установившиеся колебания плоского контура вблизи ^ границы раздела сред при наличии горизонтального дна // ПМТФ. -1995. - Т. 36. - № 2. - 39-44.

124. Филиппов СИ. Краевая задача о циркуляционном обтекании подводного контура с образованием капиллярно-гравитационных волн //Труды Математического центра им. Н.И. Лобачевского. Казань: Казанское математическое общество, 2002. - Т. 14. - С 274-280.

125. Филиппов СИ. Моделирование капиллярно-гравитационных волн при циркуляционном обтекании подводного кругового цилиндра // Изв. «) РАЕН. МММИУ. - 2001. -Т. 5. - № 3. - С 125-132.

126. Хабахпашева Т.И. Дифракция внутренних волн на цилиндре в двухслойной жидкости // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. -1993. - Т. 29. - № 4. - 559-564.

128. Хаскинд М.Д. Гидродинамическая теория качки корабля., - М.: Наука, 1973.-327 с.

129. Хаскинд М.Д. Плоская задача о колебаниях тела под поверхностью тяжелой жидкости конечной глубины // ПММ. - 1944. - Т. VIII. -Вып. 4. - 287-300.

130. Целишев В.А. Исследование влияния свободной поверхности тяжелой жидкости на стационарные гидродинамические характеристики ^ тонкого профиля. Гидродинамика больших скоростей. - Чебоксары: Чувашский гос. ун-т, 1990. - 143-147.

131. Целищев В.А. Исследование влияния свободной поверхности (экрана) на стационарные характеристики тонкого профиля // Гидродинамика подводного крыла. - Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1986.-С. 36-44.

132. Черепенин Н.Д. Движение профилей Жуковского под свободной поверхностью тяжелой жидкости // Сб. аспирантских работ. Теория ц пластин и оболочек. - Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1973. - Вып. 3. -С. 81-92.

133. Черепенин Н.Д. К теории движения тел под поверхностью жидкости // Труды семинара по 1фаевым задачам. - Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1977.-ВЫП. 14.-С.212-221.

134. Черепенин Н.Д. К задаче о движении круглого цилиндра вблизи границы раздела двух жидкостей // Труды семинара по теории - 2 2 5 -оболочек. - Казань: Казан, физ.-тех. ин-т АН СССР, 1974. - № 4. - 252-262.

135. Черепенин Н.Д. Задача о цилиндре, осциллирующем вблизи границы раздела двух жидкостей // Труды семинара по теории оболочек. -Казань: Казан, физ.-тех. ин-т АН СССР, 1974. - № 4. - 363-273.

136. Черепенин Н.Д. О движении цилиндра под свободной поверхностью жидкости. // Изв. вузов. Математика. - 1976. - № 6. - 81-90.

137. Черепенин Н.Д. О колебаниях контура вблизи поверхности раздела двух жидкостей // Труды семинара по краевым задачам. - Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1974. - Вып. 11. - 182-194.

138. Черепенин Н.Д. О решении одного класса задач гидродинамики // Изв. вузов. Математика. - 1976. - № 11. - 118-120.

139. Черепенин Н.Д. Один метод решения задачи о движении тел вблизи поверхности раздела двух жидкостей //Сб. аспирантских работ. Точные науки. Математика. Механика. - Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1973.- 143-152.

140. Ясько Н.Н. Численное решение нелинейной задачи о движении плоского крылового профиля под свободной поверхностью идеальной несжимаемой жидкости // Изв. РАН, МЖГ. - 1995. - № 4. - 100-107.

141. Bai K.J. А localized finite-element method for steady, two-dimensional free-surface flow problems //Proc. 1st Intern. Conf on Numerical Ship Hydrodynamics. - Gaithersburg, 1975. - P. 209-229. 226-

142. Bai K.J. A localized finite-element method for two-dimensional steady potential flows with a fi-ee surface // J. Ship. Res. - 1978. - V. 22. - No 4. - P . 216-230.

143. Bai K.J., Han J.H. A localized finite-element method for the nonlinear steady waves due to a two-dimensional hydrofoil // J. Ship. Res. - 1994. -V. 38.-No 1.-P. 42-51.

144. Bai K.J., Kim J.W., Lee H.S. A numerical radiation condition for two- dimensional steady waves // Proc. Korean Soc. Theoretical and Appl. Mech. Workshop. - Seoul, 1990. - P. 119-132.

145. Campana E., Lalli F., Bulgarelli U. A boundary element method for a non linear fi-ee surface problem // Int. J. Num. Meth. Fluids. - 1989. - V. 9. -No lO. -R 1195-1206.

146. Campana E., Lalli F., Bulgarelli U. A numerical method for nonlinear free surface conditions in the wave resistance problem // Arch. Mech. - 1989. -V.41,-No 2-3.-P. 439-447.

147. Campana E., LaUi P., Bulgarelli U. A numerical solution of the nonlinear wave resistance problem for simple shaped submerged bodies // Meccanica. - 1990. - V. 25. - No 4. - P. 258-264.

148. Chang M.S., Pien P.C. Hydrodynamic forces on a body moving beneath a free surface // Proc. 1st Intem. Conf on Numerical Ship Hydrodynamics. -Gaithersburg, 1975. - P. 539-559.

149. Chen H.S., Mei C.C. Calculation of two-dimensional ship waves by a hybrid element method based on variational principles // Proc. 1st Intem. Conf on Numerical Ship Hydrodynamics. - Gaithersburg, 1975. - P. 95-111.

150. Coombs A. The translation of two bodies under the free surface of a heavy fluid // Proc. Camb. Phil. Soc. - 1950. - V. 46. - P. 453-468.

151. Dawson C.W. A practical computer method for solving ship-wave Ф - 2 2 7 -problems // Proc. 2nd Intern. Conf on Numerical Ship Hydrodynamics. -Berkeley, 1977.-P. 30-38.

152. Duncan J.H. The breaking and non-breaking wave resistance of a two- dimensional hydrofoil // J. Fluid Mech. - 1983. - V. 126. - P. 507-520.

153. Eatock Taylor R., Wu G.X. Wave resistance and lift on cylinders by a ^ coupled element technique // Int. Shipbuild. Progr. - 1986. - V. 33, No 377.-P. 2-9.

154. Eatock Taylor R., Hu C.S. Multipole expansions for wave diffraction and radiation in deep water // Ocean Eng. - 1991. - V. 18. - No 3. - P. 191-224.

155. Ekman V.W. On Dead Water // Scientific results of the Norwegian north polar expedition. - 1904. - V. 5. -No 15. - P. 1-152.

156. Giesing J.P., Smith A.M.O. Potential flow about two-dimensional w hydrofoils // J. Fluid Mech. - 1967. - V. 28, - No 1. - P. 113-129.

157. Golovchenko V.V., Gorelov D.N. Steady motion of thin profile near interface of two heavy fluids // Arch. Mech. - 1977. - V. 29. - No 2. - P. 223-227.

158. Gorlov S.I. Methods for solving steady problems of the generation of surface and interval waves by a body moving in a liquid // Russ. J. Eng. Thermophys. - 1999. - V. 9. - No 4. - P.297-319.

159. Haussling H.J., Coleman R.M. Finite-difference computations using Щ boundary-fitted coordinates for free-surface potential flows generated by submerged bodies // Proc. 2nd Inter. Conf. on Numerical Ship Hydrodinamics. - Berkeley, 1977. - P. 221-233.

160. Havelock Т.Н. The forces on a circular cylinder submerged in a uniform stream // Proc. Royal. Soc. A 157. - 1936. - P. 526-534.

161. Havelock Т.Н. The vertical force on a cylinder submerged in a uniform stream // Proc. Royal. Soc. A 122. - 1928. - P. 387-393. 228-

162. Hess J.L., Smith A.M.O. Calculation of potential flow about arbitrary bodies // Prog. Aeronaut. Sci. - 1967. - V. 8. - P. 1-137.

163. Hough G.R., Moran S.P. Froude number effects on two-dimensional hydrofoils //J. Ship. Res. - 1969. - V. 13. - No 1. - P. 53-60.

164. Isay W.H. Zur Theories der nahe der wasseroberflaeche fahrenden Tragflaechen // Ingenieur - Archiv. - 1960. - V. XXLX. - P. 295-313.

165. Jensen G., Mi Z.-X., SodingH. Rankine source methods for numerical solutions of the steady wave resistance problem // Proc. 16th Naval Hydrodynamics Symposium. - Berkeley, 1986. - P. 575-582.

166. Kelvin (W. Thomson) Deep Water Ship-Waves // Phil. Mag. Ser. 6. - 1905.-V. IX.-P. 733-757.

167. Keimell C, Plotkin A. A second-order theory for the potential flow about thin hydrofoils // J. Ship. Res. - 1984. - V. 28, - No 1. - P. 55-64.

168. Khabakhpasheva T.L, Sturova I.V. Diffraction of internal waves by a submerged circular cylinder at forward speed in a two-layer fluid // J. Engng. Math. - 1998. - V. 34. - P. 249-275.

169. Kim J.W., Bai K.J. A note on Hamilton's principle for a free surface flow problem // J. Society Naval Arch. Korea. - 1990 - V. 27. - No 3. - P. 19-30.

170. Lalli F., Campana E., Bulgarelli U. Numerical solution of fiiUy non-linear steady free surface flow // Intern. J. Numer. Methods in Fluids. - 1992. -V.14 . -No . l0 . -P . l 135-1149.

172. Lee SJ. A nonlinear calculation of 2-dimensional hydrofoil with shallow submergence // Proc. Intern. Conf Hydrodyn. - Wuxi, 1994. - P. 209-216.

173. Liao S.J. A general numerical method for solution of gravity wave ^ Й