Двухслойные течения жидкостей с полубесконечной пластиной на границе раздела тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Сержантова, Надежда Владимировна

• Сержантова, Надежда Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Сержантова, Надежда Владимировна

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ОБТЕКАНИЕ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ОСОБЕННОСТЕЙ

ПОТОКОМ НЕВЕСОМОЙ ЖИДКОСТИ

§1.Стационарное обтекание гидродинамических особенностей двухслойным потоком невесомых жидкостей с полубесконечной

пластиной на линии раздела

§2.Нелинейная задача об обтекании вихря вблизи свободной

поверхности, частично прикрытой плоской стенкой

ГЛАВА 2. СТАЦИОНАРНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ДВУХ ПОТОКОВ ТЯЖЁЛЫХ ЖИДКОСТЕЙ С РАЗНЫМИ ПОЛНЫМИ

ДАВЛЕНИЯМИ

§3.Обтекание вихря вблизи поверхности раздела тяжёлых жидкостей, имеющих различные плотности и скорости

набегающего потока

§4.Обтекание полубесконечной деформированной пластины

двухслойным потоком тяжёлых жидкостей

§5.Обтекание вихря двухслойным потоком тяжелых жидкостей с

полубесконечной пластиной на линии раздела

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Двухслойные течения жидкостей с полубесконечной пластиной на границе раздела»

ВВЕДЕНИЕ

Предметом исследования диссертационной работы являются некоторые новые задачи о взаимодействии двух потоков несжимаемых невязких жидкостей с разными полными давлениями, граница раздела которых от г = -со до г = 0 прикрыта твёрдой пластиной, а оставшаяся часть от г = 0 до г = со является свободной границей раздела.

Подобные задачи представляют большой интерес в теоретическом отношении и имеют важное прикладное значение. Полученные результаты могут быть использованы при исследовании ряда задач, в том числе, при моделировании силовой установки (двигателя) [1], для построения решения задачи об обтекании профиля вблизи границы раздела сред, состоящей из твёрдой и жидкой границ [2], в теоретической задаче об исследовании вихревой модели плоского периодического отрывного обтекания тела [5]. Также следует отметить связь исследуемых задач с теорией поверхностных и внутренних волн в жидкости.

Такая обширная область приложения свидетельствует об актуальности проблемы и диктует необходимость разработки математически обоснованных методов её решения.

Основная трудность при решении подобных задач состоит в том, что поток здесь является двухслойным и константы Бернулли в каждом из слоев отличаются друг от друга. Взаимодействие потоков происходит вдоль некоторой заранее неизвестной линии раздела, которая является линией тангенциального разрыва скорости и определяется из условий непротекания и непрерывности давления. Кроме того, существенное влияние на характер течения оказывает то, что граница раздела состоит из двух частей — твёрдой и жидкой.

До недавнего времени исследовались лишь частные случаи рассматриваемых течений: двухслойные течения с жидкой границей раздела и их частный случай — течения со свободной поверхностью, — или течения однородной жидкости со свободной границей, состоящей из твёрдой стенки и свободной поверхности. Задачи решались как для случая невесомых жидкостей, так и с учётом влияния силы тяжести.

Так, в монографии [1] в линейной постановке приводятся решения следующих задач о струйных течениях невесомых жидкостей, полученные с помощью метода отражений: диполь у границы раздела жидкостей с различными плотностями и

скоростями поступательного течения, цилиндр под поверхностью раздела и в струе, пластинка вблизи границы двух потоков, обдув профиля свободной струёй.

В настоящее время большинство прикладных задач, посвященных генерации волн различными возмущениями, решены в линейной постановке, т. е. в предположении, что амплитуда волновых движений мала по сравнению с длиной волны. Относительная простота решения линейных уравнений по сравнению с полной нелинейной задачей, современное развитие соответствующего математического аппарата и вычислительной техники позволяют ответить на многие запросы практики.

Обширный обзор литературы, посвященной линейной теории генерации поверхностных и внутренних волн, содержится в работе [36], где описаны различные способы генерации волн, рассмотрены плоские и пространственные волновые движения, обсуждаются стационарные, периодические и нестационарные течения. Для каждого типа задач изложение ведётся по степени усложнения распределения плотности: от наиболее простого случая однородной жидкости к общему случаю произвольного (устойчивого) распределения плотности.

Из последних работ отметим работы С.И. Горлова [6, 7]. В [7] предложен метод решения линейных задач о равномерном движении вихреисточника в многослойной жидкости, имеющей произвольное конечное число слоёв. В качестве примера решена задача о движении вихреисточника заданной интенсивности в трёхслойной жидкости, получены формулы для комплексных скоростей и гидродинамических реакций. В [6] для задачи о равномерном движении вихреисточника в трёхслойной жидкости представлены результаты исследования по оценке влияния поверхностных и внутренних волн на гидродинамические характеристики. Изучено поведение подъёмной силы и волнового сопротивления вблизи критического числа Фруда. Приведены некоторые результаты численного эксперимента

Большой обзор задач о взаимодействии потоков с разными полными давлениями и о течениях слоя весомой жидкости над дном, имеющим горизонтальные асимптоты слева и справа на бесконечности, решённых в нелинейной постановке, приведён в монографии Д.В. Маклакова [24]. Для исследования задач об обтекании крыловых профилей двухслойным потоком невесомых жидкостей в точной постановке предложен численно-аналитический метод, основанный на конформном отображении всей области течения на внешность круга единичного радиуса. Поскольку задача о движении тела вблизи поверхности раздела сред как частный случай содержит в себе задачи о движении тела вблизи прямолинейного экрана и свободной поверхности, то

предлагаемый метод позволяет производить расчёт этих важных частных случаев по единому алгоритму.

Известны решения линейных задач нестационарного взаимодействия потоков с равными поступательными скоростями основного течения [1, 2]. В этом случае потенциалы скоростей возмущений на свободных границах L раздела потоков представляют собой бегущие волны, сохраняющие свою форму.

Более трудными оказываются задачи нестационарных течений, в которых граница раздела потоков частично прикрыта непроницаемой стенкой, а поступательные скорости стационарных потоков различные. Задача о взаимодействии полубезграничных потоков невесомых жидкостей с такими условиями на границе раздела рассмотрена в работе A.B. и С.А. Кузнецовых [19]. Определение комплексных потенциалов течений сведено к решению начально-краевой задачи теории аналитических функций по известным граничным значениям её мнимой части на пластине и условиям сопряжения на границе L, являющимся следствием динамического и кинематического условий взаимодействия потоков на свободной границе раздела.

Аналогичная задача для потоков невязких невесомых жидкостей, заключённых в канале с неподвижными твёрдыми стенками и разделённых полубесконечной деформирующейся пластиной, решена в [20].

Задачи о волнах на свободной поверхности жидкости, когда её поверхность покрыта от z = -оо до z = 0 твёрдой пластиной, можно рассматривать как частный случай задачи о волнах на поверхности водоёма, дно которого составляет произвольный угол с горизонтом.

Для углов наклона, являющихся целой частью от 90°, задачу впервые исследовали J. Stoker [44] и Н. Lewy [40]. В [40] решение было получено для углов а = п p/lq, где р и q — два взаимно простых числа, причём р —• нечётное число, меньшее чем 2q.

Случай ¿7 = 1, р = 2 впервые рассмотрели К.О. Friedrichs и Н. Lewy [38]. Задача решена с использованием линеаризации теории волн малой амплитуды и с применением преобразования Лапласа. Обсуждается характер волнового движения вблизи кромки пластины, т. е. около линии, вдоль которой встречаются водная поверхность и пластина. Приводятся два решения задачи, одно из которых ограничено в кромке 2 = 0, а другое обладает там логарифмической особенностью. Для указанных

случаев построены графики, представляющие поверхность жидкости около начала координат и распределение давления вдоль пластины.

Впоследствии решение этой же задачи в трёхмерном пространстве для жидкости конечной глубины получил А.Е. Heins [39].

Задачу о волнах на поверхности водоёма, дно которого составляет произвольный угол с горизонтом (от 0° до 180°) исследовали A.S. Petters [43], М. Weitz и J. Keller [45], рассматривая волны на поверхности водоёма в присутствии поля битого льда на поверхности жидкости.

Результаты указанных исследований приводятся в монографии JI.H. Сретенского [35], где рассматривается также более сложная задача о волнах в присутствии пластинки конечной длины, находящейся на поверхности жидкости.

В работе R.C. Ackerberg'a [37] линеаризуется нелинейная задача, в которой рассматривается вдув струи с большой скоростью из отверстия в бесконечной пластине в равномерный поток с меньшим полным напором, когда угол вдува струи мал. Получающаяся линейная задача решается при помощи метода Винера-Хопфа [42]. Получены численные результаты для определения положения линии тока, отделяющей струю жидкости от свободного потока, и вычислено распределение давления вдоль стенки, расположенной вверх по потоку, при различных углах вдува струи.

Задачи об истечении тяжёлой идеальной жидкости из-под полигонального щита рассматривалась в [9], [41] и других работах. Различные приближённые методы, используемые во всех этих работах, не дают возможности учесть волновой характер течения на свободной поверхности.

Этот недостаток устранён в работах JI.M. Котляра [13, 15]. В [13] рассматривается установившийся поток несжимаемой тяжёлой жидкости бесконечной глубины, вытекающий из-под полигонального щита. Граничное условие на свободной поверхности заменяется линейным условием в форме Леви-Чивита, и задача сводится к интегро-дифференциальному уравнению для логарифма скорости, для решения которого используется метод Винера-Хопфа. Решение получено в изображениях по Фурье. Исследовано его асимптотическое поведение. В [15] решена аналогичная задача для случая жидкости конечной глубины.

В работе JIM. Котляра и В.А. Лазарева [18] в линейной постановке исследуется симметричное кавитационное обтекание клина завихренным потоком невесомой жидкости, для которого профиль скоростей на бесконечности вверх по потоку предполагается линейно скошенным. Для определения границ потока получено

интегро-дифференциальное уравнение. Решение этого уравнения методом Винера-Хопфа позволяет установить волновой характер свободной поверхности за клином. Если рассматривать одну половину течения, то поставленную задачу можно интерпретировать как задачу об истечении завихренной жидкости из-под полигонального щита в среду с переменным давлением.

В работе JIM. Котляра и A.B. Кузнецова [16] в линейной постановке исследуется нестационарная задача об истечении жидкости из-под прямолинейного щита, когда в начальный момент времени задаётся импульсивное давление на свободной поверхности, причём жидкость отделяется от области постоянного давления струйной плёнкой. Предполагалось, что струйная плёнка тонкая, импульс течения в струе не изменяется, а угол, образованный струёй в точке схода потока, равен нулю. Задача сводится к интегро-дифференциальному уравнению, решение которого получено методом Винера-Хопфа. Показано, что на бесконечности за точкой, в которой потенциал скорости невозмущённого течения равен v021, образуются волны (здесь vq

— скорость на свободной границе при установившемся течении, t — время). Слева от этой точки волны отсутствуют.

В работе [17] исследуется задача в аналогичной постановке, но на свободной поверхности учитывается сила поверхностного натяжения.

В работах В.П. Житникова [11, 12] проведено исследование задач о течении капиллярной [12] и тяжёлой [11] жидкостей с ограниченным участком свободной поверхности, допускающих решение типа поверхностных волн. Решение проводится с помощью метода Леви-Чивиты. Для волн с малой амплитудой проведено сравнение с решением линейной задачи [13].

Целью настоящей диссертационной работы является точное аналитическое решение в линейном приближении ряда задач о двухслойных течениях жидкостей с различными плотностями и скоростями набегающего потока, разделённых полубесконечной пластиной, определение гидродинамических характеристик течений, проведение необходимых численных расчётов.

Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы.

Глава 1 посвящена решению двух задач об обтекании гидродинамических особенностей потоком невесомой жидкости

В § 1 излагаются результаты решения в линейной постановке плоской задачи об обтекании гидродинамической особенности (вихря или источника), расположенной в

некоторой точке 20 = а +1 к вблизи поверхности раздела невязких невесомых

жидкостей, имеющих различные плотности р± и скорости У* набегающего потока (значки + и - отличают, соответственно, течение в областях под и над линией раздела сред), при наличии на границе раздела сред полубесконечной пластины.

Определение комплексных потенциалов течений сведено к решению краевой задачи теории аналитических функций по известным граничным значениям мнимой части на пластине и условиям сопряжения на границе Ь, являющимся следствием динамического и кинематического условий взаимодействия потоков на свободной границе раздела.

Решение получено для произвольного положения гидродинамической особенности относительно пластины.

Определены вызванные скорости потоков, уравнение линии раздела сред и силы, действующие на пластину и на особенность. Зависимость решения от отношения

¥+ р~ скоростей /? = —з" и отношения плотностей у =— определяется коэффициентами V р

у - В1

к. = -—(изменяется в пределах от -1 до 1) и кг = (1 + к{) (3. у + /3-

Если поток однороден (при этом = 0, к2 = 1), то формулы для вызванных скоростей совпадают друг с другом и переходят в точные, полученные при решении нелинейной задачи в работе [5] в связи с рассмотрением вихревой модели периодического отрывного обтекания тела.

При а —>■ -со, когда вихрь находится над пластиной далеко от кромки (при этом кх = -1, к2 = 0) получаем известные точные формулы, приведённые, например, в [8].

При у—»со (£,=1, £2=0) получаем решение линейной задачи об обтекании особенности потоком невесомой жидкости вблизи свободной поверхности, частично прикрытой плоской стенкой.

По результатам численных расчётов построены графики, представляющие коэффициенты сопротивления и подъёмной силы, линии раздела сред, распределение давления по пластине, в зависимости от положения особенности и коэффициента кх.

В §2 исследуется нелинейная задача об обтекании вихря с циркуляцией Г потоком невесомой жидкости вблизи свободной поверхности, прикрытой полубесконечной плоской стенкой.

Решение получено методом особых точек для произвольного положения вихря относительно пластины. При этом область течения в физической плоскости отображается на верхний полукруг единичного радиуса в параметрической плоскости так, чтобы пластине соответствовал диаметр, а свободной границе — дуга окружности.

Вид функции, осуществляющей отображение, будет различным для следующих трёх вариантов исследуемого течения:

1) одна критическая точка в потоке,

2) две критические точки на пластине,

3) одна критическая точка на пластине.

Задача сводится к системе четырёх нелинейных уравнений, численное решение которой проведено полуобратным методом — определялись безразмерные параметры в физической области по заданным в параметрической.

Случай 3) является предельным для 2) (две критические точки при увеличении циркуляции сливаются в одну). Наличие только трёх действительных неизвестных параметров в случае одной критической точки на пластине вместо четырёх, как в двух других случаях, позволило провести более подробное и полное исследование, по результатам которого были построены графики зависимостей безразмерной циркуляции, коэффициентов сопротивления и подъёмной силы от положения вихря.

В результате численных расчётов определены силы, действующие на пластину и на особенность, а также положение свободной границы и критических точек в зависимости от положения вихря и его интенсивности. Результаты сопоставляются с полученными при решении линейной задачи в §1 (случай А, = 1, к2 = О ).

Сделаны выводы о том, при каких значениях циркуляции вихря реализуются случаи 1) — 3), а также при каких Г достигается наилучшее соответствие результатов линейной теории с результатами исследуемой нелинейной задачи.

Глава 2 посвящена исследованию двухслойных течений тяжёлой жидкости с различными плотностями и скоростями набегающего потока.

В §3 излагаются результаты решения в линейной постановке плоской задачи об обтекании вихря, расположенного над поверхностью раздела невязких тяжёлых жидкостей, имеющих различные плотности и скорости набегающего потока.

Решение построено методом краевой задачи и сводится к интегро-дифференциальному уравнению, которое решается с использованием преобразования Фурье.

Получены результаты, определяющие поле вызванных скоростей течения. Указаны выражения для гидродинамических сил, действующих на вихрь, и исследованы предельные значения этих сил для частных случаев движения.

Зависимость решения от отношения скоростей /?, отношения плотностей у и

чисел Фруда потоков ¥г± определяется наличием коэффициентов к{, к2 и

V =-. При этом у=— изменяется от 0 до 1, так как предполагается, что

1-у р

массовая плотность нижней жидкости р+ больше плотности верхней жидкости р~.

В частном случае ¡5 = 1 формулы для вызванных скоростей совпадают с полученными в работе Я. И. Войткунского [3], а при V —» со переходят в полученные в § 1 для случая а +со .

По результатам численных расчётов построены графики, представляющие линию раздела сред, а также коэффициенты сил, действующих на вихрь, в зависимости от числа Фруда и отношения поступательных скоростей потоков.

В §4 в линейном приближении рассматривается задача о стационарном взаимодействии двух потоков тяжёлых невязких жидкостей с разными плотностями и скоростями на бесконечности, разделённых полубесконечной деформированной пластиной.

Для определения комплексных потенциалов течений ставится краевая задача. Неизвестные аналитические функции определяются по граничным условиям на пластине и условиям сопряжения на линии раздела сред.

Задача сводится к сингулярному интегро-дифференциальному уравнению на полуоси, решение которого методом Винера—Хопфа приведено в работе Л. М. Котляра [13] в изображениях по Фурье в связи с исследованием плоского установившегося потока весомой несжимаемой жидкости, вытекающей из-под полигонального щита.

В настоящей работе с помощью теории вычетов и контурного интегрирования проведено обращение преобразования Фурье.

Аналитическое решение получено для произвольных деформаций, численные расчёты выполнены для частного случая пластины в форме полигонального щита (при этом, полагая у = 0, получаем решение задачи Л. М. Котляра).

Определены положение границы раздела, распределение давления по ней и по пластине, а также результирующая силы давлений, действующих на деформированную

часть пластины, для различных чисел Фруда. Приводятся предельные. значения для случая невесомых жидкостей.

В §5 приводятся результаты решения в линейном приближении задачи об обтекании вихря двухслойным потоком тяжёлых жидкостей с разными плотностями и скоростями на бесконечности при наличии полубесконечной пластины на линии раздела.

Комплексные потенциалы представляются в виде суммы потенциалов течений, вызванных вихрем без учёта весомости жидкостей (см. §1), и добавочных слагаемых, возникающих под действием силы тяжести.

Для определения добавочных комплексных потенциалов ставится краевая задача, которая сводится к сингулярному интегро-дифференциальному уравнению на полуоси, которое, как и в §4, решается методом Винера—Хопфа.

Решение получено для произвольного положения вихря относительно пластины.

При £7-^+оо (вихрь над свободной границей раздела) формулы для возмущённых скоростей переходят в полученные в §3.

При 1/ -> со добавочные комплексные потенциалы обращаются в нуль, и решение переходит в приведённое в §1 для случая невесомых жидкостей.

По результатам численных расчётов построены графики, представляющие силы, действующие на пластину и на особенность, а также границу раздела сред, в зависимости от положения вихря, его интенсивности, чисел Фруда потоков, отношений их плотностей и скоростей.

В заключении настоящей диссертации приводятся итоги проведённых исследований, формулируются основные результаты работы.

На защиту выносятся:

точное аналитическое решение в линейной постановке, численные расчёты и анализ результатов следующих задач

о стационарном обтекании гидродинамических особенностей (вихря или источника) двухслойным потоком невесомых жидкостей с полубесконечной пластиной на линии раздела;

^ об обтекании вихря вблизи поверхности раздела тяжёлых жидкостей, имеющих различные плотности и скорости набегающего потока; об обтекании полубесконечной деформированной пластины двухслойным потоком тяжёлых жидкостей;

■S об обтекании вихря двухслойным потоком тяжелых жидкостей с полубесконечной пластиной на линии раздела,

а также

точное аналитическое решение в нелинейной постановке задачи об обтекании вихря вблизи свободной поверхности, частично прикрытой плоской стенкой, численные расчёты и сопоставление соответствующих результатов линейной и нелинейной теорий.

Результаты работы докладывались на Итоговых научных конференциях Казанского государственного университета в 1995—1999 г.г., на Международной научно-технической конференции «Механика машиностроения» (г. Набережные Челны, 1995 г.), на научно-технической конференции «Современные проблемы теории корабля» (г. Санкт-Петербург, 1995 г.), на 2-й Республиканской научной конференции молодых учёных и специалистов (г. Казань, 1996 г.), на Международной научно-технической конференции «Экраноплан-96» (г. Казань, 1996 г.), на школе-конференции, посвящённой 100-летию со дня рождения Б. М. Гагаева (г. Казань, 1997 г.), на 1-й Международной конференции «Модели механики сплошной среды, вычислительные технологии и автоматизированное проектирование в авиа- и машиностроении» (г. Казань, 1997 г.).

Основное содержание диссертации изложено в работах [21-22, 26-34], две из которых [21-22] выполнены в соавторстве с A.B. Кузнецовым. В совместных работах A.B. Кузнецову принадлежит постановка задач и участие в разработке методов решения. Н.В. Сержантовой принадлежит участие в разработке методов решения, проведение расчётов, анализ результатов.

Автор глубоко благодарен своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору А. В. Кузнецову за предложенную тему и постоянное внимание к работе.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Сержантова, Надежда Владимировна

Основные результаты можно сформулировать следующим образом.

Построено точное аналитическое решение, проведены численные расчёты и дан анализ результатов следующих задач в линейной постановке:

S о стационарном обтекании гидродинамических особенностей (вихря или источника) двухслойным потоком невесомых жидкостей с полубесконечной пластиной на линии раздела;

S об обтекании вихря вблизи поверхности раздела тяжёлых жидкостей, имеющих различные плотности и скорости набегающего потока; S об обтекании полубесконечной деформированной пластины двухслойным потоком тяжёлых жидкостей;

S об обтекании вихря двухслойным потоком тяжелых жидкостей с полубесконечной пластиной на линии раздела, а также получено аналитическое решение в нелинейной постановке задачи об обтекании вихря вблизи свободной поверхности, частично прикрытой плоской стенкой. По результатам численных расчётов проведено сопоставление соответствующих результатов линейной и нелинейной теорий.

Все численные расчёты, оформленные в виде таблиц и графиков, выполнены с использованием компьютерной системы символьной математики Mathematica 3.0 (Wolfram Research Inc.) [10, 46].

Достоверность результатов работы в рамках принятых математических моделей обеспечивается применением строгих математических рассуждений и аналитических методов при решении задач, тестированием численных расчётов, а также совпадением полученных формул при частных значениях параметров с известными решениями других авторов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе получен ряд новых результатов в решении задач взаимодействия потоков с разными полными давлениями. Проведённые исследования показали эффективность применяемых методов, позволили выявить качественные особенности течений и получить количественные оценки влияния определяющих параметров на гидродинамику течений.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Сержантова, Надежда Владимировна, 1999 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Бабкин В.И., Белоцерковскгш СМ., Гуляев В.В., Дворак А.В. Струи и несущие поверхности. Моделирование на ЭВМ. - М.: Наука, 1989. - 208 с.

2. Васин М.А., Шадрин В.П. Гидроаэродинамика крыла вблизи границы раздела сред. -Л.: Судостроение, 1980. - 304 с.

3. Войткунский Я.И. Обтекание гидродинамических особенностей, расположенных над поверхностью раздела жидкостей различной плотности// Инженерный журнал. -1963. - Т.З. - Вып.2. - С.262-270.

4. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. - М.: Наука, 1977. - 640 с.

5. Гогиш Л.В., Степанов Г.Ю. Отрывные и кавитационные течения. - М.: Наука, 1990. -384 с.

6. Горлов С.Г. Влияние внутренних линейных волн на гидродинамические характеристики вихреисточника// Изв. РАН. МЖГ. - 1996. - №5. - С. 146-153.

7. Горлов С.И. Решение линейных задач о равномерном движении вихреисточника в многослойной жидкости// Изв. РАН. МЖГ. - 1995. -№3. - С. 127-132.

8. Гуревич М.И. Теория струй идеальной жидкости. - М.: Наука, 1979. - 536 с.

9. Гуревич М.И., Пыхтеев Г.Н. О некоторых методах решения задач теории струй тяжёлой жидкости// Труды Моск. техн. ин-та рыбной промышл. и хозяйства им. А.И. Микояна. - М., 1957. - Вып. 8.

10. Дьяконов В.П. Системы символьной математики МаШетайса 2 и Ма&етаиса 3. -М.: «СК Пресс», 1998.

11 .Житников В.П. Гравитационные волны на ограниченном участке поверхности жидкости// ПМТФ. - 1996. - Т. 37. - №2. - С. 83-89.

12. Житников В.П. О капиллярных волнах на ограниченном участке поверхности жидкости// Гидродинамика больших скоростей. - Чебоксары: Чуваш, ун-т, 1990. - С. 24-31.

13. Котляр Л.М. Истечение тяжёлой жидкости из-под щита// Труды семинара по краевым задачам. - Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1969. - Вып. 6. - С. 88-93.

14. Котляр Л.М. Истечение капиллярной жидкости из-под прямолинейного щитаII Труды семинара по краевым задачам. - Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1971. - Вып. 8. -С. 112-118.

15. Котляр Л.М. Истечение тяжёлой идеальной жидкости из-под щита// Труды семинара по краевым задачам. - Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1970. - Вып. 7. - С. 160-167.

1 в. Котляр Л.М., Кузнецов A.B. Неустановившееся истечение из-под щита идеальной жидкости со струйной плёнкой// Труды семинара по краевым задачам. - Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1972. - Вып. 9. - С. 146-154.

17. Котляр U.M., Кузнецов A.B. О неустановившемся истечении идеальной жидкости из-под прямолинейного щитаЛ Труды семинара по краевым задачам. - Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1973. - Вып. 10. - С. 67-72.

18. Котляр Л.М., Лазарев В.А. Кавитационное обтекание клина завихренным потоком// Труды семинара по краевым задачам. - Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1971. - Вып. 8. -С. 119-128.

19.Кузнецов A.B., Кузнецов С.А. Нестационарное взаимодействие двух потоков жидкостей, разделенных полубесконечной деформированной пластиной// МЖГ. -1994. - № 1.-С. 55-64.

20. Кузнецов A.B., Кузнецов С.А. Нестационарное взаимодействие двух потоков невязких жидкостей, разделенных полубесконечной деформируемой пластиной, в канале с плоскими стенками// МЖГ. - 1997. - № 1. - С. 67-76.

21 .Кузнецов A.B., Серэюантова Н.В. Обтекание полубесконечной деформированной пластины двухслойным потоком тяжёлых жидкостей// Алгебра и анализ. Тезисы докладов школы-конференции, посвящённой 100-летию со дня рождения Б.М. Гагаева. - Казань: Изд-во Казан, математического общества, 1997. - С. 130-131.

22. Кузнецов A.B., С'ержантова Н.В. Стационарное взаимодействие двух потоков тяжёлых жидкостей, разделённых полубесконечной деформированной пластиной// Труды 1 Международной конференции «Модели механики сплошной среды, вычислительные технологии и автоматизированное проектирование». - Казань, 1997.-Т. 1,-С. 64-68.

23. Лебедев H.H. Специальные функции и их приложения. - М., JL: ГИ ФМЛ, 1963. -360 с.

24. Маклаков Д. В. Нелинейные задачи гидродинамики потенциальных течений с неизвестными границами. - М.: «Янус-К», 1997. - 280 с.

25. Седов Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. - М.: Наука, 1966. -444 с.

26. Сержантова Н.В. Нелинейная задача о вихре вблизи свободной поверхности, частично прикрытой плоской стенкой. - Деп. в ВИНИТИ 09.03.99, № 691-В99.

27. Сержантова Н.В. Обтекание вихря вблизи поверхности раздела тяжёлых жидкостей, имеющих различные плотности и скорости набегающего потока. - Деп. в ВИНИТИ 30.06.97, № 2151-В97.

28. Сержантова Н.В. Обтекание вихря двухслойным потоком тяжёлых жидкостей с полубесконечной пластиной на линии раздела - Деп. в ВИНИТИ 12.02.99, № 455-В99.

29. Сержантова Н.В. Обтекание гидродинамических особенностей двухслойным стационарным потоком, разделённым полубесконечной пластиной// Тезисы докладов научно-технической конференции «Современные проблемы теории корабля». - Санкт-Петербург, 1995. - С. 161-162.

30. Сержантова Н.В. Обтекание гидродинамических особенностей двухслойным стационарным потоком// Тезисы докладов Международной научно-технической конференции «Механика машиностроения». - Набережные Челны, 1995. - С. 25-26.

31. Сержантова Н.В. Обтекание гидродинамических особенностей двухслойным потоком тяжёлых жидкостей, разделённым полубесконечной пластиной// Тезисы докладов II республиканской научной конференции молодых учёных и специалистов. - Казань, 1996. - Книга 4. - С. 82.

32. Серэюантова Н.В. Обтекание полубесконечной деформированной пластины двухслойным потоком жидкостей. - Деп. в ВИНИТИ 09.03.99, № 692-В99.

33. Сержантова Н.В. Стационарное обтекание гидродинамических особенностей двухслойным потоком невесомых жидкостей с полубесконечной пластиной на линии раздела. - Деп. в ВИНИТИ 30.06.97, № 2150-В97.

34. Сержантова Н.В. Установившиеся течения двухслойной жидкости с полубесконечной пластиной на линии раздела// Тезисы докладов Международной научно-технической конференции «Экраноплан-96». - Казань, 1996. - С. 47.

35. Сретенский JI.H. Теория волновых движений жидкости. - М.: Наука, 1977. - 816 с.

36. Степанянц Ю.А., Стурова И.В., Теодорович Э.В. Линейная теория генерации поверхностных и внутренних волн// Итоги науки и техники. МЖГ. - М.: ВИНИТИ, 1987.-Т. 21.-С. 92-179.

37.Accerberg R.C. Ой a non-linear theory of thin jets. Part 2. A linear theory for small injection angles// Journal of Fluid Mechanics. - 1968. - V. 33. - №2. - P. 261-272; Механика. Периодич. сб. перев. иностр. статей. -1969. -Т.117. -№5. - С. 73-84.

38. Friedrichs K.O., Lewy H. The dock problem// Comm. Pure Appl. Math. - 1948. - V. 1. -№2.-P. 135-148.

39. Heins A.E. Water waves over a channel of finite depth with a dock// Amer. I. Math. -1948. -V. 70.-P. 730-748.

40. Lewy H. Water waves on sloping beaches// Bulletin of the American Mathematical Society. - 1946,-V. 52.-№ 9. - P.737-775.

41. Marchi E. Sui fenomeni di eflusso piano da luci a battente// Ann. mat. pura ed'app. -1953.-V. 35.

42. Noble B. Methods based on the Wiener-Hopf technique. - 1958; Нобл Б. Метод Винера-Хопфа.-М.: ИЛИ, - 1962.

43. Petters A.S. The effect of a floating mat on water waves// Comm. Pure Appl. Math. -1950.-V. 3.-№ 4.-P. 319-354.

44. Stoker J. J. Surface waves in water of variable depth// Quarterly of Applied Mathematics. - 1947. - V. 5. -№ l.-P. 1-54.

45. Weitz M., Keller J. Reflection of water waves from floating ice in water of finite depth// Comm. Pure Appl. Math. - 1950. - V. 3. - № 3. - P. 305-318.

46. Wolfram S. The Mathematica Book. 3rd ed. - Wolfram Media/Cambridge University Press, 1996.