Условия сходимости орторекурсивных разложений в гильбертовых пространствах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Политов, Антон Викторович

• Политов, Антон Викторович
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Политов, Антон Викторович

Содержание

Введение

Орторекурсивные разложения в гильбертовом пространстве

Цель работы

Структура и основные результаты работы

1 ОРР в матричном виде

1.1 Общие сведения об операциях над бесконечными матрицами

1.1.1 Определение бесконечных матриц и основных операций

над ними

1.1.2 Обращение бесконечных матриц

1.2 Критерий сходимости ОРР

1.3 Связь между формулировками в двумерном случае

1.4 Связь между матрицей Грама системы векторов и орторекур-сивными разложениями по подсистемам этой системы

1.5 Необходимое условие устойчивости к ошибкам в терминах матрицы Грама

1.6 Формула для вычисления орторекурсивных коэффициентов с помощью матрицы Грама

2 Достаточные условия сходимости обобщенных ОРР

2.1 Основные определения

2.2 Система вложенных подпространств

2.3 Достаточные условия сходимости

3 Сходимость ОРР по системам сжатий и сдвигов

3.1 Приближения КуСОЧНО-ПОСТОЯННЫМИ функциями В 1/2

3.2 Доказательство теоремы о сходимости ОРР по системе двоичных сжатий и сдвигов

3.3 Обобщенные системы сжатий и сдвигов

3.3.1 Системы сжатий и сдвигов с недвоичными сжатиями

3.3.2 Системы сжатий и сдвигов нескольких функций

3.3.3 Системы сжатий и сдвигов произвольного семейства функций

3.4 Системы сжатий и сдвигов на квадрате

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Условия сходимости орторекурсивных разложений в гильбертовых пространствах»

Введение

Теория ортогональных рядов (рядов Фурье) — одно из традиционных направлений математики, изначально появившееся при изучении различных физических явлений: теплопроводности, колебаний струны, распространения звука. Одним из основоположников этой теории стал Даламбер, проинтегрировавший в 1747 году уравнение звучащей струны, что послужило началом для целого ряда работ, раскрывших понятие произвольной функции. Первоначальный вопрос, стоявший перед Даламбером, был таким: если произвольно отклонить струну от ее положения равновесия, существует ли формула, точно изображающая начальное положение этой струны?

Фурье дал утвердительный ответ на этот вопрос, предложив метод вычисления коэффициентов тригонометрического ряда, изображающего «произвольную функцию». Он использовал свои методы для создания теории теплопроводности, но они достаточно быстро стали мощным инструментом исследований в астрономии, акустике, теории приливов и других прикладных науках. Более подробная информация о задаче Фурье и смежных вопросах содержится, например, в [1].

Несмотря на то, что работы Фурье не отличались полной строгостью (достичь ее удалось только во времена Гильберта), они коренным образом изменили представления своего времени — тогда большинство, включая Эйлера, считало, что каждому аналитическому выражению соответствует кривая, последовательные части которой зависят друг от друга. Однако Фурье доказал, что такое понимание ошибочно, так как физик, чертящий кривую, всегда может изменить ее направление, и любую начерченную кривую возможно задать одной формулой.

В дальнейшем стали рассматривать ортогональные ряды не только по тригонометрической системе, но и по другим системам; рядами Фурье стали называть разложения по произвольному ортогональному базису в произвольном гильбертовом пространстве. История вопроса и некоторые результаты исследований изложены в работах [2]-[7].

Ряды Фурье обладают многими полезными для приложений свойствами: простое вычисление коэффициентов; быстрое вычисление погрешности благодаря равенству Бесселя; отсутствие необходимости пересчета коэффициентов. если понадобилось увеличить точность приближения. По этой причине по мере развития информационных технологий расширилась сфера применения рядов Фурье — они стали применяться при обработке, передаче и хранении различных сигналов, таких, как изображения, аудиофрагменты, видео. При этом нужный сигнал моделируется некоторым элементом пространства со скалярным произведением; пространство и базис в нем выбираются, исходя из особенностей конкретной задачи.

Однако у рядов Фурье есть и недостатки. Если система, по которой в данной задаче удобно производить разложение, неортогональна, то разложить в ряд Фурье по ней нельзя, поэтому существенно ограничивается область применения разложений в ряды Фурье. Кроме того, если при передаче или вычислении коэффициентов появилась погрешность, ее нельзя устранить, вычисляя остальные коэффициенты: ряд с неверными коэффициентами не может сходиться к разлагаемому элементу.

Ввиду изложенных недостатков возникает задача определить процесс разложения, наследующий преимущества классических ортогональных разложений, но лишённый перечисленных недостатков. В работе рассматривается один из возможных способов решения этой задачи — орторекурсивные

разложения (ОРР). Изучается случай абстрактного гильбертова пространства с заданной в нем системой элементов и имеющий прикладное значение случай разложения по системе подпространств — рассмотрен случай с произвольными подпространствами и некоторые частные случаи систем функций в Ь2.

Орторекурсивные разложения в гильбертовом пространстве

Исследование сходимости ОРР является достаточно новой областью, изучавшейся в работах Т. П. Лукашенко, В. В. Галатенко, А. Ю. Кудрявцева ([8] - [13]). Понятие орторекурсивных разложений было введено Т. П. Лукашенко в 2000-2001 годах (см. [12]). Напомним определение ОРР.

Пусть % — гильбертово пространство и £ — {еп}^=1 — система нормированных векторов из Л.

Определение 1. Пусть / — произвольный вектор, лежащий в У.. Индуктивно определим последовательность коэффициентов {/к}ь=1 и последовательность остатков {г/с}^. Положим

ГО = /,

1к+1 = {гк, ек+1), Гк+1 = Г к - /к+1вк+1-

Ряд 1пеп называется орторекурсивным рядом Фурье элемента / по системе £. а последовательность {Д}^ — последовательностью орторекурсивных коэффициентов Фурье элемента / по системе £.

Для введенных разложений сохраняются такие свойства обычных рядов

Фурье, как равенство Бесселя

п

1К(/)||2 = ||Л12-Ей2

к=1

и неравенство Бесселя

00

£|Л12<НЛ12.

к=1

Кроме того, сходимость к разлагаемому элементу эквивалентна равенству Парсеваля

оо

£|Л12 = НЛ12.

к=1

Доказательства этих утверждений приведены в [13].

Отметим, что если система, по которой производится разложение, является ортонормированным базисом, то полученный орторекурсивный ряд совпадает с классическим рядом Фурье.

Для неортогональных систем полнота системы, по которой производится разложение, не гарантирует сходимости орторекурсивного ряда к разлагаемому элементу. Для случая пространства К2 известен следующий критерий сходимости В. В. Галатенко [14].

Теорема А. Орторекурсивное разложение произвольного элемента из Ж2 сходится к разлагаемому элементу тогда и только тогда, когда справедливо условие

оо

П 9п.гь+1 = О, п=1

где

9гз = (ег; ез)~

Приведенный критерий был получен при изучении устойчивости орторе-

курсивных разложений с ошибками.

Ошибки и устойчивость понимаются в следующем смысле.

Определение 2. Индуктивно определим последовательность остатков разложения и последовательность коэффициентов разложения (верхний индекс указывает на то, что в вычислении коэффициентов разложения возможны ошибки). Положим

гео(Л = /•

Если уже определен остаток г®, то положим

Тп+1 = «> еп+1)(1 + £п+1) + и+1;

где £п+\ и — некоторые числа. Положим

<+!(/) = <(/) — /п+1еп+1-

Определение 3. Ряд 1пеп называется орторекурсивным разло-

жением элемента / по системе Е с ошибками Е — {(еп,

Отметим, что орторекурсивное разложение по системе Е с нулевыми ошибками совпадает с обычным орторекурсивным разложением по этой системе.

Определение 4. Будем говорить, что орторекурсивное разложение по системе Е абсолютно устойчиво к любому конечному числу ошибок в вычислении коэффициентов, если для любого элемента / £ ^ и любого целого неотрицательного числа N орторекурсивное разложение элемента / по системе Е'. полученной из системы Е удалением первых N элементов, сходится к/.

Кроме того, будем обозначать через E\-j2 такие ошибки, что

limsup \еп\ < е к-

п—^оо

Справедливы следующие теоремы (см. [14]).

Теорема В. Пусть нормированные системы {en}n=i и {е'п\п= i квадратично близки, то есть сходится ряд

ОС 71=1

и орторекурсивное разложение по системе |еп}*=1 абсолютно устойчиво к любому конечному числу ошибок в вычислении коэффициентов. Тогда орторекурсивное разложение по системе {е/„}^=1 также абсолютно устойчиво к любому конечному числу ошибок в вычислении коэффициентов.

Теорема С. Пусть £ — некоторая нормированная система, такая, что орторекурсивное разложение по ней абсолютно устойчиво к любому конечному числу ошибок в вычислении коэффициентов. Тогда орторекурсивное разложение произвольного элемента / 6 по системе Е с ошибками из сходится к разлагаемому элементу.

Орторекурсивные разложения по системам подпространств

Идея рассмотрения ОРР по системе подпространств была предложена А. Ю. Кудрявцевым и развита в работах Т. П. Лукашенко, В. А. Садовниче-го, A.B. Словеснова [15],[16],[17].

Пусть в пространстве % задана система произвольных замкнутых подпространств Обозначим через Рп ортогональный проектор на под-

пространство %п. Для удобства дальнейшего изложения введем еще одно обозначение:

Р^ = Ы - Рп;

где 1(1 — единичный оператор. Для произвольного элемента / Е % положим

Л = Рх/;

далее, если уже определены /ь /2, • • • ; /п-Ъ положим

/„ = Р„ГП_1(/),

где

гг-1

Гтг-1(/) = I 7к-к=\

о©

Определение 5. Ряд ^ /п называется обобщенным орторекурсивным

п= 1

рядом Фурье элемента / по системе подпространств

Для разложений по системам подпространств остаются справедливыми аналоги равенства и неравенства Бесселя, эквивалентность равенства Пар-севаля сходимости разложения к разлагаемому элементу [16]. Равенство Бесселя принимает вид

п

2

1ы/)||2ч1/112-Еш

к=1

неравенство Бесселя — вид

ОО

£ш2<

М.Ж1 ^ \и |'2

к=1

а равенство Парсеваля, также верное тогда и только тогда, когда разложение сходится к разлагаемому элементу, — вид

ос

£ii/*ii2 = ii/ii2-

k=i

Доказательства этих утверждений аналогичны соответствующим доказательствам для ОРР по системе векторов (см. [16]).

Заметим, что в случае 7in = (еп) разложение совпадает с введенным выше разложением по системе элементов {en}n=i-

А. Ю. Кудрявцевым рассматривались орторекурсивные разложения по системам сжатий и сдвигов фиксированной функции.

Определение 6. Пусть (/?(х) G Z/2[0- 1), ||(/?(ж)||2 = 1 И (р(х) = 0 вне [ОД).

Система

(ры{х) = 2У2<р{2кх - I), к = 0,1, 2,..., I = 0,1,..., 2fc - 1,

называется системой сжатий и сдвигов функции tp(x).

Будем обозначать ее через S(ip). Занумеруем элементы S(ip) натуральными числами, взяв в качестве n-го элемента функцию (pk.i(x), где к и I таковы, что п = 2к + I (при указанных в определении ограничениях на к и I такое представление существует и единственно для каждого натурального п).

По занумерованной таким образом системе можно рассматривать ОРР в L/9 [0,1), беря в качестве еп функцию с номером п. Однако для разложений по системам сжатий и сдвигов будет удобно ввести подпространства (линейные

оболочки функций <¿>¡¿,1 при фиксированном к)

74 = (<Рк.о{х), <Рк,1{х), ..., (рк.2"-1{х))

и рассматривать проекции на них. Ввиду того, что при фиксированных к функции (рк,1 ортогональны друг другу, разложение по этой системе подпространств будет эквивалентно обычному ОРР по системе <9(<£>).

Исторически первым примером системы сжатий и сдвигов является система Хаара [18], введенная им в 1910 г. Позже в работах различных математиков (Добеши [19], Мейер [20] и др.) рассматривались разложения функций и по другим системам сжатий и сдвигов.

Недостаток системы Хаара, как и других ортонормированных базисов, заключается в том, что, как уже говорилось выше, разложение по ним неустойчиво к малым изменениям системы и ошибкам при вычислении коэффициентов, вызванным, например, вычислительными погрешностями. Этот недостаток может быть устранен переходом к неортогональным системам сжатий и сдвигов.

Если ошибки не очень большие (например, из класса £а-,/2) и ОРР по такой системе сходится к разлагаемому элементу, то ОРР с такими ошибками по-прежнему будет сходиться в точности к разлагаемому элементу.

Для систем сжатий и сдвигов фиксированной функции известна теорема Освальда-Филиппова (1995), которая в случае пространства 1/2[0,1) может быть сформулирована следующим образом (см., например, [21]).

1

Теорема О. Пусть функция (р(х) Е 1-2[0.1) такова, что [ >^{х)(1х ф 0.

о

Тогда является системой представления в 1/2[0,1), т. е. для каждой

функции f(x) G Ту2[0. 1) существуют коэффициенты Ck.l, такие, что

00 2к — 1 к=О 1=0

где равенство понимается в смысле L^fO. 1).

Отметим, что эта теорема и ее доказательство, приведённые в [21], не дают практического способа нахождения коэффициентов разложения по системе сжатий и сдвигов. Как будет показано в работе, орторекурсивные разложения предоставляют такой способ при достаточно слабых ограничениях на порождающую функцию. Эффективный критерий, позволяющий установить для произвольной функции, будет ли орторекурсивное разложение каждого элемента по системе ее сжатий и сдвигов сходиться к разлагаемому элементу, в настоящее время неизвестен, но А. Ю. Кудрявцевым было анонсировано следующее утверждение.

Теорема Е. Существуют элемент из Li и порождающая функция с ненулевым средним такие, что орторекурсивное разложение этого элемента по системе сжатий и сдвигов этой функции не сходится к разлагаемому элементу

Кроме того; для систем двоичных сжатий и сдвигов справедлива теорема, также анонсированная А. Ю. Кудрявцевым ([11], доказательство этой теоремы опубликовано не было).

1

Теорема F. Пусть функция <р(х) G Ьо[0.1) такова, что J ip(x)dx / 0 и

о

ос

^ шК^. 2~k) < оо, где Ш2((р,6) — интегральный модуль непрерывности в k=1

L2[0,1). Тогда для любого элемента из Lo[0,1) ОРР этого элемента по S(ip) сходится к разлагаемому элементу.

Эта теорема будет доказана в главе 3. Цель работы

В работе рассматриваются орторекурсивные разложения в абстрактном гильбертовом пространстве и обобщенные орторекурсивные разложения. Целью работы является изучение условий сходимости ОРР в общем случае и применительно к конкретным системам, представляющим прикладной интерес, а также исследование зависимости свойств ОРР от заданной в терминах матрицы Грама структуры системы.

В соответствии с поставленной целью решаются следующие задачи.

- Устанавливается критерий, связывающий сходимость орторекурсив-ных разложений и матрицу Грама системы, по которой происходит разложение (задача, поставленная в 2007 году Б. С. Кашиным).

- Выясняется, как связаны критерий сходимости, полученный для общего случая, и известный ранее критерий В. В. Галатенко для двумерного пространства (задача, поставленная в 2010 году Б. С. Кашиным).

- Исследуется связь матрицы, обратной к нижнетреугольной половине матрицы Грама, и ОРР.

- Исследуется связь между устойчивостью ОРР к ошибкам и матрицей Грама системы.

- Находятся формулы, связывающие орторекурсивные коэффициенты и матрицу Грама системы, по которой осуществляется разложение.

- Устанавливается условия сходимости обобщенных орторекурсивных разложений.

- Изучаются системы сжатий и сдвигов на предмет сходимости ОРР по ним.

Структура и основные результаты работы

Работа состоит из введения, трех глав и списка литературы из 31 наименования. В данной работе формулы, леммы и теоремы имеют номера из двух чисел, первое из которых — номер главы, а второе — номер формулы (леммы, теоремы) в этой главе. Определения нумеруются сквозным образом. Результаты других авторов нумеруются сквозным образом латинскими буквами.

Во введении дается общий обзор исследуемой проблемы, формулируются решаемые задачи и приводятся основные результаты работы.

Глава 1 посвящена исследованиям свойств орторекурсивных разложений с заранее известной структурой системы £, то есть с известной матрицей Грама. В главе 1 предполагается, что гильбертово пространство сепарабель-но и рассматривается над полем действительных чисел. Оно будет обозначаться через "Н. Скалярное произведение в У, будет обозначаться через (•,•). Через £ — {еп}^=1 будет обозначаться произвольная счетная нормированная система векторов в

Через д^ будем обозначать скалярное произведение (е^, е^). Через С обозначим матрицу Грама системы £. то есть матрицу, состоящую из д^. Через Н обозначим треугольную матрицу, у которой элементы, лежащие не выше главной диагонали, совпадают с элементами С. а остальные элементы равны нулю (то есть С = Н + Нт — I, где / — единичная матрица).

Для произвольного еп € £ рассмотрим его орторекурсивный ряд Фурье ПО системе £. который будет иметь ВИД Спк&к■ где Спк = (еп)к. Мат-

рицу, состоящую из чисел Спь (то есть в п-й строке стоят орторекурсивные коэффициенты вектора еп), обозначим через С.

Глава 1 состоит из шести параграфов.

В параграфе 1.1 приведены необходимые сведения о действиях с бесконечными матрицами и описаны основные отличия от операций над конечными матрицами.

Параграф 1.2 содержит критерий, связывающий сходимость ОРР и матрицу Грама системы.

Полученный критерий внешне значительно отличается от известной в простейшем случая формулировки — теоремы А. Связь между общим и частным критериями раскрыта в параграфе 1.3.

В параграфе 1.4 приведена лемма, указывающую на глубокую связь между обращением матрицы, связанной с матрицей Грама, и орторекурсивными разложениями — элементы обращенной матрицы являются орторекурсивными коэффициентами для некоторых векторов и систем, тесно связанных с исходной системой векторов.

В параграфе 1.5 приведён результат, дополняющий теорему В и опирающийся на результат, полученный в предыдущем параграфе.

Параграф 1.6 содержит формулу для вычисления орторекурсивных коэффициентов через матрицу Грама системы, по которой осуществляется разложение.

Основными результатами главы являются теоремы 1.1 и 1.3.

Теорема 1.1. Пусть замыкание линейной оболочки £ совпадает с "К. Следующие утверждения эквивалентны.

1) Орторекурсивный ряд Фурье каждого элемента / Е Л по системе £ сходится к разлагаемому элементу:

2) выполнена система условий:

а) ^(Я-1^) = С,

б) (СН)СТ = С(НСТ).

Теорема 1.3. Если система 8 устойчива к любому конечному числу ошибок в вычислении коэффициентов, то имеет место равенство

вН'1 = 0.

В главе 2 сходимость исследуется для более общего случая — ОРР по системе подпространств. Результаты этой главы получены с использованием некоторых идей, высказанных А. Ю. Кудрявцевым: рассматривается система вложенных пространств, для которой сходимость доказывается тривиально, затем выясняется, насколько можно изменить вложенные подпространства {Дг}^! так, чтобы ОРР по измененной системе по-прежнему сходилось к разлагаемому элементу для каждого разлагаемого элемента.

Глава состоит из 3 параграфов.

Параграф 2.1 содержит необходимые определения.

В параграфе 2.2 рассмотрен важный частный случай — разложения по системе вложенных подпространств.

В параграфе 2.3 получены достаточные условия сходимости обобщенных ОРР.

Основной результат главы (теорема 2.1) сформулирован в терминах операторных норм (О,г — проекторы на подпространства из системы вложенных подпространств).

Теорема 2.1. Пусть выполнены следующие соотношения:

1. lim £ ||D^Pn||2 < oo,

n^oo k=1

2. lim ||D^PJ| = 0 при фиксированном /с,

71—»OO

3. lim ||P^Dn|| = В < 1.

п—ьоо

Тогда обобщенное OPP каждого элемента f из гильбертова пространства % по системе {Tin} сходится к разлагаемому элементу.

В главе 3 на основе результатов главы 2 доказывается теорема F. Кроме того, рассмотрен ряд утверждений, обобщающих теорему F, каждое из которых может иметь практическое применение, например, в обработке сигналов (пункты 3.3.1 - 3.3.3) или изображений (параграф 3.4). Результаты главы 3 сформулированы в терминах функций, порождающих системы сжатий и сдвигов, и их модулей непрерывности.

Автор искренне благодарит научных руководителей, профессора Тараса Павловича Лукашенко и доцента Владимира Владимировича Галатенко, за постановку задач, многочисленные обсуждения диссертации и конструктивные замечания, а также В. В. Богомазова и Д. Е. Александрова за помощь в редактировании текста диссертации.

Работа подготовлена в рамках исследований, проводимых совместно с научно-техническим центром «БиоКлиникум» (ГК 14.514.11.4025 от 10 августа 2012 г. «Разработка методов и алгоритмов индивидуального гепотипи-рования по набору ридов без осуществления полной сборки генома»).

Заключение диссертации по теме «Математический анализ», Политов, Антон Викторович

Заключение

В работе исследованы общие свойства ОРР, а также сходимость ОРР по системам сжатий и сдвигов. В работе установлены следующие основные результаты.

- Получен критерий, связывающий сходимость орторекурсивных разложений с матрицей Грама системы, по которой происходит разложение.

- Установлена связь критерия сходимости, полученного для общего случая, и известного ранее критерия В. В. Галатенко для двумерного пространства.

- Исследована связь матрицы, обратной к нижнетреугольной половине матрицы Грама, и ОРР.

- Получено необходимое условие устойчивости ОРР к любому конечному числу ошибок в терминах матрицы Грама.

- Найдены формулы, позволяющие выразить орторекурсивные коэффициенты через матрицу Грама системы, по которой производится разложение.

- Установлены достаточные условия сходимости обобщенных орторекурсивных разложений.

- Изучена сходимость ОРР по обобщенным системам сжатий и сдвигов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Политов, Антон Викторович, 2013 год

Список литературы

[1] Лузин H.H., Интеграл и тригонометрический ряд. — М., ФИЗМАТ-ЛИТ, 2009.

[2] Алексия Г. Проблемы сходимости ортогональных рядов — М.: ИЛ, 1963.

[3] Бари Н.К. Об устойчивости свойства полноты системы функций // Докл. АН СССР. 1942. 37. 99-103.

[4] Голубов Б.И., Ефимов A.B., Скворцов В.А. Ряды и преобразования Уо-лша. Теория и применения — М.: Наука, 1987.

[5] Добеши И. Десять лекций по вейвлетам — Ижевск: РХД, 2001.

[6] Зигмунд А. Тригонометрические ряды. тт. 1, 2. — М.: Мир, 1965.

[7] Качмаж С., Штейнгауз Г. Теория ортогональных рядов — М.: ГИФМЛ, 1958.

[8] Галатенко В.В. Об орторекурсивном разложении по некоторой системе функций // Известия РАН. Сер. матем. 66:1(2002). 59-70.

[9] Галатенко В.В. Об орторекурсивном разложении по системе сигнумов II Современные исследования в математике и механике. Труды XXIII Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ. - М.:Изд-во ЦПИ при мех-мат ф-те МГУ, 2001. 92-94.

[10] Галатенко В.В. О скорости сходимости орторекурсивных разложений по некоторой системе функций // Труды XXIV Конференции молодых

ученых механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова. — М.:Изд-во ЦПИ при мех-мат ф-те МГУ, 2002. 47-49.

[11] Кудрявцев А.Ю., Орторекурсивные разложения по системам сжатий и сдвигов фиксированной функции // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Тез. докл. Воронежской зимней математической школы — Воронеж, 2001. 161-162.

[12] Лукашенко Т.П., Об орторекурсивных разложениях по системе Фабера-Шаудера // Современные проблемы теории функций и их приложения: Тез. докл. 10-й Саратовской зимней школы. Саратов: Изд-во Саратов, ун-та, 2000. 83.

[13] Лукашенко Т.П., О свойствах орторекурсивных разложений по неортогональным системам // Вестн. Моск. ун-та. Матем.механ. 2001. №1. 6-10.

[14] Галатенко В.В., Об орторекурсивном разложении с ошибками в вычислении коэффициентов // Изв. РАН. Сер. матем. 69:1(2005), 3—16.

[15] Лукашенко Т.П., Садовничий В.А. Орторекурсивные разложения по подпространствам // Доклады Российской Академии наук 445:2(2012), 135-138.

[16] Лукашенко Т.П., Садовничий В.А. О рекурсивных разложениях по цепочке систем // Доклады Российской Академии наук 425:6(2009), 741— 746.

[17] Словеснов A.B., Рекурсивные разложения по цепочке подпространств // Фундамент, и прикл. матем. 2010. 16:3(2010), 205-226

[18] Haar A.. Zur Theorie der orthogonalen Funktionensysteme //Math. Ann. 1910. 69. 331-371.

[19] Daubechies I., Orthonormal bases of compactly supported wavelets // Communs. Pure and Appl. Math. 41:7(1988). 909-996.

[20] Meyer Y., Wavelets and operators — Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1992.

[21] Oswald P., Filippov V. I., Representation in Lp by series of translates and dilates of one function // J. Approx. theory. 82:1(1995). 15-29.

[22] Кук P., Бесконечные матрицы и пространства последовательностей М.:Физматлит, 1960.

[23] Кашин B.C., Саакян A.A., Ортогональные ряды 2-е изд.,доп. М., Изд-во АФЦ, 1999.

Научные работы автора по теме диссертации

[24] Политов A.B., Орторекурсивные разложения в гильбертовых пространствах //Вестник МГУ.Сер.1.Матем.,мех. 2010, №3. 3-7.

[25] Политов A.B., Критерий сходимости орторекурсивных разложений в евклидовых пространствах //Мат. заметки, 93:4(2013), 637-640.

[26] Политов A.B., Орторекурсивные разложения в гильбертовых пространствах // Современные проблемы теории функций и их прило-

жения: Тез. докл. 14-й Саратовской зимней школы — Саратов: Изд-во Саратов, ун-та, 2008. 146-147.

[27] Политов A.B., Орторекурсивные разложения по системе сжатий и сдвигов нескольких функций // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Тез. докл. Воронежской зимней математической школы - Воронеж, ВГУ, 2009. 144-145.

[28] Политов A.B., Орторекурсивные разложения по системе сжатий и сдвигов нескольких функций // Современные проблемы математики, механики и их приложений. Материалы международной конференции, посвященной 70-летию ректора МГУ академика В. А. Садовничего. — Москва: Издательство «Университетская книга», 2009. 89-90

[29] Политов A.B., Критерий сходимости орторекурсивных разложений в гильбертовых пространствах // Современные проблемы теории функций и их приложения: Тез. докл. 15-й Саратовской зимней школы — Саратов: Изд-во Саратов, ун-та, 2010. 141-142.

[30] Политов A.B., Критерий сходимости орторекурсивных разложений в гильбертовых пространствах // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Тез. докл. Воронежской зимней математической школы - Воронеж, ВГУ, 2011. 268-269.

[31] Политов A.B., Достаточные условия сходимости орторекурсивных разложений на квадрате // Современные проблемы теории функций и их приложения: Тез. докл. 16-й Саратовской зимней школы — Саратов: Изд-во Саратов, ун-та. 2012. 135.