Орторекурсивные разложения по неортогональным всплескам тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Кудрявцев, Александр Юрьевич

  • Кудрявцев, Александр Юрьевич
  • кандидат физико-математических науккандидат физико-математических наук
  • 2012, Москва
  • Специальность ВАК РФ01.01.01
  • Количество страниц 73
Кудрявцев, Александр Юрьевич. Орторекурсивные разложения по неортогональным всплескам: дис. кандидат физико-математических наук: 01.01.01 - Математический анализ. Москва. 2012. 73 с.

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кудрявцев, Александр Юрьевич

Введение

Орторекурсивные разложения.

Неортогональные всплески.

Цель работы.

Структура и основные результаты работы.

1 О сходимости орторекурсивных разложений по неортогональным всплескам

1.1 Обобщенные орторекурсивные разложения.

1.2 Виды рекурсивных разложений по всплескам.

1.3 Теоремы о сходимости разложений.

1.4 Доказательство теорем о сходимости орторекурсивных разложений с конечными пачками.

1.5 Доказательство теорем о сходимости рекурсивных разложений других видов.

1.6 Доказательство теоремы о сходимости рекурсивного разложения по системе Ф.

1.7 Упорядоченные орторекурсивные коэффициенты.

2 О расходимости орторекурсивных разложений по неортогональным всплескам

2.1 Формулировка теоремы о расходимости.

2.2 Орторекурсивное разложение в пространстве последовательностей

2.3 Вспомогательное конечномерное орторекурсивное разложение

2.4 Доказательство теоремы о расходимости.

3 Об устойчивости орторекурсивных разложений по неортогональным всплескам к вычислительной погрешности

3.1 Об устойчивости орторекурсивных разложений в гильбертовом пространстве к вычислительной погрешности

3.2 Об устойчивости орторекурсивных разложений по неортогональным всплескам к вычислительной погрешности

4 О скорости сходимости орторекурсивных разложений по неортогональным всплескам

4.1 Формулировка теоремы о скорости сходимости.

4.2 Оценка скорости сходимости для обобщенных орторекурсивных разложений.

4.3 Доказательство теоремы о скорости сходимости.

4.4 Примеры оценок скорости сходимости

5 Дополнения

5.1 Рекурсивные разложения в гильбертовом пространстве

5.2 Критерий переполненной орторекурсивной системы разложения

5.3 О неортогональных всплесках в пространстве 1/(Мп)

Рекомендованный список диссертаций по специальности «Математический анализ», 01.01.01 шифр ВАК

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Орторекурсивные разложения по неортогональным всплескам»

Теория ортогональных рядов (рядов Фурье) является одним из классических направлений математических исследований, которое начало развиваться еще в первой половине XIX века. По всей видимости, первыми работами, в которых изучались ортогональные разложения, являются труды Д'Аламбера и Эйлера о колебании струны и работы Фурье о распространении тепла. В настоящее время имеется большое количество публикаций, посвященных как общей теории ортогональных рядов (см. [1], [6], [7]), так и разложениям в ряды Фурье по конкретным системам (см., например, [4], [5]).

В последние десятилетия в результате широкого внедрения компьютерных технологий разложения в ряды Фурье по различным ортогональным системам стали широко использоваться на практике при решении задач хранения, обработки и передачи данных различной природы. При этом рассматриваемый объект (изображение, аудиофрагмент, результаты сделанных спутником измерений и др.) моделируется некоторым элементом / пространства со скалярным произведением Н, в Л выбирается подходящая, учитывающая специфику конкретной задачи полная ортогональная система где ] — или некоторое натуральное число (в случае конечномерных пространств Н), или бесконечность, и работа ведется не с самим элементом /, а с его разложением в ряд Фурье по системе то есть рядом гДе Л = (/> ез)/{ел ез)- Этот ряд сходится к элементу /, и в случае бесконечномерных пространств его заменяют на частичную сумму, приближающую элемент с некоторой допустимой погрешностью.

Причинами, приведшими к широкому внедрению рядов Фурье в решение прикладных задач, являются такие свойства ортогональных разложений, как простота вычисления коэффициентов, наличие тождества Бесселя, обеспечивающего возможность быстрой оценки погрешности, то есть разности между элементом и частичной суммой разложения, а также так называемое свойство оперативности ("on-line"свойство). Последнее свойство заключается в том, что если точность, с которой N-ая частичная сумма приближает разлагаемый элемент, не является приемлемой, то для получения следующего приближения — (N + 1)-й частичной суммы — достаточно вычислить еще один коэффициент, не производя пересчет уже вычисленных коэффициентов. Свойство оперативности позволяет, в частности, параллельно осуществлять разложение и передавать уже вычисленные коэффициенты.

Вместе с тем, ортогональные разложения обладают свойствами, которые с точки зрения практических приложений являются отрицательными. Во-первых, условие ортогональности является очень жестким условием на систему, значительно сужающим класс систем, по которым осуществляется разложение. Во-вторых, ортогональные разложения принципиально не позволяют корректировать погрешности, возникающие в вычислении коэффициентов: для любой числовой последовательности {cj}j=1, отличной от последовательности {fj}^ коэффициентов Фурье элемента / по ортогональной системе ряд cj ej либо расходится, либо сходится к элементу, отличному от /.

В связи с вышесказанным, возникает актуальная задача определить процесс разложения, наследующий положительные свойства ортогональных разложений, но не обладающий приведенными выше отрицательными с точки зрения практики свойствами. Такие разложения, получившие название орторекурсивных, изучаются в настоящей работе.

Особенностью разложения в тригонометрический ряд Фурье или преобразования Фурье является отсутствие временной локализации — они позволяют получить частотную характеристику сигнала на всем рассматриваемом (конечном в случае ряда Фурье или бесконечном в случае преобразования Фурье) интервале времени. На практике часто используется преобразование Фурье с окном, но оно также обеспечивает ограниченную локализацию по времени, определяемую шириной окна (см. [5, §1-2])

В качестве альтернативы преобразованию Фурье в 80-х гг. XX века появились всплески (другое название — вейвлеты) — системы функций, хорошо локализованных по времени и частоте. Они вызвали новую волну математических исследований (отметим книги [2, 5, 14, 15, 16, 20] и [7, гл. 7]) и, наряду с преобразованием Фурье, стали аппаратом цифровой обработки сигналов. Однако разложениям в счетные ортогональные системы всплесков присущи все недостатки ортогональных разложений. В частности, порождающая функция системы всплесков часто задается достаточно сложными выражениями (например, всплески Добеши, Мейера и др.). В связи с этим естественно рассмотрение систем неортогональных всплесков, где порождающая функция может быть выбрана произвольно из достаточно широкого класса функций.

В настоящей работе рассматриваются орторекурсивные разложения по неортогональным всплескам.

Орторекурсивные разложения

Орторекурсивные разложения были предложены Т. П. Лукашенко в работах [10, 11]. Этот способ разложения в случае ортогональной системы дает в точности ряд Фурье разлагаемого элемента по этой системе. Приведем определение и некоторые свойства орторекурсивных разложений.

Определение 1. Пусть И. — гильбертово пространство над полем К или С, {еЛ^ — система ненулевых элементов Л. Для произвольного элемента / € ТС определим коэффициенты разложения {}]}]=1 следующим образом:

1) положим

2 (/.еО.

11 1Ы12'

2) если уже определены /ь ., /п, то положим (гпд),еп+1) /П+1 1к+1||2 ' где гп(/) = / - }3е3. ОО

Коэффициенты {/,} х будем называть орторекурсивными коэффициентами Фурье элемента / по системе (для ортогональной системы они совпадают с обычными коэффициентами Фурье), а формальный ряд }]ез ~~ орторекурсивным рядом Фурье элемента / по системе {е3}0=1.

Рис. 1: Двухмерная иллюстрация процесса разложения

Графическая иллюстрация процесса разложения в двухмерном случае приведена на рис. 1.

Теорема ([11]). Для любого элемента / е Л и любой системы С Л \ {0} справедливы тождество Бесселя

-ЕЛ<

7=1 и неравенство Бесселя и/н2-Е1Л121М2>

7=1

1Ыа<

7 = 1

1)

2)

Орторекурсивный ряд Фурье элемента / по системе {е.,}^ сходится к / тогда и только тогда, когда выполняется равенство Парсеваля

ЕЙ

7 = 1

2 II ||2 = 71 11 7 II

3)

Таким образом, для орторекурсивных разложений справедливы аналоги свойств разложений по ортогональным системам.

Идея орторекурсивных разложений восходит к заметке Б. С. и С. Б. Стечкиных 1961 г. [17]. В ней для каждого элемента / рекурсивно строилась своя система разложения {eJ(f)}'^=l (в этом случае утверждения теоремы также выполняются). Авторов больше интересовало доказательство равенства Парсеваля, возникающего при таком способе разложения. Именно наличие равенства Парсеваля навело на мысль об обобщении процесса, рассмотренного Стечкиными.

К сожалению, орторекурсивное разложение даже на плоскости может расходиться1 или сходиться к элементу, отличному от разлагаемого. Поэтому сформулируем

Определение 2. Систему {е,}^ С Н \ {0} назовем орторекурсивной системой разложения в пространстве Н, если для любого элемента / £ Н орторекурсивный ряд Фурье / по системе сходится к / в Н.

Определение 3. Систему {е^}^ сН \ {0} назовем безусловной орторекурсивной системой разложения в пространстве Л, если для любой перестановки о : N —» N система {e<T(j)}Jl1 является орторекурсивной системой разложения в ЪС.

Как отмечается, например, в работе [12], схема рекурсивного разложения допускает принципиально различные подходы: можно изначально фиксировать систему а можно на каждом шаге для данного элемента / (или для данного остатка rn(f)) выбирать из некоторого фиксированного множества очередной разлагающий элемент en+i(/). Второй подход реализуется, в частности, в так называемых жадных алгоритмах (Greedy Algorithms; см. [21]). Преимуществом орторекурсивных разложений по фиксированным системам перед жадными разложениями является линейность. Орторекурсивные разложения привлекательны также отсутствием усложняющего разложение алгоритма выбора следующего элемента.

Неортогональные всплески

Пусть (р — действительно- или комплекснозначная функция на вещественной прямой, принадлежащая пространству Лебега Ь2(Ш) над полем R или С соответственно. Функции pkti(x) = 2k/2<p(2kx -I), х е К, к, I е Z, (4)

1 Примером может служить разложение по системе векторов е0 = (cos Inj, sin Inj), j = 1,2,., вектора / ^ Аеь AgR. будем называть всплесками, порожденными функцией <р. При этом мы, как и в книге [20], вообще говоря, не требуем от семейства функций (4) ортогональности.

Пусть Ь = {Ьк}^0 — последовательность целых неотрицательных чисел. Рассмотрим систему функций

Ф +{Ь) = {<рк,1 :к>0,\1\< Ьк). (5)

Семейство Ф +(Ь), имеющее конечные пачки Щ = {<Рк,1 И < Ь/с}, занумеруем одним натуральным индексом в порядке возрастания номеров пачек, а внутри пачек — произвольным образом. Таким образом, функции <Рк,1 присвоим натуральный номер ] = з(к,1) так, чтобы из неравенства ] < / следовало неравенство к < к'. Положим е,- = (рк,1 ПРИ 3 = з{к, О

Определение 4. Систему Ф+(Ь) будем называть орторекурсивной системой разложения в пространстве Ь2(Ш), если система {е,}^ является орторекурсивной системой разложения в Ь2(Ш).

Определение 5. Систему Ф+(Ь) будем называть безусловной относительно перестановок пачек орторекурсивной системой разложения в пространстве Ь2(Ш), если для любой перестановки а множества совокупность Ф+,(т(Ь) = {(ра{к),1 '■ к > 0, |/| < Ьа(к)}> занумерованная натуральными числами в порядке возрастания номера к, а в пачках — произвольным образом, является орторекурсивной системой разложения в Ь2{Ш).

В.И. Филиппов и П. Освальд в статье [22] доказали, в частности, что если 1р € £2(К), \ч>(х)\ = 0(|х|1е) (е > 0) при —> оо и /К(р(х)с1х ± 0, то семейство всплесков (4), порожденных функцией (р, является системой представления в пространстве Ь2(Ш), т.е. для любой функции / е Ь2(Ш) найдется ряд вида ^(Я^/мО^); сходящийся к / в Ь2(Ш).

В настоящей работе мы получим результат, что при некоторых не слишком жестких ограничениях на порождающую функцию <р совокупность Ф+ (Ь) является орторекурсивной системой разложения в пространстве Ь2(Ш), и притом безусловной относительно перестановок пачек.

Цель работы

В работе рассматриваются орторекурсивные разложения по неортогональным всплескам. Целью работы является изучение сходимости этих разложений, их устойчивости к вычислительной погрешности, а также получение оценок скорости сходимости.

В соответствии с поставленной целью были сформулированы следующие задачи:

• определить различные виды орторекурсивных разложений по неортогональным всплескам;

• получить достаточные условия сходимости орторекурсивных разложений по неортогональным всплескам для любой разлагаемой функции из пространства Ь2(Ш) к ней самой в метрике Ь2(М);

• построить пример, показывающий, что полученные достаточные условия нельзя существенно ослабить;

• изучить устойчивость орторекурсивных разложений по неортогональным всплескам к ошибкам в вычислении коэффициентов;

• получить оценки скорости сходимости орторекурсивных разложений по неортогональным всплескам.

Структура и основные результаты работы

Работа состоит из введения, пяти глав и списка литературы, включающего 31 наименование. Теоремы, леммы, утверждения и следствия имеют номера из двух чисел, первое из которых — номер главы, а второе — номер теоремы (леммы, утверждения, следствия) в этой главе. Определения и замечания нумеруются сквозным образом.

Во введении дается общий обзор исследуемой области, формулируются решаемые задачи и приводятся основные результаты работы.

Похожие диссертационные работы по специальности «Математический анализ», 01.01.01 шифр ВАК

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кудрявцев, Александр Юрьевич, 2012 год

1. Лукашенко Т. П., "О свойствах орторекурсивных разложений по неортогональным системам", Вестник МГУ Сер. I. Матем., мех., М., № 1 (2001), 6-10.

2. Лукашенко Т. П., "О новых системах разложения и их свойствах", Чебышевский сборник, Тула, 5, вып. 2 (2004), 66-82.

3. Лукашенко Т. П., Садовничий В. А. "О рекурсивных разложениях по цепочке систем", Доклады РАН, 425:6 (2009), 1-6.

4. Малла С., Вейвлеты в обработке сигналов, Мир, М., 2005.

5. Новиков И. Я., Протасов В. Ю., Скопина М. А., Теория всплесков, Физматлит, М., 2005.

6. Смоленцев Н. К., Введение в теорию вейвлетов, РХД, Ижевск, 2010.

7. Стечкин Б. С., Стечкин С. В., "Среднее квадратическое и среднее арифметическое", Доклады АН СССР, 137:2 (1961), 287-290.

8. Столниц Э., Де Роуз Т., Салезин Д., Вейвлеты в компьютерной графике. Теория и приложения, РХД, Ижевск, 2002.

9. Фрейзер М., Введение в вэйвлеты в свете линейной алгебры, Бином, М., 2008.

10. Чуй Ч., Введение в вэйвлеты, Мир, М., 2001.

11. DeVore R. A., Temlyakov V. N., "Some remarks on Greedy Algorithms", Advances in Computational Mathematics, 5 (1996), 173-187.

12. Filippov V. I., Oswald P., "Representation in Lp by series of translates and dilates of one function", Journal of Approximation Theory, 82:1 (1995), 15-29.Научные работы автора по теме диссертации

13. Кудрявцев А. Ю., "О сходимости орторекурсивных разложений по неортогональным всплескам", Математические заметки, 92:5 (2012), 707-720.

14. Кудрявцев А. Ю., "О скорости сходимости орторекурсивных разложений по неортогональным всплескам", Известия РАН. Серия математическая, 76:4 (2012), 49-64.

15. Кудрявцев А. Ю., "Орторекурсивные разложения по системам сжатий и сдвигов фиксированной функции", Современные методы теории функций и смежные проблемы, Тезисы докладов, Воронеж, гос. ун-т, Воронеж, 2001, 161-162.

16. Кудрявцев А. Ю., "Орторекурсивные разложения по системам сжатий и сдвигов", Современные проблемы теории функций и их приложения, Тезисы докладов 11-й Саратовской зимней школы, изд-во ГосУНЦ "Колледж", Саратов, 2002, 106-108.

17. Кудрявцев А. Ю., "Орторекурсивные разложения по системам неортогональных всплесков", Современные методы теории функций и смежные проблемы, Материалы конференции, Воронеж, гос. ун-т, Воронеж, 2003, 137-138.

18. Кудрявцев А. Ю., "Орторекурсивные разложения по неортогональным всплескам", Современные методы теории функций и смежные проблемы, Материалы конференции, Воронеж, гос. ун-т, Воронеж, 2011, 189-191.

Обратите внимание, представленные выше научные тексты размещены для ознакомления и получены посредством распознавания оригинальных текстов диссертаций (OCR). В связи с чем, в них могут содержаться ошибки, связанные с несовершенством алгоритмов распознавания. В PDF файлах диссертаций и авторефератов, которые мы доставляем, подобных ошибок нет.