Уравнения в частных интегралах в анизотропных пространствах Лебега тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Иноземцев Алексей Иванович

• Иноземцев Алексей Иванович
• кандидат наук
• 2021

Оглавление диссертации кандидат наук Иноземцев Алексей Иванович

2.1.1. Непрерывность в целом ЧИ К

2.1.2. Непрерывность в целом ЧИ К2

2.1.3. Леммы об итерации частных интегралов в

2.2. Норма итераций частного интеграла К\. Резольвента

2.2.1. Ядро итерированного частного интеграла К™

2.2.2. Теорема о норме частного интеграла К™

2.2.3. Резольвента ядра к

2.3. Норма итераций частного интеграла K2. Резольвента

2.3.1. Ядро итерированного частного интеграла Km

2.3.2. Теорема о норме частного интеграла Km

52

53

54

2.3.3. Резольвента ядра k2

2.4. Частно-интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода

2.4.1. Частно-интегральное уравнение Фредгольма с частным интегралом K1

2.4.2. Частно-интегральное уравнение Фредгольма с частными интегралом K2

ГЛАВА III. ЧАСТНО-ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА ВТОРОГО РОДА В Rn

3.1. Частно-интегральное уравнение Фредгольма второго рода с ЧИ Ka в R

3.2. Случай частно-интегрального уравнения Фредгольма второго рода с ЧИ Ka с а = 0 или а =

3.2.1. Случай частно-интегрального уравнения Фредгольма второго рода с ЧИ Ka с а =

3.2.2. Случай частно-интегрального уравнения Фредгольма с ЧИ Ka с

а =

3.3. Фредгольмовы частно-интегральные уравнения второго рода 88 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ВВЕДЕНИЕ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Уравнения в частных интегралах в анизотропных пространствах Лебега»

Актуальность темы диссертации.

Частными интегралами (далее примем обозначение ЧИ) называются выражения, содержащие интегралы по части переменных области определения подынтегральной функции:

J /(х'; х'') (х'', х" е П С шш, х' е Ши-ш, (х'; х'') е шп. п

Частно-интегральным оператором (ЧИ-оператор) с ядром к(х; Ь) называются выражения вида

J к(х; Ь) и(х',г)(И, П е шш, х е шп, х'е шп-ш . п

По-видимому, первый результат об уравнениях с частными интегралами получен В. Вольтерра. В своих лекциях [62] он рассмотрел уравнение (типа уравнения Вольтерра), с двумя различными частными интегралами (различие конструкций которых связана с интегрированием по разным направлениям аргумента), которое было сведено к обычному двумерному интегральному уравнению Вольтерра. Тем самым В. Вольтерра показал, что подобные уравнения интересны с точки зрения теории интегральных уравнений, несмотря на принципиальное отличие частных интегралов от интегральных операторов. Им же показано, что в рамках соответствующих условий уравнения с частными интегралами имеют единственное и непрерывное решение. Э. Гурса [4] и Г. Мюнтцем [42] методом последовательных приближений было получено это решение. Систематическое изучение конструкций интегральных выражений с ЧИ начато в середине ХХ-го века. В этой связи выделим работы Б.А. Бельтюкова (Иркутск) и О.П. Околелова (Иркутск, Липецк) [44, 45]. Подробная теория линейных частно-интегральных операторов (ЛЧИ-операторов), заданных в двумерном евклидовом пространстве, развита Ю. Аппелем, П.П. Забрейко (Минск), Л.М. Лихтарниковым, А.И. Поволоцких и др. Интенсивное развитие теория ЛЧИ получила в работах А.С. Калитвина и его учеников. Основное внимание уделено ЛЧИ-операторам, заданным в двумерном евклидовом пространстве. В

пространстве лебеговых функций Ь2(Ш2) такие операторы изучались В.С. Пи-лиди (Ростов-на-Дону). Сингулярным ЧИ-операторам и уравнениям, а также уравнениям типа свёртки, посвящены работы В.А. Какичева (Ростов-на-Дону, Великий Новгород). Уравнения, содержащие ЧИ-операторы, изучались в работах К.Б. Сабитова (Стерлитамак) [49, 50, 51].

Приложения теории частных интегралов находят место в различных задачах механики сплошных сред [1], в исследованиях гравитационно-гироскопических волн [3, 54], в математической биологии [43] и других задачах естествознания. Как правило, во всех перечисленных выше работах требуется непрерывность ядер ЧИ-операторов и функций. Исследованию интегральных уравнений в пространствах Лебега с переменным показателем посвящена работа С.Г. Самко и С.М. Умархаджиева (Чеченская Республика) [52].

В отличие от перечисленных исследований в данной диссертации изучены ЧИ -операторы с интегральными ^-нормами. Это потребовало применения других методов исследования, ввиду того, что простейшие ЧИ-операторы в лебе-говском классе приводят к функциям, удовлетворяющим разным свойствам по различным направлениям аргумента. Такие классы функций называют анизотропными. Изучению последних принадлежат работы, выполненные академиком С.М. Никольским, его учениками и последователями [2]: в диссертации использованы определения и развитые ими подходы и методы исследования.

В отличие от всех предшествующих работ, посвященных частным интегралам, в диссертации изучены ЛЧИ-операторы и ЧИ-уравнения при более общих предположениях относительно размерности области интегрирования и относительно функциональных классов, в которых такие операторы ограничены. Следуя монографии [55], ЛЧИ-операторы изучаются в виде

п

(Ких*) = ££(К<гЧ(*), (1)

г=0 а

где а — мультииндекс, составленный из т чисел из набора (0,1,2,...,п). Слагаемому с т = а = 0 отвечает оператор умножения на функцию, а с а = (1, 2,...,п) — интегральный оператор. Остальные слагаемые суммы (1)

— это ЧИ-операторы вида

(К^п)^) = ! ка(х; га) п(Ха ^а) (&а, Ш<П,

П(т) ^а

где а = (а\,а2,... ,ат), 1 ^ а\ < а2 < ... < ат ^ п, а — дополняющий мультииндекс такой, что (а, а) = (1,2,...,п). При этом мы полагаем, что п(ха,ха) = п(х), а индексы а и а (и, следовательно, координаты ха, ха) перемешаны в произвольном порядке.

Как оказалось, ЧИ-операторы К(т) нельзя изучать в рамках обычного пространства Лебега Ьр, р ^ 1. Возникла необходимость в анизотропных лебегов-ских пространствах, что принципиально отличает проведенные в диссертации исследования от всех предыдущих исследований ЧИ-операторов.

Исследования этой работы показали, что ^-непрерывность функции К^п требует принадлежности функции п анизотропному Ьг = Ь(ГаГа) = пространству, где все параметры га принимают значения мультииндекса ра = (ра1,... , Рат), а параметры га = (т(а1 ,...,тап_т) равны квадратам соответствующих значений мультииндекса рй: та = р2 . Но сформулированный выше результат получен, обобщая, не прямым доказательством, а доказательством, когда номера переменных интегрирования га в частных интегралах следуют без пропусков. Полученные следствия этих результатов, связаны с перестроением переменных ранжированием по р = (р\.... ,рп) ^ р* = (ра1 ,Ра2,...,Рап), Ра, ^ Р^+1. Для этого в диссертации приведены теоремы о ранжировании1.

В диссертации приведено решение частно-интегрального уравнения Фред-гольма методом последовательных приближений при выполнении условия принадлежности функций и ядер соответствующим анизотропным пространствам Лебега. Теорема существования решений таких уравнений Фредгольма явилась следствием применения теоремы о резонансе [17].

Отметим, что ЛЧИ-операторы являются более общими, поскольку включают в себя и операторы умножения на функцию и интегральные операторы. Однако полной теории ЛЧИ-операторов в Ьр пока нет. Данная работа решает первые

1 Доказательство достаточно просто вытекает из неравенства (11) монографии [2] (см. с. 23). Поэтому автор приводит ее без доказательства.

задачи развития этой теории. Таким образом, полученные результаты обобщают известные и принципиально отличны от результатов, которые можно найти в предшествующих работах. Это говорит об актуальности диссертационного исследования в теории интегральных операторов и уравнений.

Кроме того, применение результатов диссертации позволит найти более общее и более широкое применение ЧИ в приложениях, что также свидетельствует об актуальности темы диссертационного исследования.

Цель работы состоит в изучении следующих проблем.

1. Получить критерий ограниченного действия ЧИ-оператора и ЛЧИ-оператора в анизотропном пространстве Лебега ЬР(В), р = (р\,... ,рп), рг ^ 1. Этот критерий должен включать условия принадлежности ядер ка(х; £а) и функций и(х) соответствующим анизотропным пространствам Лебега Ьт(0), г = г(р, а).

2. Решить ЧИ-уравнения Фредгольма второго рода при условии удовлетворения ядер соответствующих операторов найденному критерию ограниченного действия в Ьт(0) и получить условия существования и единственности решения такого уравнения.

Научная новизна и значимость полученных результатов.

Наиболее существенные научные результаты:

1. получены общие условия на функции и ядра операторов, входящих в (1), выполнения которых достаточно для ограниченности ЧИ-оператора и ЛЧИ-оператора (1) в анизотропном пространстве Лебега Ьр, р = (Pl,...,Pn), Рг > 1;

2. построены итерации ЧИ-операторов К°а, которые оказываются снова ЧИ-операторами с частно-интегральным представлением их ядер и указаны пространства функций, в которых операторы К3а и их ядра ограничены;

3. определены условия, при выполнении которых резольвента ЧИ-уравнения Фредгольма представлена в виде абсолютно и равномерно сходящегося ряда;

4. получены условия фредгольмовости уравнений с многомерными ЧИ-

операторами в Ьр;

5. в виде соответствующего операторного ряда Неймана получено решение ЧИ-уравнения Фредгольма второго рода в Ьр.

Методы исследования. В работе используются методы теории функций, функционального анализа.

Теоретическое и практическое значение полученных результатов.

Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы при исследовании проблем функционального анализа и интегральных уравнений и приложений к различным проблемам естествознания. Возможно использование результатов диссертационного исследования при чтении курсов по выбору в университетах для магистрантов и аспирантов физико-математических специальностей.

Апробация результатов диссертации. Основные результаты диссертации были представлены на Воронежской весенней (Воронеж, 2009, 2010, 2011, 2012, 2013, 2014, 2015, 2020, 2021) и зимней (Воронеж, 2011, 2012, 2013, 2014, 2020, 2021) математических школах, областных научных конференциях "Актуальные проблемы естественных наук и их преподавания" (Липецк, 2010, 2011,

2012, 2013, 2014, 2019), школе молодых ученых Липецкой области "Актуальные проблемы естественных наук и их преподавания" (Липецк, 2010, 2011, 2012,

2013, 2015), областных научных конференциях по техническим наукам "Актуальные проблемы технических наук" (Липецк, 2010, 2011, 2012, 2013), областном профильном семинаре "Школа молодых ученых по техническим наукам" (Липецк, 2011), международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Белгород, 2013), международной конференции "Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения" (Ростов-на-Дону, 2013, 2014, 2015, 2020), международном научном семинаре "Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений" (Минск, 2015), международной конференции "Дифференциальные уравнения и динамические системы" (Суздаль, 2014, 2016, 2020), международной конференции "Крымская осенняя математическая школа-симпозиум (КР0МШ-2020)" (Симферополь, 2020), научно-исследовательском семинаре «Спектральная тео-

рия дифференциальных операторов и актуальные вопросы математической физики» (Москва, ВМиК МГУ, 1 марта 2021).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [5] - [15], [25] - [30], [34] - [40], [56] - [60]. В совместных с профессором Л.Н. Ляховым работах [57], [58], [59], [60] и с профессором А.С. Калитвиным работах

[56], [25], [28], [29] руководителям принадлежит постановка задач, доказательства основных результатов по построению и исследованию решений получены лично диссертантом. Работы [10], [12], [25], [28], [29] опубликованы в журналах из перечня ВАК Министерства науки и высшего образования РФ. Работы [56],

[57], [58], [59], [60] опубликованы в журналах, рецензируемых в базе SCOPUS. Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех

глав и списка цитируемой литературы, включающего 62 наименования. Общий объем диссертации 104 страницы.

Краткое содержание диссертации.

Во введении дается обоснование актуальности выбранной темы, формулируется общая постановка задачи, дается краткий обзор исследований по теории операторов и уравнений с частными интегралами, приводится методика исследования, дан краткий обзор содержания диссертации и приведены основные научные результаты.

Нумерация изложенных ниже утверждений совпадает с нумерацией в диссертации.

В главе 1 вводятся основные определения и доказываются теоремы об ограниченности ЧИ-операторов в анизотропных пространствах Лебега.

Пусть Di = (ai, bi), D = D1 x ... x Dn — конечный параллелепипед в Rn. Основной результат первой главы заключается в нахождении правила, которому должна удовлетворять функция и ядро ЧИ-оператора для ограниченности его действия в нормах анизотропного пространства Лебега Lp(D), p = (pi,... ,pn), pi ^ 1. Обозначим через q = (q\,..., qn) мультииндекс из чисел qi, сопряженных числам pi.

Правило ограниченного действия ЧИ-оператора K(m) в анизотропных пространствах Лебега Lp(D).

1. Правило для функций п(ха, ¿а):

1) по переменным интегрирования функция п(ха,Ьа) должна иметь конечные ЬРо-нормы Ра = (Ра,,. . . , Рат)

2) по свободным от интегрирования переменным х« функция

п(ха, ¿а)

должна иметь конечные Ьр2-нормы, р| = (р^,... ,Рап-т).

2. Правило для ядер ка(ха,ха; ¿а) ЧИ-операторов

1) по переменным интегрирования ядро ка должно иметь конечные ЬЧо-нормы;

2) по переменным интегрирования ха ядро ка(х; ¿а) должно иметь конечные ЬРо-нормы;

3) по свободным от интегрирования переменным ха = (ха1,..., хап-т) ядро ка(х; Ьа) должно иметь конечные -нормы ра=

(ра1 Яа,, ... , рап-т Яо.п-т ).

Непосредственное доказательство всех предложений этих правил очень сложно технически выполнить. Вначале доказательство в проводится лишь в предположении, что координаты вектора х расположены в порядке следования индексов 1, 2,... ,п т.е. х = (ха ,х«), ха = (хь . ..хт), ха = (хт+1,... ,хп). Затем рассмотрен альтернативный случай х = (ха,ха), ха = (х1,...хт), ха = (хт+1,..., хп). Доказательство для случая «перемешанных» индексов проведено на примере действия ЧИ-операторов в

Для произвольного мультииндекса а при соблюдении этих правил следует:

\\Кат)п\\ьр(В) < \\ка ||ь(ча; ра, рйЧй ^«х^Мк^а )(ВахВа). (2)

В частности, для оператора умножения на функцию (т.е. при а = т = 0) имеет место неравенство

\\Коп\\ьр(п) < \\ко\\ьрЧ(п)\\п\\ьр2(Б)4 для интегрального оператора (т.е. при а = (1, 2,... ,п)) — неравенство

\К1П2,...,п п\\Ьр(Б) < \\к1,2,...,п\Ь(ч,р)(БхБ)\п\Ьр(Б).

Для ограниченного действия ЛЧИ-оператора (1) достаточно, чтобы функция п принадлежала одновременно разным лебеговым классам:

п £ Ь{р2,р2, .,р2п) П ... П Ь(ра;р^) П ... П Ь{р1р2,...,рп). Введем мультииндекс г, который может принимать одно из значений (Р1 , Р2,..., РП), ..., (Ра; Рй ),..., (Р1, Р2,..., Рп). Обозначим через СГ(Б) класс функций с конечной нормой

^НГг^С«)) = \\П\\г = \\Щ\Ьг(ВаХВа) .

Теорема 1.4.1. Пусть п£Сг^), а ядра ka(х; га) частно-интегральных операторов Ka принадлежат пространствам Ь(Ча; Ра РйЧй) (^а xD), и пусть Оа = \\ка\\ ь(ча. ра, р_Ча)(баХб), тогда ШИ-оператор K непрерывен как оператор из £г(^) в Ьр(^), причем

\\Kп\\Lp(D) < А1\\п\\г , А1 = ^ С а.

а

Следствие 1.4.1. Пусть

т ___

А2=Со + А^Са, где Л=шэх^[ )]},

а=0 1=1

тогда справедлива оценка

|Кп\кр^) < А2 ш Ж] У^Ь^)(dаXda)

Используя теорему о ранжировании, получим

Следствие 1.4.2. Пусть рр = (рр1,рр2,...,ррп) — мультииндекс, такой, что рв1 ^ Рв2 ^ ... ^ Рвп, тогда справедливо неравенство

\\Кп\Ьр ^ А2\\пЦ

Замечание 1.4.1. Если при любых г,] £ {1, 2,... ,п} выполняется неравен-

с\

ство р2 ^ Рj, то

\ \ Кп \ \ Lp < А2 \\п\\ т (п(и) ). 11

В главе 2 изучается классический подход к решению ЧИ-уравнений Фред-гольма второго рода в лебеговских анизотропных классах функций. Вначале рассматриваются ЧИ-уравнения в К2. Такого рода уравнений могут быть двух видов

(р(х) = \(Кцр)(х) + /(х), х £ D с ^2, (3)

и

ф) = \(К2^)(х) + /(х), х £ D с ^2, (4)

с операторами

(К1п)(х) = J к1(х; г1)п(г1,х2)(г1, (5)

Dl

(К2п)(х) = ! к2(х; г2)п(х1 М)(1г2 . (6)

D2

Итерации порядков ] частных интегралов (5) и (6) снова представляет собой частный интеграл с ядрами к{), кр, которые называются ]-кратно итерированными ядрами (]-итерированным ядром) и имеют вид

(^к{п^ (х) = ! к{\х;г1) п(г1,х2) (г1, (Кп^ (х) = Jк1 (х;г2)п(х1,г2) (г2, Dl D2

где

к{\х{,х2; г{) = ! к{-1\хл,х2; т)к{(т,х2; Ь) (т,

D2

в которых первой итерацией является к(1 (х{, х2; = к{(х{,х2; г^, (г = 1, 2).

Для удобства далее будет использовано обозначение Ж.-Л. Лионса [33] для анизотропных пространств:

Цр,д)(^1,2) = х D2) = Ьд(^2; Ьр(^{))

— пространство функций из Ьд(^2) со значениями в пространстве Ьр(^{).

В пункте 2.1.3, на основе правил ограниченного действия, получены следующие оценки норм итераций порядка г частных интегралов К и К2:

з'

\\К1/\\Ьр(Б) < П \\к1\Ьр.2,2(Б2;Ь(,1,Р1)(Б,,,)) • \\/У^+1 (Д^р, (Б,)), (7)

¿=1

з

\\К2/\\Ьр(Б) < \\к2\Ьр2(Б2;Ь(,2,Р1,1)(Б2,1)^ \\к2\\Lpiq,(Б1;Ь(,2,Р2)(Б2,2))\/\\ьр^+1 (Б,;Ьр2(ВД .

¿=2 1

(8)

Оценка норм итерированных ядер к3)(х;и к23)(х;¿2) в пространствах (^2; ^^(Ад)) и Ьр2 (^2; Ь(92^191)(^2,1 )) соответственно приведены в пунктах 2.2.1 и 2.3.1:

к(3)(х1,х2; ¿1)\ьр2,2 (Б2;Ь(,1,р1)(Б1,1))

<

3-1

^ \\к1(х1,х2;Т1)\ьр29^(ад^р^м)) П \\к1\ьр2ч2(Б2;Ь(р1,в1)СБ1,1))'

|к(3)(х1,х2; ^^ (Б2;Ь(,2,рШ)(Б2,1))

< Цк2(х1 ,х2;¿2)\\ / / Л П \\к2(х1,х2;¿2)!

з-1

Ч**^.(Б»)) !=! "к2(х1,х2-

Метод последовательных приближений нахождения решений уравнений (3) и (4) приводит к бесконечным итерациям (^ ^ то), что, в свою очередь, требует принадлежности ядер к1(х; ¿1) и к2(х; ¿2) к пространствам существенно ограниченных функций (£2; ^^(Ад)) и (А; £(^,®)(£2,2)) соответственно.

В пунктах 2.2.3 и 2.3.3 построены резольвенты ядер к1 и к2, которые соответственно имеют вид

00

Г1(х; ¿1; Л) = ^ Л3 к(3+1)(х1,х2; ¿) е (£2; ¿^^(Ад))

3=0

и

то

Г2(х; ¿2; Л) = ^ Лт к3+1)(х1,х2; ¿2) е ¿то (£1; £(м)№,2)) ,

3=0

и указано условие сходимости таких рядов (см. далее теоремы 2.4.1 и 2.4.2). Обозначим

1 то Г 1 то

МДг))р292, (м(^2))\ , В = виП (м№))р22,

3 =1 3 3 =1

С1 = шах{А1,В{}, 3 = шах{\\к1\^2^1,р1)(А,1)), \\kl\\L^D2Lp1,ql)(D1Л))} ,

{1 1 ^ ( г 1 л (

(№{)) ^ , (^1)) ^ I , В2 = (,^{)) р11 ,

) 1=1 1 I ) 1=1

С2 = шах{А2, В2},

32 = шах{ \ \ к2 (х1, х2; ^^ ^2,то)№Д)), \\к1(х1,х2; ЬЖ^ (Dl;L(p2,q2) №,2))} . Существование и единственность решения уравнений Фредгольма вида (3) и (4) содержат теоремы:

Теорема 2.4.1. Пусть ядро к{ частного интеграла (5) и правая часть неравенства (7) удовлетворяют условиям:

\\/\\Л1 = ЙИ^ \\/\\L 3-+1 (ВД ? < (

I Р2 J 1=1

и пусть |А| С{ 3{

< 1. Тогда в Ьр существует предел Ф = Фг функцио-

нальной последовательности

1

Ф1/ = 1х) = ^ АгК /(х).

1=0

Оператор Ф действует ограниченно из Ь(р1()(^1,2) в Ьр(^{,2) и удовлетворяет неравенству

\\Ф\Ь(Ц„)(*,2) < И™.\\Ф1 У^^)^).

Решение уравнения Фредгольма с частным интегралом (5) существует в виде операторного ряда Неймана

\/\\Л1

V(х) = ^ АК1/ причем \M\Lp < 1_\/\С 3 . 1=0 1111

Это решение единственно.

Решение можно представить в виде

(I + АЯ{) /(х) = ф) = /(х) + А ! п(х; ^; А) /(гих2) (й{,

Dl

где оператор I + АЯ{ совпадает с оператором Ф и является обратным к оператору I — АК{.

Теорема 2.4.2. Пусть ядро к2 частного интеграла (6) и правая часть неравенства (8) удовлетворяют условиям:

= вир | (£2;Ь(<г21рш)(£2Д)); {ИМь^(Д;^)^))} ^ <

1||ЬЛ2 = 8ир{ II/11^+1 (Я^(Д^ <

и пусть |А| С2 С2 < 1. Тогда в ЬР существует предел Ф = Фг функцио-

нальной последовательности

Ф;/ = = АгК2/(х).

¿=0

Оператор Ф действует ограниченно из Ь(Р2,то)(О2д) в ЬР(О1;2) и удовлетворяет неравенству

|Ф|Ь(Р1,Р2)(^1,2) ^ М||Ф |Ь(РЬР2)(^1,2).

Тогда существует решение уравнения Фредгольма с частным интегралом (6) в виде операторного ряда Неймана

^ II/ II

= ^ Ак2/ причем !Мкр < 1 _ с . ;=0 1 1 2 2

Это решение единственно.

Решение можно представить в виде

(I + АЯ2) /(х) = ^(х) = /(х) + А ^ Г2(х; ¿2; А) /(хь ¿2) ^2,

где оператор I + АЯ2 совпадает с оператором Ф и является обратным к оператору I — АК2.

Третья глава содержит общий результат для частно-интегрального уравнения Фредгольма второго рода в £Р(О), О € Кп. Это уравнение имеет следующий вид:

^(х) = А(Ка^)(х) + /(х), х € О с (9)

Здесь а = (а1,..., ат) — мультииндекс размера т, 1 ^ т ^ п. ЧИ-оператор

и) (х) ^ ^а^^а ; и(ха, ^¿а (10)

ба

определен набором индексов аг и а;, которые есть номера переменных интегрирования х и ^ и номера переменных, свободных от интегрирования ж3-. Получена оценка нормы итерации порядка ] ЧИ Ка :

з'

||К31 УЬр(^) < П ||ка||Ьр._Ча(^а;^(Ча;ра)(^а,а)) • У1 ||Ьрд+1 (Да;Ьра(Да)). (11)

¿=1 " "

Показано, что итерация К3 является ЧИ и как для любого ЧИ справедливо неравенство

||(КЗи)|кр(Я) < ||к^)|ЬраЧа(Да;Ь(Ча;ра)(^а,а))|и|Ьр2_(Да;Ьра(Да)). Получена оценка нормы итерированного ядра

||к(з) ||ьр2я2 (^а;Ь(яа,ра)(^а,а)) ^

з—1

< |ка (х; Та)||Ь ; (Да ;Ь(Ча;ра)(^а,а)Щ ||ка||Ьр2_ч2 (Да ;^(ра;Ча) (^а,а ) ) .

р2^2 -л 2 24 7

2 г=1

При использовании метода последовательных приближений для нахождения решения уравнения (9) возникает необходимость в бесконечных итерациях (^ ^ то), что приводит к принадлежности ядра ка(х; ¿а) существенно ограниченному пространству функций (О«; £(да;ра)(А*, а)) . Построена резольвента ядра ка в виде ряда

то

Га(х; ¿а; А) = А3 к(з+1)(ж; ¿а) € (О«; ^(А*^)) , з=о

условие сходимости которого приведено в теореме 3.1.3. Обозначим

( 1 1 то

Аа = вир шах < (д(О«в)), (д(О«в))^

— 1 [ J т=1

1то

В а = вир ^ (м(О«8)) ^ , (а8 € а), Са = Шах{Аа, В},

3 I J т=1

Са = ша^| |ка(х; ;^^а;ра) (Да,а ) ) , ^^ ^а)||Ьто(Да ^Яа) (^а,а ) )} .

Существование и единственность решения уравнения (9) содержит Теорема 3.1.3. Пусть ядро ка частного интеграла Ка и правая часть неравенства (11) удовлетворяют условиям:

то

^а = УМЬ , _ (Да ;Ь(Ча;ра)(^а,а)^ < ТО,

р2Ч2 , з = 1

II/Ik = II/IIl j+1 (Da ;Lpa (Da))\ <

I p« ) j=l

и пусть |Л| CaSa < 1. Тогда в Lp существует предел Ф = Фг функци-

ональной последовательности

Ф3 / = = ЛгКi/(x).

i=0

Оператор Ф действует ограниченно из Ь(ра()(^а х Dа) в Ьр(^) и удовлетворяет неравенству

\\Ф\\Lp(D) < Лш \\Ф1 Г^^).

Решение уравнения Фредгольма с частным интегралом К существует в виде операторного ряда Неймана

\\/\\Ла

00

= А Ка./ причем \\v\Lp < 1А1С3"

— | |

1=0

Это решение единственно.

Получим решение уравнения (9)

(I + АЯа) /(х) = у(х) = /(х) + А Jг(х; га; А) /(ха,га) (г а ,

Da

где оператор I + АЯа совпадает с оператором Ф и является обратным к оператору I — АКа.

В пункте 3.2 рассмотрены частные случаи уравнений Фредгольма при а = 0 и а = 0. Данные уравнения содержат операторы К0 — оператор умножения на функцию к0(х), — интегральный оператор, и не содержат ЧИ-операторы К . Показано существование и единственность решения, построена резольвента. Полученные результаты полностью согласуются с ранее полученными в общем случае оператора К .

Пункт 3.3 содержит условия фредгольмовости в частно-интегрального уравнения второго рода в случае оператора К = К{ + К2 + К3 + К{,2 + К{,3 + К2з + К{23 [56]. Результаты исследования ЛЧИ-уравнения в С^), D £ К2 согласуются с ранее полученными результатами.

Автор выражает благодарность профессору Л. Н. Ляхову за постановку задачи и помощь, оказанную при работе над диссертацией.

ГЛАВА I

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ С МНОГОМЕРНЫМИ ЧАСТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ В АНИЗОТРОПНЫХ ЛЕБЕГОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ФУНКЦИЙ

В данной главе рассматриваются вопросы о функциональных пространствах Лебега, в которых действие ЛЧИ-оператора ограничено. Можно заметить, что природа частных интегралов приводит к классам функций, имеющих различные свойства по разным координатам аргумента (более обобщенно — по разным направлениям векторного аргумента). Такие классы функций называются анизотропными. Определение и свойства этих пространств приведены в монографии [2].

Вначале ответим на вопрос, каким образом проявляется анизотропность функций при работе с ЧИ. Приведем простой пример на основе частного интеграла по первой переменной в

(кРп)(х) = ! к\(х; 1\) п(1\,х2) дЛ,\.

А

Применив неравенство Гельдера с показателями р, д : 1 + д = 1, получим

1(к[!)п)(х)1 < (У |к(х; (И^ ^I Ни,х2)1Р ^ . А вх

Отсюда

р/д * 1/Р

\к[1] п\\Ьр{п) < ( ДУ Ых; (И^ 11п(гъх2)1р (11! (х

В В1 В\

Как видим, если бы функция п не зависела от х2 (в этом случае это просто интегральный оператор), то мы получили бы нужный результат

\\К1)п\\1р(В) < НМь,(ВъЬр(В)) \\п\\Lp(Вl),

в котором от ядра к уже требуется принадлежность анизотропному классу Лебега ЬТ(В\ х Б) при г = (д,рР). Здесь

Ьг(Б\ х Б) = Ь{Чрр)(Б1 х Б) = 18

=

— обозначение Ж.-Л. Лионса (см.монографию [33], с. 19) пространства функций (О1) со значениями в пространстве Ьр(О2).

Если же функция и все же зависит от х2, то необходимо вновь применить неравенство Гельдера. Тогда имеем

1/р

(1)

1К1( )и|кр(я) =

к1(х; ¿1) и(^1,ж2) А1 ¿ж

<

1/р

^ 1 /"^У |к1(х; ¿1)|9 J |и(^1, х2)|р (Их (х

Здесь внешний интеграл берется по области О = О1 х О2, а Функция и не зависит от х1, поэтому, предположив, что двойной интеграл равен повторному (что, собственно, не умаляет общности рассуждений), мы получим

|К(1)и|Ьр(д) ^

|и(^1,х2 )|р х

1^2 Д

1/р

х ' |к1 (х; (¿^ (х1 | (х2

Теперь к внешнему интегралу по О2 применим неравенство Гельдера с теми же показателями р, д : р + 1 = 1. В результате имеем неравенство

\р2 /р

|и(^1,х2)|р ) (х2

Р2

м/р

X

х I | М I |к1 (х;¿1)|9(¿^ (х1 | (х2 Определение анизотропной нормы Лебега в К2, г = (г1,г2) следующее:

1/Г2

Г / Г \ г2/г1

1 (н)= /(/

\ Г2/Г1

|/|Г1 (х Л (х2

р

1

Воспользуемся этим определением, тогда предыдущее неравенство примет вид

|К1 и||Ьр(Д) < | | к1 У (-^1,-^1 ,-^2) ||и|Ь(р,р2)(Д1,Д2) .

Как видим, чтобы действие такого частного интеграла оказалось ограниченным в изотропном пространстве Лебега надо потребовать от ядра К и функции и принадлежности классу анизотропных функций, т.е. функций с разными свойствами по различным переменным своего аргумента. Обе нормы в правой части этого неравенства оказались анизотропными лебеговскими нормами.

Анализируя полученный результат, приходим к выводу о вполне естественном проявлении анизотропных свойств ядра частного интеграла и функции, к которой этот ЧИ применяется, даже если рассматривать эту конструкцию ЧИ в обычных нормах пространства Лебега. Разумеется, естественно предположить, что конструкции частных интегралов надо изучать в более общих классах Лебега (по сравнению с изотропными классами).

В этой главе мы исследуем действия многомерных ЧИ-операторов и ЛЧИ-операторов вида (1) в нормах пространства Ьр. Получен общий вид оценок общего плана для работы в при любых п > 2. Но конечное доказательство общей оценки действия ЧИ в при п > 3 нами приведено только в частном случае, когда номера переменных интегрирования частного интеграла расставлены по возрастанию и не содержат пропусков. Это связано лишь с техническими трудностями, приводящими к громоздким обозначениям.

1.1. Анизотропные пространства Лебега

Из приведенных рассуждений следует, что частные интегралы в пространствах Лебега имеет смысл исследовать с привлечением анизотропных классов. Такие функциональные пространства изучались академиком С.М.Никольским и его учениками и последователями (см. [2]).

Приведем общее определение анизотропного пространства Лебега. Пусть р = (р1,...,рп) и О = {х = (х1, ... , хп) : а < х < — конечный параллелепипед в с гранями, параллельными координатным плоскостям.

Определение 1.1.1. Анизотропное пространство Лебега Ьр определено

как класс функций, для которых конечна норма

(Ьп Ьп-1 ^ Р2 . Рп ч

1\1'\1 17 ^ Р1 РП-1 ^ЖН РП . (1.1.1)

ап ап-1 а1

Известно, что это пространство банахово.

Заметим, что при равных компонентах мультииндекса рх= ... =рп=р анизотропная норма Лебега Ьр = Ьр, (см. [2], с. 9).

1.2. Частные интегралы в Кп. Основные определения и обозначения

В работах [55], [22], [23], [24] частные интегралы изучались в евклидовом пространстве В диссертации частные интегралы в Кп будем изучать в следующем виде

(К^п)^) = ! ка(х; г а) п(Ха ^а) <& а, 1 < Ш<П,

л(т)

^а

где га переменные интегрирования частного интеграла, хй — (п-ш) мерный вектор, номера координат которого не совпадают с номерами переменных интегрирования га и

Б(ат) = х ... х Б« = (аа 1 ,Ьа 1) X ... х Кт ,Ьат)

— ш-мерный параллелепипед с гранями параллельными координатным плоскостям.

Общий вид линейного частно-интегралного оператора (далее примем сокращение ЛЧИ), следуя [55], будем изучать в виде

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Иноземцев Алексей Иванович, 2021 год

Список литературы

[1] Александров, В.М. Об одном классе интегральных уравнений смешанных задач механики сплошных сред / В.М. Александров, Е.В. Коваленко // ДАН СССР. — 1980. — Т. 252. №2. — С. 324 - 328.

[2] Бесов, О.В. Интегральные представления функций и теоремы вложения / О.В. Бесов, В.П. Ильин, С,М. Никольский. — М.: Наука. 1975. — 478 с.

[3] Габов, С.А. Линейные задачи нестационарных внутренних волн. — М.: Наука, 1990. — 344 с.

[4] Гурса, Э. Курс математического анализа. Т.3. Ч.2. — ОНТИ, 1934. — 320 с.

[5] Иноземцев, А.И. Об операторах с многомерными частными интегралами в пространствах С (Л) / А.И. Иноземцев // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна - 2012: материалы международной конференции / под ред. В.А. Костина; ВГУ, МИРАН им. В.А. Стеклова, МГУ им. М.В. Ломоносова. — Воронеж: Издательско-полиграфический центр ВГУ, — 2012. — С. 83 - 84.

[6] Иноземцев, А.И. О действии операторов с многомерными частными интегралами в С (Л) / А.И. Иноземцев // Современные методы теории краевых задач: материалы Воронежской весенней математической школы "Понт-рягинские чтения — XXIV". — Воронеж: ВГУ, — 2013. — С. 92 - 93.

[7] Иноземцев, А.И. Условия действия линейных операторов с многомерными частными интегралами в С (Л) / А.И. Иноземцев // Дифференциальные уравнения и их приложения: сб. материалов Международной конференции (Белгород, 26-31 мая 2013г.). — Белгород: ИПК НИУ "БелГУ", — 2013. — С. 101 - 102.

[8] Иноземцев, А.И. О действии линейных операторов с многомерными частными интегралами в различных функциональных пространствах / А.И. Иноземцев // Международная научная конференция "Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их

приложения — III" в г. Ростове-на-Дону. Тезисы докладов. — Ростов н/Д: Изд-во СКНЦ ВШ ЮФУ, — 2013. — С. 21.

[9] Иноземцев, А.И. Критерий действия операторов Вольтерра с многомерными частными интегралами в пространстве C(D) / А.И. Иноземцев // Международная научная конференция "Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения — IV" в г. Ростове-на-Дону. Тезисы докладов. — Ростов н/Д: Изд-во СКНЦ ВШ ЮФУ, — 2014. — С. 28.

[10] Иноземцев, А.И. Критерий определенности на C(D) линейных операторов с многомерными частными интегралами / А.И. Иноземцев // Научные ведомости БелГУ. Математика. Физика. — 2014. — №5 (176). — Вып. 34.

— С. 17-26.

[11] Иноземцев, А.И. Об условиях действия линейных операторов с многомерными частными интегралами в некоторых функциональных пространствах / А.И. Иноземцев // Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского / Казанское математическое общество. Теория функций, ее приложения и смежные вопросы // Материалы Двенадцатой международной Казанской летней научной школы-конференции. — Казань: изд-во Казанского математического общества, изд-во Академии наук РТ, — 2015.

— Т. 51. — С. 206 - 207.

[12] Иноземцев, А.И. Ранжированное неравенство Гельдера в анизотропных классах Лебега / А.И. Иноземцев // Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Физика. Математика, №1, Январь - Март, -Воронеж: Издательской дом ВГУ. — 2020. — С. 61 - 66.

[13] Иноземцев, А.И. О федгольмовости операторов и уравнений с многомерными частными интегралами в пространстве непрерывных на параллелепипеде функций / А.И. Иноземцев // Материалы Международной конференции «Воронежская зимняя математическая школа С. Г. Крейна- 2020» / под ред. В. А. Костина. — Воронеж : Издательско-полиграфический центр «Научная книга», — 2020. — C. 138 - 140.

[14] Иноземцев, А.И. О единственности решений частно-интегральных уравнений Фредгольма в анизотропных пространствах функций Лебега / А.И. Иноземцев // Вестник факультета прикладной математики, информатики и механики. - Вып. 15; Воронежский государственный университет; факультет прикладной математики, информатики и механики. - Воронеж: ЗНБ ВГУ, — 2021. -- С. 91 — 94.

[15] Иноземцев, А.И. Частно-интегральные уравнения Вольтерра в анизотропных пространствах Лебега / А.И. Иноземцев // Вестник факультета прикладной математики, информатики и механики. - Вып. 15; Воронежский государственный университет; факультет прикладной математики, информатики и механики. - Воронеж: ЗНБ ВГУ, — 2021. — С. 95 — 104.

[16] Интегральные уравнения. Забрейко П. П., Кошелев А. И., Красносельский М. А., Михлин С. Г., Раковщик Л. С, Стеценко В. Я. Издательство «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, — М., 1968, — 448 с.

[17] Иосида, К. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1967. — 624 с.

[18] Калитвин, А.С. Критерии компактности и слабой компактности оператора с частными интегралами в пространстве непрерывных функций / А.С. Калитвин // Операторы с частными интегралами: Сб. научн. тр./ ЛГПИ. — Липецк, — 1996. — С. 13 - 17.

[19] Калитвин, А.С. Линейные операторы с частными интегралами. — Воронеж: ЦЧКИ, 2000. — 252 с.

[20] Калитвин, А.С. Операторы и уравнения с частными интегралами и их приложения / А.С. Калитвин // Дисс.... доктора физ.-мат. наук. — Липецк, 2003. — 267 с.

[21] Калитвин, А.С. Линейные уравнения с частными интегралами С -теория / А.С.Калитвин, Е.В. Фролова. — Липецк: ЛГПУ, 2004. — 195 с.

[22] Калитвин, А.С. Интегральные уравнения Вольтерра и Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами / А.С. Калитвин, В.А. Калитвин.

— Липецк: ЛГПУ, 2006. — 177 с.

[23] Калитвин, А.С. Об одном классе интегральных уравнений с частными интегралами в пространстве непрерывных функций / А.С. Калитвин // Диффер. уравн. 42, № 9, — 2006. — С. 1194 - 1200.

[24] Калитвин, А.С. Интегральные уравнения типа Романовского с частными интегралами. — Липецк: ЛГПУ, 2007. — 191 с.

[25] Калитвин, А.С. Оператор-функции с многомерными частными интегралами / А.С. Калитвин, А.И. Иноземцев // Научные ведомости БелГУ. Математика. Физика. — 2014. — №25(196). — Вып. 37. — С. 19 - 29.

[26] Калитвин, А.С. О точечном спектре линейных операторов с многомерными частными интегралами / А.С. Калитвин, А.И. Иноземцев // Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений: Тез. докл. междунар. научн. семинара. 14-19 сентября 2015 г. — Минск, Беларусь: Институт математики НАН Беларуси, — 2015. — С. 42.

[27] Калитвин, А.С. О фредгольмовости операторов с многомерными частными интегралами / А.С. Калитвин, А.И. Иноземцев // Международная конференция по "Дифференциальным уравнениям и динамическим системам" в г. Суздаль. Тезисы докладов./ МИРАН им. В.А. Стеклова, Владимирский государственный университет им. А.Г. и Н.Г. Столетовых, МГУ им. М.В. Ломоносова. — М: МИАН, — 2016. — С. 85 - 86.

[28] Калитвин, А.С. О нетеровости, фредгольмовости и обратимости линейных операторов и уравнений с многомерными частными интегралами / А.С. Калитвин, А.И. Иноземцев // Научнотехнический вестник Поволжья. №5 2018 г. — Казань: Научно-технический вестник Поволжья, — 2018.

— С. 17 — 21.

[29] Калитвин, А.С. О нетеровости, фредгольмовости и обратимости двух классов линейных операторов и уравнений с многомерными частными ин-

тегралами / А.С. Калитвин, А.И. Иноземцев // Научно-технический вестник Поволжья. №5 2018г. — Казань: Научно-технический вестник Поволжья, - 2018. — С. 22 — 24.

[30] Калитвин, А.С. Об интегральных уравнениях с многомерными частными интегралами / А.С. Калитвин, А.И. Иноземцев, В.А. Калитвин // Проблемы математического анализа. — 2020. — Выпуск 103. — С. 125 - 136.

[31] Като, Т. Теория возмущений линейных операторов. — М.: Мир, 1972. — 740 с.

[32] Корпусов, М.О. Лекции по линейному и нелинейному функциональному анализу. Том II. Специальные пространства / М.О. Корпусов, А.А. Панин. — М.: Физический факультет МГУ, 2016. — 259 с.

[33] Лионс, Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. — М.: Мир. 1972. — 587 с.

[34] Ляхов, Л.Н. Частные интегралы в анизотропных классах Лебега. I: двумерный случай / Л.Н. Ляхов, А.И. Иноземцев // Проблемы математического анализа. — 2020. — Выпуск 102. — С. 119 - 123.

[35] Ляхов, Л.Н. Частные интегралы в анизотропных классах Лебега. II: многомерный случай / Л.Н. Ляхов, А.И. Иноземцев // Проблемы математического анализа. — 2020. — Выпуск 102. — С. 125 - 130.

[36] Ляхов, Л.Н. Об уравнениях Фредгольма для частного интеграла в R2 / Л.Н. Ляхов, А.И. Иноземцев, Н.И. Трусова // Проблемы математического анализа. — 2020. — Выпуск 107. — С. 59 - 67.

[37] Ляхов, Л.Н. О частных интегралах в Rn / Л.Н. Ляхов, А.И. Иноземцев // Современные методы теории краевых задач: материалы Международной конференции: Воронежская весенняя математическая школа «Понтрягин-ские чтения — XXXI» (3-9 мая 2020 г.) / Воронежский государственный университет; Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова; Математический институт имени В. А. Стеклова РАН. — Воронеж: Издательский дом ВГУ, — 2020. — С. 142 - 143.

[38] Ляхов, Л.Н. О линейных операторах с многомерными частными интегралами в анизотропных классах Лебега / Л.Н. Ляхов, А.И. Иноземцев // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам [Электронный ресурс]: тез. докл. / Суздаль, 3-8 июля 2020 г.; Мат. ин-т им. В. А. Стеклова РАН; Владим. гос. ун-т им. А.Г. и Н.Г. Столетовых; Моск. гос. ун-т им. М. В. Ломоносова. — Владимир: Изд-во ВлГУ, — 2020. — С. 63 - 64.

[39] Ляхов, Л.Н. Об итерациях частных интегралов в анизотропных пространствах Лебега / Л.Н. Ляхов, А.И. Иноземцев // Сборник материалов международной конференции КР0МШ-2020. — Симферополь: ПОЛИПРИНТ,

— 2020. — С. 10 - 12.

[40] Ляхов, Л.Н. Знаменатель Фредгольма частно-интегрального уравнения в К2 / Л.Н. Ляхов, А.И. Иноземцев // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Воронежская зимняя математическая школа (28 января - 2 февраля 2021 г.) / Воронежский государственный университет; Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова; Математический институт им. В. А. Стеклова РАН. — Воронеж : Издательский дом ВГУ, — 2021. — С. 205 - 206.

[41] Математическая энциклопедия. Т.1. — М.: Советская энциклопедия, 1977.

— 1151 с.

[42] Мюнтц, Г. Интегральные уравнения. Т.1. — ГТТИ, 1934. — 330 с.

[43] Нахушев, А.М. Уравнения математической биологии. — М.: Высшая школа, 1995. — 304 с.

[44] Околелов, О.П. Исследование уравнений с частными интегральными операторами / О.П. Околелов // Дисс.... канд. физ.-мат. наук. — Иркутск, 1967. — 147 с.

[45] Околелов, О.П. Аналоги некоторых теорем Фредгольма для интегральных уравнений с частными и кратными интегралами / О.П. Околелов // Тр. Иркутского ун-та, — 1968.

[46] Рисс, Ф. Лекции по функциональному анализу У Ф. Рисс, Б. Секефальви-Надь. — М.: Мир, 1979. — 587 c.

[47] Романовский, В.И. Избранные труды. Т.2: Теория вероятностей, статистика и анализ. — Ташкент: Наука, 19б4. — 390 с.

[48] Сабитов, К.Б. Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения. — М: Высшая школа. 2005. — б71 с.

[49] Сабитов, К.Б. О некоторых интегральных уравнениях типа Вольтерра У К.Б. Сабитов УУ Вестник МГУ, Сер. 15. Вычислит, матем. и киберн. —1993. №2. — С. 47 - 52.

[50] Сабитов, К.Б. Построение в явном виде решений задач Дарбу для телеграфного уравнения и их применение при обращении интегральных уравнений (часть I) У К.Б. Сабитов ^ Дифф. уравнения. — 1990. Т. 2б. №б. — С. 1023 - 1032.

[51] Сабитов, К.Б. Обращение некоторых интегральных уравнений типа Вольтерра У К.Б. Сабитов УУ Докл. АН СССР. — 1990. Т.314. №2. — С. 300 -303.

[52] Самко, С.Г. О регуляризации одного многомерного интегрального уравнения в пространствах Лебега с переменным показателем У С.Г. Самко, С.М. Умархаджиев ^ Математические заметки. — 2013. Т. 93. № 4. — С. 575 - 585.

[53] Соболев, С.Л. Некоторые приложения функционального анализа в математической физике. — М.: Наука. 1988. — 333 с.

[54] Фёдоров, В.Е., Борель, Л.В. Об однозначной разрешимости системы гравитационно-гироскопических волн в приближении Буссинеска, Челяб. физ.-матем. журн. — 201б. 1:2, — С. 1б - 23.

[55] Appell, J.M. Partial Integral Operators and Integro - Differential Equations У J.M. Appell, A.S. Kalitvin, P.P. Zabrejko. — New York-Basel: Marcel Dekker, 2000. — 5б0 p.

[56] Kalitvin, A.S. About integral equations with multidimensional partial integrals / A.S. Kalitvin, A.I. Inozemtsev, V.A. Kalitvin // Jornal Of Mathematical Sciences. - Springer. - 2020. - Vol. 249. - № 6. - P. 954 - 966.

[57] Lyakhov, L.N. Partial integrals in anisotropic Lebesgue Spaces. I: Two-dimensional Case / L.N. Lyakhov, A.I. Inozemtsev // Jornal Of Mathematical Sciences. - Springer. - 2020. - Vol. 247. - № 6. - P. 888 - 892.

[58] Lyakhov, L.N. Partial integrals in anisotropic Lebesgue Spaces. II: Multidimensional Case / L.N. Lyakhov, A.I. Inozemtsev // Jornal Of Mathematical Sciences. - Springer. - 2020. - Vol. 247. - № 6. - P. 893 - 899.

[59] Lyakhov, L.N. About Fredgholm equations for partial integral in R2 / L.N. Lyakhov, A.I. Inozemtsev, N.I. Trusova // Jornal Of Mathematical Sciences. - Springer. - 2020. - Vol. 251. - № 6. - P. 839 - 849.

[60] Lyakhov, L.N. Fredholm Equations with Multi-Dimensional Partial Integrals in Anisotropic Lebesgue Spaces / L.N. Lyakhov, A.I. Inozemtsev // Jornal Of Mathematical Sciences. - Springer. - 2021. - Vol. 255. - № 6. - P. 715 -725.

[61] Romanovskij, V. Sur une class d'equations integrales lineaires / V. Romanovskij // Acta Math. - 1932. - Vol. 59. - P. 99 - 208.

[62] Volterra, V. Leconssur les equations integrales et les equations integro-differentielles. - Paris: Gauthier - Villars, 1913. - 164 p.