Аппроксимации операторов с частными интегралами и их приложения к интегральным уравнениям тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Барышева, Ирина Владиславовна

• Барышева, Ирина Владиславовна
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Барышева, Ирина Владиславовна

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. НЕПРЕРЫВНОСТЬ И АППРОКСИМАЦИИ ОПЕРАТОРОВ С ЧАСТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ.

§1. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА.

1.1. Пространства С^ непрерывно дифференцируемых функций

1.2. Пространства непрерывных и частично дифференцируемых функций многих переменных.

1.3. Пересечение и сумма пространств С(С^).

§2. ТЕОРЕМЫ О НЕПРЕРЫВНОСТИ ОПЕРАТОРОВ.

2.1. Основные определения.

2.2. Непрерывность линейного оператора с частными интегралами в С(С^) и в некоторых конструкциях этих пространств.

2.3. Условия непрерывности линейных операторов Вольтерра с частными интегралами.

2.4. Непрерывность линейных операторов Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами.

§3. ТЕОРЕМЫ ОБ АППРОКСИМАЦИЯХ ОПЕРАТОРОВ.

3.1. Аппроксимации общих классов операторов

3.2. Аппроксимации операторов Вольтерра.

3.3. Аппроксимации операторов Вольтерра-Фредгольма

ГЛАВА II. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ В ПРОСТРАНСТВАХ ЧАСТИЧНО ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ.

§4. ФРЕДГОЛЬМОВОСТЬ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ И ВЫРОЖДЕННЫМИ ЯДРАМИ.

§5. ФРЕДГОЛЬМОВОСТЬ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ ЯДЕР.

§6. ОДНОЗНАЧНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ И РЕЗОЛЬВЕНТЫ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ.

6.1. Условия однозначной разрешимости.

6.2. Резольвента и другие условия однозначной разрешимости.

§7. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ И НЕКОТОРЫЕ МОДЕЛИ.

7.1. Интегральные уравнения с частично интегральными операторами, ядра которых зависят от двух переменных.

7.2. Однозначная разрешимость уравнений Вольтерра и Вольтерра-Фредгольма.

7.3. Примеры математического моделирования уравнениями с частными интегралами некоторых задач механики сплошных сред

7.4. О моделировании уравнениями с частными интегралами некоторых задач теории упругости.

ГЛАВА III. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ

УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ.

§8. МЕТОД ВЫРОЖДЕННЫХ ЯДЕР.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Аппроксимации операторов с частными интегралами и их приложения к интегральным уравнениям»

1. Математическими моделями, описывающими различные проблемы механики сплошных сред [2, 3, 4, 5, 38, 80, 82], теории упругости [20], уравнений математической физики [29, 66] и других задач [18, 20, 65, 77, 79] являются частные случаи интегрального уравнения где / — тождественный оператор, K = C + L-\-M + N, операторы С, L, М, N представляются в виде: т € [а, 6], s,a G [с, d], c(t, s), s, г), m(t, s, er), n(i, s, r, <j) и /(£, s) — заданные измеримые по совокупности переменных функции, а интегралы понимаются в смысле Лебега. Уравнение (1) (оператор К) обычно называют уравнением (оператором) с частными интегралами, так как в нём содержатся интегралы, в которых неизвестная функция х интегрируется по части переменных. Свойства оператора К имеют принципиальные отличия от свойств обычных интегральных операторов. В частности, оператор К не является компактным даже при c(t, s) = 0 и в общем случае непрерывных ядер 1,т,п. Более того, при [a, b] = [c,d] = [0,1], единичном ядре / и нулевых функциях с, т и п К — не интегральный, а I — К — не нётеров операторы.

Линейным операторам и уравнениям с частными интегралами и их приложениям посвящены монографии [38, 41, 49, 54, 82]. Разрешимость, свойства уравнения (1) и свойства оператора К определяются пространствами, в которых они рассматриваются. Оператор К и уравнение (1) в идеальных пространствах исследовались Ю. Аппеллем, П.П. Забрейко, A.C. Калитвиным,

I - К)х = /,

1) b

2)

А.И. Поволоцким в работах [33, 34, 35, 37, 38, 39, 52, 74, 81, 82, 87]; в пространстве непрерывных функций — Ю. Аппеллем, П.П. Забрейко, А.С. Калитвиным, В.А. Калитвиным, О.П. Околеловым, Е.В. Фроловой [36, 38, 49, 54, 70, 82, 88]; в пространстве L2 суммируемых с квадратом функций — В.В. Болтянским, JI.3. Битовой, В.А. Какичевым, Н.В. Коваленко, А.С. Калитвиным, ЯМ. Лихтарниковым, В.С.Пилиди в [19, 21, 22, 31, 34, 38, 61, 62, 63, 64, 71]. Свойства оператора К в других пространствах функций рассматривались в [37, 38, 39, 50, 53, 62]. Сингулярным интегральным уравнениям и операторам с частными интегралами, а также уравнениям типа свёртки, посвящены работы В.А. Какичева, B.C. Пилиди, И.Б. Симоненко [17, 72, 73, 75, 76]. Операторы и уравнения с разностными ядрами изучались А. Вёттхером [17], А.А. Говорухиной, Н.В. Коваленко [26, 27, 28].

Важнейшими частными случаями уравнения (1) являются уравнения Вольтерра с оператором

Kvx)(t, s) = / /(¿, s,t)x(t, s)dr+ J a / m(t, s, a)x(t, a)da + / / n(t, s,t, а)х(т, a)d<jdr J с J a J с и Вольтерра-Фредгольма с оператором

Kfx)(t,s)= / /(¿, s, т)ж(т, s)dr+ J а rd nt rd / m(t, s, cr)x(t, a)da + / / n(t, s)T,a)x(t,a)dadr J с J a J с с частными интегралами. Эти уравнения являются математическими моделями различных задач теории упругих оболочек и механики сплошных сред соответственно. Уравнения Вольтерра с частными интегралами и непрерывными ядрами изучались впервые, по-видимому, В. Вольтерра [89], Э. Гурса [29], Г. Мюнцем [66]. Приложения этих уравнений к задачам теории упругих оболочек и дифференциальных уравнений с частными производными рассматривались в [18, 20] и других работах. Уравнения Вольтерра с оператором Kv в общем случае ядер исследовались в [38, 39, 49, 54, 82, 86, 87], уравнения Вольтерра-Фредгольма с оператором К/ — в [38, 39, 49, 54, 56, 86], а различные классы операторов и уравнений такого типа, встречающиеся в прикладных задачах, — в [2, 3, 4, 5, 38, 39, 49, 54, 80, 82, 86, 87].

Приближённое и численное решение уравнений типа (1) рассматривалось в [23, 68, 70], а уравнений Вольтерра и Вольтерра-Фредгольма — в [38, 49, 54, 68, 70, 80, 82].

Несмотря на то, что теория операторов и уравнений с частными интегралами интенсивно развивается, особенно в последние годы, многие вопросы ещё не исследованы. Явное построение решений таких уравнении возможно лишь в редких случаях, поэтому важное значение имеют приближенные и численные методы их решения. Разработка приближенных и численных методов решения уравнений с частными интегралами невозможна без изучения свойств как самих уравнений, так и содержащихся в уравнениях операторов с частными интегралами, и связана с аппроксимацией таких операторов, что свидетельствует об актуальности тематики диссертационного исследования.

2. В диссертации исследуются операторы и уравнения с частными интегралами в пространствах частично дифференцируемых функций двух переменных. Изучаются условия действия, нётсровости, фредгольмовости и обратимости таких операторов, однозначной разрешимости уравнений с частными интегралами в этих пространствах; рассматриваются аппроксимации операторов К, Вольтерра и Вольтерра-Фредгольма. Описан алгоритм приближенного решения уравнения (1). Работа состоит из введения, трёх глав, объединяющих 8 параграфов, списка литературы, содержащего 89 наименований и двух приложений; общий объём работы — 109 страниц. Нумерация формул и теорем своя в пределах каждого параграфа.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Барышева, Ирина Владиславовна, 2012 год

1. Акилов, Г.П. Элементарное введение в теорию интеграла Текст./ Г.П. Акилов, Б.М. Макаров, В.П. Хавип. - Л.: ЛГУ, 1969. — 350 с.

2. Александров, В.М. Об одном классе интегральных уравнений смешанных задач механики сплошных сред Текст./ В.М. Александров, Е.В. Коваленко // Докл. АН СССР. 1980. - Т. 252. - С. 324-328.

3. Александров, В.М. Контактные задачи для тел с тонкими покрытиями и прослойками Текст./ В.М. Александров, С.М. Мхитарян -■- iVL: Наука, 1983. 488 с.

4. Александров, В.М. Задачи механики сплошных сред со смешанными граничными условиями Текст./ В.М. Александров, Е.В. Коваленко — М.: Наука, 1986. 332 с.

5. Барышева, И.В. Аппроксимации операторов Вольтерра с частными интегралами Текст./ И.В. Барышева // Операторы с частными интегралами: Сб. науч. тр./ ЛГПУ. Липецк, 2003. - Вып. 6. - С. 39-51.

6. Барышева, И.В. О численном решении уравнений с частными интегралами Текст./ И.В. Барышева // Обозрение прикладной и промышленной математики, 2007. Т. 14. — Вып. 2. - С. 263-264.

7. Барышева, И.В. Об обратимости уравнений с частными интегралами в пространстве C{C^{t)) Текст./ И.В. Барышева // ВЗМШ С.Г. Крейна: Тез. докл., Воронеж, 24-30 января 2008 г. — Воронеж: ВГУ, 2008. — С. 14-16.

8. Барышева, И.В. О численном решении интегрального уравнения одной плоской контактной задачи Текст./ И.В. Барышева // Перспективы науки. 2010. - №1(03). - С. 32-36.

9. Барышева, И.В. Об обратимости уравнений с частными интегралами в пространстве частично дифференцируемых функций Текст./ И.В. Барышева // Научные ведомости БелГУ. Физика. Математика. 2011. -№17(112). - Вып. 24. - С. 28-40.

10. Бёттхер, А. О некоторых двумерных интегральных уравнениях Винера-Хопфа с аннулирующимся символом Текст./ А. Бёттхер // Math. Nachr, 1982. В. 109. - S. 195-213.

11. Бицадзе, A.B. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка Текст./ A.B. Бицадзе. — М.: Наука, 1966. — 204 с.

12. Болтянский, В.В. Об одном классе линейных интегральных уравнений с частными интегралами Текст./ В.В. Болтянский, JI.M. Лпхтарников // Дифференц. уравнения. 1982. - Т. 18. - № И. - С. 1939-1950.

13. Векуа, И.Н. Новые методы решения эллиптических уравнений Текст./ И.Н.Векуа. М.-Л.: ОГИЗ, Гостехпздат, 1948. - 296 с.

14. Витова, Л.З. Разрешимость интегрального уравнения с частными интегралами и вырожденными ядрами Текст./ Л.З. Витова // Сб. Функц. анализ. — Ульяновск, 1976. — Вып. 7. — С. 41-53.

15. Витова, Л.З. О разрешимости линейных интегральных уравнений с частными интегралами и жордановыми ядрами Текст./ Л.З. Витова. — Новгород, 1988. Деп. в ВИНИТИ, №1280-1388.

16. Габдулхаев, Б.Г. Конечномерные аппроксимации сингулярных интегралов и прямые методы решения особых интегральных и интегродиффе-ренциальных уравнений Текст./ Б.Г. Габдулхаев // Итоги науки и техники. Математический анализ. — 1980. — Т. 18. — С. 251-307.

17. Габов, С.А. Линейные задачи нестандартных внутренних волн Текст./ С.А. Габов, А.Г. Свешников.— М.: Наука, 1990. — 344 с.

18. Гаевский, X. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения Текст./ X. Гаевский, К. Грегер, Н. Захариас. М.: Мир, 1978.- 336 с.

19. Говорухина, A.A. Двумерные интегральные уравнения с частными интегралами на плоскости и полуплоскости Текст./ A.A. Говорухина, Н.В. Коваленко, И.А. Парадоксова // Иптегр. и дифф. уравнения и приближённые решения. Элиста, 1985. - С. 23-32.

20. Говорухина, A.A. Двумерные интегральные уравнения с частными интегралами с полиномиальными коэффициентами в полуплоскости Текст./A.A. Говорухина, Н.В. Коваленко, И.А. Парадоксова. Ростов-на-До ну, 1986. - Деп. в ВИНИТИ, № 3747 - В 86.

21. Говорухина, A.A. Дискретный аналог двумерного интегрального оператора с частными интегралами Текст./ A.A. Говорухина, Н.В. Коваленко, И.А. Парадоксова. Ростов-па-Дону, 1987. - Деп. в ВИНИТИ, № 6583 -В 87.

22. Гурса, Э. Курс математического анализа Текст./ в 3 т. / Э. Гурса. — ОНТИ, 1934. — Т. 3. — Ч. 2. Интегральные уравнения. Вариационное исчисление. — 320 с.

23. Иосида К. Функциональный анализ Текст./ К. Иосида. — М.: Мир, 1967.- 624 с.

24. Какичев, В.А. К теории двумерных интегральных уравнений с частными интегралам Текст./ В.А. Какичев, Н.В. Коваленко // Укр. матем. журн.- 1973. Т. 25. - № 3. - С. 302-312.

25. Калитвин, A.C. Об операторах с частными интегралами Текст./ А.С.Калитвин. Ленинград, 1983. - 12 с. Деп. в ВИНИТИ, №3461-83.

26. Калитвин, A.C. Исследование операторов с частными интегралами Текст.: дис.к.ф.-м.п. 01.01.02. / A.C. Калитвин. — Ленинград, 1986.- 143 с.

27. Калитвин, A.C. О непрерывности и регулярности операторов с частными интегралами Текст./ A.C. Калитвин. — Липецк, 1986. — 17 с. Деп. в ВИНИТИ, №504-1387.

28. Калитвин, A.C. Критерии компактности и слабой компактности оператора с частными интегралами в пространстве непрерывных функций Текст./ A.C. Калитвин // Операторы с частными интегралами: Сб. науч. тр. / ЛГПУ. Липецк, 1996. - С. 13-17.

29. Калитвин, A.C. Теорема о замкнутом графике в теории операторов с частными интегралами Текст./ A.C. Калитвин // Операторы с частными интегралами: Сб. науч. тр. / ЛГПУ. — Липецк, 1997. — Вып. 2. — С. 3-7.

30. Калитвин, A.C. Линейные операторы с частными интегралами Текст./ A.C. Калитвин. — Воронеж: ЦЧКИ, 2000. — 252 с.

31. Калитвин, A.C. Операторы и уравнения с частными интенгралами и их приложения Текст.: дис. д.ф.-м.н. 01.01.02. / A.C. Калитвин. — Липецк, 2003. 267 с.

32. Калитвин, A.C. Об одном классе интегральных уравнений в пространстве непрерывных функций Текст./ А.С.Калитвин // Дифференц. уравнения. 2006. - Т. 42. - № 9. - С. 1194-1200.

33. Калитвин, A.C. Интегральные уравнения типа Романовского с частными интегралами Текст./ A.C. Калитвин. Липецк: ЛГПУ, 2007. - 195 с.

34. Калитвин, A.C. Об операторах и уравнениях Вольтерра с частными интегралами Текст./ A.C. Калитвин // ВЗМШ С.Г. Крейпа 2012: Материалы междунар. конф, — Воронеж: ВГУ, 2012. — С. 91-94.

35. Калитвин, A.C. Об операторах с частными интегралами в пространствах частично-дифференцируемых функций Текст./ A.C. Калитвин, И.В.Барышева // Операторы с частными интегралами: Сб. науч. тр. / ЛГПУ. Липецк, 1997. - Вып. 2. - С. 12-19.

36. Калитвин, A.C. Об оценке решений интегральных уравнений с частными интегралами Текст./ A.C. Калитвин, И.В. Барышева // Операторы с частными интегралами: Сб. науч. тр. / ЛГПУ. — Липецк, 2000. — Вып. 4. С. 3-13.

37. Калитвин, A.C. О фредгольмовости уравнений с частными интегралами в пространстве C(C^(t)) Текст./ A.C. Калитвин, И.В. Барышева // Операторы с частными интегралами: Сб. науч. тр. / ЛГПУ. — Липецк, 2005. Вып. 7. - С. 8-23.

38. Калитвин, A.C. Интегральные уравнения Вольтерра и Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами Текст./ A.C. Калитвин, В.А. Калитвин. — Липецк: ЛГПУ, 2006. 177 с.

39. Калитвин, A.C. О непрерывности оператора с частными интегралами в пространствах функций ограниченной вариации Текст./ A.C. Калитвин, И.М. Колесникова // Итогов, конф. за 1994 год. Тсзисы докл. / ЛГПИ. Липецк, 1995. - С. 12.

40. Калитвин, A.C. Об обобщённом спектральном радиусе оператора с частными интегралами в пространстве С Текст./ A.C. Калитвин, O.A. Лаврова // Конференция молодых ученых. Тезисы докл. / ЛГПИ. — Липецк, 1993. С. 92-94.

41. Калитвин, A.C. Интерполяционная теорема для интегрального оператора с частными интегралами Текст./ A.C. Калитвин, С.П. Миловидов // Функц. анализ. Теория операторов. — Ульяновск, 1981. — С. 76-81.

42. Калитвин, A.C. Об операторах с частными интегралами в пространствах Гёльдера функций двух переменных Текст./ A.C. Калитвин, С.Н. Насонов // Операторы с частными интегралами: Сб. науч. тр. / ЛГПУ. — Липецк, 1996. С. 23-31.

43. Калитвин, A.C. Линейные операторы с частными интегралами С-теория Текст./ A.C. Калитвин, Е.В. Фролова. Липецк, 2004. - 195 с.

44. Калитвин, A.C. Операторы с частными интегралами в пространстве непрерывных функций I Текст./ A.C. Калитвин, Е.В. Янкелевич // Вестник Чел. гос. ун-та. Сер. мат., мех. — Челябинск, 1994. — №1. — С. 61-67.

45. Калитвин, В.А. О решении уравнений Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами Текст./ В.А. Калитвин // Труды института математики/ HAH Беларуси. Минск, 2000. - Т. 5. - С. 77-79.

46. Канторович, Л.В. Функциональный анализ Текст./ Л.В. Канторович, Г.П. Акилов. М.: Наука, 1984. - 752 с.

47. Като, Т. Теория возмущений линейных операторов Текст./ Т. Като. — М.: Мир, 1972. 740 с.

48. Крейн, С.Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве Текст./ С.Г. Крейн. — М.: Наука, 1971. 104 с.

49. Крейн, С.Г. Интерполяция линейных операторов Текст./ С.Г. Крейн, Ю.И. Петунии, Е.М. Семенов. — М.: Наука, 1978. — 400 с.

50. Лихтарников, Л.М. Об одном классе линейных интегральных уравнений с двумя параметрами Текст./ Л.М. Лихтарников // Третья научная конференция по математике и механике: Материалы конф. / ТГУ. — Томск, 1973. Вып. 1. - С. 13.

51. Лихтарников, Л.М. Об одном операторном уравнении с двумя параметрами в гильбертовом пространстве Текст./ Л.М. Лихтарников // Функц. анализ. — Ульяновск, 1974. — Вып. 3. — С. 92-95.

52. Минин, И.Н. Теория переноса излучения в атмосферах планет Текст./ И.Н. Минин. М.: Наука, 1988. - 264 с.

53. Мюнтц, Г. Интегральные уравнения Текст./ Г. Мюнтц. — ГТТИ, 1934.- Т. 1. 330 с.

54. Никольский, С.М. Квадратурные формулы Текст. / С.М. Никольский. — М.: Физматгиз, 1958. — 254 с.

55. Околелов, О.П. Приближённое решение двумерных интегральных уравнений методом осреднения функциональных поправок Текст./ О.П. Околелов // Тр. науч. объед. преподавателей физ.-матем. факультетов пед-инст. Дальнего Востока, 1965. — Вып. 5. — С. 114-119.

56. Околелов, О.П. Исследование уравнений с частными интегральными операторами Текст.: дисс. канд. ф.-м.н. 01.01.01 / О.П. Околелов. — Иркутск, 1967. — 147 с.

57. Пилиди, B.C. Об одном классе линейных операторных уравнений Текст. / B.C. Пилиди // Математический анализ и его приложения. — Издательство РГУ, 1975. Т. VII. - С. 34-42.

58. Пилиди, B.C. Необходимые условия фредгольмовости характеристических бисингулярных интегральных операторов с измеримыми коэффициентами Текст. / B.C. Пилиди // Мат. заметки, 1982. — Т. 31. — № 1.- С. 53-59.

59. Поволоцкий, А.И. Интерполяция оператора с частными интегралами в пространствах со смешанными квазинормами Текст./ А.И. Поволоцкий,A.С. Калитвин // Операторы и их приложения: Сб. науч. тр. — Ленинград, 1983. С. 67-75.

60. Симоненко, И.Б. Операторы типа свёртки в конусах Текст./ И.Б. Симо-ненко // Мат. сб., 1967. Т. 74(116). - № 2. - С. 298-313.

61. Симоненко, И.Б. К вопросу о разрешимости бисингулярных и полисингулярных уравнений Текст./ И.Б. Симоненко // Функц. анализ и его приложения, 1971. Т. 5. — Вып. 2. - С. 93-94.

62. Соболев, В.В. Перенос лучистой энергии в атмосферах звёзд и планет Текст./ В.В. Соболев. — М.: Гостехиздат, 1956. — 391 с.

63. Фихтенгольц, Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления Текст./ Г.М. Фихтенгольц. М.: Наука, 1970. - Т. 3. — 656 с.

64. Чандрасекар, С. Перенос лучистой энергии Текст./ С. Чандрасекар. — М.: ИЛ, 1953. 431 с.

65. Appell, J. On some partial integral equations arising in the mechanics of solids Text./ J. Appell, A.S. Kalitvin, M.Z. Nashcd // Zeitschr. Ang. Math. Mech. 1999. - B. 79. - №2. - S. 703-713.

66. Appell, J. Partial integral operators in Orlich spaces with mixed norms Text./ J. Appell, A.S. Kalitvin, P.P. Zabrejko // Coll. Math. 1998.B. 78. -№2. P. 293-306.

67. Appell, J.M. Partial Integral Operators and Integro-Differential Equations Text./ J.M. Appell, A.S. Kalitvin, P.P. Zabrejko. New York: Marcel Dekker, 2000. - 560 p.p.

68. Ch, Y.A. On the spectr of linked operators Text./ Y.A. Ch, J.R. Halberg, A.E. Taylor // Pacific J. Math. 1956. - V. 6. - № 6. - P. 283-290.

69. Grothendieck, A. Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires Text./ A. Grothendieck // Mem. Amer. Math. Soc. 1955. - V. 16. -P. 1-191.

70. Ichinose, T. Operational Calculus for tensor products of linear operators in Banach spaces Text./ T. Ichinose // Hokkaido Math. J. — 1975. № 4. -P. 306-334.

71. Kalitvin, A.S. Spectral properties of partial integral operators of Volterra and Volterra Fredholm type Text./ A.S. Kalitvin // Zeitschr. Anal. Anw.- 1998. V. 17. - № 2. - P. 297-309.

72. Kalitvin, A.S. On the theory of partial integral operators Text./ A.S. Kalitvin, P.P. Zabrejko //J. Integral Equ. Applications. — 1991. — V. 3.- №3. P. 351-382.

73. Appell, J. Partial integral operators on C(a,b. x [c,d]) [Text]/ J. Appell, E.V. Frolova, A.S. Kalitvin, P.P. Zabrejko // Integr. equ. oper. theory. — 1997. Vol. 27. - P. 125-140.

74. Volterra, V. Leçons sur les equations integrales et les equations integro-differentielles Text./ V. Volterra. — Paris: Gauthier-Villars, 1913.