Весовые частно-интегральные уравнения Фредгольма и Вольтерра второго рода в пространствах функций со смешанной анизотропностью тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Трусова Наталья Ивановна

• Трусова Наталья Ивановна
• кандидат наук
• 2023

Оглавление диссертации кандидат наук Трусова Наталья Ивановна

3.3.1. Основные определения

3.3.2. Примеры весовых ЧИ операторов

3.3.3. Интегральная мера Лебега^Киприянова в роли преобразования Меллина

3.4. Весовые ЧИ операторы с осевой сферической симметрией

3.5. Ограниченность весового ЧИ оператора

3.5.1. Критерий ограниченности весового ЧИ оператора в

3.5.2. Некоторые частные случаи общей теоремы Калитвина

3.5.3. Ограниченность в ЦР весового ЧИ оператора от сферически симметричных функций

3.5.4. Формулировка достаточного признака ограниченности весовых ЧИ операторов в терминах функций со значениями в банаховых пространствах функций

3.5.5. Достаточный признак ограниченности полного весового ЧИ оператора от сферически симметричных функций

3.6. Достаточный признак ограниченности линейного весового ЧИ оператора

3.7. Достаточный признак ограниченности линейного весового ЧИ оператора от сферически симметричных функций

ГЛАВА IV. ВЕСОВЫЕ ЧАСТНО-ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФРЕД-ГОЛЬМА В ВЕСОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ ЛЕБЕГА^КИПРИЯНОВА

4.1. Итерации весовых ЧИ операторов в!п

4.1.1. Итерации весовых ЧИ операторов от сферически симметричных

функций

4.2. Итерации линейного весового ЧИ оператора в 93 4.2.1. Итерации линейного весового ЧИ оператора от сферически симметричных функций

4.3. Весовое ЧИ уравнение Фредгольма второго рода с весовым ЧИ оператором Ка

4.3.1. Повторные ядра весового ЧИ оператора Ка

4.3.2. Повторные ядра весового ЧИ оператора 1а от сферически симметричных функций

4.3.3. Резольвента ядра весового ЧИ оператора Ка

4.3.4. Резольвента ядра весового ЧИ оператора 1а от сферически симметричных функций

4.3.5. Решение весового ЧИ уравнения Фредгольма с оператором Ка

4.3.6. Решение весового ЧИ уравнения Фредгольма с оператором 1а

от сферически симметричных функций

4.4. Весовое ЧИ уравнение Фредгольма второго рода с линейным весовым ЧИ оператором 105 4.4.1. Весовое ЧИ уравнение Фредгольма второго рода с линейным

весовым ЧИ оператором от сферически симметричных функций

ГЛАВА V. ВЕСОВЫЕ ЧАСТНО-ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВОЛЬ-ТЕРРА В ВЕСОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ ЛЕБЕГА^КИПРИЯНОВА

5.1. Ограниченность весового ЧИ оператора Вольтерра

5.2. Итерации весового ЧИ оператора Вольтерра

5.3. Резольвента весового ЧИ оператора Вольтерра

5.4. Решение весового ЧИ уравнения Вольтерра

5.5. Решение весового ЧИ уравнения Вольтерра в классе функций от сферической симметрии в Rn

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Весовые частно-интегральные уравнения Фредгольма и Вольтерра второго рода в пространствах функций со смешанной анизотропностью»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы диссертации. Отличия частно-интегрального оператора от интегрального оператора замечено ещё в первом исследовании частных интегралов, предпринятом В. Вольтерра в начале ХХ-го века.

Далее частные интегралы будем сокращенно обозначать ЧИ, а частно-интегральные операторы — ЧИ операторы. Однако теория ЧИ и частно-интегральных уравнений имеет особенности и менее развита даже по сравнению с теорией интегральных уравнений. Анизотропность (т.е. наличие различных свойств по разным направлениям аргумента) поведения ЧИ и ЧИ операторов проявляет себя при исследовании ограниченности такой интегральной конструкции в пространстве Лебега. Первое исследование ЧИ операторов в L(P1,P2)(R2) (выполнено A.C. Калитвиным) привело к критерию ограниченности таких операторов с условиями анизотропности. Изучение многомерных ЧИ операторов с разными показателями p в анизотропном простpancTBeL(pi...,pn) инициировано профессором Л.Н. Ляховым. Анизотропные классы функций изучались С.М. Никольским.

Учитывая, что в ранних работах1 ЧИ операторы изучались в пространстве функций с sup-нормой, возник интерес к исследованию ограниченности ЧИ операторов с анизотропностью, вызванной применением смешанных supn-m —L (Pb...;Pm)-HopM. В этом случае применены нормы функций со значением в нормированных пространствах функций. Такие функциональные классы описаны в работах Ж,-Л. Лионса.

В диссертации доказан критерий ограниченности ЧИ операторов в функциональных классах с sup — L^-нормами, что привело к возможности исследовать уравнения Фредгольма в пространствах функций смешанной анизотропности. Эта часть темы диссертации безусловно актуальна в теории интегральных операторов и интегральных уравнений.

Еще одно направление исследований диссертации связано с работой в пространстве функций, аргумент которых разбит на части, связанные сферической симметрией. Здесь возникает другого рода анизотропность, порожденная степенными весами, вообще говоря, разными по каждому из соответствующих радиальных направлений. Такого рода весовые пространства функций и их приложения к задачам теории функций, сингулярных интегральных и дифференциальных уравнений изучались в работах Я.И. Житомирского, И.А. Киприянова, Л.Д. Кудрявцева, Л.И. Иванова, В.В. Катрахова, Л.Н. Ляхова и др. авторов. Но (в отличии от основной массы работ указанных математиков) в диссертации применяется мера интегрирования Лебега^Киприянова

1См. работы, выполненные до 2019 года Б.А. Бельтюковым, Л.М. Лихтарниковым, О.П. Околеловым, А.И. Поволоцким, Ю. Аннеллем, A.C. Калитвиным, п.П. Забрейко, Е.В. Фроловой и др.

= П х«? (ха, 7а > —1 (со слабой особенностью), интерес к которой вы-

%=1 г

зван присутствием скрытой симметрии, которая (мера) позволяет считать области интегрирования топологическими с дробной размерностью. Это выяснено в последних работах Л.Н. Ляхова и его учеников. В диссертации показана связь весового ЧИ с правосторонним определенным интегралом Римана— Лиувилля дробного порядка2. Такие конструкции ЧИ операторов могут быть использованы в дальнейшем в задачах пористых тел, теории перколяции (просачивания) и в задачах математической биологии. Из этого вытекает актуальность и перспективность изучаемой в диссертации проблемы для прикладных математических дисциплин в естествознании.

В диссертации введены достаточные условия ограниченности ЧИ операторов

am

(Каи)(х) = I ka(X; ta)u(ta, xa) J^ | tai dta, x = (xa,xa Yai > 1 (1)

D ai

Dta

в классе функций Лебеги Киприяноии. из которого полученный ранее (1997 г. критерий A.C. Калитвина вытекает в виде соответствующих следствий (при Yai = 0)- Принципиальное отличие от раннее изучаемых ЧИ операторов и уравнений заключается в возможности применить полученные результаты во фрактальных структурах со скрытой сферической симметрией с размерностью Хаусдорфа^Безиковича, равной m + |Ya| > 0.

Интерес представляют весовые ЧИ операторы, в которых группы переменных связаны сферической симметрией в Rm. Такие операторы рассмотрены в диссертации в следующем виде:

(1аЛ(\ха\,Ха) = у к(\ха\,Ха; \Ьа|) /(\Ьа\, Ха) ^Й? (га , 7а. > —1. (2)

|*а |<&1 г=0

Сферическое преобразование координат = г 0, в = (ва1,..., ват) приводит к следующему представлению оператора (2):

Ь1

(!«/)(\ха \, Ха) = \^1(ш)\7а J к(\Ха \, Х^ р) / (р, Ха) рт+|7а | —1 (р ,

0

т

где \Б1(т)\1а = 2п—1 / П \0а.\7а* (Б. Таким образом, мно-

5+(т)={|0|=1:0>О}

гомерный весовой ЧИ оператор от радиальной функции по шару в Кт

2См. работы: Ляхов, Л.Н. Построение ядер Дирихле и Валле-Пусепа—Никольского для ]-бесселевых интегралов Фурье / Л.Н. Ляхов // Труды Московского Математического Общества, 2015. — Т. 76. — Вып. 1. — С. 67^84; Ляхов, Л.Н. Оператор Кинриянова—Бельтрами с отрицательной размерностью оператора Бесселя и сингулярная задача Дирихле для В-гармонического уравнения / Л.Н. Ляхов, Е.Л. Санина // Дифференциалные уравнения, 2020. — Т. 56. — N0 12. — С. 1610-1620; Ляхов, Л. Н. Дифференциальные и интегральные операции в скрытой сферической симметрии и размерность кривой Коха / Л. Н. Ляхов, Е. Л. Санина // Математические заметки, 2023. — Т. 113. — Вып. 4. — С. 527-538.

является одномерным весовым ЧИ оператором с новым степенным весом pv, v=m+|Ya| — 1, m+|Ya|>0 и выполнено требование к интегральной мере Лебега^Киприянова: v> —1.

Кроме того, получен достаточный признак ограниченности весовых ЧИ операторов Вольтерра следующего вида:

(Kau)(x) = J ka(x; ta)u(ta, Xy) tydta, a = 1, 2 , Ya > —1. (3) 0

Наличие анизотропных весовых Lp-норм отличает исследования диссертации от всех проводимых ранее по этой теме.

В диссертации классическим методом последовательных приближений получены решения уравнений Фредгольма второго рода с весовым ЧИ оператором и линейным3 весовым ЧИ оператором в весовом анизотропном пространстве Лебега^Киприянова и приведено решение для функций со сферической симметрией. А при yi = 0 (г = 1,n) уравнений Фредгольма в пространствах смешанных sup —Lp-норм. Рассмотрено уравнение Вольтерра с весовым ЧИ оператором.

Отметим, что в ранних исследованиях линейных частно-интегральных урав-K0

(исследования A.C. Калитвина, Е.В. Фроловой).

Таким образом, тема диссертационного исследования интересна и актуальна в теории интегральных операторов, интегральных уравнений и в приложениях к некоторым задачам естествознания.

Цель работы состоит в получении достаточного признака ограниченности

sup — Lp

нормами, линейного весового ЧИ оператора и линейного весового ЧИ оператора от сферически симметричных функций, весового ЧИ оператора Вольтерра в весовом анизотропном функциональном пространстве Лебега^Киприянова LY(D), где D Е Rn. Другая цель работы состоит в нахождении решений частно-интегральных уравнений Фредгольма второго рода с указанными линейными операторами в виде соответствующего операторного ряда Неймана BRn, а также частно-интегральных уравнений Вольтерра с весовыми ЧИ операторами в

R2-

Научная новизна и значимость полученных результатов. Новые и наиболее существенные научные результаты:

1) получен достаточный признак ограниченности ЧИ оператора и линейного ЧИ оператора в пространствах функций со смешанной sup —Lp-HopMoft;

3 Линейные ЧИ операторы введены в книге J.M. Appell, A.S. Kalitvin, P.P. Zabrejko Partial Integral Operators and Integro-Differential Equations. — New York: Marcel Dekker, 2000. — 560 p.p. и включают операторы, которые, вообще говоря, не являются частными интегралами, но принимают вид «крайних», когда линейная сумма ЧИ операторов содежит оператор нулевого порядка (умножения на функцию, т.е. константу) и оператор наибольшего возможного порядка, который оказывается просто интегральным.

2) получен достаточный признак ограниченности весового ЧИ оператора (общая теорема Калитвина), весового ЧИ оператора от сферически симметричных функций, линейного весового ЧИ оператора и линейного весового ЧИ оператора от сферически симметричных функций в весовом анизотропном пространстве Лебега^Киприянова Lp(D), p = (рьр2), pi ^ 1 7 = (тъ ... ,7m), Yi > — 1 a также весового ЧИ оператора Вольтерра в LY(D), Yi > — 1;

3) построены итерации весового ЧИ оператора, весового ЧИ оператора от сферически симметричных функций, линейного весового ЧИ оператора и линейного весового ЧИ оператора от сферически симметричных функций в весовом анизотропном пространстве Лебега^Киприянова LY(D), тi > —1, а при Yi = 0 в пространствах функций со смешанной sup — L^-нормой, а также весового ЧИ оператора Вольтерра в LY(D);

4) получено единственное решение в виде ряда Неймана для уравнений Фред-гол ьми второго рода с весовым ЧИ оператором, весовым ЧИ оператором от сферически симметричных функций, линейным весовым ЧИ оператором и линейным весовым ЧИ оператором от сферически симметричных функций, уравнений Вольтерра второго рода с весовым ЧИ оператором Вольтерра в весовом анизотропном пространстве Лебега^Киприянова Lp(D), yi > — 1, а при Yi = 0 для уравнений Фредгольма в пространствах функций со смешанной sup — Lp-нормой.

Методы исследования. В работе используются методы теории функций, интегральных уравнений и функционального анализа.

Теоретическое и практическое значение полученных результатов.

Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы при исследовании проблем в функциональном анализе, при исследовании интегральных уравнений и их приложений к различным проблемам естествознания. Кроме того, возможно использование результатов диссертационного исследования при чтении курсов по выбору в университетах для обучающихся физико-математических направлений подготовки.

Апробация результатов диссертации. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на Воронежской зимней (Воронеж, 2020, 2021, 2022) и весенней (Воронеж, 2020, 2021, 2022) математических школах, Международной конференции "Дифференциальные уравнения и динамические системы" (Суздаль, 2020), Международной конференции "Крымская осенняя математическая школа-симпозиум (КРОМШ-2020)" (Симферополь, 2020), Международной конференции "Современные проблемы математики и физики" (Стерлитамак, 2021), Международной научной конференции "Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики" (Нальчик, 2021), Всероссийской научно-практической конференции с международным участием "Проблемы естественных, математических и технических наук в контексте современного образования" (Липецк,

2021, 2022).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах 53] — [48]. В совместных работах с профессором Л.Н. Ляховым [53] — [22], [24], 25], [28], [29] Л.Н. Ляхову принадлежит постановка соответствующих задач. Доказательства основных результатов по построению и исследованию решений получены лично диссертантом. Работы [24], [29] опубликованы в журналах из перечня ВАК Министерства науки и высшего образования РФ, а работы [53] — [22], [25], [28] — в журналах, рецензируемых в базе Scopus.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка цитируемой литературы, включающего 56 наименований. Общий объем диссертации 127 с.

Краткое содержание диссертации.

Во введении дается обоснование актуальности выбранной темы, формулируется цель исследования, приводятся методы исследования, краткий обзор содержания диссертации и основные научные результаты.

Нумерация изложенных ниже теорем и следствий совпадает с нумерацией в диссертации.

В главе 1 вводятся основные обозначения, определения и доказываются теоремы об ограниченности ЧИ операторов, полных ЧИ операторов и линейных ЧИ операторов в пространстве непрерывных функций со значениями в пространстве Лебега C(DXt; Lv(DXp, xDXe)) = CLp, p = (pi,p2), Pi > 1

Пусть D = {x : 0 < Xi <b-i} конечный параллелепипед в Rn. Для функции u и ядра ka ЧИ оператора:

(Km)u)(x) = J ka(x; ta) u(ta, x«) dta , (4)

Dta

координаты точки x = (x1,... , xn) представим в следуюгцем виде: x = (xT, xp), где т — номера переменных, по которым применяется sup-норма и в ~ номера

L

декса т равна n1? а мультииндекса в " n2 и выполнено уел овне n1 + n2 = n. Числа в и т предполагаются фиксированными.

т

номеров а. Оставшиеся номера т обозначим т*. Аналогично предположим, что часть номеров в в совпадает с номерами некоторых из номеров а. Оставшиеся номера в обозначим в *• Важно, ч то т * и в * _ эт0 номера тех переменных, которые не совпадают с номерами переменных интегрирования ЧИ оператора ta . Используя введенные обозначения, равенство (4) запишем в виде:

(K(m)u)(x) = J ka(x; ta) u(ta,xT*, x¡3*) dt« , (5)

Dta

где (жт,хв) = ха, (жт*, х^*) = Жа, а п(га,хт*,х^*) = п(£а,х«).

Достаточный признак ограниченности ЧИ оператора К(т) в СЬр: Теорема 1.2.1. Пусть мультииндекс р = (р\,р2) и число с ^ 1 — фиксировании и пусть сопряжённое число с' определено из соотношения1/с+ 1/с' = 1 .

Для, того, чтобы, оператор К(т) был ограниченным в прост,ранет,ее С(ДХт; Ьр(ДХр* хДХв)) = СЬр , достаточно, чтобы функцияп = п(Ьа,хТ*,хр*) € С(ДхТ*; г)(Д^хДхв*)) , а лдро этого оператора, ка = ка(х;га) € С(ДХт; Ь(у,Р1 Г',Р2)(Д^ хДХв* хДХв)) , где г ^ 1 — произвольное число, а г' ему сопряженное. При, этом

I Кт) п||сьп <||кс

Iе(В*т ; Ь(д',Р1 г',р2) (В )) 11 п 1 С(В*т* ; Ь(д, Р1 г) (В а Х Вхв* ))

Многочисленные индексы, используемые в теореме 1.2.1, приведут в теории интегральных уравнений к естественно возникшим техническим сложностям

г

упрощениям и обобщениям известных результатов. При р\ = р2 имеем р = р и, полагая, что г = | и с ^ р, получаем очевидный результат, который сформулирован в следствии 1.2.1, а при г = 1и г = 2 ^ следствия 1.2.3 и 1.2.4. (пункт 1.2). Приведем наиболее простой случай данной теоремы, возникающий при г = р = с, который рассмотрен в следствии 1.2.2.

Следствие 1.2.2. Пусть г = р = с Тогда оператор К(т) ограничен из С (ДХт * ; Т(р,;р2)(Аа ХДХв* ^ 6

11 к(т) П11 СЬр< 11 ка 11С(^ХТ; р) ^а х В^* хВ^)) ||п||С(ВЖт*; Ь^) (В4а хВ^*)) .

Для ограниченного действия линейного ЧИ оператора:

К =

п

Е Е

т=0 а

К(т)

(6)

п

пространствам, фигурирующим в следствии 1.2.2, их пересечение обозначим Мсь : Мсь„ =

= С(Дхт; (ДХв)) П

а = 0 а = (1,..., п)

С(ДХТ*; Ь(р,р2)(Д а х ДХв* )П П

Положим

П ¿Р(Д)

|п|мСЬр = шах<

п

с (вхт ; ьр2 (вхв))

а

а — 0 а — (1,..., п)

и

С(0Хт*; Ь^р^а хВХв,)) ¡> , \\и\\Ьр(Вг)

Теорема 1.5.1. Для ограниченности линейного ЧИ оператора К в С(ДХт; Ьр(ДХр)) достаточно, чтобы и Е МсЬр, о, ядра операторов К0,

К(т) и К(п). п, входящих в линейный ЧИ оператор К7 принадлежали пространству непрерывных функций С (ДХт) со значениям и в Ьрр> (ДХв), Ъ(р>,рр>,р)(Дъ хДхв* хДхр) и Ьм(Дхр хД±) соответственно.

Тогда \\Ки\\сЬр < С \\и\\ыаьр , где С = \\ко\\с(Вхт;(вхя)) +

Е

I к

а\\с (ВХт; Ь(р, ^рр^р)(Вга хВх хВх„)) + \\к1,...,п\\с (ВХт; 1{рр,)(Вх хВг)).

а,т=1,п-1

В главе 2 с использованием классического метода последовательных приближений проведены исследования в пространстве СЬр частно-интегральных уравнений Фредгольма второго рода с операторами (5) и (6) соответственно:

р(ж) — АКаф) + /(ж), р(ж) — АК^(х) + /(ж), х Е Кп . (7)

В пунктах 2.1 и 2.2 получены оценки норм итераций £-го порядка для операторов (5) и (6):

К и I

сЬр

<

П

1с(Вхт; Ь

(р', рг р', р)

(В

га, х^* ,хр

¿=1

)) \\и\\с(Вхт* ; Ь(р,р£+1)(Вга,хр* )) ;

|К ' и|

сЬр < ^ \ \и \ \ Маьр

С = йи^ \\ко\с(Вхт;Ьр£р'(Вхв)), \\ка\\с(Вхт; ь^^^в^*))

|к1,...,п\\с(Вхт; Ь(р,р')(Вхр, г))} 1=1 >

{

и\\Маьр = йиР1 \\и\с(Вхт; Ьр£+1 (Вхв))

а - 0 а — (1,..., п)

и

с(Вхт*; Ь(р,р,+1)(Вга хВхв* )) > , \\и\Ьр(Вг)

1=1

В теореме 2.3.1 приведена оценка смешанной С£р-нормы /-повторного ядра ЧИ оператора Кеа:

\ \ к()\\с (Вхт; Ь(р' ,рр',р)(Вга,хв* ,хв)) ^ \\к«\\с (Вхт; Ь(р',р (р')£,р)(Вга,хв* ,хр)) Х 1-1

х П \\к*\\с(Вхт* ; Ь(р,р' ,р2 (р')Ъ) (Вха, га, хв* )) , (ХТ* , Х в* ) = (8)

¿=1

В следствии 2.3.1, с использованием неравенства (8) и утверждения о том, что ЧИ оператор Кеа является ЧИ оператором, отвечающим ^-повторному ядру

7 М

ка , получена следующая оценка:

Кои\\сЬр < \\ка\\с(Вхт; Ь{р'р (р')£,р)(Вга,хв* ,хр))

X

и

оо

эо

х П llkallC(D*T*; ip2(p/)i)(Dxa,ía,xe*)) x llullC(A*T*;L(p,p2)(Día,xr)) •

i=1

В теореме 2.3.1 при £ ^ то возникает необходимость в бесконечных итерациях ядер ЧИ операторов (5), что приводит к принадлежности ядер ka пространствам существенно ограниченных функций:

С (d!t ; L(P/, ТО,р) (Dt а, Же* , Хв )) И С(DXT* ; L(p,p/ , ТО)

Построена резольвента ядра ka ЧИ оператopa Ka:

то

^ Л ^ т (¿+1) ,

a\-Aji vai 'V / /\ ivi А,

¿=0

ra(X; ton

А) = Е k¿+1)(x; ta) G С(D Жт*; L(p,p/, то)

( a, t а, ^^ в * ) *

Пусть

Aa = sup {[M(Dxe*)]^, [M(Dxe*)]^, [MDxe*)],

1<i<P y- J

Ba = max llk,

— ш«л.Л {||ка||с ; Ь(р/, то,р)(Аа,*д* )) , ||к«||с (А*т * ; Ь(р,р/ , то)(Д*а,4а,*д* '

Теорема 2.3.2. Пусть ядро оператора (5) и правая часть уравнения (7) удовлетворяют условиям:

то

^ = ви^ Нс-СДхт; Ь^/р»^«,^* )) | < ТО,

У/Улсьр = Йир| У/^(Д^* ; ^^(А«,^* ))} < и ЩСтЬ |Л| В« < 1. Тогда, в СТ(р,то) существует предел Ф = Нш^то Ф^ функциональной последова-

V

тельности ФV/ = ^)(х) = ^ /)(х). Операт,ор Ф действует ограничен-

¿=0

и удовлетворяет неравенству

||Ф||С£Р <||ФУсЬ^).

^ V—^то '

Решение уравнения Фредгольма с ЧИ оператором (5) существует в виде

операторного ряда Неймана

то | /|

= /)(х), пРичем УИ^ < 1 _ |Л|АГВ .

Это решение единственно.

Присутствие «крайнего» оператора К0 в линейном ЧИ операторе К (6) приводит к ограничениям принципиального характера по сравнению с уравнением Фредгольма с ЧИ оператором Ка (5). Пусть

1то

P = sup{[M(Dxe*)] pv) i

¿ L в ) ¿=1

G' - maxj \\ko\\c(DXT ; L^(DXß )) , \\ka\\c(BXT ; Lp, ^p)(Dta,Xß« ,Xß„ )) ,

Ик1,...,пУс (Dxt ; L(p,p, )(Dxß,t))

Теорема 2.4.1. Пусть ядра операторов, составляющих линейный ЧИ оператор К, удовлетворяют условиям k0 G C(DXt* ; Lœ(DXf},_ )) (-C(DDХт; Lœ(Dxe))), ka G C(DxT; L(y,œ)(Dta,xß)), a - a(m), m - 1,n - 1, ki,...,n G C (Dxt ; L(p,p,)(Dxß ,t)) и

œ

\\f \\c(Dxt*;L{ppi+1)(Dta,xßф)) j£=1 < œ U пусть |Л| pG' < 1. Тогда, в CL(p œ) существует npедел Ф — limVФ^ функциональной после-

V

довательности Ф„/ — ^>(v)(x) — ^ Л^ (Kf )(x). Оператор Ф действует огра-

1=0

ниченно из CL(p,œ) — C(DXtф ; L(p,œ)(Dta,Xp* )) б CLp и удовлетворяет неравенству \№\\cLp < lim \ф\\cl(poo).

Решение уравнения Фредгольма с линейным ЧИ оператором (6) существует в виде операторного ряда Неймана

œ \ \ f \ \ M

ф) - £ Л\К^)(x), причем McLp ^ \ _ MCP'G,. е=о 1 1

Это решение единственно.

Глава 3 посвящена изучению весовых ЧИ операторов в весовом функциональном пространстве Лебега^Киприянова Lp(D), p - (p1,p2) 7 7 -

(7l, ...,Ym), Yi > —1

Весовые ЧИ (1) оказываются частным случаем определенного правостороннего интеграла Римини Лиупилля: для a-[a]+{a}-n + 7 :

1 r n

r(n + 7 ) (Щ—7 f )(0, У ) - ïô-T-^ f (|x|, y) xY dx, xY -f] |Xi|Yi (9)

|S1(n)|Y J i=T

{|x|<6}GR„ i=1

и для a-[a]+{a}--+1+(y — 1)-n+1 — ß : Г(п + 1 — ß)(/n—1—вf)(0,y)-|S(n + J f(|x|,y) x—edx, (10)

{|x|<6}GR„+i

n+1

x—e - П |xi Г'в .

i=1

Из рассуждений в тексте диссертации получен геометрический смысл и связь весового ЧИ с мерой Лебега—Киприянова (x) и частного

правостороннего определенного интеграла Римана—Лиувилля дробного порядка а=п+|71. Из (9) видим, что определенный интеграл Римана— Лиувилля при, 7 ^ 0 окажется интегралом по шару в Шп, а из (10) при, 7 ^ 1 — интегралом по шару в Шп+1.

Число п + |71 (вообще говоря, дробное) будем называть трансцендентной размерностью области интегрирования по мере Лебега^Киприянова. Достаточный признак ограниченности весового ЧИ оператора к1т). Теорема 3.5.1. Пусть р = (рьр2); и р^, д ^ 1 и г ^ 1, а числа р^, д', г' определены из соотношений: 1/р + 1/р = 1, 1/д + 1/д' = 1, 1/г + 1/г' = 1. Пусть а = 0 и а = (1,...,п) и к«(х; ¿«) е х Дха х Д^), и е

^^^(Д*« х ДХа). Тогда весовой ЧИ оператор К™' ограничен в Тр(Д). Т7|ш этом выполняется неравенство:

||Ка ' и||ТР(П) ^ II II г (7а, 7а, 7а) (П уП уП ) || П || Т (7а, Та) ( П уП ) .

Яусшъ а = 0 м ко е Т^"^Г,)(Д) и и е Т^7^Г)(Д). Тогда оператор К0 ограничен в Тр(Д). При, этом выполняется неравенство:

||Ко и|ТР(П) ^ НМИта,^ (п) ||и|Ь(7а,^) )(П) .

Если Р1 = Р2 = Г = р то ||Ко и||Ь7(п) < ||ко||грр/(п)||и||^2(п).

Яустъ а = (1,... ,п) м к1,...,п е Т^^Д х Да) м и е Т^(Да). Тогда

(п) 1 2

lKl,...,n U|LP(D) ^ llkl,...,nyL(7a,7a,7a)(DxDt ) I М I ¿Г (Dta ).

(т . то. я') v /

оператор Kl ) n ограничен в Lpp(D). При этом выполняется неравенство: '(n)

,n uIILp(D) ^ Nk1,...,nNL

(Р1.Р2. я')

Тслм ivce Pi = P2 = q = p TO ||К1П) n u||LY(D) < ||k1,...,JL(7.7) (Dxn ) Nu|LY(Dt).

(p.p'r

Данная теорема является обобщением известного критерия A.C. Калитвина об ограниченности.

Произвольность числа r ^ 1 приводит к очевидным следствиям 3.5.1 и 3.5.2, получающимся при r = 2 и r = 1. Случай r = р^ ^ 1 приведен в теореме 3.5.2 (пункт 3.5.2), именно данное условие присутствует в критерии A.C. Калитвина об ограниченности ЧИ оператора в пространстве Лебега (естественно при 7,; = 0 в (1)). Данную теорему мы не приводим, а остановимся на случае, который нам будет необходим в дальнейших исследованиях. При p1 = p2 = q1 = p, q2 = p2 и p,, q, ^ 1 и p ^ 1, p' = в следствии 3.5.3 получены оценки ограниченности весовых ЧИ операторов в весовом пространстве (D):

NKim)uNLY(D) ^ (DtaxDKaxD^) N'U1 ^¿f (DtaxD^) .

(p-1.p. p-1) .

Имеет место следующий достаточный признак ограниченности оператора (2) в LJ(D).

Теорема 3.5.3. Рассмотрим оператор 1апр и а = 0 и а = (1, 2,... ,п). Пусть р = (р1,р2) и р{, с ^ 1 в ^ 1, и числа р\, с', в определены из соотношений:

1/рг + 1/р'г = 1, 1/с + 1/с' = 1, 1/в + 1/в' = 1, и

к(\ха|, х„; \1а\) е Ь^^Бр х Бг х ),

Вр = К : \Ха \ <р} , Бг = К : \ха\ < г} , / е Ь^а>(Бр х Бха).

Тогда, весовой ЧИ оператор 1а от сферически симметричных функции, I=/(\ха\, ха) ограничен в Ьр(Б). При, этом выполняется неравенство:

) ь( ,

(ч',Р1,Р2 е') Р ' (Ч,Р2 в)

\!а /\\bUD) < \^1(т)\7аР1 И^и^ {ВрхВг хВх-) 1 Ь^тхБ^) ,

где V = т + \ 7а \ — 1, V > —1 и т - натуральное число.

Случай ограниченности оператора в приведен в следствии 3.5.4.

Аналогичные теоремы сформулированы для линейных весовых ЧИ операторов.

В главе 4 исследованы уравнения Фредгольма второго рода с весовыми ЧИ операторами в пространстве Ц(Б), 7 = (71,... ,^т), 11 > —1- В данной главе для удобства записи использовано обзначение Ж,-Л. Лионса.

В пункте 4.1 получены оценки итераций операторов (1) и (2):

г

\\К>\\Ц ^ П ^ Ь(™*\Ъа,ха)) ^^-И (^ ТГ (Д*)) ,

г=1

ргр' (DXa; Т(Р',Р) (^а,ха )) " ' ТР

Р 1

Р

1£а I\\ц (^ ^ ЙМк" П \MlIZ, Ь((У1^р,г)) \\/\\ь*1 ^ ц (Д))

РР

г=1

где V = т + \7а\ — 1, V > — 1 и т - натуральное число.

Оценки итераций линейного весового ЧИ оператора и линейного весового ЧИ оператора от сферически симметричных функций определены в следующих неравенствах:

\\ки\\ь^) < С1 ЫыЬРр{0) ,

С1 = зир^ \\Ы\Чгр, (D) , \\ка\\ьу ^ ьЫ^ (П^ха)) , У^пЦ (Dí; Ц(щ}

00

\Щ\ыь1 = йир< \M\ly (D)

{I

то

а=0

шах '

1 ^ ' 1 ""1 11 11Т рг _ _

г=1

\иЩа+1 ьг(Аа))}, \\ЩЦт

а = (1,... ,п)

\\1е 1 \\ь<т < С2 \\/\\рьр{В), С2 = йир<^ \\ко\\ь/. т) , шах <М51(т)\^+Р \\k\Ua (п . Т(»,») (п ))

¿+ ^

|51(т)кР ||к1,...,пУтр/ (Пр; Тр (Пг)) ^

р ) ¿=1

м.ах л , , %

а I а = (1,..., п)

У/^ = 8ир{ У/ЦТ7+1 (П)

а=0

7 р^

00

/(Пха;тр(Пр)^ , ||/||тр(пр)

р>

1 ¿=1

где V = т + |7а| — 1, V > — 1 и т - натуральное число.

В пункте 4.3 получена оценка для г-повторного ядра оператора К«:

I ) N Т (п • Т(7а,7а) (п )) ^

(Г)

11 Т (п _ т

рр^ ха' (р/,р)

г—1

^ |ка|т7а (п • г(7а,7а)(л )) I I |ка|т7а (п • г(7а,7а)(л )) . (11)

р (р/)г Т(р/,р) (п(:а,ха Л^А тр2 (р/)г Т(р,р/) ))

¿=1

С учетом неравенства (11) имеем:

||К>к(п) ^ ||ка|т7аар/)Г(п^т^р^п^)) х

Г —1

х П |ка|Тр7?(р/)г(п^т^^^)) ||и|Ца;^(Аа)).

¿=1

Аналогичным образом получена оценка для весового ЧИ оператора (2) от сферически симметричных функций, отвечающих повторному ядрук^. В пунктах 4.3.3 и 4.3.4 построены резольвенты операторов (1) и (2):

00

г=0 00

Га(х; ¿а; Л) = £ АГ к(Г+1)(х; ¿а) е (Дха; ¿(^(Д*а,*а)) ,

®а ( |Ха |, Х« |^а|; Л) = ^ Л' А^^Ха |, Х« | ¿а | ) е (Д*; ¿Кн- р,г

¿=0

Пусть

(|Ха|, х«; |^а|; Л) = £ Л¿ ^¿+1)(|Ха|, х«; |¿а|) е ; ¿£,2)(Др,Г)) .

{ 1 1 1 3

[ (Дха)] ^ , [ ^(Дха)] р (р/)Г , [ (Дха)] рГР/ ,

> г=1

Ва --||ка|Т7а (Л ; Т(7а,7а)(П )) , || ка || т Та (п ; Т (7а, 7а) ( п ))| .

I 11 (пжа; Т(р/,р) (п'а,ха)) 11 (пха; Т(р,р/) (пжа,4а ))1

Теорема 4.3.3. Пусть ядро ка оператора (1) и правая часть уравнения Фредгольма второго рода с оператором (1) удовлетворяют условиям:

К« = 8иР^ ||ка||ь7а (£ ; ха)) | < ^ ,

^ ргр'^ ха' (р, р) у ,__1

I/IUl, = sup<| II/^(Dxa; L^«(Dia)) f <

pr+1 (DXa; Lp (Dta )

J r=1

и пусть |Л| Ba < 1. Тогда e LYp TO)(D) существует предел Ф = limV^TO Ф^

V

функциональной последовательности ФV/ = ^(v)(x) = £ Лг(K/)(x). Опера-

шор Ф действует ограниченно из LYp TO)(D) = L^(DXa; LYa(Dta)) e LY(D) w удовлетворяет неравенству ЦФЦг^(D) ^ lim 11I|ly (D).

Решение уравнения Фредгольма с весовым ЧИ оператором (1) существует в виде операторного ряда Неймана

/

= ЛГ(каf)(x), прочел« < 1 _ |Л|АР B .

r=0

Это решение единственно. Пусть

P = sup [ M(Dxa)] pV , [ M(D)] pV , r ^ Jr=1

С = тах| ^^(П, ЫтТа^ т^р^А^)), ||к1,...,п|тр?(А*;(Аа))

Теорема 4.4.1. Пусть ядра операторов, составляющих линейный весовой ЧИ оператор К, удовлетворяют условиям к0 е (Д) , ка е (Дха; ¿(^(А^)), а = а(т), т= 1^-1, А*,.^е(Аа; (ДЖа)) и

||/(лх ;(Л,))Г < 3 и пусть |Л| рС < 1 Тогда, в Щр 3)(Д) существует предел Ф = НтрФр функциональной по-

V

следователъности Фр/ = )(х) = ^ ЛГ(КГ/)(х) . Оператор Ф действует

г=0

ограниченно из 3)(Д) = (Дг„; (Д^)) в (Д) м удовлетворяет неравенству ||Ф||Ь7(п) < Ит |ф||т/ )(П).

Решение уравнения Фредгольма с линейным весовым ЧИ оператором существует в виде операторного ряда Неймана

3 ||/||мь/ )(В)

^(х) = ЛГ(КГ/)(х) , ПРичем ||^|тр(П) < 1 _ ШРС' .

г=0 ' '

Это решение единственно.

Аналогичные теоремы получены для весовых ЧИ операторов от сферически симметричных функций и линейных весовых ЧИ операторов от сферически симметричных функций.

эо

Глава 5 посвящена исследованию уравнений Вольтерра второго рода с весовыми ЧИ операторами Вольтерра (3) в пространстве Ц(Б), 7 = (7ь72),

1г > —1В пункте 5.1 приведен достаточный признак ограниченности: Теорема 5.1.1. Пусть каеЬ^°^(Вг хБх хБХа), иеЬр (Д хБж-), где

жт ¿7 и 1р/ , р , р р/) у с а ^а ^а / * Р ^ а ^а/"

р = (р,р2), р>1. Тогда

\\Каи\\ц(т < \\ка\\ь(^;^(Вахтхахтх^) \\и\\ьР хД^), а = 1 2. В пункте 5.2 получена оценка норм итераций 1-го порядка для оператора (3): НКаи\\т^ (т) ^ хг, хг, ) \ \и \ \ Т(^а' (п хг, ) .

Т(р' ,р,рр') хт'ха хтха) Т(р,р2) хт'ха)

Теорема 5.4.1. Пусть р ^ 1 и г > 1 — произвольное число, а числа р' и г' определены из соотношений 1/р + 1/р' = 1, 1/г + 1/г' = 1, и пусть

е Ц(р!, р, Со) х ББха х ^^ха) .

Тогда весовое ЧИ уравнение Вольтерра второго рода имеет единственное решение в весовом пространстве Ьр(Б) вида

= /М + А у тх; ъ т(и,ха я Ма, х = ^),

о

где резольвентное ядро Я(х; ; А) определяется с помощью ряда, составленного из повторных ядер Я(х; £а; А) = А^к(/+1)(х; £а) и сходящегося при А

Имеет место оценка

\\ка+2)\Ь(тхАа) < щ ,

где константа С не зависит от £.

В заключение автор выражает благодарность профессору Л. Н. Ляхову за терпение, внимательное отношение, постановку задач и помощь, оказанную при работе над диссертацией.

а.

ГЛАВА I

ОГРАНИЧЕННОСТЬ ЧАСТНО-ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ В ПРОСТРАНСТВЕ ФУНКЦИЙ СО СМЕШАННОЙ НОРМОЙ

Анизотропность функций, представленных в этой главе, обусловлена смешанными нормами, т.е. по некоторым переменным области определения изучаемых функций существуют конечные вир-пормы, а по оставшимся переменным — конечные Ь-пормы (лебеговы нормы). При этом Ь-нормы также оказываются анизотропными, в том смысле, в котором они изучались в работах академика С.М. Никольского. Используются обозначения Ж,-Л. Лионса.

1.1. Основные обозначения, определения и простейшие свойства

Частными интегралами (сокращенно ЧИ) в (п ^ 2) называются интегральные выражения, в которых интегрирование происходит по части координат области задания подынтегральной функции:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Трусова Наталья Ивановна, 2023 год

Список литературы

[1] Александров, В.М. Об одном классе интегральных уравнений смешанных задач механики сплошных сред / В.М. Александров, Е.В. Коваленко // ДАН СССР. - 1980. - Т. 252. №2. - С. 324-328.

[2] Бессов, О.В. Интегральные представления функций и теоремы вложения / О.В. Бессов, В.П. Ильин, С.М. Никольский. — М.: Наука, 1975. — 478 с.

[3] Габов, С.А. Линейные задачи нестационарных внутренних волн / С.А. Габов. - М.: Наука, 1990. - 344 с.

[4] Девис, П. Суперсила. Поиск единой теории природы / П. Девис. — М.: Мир, 1989. - 272 с.

[5] Диткин, В.А. Интегральные преобразования и операционное исчисление / В.А. Диткин, А.П. Прудников // Справочная математическая библиотека. Под общей редакцией Л.А. Люстерника и А.Р. Янпольского. — М.: Издательство физико-математической литературы, 1961. — 524 с.

[6] Забрейко, П.П. Об интегральных уравнениях с частными интегралами в пространстве непрерывных функций / П.П. Забрейко, A.C. Калитвин, Е.В. Фролова // Дифференциальные уравнения, 2002. — Т. 38. — № 4. — С. 538-546.

[7] Иноземцев, А.И. Уравнения в частных интегралах в анизотропных пространствах Лебега: автореф. дне. ... канд. физ.-мат. наук.: 01.01.01 / А.И. Иноземцев. — Казань, 2021. - 18 с.

[8] Носили. К. Функциональный анализ / К. Иосида. — М.: Мир, 1967. — 624 с.

[9] Калитвин, A.C. Исследование операторов с частными интегралами: дисс... канд. физ.-мат. наук 01.01.01 / A.C. Калитвин. — Ленинград: ЛГПИ им. Герцена, 1986. — 143 с.

[10] Калитвин, A.C. Линейные операторы с частными интегралами / A.C. Калитвин. — Воронеж: ЦЧКИ, 2000. — 252 с.

[11] Калитвин, A.C. Операторы и уравнения с частными интегралами и их приложения: дисс... д-ра физ.-мат. наук 01.01.01 / A.C. Калитвин. — Липецк, 2003. - 267 с.

[12] Калитвин, A.C. Линейные уравнения с частными интегралами. С-теория / A.C. Калитвин, Е.В. Фролова. — Липецк: ЛГПУ, 2004. — 195 с.

[13] Корпусов, М.О. Лекции по линейному и нелинейному функциональному анализу. Том II. Специальные пространства / М.О. Корпусов, A.A. Панин. — М.: Физический факультет МГУ, 2016. — 259 с.

[14] Лионе, Ж.Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач / Ж.Л. Лионе. - М.: Мир. 1972. - 587 с.

[15] Ляхов, Л.Н. О радиальных функциях и о классических стационарных уравнениях в евклидовых пространствах дробной размерности / Л.Н. Ляхов // АМА1Ж 2011. — Минск: Издательский центр БГУ, 2012. — С. 115 126.

[16] Ляхов, Л.Н. Построение ядер Дирихле и Ви. 1.1е-11усени Никольского для )-бесселевых интегралов Фурье / Л.Н. Ляхов // Труды Московского Математического Общества, 2015. — Т. 76. — Вып. 1. — С. 67-84.

[17] Ляхов, Л.Н. Дв-оператор в дробно-мерных областях и собственные функции Дв-оператора па сфере / Л.Н. Ляхов // Международная конференция, посвященная выдающемуся математику И.Г. Петровскому (24-е совместное заседание ММО и Семинара имени И.Г. Петровского): Тезисы докладов. - М.: Изд-во МГУ, 2021. - С. 269-271.

[18] Ляхов, Л.Н. Частные интегралы в анизотропных классах Лебега. II: многомерный случай / Л.Н. Ляхов, А.И. Иноземцев // Проблемы математического анализа. — 2020. — Вып. 102. — С. 125-130.

[19] Ляхов, Л.Н. Оператор Киприянови Белырими с отрицательной размерностью оператора Бесселя и сингулярная задача Дирихле для В-гармонического уравнения / Л.Н. Ляхов, Е.Л. Санина // Дифференци-алные уравнения, 2020. — Т. 56. — N0 12. — С. 1610-1620.

[20] Ляхов, Л. Н. Дифференциальные и интегральные операции в скрытой сферической симметрии и размерность кривой Коха / Л. Н. Ляхов, Е. Л. Санина // Математические заметки, 2023. — Т. 113. — Вып. 4. — С. 527538.

[21] Ляхов, Л.Н. Ограниченность операторов с частными интегралами со смешанной нормой. I / Л.Н. Ляхов, Н.II. Трусова // Челябинский физико-математический журнал. Челябинск: ЧелГУ, 2020. — Том 5. — Выпуск 1.

- С. 22-31.

[22] Ляхов, Л.Н. Ограниченность операторов с частными интегралами со смешанной нормой. II / Л.Н. Ляхов, Н.II. Трусова // Челябинский физико-математический журнал. Челябинск: ЧелГУ, 2020. — Том 5. — Выпуск 3.

- С. 293-305.

[23] Ляхов, Л.Н. Оценка смешанных норм частных интегралов / Л.Н. Ляхов, Н. II. Трусова // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам [Электронный ресурс]: тез. докл. / Суздаль, 3-8 июля 2020 г.; Мат. ин-т им. В. А. Стеклова РАН; Владим.

гос. ун-т им. А.Г. и Н.Г. Столетовых; Моск. гос. ун-т им. М.В. Ломоносова.

- Владимир: Изд-во ВлГУ, 2020. — С. 87-88.

24] Ляхов, Л.Н. Об уравнении Фредгольма с весовым частно-интегральным оператором положительного порядка /Л.Н. Ляхов, Н.И. Трусова // Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Физика, Математика, №3. Воронеж: Издательской дом ВГУ. — 2021. — С. 91-105.

25] Ляхов, Л.Н. Частно-интегральные операторы неотрицательных порядков в весовых пространтвах Лебега / Л.Н. Ляхов, Н.И. Трусова // Челябинский физико-математический журнал. Челябинск: ЧелГУ, 2021. ^Том 6.

- Вып. 3. - С. 289-298.

26] Ляхов, Л.Н. Обобщение результатов ограниченности действия частно-интегральных операторов / Л.Н. Ляхов, Н.И. Трусова // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы Международной конференции: Воронежская зимняя математическая школа (28 января

- 2 февраля 2021 г. )/ Воронежский государственный университет; Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова; Математический институт им. В.А. Стеклова РАН. — Воронеж: Издательский дом ВГУ, 2021. - С. 206-208.

27] Ляхов, Л.Н. Обобщение теоремы Кили пиши об ограниченности в весовых классах Лебега / Л.Н. Ляхов, Н.И. Трусова // Материалы VI Международной научной конференции "Нелокальные краевые задачи и родственный проблемы математической биологии, информатики и физики"(5-9 декабря 2021г.). Нальчик, 2021. — С. 126.

28] Ляхов, Л.Н. Теоремы об итерациях частных интегралов в пространстве со смешанной нормой / Л.Н. Ляхов, Н.И. Трусова // Итоги науки и техники. Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. — 2022.

- Том 204. - С. 97-103.

29] Ляхов, Л.Н. Единственность решения частно-интегрального уравнения Вольтерра в весовом анизотропном пространстве функций / Л.Н. Ляхов, Н.И. Трусова // Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Физика, Математика, №2. Воронеж: Издательской дом ВГУ. — 2022. - С. 69-80.

30] Ляхов, Л.Н. Единственность решения частно-интегрального уравнения Вольтерра в анизотропном пространстве функций / Л.Н. Ляхов, Н.И. Трусова // Современные методы теории краевых задач: материалы Международной конференции: Воронежская весенняя математическая школа «Понтрягинские чтения XXXIII» (3-9 мая 2022 г.) / Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова; Воронежский государ-

ственный университет; Математический институт имени В.А. Стеклова РАН. — Воронеж: Издательский дом ВГУ, 2022. — С. 173-174.

[31] Ляхов, Л.Н. Об одном классе уравнений Вольтерра / Л.Н. Ляхов, Н.И. Трусова // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Тезимы докладов. Суздаль (30 июня - 5 июля 2022 г.). - Владимир: ООО «Аркаим», 2022. — С. 188-189.

[32] Математическая энциклопедия. Т.1. — М.: Советская энциклопедия, 1977.

_ Ц51 с.

[33] Михлин, С.Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям / С.Г. Михлин. — М.: государственное из-во физико-математической литературы, 1959. 234 с.

[34] Михлин, С.Г. Интегральные уравнения и их приложения к некоторым проблемам механики, математической физики и техники / С.Г. Михлин // Издание второе, исправленное и дополненное. — М.-Л.: государственное из-во технико-теоретической литературы, 1949. 381 с.

[35] Нахушев, A.M. Уравнения математической биологии / A.M. Нахушев. — М.: Высшая школа, 1995. — 304 с.

[36] Никольский, С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения / С.М. Никольский. — М.: Наука, 1977. — 455 с.

[37] Околелов, О.П. Исследование уравнений с частными интегральными операторами: дне... канд. физ.-матем. наук 01.01.01. / О.П. Околелов. — Иркутск, 1967. — 147 с.

[38] Сабитов, К.Б. Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения / К.Б. Сабитов. — М: Высшая школа. 2005. — 671 с.

[39] Самко, С.Г. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения / С.Г. Самко, А.А. Килбас, О.И. Маричев. Минск: Наука и техника, 1987. — 688 с.

[40] Трикоми, Ф. Интегральные уравнения / Ф. Трикоми // Перевод с английского Б. В. Боярского, И. И. Данилюка. — М. : Из-во иностранной литературы, 1960. — 301 с.

[41] Трусова, Н.И. О частно-интегральном уравнении Фредгольма в пространстве функций со смешанной нормой /Н.И. Трусова // Сборник материалов международной конференции КРОМШ-2020 «XXXI Крымская Осенняя Математическая школа-симпозиум по спектральным и эволюционным задачам». - Симферополь: ПОЛИПРИНТ, 2020. - С. 26-28.

[42] Трусова, H.И. Оценки операторов с частными интегралами в C(D)/ H.И. Трусова // Современные методы теории краевых задач: материалы Международной конференции: Воронежская весенняя математическая школа «Понтрягинские чтения XXXI» (3-9 мая 2020 г.) / Воронежский государственный университет; Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова; Математический институт им. В.А. Стеклова РАН. -Воронеж: Издательский дом ВГУ, 2020. - С. 214-215.

[43] Трусова, Н.И. Об интегральном уравнении Вольтерра в пространстве Лебега / Н.И. Трусова // Вестник факультета прикладной математики, информатики и механики. - Выпуск 15 / [редкол.: А. И. Шашкин (гл. редактор) и др.]; Воронежский государственный университет; факультет прикладной математики, информатики и механики. — Воронеж: ВГУ, 2021. - С. 193-202.

[44] Трусова, Н.И. Непрерывность весового частно-интегрального оператора в Lp / Н.И. Трусова // Современные методы теории краевых задач: материалы Международной конференции: Воронежская весенняя математическая школа «Понтрягинские чтения XXXII» (3-9 мая 2021г.) / Воронежский государственный университет; Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова; Математический институт им. В.А. Стеклова РАН. — Воронеж: Издательский дом ВГУ, 2021. — С. 254-55.

[45] Трусова Н. И. Весовой частно-интегральный оператор. Ограниченность / Н.И. Трусова // Современные проблемы математики и физики: материалы Международной научной конференции (г. Стерлитамак, 12-15 сентября 2021 г.) / отв. ред. А.И. Филиппов. — Уфа: РИЦ БашГУ, 2021. _ Том I. - С. 96-99.

[46] Трусова, Н.И. Критерии ограниченного действия частно-интегральных операторов со смешанной нормой в Rn /Н.И. Трусова // Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений: Материалы 10-го между пир. семинара (13 - 17 сентября 2021 г.). — Минск, Беларусь: Ин-т матем. HAH Беларуси, 2021. - С. 83-84.

[47] Трусова, Н.И. Уравнения Фредгольма в пространстве функций со смешанными нормами /Н.И. Трусова // Материалы Международной конференции: "Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна - 2022"/ под ред. В.А. Костина. — Воронеж: Издательский дом ВГУ, 2022. — С. 210-213.

[48] Трусова, Н.И. Частные интегралы в классе сферически симметричных функций / Н.И. Трусова // Материалы Международной конференции: "Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна - 2022"/ под

ред. В.А. Костина. — Воронеж: Издательский дом ВГУ, 2022. — С. 214 216.

[49] Фёдоров, В.Е. Об однозначной разрешимости системы гравитационно-гироскопических волн в приближении Буссинеска / В.Е. Фёдоров, Л.В. Борель // Челябинский физико-математический журнал. — Челябинск, 2016. 1:2. - С. 16-23.

[50] Фролова, Е.В. Линейные операторы с частными интегралами в пространстве непрерывных функций: дне... канд. физ.-мат. наук 01.01.01 / Е.В. Фролова. — Липецк, 2000. — 123 с.

[51] Шварц Л. Математические методы для физических наук / Л. Шварц. — М.: Мир, 1965. — 412 с.

[52] Appell, J.M. Partial Integral Operators and Integro-Differential Equations / J.M. Appell, A.S. Kalitvin, P.P. Zabrejko. - New York: Marcel Dekker, 2000.

— 560 p.p.

[53] Lyakhov, L.N. About Fredgholm equations for partial integral in R2 / L.N. Lyakhov, A.I. Inozemtsev, N.I. Trusova // Jornal of Mathematical Sciences.

- Springer. - 2020. - Vol. 251. P. 839-849.

[54] Lyakhov, L.N. Boundedness of mixed norms of partial integral operatprs / L.N. Lyakhov, N.I. Trusova // Journal of Mathematical Sciences. — 2021. — Vol. 255. - N. 6. - P. 726-731.

[55] Lyakhov L.N. Partial integrals in anisotropic lebesgue spaces. II: multidimensional case / L.N. Lyakhov, A.I. Inozemtsev // Journal of Mathematical Sciences. - 2020. - T. 247. - № 6.- P. 893-899.

[56] Sneddon, Ian N. Fourier transforms / Ian N. Sneddon. — New York: Dover publications, INC, 1972. — 555 p.p.