Топология интегрируемого случая Стеклова на алгебре Ли so(4) тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат физико-математических наук Хоршиди Хоссейн

• Хоршиди Хоссейн
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Хоршиди Хоссейн

ВВЕДЕНИЕ

1 Основные определения и постановка задачи

1.1 Уравнения Эйлера на алгебре Ли.

1.2 Интегрируемый случай Стеклова на алгебре Ли so(4).

1.3 Отображение момента.

1.4 Изоэнергетические поверхности.

2 Бифуркационные диаграммы отображения момента

3 Перестройки торов Лиувилля

3.1 Прообразы точек бифуркационной диаграммы

3.2 Индексы критических окружностей.

3.3 Инварианты Фоменко для случая Стеклова на so(4).

4 Топологический тип изоэнергетических поверхностей

4.1 Топологический тип поверхности Q

4.2 Грубая топологическая классификация изоэнергетических поверхностей

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Топология интегрируемого случая Стеклова на алгебре Ли so(4)»

Актуальность темы. Задача о движении твердого тела вокруг неподвижной точки занимает исключительное место в динамике. В этой области работали такие выдающиеся ученые, как Л.Эйлер, Ж.Лагранж, С.Пуассон, Ж.Лиувилль, К.Якоби, Г.Дарбу и многие другие. Важные результаты в этой области были получены русскими учеными С.В.Ковалевской, Н.Е.Жуковским, С.А.Чаплыгиным, В.А.Стекловым, A.M. Ляпуновым и др.

Основные их достижения относятся к концу 19-го и началу 20-го века. В настоящее время по-прежнему не ослабевает интерес к этой задаче, так как разработаны современные методы для явного интегрирования уравнений и их топологического анализа (см. [1], [5], [15], [16], [20], [22]).

Задача о движении твердого тела привлекала внимание крупнейших математиков. Дело в том, что движение тела описывается системой обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений, называемых уранениями Эйлера-Пуассона, для которой известны только три общих интеграла. Кроме того, Якоби доказана теорема, которая показывает, что для сведения задачи к квадратурам достаточно найти еще один новый первый интеграл, не зависящий от времени. На поиск этого дополнительного интеграла потрачено немало сил. В некоторых специальных случаях удалось найти дополнительный интеграл. Следует отметить, что для произвольных значений параметров дополнительного интеграла не существует, но до сих пор поиск интегрируемых случаев продолжается.

Наглядное представление о движении твердого тела с помощью решений уравнений Эйлера-Пуассона оказалось трудным, так как эти решения обычно выражаются досто-точно сложно. Поэтому большое значение имеет качественное исследование задачи о движении твердого тела.

Одним из основных результатов в этом направлении является теорема Лиувилля, согласно которой неособая компактная совместная поверхность уровня первых интегралов вполне интегрируемой гамильтоновой системы есть объединение торов, заполненных условно-периодическими траекториями. Аппарат дифференциальной топологии оказался очень полезным для качественного исследования этой задачи. Один из результатов в этом направлении принадлежит С.Смейлу [20], в этой работе с топологической точки зрения изучена проблема трех тел и разработаны топологические методы для исследования классических механических систем. Идеи Смейла развиты другими авторами, в том числе М.П.Харламовым [30] и Я.В.Татариновым. Я.В.Татариновым исследованы бифуркации двух первых интегралов (интеграла площадей и интеграла энергии [22]) в задаче о движении твердого тела.

В настоящее время топологический анализ интегрируемых гамильтоновых систем плодотворно развивается благодаря работам А.Т.Фоменко. В работе [25] была построена теория типа Морса для интегрируемых гамильтоновых систем, и полностью исследован вопрос о том, как перестраиваются торы Лиувилля в окрестности критических поверхностей уровня первых интегралов вполне интегрируемой системы. А.Т.Фоменко и Х.Цишангом [27] построен инвариант интегрируемого боттовского нерезонансного гамильтониана и дана топологическая классификация изоэнергетических поверхностей интегрируемых гамильтоновых систем.

Классическими примерами интегрируемых гамильтоновых систем являются хорошо известные случаи интегрируемости в динамике твердого тела и других задачах физики и механики. Большинство из этих случаев интегрируемости исследовались с различных точек зрения многими авторами. В частности, топология таких систем изучалась методами теории топологической классификации, развитой в работах Фоменко и его учеников [1]. Так, в работах [15], [16] эта теория была применена для топологического исследования случаев Эйлера, Лагранжа, Ковалевской, Клебша, Стеклова, и некоторых других классических случаев интегрируемости уравнений Кирхгофа. (См. также работы [2], [3], [4], [10], [12], [13], [14], [17], [18], [19], [23], [28], [29], [30], в которых исследуется топология различных интегрируемых случаев).

Как хорошо известно, уравнения Кирхгофа, описывающие различные задачи физики и механики (в том числе движение твердого тела), могут быть представлены в виде уравнений Эйлера на алгебре Ли е(3) группы изометрий трехмерного евклидова пространства.

Различные обобщения классических случаев интегрируемости уравнений Эйлера для других алгебр Ли, в частности для алгебр Ли so(4), so(3,1) также хорошо известны. Дело в том, что имеется естественное однопараметрическое семейство таких алгебр, содержащее и алгебру Ли е(3). Поэтому большинство классических случаев интегрируемости получаются как предельный случай этих обобщений.

В настоящей диссертационной работе исследованы топологические свойства одного из случаев интегрируемости, а именно, интегрируемого случая уравнений Эйлера на алгебре Ли so(4), который описал А.П.Веселов в работе [7] (см. также [8], где исправлены опечатки в формулах для гамильтониана и дополнительного интеграла). Этот интегрируемый случай аналогичен классическому интегрируемому случаю Стеклова в динамике тяжелого твердого тела (который можно описать в виде уравнений Эйлера на алгебре Ли е(3)), и поэтому будем называть его также случаем Стеклова. В этом случае дополнительный интеграл квадратичен. Существуют только два случая с квадратичными гамильтонианом и дополнительным интегралом на алгебре Ли so(4)(cm. [7]). Другой случай уже рассмотрен в [16].

В настоящей работе проводится топологический анализ интегрируемого случая Стеклова на алгебре Ли so(4). В частности, исследованы бифуркационные диаграммы отображения момента Н х К, где Я гамильтониан а К дополнительный интеграл, которые рассмотрены как функции на 4-мерных орбитах алгебры (см. рис. 2.3), а также описан топологический тип изоэнергетических поверхностей для всех значений энергии и параметров, задающих орбиту (см. рис. 4.7). Полностью исследованы топологические свойства этого случая, вычислены все возможные молекулы (см. таблицу 3.1), т.е. найден инвариант Фоменко и дана грубая классификация изоэнергетических поверхностей для этого случая (см. рис. 4.8 и таблицу 4.2).

Цель работы. Цель настоящей работы заключается в разработке метода описания изоэнергетических поверхностей гамильтоновых систем на алгебре Ли so(4), исследовании топологии слоения Лиувилля для интегрируемого случая Стеклова на алгебре Ли so(4) и в частности, вычислении инвариантов Фоменко для этого случая.

Методика исследования. Исследования, проводимые в диссертационной работе, основаны на методах дифференциальной геометрии и топологии. В работе используется теория классификации интегрируемых гамильтоновых систем, разработанная А.Т.Фоменко.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем:

Построены бифуркационные диаграммы отображения момента, определяемого гамильтонианом и дополнительным интегралом случая Стеклова на алгебре Ли so(4), для всех возможных значений параметров системы;

Вычислены индексы критических окружностей и доказано, что для почти всех изоэнергетических поверхностей дополнительный интеграл является боттовским;

Определены перестройки торов Лиувилля при критических значениях отображения момента;

Для всех изоэнергетических поверхностей интегрируемого случая Стеклова на алгебре Ли so(4) определен топологический тип;

Для всех изоэнергетических поверхностей интегрируемого случая Стеклова на алгебре Ли so(4) вычислен инвариант Фоменко, классифицирующий слоение Лиувилля с точностью до грубой эквивалентности.

Практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты и методы могут быть использованы при изучении особенностей интегрируемых гамиль-тоновых систем, а также при топологическом анализе таких систем.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на:

Научно-исследовательском семинаре "Современные геометрические методы"под руководством академика РАН А.Т.Фоменко неоднократно.

XXVII Юбилейной Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ.

Конференции "36i/l Annual Iranian Mathematics Conference"Yazd University, Iran, 10-13 Sept, 2005.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [31], [32].

Структура диссертации.Диссертация состоит из введения и четырех глав, списка литературы, 15 рисунков и 3 таблиц.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Хоршиди Хоссейн, 2006 год

1. Болсинов А.В., Фоменко А.Т. Интегрируемые гамильтоиовы системы (геометрия, топология, классификация). Ижевск, 1999.

2. Болсинов А. В., Рихтер П., Фоменко А. Т. Метод круговых молекул и топология волчка Ковалевской. Матем.сб., 2000, т. 191, N 2, с. 3-42.

3. Болсинов А.В., Дуллин X. О случае Эйлера в динамике твердого тела и задаче Якоби. Регулярная и хаотическая динамика. 1997, том 2, No.l, с.13-25.

4. Bolsinov А. V. Methods of calculation of the Fomenko-Ziesyhang invariant. Adv.in Soviet Math., 1991, v. 6, p.147-183.

5. Борисов А.В., Мамаев И.С. Динамика твердого тела.— Ижевск: НИЦ, Регулярная и хаотическая динамика, 2001, 384 стр.

6. Борисов А.В., Мамаев И.С. Соколов В.В. Новый интегрируемый случай so(4), Докл. РАН, 2001, 381(5), 614-615.

7. Веселов А.П., Об условиях интегрируемости уравнений Эйлера на so(4). ДАН СССР. 1983. Т. 270, № 6. стр. 1298-1300.

8. Веселов А.П. Кноидальные решения уравнения Ландау-Лифшица для двухподре-шеточпого могнетика. ДАН СССР. 1984. Т. 276, № 3. стр. 590-593.

9. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия: Методы и приложения. 5-у изд., испр. М.: Эдиториал УРСС, Добросвет, 2001.

10. Каток С.Б. Бифуркационные множества и интегральные многообразия в задаче о движении тяжелого твердого тела. "Успехи матем. наук, 1972, том 27, вып.2, с.124-133.

11. Милнор Дж. Теория Морса — М.: Мир, 1965.

12. Морозов П.В. Лиувиллева классификация интегрируемых систем случая Клебша. Матем. сборник, 2002, Т.193, вып. 10, с.113-138.

13. Орел О.Е. Функция вращеиия для интегрируемых задач, сводящихся к уравнениям Абеля Матем. сборник, 1995, Т.186, вып. 2, с.105-128.

14. Орел О.Е., Ш.Такахаши. Траекторная классификация интегрируемых задач Ла-гранжа и Горячева-Чаплыгина методами компьютерного анализа. Матем. Сборник, 1996, том 187, No.l, с.95-112.

15. Ошемков А.А. Описание изоэнергетических поверхностей интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. // Тр. семин. по вект. и тенз. анализу. 1988. Т.23, с.122-132.

16. Ошемков А.А. Вычисление инвариантов Фоменко для основных интегрируемых случаев динамики твердого тела.// Тр. семин. по вект. и тенз. анализу. 1993, вып. 25, часть 2, М.: МГУ, с.23-109.

17. Ryabov Р.Е. Bifurcation sets in an integrable problem on motion of a rigid body in fluid.// Regular and chaotic dynamics, V.4, № 4, 1999.

18. Погосяп Т.И. Критические интегральные поверхности задачи Клебша. В кн.: Мех. тверд, тела, вып.16, Киев, Наукова думка, 1984, с.19-24.

19. Погосян Т.И., Харламов М.П. Бифуркационное множество и интегральные многообразия задачи о движении твердого тела в линейном поле сил. ПММ, 1979, том 43, с.419-428.

20. Смейл С. Топология и механика. УМН. 1972. Т. 15, No.2, с.77-125.

21. Соколов В.В. Об одном классе квадратичных гамильтонианов на so{4). Доклады РАН, 2004, Т.69, No.l, с.108-111.

22. Татаринов Я.В. Портреты классических интегралов задачи о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки.

23. Топалов П., Вычисление тонкого инварианта Фоменко-Цишанга для основных интегрируемых случаев движения твердого тела, Матем.сб., 1996, т. 187, N 3, с. 143160.

24. Трофимов В.В., Фоменко А.Т. Алгебра и геометрия интегрируемых гамильтоновых систем дифференциальных уравнений. М.: Факториал, изд-во Просперус УдГУ, 1995.

25. Фоменко А.Т. Топология поверхностей постоянной энергии интегрируемых гамильтоновых систем и препятствия к интегрируемости. Известия АН СССР. 1986, Т.50, No.6, с.1276-1307.

26. Фоменко А.Т. Симплектическая геометрия, методы и приложения.— М.: Изд-во Моск. ун-та, 1988.— 413 стр.

27. Фоменко А.Т., Цишанг X. Топологический инвариант и критерий эквивалентности интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы.// Известия АН СССР, 1990, Т.54, No.3, с.546-575.

28. Zotev D.B. Fomenko-Ziesyhang invariant in the Bogoyavlenskyi integrable case. Regular & chaotic dynamics, 2000, v. 5, N 4, p. 437-458.

29. Харламов М.П., Топологический анализ классических интегрируемых случаев в динамике твердого тела, ДАН СССР, 1983, т.273, N 6, с. 1322-1325.

30. Харламов М.П., Топологический анализ интегрируемых задач динамики твердого тела, Ленинград, Изд-во Ленинградского университета, 1988 г.Работы автора по теме диссертации

31. Oshemkov A.A., Khorshidi Н., Topology of the integrable Hamiltonian system of the Steklov's case for the Lie algebra so(4), Abstracts of 36th Annual Iranian Mathematics Conference, Yazd University, Iran, 10-13 Sept, 2005, page 163.

32. Хоршиди X., Топология интегрируемой гамильтоновой системы случая Стеклова на алгебре Ли so(4), Вестник МГУ. Сер. Матем. Мех. (В печати)