Топология особенностей интегрируемых гамильтоновых систем с некомпактными поверхностями уровня тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат наук Новиков, Дмитрий Вячеславович

• Новиков, Дмитрий Вячеславович
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Новиков, Дмитрий Вячеславович

Оглавление

Введение

1 Случай Соколова на е(3)

1.1 Введение

1.2 Бнфурканионные 'значения гамильтониана

1.3 Топология изочнернпическоп поверхности

1.4 Бифуркационная дтирамма отображения момента

1.5 Индексы критических точек

1.6 Доказательство полноты векторных но. км"! ь»т;:н] Н и sgrad К .

1.7 Топология совместной поверхности уровня II и К

1.8 Перестройки

2 Случай Соколова на ?о(3. 1)

2.1 Введение

2.2 Бифуркационные значения гамильтониана

2.3 Топология изоэнергетической поверхности

2.4 Бифуркационная диаграмма отображения момента

2.5 Неполнота поля 8§гас1 Н

2.С Индексы критических точек

2.7 Топология совместной поверхкости уровня И и К

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Топология особенностей интегрируемых гамильтоновых систем с некомпактными поверхностями уровня»

Введение

Описание работы

Актуальность темы

Диссертационная работа посвящена исследованию топологических особенностей интегрируемого случая В. В. Соколова (далее - случай Соколова) па алгебрах Ли е(3) и бо(3, 1). Это гамильтонова система с двумя степенями свободы. Указанные случаи отличаются от большинства известных систем тем, что совместные поверхности уровня гамильтониана и дополнительного интеграла являются некомпактными, а в случае во(3,1), кроме того, поток гамильтониана является неполным.

Основы теории топологической классификации интегрируемых гамильто-новых систем были заложены А. Т. Фоменко в работах [1], [2], [3], [4], [5] и других. Указанный новый подход в изучении интегрируемых систем, предложенный А. Т. Фоменко, был затем продолжен А. Т. Фоменко и X. Цишангом, см., например, работу А. Т. Фоменко и X. Цишанга [б]. Ими был открыт топологический инвариант интегрируемых систем (именуемый инвариантом Фоменко-Цишанга). Это граф с числовыми метками, являющийся полным инвариантом таких систем: две системы лиувиллево эквивалентны, если и только если

графы Фомснко-Цишанга совпадают. Далее школа А. Т. Фоменко разработала методы вычисления меченых молекул, см., например, работу А. В. Болси-нова, П. Рихтера и А. Т. Фоменко [7]. Бифуркационные диаграммы многих важных интегрируемых систем были вычислены М. П. Харламовым в книге [8]. В серии работ А. В. Болсинова и А. Т. Фоменко [9], А. А. Ошемкова [10], П. Е. Рябова [11] и других были найдены классифицирующие инварианты для многих конкретных физических и механических интегрируемых систем. Как правило, в таких системах совместные поверхности уровня интегралов компактны. Результаты теории топологической классификации, полученные школой А. Т. Фоменко, подробно изложены А. В. Болсиновым и А. Т. Фоменко в книге [12].

Однако теория топологической классификации некомпактых систем до сих пор не разработана, например, нет конечного списка атомов данной сложности (даже само понятие сложности в некомпактном случае пока что не определено). Мы надеемся, что результаты настоящей диссертации смогут быть полезны при построении такой теории.

При анализе некомпактных систем приходится сталкиваться с проблемой полноты полей. Полнота является существенным условием в Теореме Ли-увилля, в компактном случае она получается автоматически. В отсутствии полноты (а в случае Соколова на зо(3,1) так и происходит) связные компоненты совместной поверхности уровня гамильтониана и дополнительного интеграла не обязательно являются торами, цилиндрами или плоскостями. Аналогичная ситуация наблюдается в случае комплексных гамильтоновых систем с неполными потоками в работе Т. А. Лепского [13].

Заметим, что даже тогда, когда потоки полны, доказательство этого факта может быть нетривиально. Для доказательства полноты нет общих методов, например, критерий того, когда однородное квадратичное поле в М2 является полным, появился совсем недавно (см. работу [14]). Автору неизвестны работы, где приводятся критерии полноты для полиномиальных векторных полей степени > 2. Среди работ, посвященных доказательству полноты потоков, отметим диссертацию А. Ю. Москвина [15], в которой доказано, что полнота потоков интегралов, полученных методом Садэтова, эквивалентна полноте потоков на соответствующей полупростой алгебре Ли.

Другим препятствием при анализе некомпактных систем является то, что в некомпактном случае могут быть некритические бифуркационные значения (например, так оказывается в изучаемом случае Соколова на е(3)). Соответственно для построения бифуркационной диаграммы недостаточно найти критические точки и их образы. Необходимо изучать, как устроена совместная поверхность уровня интегралов.

Сама общая задача определить и классифицировать некомпактные перестройки (по аналогии с компактной классификацией), в рамках которой в настоящей работе проводится исследование случая Соколова, поставлена А. Т. Фоменко.

Цели исследования

Диссертационная работа имеет следующие основные цели:

1. Исследование топологии случая Соколова нае(З).

2. Исследование топологии случая Соколова назо(3,1).

Методы исследования

При исследования применяются методы теории топологической классификации интегрируемых систем, разработанной А. Т. Фоменко и его школой, а также методы топологического анализа, разработанные М. П. Харламовым. Кроме того, используются дифференциально-геометрические методы, методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений и линейной алгебры.

Научная новизна

Результаты работы являются новыми и заключаются в следующем: 1. для случая Соколова на е(3)

• описана топология изоэнергетических поверхностей гамильтониана (см. Теорему 2);

• найдены бифуркационные диаграммы отображения, заданного гамильтонианом (см. Утверждение 1.2.3), и отображения момента (см. Теорему

5);

• вычислены индексы критических точек дополнительного интеграла на изоэнергетических поверхностях (см. Утверждение 1.5.1);

• описаны совместные поверхности уровня гамильтониана и дополнительного интеграла (см. Теорему 6);

• доказана полнота полей sgrad Н и в^ас! К, что является важным условием в теореме Лиувилля (см. параграф 1.6).

2. для случая Соколова на во(3,1)

• описана топология изоэнергетических поверхностей гамильтониана (см. Теорему 7);

• найдены бифуркационные диаграммы отображения, заданного гамильтонианом (см. Утверждение 2.2), и отображения момента (см. Теорему 8);

• вычислены индексы критических точек дополнительного интеграла на изоэнергетических поверхностях (см. Утверждение 2.0.1);

• описаны совместные поверхности уровня гамильтониана и дополнительного интеграла (см. Теорему 9);

• доказано, что поток векторного поля, отвечающего гамильтониану, неполон (см. параграф 2.5).

Теоретическая и практическая значимость

Полученные в работе результаты имеют теоретическое значение. Предложены методы доказательства полноты полиномиальных векторных полей, анализа топологии гамильтоновых систем с некомпактными поверхностями уровня, в том числе в случае неполноты потоков. Описанные примеры систем с некомпактными особенностями могут быть полезны для построения теории некомпактных особенностей.

Апробация работы

Основные положения диссертационной работы докладывались

• на конференции «Александровские чтения» (Москва, с 30 мая по 02 июня 2006 г.);

• на конференции «Ломоносовские чтения» (Москва, с 17 но 27 апреля 2006 г.);

• на международной конференции «Differential and Functional Differential Equations 2008» (Москва, с 17 по 24 августа 2008 г.);

• на семинаре в Университете г. Бохум (Германия, май 2008 г.);

• на конференции «Ломоносов» (Москва, с 11 по 15 апреля 2011 г.);

• на семинаре имени В. В. Румянцева по аналитической механике и теории устойчивости под руководством чл.-корр. РАН В. В. Белецкого и проф. A.B. Карапетяна (Москва, 23 октября 2013 г.);

• неоднократно на семинаре «Современные геометрические методы» под руководством акад. А. Т. Фоменко и проф. А. С. Мищенко (мехмат МГУ имени М.В. Ломоносова).

Публикации

По теме диссертации опубликовано 5 работ [16], [17], [18], [19], [20], из них 2 в изданиях по перечню ВАК. Работ, написанных в соавторстве, нет.

Структура и объем

Диссертация состоит из введения и двух глав. Текст диссертации изложен на 106 страницах. Список литературы содержит 32 наименования.

Содержание работы

Во Введении приводится постановка задачи, кратко излагаются необходимые понятия, дается обзор полученных результатов.

Глава 1 состоит из 8 параграфов и содержит исследование случая Соколова на е(3).

В первом параграфе кратко излагаются полученные в Главе 1 результаты. Во втором параграфе находятся бифуркационные значения гамильтониана. Основной результат параграфа следующее

Утверждение 1.2.3. Бифуркационные значения гамильтониана случая Соколова на е(3) (при х = 0) являются следующими кривыми на плоскости

(дЛ):

1. К = 0, д 6 М;

п ь 4о?д2 — 1

2.К =--, д е М;

3. И = деШ,

4а

причем точки вида 1 — 2 являются критическими значениями, а точки вида 3 - некритическими бифуркационными значениями.

Третий параграф посвящен исследованию топологического типа изоэнер-гетической поверхности уровня гамильтониана. Доказывается следующая

Теорема 2. Топология изоэнергетической поверхности уровня С^ Л случая Соколова на е(3) при регулярных, то есть не принадлежащих бифуркационным значениям гамильтониана Н, (д, /?<) имеет следующий тип:

1. 2М3 при 1х< —-;

4а

2. Двумерный диск с тремя дырками, умноженный на К, при К > — -—,

4а

4а2 а2 - 1

В четвертом параграфе находится бифуркационная диаграмма отображения момента для случая Соколова на е(3). В нем доказана следующая

Теорема 5. Бифуркационная диаграмма отображения момента случая Соколова на е(3) состоит из следующих кривых:

7 , о , . 4а2д2 - 1

1) луча к = —к + ад , к ^ -,

4а

при этом в прообразе получаются 2 критические окружности;

2) параболы к = —ак2 — к, к £ К,

при этом в прообразе 2 критические прямые;

Я) Ь 1 1 ^ л ^ 4с*У ~ 1

3) отрезка к = —,--^ к ^-,

^ 4а 2а 4 а

при к <--в прообразе будут 4 критические прямые, а при к >---

4а 4а

2 критические окружности;

4) луча к = —к, к ^ ——.

4а

При этом типы (1 — 3) являются критическими значениями, а тип 4 -некритическими бифуркационными значениями.

Пятый параграф посвящен вычислению индексов критических точек. Его результатом является следующее

Утверждение 1.5.1. Индексы критических точек случая Соколова нае(З) имеют следующий тип:

1. Прообразы кривой к = —ак2 — к, к < —— имеют индекс 2;

2а

2. Прообразы кривой к = —ак2 — к, к > — —— имеют индекс 1;

2 а 4а2д2 - 1

3. Прообразы кривой к = —к + ад2, к >---имеют индекс 2;

4 а

„ ^ 1 1 4а2д2 - 1

4. Прообразы кривой к — —,--< к <-имеют индекс 2.

4а 2а 4а

В шестом параграфе доказывается полнота векторных полей sgrad Н и sgrad К.

В седьмом параграфе исследуется топологический тип совместной поверхности уровня гамильтониана Н и дополнительного интеграла К. Его основной результат - следующая

Теорема 6. При регулярных, то есть не принадлежащих бифуркационной диаграмме для отображения момента, (к, к) совместная поверхность уровня Н и К для случая Соколова на е(3) имеет следующий тип:

1. Пустое множество над верхней границей бифуркационной диаграммы;

2. Два цилиндра под параболой к = —а к2 — к;

3. Четыре цилиндра над параболой к = — ак2 — к, но под лучом к = —к;

4. Два тора над лучом к = —к, но под лучом к — -к-\- ад2.

Восьмой параграф посвящен описанию перестроек случая Соколова на е(3).

Глава 2 посвящена исследованию случая Соколова на во(3,1) и состоит из семи параграфов.

В первом параграфе кратко излагаются полученные в Главе 2 результаты. Во втором параграфе находятся бифуркационные значения гамильтониана. Основной результат - следующее

Утверждение 2.2.3. Бифуркационные значения гамильтониана случая Соколова на 8о(3,1) (при х < 0) являются следующими кривыми на плоскости

1.к = 0,де М;

2 к

причем эти точки являются критическими значениями. В третьем параграфе находится топологический тип изоэнергетической поверхности уровня гамильтониана. Доказана следующая

Теорем а 7. Изоэнергетическая поверхность С)'},. для гамильтониана случая

У-)'*'_

^ / ч 7 / 7 / а — л/(а2 + — 4хр2)

Соколова па йо(3,1), к ф 0, к ф ---, диффеоморфна

2>с

открытому двумерному диску с 3 дырками, умноженному на М.

Четверный параграф посвящен нахождению бифуркационной диаграммы отображения момента. В нем доказана следующая

Теорема 8. Бифуркационная диаграмма отображения момента случая Соколова на 8о(3,1) состоит из следующих кусков:

^ к,? , ч 1 ^ а - л/(а2 + х)(1 - 4яд2)

1) куска параболы к = ^к — к + ад , к ^----,

¿я

при этом в прообразе получаются2 критические окружности (0, 5*2,0, \, 0, з).

2

яд

2) параболы к — —ак2 — к--, /г€1,

а

при этом в прообразе 2 критические прямые (¿1,0,0,0, (^2,

3) отрезка к-1' 4Щ]2 -~<к< ^-х/^ + ^а-4^2)

3) отрезка к- , ^ к^

при этом в прообразе будут2 критические окружности £>2, £>3, 0, (^2,77—)-

2а

4) изолированной особой точки к — к = 0.

В пятом параграфе доказано, что гамильтоново векторное поле случая Соколова на во(3,1) неполно.

В шестом параграфе вычисляются индексы критических точек. Доказано следующее

Утверждение 2.6.1. Индексы критических точек случая Соколова наэо(3,1) имеют следующий тип:

1. Прообразы кривой к = —а/г2 — /г, — /г < —— имеют индекс 2;

2а;

2. Прообразы кривой к — —а/г2 — /г--—, /г >--имеют индекс 1;

а 2а

о 1-т , 9 , а — л/(а2 + х)(1 — 4хд2) 3. Прообразы кривой к = ^/г2 - /г + а#2, /г > -—---—

имеют индекс 2;

„ 7-г ^ 1 - 4ХО2 1 , а - л/(а2 + х)(1 - 4х#2)

4. Прообразы кривой к =-,--< п <-----

4а 2а 2х

имеют индекс 2.

В седьмом параграфе найден топологический тип совместной поверхности уровня гамильтониана Н и дополнительного интеграла К. Доказана следующая

Теорема 9. При регулярных, то есть не принадлежащих бифуркационной диаграмме для отображения момента, (/г, к) совместная поверхность уровня Н и К случая Соколова на зо(3,1) имеет следующий тип:

1. Пустое множество при к > —а/г2 — /г — ^д2 и к < — пустое множество

1 - Анд2

при к >---, пустое множество при к > ^/г2 — /г + ад2;

2. Две двумерные сферы с четырьмя проколами каждая при к < —а/г2 —

Н-^д2, (М)^ (0,0) при <7^0;

3. Два двумерных тора при к > —а/г2 — /г — ^д2 и к < ^/¿2 — /г + ад2.

Основные понятия и определения

Определение 1. Симплектическое многообразие (М,си) - это гладкое 271-мерное многообразие М с заданной на нем невырожденной замкнутой 2-формой и, называемой симплектической формой.

Определение 2. Для любой гладкой функции Н на симплектическом мно-

гообразии (М, со) векторное поле косой градиент функции Н (обозначается sgrad iJ) определяется из следующего соотношения:

v(H) = u{v, sgrad Н),

где v - произвольное векторное поле на М.

Определение 3. Динамическая система на симплектическом многообразии М размерности 2п, соответствующая векторному полю sgrad Н, называется гамильтоновой системой с гамильтонианом Н и п степенями свободы. В локальных координатах (ж1, • • • ,х2п) на М она имеет вид

r)J-f

х1 = (sgrad И)1 = (^Г^,

где - матрица, обратная к матрице симплекгпической формы ш.

Определение 4. Скобкой Пуассона называется билинейная кососиммет-рическая операция на пространстве гладких функций на М, определяемая следующей формулой:

it \ f -i\Hdf д9 {/,ff} = (" * ,lr4hy

Гамильтонова система в терминах скобки Пуассона может быть записана следующим образом:

х* = {х\Н}.

Определение 5. Функция F называется (первым) интегралом гамильтоновой системы с гамильтонианом Н, если F постоянна вдоль интегральных траекторий этой системы.

Ясно, что F — первый интеграл тогда и только тогда, когда {F, Н} = О

Определение 6. Гамилътонова система на симплектическом многообразии М2п называется интегрируемой по Лиувиллю, если существует набор гладких функций /1, • • • /п ма М2п таких, что: V /ъ """ /п ~~ первые интегралы системы; /ь • • • ;/п функционально независимы на

М2 п

то есть почти всюду

на М2п их градиенты линейно независимы (точки, в которых градиенты линейно зависимы, называются особыми);

3) {/,;, } =0 для любых I и 2 от 1 до п;

4) векторные поля sgrad полны для всех г от 1 до п, т. е. естественный параметр на их интегральных траекториях определен на всей числовой прямой.

Теорема 1. (Лиувилля) Пусть V = sgrad^í - интегрируемая по Лиувиллю гамильтонова система на симплектическом многообразии М2п с интегралами /ь • ■ ■ ,/«. Тогда неособая (то есть не содержащая особых точек) связная компонента совместной поверхности уровня интегралов /1, • • • , /„ диффеоморфна Тк х где Тк - к-мерный тор.

Определение 7. Отображением момента для интегрируемой гамильто-новой системы с интегралами /1, ■ ■ • , /п называется отображение Е \ М —> Мп; заданное формулой -Р(ж) = (/\(х), • • ■ , /п(х)).

Определение 8. Пусть Г: X —» У дифференцируемое отображение многообразий. Отображение называется локально-тривиальным над точкой Уо £ У, если существует такая окрестность II точки уо в У, что диффеоморфно F~1(2/o) х и, и этот диффеоморфизм Ц) замыкает диаграмму

(Р2 - проекция па второй сомножитель)

Определение 9. Бифуркационным множеством, или бифуркационной диаграммой, Е отображения Р называется множество бифуркационных значений, то есть тех точек у 6 У, над которыми Р не является локально-тривиальным.

Определение 10. Точка х Е X называется критической для отобраэ/се-ния Р, если ранг дифференциала отображения Р в точке х не максимален. Критическими значениями называют образы критических точек при отображении Р.

Замечание 1. Критические значения принадлежат бифуркационной диаграмме.

Доказательство. Действительно, если точка х 6 X - критическая для отображения Р, то по определению ранг дифференциала отображения Р в точке х не максимален. С другой стороны, если отображение .Р локально-тривиально над точкой у = -Р(ж), то Р равнор2ов некой окрестности точки х. НоР20(Р - отображение постоянного ранга, равного размерности У. В критической же точке х ранг Р меньше, чем размерность У. □

Определение 11. Изоэнергетической поверхностью ф3 гамильтоновой системы с двумя степенями свободы называется поверхность уровня гамильтониана Н.

Определение 12. Слоение на М, образованное связными компонентами совместных поверхностей уровня интегралов f\, ■■ • , fn, называется слоением Лиувилля, соответствующим этой системе.

Пусть 0 - конечномерная алгебра Ли с базисом ... ,еп, а 0* - соответствующая коалгебра с дуальным базисом е1,..., еп, то есть ex(ej) = dj. Пусть xi,...,xn- аффинные координаты на0*, соответствующие базису ei, • • • , еп, а с^- - структурные константы алгебры Ли 0: [е^е^] = с^е^.

Определение 13. Скобка Пуассона-JIu на пространстве 0* задается следующей формулой:

где fug- гладкие функции на 0*. Определение 14. Уравнения

Х( - П} 1

задающие динамическую систему над*, где Н - гладкая функция (гамильтониан) на 0*; называются уравнениями Эйлера на коалгебре Лид*.

Они часто встречаются в механике и физике. Например, различные задачи о движении твердого тела задаются уравнениями Эйлера на коалгебре Ли е(3)*.

Определение 15. Функции, принадлежащие ядру скобки Пуассона-Ли, называются функциями Казимира.

Постановка задачи

Рассмотрим следующее семейство скобок Пуассона-Л и на пространстве М6:

где и В4- компоненты трехмерных векторов 3 и Я, - знак перестановки (123) —> (ijk)l а х- произвольное действительное число. При х > О (х = 1) получаем, что скобка соответствует алгебре Ли во(4), при х = 0 - алгебре Ли е(3), а при х < 0 (х = —1) - алгебре Ли яо(3,1). Функции Казимира:

Л^х^ + Д2, /2 = (5,Д>,

где (•, •) - скалярное произведение в М3.

Классические интегрируемые случаи на этом семействе алгебр Ли включают случаи Эйлера:

^ = (5,5),

Лагранжа: Ковалевской:

К = ~ аЯ^ 2 + ха2 (^Ч^ - «Дх) + (3г32 - аЯ2)2.

18

Здесь А - постоянная симметричная матрица, а, ¡3 - произвольные действительные параметры.

Рассмотрим гамильтонианы вида

где А - постоянная симметричная матрица, Ъ ф 0 - постоянный вектор, х -векторное произведение. Подобные гамильтонианы могут представлять интерес, например, в рамках модели Пуанкаре-Жуковского, описывающей движение твердого тела с эллипсоидальной полостью, заполненной вихревой жидкостью, см. работу А. Пуанкаре [21]. Другие возможные приложения квадратичных гамильтонианов обсуждаются в книге А. В. Борисова и И. С. Мамаева [22].

Новые интегрируемые случаи уравнений Эйлера с квадратичным гамильтонианом и интегралом четвертой степени на этом семействе алгебр Ли были найдены А. В. Борисовым, И. С. Мамаевым и В. В. Соколовым в работах [23, 24, 25]. Случай Соколова:

#1 = + + - 52ДЬ а

Кг = д3(х£2 - Я2) - аОЦ + + (-- а)Я\ , где Я = 5 х К

а а

Случай Борисова-Мамаева:

Н2 = {а- + 2аБ1 + а£| + 5^2 - ЗД,

К2 = 4а2б!¿>2 + ^^Яз ~ ЗДг) + + - 52Д2 , где Я = 5 х К

Можно считать, что х равно 1,-1 или 0. Действительно, замена В! = —4= Я

л/И

и а' = —при х ф 0, приводит нас к этому случаю.

Как известно (см., например, книгу В. В. Трофимова и А. Т. Фоменко [20]), ограничение скобки Пуассона-Ли на орбиты обтцего положения коприсоеди-ненного представления соответствующей группы Ли задает гамильтонову систему на — { (£>, Я) | /1(5, Я) = с, /2(5", Я) = д }, с ^ 0. В нашем случае можно считать, что с = ±1. Действительно, замена в = я = у/щя

приводит нас к этому случаю, при этом векторное полевдгайН просто умножается на \/|с[3. Здесь существенно, что гамильтониан является однородным. Поэтому в этой работе мы считаем, что с = 1.

Кроме того, следуя работе А. А. Ошемкова и Г. Хагигатдуста [27], без ограничения общности можно полагать, что д ^ 0, поскольку при замене

(¿>ъ ¿>2? <5з> Я2, Яз) —► (—¿>ъ ¿>з7 Ях, —Я2, —Яз)

/1, Н, К сохраняются, /2 меняет знак.

Далее можно считать, что о; > 0, так как замена ¿>1 —— ¿1, Д1 —> — Я\, а —а приводит нас к этому случаю.

Как и в работе А. А. Ошемкова и Г. Хагигатдуста [27], при х > 0 можно исследовать только случай 0 < а ^ так как ПРИ замене ¿>1

а —> — инварианты /1, /2 сохраняются, а гамильтониан и дополнительный а

интеграл меняют знак (что не влияет на топологию).

Под изучением системы мы понимаем исследование слоения Лиувилля, слоями которого являются связные компоненты совместных поверхностей уровня гамильтониана и дополнительного интеграла. Слоение Лиувилля случая Борисова-Мамаева нае(З) исследовано в работе П. Е. Рябова [11], где указанный случай назван случаем Соколова. Лиувиллево слоение интегрируемой системы Соколова на алгебре Ли во(4) описано в работе А. А. Ошемкова и

Г. Хагигатдуста [27], а также в работах Г. Хагигатдуста [28] и [29]. В настоящей работе мы будем изучать строение интегрируемого случая Соколова на оставшихся в указанном семействе некомпактных алгебрах Лие(З) и 8о(3,1).

Благодарности

Автор выражает глубокую благодарность А. Т. Фоменко и А. А. Ошемко-ву за постановку задачи, постоянное внимание и помощь. Кроме того, хотелось бы выразить признательность М. П. Харламову за ценные обсуждения и поддержку. Без помощи указанных людей эта работа никогда бы не была написана.

Глава 1

Случай Соколова на е(3)

1.1 Введение

В этой главе мы будем изучать строение интегрируемого случая Соколова на алгебре Ли е(3). Оказывается, что в исследуемом случае связные компоненты совместных поверхностей уровня гамильтониана и дополнительного интеграла могут быть торами или цилиндрами. Мы опишем топологию изо-энергетической поверхности гамильтониана (см. Теорему 2), бифуркационные диаграммы отображения, заданного гамильтонианом (см. Утверждение 1.2.3), и отображения момента (см. Теорему 5), индексы критических точек (см. Утверждение 1.5.1), а также совместные поверхности уровня гамильтониана и дополнительного интеграла (см. Теорему 6) для случая Соколова на е(3). Отметим также и то, что нам удалось доказать полноту полей sgrad Н и sgrad К, что является важным условием в теореме Лиувилля (см. параграф 1.6).

Изучаемый случай характерен тем, что, в отличие от большинства известных случаев, на бифуркационной диаграмме кроме критических значений

будут и некритические бифуркационные значения. Кроме того, большой интерес представляет и анализ перестроек случая Соколова на е(3), который мы тоже проводим (см. параграф 1.8).

В настоящей главе также исследовано, что происходит при ретракции с эо(4) на е(3) с бифуркационной диаграммой для отображения, заданного гамильтонианом (см. параграф 1.2), и для отображения момента (см. параграф 1.4). Оказывается, что в этих двух случаях бифуркационные диаграммы являются пересечением бифуркационных диаграмм, полученных при помощи предельного перехода, с образом соответствующего отображения (см. Замечания 3 и 5).

1.2 Бифуркационные значения гамильтониана

Бифуркационные значения гамильтониана - значения, являющиеся бифуркационными для отображения Н : —» М(/г). Критическими точками гамильтониана являются те точки, где косой градиент гамильтониана равен нулю.

Выпишем явно поле вдгаё, Я:

Я} = 2а,ЗД + БЛ - Я^з, Я} = 2сь52Д3 + ж&й - ЯЛ,

{52> Я} - —ад + йДз - Д25З, Я} = —^Дз + хЗД - Д2Д3, а а

{^з, Я} = -2(а + {Я3, Я} = -2(аД15'2 + -ЗД) + Я? + Щ-

а а

— — к Б2-

Можно убедиться, что при х = 1 (случай яо(4)*) мы получим в точности

формулы (5) из работы A.A. Ошемкова и Г. Хагигатдуста [27]. Приравняв нулю sgrad Н, получаем следующее

Утверждение 1.2.1. Для произвольного х ф —а2 критические точки гамильтониана образуют следующие двупараметрические семейства. При этом sgrad К в этих точках тоже равен нулю.

1) (0,0, ¿>з,0,0, Д3);

2) (0, S2,0, Дь 0), где R\ + Щ - xSf - 2aRlS2 = 0;

3) (0, ¿2, £з, ±y/>cS2, ±y/xSs) при х > 0;

2х

4) (5Ь 0,0, Яь Ä2,0), где Я2 + - xS?--= 0;

о;

2х

(«Si, 0,5з, гЬд/х^ь —Si, ±л/х5з) при х ^г 0.

а

Замечание 2. Утверждение 1.2.1 - это обобщение Предложения 1 из статьи A.A. Ошемкова и Г. Хагигатдуста [27].

Выпишем отдельно приведенные выше семейства для случаяе(3)* (к = 0):

1) (0,0,£з,0,0,Яз);

2) (0,52,0, Ru R2,0), где R\ + R\- 2aR1S2 = 0;

3) (0,^,53,2^,0,0);

4) (^,0,^3,0,0,0);

Мы изучаем систему на Mf поэтому надо добавить еще условия /i = 1, /2=9-

Рассмотрим, что будет происходить при ретракции so(4)* к е(3)*, то есть переходе к пределу при х —> +0. Нам понадобится переформулировать Предложение 2 из работы А. А. Ошемкова и Г. Хагигатдуста [27] для случая произвольного х > 0.

Утверждение 1.2.2. Для любого х > 0 критические точки гамильтониана на М1д перечислены ниже:

1) при всех О^д^ —-¡= имеются 4 точки вида

2 у/х

(О, О, о, О, /ад, где + Щ = 17 ЗД = д,

при этом Н = к — О;

^ при всех О^д^ —■= имеются 4 точки вида

2у/х

г a±J(x + a2)(l-4xg2) 1 1 . , 9ч

при этом п =-1--- и к = — (1 — 4xgz);

2х Аа

' х

3) при всех о >---- имеются 4 точки вида

(О, я 5„ 2а52, «к % = « = ^ +

4ог 4у/ха£

при этом К = — — (1 — 2у/хд) и к = —(1 — 4х^2); 4а 4а

4) при всех О ^ # < —-= имеются 4 точки вида

2 у х

S^IxSi ' " 1 2х |Цх + а2)'

, Т л/(Х + а2)(1 - 4^2) , а /1 , 2Л при этом а =--——7=- и к — —-—(1 — 4ха );

2yßca 4х у h

а2

5) при а > ^ 0-- имеются 4 точки вида:

7 У 2^/x(a2+2x)

/о г, о /—п t— п \ т п9 «2(1 — 2хр) дл/х(2а2 + 4х)

(Si, 0,53, л/xSi, — Su у/kSz), где S\ = , 2 и S2 = — у а 4хЛ 4xz

OL Oi

при этом h = (1 — 2л/xg) и к = ——(1 — 4хд2).

Посмотрим теперь, что происходит с этими точками при предельном переходе х —> +0.

1) эта серия критических точек сохраняется, lim ~ = +оо, поэтому для любого д ^ 0 получаем 2 критических точки вида (0,0, ±д, 0, 0, ±1), при этом

Н = к = 0;

1 /а2(1 — 4яд2) 1 1а2( 1 - 4яд2) 4«У + 1

2) Ьш--К/—^^—-г- = -|-оо, 1ш1--—г—^ =---,

' 2х у 4х2(а2 + х) ' х^+о 2х у 4х2(а2 + х) 4а2 '

а + л/(х + а2)(1 -4яд2) , а - л/(х + а2)(1 - 4х#2) Ьш ------ = +оо, Иш -—-—-1 =

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Новиков, Дмитрий Вячеславович, 2013 год

Литература

[1] Фоменко А.Т. Симплектнческая топология вполне интегрируемых га-мильтоновых систем // УМН. 1989. Т. 44, № 1(265). С. 145-173.

[2] Фоменко А.Т. Теория Морса интегрируемых гамильтоновых систем // Докл. АН СССР. 1986. Т. 287, № 5. С. 1071-1075.

[3] Фоменко А.Т. Топология поверхностей постоянной энергии некоторых интегрируемых гамильтоновых систем и препятствия к интегрируемости // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1986. Т. 50, № 6. С. 1276-1307.

[4] Фоменко А.Т. Теория бордизмов интегрируемых гамильтоновых невырожденных систем с двумя степенями свободы. Новый топологический инвариант многомерных интегрируемых систем // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1991. Т. 55, № 4. С. 747-779.

[5] Фоменко А.Т Топологический инвариант, грубо классифицирующий интегрируемые строго невырожденные гамильтонианы на четырехмерных симплектических многообразиях // Функц. анализ и его прил. 1991. Т. 25, № 4. С. 23-35.

/0 I- Ю2

[6] Фоменко А.Т., Цишанг X. О топологии трехмерных многообразий, возникающих в гамильтоновой механике // Докл. АН СССР. 1986. Т. 294, № 2. С. 283-287.

[7] Болсинов A.B., Рихтер П.Х., Фоменко А.Т. Метод круговых молекул и топология волчка Ковалевской // Матем. сб. 2000. Т. 191, № 2. С. 3-42.

[8] Харламов М.П. Топологический анализ интегрируемых задач динамики твердого тела. Ленинград: Изд-во ЛГУ, 1988.

[9] Болсинов A.B., Фоменко А.Т. Траекторная классификация геодезических потоков двумерных эллипсоидов. Задача Якоби траекторно эквивалентна интегрируемому случаю Эйлера в динамике твердого тела // Функц. анализ и его прил. 1995. Т. 29, № 3. С. 1-15.

[10] Ошемков A.A. Вычисление инвариантов Фоменко для основных интегрируемых случаев динамики твердого тела // Труды семинара по вект. и тенз. анализу. 1993. Т. 25. С. 23-109.

[11] Рябов П.Е. Бифуркации первых интегралов в случае Соколова // Теоретическая и математическая физика. 2003. Т. 134, № 2. С. 207-226.

[12] Болсинов A.B., Фоменко А.Т. Интегрируемые гамильтоновы системы. Геометрия, топология, классификация. Ижевск: РХД, 1999. С. т. 1, 2.

[13] Лепский Т.А. Неполные интегрируемые гамильтоновы системы с ком-лексным полиномиальным гамильтонианом малой степени // Матем. сб. 2010. Т. 201, № 10. С. 109-136.

[14] Bromberg S., Medina A. A note on the completeness of homogeneous quadratic vector fields on the plane // Qualitative Theory of Dynamical Systems. 2005. T. 6, № 2. C. 181-185.

[15] Москвин А.Ю. Топология особенностей дробно-рациональных интегрируемых систем, диссертация на соискание звания кандидата физико-математических наук. 2010.

[16] Новиков Д.В. Топологические особенности интегрируемого случая Соколова на алгебре Ли е(3) // Матем. сб. 2011. Т. 202, № 5. С. 127-160.

[17] Новиков Д.В. Топология изоэнергетических поверхностей для интегрируемого случая Соколова на алгебре Ли so(3,1) // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем. Мех. 2011. № 4. С. 62-64.

[18] Новиков Д.В. Топология новых интегрируемых случаев на алгебрах Ли so(4), so(3,1), and е(3) // Тезисы международной конференции по дифференциальным и функциональным дифференциальным уравнениям (DFDE). Москва, 2008. С. 110-111.

[19] Новиков Д.В. Топологические особенности новых интегрируемых случаев // Тезисы конференции «Александровские чтения». Москва, 2006.

[20] Новиков Д.В. Топологический анализ интегрируемого случая Соколова // Материалы конференции «Ломоносов-2011». Москва, 2011.

[21] Н. Poincare // Bull. Astr. 1910. Т. 27. С. 321-356.

[22] Борисов A.B., Мамаев И.С. Динамика твердого тела. Ижевск: РХД, 2005. С. 576.

[23] Борисов А.В., Мамаев И.С., В.В. Соколов. Новый интегрируемый случай на so(4) // Доклады РАН. 2001. Т. 381, № 5. С. 614-615.

[24] Соколов В.В. Об одном классе квадратичных гамильтонианов наэо(4) // Докл. РАН. 2004. Т. 394, № 5. С. 602-605.

[25] Соколов В.В. // Теоретическая и математическая физика. 2001. Т. 129, №1. С. 31-37.

[26] Трофимов В.В., Фоменко А.Т. Алгебра и геометрия интегрируемых га-мильтоновых систем дифференциальных уравнений. Москва-Ижевск: Факториал и изд-во Просперус Удмуртского ун-та, 1995.

[27] Хагигатдуст Г., Ошемков А.А. Топология слоения Лиувилля для интегрируемого случая Соколова на алгебре Ли so(4) // Матем. сб. 2009. Т. 200, № 6. С. 119-142.

[28] Хагигатдуст Г. Бифуркационная диаграмма некоторого класса гамильтонианов на алгебре so(4) // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех. 2005. № 6. С. 3-10.

[29] Хагигатдуст Г. Топология изоэнергетических поверхностей для интегрируемого случая Соколова на алгебре Ли so(4) // Докл. РАН. 2005. Т. 401, № 5. С. 599-602.

[30] Gordon W. On the Completeness of Hamiltonian Vector Fields // Proceedings of the American Mathematical Society. 1970. T. 26, № 2. C. 329331.

[31] Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений. Москва: УРСС, 2010.

[32] Гурвиц А., Курант Р. Теория функций. Москва: Наука, 1968.