Детерминированный хаос теплофизических параметров изотропной турбулентности тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.14, кандидат физико-математических наук Студенок, Сергей Игоревич

• Студенок, Сергей Игоревич
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Студенок, Сергей Игоревич

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РАЗВИТОЙ ИЗОТРОПНОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ В ВЯЗКОУПРУГОЙ ЖИДКОСТИ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

1.1. Уравнения движения вязкоупругой жидкости

1.2. Модель изотропных турбулентных пульсаций вязкоупругой слабо сжимаемой жидкости.

1.3. Нелинейная модель скорости турбулентной диссипации энергии. Градиент пульсаций скорости.2?

1.4. Переход к теории Колмогорова-Обухова.

1.5. Масштаб пространственных пульсации. Качественное соответствие с теорией Колмогорова-Обухова.

1.6. Пульсации температуры. турбулентная вязкость. коэффициент турбулентной теплопроводности.3е)

1.7. Пульсации плотности и тензора внутренних напряжений. Осредненныи градиент давления.

1.8. Гиперболическое уравнение для пульсаций скорости развитого изотропного турбулентного потока вязкоупругой жидкости с запаздыванием. Диссипативность системы.

1.9. Обсуждение и выводы к первой главе.

Глава 2. РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННЫХ РАСЧЕТОВ ХАРАКТЕРИСТИК РАЗВИТОГО

ИЗОТРОПНОГО ТУРБУЛЕНТНОГО ТЕЧЕНИЯ

2.1. Пульсации скорости на соответствующих пространственных масштабах. Корреляционная функция Впп(^)- Странный аттрактор. Жесткая турбулентность. т 2.2. Пульсации величины скорости турбулентной диссипации энергии и тензора внутренних напряжений

2.3. Пульсации температуры и плотности.

2.4. Количественное соответствие с теорией Колмогорова-Обухова.

2.5. Спектры мощности турбулентных пульсаций. Закон "пяти третей", "одной седьмой".

2.6. Бифуркационные диаграммы. Коэффициент перемежаемости.

2.7. Сценарий перехода к турбулентности.

2.8. Показатели Ляпунова, энтропия Колмогорова в анализе изотропного турбулентного течения. Свойство необратимости системы.

2.9. Коэффициент турбулентной диффузии. Расхождение двух аэрозольных частиц.

2.10. Обсуждение и выводы ко второй главе.

Глава 3. МОДЕЛЬ ДЕЛЬТА-ОБРАЗНОГО ХАРАКТЕРА ПУЛЬСАЦИЙ СКОРОСТИ.

ПЕРЕХОД К ДВУМЕРНЫМ ОТОБРАЖЕНИЯМ

3.1. Моделирование влияния срывов вихрей на динамику пульсаций скорости вязкоугтругой слабо сжимаемой жидкости.

3.2. Результат интегрирования на конечном временном интервале. Двумерное отображение.

3.3. Результаты расчетов двумерного отображения.

3.4. Обсуждение и выводы к третьей главе.

Глава 4. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ТЕОРИИ КАТАСТРОФ И ДЕТЕРМИНИРОВАННОГО ХАОСА К ДРУГИМ ЗАДАЧАМ

4.1. Двумерные отображения для нелинейного, ротатора с кусочно-постоянным коэффициентом затухания, возбуждаемого периодическими ударами.

4.2. Возникновение хаотических режимов при срывном флаттере на примере вязкоупругой балки.

4.3. Численные методы в анализе фазовых переходов в системе «жидкость-пар».

4.4. Коэффициенты моментов сопротивления свободно вращающегося диска и диска в кожухе при турбулентном режиме течения.

4.5. Обсуждение и выводы по четвертой главе.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Детерминированный хаос теплофизических параметров изотропной турбулентности»

Актуальность темы Большинство атмосферных явлений, таких как образование облаков, больших атмосферных вихрей (торнадо), движение аэрозольных частиц над большими городами тесно связаны с турбулентными пульсациями гидродинамических и теплофизических характеристик: скорости, давления, температуры и др. Это следует уже из того, что уравнения Рейнольдса [1], описывающие осредненные турбулентные потоки, содержат квадратичные моменты по пульсациям скорости (тензор турбулентных напряжений). Эти уравнения не могут быть разрешены без введения дополнительных эмпирических соотношений (проблема замыкания) [2]. Тем не менее, существует надежда, что для некоторых частных случаев турбулентных течений эта проблема может быть решена. И, прежде всего это касается изотропной турбулентности как наиболее простого типа турбулентного движения, которым характеризуется микроструктура подавляющего большинства реальных, неизотропных турбулентных потоков (локальная изотропность) [3].

Таким образом, построение математических моделей, описывающих временную и пространственную динамику флуктуаций (пульсаций) теплофизических и гидродинамических параметров изотропной турбулентности является на сегодняшний день одной из актуальнейших проблем теплофизики и теплотехники.

Цель работы

Целью работы являлось построение детерминированной математической модели изотропных турбулентных пульсаций теплофизических и гидродинамических параметров развитой турбулентнос!и, учитывающей вязкоупругие свойства и последействие турбулентной среды.

Согласно общей цели основными задачами настоящего исследования являются: ц 1. Построение системы уравнений движения вязкоупругой среды на основе уравнений Навье-Стокса и уравнения Максвелла.

2. Нахождение в рамках полученной системы уравнений одномерного нелинейного дифференциального уравнения (НДУ) для изотропных турбулентных пульсаций скорости в инерционном интервале вязкоупругой среды с запаздыванием; выражений для изотропных турбулентных пульсаций температуры, пространственного масштаба, плотности, скорости турбулентной диссипации энергии и компонент тензора внутренних напряжений.

3. Осуществление перехода от НДУ интегрированием к одномерному отображению, как одному из методов исследования в рамках нелинейной динамики.

4. Проведение численных расчетов одномерных моделей. Исследование свойств полученных хаотических решений для динамики турбулентных пульсаций гидродинамических и теплофизических параметров, сравнение результатов с экспериментальными данными.

Научная новизна и защищаемые положения

1. Обоснован и предложен новый подход к рассмотрению развитых турбулентных потоков с позиций вязкоупругих сред и получен критерий применимости такого подхода. Сделано обобщение уравнений Навье-Стокса на случай движения вязкоупругих сред и найдена соответствующая система дифференциальных уравнений второго порядка со временем релаксации внутренних напряжений. я

2. В рамках системы уравнений движения вязкоупругой среды предложены две математические модели, описывающие хаотические пульсации скорости в инерционном интервале изотропной турбулентной вязкоупругой среды с запаздыванием при больших числах Рейнольдса. Описано возникновение жесткой турбулентности, перемежаемости и гистерезиса.

Первая модель представляет собой одномерное НДУ второго порядка с переменным коэффициентом затухания в условиях периодического изменения осредненного градиента давления.

Вторая модель в виде одномерного отображения получается интегрированием одномерного НДУ на конечном временном интервале в предположении, что: а) возникновение (распад) турбулентных вихрей в рассматриваемом турбулентном потоке является периодическим во времени процессом, происходящим за времена много меньшие самого периода; б) время релаксации напряжений в турбулентной среде много меньше времени ретардации (времени запаздывания); в) осредненный градиент давления равен нулю.

Обе модели включают также выражения для изотропных турбулентных пульсаций температуры, пространственного масштаба, плотности, скорости турбулентной диссипации энергии и компонент тензора внутренних напряжений. Для второй модели предложены также, выражения, позволяющие рассчитать показатели Ляпунова, энтропию Колмогорова и время забывания начальных условий.

3. В рамках первой модели показано удовлетворительное количественное соответствие экспериментальным данным следующих теоретически полученных величин: а) периодов турбулентных пульсаций скорости; б) коэффициента турбулентной диффузии; в) корреляционной функции поперечных пульсаций скорости; г) коэффициентов моментов сопротивления, моментов силы сопротивления свободно вращающегося диска и диска в кожухе; д) спектров мощности турбулентных пульсаций, скорости и температуры. Для обеих моделей показывается, что изначально близкие фазовые траектории различных пульсационных характеристик экспоненциально расходятся за характерное время, что свидетельствует о забывании рассматриваемой системой начальных условий и о необратимости описываемых процессов в турбулентности.

Рассчитываются также корреляционная размерность диссипативного (странного) аттрактора, спектры пульсаций плотности и масштаба простран6 ственных пульсаций. Для одномерного НДУ разработаны алгоритмы построения бифуркационных диаграмм в зависимости от числа Рейнольдса и других управляющих параметров, что существенно расширяет метод нейтральных кривых применительно к развитому турбулентному течению.

4. Впервые для одномерной задачи предложена и теоретически обоснована нелинейная модель для мгновенной скорости турбулентной диссипации энергии в виде полинома четвертой степени по пульсациям скорости в инерционном интервале. Использование этой модели позволяет получить для развитой турбулентности законы Колмогорова-Обухова «одной трети» и «пяти третей», а также соотношения для интервала сильной диссипации, найденные ранее из соображений размерности. Теория позволила, в том числе определить константы в этих законах и соотношениях.

5. Установлено, что переход к развитой изотропной турбулентности в соответствии с предлагаемыми одномерными моделями происходит по сценарию Фейгенбаума посредством удвоения периода.

Теоретическая и практическая значимость

Предложенная в диссертационной работе система уравнений движения вязкоупругой среды может быть использована для расчета макроскопических (осредненных) параметров развитых изотропных турбулентных течений, для которых существенными являются их вязкоупругие свойства, а применимость уравнений Навье-Стокса в силу этого является ограниченной. Вытекающие из этой системы уравнений одномерные модели движения вязкоупругой среды, а также другие выражения могут быть применены к расчету изотропных турбулентных пульсаций скорости, плотности, температуры, пространственного масштаба, величины скорости турбулентной диссипации энергии и компонент тензора внутренних напряжений.

Заключение диссертации по теме «Теплофизика и теоретическая теплотехника», Студенок, Сергей Игоревич

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Обоснован новый подход к рассмотрению развитых турбулентных потоков с позиций вязкоупругих сред и получен критерий применимости такого подхода. Предложена система уравнений движения вязкоупругой среды на основе уравнений Навье-Стокса и уравнения Максвелла для тензора внутренних напряжений, которая позволяет описывать движения реологических сред с существенными вязкоупругими свойствами.

2. Найдено в рамках полученной системы уравнений движения вязкоупругой среды одномерное нелинейное дифференциальное уравнение (НДУ) второго порядка для изотропных турбулентных пульсаций скорости в инерционном интервале движений турбулентной среды с запаздыванием. Для развитой турбулентности в инерционном интервале предложены также выражения для изотропных турбулентных пульсаций температуры, пространственного масштаба, плотности, скорости турбулентной диссипации энергии и компонент тензора внутренних напряжений.

3. Осуществлен переход от НДУ интегрированием к одномерному отображению в целях наиболее полного исследования динамических характеристик турбулентного движения в рамках нелинейной динамики.

4. Установлено, что нормированные теоретические спектры мощности турбулентных пульсаций скорости и температуры, построенные по непрерывной модели, хорошо соответствуют экспериментальным спектрам, как по волновым числам, так и по спектральной плотности. Показано, что в случае однонаправленного характера пульсаций скорости энергетический спектр, построенный по итерациям одномерного отображения, является квадратичным, а при переходе к двунаправленным пульсациям спектр становится близким к колмогоровскому.

5. Получено соответствие с законами развитой турбулентности в теории Колмогорова-Обухова для инерционного интервала и интервала сильной диссипации. Вычислены константы в этих законах.

131

6. Установлено, что переход к развитой турбулентности по описываемой модели происходит по сценарию Фейгенбаума посредством удвоения периода.

Автор выражает благодарность к. ф.-м. н. Г. П. Быстраю, д. ф.-м. н. В. Г. Черняку и д. ф.-м. н. А. Ю. Зубареву за постоянное внимание, поддержку работы и обсуждение результатов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Студенок, Сергей Игоревич, 2004 год

1. Рейнольде О. Динамическая теория движения несжимаемой вязкой жидкости и определение критерия. В сб. «Проблемы турбулентности». Москва, 1936.

2. Фрик П. Г. Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. 4.2. Пермь, 1999.

3. Мопин А. С., Яглом А. М. Статистическая гидромеханика. 4.2. М.: Наука,1967.

4. Чу сов M. А. Релаксационные процессы в развитом турбулентном потоке. В кн. Турбулентные течения. М.: Наука, 1974.

5. Быстрой Г. П., Макаров Л. В., Шилин Г. Ф. Неравновесная термодинамика процессов горного производства. М.: Недра, 1991.

6. Алексеев Б. В. Физические основы обобщенной больцмановской теории газов// УФН. 2000. Т. 170. №6. С. 649-679.

7. Rivlin R. S. The solution of problems in second order elasticity theory// J. Ration. Mech. and Anal. 1953. V.2. P. 53-81

8. Moffat H. K. The degree of knottedness of tangled vortex lines// J. Fluid. Mech. V. 35. P. 117-129.

9. Grow S. C. Viscoelastic properties of fine grained incompressible turbulence// J. Fluid Mech. 1968. V. 33. Part 1.

10. Lumley J.L. Toward a turbulent constitutive relation// J. Fluid Mech. 1970. V. 41. Part 2. P. 413-425.

11. М.Лившиц E. M., Питаевский Л. П. Физическая кинетика. М.:Наука, 1979

12. Колмогоров А. Н. Локальная структура турбулентности в несжимаемой жидкости при очень больших числах Рейнольдса// ДАН СССР. 1941. Т. 30. №4. С. 299-303.

13. Обухов А. М. О распределении энергии в спектре турбулентного потокаИ ДАН СССР. 1941. Т. 32. №1. С. 22-24.

14. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория упругости. М.: Наука, 1965.

15. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986.

16. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.Наука, 1969.

17. Schubauer G. В. Skramstad H. К. Laminar boundary layer oscillations and stability of laminar flow// JAS. 1947. V. 14. P. 69-68.

18. Наймарк О. Б. Неравновесные структурные переходы как механизм турбулентности// ПЖТФ. 1997. Т. 23. № 12. С. 81-86.

19. Ширяева С. ОГригорьев О. А. О капилярном движении вязкоупругой жидкости с заряженной свободной поверхностью// ЖЭТФ. 2000. Т. 70. Вып. 8. С. 39-44.

20. Бадмаев Б. Б., Лайдабон Ч. С., Дерягин Б. В, Базарон У. В.// ДАН СССР. 1992. Т. 322. №2. С. 307-311.

21. Базарон У. Б., Дерягин Б. В., Булгадаев А. В. Измерения сдвиговой упругости жидкостей и их граничных слоев резонансным методом//ЖЭТФ. 1966. Т. 51, С. 969-982.

22. Дамдинов Б. Б. Исследование вязкоупругих свойств жидкостей акустическим методом при частоте 40 кГц. Автореферат канд. дис. в Акустическом институте им. H. Н. Андреева, Москва, Россия. 2000.

23. Рагимханов Г. Б. Релаксация плазмы СОР в гелии высокого давления. Тезисы ВНКСФ-7. Екатеринбург-Санкт-Петербург, 2001. С. 362-364.

24. Чепмен Д. Р. Вычислительная аэродинамика и перспективы ее развития: Драйденовская лекция// Ракетная техника и космонавтика. 1980. Т. 18. № 2. С. 3-32.

25. Хинце И. О. Турбулентность. М.: Физматгиз, 1963.

26. Lin С. С. On the stability of two-dimensional parallel flows// Quart. Appl. Math. 1962. V. 3.P. 117-142.

27. Meksyn D. New methods in laminar boundary layer theory. Pergamon Press, London, 1961.

28. Климоитович Ю. Л. Турбулентное движение и структура хаоса. М.: Наука, 1990.

29. Foias С., Prodi G. Sur le comportement global des solutions non stationnaires des equations de Navier-Stokes en dimension deux// Rend. Sem. Mat. Univ. Padova. 1967. V. 39. P. 1-34.

30. Foias C. Manley O. P., Temam R., Treve Y. Asymptotic analysis of the Navier-Stokes equations//Physica D9. 1983. P. 157-188.

31. Студенок С. И., Быстрой Г. П. Моделирование пульсаций скорости и их пространственного масштаба при изотропной турбулентности. Тезисы ВНКСФ-7. Екатеринбург-Санкт-Петербург. 2001. С. 330-333.

32. Быстрой Г. П., Студенок С. И. Математическое моделирование развитой изотропной турбулентности. Тезисы Первой Всероссийской научной internet-конференции «Компьютерное моделирование в естественных и технических науках». Вып.1. Тамбов. 2001. С. 29-35.

33. Студенок С. И. Численное решение модельного уравнения Навье-Стокса для изотропной турбулентности. Материалы XXXIX Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс». Новосибирск. 2J001. С.159-160.

34. Taylor G. I. Statistical theory of turbulence, Parts 1-4// Proc. Roy. Soc. London A. 1935. V. 151. P. 421-478.

35. Пригожмн И. P. От существующего к возникающему. M.: Наука, 1985. 327 с.

36. Павлов С. В. Методы теории катастроф в исследовании фазовых переходов. М.: МГУ, 1993.

37. Быстрой Г. П. Детерминированный хаос при химических реакциях в межфазном слое при высоких температурах// ТВТ. 2004. Т.42. №1. С. 91-104.

38. Гилмор Р. Прикладная теория катастроф. Т. 1-2. М.: Мир, 1984.

39. Климонтович Ю. Л. Статистическая теория открытых систем. Т. 1,2. М.: Янус-К, 1999.

40. Моисеев Математика ставит эксперимент. М.: Наука, 1979.

41. Хакен Г. Синергетика. М.: Мир, 1985.

42. Гершуни Г. 3. Гидродинамическая неустойчивость. Изотермические течения// СОЖ. 1997. № 2. С. 99-106.

43. Майстренко B.JL, Майстренко Ю.Л., Сушко И.М. Бифуркационные явления в генераторах с линиями задержки // Радиотехника и электроника. 1994. Вып. 8-9. С. 1367-1380.

44. Обухов A.M. О распределении энергии в спектре турбулентного потока // Изв. АН СССР. Сер. геогр. и геофиз. 1941. Т. 5. № 4-5. С. 453.

45. Вулис Л. А., Кашкаров В. П. Теория струй вязкой жидкости. М.: Наука, 1965.

46. Gohen M. J. Two-dimensional gas jets// J. Appl. Mech. (Trans. ASME, Ser. E). E27. 1960. N20. P. 603-608.

47. Сorrsin S., Uberoi M. S. Further experiments on the flow and heat transfer in a heated turbulent air jet// NACA Report. 1950. N 998.

48. Schlichting H. Zur Entstehung der Turbulenz bei der Plattenströmung// Nachr. Ges. Göttingen. 1933. P. 182-208.

49. Олдройт Д. Г. Неньютоновские течения жидкостей и твердых тел. В кн. Реология: теория и приложения. М.: Наука, 1962. С. 757-793.

50. Колмановский В. Б. Уравнения с последействием и математическое моделирование// СОЖ. 1996. № 4. С. 122-127.

51. Hall A. A., Hislop G. S.// ARC RM. 1938.

52. Шустер Г. Детерминированный хаос. Введение. М.: Мир, 1988.

53. Заславский Г. М. Стохастичность динамических систем. М.: Наука, 1984.

54. Лоренц Э. В кн. Странные аттракторы. М.: Наука, 1981. С. 88-116.

55. Ruelle D., Takens F. On the nature of turbulence// Comm. Math. Phys. 1971.1. V. 20. P. 167.

56. Субботин В. И, Ибрагимов M. X., Таранов Г. С., Гусаков В. И. Особенности гидродинамики труб с регулярной искусственной шероховатостью стенок. Сб. Турбулентные течения. М.: Наука, 1977. С. 64-79.

57. Быстрой Г. П., Студенок С. И., Иванова С. И. Детерминированная модель гомофазных и гетерофазных флуктуаций в системе "жидкость-пар"// ТВТ. 2002. Т. 40. N5. С. 779-785.

58. Быстрой Г. П., Студенок С. И., Иванова С. И. Детерминированный хаос при фазовых переходах I рода в системе жидкость пар. ТВТ, 2003 г., т. 41, №4, с. 579-586.m

59. Быстрой Г. П. Математическое моделирование развитой турбулентности// Сб. научных трудов XXX Уральского семинара по неоднородным конструкциям. УрО РАН. Миасс. 2000. С. 73-78

60. Берже Г., Помо ИВидаль К Порядок в хаосе. О детерминистском подходе к турбулентности. М.: Мир, 1991.

61. Хорстхемке В., Лефевр Р. Индуцированные шумом переходы. М.:Мир 1987.

62. Taylor G. I. The statistical theory of isotropic turbulence// J. Aeronautic. Sci. V.4, N 8. P. 311-315.

63. Ыалинецкий Г. Г., Курдюмов С. П. Нелинейная динамика и проблемыпрогноза// Вестник РАН 2001. Т. 71. №3. С. 210-232.

64. Pond, S., Phelps G. Т., Paquin J. E., MacBean G. and Stewart R. W. Measurements of the turbulent fluxes of momentum, Moisture and Sensible Heat over the Ocean//Journal of Atmos. Sciences. 1971. V. 28. P. 901 917.

65. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1970.

66. Струминский В. В. Проблемы устойчивости ламинарных потоков и перехода в турбулентные течения// Сб. Турбулентные течения. М.: Наука, 1970. С. 11-22.

67. Ландау Л. Д. К проблеме турбулентности ДАН СССР, 1944. Т. 44, №8, с.339.342.

68. Лихтенберг А., Либерман М Регулярная и стохастическая динамика. М.: Мир, 1984.

69. Feigenbaum М. J. Quantitative universality for a class of nonlinear transformations//J. Stat. Phys. 1978. V. 19. P. 25-52.

70. Manneville P., Pomeau Y. Intermittent transition to turbulence in dissipative dynamical systems//Physica ID. 1980. V. 219. P. 189

71. Gollub J. P., Benson S. V. Many routes to turbulent convection// J. Fluid Mech. 1980. V. 100. P. 449.

72. Prandtl L. Bericht uber undersuchungen zur ausgebildeten turbulent// Z. Angew. Math. Mech. 1925. V. 5. P. 136-139.

73. Шубауэр Г.Б., Чен КМ. В кн. Турбулентные течения и теплопередача. М.:ИЛ, 1963.

74. Andrew К.Я Amer. J. Phys. 1984. V. 52. №6. P. 492.

75. Taylor G.I. Diffusion by continuous movements// Proc. Lond. Math. Soc.1921. V. 20. P. 196-212.

76. Мирабель А. П. О роли нелокальных взаимодействий в формировании спектра пассивной примеси в двумерной турбулентности. В кн. «Этюды о турбулентности». М.: Наука, 1994.

77. Er-EL, Peskin R. L Relative diffusion of constant-level balloons in the

78. Southern Hemisphere.// J. Atmos. Sci. 1981. V. 38. N 10. P. 2264-2274.

79. Соболев С. Л. Локально-неравновесные модели процессов переноса// УФН. 1997. Т. 167. № 10. С. 1095-1106.

80. Быстрой Г.П., Студенок СЛ. Двумерные отображения для нелинейного ротатора с кусочно-постоянным коэффициентом затухания, возбуждаемого периодическими ударами// Изв-я ВУЗ: ПНД. 2002. Т. 10. N 6. С. 24-34.

81. Студенок СЛ., Быстрой Г.П. Возникновение хаотических режимов при срывном флаттере на примере вязкоупругой цилиндрической балки// Труды двенадцатой межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи». Самара, 2002. С 170-173.

82. Белоцерковский О. М, Опарин А. М. Численный эксперимент в турбулентности, от порядка к хаосу. М.:Наука, 2000.

83. Колесниченко А. В., Маров М. Я. Турбулентность многокомпонентных сред. М.: Наука, 1998.

84. Быстрой Г. П., Студенок С. И, Иванова С. И. Детерминированная модель гомофазных и гетерофазных флоуктуаций в системе "жидкость-пар"// ТВТ. 2002. Т. 40. N5. С. 779-785.

85. Быстрой Г.П. О механизме возникновения хаотических режимов в динамике конструкций (на примере выпуклой балки)// Сб. научн. труд. XXX Уральского семинара "Неоднородные конструкции". Миасс: УрО РАН, 2000. С. 85.

86. Анищенко В. С., Нейман А. Б., Мосс Ф. и др. Стохастический резонанс как индуцированный шумом эффект увеличения степени порядка// УФН. 1999. Т. 169, N1. С. 8.

87. Юшмонтович Ю. Л Что такое стохастическая фильтрация и стохастический резонанс?//УФН. 1999. Т. 169, N 1. С.39.

88. Пановко Я. Г., Губанова И. И. Устойчивость и колебания упругих систем.1. М.: Наука, 1978.

89. Holmes P. J. A nonlinear oscillator with a strange attractor// Phil. Trans Roy.

90. Soc. London, Ser. A. 1979. V. 292. P. 419-448.

91. Быстрой Г .П., Студенок С. И. Показатели Ляпунова и энтропия Колмогорова в анализе изотропного турбулентного течения. Труды Международной научной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения». Самара, 2002. С. 35-40.

92. Bystrai G. P., Ivanovo S. /., Studenok S. I. Deterministic chaos in an interphase layer of a liquid-vapor system// International Journal of Bifurcation and Chaos. 2004. V.14. N 10 (принято к печати).

93. Stanley Н. Е. Introduction to Phase Transitions and Critical Phenomena. Oxford: Clarendon press, 1971.

94. Martinov G. А. Проблема фазовых переходов в статистической механике// УФН. 1999. № 6. С. 595-624.

95. Cochran V. The flow due to a rotating disk// Proc. Cambr. Phil. Soc. 1934. V. 30. P. 365 375.

96. Theodorson Th., Regier A. Experiments on drag of revolving discs, cylinders, and streamline rods at high speeds.// NACA Rep. 1944. №793.

97. Goldstein S. On the resistance to the rotation of a disk immersed in a fluid// Proc. Cambr. Phil. Soc. 1935. V. 31. Part. 2. P. 232.

98. Schults-Grunov F. Der Reibupgseiderstand rotierender Scheiben in Gehausen.// ZAMM. V. 15. P. 191-204.