Теория вывода в многозначных логиках тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 09.00.07, кандидат философских наук Комендантский, Владимир Евгеньевич

• Комендантский, Владимир Евгеньевич
• кандидат философских наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат философских наук Комендантский, Владимир Евгеньевич

Введение

1 Истинностно-функциональные семантики

§1 Семантика голосования.

§2 Переранд омизирующая семантика.

§3 Семантика сходства.

§4 Семантика рисков, или диалоговая семантика.

§5 Семантика допустимости.

§6 Рассуждения в теории меры.

§7 Семантика приближений.

§8 Импликация

§9 Отрицание.

2 Формализация многозначных логик

§1 Логика высказываний.

§2 Логика первого порядка.

§3 Алгебра.

§4 Вывод.

§5 Логика отмеченных формул.

§6 Секвенциальные и табличные исчисления

§7 Резолюция

3 Функциональный анализ многозначных логик

§1 Основные понятия.

§2 Критерии полноты и 5-полноты.

§3 Предикатная характеризация ^-замкнутых классов.

4 Метод резолюций для смешанной логики Поста

§1 Смешанная логика Поста PostL.

§2 Резолюция для PostL.

§3 Замечания

5 Теорема Чена

§1 Идеалы, отношения конгруэнтности и проблема представления

§2 Линейно упорядоченные MV-алгебры.

§3 Упорядоченная абелева группа G[c].

§4 Применение к бесконечнозначной логике Лукасевича.

6 Метод резолюций на основе теоремы представления дистрибутивных решёток с операторами

§1 Дуальность по Пристли.

§2 Модели, основанные на дуале Пристли.

§3 Автоматическое доказательство теорем.

§4 Канонические расширения.

7 Эффективное доказательство теорем в логиках Лукасевича

§1 Логика Лукасевича и линейная алгебра.

§2 Первый метод проверки общезначимости.

§3 Второй метод.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Теория вывода в многозначных логиках»

Многозначные логики появились в 20-х годах XX века в работах Поста и Лукасевича. Несколько позднее было предложено ещё несколько многозначных логик, таких как логика Бочвара, логики Гёделя, логика Клини. Интересный библиографический экскурс в многозначные логики можно найти в [7]. Изобретение этих логик было мотивировано разными задачами. Так, Лукасевич и Бочвар исходили из философских предпосылок, вводя третье значение в свои логики для формализации неполного или противоречивого знания; Пост и Гёдель руководствовались более техническими соображениями, когда обобщали классическую логику в n-значных системах; Клини же просто искал удобный формализм для анализа понятия частично определённой рекурсивной функции. Однако все эти логики объединяет важная отличительная особенность: в них ме-татеоретически заложена концепция, которую называют истинностной функциональностью. Согласно ей, всякое высказывание имеет некоторое значение истинности, и это значение может быть однозначно вычислено некоторой заранее определённой функцией по значениям входящих в это высказывание подвысказываний. Так, в случае конъюнкции А А Б высказываний А и В искомой функцией будет некоторая функция /д от значения А и значения В.

Если логика истинностно-функциональна, это непосредственно означает существование метода вычисления значения истинности для любого высказывания, записанного на языке этой логики. В этом состоит привлекательная в техническом смысле сторона многозначных логик: по любой формуле можно легко сказать, что она «значит». Сохраняется ли эта привлекательяость многозначных логик в теории вывода? К сожалению, нет, поскольку с ростом числа истинностных значений растёт и то внимание, которое им приходится уделять, а в это время падает эффективность рассуждений.

Что же в таком случае делать, если возникают задачи, требующие многозначного решения? Отказаться от истинностной функциональности и перейти в другую концепцию? Как следует из данной работы, этого делать не нужно, поскольку полученные в ней результаты позволяют эффективно строить выводы, оставаясь в рамках концепции многозначности.

Степень разработанности проблемы. В нашей стране было получено большое количество результатов в области многозначных логик. Среди них можно особо отметить следующие: вычисление Яблонским всех пред-полных классов функций для трехзначной логики Поста в 1954 году, а также нескольких классов для случая k ^ 4 значений в 1958 году; доказательство существования к-значных замкнутых классов функций, не имеющих конечного базиса, для к > 2, найденное Яновым и Мучником в 1959 году (см. [30]); определение функциональных свойств логик Лукасевича Финном [4] в 1970 году; получение метода аксиоматизации произвольных конечнозначных логик Аншаковым и Рычковым [1] в 1982 году; установление Карпенко [9] связи импликации Лукасевича с классами простых чисел в 1999 году; построение Косовским и Тишковым [17] секвенциальных исчислений для классов конечнозначных логик в 2000 году. Также можно указать оригинальное доказательство полноты бесконечнозначной логики Лукасевича относительно реляционных семан-тик с тернарным отношением достижимости, полученное Васюковым в [88]. За рубежом многозначная логика в наше время является сложной разветвлённой отраслью науки. Многие работы общетеоретического характера публикуются не отдельными авторами, а коллективами авторов, например, статья по секвенциальным исчислениям с метками для конечнозначных логик [36] или монография по алгебраическим основаниям многозначных логик [46].

Актуальность темы диссертации. Сегодня для бесконечнозначных логик не существует хорошо обоснованной теории доказательств, хотя для конечнозначных логик табличные исчисления без сечений были построены ещё Руссо [80] в 1967 году. Некоторые исчисления для бесконечнозначных логик Лукасевича всё же определяются в литературе, например, Агуц-цоли и Чиабаттони [31] в 2000 году строят секвенциальное исчисление для бесконечнозначной логики, опирающееся на идею Мундичи о сводимо-^ сти проблемы разрешимости с бесконечнозначной логики на подходящий класс конечнозначных логик, и, следовательно, основанное на исчислениях для конечнозначных логик. В 2001 году Софрони-Стоккерманс [85] :' предложила метод доказательства теорем для большого класса многознач

Г - . ных логик, основанный на теореме представления алгебр истинностных значений. Кроме своей эффективности, этот метод интересен ещё и тем, что в нём посредством структур Крипке устанавливается соответствие между многозначными и модальными логиками. К сожалению, метод [85] неприменим к ряду широко распространённых бесконечнозначных логик. Данный метод исследован в диссертации, и на основе этого исследования w сделан вывод о возможности его обобщения на класс бесконечнозначных логик на основе подходящей теоремы представления алгебр истинностных значений.

Цель диссертационного исследования — формирование единого подхода к теории вывода многозначных логик на основе изучения их семантик и исчислений.

Предмет исследования — это логические семантики различных видов, логические исчисления для многозначных логик, теории, в которых формализована концепция многозначности, и модели таких теорий.

Методы исследования. В работе используется логическая техника, как традиционная, например, секвенциальные логические исчисления, так и нетрадиционная: исчисления с «отмеченными формулами», S-классификация замкнутых классов функций многозначных логик, дуальные многозначным семантикам топологические модели. Автором работы вводится оригинальный метод на основе исчисления резолюций для доказательства теорем в многозначных логиках с линейно упорядоченными множествами истинностных значений.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, семи глав, заключения, приложения и списка литературы.

Заключение диссертации по теме «Логика», Комендантский, Владимир Евгеньевич

Основные результаты работы и положения, выносимые на защиту:

• Определена специфика теории вывода в многозначных логиках, а именно определено, что решающей является связь логических исчислений с конкретными истинностно-функциональными семантиками, и суть эффективных выводов в многозначной логике состоит в нахождении упрощённых аналогов исходных семантических конструкций. Последняя задача реализована в главе б для класса многозначных логик, основанных на дистрибутивных решётках с операторами.

• В главе 4 получено корректное исчисление резолюций для всего класса конечнозначных логик Поста. Этот метод служит схемой для создания аналогичных методов для других классов конечнозначных логик с линейно упорядоченными множествами истинностных значений. В теореме 4.3 доказана корректность данного исчисления, в доказательстве использовались лемма об основных дизъюнкциях литералов 4.1 и лемма подъёма 4.2.

• В главе 6 в теоремах 6.11 и 6.12 получены результаты о мощности и границах применимости резолютивных методов поиска доказательства теорем на основе теорем представления к первопоряд-ковым многозначным логикам. В доказательстве этих результатов использовались теоремы Герке—Пристли 6.9 и 6.10 о незамкнутости бесконечно порождённых многообразий MV-алгебр относительно канонических расширений, теоремы Софрони 6.1, 6.2 и 6.7 и теорема Чена 5.20 о полноте бесконечнозначной логики Лукасевича относительно MV-алгебр.

Научная новизна работы состоит в том, что в ней

• предпринята попытка целостного философского анализа феномена символических систем многозначных логик;

• проведена существенная работа по систематизации и упорядочению знаний о многозначных логиках, их свойствах, интерпретациях и приложениях в науке, в этих целях, в частности, впервые в русскоязычной литературе указаны многие результаты современной зарубежной логики из области многозначных логик;

• использован ряд принципиально новых подходов к многозначным логикам, таких как подход на основе теорем представления для алгебр истинностных значений многозначных логик, подход к построению исчислений многозначных логик на основе «отмеченных формул»;

• получен ряд логико-математических результатов в теории доказательств многозначных логик, в частности, результаты о мощности и границах применимости резолютивных методов поиска доказательств теорем к первопорядковым многозначным логикам.

Теоретическая значимость работы обусловлена обобщённым характером полученных результатов. Например, предлагаемый в работе метод резолюций для смешанной логики Поста является схемой для построения подобных методов для широкого класса многозначных систем. Кроме того результаты работы позволяют сформулировать ряд открытых проблем в области теории вывода многозначных логик, благодаря чему можно оценить сравнительное состояние исследований в этой отрасли логики относительно других логических дисциплин.

Практическая значимость работы следует из прикладного характера той области, в которой проводится диссертационное исследование. С самого возникновения многозначные логики имели ясные семантики. Благодаря лёгкости задания интерпретаций и большому количеству разнообразных интерпретаций многозначные логики давно используются не только в академической деятельности, но и в промышленности и производстве. Они имеют множество инженерных приложений, а также они применимы в программировании задач из разных сфер практической деятельности. Теоретическая база, заложенная в диссертации, является необходимым условием для создания эффективных приложений на основе многозначных логик и внедрения этих приложений в производственные сферы. Особенного внимания с точки зрения практической значимости заслуживают результаты о бесконечнозначной логике Лука-севича. На основе этой логики строятся многие из т.н. нечётких логик, имеющих приложения в разнообразных задачах управления, например, в задачах управления сложными процессами, не имеющими простых математических моделей, таких как нелинейные процессы, а также в задачах обработки баз знаний, сформированных языковыми данными, полученными от экспертов. Приведём для наглядности некоторые промышленные реализации систем управления на основе нечётких логик: производство полупроводников (Canon), оптимизирование автобусных расписаний (Toshiba), система архивации документов (Mitsubishi Electric), система раннего предсказания землетрясений (Ин-т сейсмологии, Япония), диагностика раковых заболеваний (Kawasaki), распознавание написанных от руки текстов карманными компьютерами (Sony), однокнопочная система управления для стиральных машин (Matsushita, Hitachi), ядерные реакторы повышенной безопасности (Hitachi, Bernard), симуляция судебных разбирательств (ун-т г. Нагоя, Япония).

Апробация работы. Результаты работы докладывались автором на заседаниях научно-исследовательского семинара логического центра ИФ РАН, а также на следующих научных конференциях:

• Смирновские чтения 3, сектор логики ИФ РАН, 2001 г.;

• Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке, СПбГУ, 2002 г.;

• 14th European Summer School for Logic, Language and Information, Тренто, Италия, 2002 г.;

• Смирновские чтения 4, сектор логики ИФ РАН, 2003 г.;

• Summer School and Workshop on Proof Theory, Computation and Complexity, Дрезден, Германия, 2003 г.

Исследования, проведённые в диссертации, и полученные в ходе них результаты позволяют сформулировать список открытых проблем для дальнейших изысканий в области многозначных логик:

1. Найти альтернативные естественные истинностно-функциональные семантики n-значных логик Поста.

2. Построить классификации 5-предполных классов связок известных многозначных логик.

3. Найти точную сложностную меру метода резолюций для смешанной логики Поста, предложенного в главе 4.

4. Построить аналогичный метод резолюций для смешанной логики Лукасевича.

5. Реализовать метод автоматического поиска доказательств теорем смешанных логик в компьютерной программе.

6. Доказать полноту суперлукасевичевой логики Ls относительно непредставимой алгебры Чена С.

7. Построить метод резолюций для логик, имеющих топологические дуалы с тернарными отношениями.

8. Построить внутреннее исчисление (т.е. без отмеченных формул) для нечётких и релевантных логик.

Два последних пункта задают основное направление будущих исследований. В диссертации на основе исследования конкретных резолютивных исчислений были сформулированы предпосылки для создания общей теории вывода для обширного класса логик, включающего в себя все нечёткозначные и релевантные логики. На этом пути построение общего метода резолюций — это, так сказать, программа-минимум, а построение внутреннего исчисления — соответственно, программа-максимум.

Благодарности. Я выражаю свою глубочайшую признательность моим родителям Евгению Петровичу и Зое Владимировне Комендантским, оказывавшим мне поддержку во время написания этой диссертации. Хочу поблагодарить коллектив сектора логики ИФ РАН за предложения по улучшению текста диссертации, а также рецензента, оставшегося анонимным, за внесение поправок в рассуждения главы 4.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат философских наук Комендантский, Владимир Евгеньевич, 2003 год

1. О. М. Аншаков и С. В. Рынков. О многозначных логических исчислениях // Семиотика и информатика, 19:90-117, 1982.

2. Н. Белнап. Как нужно рассуждать компьютеру // Н. Белнап, Т. Стил. Логика вопросов и ответов, стр. 208-239. М., 1981.

3. Г. Биркгоф. Теория решёток. М.: Наука, 1984.

4. Д. А. Бочвар и В. К. Финн. О многозначных логиках, допускающих формализацию анализа антиномий I // Исследования по математической лингвистике, математической логике и информационным языкамстр. 238-295. М.: Наука, 1972.

5. Э. Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал-Пресс, 2001.

6. А. С. Карпенко. Фактор-семантика для бесконечнозначной логики Лукасевича // Неклассические логики, стр. 20-26. М.: ИФАН, 1985.

7. А. С. Карпенко. Многозначные логики, Вып. 4 из серии Логика и компьютер. М.: Наука, 1997.

8. А. С. Карпенко. Классификация пропозициональных логик // Логические исследования, Вып. 4, стр. 107-133. М.: Наука, 1997.

9. А. С. Карпенко. Характеризация классов натуральных чисел посредством логических матриц // Труды семинара логического центра ИФ РАН, Вып. XIV, стр. 217-225. М.: ИФРАН, 1999.

10. В. Е. Комендантский. 3-значные изоморфы классической логики // Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке. Материалы VI Общероссийской научной конференции, стр. 199-200. СПбГУ, Июнь 2000.

11. В. Е. Комендантский. Незнание в логиках знания // Смирновские чтения. III международная конференция, стр. 135-136. М.: ИФ РАН, Май 2001.

12. В. Е. Комендантский. OTTER и доказательство рефлексивности импликации // Труды семинара логического центра ИФ РАН, Вып. XV, стр. 57-60. М.: ИФ РАН, 2001.

13. В. Е. Комендантский. Метод резолюций в смешанной логике Поста // Труды семинара логического центра ИФ РАН, Вып. XVI, стр. 64-74. М.: ИФ РАН, 2002.

14. В. Е. Комендантский. Об игровой семантике бесконечнозначной логики Лукасевича // Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке. Материалы VII Общероссийской научной конференции, стр. 245. СПбГУ, Июнь 2002.

15. В. Е. Комендантский. Теорема представления Пристли и метод резолюций в многозначных логиках / / Логические исследования, Вып. 10. М.: Наука, 2003. В печати.

16. П. Кон. Универсальная алгебра. М.: Мир, 1968.

17. Н. К. Косовский и А. В. Тишков. Логики конечнозначных предикатов на основе неравенств. СПбГУ, 2000.

18. Я. Лукасевич. Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики. М. ИЛ, 1959.

19. Р. Мак-Нотон. Теорема о бесконечнозначной логике высказываний // Кибернетический сборник, 3, 1961.

20. С. С. Марченков. S-классификация функций многозначной логики // Дискретная математика, 9(3):125—152, 1997.

21. С. С. Марченков. Замкнутые классы булевых функций. М.: Наука, 2000.

22. С. С. Марченков. S-классификация функций трёхзначной логики. М.: Физматлит, 2001.

23. А. А. Набёбин. Логика и Пролог а дискретной математике. М.: МЭИ, 1996.

24. Нгуен Ван Хоа. О структуре самодвойственных замкнутых классов трёхзначной логики Рз // Дискретная математика, 4(4):82-95,1992.

25. Е. Расёва и Р. Сикорский. Математика метаматематики. М.: Наука, 1972.

26. А. В. Чагров. Логика, не являющаяся ни конечно-значной, ни бесконечно-значной // Труды семинара логического центра ИФ РАН, Вып. XIV, стр. 59-67. М.: ИФ РАН, 2000.

27. Ч. Чень и Р. Ли. Математическая логика й автоматическое доказательство теорем. М.: Мир, 1983.

28. Л. Л. Эсакиа. Доказуемостные интерпретации интуиционистской логики // Логические исследования, Вып. 5, стр. 19-24. М.: Наука, 1998.

29. С. В. Яблонский. Введение в дискретную математику. М.: Наука, 1986.

30. Ю. И. Янов и А. А. Мучник. О существовании fc-значных замкнутых классов, не имеющих базиса // Доклады АН СССР, 127(1):44-46,1959.

31. S. Aguzzoli и A. Ciabattoni. Finiteness in infinite-valued logic // Journal of Logic, Language and Information, 9(l):5-29, 2000.

32. О. Anshakov и S. Rychkov. On finite-valued propositional logical calculi // Notre Dame Journal of Formal Logic, 36(4):606-629, 1994.

33. A. Avron. Natural 3-valued logics — characterization and proof theory // Journal of Symbolic Logic, 56(l):276-294, 1991.

34. М. Baaz и С. G. Fermiiller. Resolution based theorem proving for many-valued logics // Journal of Symbolic Computation, 19(4):353-391, 1995.

35. M. Baaz, C. G. Fermiiller, G. Salzer, и R. Zach. Labeled calculi and finite-valued logics // Studia Logica, 61:7-33, 1998.

36. G. Beavers. Automated theorem proving for Lukasiewicz logics // Studia Logica, 52(2):183-196, 1993.

37. N. D. Belnap. A useful four-valued logic /J Modern uses of multiple-valued logic. Редакторы J. M. Dunn и G Epstein, стр. 8-37. Reidel, Dordrecht, 1977.

38. A. D. C. Bennett, J. B. Paris, и A. Vencovska. A new criterion for comparing fuzzy logics for uncertain reasoning // Journal of Logic, Language, and Information, 9(l):31-63, 2000.

39. S. Burris и H. P. Sankappanavar. A course in universal algebra. The Millenium edition. 2000. Доступна в интернете.

40. С. Chang и R. С. Lee. Symbolic logic and mechanical theorem proving. Academic Press, 1973.

41. С. C. Chang. Algebraic analysis of many valued logics // Trans. Amer. Math. Soc., 88:467-490,1958.

42. J. Chazarain, A. Riscos, J.A. Alonso, и Б. Briales. Multivalued logic and Groebner bases with applications to modal logic / / Journal of Symbolic Computation, 11:181-194, 1991.

43. A. Ciabattoni, D. M. Gabbay, и N. Olivetti. Cut-free proof systems for logics of weak excluded middle // Soft Computing—A Fusion of Fouondations, Methodologies and Applications, 2(4):147-156, 1999.

44. R. Cignoli и D. Mundici. An elementary proof of Chang's completeness theorem for the infinite-valued calculus of Lukasiewicz // Studia Logica, 58:79-97, 1997.

45. R. L. O. Cignoli, I. M. L. D'Ottaviano, и D. Mundici. Algebraic foundations of many-valued reasoning, Вып. 7 из серии Trends in logic. Kluwer, Dordrecht, 1999.

46. R. Dyckhoff. A deterministic terminating sequent calculus for Godel-Dummett logic // Logic Journal of the IGPL, 7(3):319-326, 1999.

47. H. Ganzinger и V. Sofronie-Stokkermans. Chaining techniques for automated theorem proving in finitely-valued logics. // Proceedings of the 30th ISMVL, стр. 337-344, Portland, Oregon, May 2000. IEEE Computer Society, IEEE Computer Society Press.

48. M. Gehrke и J. Harding. Bounded lattice expansions // Journal of Algebra, 238:345-371, 2001.

49. M. Gehrke и H. A. Priestley. Non-canonicity of MY-algebras j j In Houston Journal of Mathematics, 2002. в печати.

50. G. Gentzen. Untersuchungen iiber das Logische SchlieBen // Mathematische Zeitschrift, 39:176-210, 405-431, 1935.

51. R. Giles. Lukasiewicz logic and fuzzy set theory j j International Journal of Man-Machine Studies, 8:313-327, 1976.

52. R. Giles. A utility-valued logic for decision making // International Journal of Approximate Reasoning, 2:113-141, 1988.

53. M. L. Ginsberg. Multi-valued logic // Computational Intelligence, 4(3), 1988.

54. R. Hahnle. Towards an efficient tableau proof procedure for multipple-valued logics // Selected papers from computer science logic, CSL '90, Heidelberg, Germany. Ред. E. Borger и др., Вып. 553 из серии LNCS, стр. 248-260. 1991.

55. R. Hahnle. Automated theorem proving in multiple-valued logics. International Series of Monographs on Computer Science. Oxford University Press, 1994.

56. R. Hahnle. Commodious axiomatization of quantifiers in multiple-valued logic // Proc. 26th International Symposium on Multiple- Valued Logics, стр. 118-123, Los Alamitos, May 1996. IEEE Press.

57. R. Hahnle. Tableaux for many-valued logics // Handbook of Tableau Methods. Ред. M. D'Agostino и др., стр. 529-580. Kluwer, Dordrecht, 1999.

58. P. H£jek. Metamathematics of fuzzy logic, Вып. 4 из серии Trends in Logic: Studia Logica Library. Kluwer, Dordrecht, 1998.

59. P. Hajek и J. Paris. A dialogue on fuzzy logic // Soft Computing—A Fusion of Foundations, l(l):3-5, 1997.

60. P. Halmos. Algebraic logic I. monadic Boolean algebras // Compositio Math., 12:217-249, 1955.

61. J. P. Hayes. Pseudo-Boolean logic circuits // IEEE Transactions on Computers, C-35(7):602-612, 1986.

62. E. Hisdal. Are grades of membership probabilities? // Fuzzy Sets and Systems, 25:325-348, 1988.

63. V. Ye. Komendantsky. Resolution for mixed Post logic // Proc. 4th ESSLLI Student Session, Trento, August 2002. University of Trento.

64. V. Ye. Komendantsky. On automated theorem proving by means of representation theory in Lukasiewicz logics // Smirnov's Readings. 4-th International Conference, стр. 78-79, Moscow, May 2003. IPhRAS.

65. J. Lawry. A voting mechanism for fuzzy logic // International Journal of Approximate Reasoning, 19:315-333, 1998.

66. J. Lukasiewicz. О logice tr6jwartosciowej // Ruch Filozoficzny, 5:169171, 1920.

67. D. Mundici. Satisfiability in many-valued sentential logic is NP-complete

68. Theoretical Computer Science, 52:145-153, 1987.

69. J. B. Paris. A semantics for fuzzy logic // Soft Computing, 1:143-147, 1997.

70. J. B. Paris. Semantics for fuzzy logic supporting truth functionality. //с

71. Discovering the world, with fuzzy logic. Ред. V. Novak, Вып. 57 из серии Stud. Fuzziness Soft Comput., стр. 82-104. Heidelberg: Physica-Verlag, 2000.

72. J. Pavelka. On fuzzy logic I: Many-valued rules of inference // Zeitschrift fiir mathematische Logik und Grundlagen der Matematik, 25:45-72, 1979.

73. J. Pavelka. On fuzzy logic II: Enriched residuated lattices and semantics of propositional calculi // Zeitschrift fiir mathematische Logik und Grundlagen der Matematik, 25:119-134, 1979.

74. J. Pavelka. On fuzzy logic III: Semantical completeness for some many-valued propositional calculi // Zeitschrift fiir mathematische Logik und Grundlagen der Matematik, 25:447-464, 1979.

75. W. A. Pogorzelski. The deduction theorem for Lukasiewicz many-valued propositional calculi // Studia Logica, 15:7-23, 1964.

76. E. L. Post. Introduction to a general theory of elementary propositions // American Journal of Mathematics, 43(4): 163-185, 1921.

77. E. L. Post. Two-valued iterative systems of mathematical logic, Выл. 5 из серии Annals of Math. Studies. Princeton Univ. Press, 1941.

78. A. Prijatelj. Bounded contraction and Gentzen-style formulation of Lukasiewicz logics // Studia Logica, 57(2-3)-.437-456, 1996.

79. F. P. Ramsey. Truth and probability // The foundations of mathematics and other logical essays, стр. 156-198. Routledge and Kegan Paul, London, 1931.

80. A. Rose и J. B. Rosser. Fragments of many-valued statement calculi // Transactions of the American Mathematical Society, 87:1-53, 1958.

81. G. Rousseau. Sequents in many-valued logic I // Fundamenta Mathematicae, LX:23-33, 1967.

82. E. H. Ruspini. On the semantics of fuzzy logic // International Journal of Approximate Reasoning, 5:45-88, 1991.

83. F. Schick. Dutch bookies and money pumps // Journal of Philosophy, 83:112-119, 1986.

84. V. Sofronie-Stokkermans. Duality and canonical extensions of bounded distributive lattices with operators, and applications to the semantics of non-classical logics I // Studia Logica, 64(1):93-132, 2000.

85. V. Sofronie-Stokkermans. Duality and canonical extensions of bounded distributive lattices with operators, and applications to the semantics of non-classical logics II // Studia Logica, 64(2):151-172, 2000.

86. V. Sofronie-Stokkermans. Automated theorem proving by resolution for finitely-valued logics based on distributive lattices with operators // Multiple-Valued Logic — An International Journal, 5(4)-.289-344, 2001.

87. A. Urquhart. Many-valued logic // Handbook of Philosophical Logic. Редакторы D. Gabbay и F. Guenthner, Вып. Ill: Alternatives in Classical Logic, глава 2, стр. 71-116. Reidel, Dordrecht, 1986.

88. V. L. Vasyukov. The completeness of the factor semantics for Lukasiewicz's infinite-valued logics // Studia Logica, 52:143-167, 1993.

89. R. Wdjcicki. Theory of logical calculi. Reidel, Dordrecht, 1988.