Логика с операторами истинности и ложности и ее соотношение с логиками Лукасевича, Клини, Белнапа и Вригта тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 09.00.07, кандидат философских наук Павлов, Сергей Афанасьевич

• Павлов, Сергей Афанасьевич
• кандидат философских наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат философских наук Павлов, Сергей Афанасьевич

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ЛОГИКА С ОПЕРАТОРАМИ ИСТИННОСТИ И

ЛОЖНОСТИ

§ 1. Основные содержательные положения логики с операторами истинности и ложности

§2. Формулировки логики с операторами истинности и ложности

§3. Металогические свойства логики FL4 с оператором ложности

§3.1 Теорема дедукции

§3.2 Интерпретация языка логики FL4.

§3.3 Непротиворечивость и семантическая полнота логики FL

§4. Двухуровневый подход и одноуровневая формулировка логики FL

ГЛАВА 2. СООТНОШЕНИЕ ЛОГИКИ FL4 С ЛОГИКАМИ БЕЛНАПА, ВРИГТА, КЛИНИ, ЛУКАСЕВИЧА И КЛАССИЧЕСКОЙ ЛОГИКОЙ В РАМКАХ ЯЗЫКА ЛОГИКИ FL

§ 1. Соотношения FL4 с четырехзначными логиками логикой истины Вригта, 4-значной логикой Белнапа)

§2. Расширение области определения операторов утверждения, отрицания, противоречий и тавтологий.

§3. Подлогики логики FL4 и их соотношение с логиками Клини, Лукасевича, Бочвара, паранепротиворечивыми логиками Асенхо, Приста, Сетте классической пропозициональной логикой.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Логика с операторами истинности и ложности и ее соотношение с логиками Лукасевича, Клини, Белнапа и Вригта»

Во введении обосновывается актуальность темы исследования, характеризуется степень ее разработанности, формулируются цель и задачи работы, ее теоретико-методологические основы, выделяются положения, характеризующие новизну исследования и положения, выносимые на защиту.

Актуальность темы.

На рубеже XX-XXI веков проблематика, связанная с исследованием концепций истинности, продолжает оставаться одной из центральных для логики, философии и методологии науки.

Парадоксы, обнаруженные в основаниях теории множеств (Б.Расселом и другими), затронули и классическую концепцию истины, восходящую к Аристотелю. Подразделение известных парадоксов на логические и семантические было предложено Ф.Рамсеем.

Начало XX века характеризуется активной исследовательской работой в области как оснований математики, так и логики. При этом были подвергнуты критике традиционные законы логики (Л.Брауэр, Н.Васильев, Я.Лукасевич, К.Льюис). Эти исследования, а также ряд проблем, возникших в связи с семантическими парадоксами, привели к созданию неклассических логик и новых подходов к концепции истины.

Современный подход к теории истины обычно связывают с семантической теорией истины Тарского. В ней А.Тарский предложил общий метод построения формально корректного определения понятия «быть истинным предложением» для ряда формализованных языков.

Обнаруженные А.Тарским проблемы, связанные с определением истины для «достаточно богатых» языков, побуждали исследователей искать новые пути развития концепции истины. Интересные, многообещающие и оригинальные подходы содержатся в работах С.Крипке, Н.Белнапа, фон Вригта. Идея Н.Васильева о различении логики и металогики, то есть двухуровневых логик, продолжала развиваться в работах А.Арруды, В.А.Смирнова. К ней примыкает идея Д.Бочвара о различении внешних и внутренних связок. Идеи С.Крипке связаны как с использованием частично определенного предиката истины, так и с семантикой возможных миров.

Один из подходов к проблеме истинности и ложности, позволяющий выявить целый ряд важных аспектов этой проблемы, связан с использованием многозначных логик. Начало такому подходу положено Д.Бочваром.

Задачи, поставленные в связи с разработкой и применением искусственного интеллекта, которые имеют отношение к обрабатываемой информации и поэтому актуальные для развития современных компьютерных систем, заставляют по-новому взглянуть на проблемы истинности и ложности.

Существует ли определение термина «истинное предложение»? Несмотря на многочисленные исследования в этой области, до сих пор актуальным остается проблема рассмотрения термина «истинное предложение» в общем случае. Это по-прежнему открытый вопрос, на который не получен общепризнанный ответ. Определение предиката истины имеется только для ряда частных случаев формализованных языков.

Этот вопрос может быть поставлен иначе: «Как употребляются в языке понятия истинности и ложности?», или в более формальном виде:

Как употребляются в языке логики понятия истинности и ложности?».

Таким образом, обоснование и построение логики с операторами истинности и ложности, учитывающей и содержательно и формально основные положения и следствия вышеуказанных концепций и логик, представляется вполне актуальным.

Степень разработанности проблемы.

Как уже отмечалось выше, исследование проблемы истины восходит своими корнями к античности. Так, уже софистами в античности был сформулирован в числе других парадокс лжеца. Подход к определению истины у Аристотеля задал ее понимание и стал доминирующим в последующие века. В начале XX века в логике и математике были открыты новые типы парадоксов, существенным образом затронувших основные положения наивной теории множеств, заставившие по-новому взглянуть на проблему истины и сыгравшие важную роль в развитии логики (в первую очередь - логико-семантических исследований и неклассических логик).

Новый этап в исследовании и развитии концепции истины связан с теорией истины Тарского [37], сразу ставшей классической. В ней А.Тарский установил, что существенными предпосылками, приводящими к семантическим антиномиям, являются:

I) семантически замкнутый язык,

II) допущение, что в этом языке действуют обычные законы логики.

Поэтому, чтобы не допустить появления парадоксов, он принял решение не пользоваться семантически замкнутым языком. Вместо последнего он использовал два разных языка - объектный язык и метаязык. Объектный язык он предложил отделить от метаязыка, тем самым сделав невозможным появление семантических парадоксов типа парадокса лжеца.

Сам А.Тарский утверждал, что основной результат его исследования заключается в следующем: необходимое условие для удовлетворительного определения истины в метаязыке состоит в том, что метаязык должен «быть существенно богаче» объектного языка. В случае невыполнения этого условия термин «истинно» необходимо включить в список неопределяемых терминов метаязыка, а фундаментальные свойства понятия истины задавать аксиоматически.

Многие исследователи согласились с тем, что при проведении логических исследований необходимо различать объектный язык и метаязык, и, в дополнение к этому, логики этих двух типов языков могут быть разными. Идея двух уровней логики была намечена уже Н.Васильевым.

Различные пути построения концепции истины могут быть классифицированы в зависимости от того, какие логики принимаются для объектного языка и метаязыка, а также какой подход был избран: дефинициальный или аксиоматический.

Поскольку формулы языка логики, как содержащие, так и не содержащие семантические предикаты, могут рассматриваться как классически так и неклассически, то имеется 4 варианта их рассмотрения. Перечислим эти варианты, записывая предложение «Формулы языка логики, не содержащие семантические предикаты, рассматриваются классически» сокращенно как «не семантические - классически» и т.д.

1) семантические - классически, не семантические - классически.

2) семантические - классически, не семантические - неклассически.

3) семантические - неклассически, не семантические - классически.

4) семантические - неклассически, не семантические - неклассически.

Теория истины Тарского может быть отнесена к первому варианту, к нему же относится концепция Гупта-Херцбергера.

О втором варианте имеет смысл говорить, когда для формул объектного языка применяется неклассическая логика, а для формул метаязыка - классическая логики. Такая трактовка метаязыка была принята в той или иной форме рядом логиков. Она обнаруживается в трехзначной логике Лукасевича для формул с модальными операторами Np и Мр; в логике Бочвара для формул hp и ~7р: в формализованной А.Аррудой логике Васильева VI для формулы -.р; в системе интенсионального следования Войшвилло для формул метаязыка Тр/а и Fp/а; в метатеории логик первопорядкового следования Попова для формул метаязыка Tip и Fip; в логиках истины фон Вригта для формулы Тр; в комбинированном исчислении высказываний и событий Смирнова для формулы 9р в системе СМ.

Из многозначных интерпретаций для логик, принимающих такую трактовку метаязыка, выделим четырехзначные интерпретации. Так, фон Вригт для логики истины принимает четыре значения («univocally true», «univocally false», «true and false», «neither true nor false»). В исследованиях по искусственному интеллекту Н.Белнап в статье «Как нужно рассуждать компьютеру» предлагает оценивать поступающую в компьютер информацию в терминах истины и лжи, используя четыре оценки: только истинно, только ложно, оба (и то и другое), ни одно (ни то, ни другое), обозначенные как Т, F, В, N. Для двух последних значений имеются определенные аналогии с пресыщенными оценками и истиннозначными провалами в семантике для концепции возможных миров.

Отмечается также, что в индийской логике имеется традиция рассматривать тезис с четырех сторон (чатушкотика), как, например, в знаменитом вопросе к Будде «Мир или вечен, или невечен, или вечен и невечен, или ни вечен, ни невечен?».

Таким образом, идеи логик с четырехзначной интерпретацией и сходными по смыслу значениями истинности имеются как у древних, так и у современных мыслителей, как на Востоке, так и на Западе. Подобные логики могут предназначаться для рассуждений как естественного, так и искусственного интеллекта.

В подходе Крипке-Фефермана-Гилмора допускается использование предиката истины как частично определенного; формулы языка логики, не содержащие семантических предикатов, рассматриваются ими классически, чем реализуется третий вариант.

К четвертому варианту относятся логические системы IM, IHW построенные В.А.Смирновым в комбинированном исчислении высказываний и событий.

В исследованиях Е.Д.Смирновой, использующей семантику возможных миров, рассматриваются по отдельности все четыре указанных выше варианта.

Особенностью исследуемой в диссертации логики, называемой FL4, является то, что операторы истинности и ложности включены в объектный язык исчисления, в отличие от подходов, требующих отделения терминов, имеющих метаязыковое происхождение, от языка-объекта. Логика FL4 характеризуется также и тем, что в ней классическая логика применима к высказываниям, префиксированным операторами истинности и ложности, а к произвольным высказываниям применима неклассическая логика. Тем самым предлагаемая в диссертации логика с операторами истинности и ложности рассматривается в рамках второго варианта, при этом учитываются и другие подходы.

Подчеркнем, что построенное в диссертации исчисление является вариантом логики, а не теории или концепции истины. Эта логика может быть использована в различных концепциях истины.

Цели и задачи исследования.

Основная цель данной работы состоит в построении и исследовании логики с операторами истинности и ложности, в сопоставлении полученной логики и ее подлогик с рядом известных логик, таких, как логика Белнапа и фон Вригта, трехзначные логики Клини, Лукасевича, Бочвара, паранепротиворечивые логики Асенхо и Приста, классическая логика, а также в сопоставлении содержательных и философских предпосылок вышеупомянутых логик.

Эта цель конкретизируется в следующих задачах:

- Обсудить и сформулировать основные содержательные предпосылки и положения логики с операторами истинности и ложности;

- построить логическое исчисление FL4 с операторами истинности и ложности;

- исследовать металогические свойства логики FL4, включая ее дедуктивные свойства, интерпретацию, непротиворечивость и семантическую полноту;

- исследовать соотношение логики FL4 с логиками истины фон Вригта, с четырехзначной логикой Белнапа;

- исследовать соотношения подлогик логики FL4 с трехзначными логиками

Клини, Лукасевича, Бочвара, с паранепротиворечивыми логиками Асенхо, Приста, с классической логикой.

Теоретико-методологические основания исследования.

Среди конкретных методов, использованных для решения поставленных задач, отметим методы построения и исследования логических исчислений: аксиоматический метод, табличный и алгебраический методы построения семантик, предложенное диссертантом обобщение метода Кальмара для доказательства семантической полноты.

Используется двухуровневый подход в соответствии с идеями Н.Васильева и А.Тарского. Исходные операторы и связки могут классифицироваться на внешние и внутренние, как у Д.Бочвара. Предикаты истинности и ложности содержательно рассматриваются как частично определенные как у С.Крипке, при этом выделяется ограниченная область, в которой они являются классическими, посредством введения ограничения на область их определения. Особенностью исследуемой в диссертации логики является то, что операторы истинности и ложности включены в объектный язык исчисления и допускают итерацию так же, как это имеет место в логиках истины фон Вригта.

В логико-философской литературе XX века активно обсуждались различные аспекты проблемы истинности. Особенно значимыми для проводимого исследования оказались методологические подходы и результаты следующих отечественных и зарубежных исследователей, изложенные в статьях и монографиях: Анисова A.M., Бирюкова Б.В., Боч-вараД.А., Бродского И.Н., Васильева Н.А., Войшвилло Е.К., Карпенко А.С., Попова В.М., Сидоренко Е.А., Смирнова В.А., Смирновой Е.Д., Финна В.К., БарвайсаД., БелнапаН., фон Вригта, ДаннаД., КлиниС., Крипке С., Лукасевича Я, Рассела Б., Тарского А.

Основные положения, выносимые на защиту.

В диссертации получены следующие научные результаты:

- сформулированы основные содержательные положения логики с операторами истинности и ложности;

- построена логика FL4 с операторами истинности и ложности, в которой можно корректно оперировать не только с двузначными высказываниями, но также с высказываниями, принимающими другие значения (в частности с высказываниями, содержащими противоречивую и неполную информацию);

- выявлены металогические свойства логики FL4: доказана теорема дедукции, найдена адекватная интерпретация для языка логики FL4 с 4-мя истинностными значениями: Т - строгая истинность (истинно и не ложно), F - строгая ложность (ложно и не истинно), С (В) - противоречивость (истинно и ложно), I (N) - индифферентность (ни истинно, ни ложно), доказана теорема непротиворечивости для логики FL4, доказана теорема семантической полноты для логики FL4;

- исследованы соотношения логики FL4 с логиками истины фон Вригта, показано, что одна из его логик истины, а именно - T"LM функционально эквивалентна FL4; с четырехзначной логикой Белнапа, построено определение импликации для логики Белнапа;

- исследованы соотношения подлогик логики FL4 с трехзначными логиками Клини, Лукасевича, Бочвара, с паранепротиворечивыми логиками Асенхо, Приста, с классической логикой; показано, что под-логика FL3N логики ложности FL4 функционально эквивалентна трехзначной логике Лукасевича, а также логике Клини со связками в сильном смысле, обогащенной связкой полной эквивалентности.

Научная новизна исследования.

В диссертации впервые в отечественной литературе последовательно и систематически реализуется формальный подход к исследованию операторов истинности и ложности.

Новизна подхода заключается во введении операторов истинности и ложности, свойства которых задаются в работе аксиоматически, непосредственно в объектный язык логики. В этой связи диссертантом было сделано следующее:

- построено новое исчисление, реализующее содержательные предпосылки логики с операторами истинности и ложности;

- впервые проведены формальные различия истинности и строгой истинности, ложности и строгой ложности,

- построена новая семантика для языка логики FL4, характеризующаяся тем, что она не является решеткой;

- для доказательства теоремы семантической полноты для логики FL4 обобщен метод Кальмара;

- предложено определение импликации для логики Белнапа;

- новыми являются установленные взаимосоотношения подлогик логики

FL4 с трехзначными логиками Клини, Лукасевича, Бочвара, функциональная эквивалентность логики FL3N трехзначной логике Лукасевича и логике Клини со связками в сильном смысле, обогащенной связкой полной эквивалентности;

- для паранепротиворечивых логик Асенхо и Приста показано, что в языке логики FL3B возможны эквивалентные указанным логикам формулировки, для которых имеются адекватные интерпретации с одним выделенным значением.

Теоретическая и практическая значимость работы.

Результаты диссертационного исследования позволяют совершить новый важный шаг в теоретическом развитии ряда направлений современной логики и философии и представляют интерес как для философов, работающих в области логики, философии и методологии науки, так и для представителей специально-научных областей знания.

Результаты диссертационного исследования могут быть использованы при разработке некоторых фундаментальных разделов общих курсов логики, а также ряда специальных курсов по логике.

Материалы диссертации были использованы автором при чтении лекций и проведении семинарских занятий на философском факультете МГУ и на философском факультете Государственного университета гуманитарных наук.

Результаты проведенных исследований применимы также в области информационных систем и искусственного интеллекта.

Апробация работы.

Диссертация обсуждалась и была рекомендована к защите на заседании сектора логики Института философии РАН.

Основные идеи диссертации отражены в публикациях и статьях, выступлениях на научных конференциях, симпозиумах и конгрессах, как российских так и международных.

Отдельные идеи и результаты диссертационного исследования докладывались на научно-исследовательском семинаре логического центра Института философии РАН, на объединенном научно-исследовательском семинаре сектора логики Института философии РАН и кафедры логики философского факультета МГУ, на научных конференциях, в частности на следующих:

2-й Советско-Финский коллоквиум по логике (Москва, 1979 г.),

X Всесоюзная конференция по логике, методологии и философии науки (Минск, 1990 г.),

XI международная конференция по логике, философии и методологии науки (Обнинск, 1995 г.),

Международная конференция "Смирновские чтения" (Москва, 1997 г.)

Международная конференция "Развитие логики в России: Итоги и перспективы" (Москва, 1997 г.),

Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке. Материалы Y Общероссийской научной конференции (С-Петербург, 1998 г.),

2 Международная конференция "Смирновские чтения". (Москва, 1999 г.),

Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке. Материалы VI Общероссийской научной конференции (С-Петербург, 2000 г.),

Некоторые из диссертационных задач разрабатывались в рамках исследовательского проекта, поддержанного РГНФ, грант № 99-03-00120.

Структура диссертации.

В соответствии с целью, задачами и характером исследования была выбрана следующая структура работы: введение, две главы, заключение и список литературы.

Заключение диссертации по теме «Логика», Павлов, Сергей Афанасьевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключении подводятся итоги проделанной работы, указывается ее научная новизна, теоретическая и практическая значимость, намечаются перспективы дальнейших исследований по данной теме. Перечислим полученные научные результаты.

В диссертации впервые в отечественной литературе последовательно и систематически реализуется формальный подход к исследованию операторов истинности и ложности. сформулированы основные содержательные, семантические и философские положения логики с операторами истинности и ложности.

Новый подход заключается во введении операторов истинности и ложности непосредственно в объектный язык логики, в отличие от подходов, требующих отделения терминов, имеющих метаязыковое происхождение, от языка-объекта. В этой связи диссертантом было сделано следующее:

- построено новое исчисление, реализующее содержательные предпосылки логики с операторами истинности и ложности;

- построена логика FL4 с операторами истинности и ложности; в которой можно корректно оперировать, в дополнение к двузначным высказываниям, с высказываниями, содержащими противоречивую и неполную информацию.

- выявлены металогические свойства логики FL4: доказана теорема дедукции, построена новая семантика для языка логики FL4, отличающаяся тем, что она не является решеткой. найдена адекватная интерпретация для языка логики FL4 с четырьмя истинностными значениями: Т - строгая истинность (истинно и не ложно), F - строгая ложность (ложно и не истинно), С (В) противоречивость (истинно и ложно), I (N) - индифферентность (ни истинно, ни ложно). проведены формальные различия операторов истинности и строгой истинности, ложности и строгой ложности; доказана теорема непротиворечивости для логики FL4; доказана теорема семантической полноты для логики FL4 для доказательства теоремы семантической полноты для логики FL4 обобщен метод Кальмара;

- исследованы соотношения логики FL4 с логиками истины фон Вригта, показано, что одна из логик истины, а именно T"LM функционально эквивалентна FL4; с четырехзначной логикой Белнапа,

- новым является построенное определение импликации для логики

Белнапа;

- найдены взаимосоотношения подлогик логики FL4 с трехзначными логиками Клини, Лукасевича, Бочвара, функциональная эквивалентность подлогики FL3N, логики ложности трехзначной логики Лукасевича и логики Клини со связками в сильном смысле, обогащенной связкой полной эквивалентности; показано, что логика Бочвара функционально эквивалентна логике Клини со связками в слабом смысле, обогащенной связкой полной эквивалентности; для паранепротиворечивых логик Асеньо и Приста показано, что в языке подлогики FL3B возможны эквивалентные указанным логикам формулировки, для которых имеются адекватные интерпретации с одним выделенным значением.

Рассмотренные соотношения, отметим, полученные без дополнительных предположений, между рассмотренными неклассическими трехзначными логиками, построенными авторами из весьма несхожих соображений, возможно, свидетельствуют о более глубокой связи этих логик между собой, чем их формальное выражение.

Теоретическая и практическая значимость работы состоит в следующем.

Результаты диссертационного исследования позволяют совершить новый важный шаг в теоретическом развитии ряда направлений современной логики и философии и представляют интерес как для философов, работающих в области логики, философии и методологии науки, так и для представителей специально-научных областей знания.

Результаты диссертационного исследования могут быть использованы при разработке некоторых фундаментальных разделов общих курсов логики, а также ряда специальных курсов по логике.

Материалы диссертации были использованы автором при чтении лекций и проведении семинарских занятий на философском факультете МГУ и на философском факультете Государственного университета гуманитарных наук.

Результаты проведенных исследований имеют практическое применение в области информационных систем и искусственного интеллекта.

Построенная логика FL4 с операторами истинности и ложности и результаты ее исследования открывают новые перспективы дальнейших исследований. Намечаются темы для разработки в следующих областях: классификация логик в рамках логики FL4, исследование алгебры для этого исчисления, нахождение условий применимости различных логик, формулировки законов логики с различными операторами, построение и исследование исчислений с предикатами истинности и ложности.

Список литературы диссертационного исследования кандидат философских наук Павлов, Сергей Афанасьевич, 2000 год

1. Анисов A.M. Семантика неопределенности // Логические исследования. Выпуск 4, М., 1997. С.271-289.

2. Аншаков О.М. J-логики и соответствующие им классы алгебр //Логические исследования. Вып. 5. М., 1998. С.25-52.

3. Аншаков О.М., Рычков С.В. Об одном способе формализации и классификации многозначных логик // Семиотика и информатика. Вып. 23. М., 1984. С.78-106.

4. Арруда А. Воображаемая логика Васильева // Васильев Н.А. Воображаемая логика. Избранные труды. М. 1989.

5. Белнап Н. Как нужно рассуждать компьютеру // Белнап Н., Стил Т. Логика вопросов и ответов, М., 1981.

6. Бочвар Д.А. Об одном трехзначном исчислении //Математический сборник. 1938. Т.4. N2.

7. Бродский И.Н. Отрицательные высказывания, Ленинград, 1973.

8. Васильев Н.А. Воображаемая логика (конспект лекции) // Васильев Н.А. Воображаемая логика. Избранные труды. М. 1989.

9. Войшвилло Е.К. Семантика релевантных логик // Разум и культура. МГУ, 1983

10. Вригт Г.X. фон Логика истины. // Вригт Г.Х. Логико-философские исследования. М. 1986

11. Ивлев Ю.В. Модальная логика М., 1991.

12. Карпенко А.С. Фатализм и случайность будущего: логический анализ М., 1990.

13. Карпенко А. С. Многозначные логики М., 1997.

14. Карпенко А.С. ЛОЖЬ // Философская энциклопедия (в печати)

15. Клини С.К. Введение в метаматематику М.,1957.

16. Лукасевич Я. О детерминизме // Логические исследования. Вып. 2. М., 1993. С. 190-205

17. Маркин В. И. Погружение воображаемой логики Н.А.Васильева в кванторную трехзначную логику // Логические исследования. Выпуск 7, М., 2000.

18. Павлов СЛ. Исчисление предикатов истинности и ложности. // Логический анализ естественных языков. 2-й Советско-Финский коллоквиум по логике. М., 1979.

19. Павлов СЛ. Многозначные интерпретации для исчисления предикатов истинности и ложности. // Логика и теория познания, ЛГУ, Ленинград, 1990 С. 66-74.

20. Павлов СЛ. Логика с терминами 'истинно' и 'ложно' //Философские основания неклассических логик. Труды научно-исследовательского семинара по логике Института философии АН СССР. М., 1990.

21. Павлов СЛ. Логика ложности // X Всесоюзная конференции по логике, методологии и философии науки, Тезисы, (секции 1-5), Минск, 1990 С. 82-83.

22. Павлов СЛ. Логика ложности FL4 // Труды научно-исследовательского семинара логического центра Института философии РАН. 1993. М., 1994 С. 14-35

23. Павлов СЛ. Значения истинности в тетралектике // Истины и ценности на рубеже XX-XXI веков (материалы симпозиума). М., 1992 С. 168170.

24. Павлов СЛ. Логика высказываний и событий и логика ложности // Международная конференция "Смирновские чтения" М., 1997 С. 65.

25. Павлов СЛ. Итоги и перспективы исследования логик истинности и ложности // Международная конференция "Развитие логики в России: Итоги и перспективы". М., 1997 С. 38-41.

26. Павлов СЛ. Трехзначная логика Лукасевича и логика ложности FL4 // Труды научно-исследовательского семинара логического центра Института философии РАН. М., 1997.

27. Павлов С.А. Отрицания в логике ложности // Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке. Материалы V Общероссийской научной конференции С-Пб., 1998 С.264-267.

28. Павлов С.А. Логика ложности как обобщение трехзначной логики Лукасевича // Логические исследования. Выпуск 5, М., 1998 С.206-220.

29. Павлов С.А. Метапредикат истинности и логика ложности // Логические исследования. Выпуск 6, М., 1999 С. 170-185.

30. Павлов С.А. Исчисление предикатов истинности и ложности: четверть века спустя // 2 Международная конференция "Смирновские чтения". М„ 1999 С. 62-65.

31. Попов В.М. Аналитические формулировки и модели Крипке некоторых пропозициональных логик первопорядкового следования. // Релевантные логики и теории следования. // 2-й Советско-финский коллоквиум по логике М., 1979

32. Сидоренко Е.А. Релевантная логика (предпосылки, исчисления, семантика) М., 2000

33. Смирнов В.А. Утверждение и предикация. Логика высказываний и событий // Нестандартные семантики неклассических логик. М., 1986.

34. Смирнов В.А. Комбинированные исчисления предложений и событий и логика истины фон Вригта // Исследования по неклассическим логикам. IV Советско-финский коллоквиум. М.,1989

35. Смирнова Е.Д. Логическая семантика и философские основания логики. М., 1986.

36. Смирнова Е.Д Логика и философия. М., 1996.

37. Тарский А. Понятие истины в языках дедуктивных наук. // Философия и логика Львовско-Варшавской школы. М., 1999.

38. Тарский А. Семантическая концепция истины и основания семантики. // Аналитическая философия: становление и развитие. М., 1998.

39. Финн В. К. О критерии функциональной полноты для ЯЗ3. // Исследования по формализованным языкам и неклассическим логикам. М., 1974. С. 194-199.

40. Хомский Н. Синтаксические структуры. // Ельмслев Л. Можно ли считать, что значения слов образуют структуру? Хомский Н. Синтаксические структуры. Благовещенск, 1998.

41. Чёрч А. Введение в математическую логику. М., 1960.

42. Asenjo F.G. Logic of antinomies // Notre Dame J. Form. Log. 1966. V. 7, pp. 103-105.

43. Back R.J.R. A Computation Interpretation of Truth Logic // Synthese, v.66, N1, 1986 pp. 15-35.

44. Barwise J., Etchemendy J. The Liar. An essay on truth and circularity. -N.Y.-Oxford: Oxford University Press, 1987.

45. D'Ottaviano, Itala.M.L., da Costa Newton.C.A. Sur un probleme de Jaskovski. C.R.Acad.Sc. Paris. 270, Seria A, 1970, pp 1349-1351.

46. Dunn J.M. Intuitive Semantics for First-Degree Entailments and Coupled Trees //Philosophical Studies. Vol.29. 1976 P.149-168.

47. Dunn J.M. An Intiuitive Semantics for First-Degree Relevant Implication (abstract) // The Journal of Symbolic Logic. Vol.36. 1971 P.362 363.

48. Epstein R.L. The Semantic Foundation of Logic. Vol. 1: Propositional Logics, Dordrecht-Boston-London, 1990.

49. Fitting M. Bilattices and the semantics of logic programming. Preprint, 1988.

50. Kripke S. Outline of a Theory of Truth. // The Journal of Philosophy, 1975, vol. 72, pp. 690-716.

51. Muskens R.A. Meaning and partiality. Amsterdam, 1989

52. Pavlov S.A. Falsehood logic FL4 // Institute for Logic, Cognitive Science and Development of Personality, 93-04/, Moscow, 1993

53. Pavlov S.A. Logic For Computer Reasoning // International Conference on Informatics and Control, St. Petersburg, 1997 P.496-499.

54. Pavlov S.A. Three-valued Lukasiewich's Logic and Falsehood Logic FL4 // Bulletin of the Section of Logic, 1998. V.27, N1/2 , P.79-81

55. Pavlov S.A. Sentential Falsehood Logic FL4 // XX World Congress of Philosophy, Boston, 11-16 August 1998. P.156

56. Pavlov S.A. Logic FL4 with Falsehood Operator // Multivalued Logics, 2000, V. 5, pp. 125-138

57. Pawlow S.A. Einige nichttraditionelle Ideen in der Logik.//Philosophie und Naturwissenschaften in Vergangenheit und Gegenwart. Heft 5: Philosophishe Probleme der Logik, Berlin, 1978

58. Popov V.M. On the Logics Related to A.Arruda's System VI //

59. Priest G. Paraconsistence Logic, Miinchen, 1989.

60. Priest G. The logic of paradox. // J.Philos. Logic, 1979. Vol.8, N2.

61. Rosser J.В., Turquette A.R. Many-valued logics. Amsterdam- North-Holland, 1951.

62. Sette A.M. On propositional calculus P3 // Math. Jap. 1973. Vol.

63. SlupeckiJ., Bryll G., Prucnal T. Some Remarks on Three-valued Logic of J. Lukasiewicz. // Studia Logica. 1967. Vol. XXI, P.45-70

64. Turner R. Logics of Truth // Notre Dame Journal of Formal Logic, V.31, N2,1990.

65. Wright G.H. von Truth and Logic // The Truth, Knowledge & Modality. / Philosophical papers, vol. Ill, Basil Blackwell, Oxford 1984

66. Wright G.H. von Truth, negation and contradiction // Synthese, v.66, N1, 1986 pp. 3-14.

67. Wright G.H. von Truth-Logics // Logique et analyse. Nouvelle serie, 1987. Vol. 120.