Теоретическое исследование высокоскоростного затвердевания бинарных сплавов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.07, кандидат физико-математических наук Данилов, Денис Анатольевич

• Данилов, Денис Анатольевич
• кандидат физико-математических наук
• 2001

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Данилов, Денис Анатольевич

Введение

1 Основные положения теории высокоскоростного затвердевания

1.1 Экспериментальные данные по высокоскоростному затвердеванию

1.2 Отклонение от локального равновесия на поверхности раздела фаз. Кинетические диаграммы затвердевания

1.3 Исследования устойчивости плоского фронта затвердевания

1.4 Модели дендритного роста.

1.5 Гиперболическое уравнение переноса.

1.6 Отклонение от локального равновесия в диффузионном поле и тепловом поле.

2 Высокоскоростное движение плоского фронта затвердевания

2.1 Движение плоского фронта затвердевания в условиях локально неравновесного массопереноса

2.2 Квазистационарный режим движения.

2.2.1 Случай Vdl = Vds = Vd,Dl = Ds = D.

2.2.2 Случай VDS<VDL.

2.3 Исследование динамической устойчивости движения фронта

2.3.1 Асимптотическое разложение для С/ и J/.

2.3.2 Кинетическая кривая «скорость фронта — начальное переохлаждение».

2.3.3 Движение плоского фронта на больших временах

2.3.4 Динамическая устойчивость квазистационарного режима

2.4 Анализ морфологической устойчивости плоского фронта затвердевания

2.4.1 Маргинальная устойчивость.

2.4.2 Абсолютная устойчивость

3 Локально неравновесные формы роста

3.1 Квазистационарные формы роста при локально неравновесном массопереносе.

3.2 Общее решение.

3.2.1 Скорость роста меньше диффузионной скорости

3.2.2 Скорость роста больше или равна диффузионной скорости.

3.2.3 Сопоставление с решением для плоского фронта

3.3 Формы роста кристаллов.

3.3.1 Эллиптический параболоид

3.3.2 Параболоид вращения.

3.3.3 Параболический цилиндр.

3.3.4 Параболическая пластина.

4 Модель локально неравновесного дендритного роста

4.1 Модель дендритного роста.

4.2 Сравнение с экспериментальными данными.

4.3 Критические значения полного переохлаждения.

4.4 Вклады различных переохлаждений.

4.5 Особенности бездиффузионного дендритного роста.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Теоретическое исследование высокоскоростного затвердевания бинарных сплавов»

В течение последних трех десятилетий был накоплен обширный экспериментальный материал по высокоскоростному затвердеванию чистых веществ и бинарных сплавов [1—10]. В современных экспериментах достигаются переохлаждения до 450 К и скорости роста до 70 м/с [6]. Было установлено, что высокоскоростное затвердевание протекает в условиях, находящихся вдали от локального равновесия [9,10].

Разработанные модели высокоскоростного затвердевания бинарных сплавов [10—14] включают отклонение от локального равновесия только на поверхности раздела фаз и позволяют описать экспериментальные данные по затвердеванию в глубоко переохлажденный расплав в области переохлаждений до некоторого критического переохлаждения, при котором происходит резкий подъем скорости роста. При значениях исходного переохлаждения выше критического наблюдается систематическое расхождение между экспериментальными данными и предсказаниями теории [5, 7, 8, 15]. Это обстоятельство указывает на то, что при глубоких переохлаждениях необходимо более полно учитывать отклонение от локально равновесного состояния.

В течение последнего десятилетия был разработан локально неравновесный подход к процессам высокоскоростного затвердевания [16—18], который учитывает отклонение от локального равновесия не только на границе раздела фаз, но и в поле диффузионного массопереноса. В основе этого локально неравновесного подхода находится формализм расширенной необратимой термодинамики [19—21], который к настоящему времени является единственным теоретически обоснованным формализмом для описания состояний вдали от локального термодинамического равновесия. Из расширенной необратимой термодинамики следует закон нефиковской диффузии, который, в отличии от классического закона Фика, связывает поток массы с градиентом концентрации не в тот же самый момент времени, а с задержкой на некоторое время релаксации. Это приводит к описанию процесса диффузионного переноса примеси гиперболическим уравнением, включающим конечную скорость диффузии [16—18,22] и позволяет учесть отклонение от локального равновесия в концентрационном поле.

При затвердевании сплавов из глубоко переохлажденного расплава достигаются скорости роста сопоставимые по величине и превышающие диффузионную скорость. При таких режимах затвердевания локально неравновесные эффекты играют значительную роль [ 16— 18]. В связи с этим, актуальной проблемой теории является исследование влияния локально неравновесных эффектов в поле диффузионного переноса массы на процессы формирования микроструктуры при высокоскоростном затвердевании. Первой ступенью в процессе исследования влияния локально неравновесной диффузии примеси на высокоскоростное затвердевание является анализ квазистационарного движения плоского фронта [18]. На физические, механические и электрические свойства материалов значительное влияние оказывают такие важные параметры, как характерный размер микроструктуры и степень неоднородности распределения концентрации примеси в объеме твердой фазы, возникающей в процессы затвердевания. Актуальной проблемой является изучение зависимости этих параметров от условий высокоскоростного затвердевания, и в частности, исследование устойчивости плоского фронта и различных режимов дендритного роста в условиях локально неравновесного массопереноса примеси. Поэтому целью диссертационной работы является рассмотрение с позиций локально неравновесного подхода следующих задач:

1. динамическая и морфологическая устойчивость плоского фронта затвердевания,

2. изоконцентрационные формы роста в поле локально неравновесной диффузии,

3. построение модели высокоскоростного роста дендритов в переохлажденный расплав.

Заключение диссертации по теме «Физика конденсированного состояния», Данилов, Денис Анатольевич

5. Заключение

В заключении, сформулируем основные результаты и выводы:

1. Исследовано влияние эффекта релаксации диффузионного потока примеси на процесс высокоскоростного затвердевания бинарных сплавов. При малых скоростях V -С Vd справедливо локально равновесное приближение, которому соответствует классический закон Фика. При скорости движения фронта V ~ Vd учет локально неравновесных эффектов, связанных с релаксацией диффузионного потока, приводит к значительному количественному различию между локально равновесным и локально неравновесным приближением. При скорости фронта, превышающей диффузионную скорость, V > Vd, проявляется качественно новый эффект, заключающийся в том, что движущийся фронт затвердевания не оказывает влияния на распределенение примеси в жидкой фазе, т. к. скорость распространения Vd возможных концентрационных неоднородностей, вызванных процессами на фронте, меньше скорости продвижения V фронта в объем жидкой фазы.

2. Проанализировано движение плоского фронта затвердевания в условиях локально неравновесной диффузии примеси. В квазистационарном режиме движения рассмотрено два случая, когда диффузионная скорость принимает одинаковое значение в жидкой и твердой фазах, и когда диффузионная скорость в твердой фазе меньше, чем в расплаве. При скорости движения фронта, превышающей диффузионную скорость в расплаве, распределение примеси в жидкой фазе однородно, концентрация примеси на фронте затвердевания со стороны жидкой фазы равна исходной концентрации примеси в расплаве [уравнение (2.60)].

3. Используя функцию Грина для телеграфного уравнения записано решение задачи о движении плоского фронта в рамках односторонней модели изотермического затвердевания в переохлажденный расплав. Получено асимптотическое разложение для данного решения при больших временах t —> оо [уравнения (2.109), (2.110) и (2.111)]. Из этого разложения следует возможность трех различных режимов движения плоского фронта затвердевания. Два режима соответствуют движению со скоростью, затухающей во времени по закону V ~ t1/3 или V ~ t~1//2. Третий режим соответствует движению с постоянной скоростью V — const. Проведен анализ динамической устойчивости квазистационарного (V — const) режима движения (т. е. анализ устойчивости относительно малых возмущений скорости движения плоского фронта). Получено, что динамически устойчивые режимы соответствуют участкам с положительным значением производной dV/dT на кинетической кривой «скорость фронта V — начальное переохлаждение ДТ». Динамически неустойчивые режимы соответствуют участкам с отрицательной производной dV/dT.

4. Проанализировано влияние локально неравновесной диффузии примеси в расплаве на морфологическую устойчивость плоской поверхности раздела фаз. Получен критерий (2.175), определяющий длину волны возмущения плоской поверхности, соответствующего условию нейтральной устойчивости. Критерий содержит модифицированную функцию устойчивости & в которую входит соотношение скорости движения поверхности раздела и диффузионной скорости в расплаве. Показано, что при скорости роста, превышающей диффузионную скорость в объеме жидкой фазы, концентрационное поле в расплаве не зависит от возмущения формы плоской поверхности затвердевания и соответствует начальному распределению концентрации примеси. В этом случае морфологическая неустойчивость поверхности может быть вызвана только процессами теплопереноса. Таким образом, в изотермическом случае, учет локально неравновесного массопе-реноса примеси в расплаве определяет предельную границу области существования морфологической неустойчивости, равную диффузионной скорости. Сравнение скорости абсолютной морфологической устойчивости, полученной в локально равновесном и локально неравновесном приближении, показывает, что в зависимости от концентрации примеси учет локально неравновесного массопереноса в расплаве перед фронтом затвердевания может приводить как к расширению, так и к сужению области существования морфологичекой неустойчивости плокого фронта затвердевания (рис. 2.4).

5. Рассмотрены квазистационарные формы роста в поле локально неравновесной диффузии примеси, соответствующие изоконцентрацион-ной поверхности затвердевания. Показано, что в общем случае при скорости роста меньшей диффузионной скорости, изоконцентрационная поверхность затвердевания описывается уравнением эллиптического параболоида (3.14). Получено выражение (3.23) для распределения концентрации примеси вокруг параболоидальной поверхности затвердевания. В пределе бесконечно большого радиуса кривизны вершины параболоида, решение для распределения концентрации примеси принимает форму, соответствующую распределению концентрации примеси при движении плоского фронта затвердевания. При скорости роста, превышающей диффузионную скорость, распределение концентрации примеси в расплаве равномено, и не накладывает ограничений на возможные формы роста. Рассмотрены частные случаи изоконцентрационных форм роста, следующие из общего решения: параболоид вращения, параболический цилиндр и параболическая пластина.

6. Представлена модель высокоскоростного роста вершины дендрита, учитывающая эффект релаксации диффузионного потока примеси в объеме расплава [уравнения (4.1)—(4.13)]. Модель включает в себя условие маргинальной устойчивости и распределение концентрации примеси вокруг иглообразной поверхности затвердевания, полученные с учетом локально неравновесной диффузии примеси в переохлажденном расплаве (гл. 2 и 4). Данная модель предсказывает переход к бездиффузионному режиму затвердевания ствола дендрита при скорости роста вершины, равной диффузионной скорости. Этот переход сопровождается скачкообразным изменением угла наклона кинетической кривой «скорость роста вершины V — полное переохлаждение ДТ» и переходом от диффузионно и термически контролируемого к только термически контролируемому росту вершины дендрита в точке V = Vb. Сравнение результатов расчетов по модели локально неравновесного дендритного роста с экспериментальными данными [5, 7, 8, 15] показывает, что модель удовлетворительно описывает экспериментальную зависимость скорости роста вершины дендрита от полного переохлаждения во всем диапазоне изменения значения полного переохлаждения для различных металлических бинарных сплавов (рис. 4.1, 4.2, 4.3). Учет локально неравновесных эффектов в поле диффузионного массопереноса позволяет качественно и количественно лучше описать данные эксперимента в области высоких значений скорости роста, чем модели, основанные на локально равновесном подходе к описанию диффузии примеси в расплаве. Проведен сравнительный анализ влияния различных переохлаждений на вершине дендрита на скорость роста, который позволяет выделит несколько качественно различных режимов роста вершины в зависимости от полного переохлаждения.

7. Вклад локально неравновесных эффектов в поле диффузионного масопереноса примеси в общую картину формирования структуры при высокоскоростном затвердевании бинарных сплавов увеличивается с увеличением скорости движения поверхности раздела фаз и увеличением отклонения от равновесного состояния. При достижении фронтом затвердевания

116 диффузионной скорости происходит переход от диффузионно и термически контролируемого роста к бездиффузионному затвердеванию, определемому процессами теплопереноса в объемах фаз и кинетическими эффектами на поверхности раздела.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Данилов, Денис Анатольевич, 2001 год

1. Мирошниченко И. С. Влияние скорости охлаждения на процессы кристаллизации металлических сплавов // Рост и дефекты металлических кристаллов. Под ред. Д. Е. Овсиенко.— Киев: Наук, думка, 1972.— С. 385-401.

2. Борисов В. Т., Духин А. И. Изучение пересыщенных твердых растворов и температурного режима при закалке из жидкого состояния // Рост и дефекты металлических кристаллов. Под ред. Д. Е. Овсиенко. — Киев: Наук, думка, 1972. — С. 408-414.

3. Полеся А. Ф., Гудзенко В. Н., Бродский В. М. Температурные условия кристаллизации алюминиевых сплавов при скоростях охлаждения 104—106 град/сек // Рост и дефекты металлических кристаллов. Под ред. Д. Е. Овсиенко. — Киев: Наук, думка, 1972. — С. 421-427.

4. Пасальский В. М., Полеся А. Ф., Чалый И. И. Экспериментальное определение переохлаждения при скоростях охлаждения 102— 105 град/сек // Рост и дефекты металлических кристаллов. Под ред. Д. Е. Овсиенко. — Киев: Наук, думка, 1972. — С. 427—431.

5. Willnecker Е. R., Herlach D. М., Feuerbacher В. Free dendritic growth in levitation undercooled Ni and Cu—Ni melt // Proc. VHth European Symposium on Materials and Fluids Sciencees in Microgravity. — Oxford, UK, 1989. —P. 193-196.

6. Herlach D. M. Containerless undercooling and solidification of pure metals // Annu. Rev. Mater. Sci. — 1991. — V. 21. — P. 23-44.

7. Herlach D. M., Feuerbacher B. Non-equilibrium solidification of under-cooled metallic melts // Adv. Space Res.— 1991,— V. 11. — N 7. — P. 255-262.

8. Wei В., Herlach D. M., Feuerbacher B. Rapid crystal growth in un-dercooled alloy melts // Microgravity Q. — 1993. — V. 3. — N 2-4. — P. 193-197.

9. Herlach D. M. Direct measurements of crystal growth velocities in undercooled melts // Materials Science and Engineering.— 1994.— V. A179/180. — P. 147-152.

10. Kurz W., Fisher D. J. Fundamentals of Solidification.— Aedermanns-dorf: Trans Tech Publication, 1992. — 305 p.

11. Lipton J., Kurz W., Trivedi R. Rapid Dendrite Growth in Undercooled Alloys // Acta Metall. — 1987. — V. 35. — P. 957-964.

12. Trivedi R., Lipton J., Kurz W. Effect of growth rate dependent partition coefficient on the dendritic growth in undercooled melts //Acta metall. —1987. — V. 35. — N 4. — P. 965-970.

13. Arnold С. В., Aziz M. J., Schwarz M. et'al. Parameter-free test of alloy dendrite-growththeory//Phys. Rev. В. — 1999. —V. 59, —N 1,— P. 334-343.

14. Eckler К., Cochrane R. F., Herlach D. M. et al. Evidence for a transition from diffusion-controlled to thermally controlled solidification in a metallic alloys // Phys. Rev. B. — 1992. — V. 45. — N 9. — P. 5019-502.

15. Галенко П. К. Эффект диффузионной релаксации при высокоскоростной кристаллизации бинарного сплава // Кристаллография.— 1993. — Т. 38. — N 6. — С. 238-243.

16. Галенко П. К. Об условии развития диффузионного переохлаждения при локально-неравновесной кристаллизации сплавов //Журнал технической физики. — 1995. — Т. 65. — N 11. — С. 110—119.

17. Galenko P., Sobolev S. Local nonequilibrium effect on undercooling in rapid solidification of alloys // Phys. Rev. E. — 1997. — V. 55. — N 1. — P. 343-352.

18. Jou D., Casas—Vazquez J., Lebon G. Extended irreversible thermodynamics // Rep. Prog. Phys. — 1988. — V. 51. — P. 1105-1179.

19. Jou D., Casas—Vazquez J., Lebon G. Extended Irreversible Thermodynamics. — Berlin: Springer, 1992. — 383 p.

20. Jou D., Casas—Vazquez J., Lebon G. Extended irreversible thermodynamics revisited (1988-98) // Rep. Prog. Phys.— 1999.— V. 62.— P. 1035-1142.

21. Соболев С. JI. Процессы переноса и бегущие волны в локально-неравновесных системах // Успехи физических наук.— 1991.— Т. 161. —N3. —С. 5-29.

22. Herlach D. М. Solidification from undercooled melts // Mater. Sci. Eng. — 1997. — V. A226-228. — P. 348-356.

23. Zimmermann M., Carrad M., Kurz W. Rapid solidification of Al—Cu eutectic alloy by laser remelting // Acta Metall.— 1989.— V. 37.— N 12, —P. 3305-3313.

24. Baeri P., Reitano R. Transition of a Si—As solution to the amorphous phase induced by pulsed-laser quenching // Phys. Rev. B.— 1989.— V. 39. — N 18. — P. 13231-13240.

25. Fetzer Cs., Granasy L., Kemeny T. et al. Laser-melted amorphous and crystalline Fe-B alloys // Phys. Rev. В. — 1990.— V. 42. — N 1.— P. 548-554.

26. Аллмен M. Лазерная закалка // Металлические стекла: Вып. II: Атомная структура и динамика, электронная структура, магнитные свойства. — М.: Мир, 1986. — С. 302-327.

27. Eckler К., Kratz М., Egry I. New technique of measuring dendrite growth velocities in undercooled metallic melts // Rev. Sci. Instrum. — 1993. — V. 64. — N 9. — P. 2639-2642.

28. Kittl J. A., Sanders P. G., Aziz M. J. et al. Complete experimental test of kinetic models for rapid alloy solidification // Acta mater. — 2000. — V. 48, —P. 4797-4811.

29. Борисов В. Т. Теория двухфазной зоны металлического слитка.— М.: Металлургия, 1987. — 224 с.

30. Galenko Р. К., Zhuravlev V. A. Physics of Dendrites. — Singapore: World Scientific, 1994, —212 p.

31. Борисов В. Т. Кинетические диаграммы бинарных сплавов // Доклады АН СССР— 1962, — Т. 142. —N 1, —С. 69-71.

32. Чалмерс Б. Теория затвердевания. — М.: Металлургия, 1968. — 288 с.

33. Найдич Ю. В., Перевертайло В. М., Григоренко Н. Ф. Капилярные явления в процессах роста и плавления кристаллов. — Киев: Наук, думка, 1983,— 100 с.

34. Борисов В. Т. Актуальные вопросы теории роста металлических кристаллов из расплава // Рост и дефекты металлических кристаллов. Под ред. Д. Е. Овсиенко. — Киев: Наук, думка, 1972. — С. 30—38.

35. Голиков И. Н., Масленков С. Б. Дендритная ликвация в сталях и сплавах. — М.: Металлургия, 1977. — 224 с.

36. Темкин Д. Е. Кинетические условия на фронте кристаллизации с учетом сегрегации примеси // Кристаллография.— 1987.— Т. 32.— N6. —С. 1331-1335.

37. Aziz М. J. Model for Solute Redistribution During Rapid Solidification // Journal of Applied Physics. — 1982. — V. 53. — P. 1158-1168.

38. Aziz M. J., Kaplan T. Continuous Growth Model for Interface Motion During Alloy Solidification//Acta Metall. — 1988. — V. 36. — P. 23352347.

39. Grange G., Jourdan C., Gastaldi J. In situ observations by synchrotron white beam x-ray topography of the planar, cellular and dendritic growths of a binary alloy // J. Phys. D: Appl. Phys. — 1993. — V. 26. — P. A98-A101.

40. Galenko P. К., Kirivilyov M. D. Modelling of crystal pattern formation in isothermal undercooled alloys // Modelling Simul. Mater. Sci. Eng. — 2000. —N8, —P. 81-94.

41. Kauerauf В., Zimmermann G., Rex S. et al. Directional cellular growth of succinonitrile—0.075 wt% acetone bulk samples. Part 2: Analysis of cellular pattern // J. Cryst. Growth. — 2001. — V. 223. — P. 277-284.

42. Любов Б. Я. Теория кристаллизации в больших объемах. — М.: Наука, 1975. —256 с.

43. Chou Н., Cummins Н. Z. Evolution of the Dendritic Instability in Solidifying Succinonitrile// Phys. Rev. Lett. — 1988, — V. 61, — N 2.— P. 173-176.

44. Галеико П. К- Компьютерные модели дендритной кристаллизации // Кристаллизация и компьютерные модели: Труды V науч.-техн. конф. Ижевск, 6—7 окт. 1992 г.— Ижевск: Изд-во Удм. ун-та, 1994.— С. 19-34.

45. Saito Y., Misbah С., Miiller-Krumbhaar Н. Directional solidification: Transition from Cells to Dendrites // Phys. Rev. Lett.— 1989.— V. 63. — N 21. — P. 2377-2380.

46. Mullins W. W., Sekerka R. F. Morphological Stability of a Particle Growing by Diffusion or Heat Flow// J. Applied Physics. — 1963. — V. 34. — N 2. — P. 323-329.

47. Mullins W. W., Sekerka R. F. Stability of a Planar Interface During Solidification of a Dilute Binary Alloy // J. Applied Physics.— 1964.— V. 35,—N2, —P. 444-451.

48. Trivedi R., Kurz W. Morphological stability of a planar interface under rapid solidification conditions // Acta Metall. — 1986. — V. 34. — N 8. — P. 1663-1670.

49. Kurz W., Giovanola В., Trivedi R. Theory of microstructural development during rapid solidification // Acta Metall. — 1986. — V. 34. — N 5. — P. 823-830.

50. Misbah C., Miiller-Krumbhaar H., Saito Y. et al. Pattern Formation in directional solidification // Growth and Form. Ed. M. Ben Amar, et al. — New York: Plenum Press, 1991, —P. 167-175.

51. Lu S.-Z., Hunt J. D., Gilgien P. et al. Cellular and dendritic growth in rapidly solidified Al—Fe and Al—Cu alloys // Acta Metall. Mater. — 1994. — V. 42. — N 5. — P. 1653-1660.

52. Vaerenbergh S. V., Coriell S. R., McFaden G. B. et al. Modification of morphological stability by Soret diffusion// J. Cryst. Growth. — 1995. — V. 147, — P. 207-214.

53. Буевич Ю. А., Искакова JT. Ю., Мансуров В. В. Нелинейная устойчивость и формирование структур при направленном затвердевании бинарного сплава. Часть I // Расплавы. — 1989. — N 6. — С. 44—50.

54. Мартюшев Л. М., Селезнев В. Д., Кузнецова И. Е. Применение принципа максимальности производства энтропии к анализу морфологической устойчивости растущего кристалла // ЖЭТФ.— 2000.— Т. 118, —N 1, —С. 149-162.

55. Carrard М., Gremand М., Zimmermann М. et al. About the Banded Structure in Rapidly Solidified Dendritic and Eutectic Alloys // Acta Metall. — 1992. — V. 40. — P. 983-996.

56. Glicksmann M. E. Free Dendritic Growth // Mater. Sci. Eng.— 1984. —V. 65, —P. 45-54.

57. Honjio H., Ohta S., Sawada Y. New Experimental Findings in Two-Dimensional Dendritic Crystal Growth // Phys. Rev. Lett.— 1985.— V. 55. — N 8. — P. 841-844.

58. Dougherty A., Kaplan P. D., Gollub J. P. Development of Side Branching in Dendritic Crystal Growth // Phys. Rev. Lett. — 1987. — V. 58. — N 16. —P. 1652-1655.

59. Li D. L., Volkmann Т., Eckler K- et al. Crystal growth in undercooled germanium // J. Cryst. Growth. — 1995. — V. 152. — P. 101-104.

60. Lin X., Huang W., Feng J. et al. History-dependent selection of primary cellular/dendritic spacing during unidirectional solidification in aluminum alloys // Acta Mater. — 1999. — V. 47. — N 11. — P. 3271-3280.

61. Axelrod E. G., Martiouchev L. M., Lyovkina Y. V. Kinetics of free Side-branch Dendrite Growth from a Solution // Phys. Stat. Sol. (a).— 2000. — V. 182. — P. 687-696.

62. Ивандов Г. П. Температурное поле вокруг шарообразного, цилиндрического и иглообразного дендрита, растущего в переохлажденном расплаве //Доклады АН СССР. — 1947. — Т. 58. — N 4. — С. 567-569.

63. Иванцов Г. П. О росте сферического и иглообразного кристаллов бинарного сплава // Доклады АН СССР.— 1952.— Т. 83.— N 4.— С. 573-575.

64. Иванцов Г. П. Тепловые и диффузионные процессы при росте кристаллов// Рост кристаллов. Под ред. А. В. Шубникова, Н. Н. Шефталя. — М.: Академия Наук, 1961. — Т. 3. — С. 75-84.

65. Horvay G., Cahn J. W. Dendritic and Spheroidal Growth // Acta Metall. — 1961. — V. 9. — N 7. — P. 695-705.

66. Темкин Д. E. Влияние сегрегации примеси на рост дендрита в переохлажденном расплаве // Кристаллография.— 1987.— Т. 32.— N6. —С. 1336-1346.

67. Langer J. Instabilities and pattern formation in crystal growth // Reviews of Modern Physics.— 1980. —V. 52, —N 1, —P. 1-28.

68. Boiling G. F., Tiller W. A. Growth from Melt. III. Dendritic Growth // J. Appl. Phys. — 1961, —V.32. —N 12, — P. 2587.

69. Schaefer R. J. The validity of steady-state dendrite growth models // J.Cryst. Growth.— 1978, —V. 43, —P. 17-30.

70. Ben-Jacob E., Goldenfeld N., Langer J. S. et al. Dynamics of Interfa-cial Pattern Formation // Phys. Rev. Lett. — 1983. — V. 51. — N 21. — P. 1930-1932.

71. Ben-Jacob E., Goldenfeld N., Kotliar B. G. et al. Pattern Selection in Dendritic Solidification // Phys. Rev. Lett. — 1984. — V. 53. — N 22. — P. 2110-2113.

72. Karma A., Langer J. S. Impurity effects in dendritic solidification // Phys. Rev. A. — 1984. — V. 30. — N 6. — P. 3147-3155.

73. Karma A., Kotliar B. G. Pattern Selection in a boundary-layer model of dendritic growth in the presence of impurities // Phys. Rev. A. — 1985. — V.31. —N5, —P. 3266-3275.

74. Kessler D. A., Koplik J., Levine H. Geometrical Models of interface evolution. III. Theory of denderitic growth // Phys. Rev. A.— 1985.— V.31. —N3, —P. 1712-1717.

75. Kessler D. A., Levine H. Stability of Dendritic Crystals // Phys. Rev. Lett. — 1986. — V. 57. — N 24. — P. 3069-3072.

76. Caroli В., Caroli C., Roulet B. et al. Solvability condition for needle crystals at large undercooling in a nonlocal model of solidification // Phys. Rev. A. — 1986. — V. 33. — N 1. — P. 442-452.

77. Ben Amar M., Brener E. Testing singularities in the complex plane: Suggestions for dendritic-growth experiments // Phys. Rev. E.— 1988.— V. 47. —N 1, —P. 534-544.

78. Бренер E. А., Есипов С. Э., Мельников В. И. Отбор скорости и направления роста изолированного дендрита // ЖЭТФ.— 1988.— T.94. — N3. —С. 236-244.

79. Бренер Е. А. Влияние кинетических эффектов на рост двумерного дендрита //ЖЭТФ. — 1989. — Т. 96. — N 1. — С. 237-245.

80. Brener Е. Effect of surface energy and kinetiks on the growth of needlelike dendrites//J. Cryst. Growth.— 1990, —V. 99, —P. 165-170.

81. Brener E., Melnikov V. I. Velocity selection and instability spectrum in 3D dendritic growth //ЖЭТФ. — 1995. — Т. 107. — N 2. — С. 628-636.

82. Xu J.-J. Interfacial wave theory for dendritic structure of a growing needle crystal. I. Local instability mechanism // Phys. Rev. A.— 1989.— V.40.—N3, —P. 1599-1608.

83. Xu J.-J. Interfacial wave theory for dendritic structure of a growing needle crystal. II. Wave-emission mechanism at the turning point // Phys. Rev. A. — 1989. —V.40. —N3, —P. 1609-1614.

84. Li Q., Beckermann C. Evolution of the sidebranch structure in free dendritic growth // Acta Mater. — 1999. — V. 47. — N 8. — P. 2345-2356.

85. Spencer D. J., Huppert H. E. The relationship between dendrite tip characteristics and dendrite spacings in alloy directional solidification // J. Cryst. Growth. — 1999. — V. 200. — P. 287-296.

86. McFadden G. В., Coriell S. R., Sekerka R. F. Analytic solution for a non-axisymmetric isothermal dendrite// J. Cryst. Growth.— 2000.— V. 208. — P. 726-745.

87. Saito Y., Goldbeck-Wood G., Muller-Krumbhaar H. Numerical simulation of dendritic growth // Phys. Rev. A. — 1988. — V. 38. — N 4. — P. 2148-2157.

88. Xu J.-J. Interfacial wave theory of pattern formation: selection of dendritic growth and viscous fingering in Hele—Shaw flow. — Berlin: Springer-Verlag, 1998. —296 p.

89. Xu J.-J. Global interfacial instabilities and dendrite pattern formation // Current Nopics in Crystal Growth Res. — 1995. — V. 2.

90. Xu J.-J. Generalized needle solution, interfacial instabilities, and pattern formation // Phys. Rev. E. — 1996. — V. 53. — N 5-B. — P. 5051-5062.

91. Xu J.-J. Global interfacial instabilities and selection of dendrite growth // J. Ciyst. Growth. — 1996. — V. 166. — P. 201-206.

92. Yu D.-S., Xu J.-J. Regular perturbation expansion solution for steady nonclassical needle grystal growth // J. Cryst. Growth.— 1998.— V. 187. —P. 314-326.

93. Овруцкий A. M. Моделирование свободного роста кристалла на стадии развития дендритной формы // ЖЭТФ. — 1991. — Т. 99. — N 1. — С. 250-259.

94. Xu J.-J., Yu D.-S. Examenations of dendritic growth theories with some latest numerical simulation and experimental data // J. Cryst. Growth. — 1999. — V. 198/199. — P. 43-48.

95. Yu D.-S., Xu J.-J. Dendritic growth with external flow: interfacial wave theory and its comparison with experiments // J. Cryst. Growth.— 1999. — V. 198/199. — P. 49-55.

96. Eckler K-, Herlach D. M., Aziz M. J. Search for a solute-drag effect in dendritic solidification // Acta Metall. — 1994,— V. 42.— N 3.— P. 975-979.

97. Уманцев A. P., Виноградов В. В., Борисов В. Т. Математическое моделирование роста дендритов в переохлажденном расплаве // Кристаллография. — 1985. — Т. 30. — N 3. — С. 455-460.

98. Уманцев А. Р., Виноградов В. В., Борисов В. Т. Моделирование эволюции дендритной структуры // Кристаллография.— 1986.— Т. 31, — N5. — С. 1002-1008.

99. Braun R. J., Murray В. Т. Adaptive phase-field computation of dendritic crystal growth//J. Cryst. Growth.— 1997, —V. 174. — P. 41-53.

100. Karma A., Rappel W.-J. Phase-filed simulation of three-dimensional dendrites: is microscopic solvability theory correct? // J. Cryst. Growth. — 1997. — V. 174. — P. 54-64.

101. Steinbach I., Beckermann C., Kauerauf B. et al. Three-dimensional modeling of equiaxed dendritic growth on a mesoscopic scale // Acta Mater. — 1999. — V. 47. — N 3. — P. 971-982.

102. TaeK. Y., ProvatasN., Goldenfeld N. etal. Universal Dynamics of Phase-Field Models for Dendritic Growth // Phy. Rev. E. — 1999. — V. 59. — P. R2546.

103. Ode M., Suzuki Т., Kim S. G. et al. Phase-field model for solidification of Fe—С alloys // Science and Technology of Advanced Materials.— 2000. —V. 1. —P. 43-49.

104. Loginova I., AmbergG., Agren J. Phase-field simulations of non-isothermal binary alloy solidification // Acta Mater. — 2001. — V. 49. — P. 573581.

105. Schmidt A. Computation of three dimensional dendrites with finite elements // J. Сотр. Phys. — 1996. — V. 125. — P. 293-312.

106. Provatas N., Goldenfeld N., Dantzig J. Efficient Computation of Dendritic Microstructures using Adaptive Mesh Refinement // Phys. Rev. Lett. — 1998. — V. 80. — P. 3308-3311.

107. Provatas N., Goldenfeld N., Dantzig J. et al. Crossover Scaling in Dendritic Evolution at Low Undercooling // Phys. Rev. Lett.— 1999.— V. 82. — P. 4496-4499.

108. Sobolev S. L. Space-time nonlocal model for heat conduction // Phys. Rev. E. — 1994. — V. 50. — P. 3255-3258.

109. Joseph D. D., Preziosi L. Heat waves // Reviews of Modern Physics. — 1989. —V. 61, —N 1. —P. 41-73.

110. Joseph D. D., Preziosi L. Addendum to paper "Heat waves" // Reviews of Modern Physics. — 1990. — V. 62. — N 2. — P. 375-391.

111. Morse P. M., Feshbach H. Methods of Theoretical Physics, part I. — New York: McGraw-Hill, 1953.

112. Лыков А. В. Тепломассообмен. — M.: Энергия, 1978. — 480 с.

113. Sobolev S. L. Effects of local nonequilibrium solute diffusion on rapid solidification of alloys // Phys. Stat. Sol. (a). — 1996. — V. 156. — N 2. — P. 293-303.

114. Galenko P. K. Extended thermodynamical analysis of a motion of the solid-liquid interface in rapidly solidifying alloy // International Journal of Nonequilibrium Processing. — 2001. — submitted for publication.

115. Danilov D. A., Galenko P. K. Hyperbolic heat transfer in rapid solidification of supercooled liquids // MIF—2000: Труды IV Минского международного форума по тепло-массообмену. — 2000. — Т. 5. — С. 418— 428.

116. Galenko Р. К., Danilov D. A. Hyperbolic self-consistent problem of heat transfer in rapid solidification of supercooled liquid // Phys. Lett. A.— 2000. — V. 278. — P. 129-138.

117. Олвер Ф. Асимптотика и специальные функции.— М.: Наука, 1990. —528 с.

118. Eckler К., Cochrane R. F., Herlach D. М. et al. Non-Equilibrium Solidification in Undercooled Ni—В Alloys // Mater. Sci. Eng. A. — 1991. — V. 133, —P. 702-705.

119. Walder S., Ryder P. L. On Rapid Solidification of the Ag-Cu alloys // Acta Metall. Mater. — 1995. — V. 43. — P. 4007-4012.

120. Кудинов Г. M., Темкин Д. Е., Любов Б. Ю. Влияние границы раздела фаз на кинетику изотермического превращения в сплавах // Физика Металлов и Металловедение. — 1978. — Т. 46. — N 3. — С. 540-547.

121. Уманцев А. Р. Движение плоского фронта при кристаллизации // Кристаллография. — 1985. — Т. 30, — N 1, — С. 153-160.

122. Lowen H., Bechhoefer J., Tuckerman L. S. Crystal Growth at long times: Critical behavior at the crossover from diffusion to kinetic-limited regimes // Phys. Rev. A. — 1992. — V. 45. — N 4. — P. 2399-2415.

123. Эльсгольц JI. E. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. — М.: Наука, 1969. — 424 с.

124. Hurlimann Е., Trittibach R., Bisang U. et al. Integral parameters of xenon dendrites // Phys. Rev. A. — 1992. — V. 46. — N 10. — P. 6579-6595.

125. Glicksman M. E., Koss M. В., Bushnell L. T. et al. Dendritic growth of succinonitrile in terrestrial and microgravity conditions as a test of theory// ISIJ Int. — 1995. — V. 35. — N 6. — P. 604-610.

126. Schwarz M., Arnold С. В., Aziz M. J. et al. Dendritic Growth Velocity and Diffusive Speed in Solidification of Undercooled Dilute Ni—Zr Melts // Mater. Sci. Eng. A. — 1997. — V. 226-228. — P. 420-424.

127. Trivedi R., Kurz W. Dendritic Growth // International Materials Reviews. — 1994. — V. 39. — N 2. — P. 49-74.

128. Huang S. C., Glicksman M. E. Fundamentals of Dendritic Solidification: Development of Sidebranch Structure // Acta Metall.— 1981.— V.29.— P. 701-734.

129. Somboonsuk K-, Mason J. Т., Trivedi R. Dendritic Arm Spacing in Direc-tionally Solidified Liquids//Metall. Trans. — 1984. — V. 15A. — P. 967976.