Субиерархический параллельный вычислительный алгоритм для решения электромагнитных задач дифракции на плоских экранах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, кандидат физико-математических наук Медведик, Михаил Юрьевич

• Медведик, Михаил Юрьевич
• кандидат физико-математических наук
• 0

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Медведик, Михаил Юрьевич

0. Введение.:.

1. Теория уравнения электрического поля.

1.1 Постановка задачи дифракции на экране.

1.2 Свойства решения уравнения электрического поля.

1.3 Некоторые аналитические решения скалярных уравнений.

1.4 Операторы, эллиптические на подпространствах.

2. Субиерархический параллельный алгоритм решения уравнения электрического поля.

2.1 Метод Галеркина.

2.2 Сходимость метода Галеркина для уравнений с операторами, эллиптическими на подпространствах.

2.3 Свойство аппроксимации подпространств базисных функций RWG. Теорема о сходимости метода RWG.

2.4 Субиерхический параллельный вычислительный алгоритм

3. Численные результаты решения уравнения электрического поля

3.1 Решения задачи дифракции на прямоугольном экране.

3.2 Решение задачи дифракции на экранах сложной формы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Субиерархический параллельный вычислительный алгоритм для решения электромагнитных задач дифракции на плоских экранах»

Настоящая работа посвящена аналитическому и численному исследованию векторных электромагнитных задач дифракции на незамкнутых поверхностях - экранах. Это - задачи дифракции стороннего электромагнитного поля на идеально проводящих тонких экранах. Интерес к задачам дифракции возник давно, и они являются, по существу, классическими в электродинамике. Традиционная (физическая) теория дифракции создавалась на протяжении нескольких столетий X. Гюйгенсом, О. Френелем, Г. Гельмгольцем, Г.Р. Кирхгофом, Д. Лармором и другими авторами. Для понимания волновых процессов и расчета дифракционных полей большое значение имеет принцип Гюйгенса, согласно которому распространение волн обусловлено действием вторичных источников. Френель уточнил принцип Гюйгенса, приняв во внимание интерференцию сферических волн, излучаемых вторичными источниками. Дальнейшее уточнение принципа Гюйгенса -Френеля принадлежит Кирхгофу, который дал его строгую формулировку, основываясь на уравнении Гельмгольца. В современной теоретической оптике приближенное решение дифракционных задач производится почти исключительно с помощью принципа Гюйгенса - Кирхгофа. Электродинамическая (векторная) формулировка принципа Гюйгенса была дана Котлером.

Однако благодаря работам А. Пуанкаре и А. Зоммерфельда стало ясно, что в задачах дифракции электромагнитных волн речь идет о некоторой краевой задаче математической физики. В общей постановке задача состоит в нахождении решений уравнений Максвелла, удовлетворяющих определенным краевым условиям. К этому надо добавить «условия излучения» (Зоммерфельд, 1912), состоящие в том, что вся энергия, излучаемая источником, должна уходить в бесконечность. Кроме того, следует учитывать особое поведение полей в окрестности края поверхности тонкого экрана. Первое аналитическое решение задачи дифракции на идеально проводящей полуплоскости было дано Зоммерфельдом [16, 17]. Уже это решение позволило сделать ряд важных выводов о поведении электромагнитного поля в ближней и дальней зоне, об особенности полей в окрестности края тонкого экрана, о поведении полей на бесконечности и т.д.

Задача, которая; рассматривается в настоящей работе, эта задача дифракции электромагнитного поля- на идеально проводящем тонком ограниченном экране. Наиболее естественный подход к решению этой задачи -сведение ее к векторному интегродифференциальному уравнению на экране [45]. Такой подход часто называют методом поверхностных токов. Идея метода поверхностных токов принадлежит А. Пуанкаре (в акустических (скалярных) задачах: этот метод разрабатывался Релеем (1897)). • Впервые векторное интегродифференциальное уравнение на экране было получено А. Мауэ в 1949 году [56]. В наших обозначениях это уравнение имеет вид: где Div - операция .поверхностной дивергенции* А - интегральный оператор и - касательное к поверхности экрана Q векторное поле (плотность поверхностного тока). Индекс г показывает взятие касательных компонент к Q соответствующего векторного поля. Центральной проблемой при исследовании разрешимости уравнения (0.1) является выбор пространств для решений и для правых частей таким образом, чтобы обеспечить фредгольмовость (и, если удастся, однозначную разрешимость) этого уравнения в выбранных пространствах. Кроме того, пространства решений должно быть достаточно широким и содержать все физически допустимые поля.

Изучение уравнения (0.1) было начато уже в работе А. Мауэ [56]. Позднее в фундаментальной монографии Honl Н., Майе A. W., Westpfahl К. Theorie der Beugung, Springer-Verlag, 1961 (см. перевод [45]) была доказана теорема единственности для решений уравнения (0.1) (и краевой задачи дифракции), исследовано поведение дифракционных полей на бесконечности и

Lu := GradtA(Divu)+ к2Лги = /, х е Q,

0.1)

0.2) в окрестности гладкого края экрана, получены аналитические решения задач дифракции на тонком диске и на сфере. Интересно отметить, что в случае плоского экрана авторы записали уравнение (0.1), используя преобразование Фурье, в виде уравнения, которое теперь называют псевдодифференциальным (сами авторы назвали его псевдоинтегральным).

Начиная с конца 40-х годов, Я. Н. Фельдом была опубликована серия работ [43,44], посвященных задаче дифракции на тонком экране. В этих работах предпринята попытка построения теории разрешимости краевой задачи дифракции в пространстве I,(Q) (неI,(Q)). Выбрать в качестве пространства решений уравнения (0.1) «традиционное» пространство 12(П) нельзя, поскольку оно является слишком узким и не содержит решений с требуемой особенностью в окрестности края экрана (особенность известна, например, из аналитического решения задачи дифракции на полуплоскости). В работах Я.Н.Фельда выбор пространств согласован с поведением полей в окрестности ребра, однако нет эффективного описания пространства образов оператора, определяемого левой частью уравнения (0.1).

После выхода в 1968 году монографии Harrington R. F. Field Computation by Moment Methods, Macmillian Co., 1961 (см. [52]) стали активно применяться численные методы (метод моментов, метод Галеркина) для решения задач дифракции на экранах различной формы, но без достаточного математического обоснования, которое отсутствует и в настоящее время. Не изучая свойства оператора L (фредгольмовость, вид главной части и т.д.), авторы ограничивались анализом внутренней (вычислительной) сходимости и сравнением результатов с аналитическими решениями. Поэтому некоторые эффекты, связанные со специфическим свойствами оператора L (о которых будет сказано ниже), были упущены.

Тем не менее в численных решениях задач дифракции на тонком экране был накоплен большой опыт. Имеется несколько монографий [3, 15, 52, 59, 70] по решению задач дифракции на экранах различной формы. Отметим также работы, сыгравшие важную роль в развитии численных методов решения задач дифракции на тонких экранах [6, И, 38, 57, 58, 65]. Заметим, что при расчетах применялись, в основном, метод моментов, метод конечных элементов и метод Галеркина с выбором простейших базисных и пробных функций (некоторые авторы все эти методы рассматривают как модификации метода моментов). Современное состояние численных исследований подробно отражено в сборнике фундаментальных работ, опубликованных в период с 20-х по 90-ые годы [49]. Следует однако подчеркнуть, что проблема эффективного численного решения задач дифракции на тонких экранах (в резонансном диапазоне частот, когда длина волны в пространстве сравнима с размерами экрана) в настоящее время, по-видимому, пока не решена даже с использованием самых мощных современных ЭВМ.

F.A Гринбергом [8, 9] для случая плоского экрана была предложена процедура перехода от векторного ннтегродиффренциального уравнения (0.1) к векторному интегральному уравнению на экране. Метод включает в себя решение еще двух дополнительных краевых задач для уравнения Гельмгольца, причем одну из них - в общем виде [15]. С нашей точки зрения такой прием не упрощает задачи. Отметим, что каких - либо выводов о разрешимости задачи дифракции на плоском экране не было сделано.

Помимо попыток строгого решения уравнения (0.1) для анализа задач дифракции на тонком экране было предложено несколько различных подходов приближенного решения. В частности, активно развивались асимптотические методы [1, 2, 17, 37, 42]. Не вдаваясь в подробное обсуждение асимптотических методов решения задач дифракции на незамкнутых поверхностях, укажем только их общий недостаток. До сих пор не решен вопрос о точности асимптотического решения и границах его применимости. С особой остротой этот вопрос встает в резонансной области частот, когда характерные размеры поверхности сравнимы с длиной возбуждаемой электромагнитной волны.

Таким образом, в математической теории дифракции сложилась ситуация, когда для решения задач используется большое количество приближенных, численных методов, известны некоторые аналитические решения задач дифракции на простейших поверхностях, исследованы частные случаи (поверхности вращения), в то время как общей теории разрешимости пока не построено. Здесь под теорией разрешимости мы понимаем результаты, аналогичные классической теории потенциала, то есть теоремы о существования и единственности решения краевой задачи и уравнения на экране (в подходящих пространствах), теоремы о представимости решения краевой задачи в виде векторного потенциала, теоремы о «скачках» предельных значений и т.д.

Существует два класса задач, наиболее близких к задачам дифракции электромагнитных волн на тонких экранах. Это (векторные) задачи дифракции электромагнитных волн на замкнутых идеально проводящих поверхностях и (скалярные) задачи дифракции акустических волн на незамкнутых поверхностях.

Первый класс задач отличается от рассматриваемых в настоящей работе задач тем, что изучается дифракция на замкнутых поверхностях. Векторный характер задач сохраняется, исследуются краевые задачи для системы уравнений Максвелла. Общая теория разрешимости электромагнитных задач дифракции на замкнутых поверхностях была построена уже к концу 60-х годов. С. Muller [61] смог довести до определенной завершенности эту теорию, доказав теоремы существовании и единственности. Благодаря этому теория дифракции электромагнитных волн на замкнутых поверхностях по своей внутренней замкнутости стала сравнимой с теорией потенциала. Современное изложение теории разрешимости для этого класса задач имеется в монографии Д. Колтона и Р; Кресса [21]. Доказательство разрешимости краевой задачи основано на сведении ее к интегральному уравнению Фредгольма второго рода по поверхности и опирается на теорему о «скачке» соответствующего векторного потенциала [21]. Уравнения рассматриваются в классах Гельдера. К сожалению эта техника неприменима при исследовании задач дифракции на незамкнутых поверхностях, поскольку по теореме «о скачке» векторный потенциал будет принимать различные значения с разных сторон Q, что противоречит непрерывности поля. Поэтому для незамкнутых поверхностей можно получить только уравнения первого рода (по традиционной терминологии). Уравнения первого рода на замкнутых поверхностях рассматривались в [21], однако их разрешимость устанавливалась сведением к уже изученному уравнению Фредгольма второго рода.

Второй класс составляют задачи дифракции акустических волн на незамкнутых поверхностях. Не смотря на то, что эти задачи скалярные, в них проявляется специфика задач на многообразиях с краем. Теория разрешимости для этого круга задач была построена недавно в работах [48, 50, 51, 60, 62, 63, 68, 69] (аналогичная теория для акустических задач дифракции на замкнутых поверхностях известна давно [23, 24]; ее современное изложение имеется в работе [64]). Основным инструментом, позволяющим добиться прогресса в изучении задач дифракции акустических волн на незамкнутых поверхностях стала техника исследования псевдодифференциальных операторов (ПДО), действующих в пространствах Соболева.

К настоящему времени общая теория псевдодифференциальных операторов разработана достаточно полно и изложена в работах Дж. Дж. Кона и JI. Ниренберга [55], Г.И. Эскина [47], М.А.Шубина [46], Ю.В Егорова [12, 13], Б.А. Пламеневского [34], М. Тейлора [39], С. Ремпеля и Б. Шульце [35] и других авторов. Первое систематическое использование этой теории в задачах дифракции, по-видимому, начал W. Wendland [69]. Им были рассмотрены двумерные скалярные задачи дифракции на тонких экранах и развита соответствующая теория разрешимости этих задач. Позднее Е. Stephan [68] обобщил результаты на случай ограниченных экранов в Л3 с гладким краем. Отметим, что в рамках теории ПДО для скалярных задач этот переход осуществляется сравнительно легко. Далее в работах [60, 63] были рассмотрены экраны с угловыми точками и получены (численным методом) порядки сингулярности решений в окрестности этих точек, а так же введены и описаны весовые классы Соболева для самих решений. Эти исследования в определенном смысле продолжают пионерские работы В.А. Кондратьева [22] и Б. А Пламеневского [34] по анализу решений в окрестности конических точек.

При решении задач дифракции на незамкнутых поверхностях мы будем использовать технику исследования ПДО на многообразиях с краем. При этом будут специально выбраны векторные пространства Соболева, отвечающие «физическим» требованиям задачи дифракции.

В работе Ю.Г. Смирнова и А.С. Ильинского [18], была построена теория разрешимости (трехмерных) векторных электродинамических задач на незамкнутых поверхностях. Для задачи дифракции стороннего электродинамического поля на незамкнутых поверхностях были получены следующие результаты:

- теорема о существовании и единственности решений краевой задачи для системы уравнений Максвелла в соответствующих пространствах;

- утверждения о представимости решения задачи в виде векторного потенциала;

- сведение краевой задачи к уравнению на многообразии с краем;

- теоремы о «скачках» предельных значений для векторных потенциалов или других представлений решений краевой задачи;

- теоремы о разрешимости уравнения на многообразии в подходящих пространствах;

- теоремы о регулярности (о гладкости решений) и исследование асимптотического поведения решений в окрестности края и угловых точек многообразия;

- утверждение о зависимости решения уравнения и краевой задачи от параметров.

Основным инструментом исследования задач дифракции на незамкнутых поверхностях является теория псевдодифференциальных (ПД) операторов, действующих в пространствах Соболева сечений векторных расслоений [14, 32, 35, 39]. Задача дифракции анализируется по следующей схеме. Задача приводит к ПД уравнению на многообразии с краем Q (экране). Соответствующий ПД оператор L рассматривается в специально выбранных гильбертовых пространствах L: Я, -> Я2. Ключевым моментом при изучении задач дифракции является доказательство ограниченности и фредгольмовости с нулевым индексом оператора L. Доказательство проводится стандартным методом [19, 20]: оператор L представляется в виде суммы ограниченных операторов, непрерывно обратимого S и компактного К: L = S + K\ Решение исходной краевой задачи ищется в виде векторных потенциалов. Из единственности решения краевой задачи выводится единственность для решений соответствующего ПД уравнения Lu = /, и е Я,, а из альтернативы Фредгольма - разрешимость уравнения при любой правой части /еЯ2. От сюда следует разрешимость и для краевой задачи.

Существует два класса методов, позволяющих численно решать задачи математической физики. Первый класс - это иерархические методы. Основная идея этого подхода заключается в добавлении дополнительных базисных функций к уже существующим базисным функциям на некотором этапе решения задачи. В результате получается уточнение приближенного решения за счет совместного использования «старых» базисных функций, для которых элементы матрицы СЛАУ уже вычислены, и «новых» базисных функций. Таким образом, можно говорить об уровнях или иерархиях вычислительного алгоритма. При использовании результатов вычислении на предыдущем уровне достигается экономия вычислительных ресурсов для получения уравнения приближенного решения. Второй класс - это адаптивные методы. Для них выбор базисных функций на каждом уровне определяют за счет сравнения погрешности счета между различными, чаще всего соседними уровнями.

В данной работе предлагается другой подход, названный нами субиерархическим. В нем уже на первом шаге (уровне) один раз наиболее точно решается задача дифракции на экране простейшей прямоугольной формы. Далее, используя результаты решения задачи на первом шаге, мы «вырезаем» из него другой экран произвольной формы и, не производя повторных вычислений в матрице СЛАУ определяем значение поверхностных токов на новом экране. Таким образом, можно решить серию задач дифракции на экранах различной формы и, по существу, создать базу данных для их решения. Субиерархический метод, используется совместно с параллельными вычислительными алгоритмами в связи с большой вычислительной сложностью формирования матрицы СЛАУ на первом этапе. Наиболее удобно рассчитывать подобные задачи на кластере. Предложенный метод позволяет решать задачи дифракции, для экранов произвольной формы, используя результаты решения только одной задачи. Это возможно в том случае- если «новый» экран произвольной формы целиком помещается в «старом» прямоугольном экране. Разумеется, эффект от использования субиерархического метода будет проявляться только при решении большой серии задач дифракции.

Следует отметить, что для увеличения точности решения необходимо снова более точно решать задачу на прямоугольном экране. При увеличении размеров экрана (в длинах волн) также необходимо пересчитать первоначальную задачу. Однако во многих практических приложениях (например при проектирование печатных антенн) часто приходится большое количество задач дифракции на экранах различной формы помещающихся в некотором прямоугольнике (на подложке антенны), с некоторой фиксированной точностью. В этом случае построенная база данных оказывается весьма полезной и позволяет решать задачи дифракции на экранах нужной формы уже на персональном компьютере, а не на кластере который использовался при решении первой задачи на прямоугольном экране.

Данная работа содержит следующие основные результаты.

1. Введено понятие оператора, эллиптического на подпространствах, и доказана теорема о сходимости метода Галеркина для таких операторов.

2. Доказана теорема об аппроксимации функциями RWG любой функции из пространства W и получены оценки скорости сходимости метода RWG.

3. Получены аналитические решения для скалярных задач на круге.

4. Предложен и программно реализован параллельный вычислительный алгоритм, позволяющий решать задачу дифракции на экранах произвольной формы.

5. Предложена и программно реализована концепция построения субиерархических алгоритмов и вспомогательных баз данных для решения задачи дифракции на плоских экранах произвольной формы. Данная работа состоит из введения и трех глав. В первой главе рассматривается общая; постановка задачи, сведение задачи к интегро-дифференциальному и псевдодифференциальному уравнениям в пространствах Соболева. Вторая глава посвящена построению и анализу сходимости метода Галеркина. Третья глава посвящена реализации, численного метода — параллельного вычислительного алгоритма для решения задачи и анализу численных результатов.

В первой главе рассматривается постановка задачи, дифракции на плоском экране и основные свойства решений уравнений электрического поля, выбор векторных пространств W и W, сведение задачи к системе псевдодифференциальных уравнений: Во второй части этой главы рассматриваются аналитические решения скалярных уравнений, используемые для тестирования алгоритмов в векторной задаче. Введено понятие оператора, эллиптического на подпространствах.

Во второй главе описывается алгоритм решения уравнения электрического поля для произвольной поверхности. Производится выбор конечномерных подпространств и построение проекционного метода Галеркина в выбранных подпространствах. Доказывается сходимость метода Галеркина. Описывается субиерархический параллельный вычислительный алгоритм для решения уравнения электрического поля.

В третьей главе содержится описание численных результатов и сравнение их с результатами, полученными в работах других авторов.

Заключение диссертации по теме «Вычислительная математика», Медведик, Михаил Юрьевич

Основные результаты, полученные в данной работе, были сравнены с результатами работ [73] и [65]. Перейдем к описанию полученных результатов.

3.1. Решение задачи дифракции на прямоугольном экране

Первыми были получены результаты на квадратной пластине. Длина ребра квадратной пластины была равна длине волны Л. Волновое число к равняется 2л. Несмотря на небольшую точность при расчете интегралов 25 точек на носитель и маленький размер сетки 7 на 6 ячеек были построены графики, визуально совпадающие, с графиками, представленными в работе [65]. Результаты были получены на компьютере Pentium 4 с тактовой частотой= процессора 2400. Размер матрицы был равен 79 на 79 элементов. Время счета данной задачи составляло одну минуту.

Рис 1;

На графиках 1 и 2 представленных ниже изображены срезки по горизонтали и вертикали. Обе срезки выведены на один график. Ниже представлены два графика. Первый график построен по задаче с размером сетки 19 на 18 ячеек и точностью расчета интегралов 25 точек на носитель. Размер матрицы 883 на 883 элементов. Время счета задачи 2 часа. Второй график построен по задачи с размером сетки 35 на 34 и точностью расчета интеграла 25 точек на носитель. Размер матрицы элементов 3299 на 3299 элементов. Время счета задачи 18 часов. Отметим, что программа, написанная нами, позволяет считать и прямоугольные экраны любой формы. Экран квадратной формы был выбран исключительно в целях сравнения полученных результатов.

Графики представленные в работе [65] рассчитывались по сетке (размер сетке). На квадратном экране с длиной ребра равной волновому числу Л .

Однако, трудно судить о результатах только по срезкам. Срезки не дают представление обшей картины распределения токов, поэтому на графиках 3, 4, 5, 6 представлены поверхностные токи. Для графика 3 и 4 была рассмотрена задача с размером сетки 19 на 18 ячеек и точностью расчета интегралов 25 точек на носитель. График с номером 3 отображает поведение поверхностных токов направленных вдоль оси Ох. График с номером 4 отображает поведение поверхностных токов направленных вдоль оси Оу. На графике 5 и 6 была рассмотрена задача с размером сетки 35 на 34 и точностью расчета интеграла 25 точек на носитель. График с номером 5 отображает поведение поверхностных токов направленных вдоль оси Ох. График с номером 6 отображает поведение поверхностных, токов направленных вдоль оси Оу. Результаты данных графиков были сравнены с работой [73]. Они совпадают с графической точностью.

3.2. Решение задачи дифракции на экранах сложной формы

В работе [73] был приведен пример расчета токов фигуры сложной формы вырезанной из платины размером А-ЗА. Фигура имеет вид представленный на рис. 2. Результаты поверхностных токов рассчитанных нашим методом представлены на графиках 7 - 8 и графиках 9 - 10. График 7 и 8 отображают результаты поверхностных токов для задачи, решенной с сеткой 19 на 57 и точностью расчета интегралов 25. Время, потраченное на составление матрицы для; системы линейных уравнений в задаче, составляет 4 часа. Результаты были получены на компьютере Pentium 4 с тактовой частотой процессора 2400: На графике 7 построены поведение поверхностные токи вдоль оси Ох. На графике 7 построены поведение поверхностные токи вдоль оси Оу. График 9 и 10 отображают результаты поверхностных токов для задачи,

Рис. 2 решенной с сеткой 19 на 57 и точностью расчета интегралов 36. Время, потраченное на составление матрицы для системы линейных уравнений в задаче, составляет 14 часов. Результаты были получены на компьютере Pentium 4 с тактовой частотой процессора 2400. На графике 9 построены поведение поверхностные токи вдоль оси Ох. На графике 10 построены поведение поверхностные токи вдоль оси Оу.

Рассмотрим графики 11 и 12. Данные графики были построены для экрана представленного на рисунке 3. Фигура вырезалась из квадратной пластины с длиной ребра равной Л. Матрица к задаче рассчитывалась на кластере вычислительного комплекса ЫИВЦ МГУ. Размер сетки 49 на 48 элементов, точность расчета интеграла составляет 64 точки на носитель. Размер матрицы 6673x6673 элементов. Время составление матрицы на кластере равно 69 часов. Время загрузки матрицы из файла в виртуальную память на персональном компьютере составляет 2 часа. Время решения системы матричных уравнений методом Гаусса построенной по новому экрану составляет 1 часа. На графике И изображено поведение

Рис.3 поверхностных токов направленных вдоль оси Ох. На графике 12 построены поверхностные токи, направленные вдоль Оси Оу. рис. 4

На графиках 13 и 14 рассчитывалась фигура Н - образной формы. На рис. 4 изображен экран Н - образной формы. Экран вырезался из квадратной пластины с длиной ребра равной Л. Матрица к задаче использовалась та же, что и для предыдущей задачи. На графике 13 изображено поведение поверхностных токов направленных вдоль оси Ох. На графике 14 построены поверхностные токи, направленные вдоль оси Оу.

На следующих графиках 15 и 16 рассматривается экран крестообразной формы (рис. 5). Экран «вырезался» из квадратной пластины с длиной ребра равной Л. Матрица к задаче использовалась та же, что и для предыдущей задачи. На графике 13 изображено поведение поверхностных токов направленных вдоль оси Ох. На графике 14 построены поверхностные токи, направленные вдоль оси Оу. рис. 5

Рассмотрим графики 17 и 18. Данные графики были построены по фигуре круг, представленной на рис. 6. Экран «вырезался» из квадратной пластины с длиной ребра равной Л. рис. 6

Матрица к задаче использовалась та же, что и для предыдущей задачи. На графике 17 изображено поведение поверхностных токов направленных вдоль оси Ох. На графике 18 построены поверхностные токи, направленные вдоль оси Оу.

0,1 0,09 0,08 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 0

1 2 3 4 5 б 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

График №2.

Срезки для поверхностных токов случай 35x34x25

0,14 0,12 0,1 0,08 1 0,06 0,04 0,02 0

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33

График №1.

Срезки для поверхностных токов случай 19x18x25

График №4.

Поверхностные токи Jy

0,008000 0,007000 0,006000 0,005000 0,004000 0,003000 0,002000 0,001000 0,000000

График №6.

Поверхностные токи Jy

0,2-0,25

0,15-0,2

0,1-0,15

0,05-0,1

0-0,05

График №8.

Поверхностные токи Jv,

0,14-0,16

0,12-0,14

0,1-0,12

0,08-0,1 □ 0,06-0,08

0,04-0,06 Я 0,02-0,04

0-0,02

График №10.

Поверхностные токи У

LO С" ао-0,03 шо.03-0,06 оо.об-о.оэ 00,09-0.12 0,12-0,15 00,15-0.18 ■0,18-0,21

График №12.

Поверхностные токи Jy

ОО-О.ОЗ ВО,03-0.06 GO,06-0,09

00-0.07 ЯО,07-0,14 DO, 14-0,21 □0,21-0,28]

График №14.

Поверхностные токи Jy 0-0,06 ■ 0,06-0,12 ПО,12-0,18 DO,18-0,24 0-0,05 ■ 0,05-0,1 DO, 1-0,15 ПО,15-0,2

График №16.

Поверхностные токи Jv 0-0,02 ■ 0,08-0,1 0,02-0,04 □ 0,04-0,06 □ 0,06-0,08 □ 0,1-0,12 ВО,12-0,14 □ 0,14-0,16

0-0.01 ■ 0.01-0.02 DO 02-0.03 D0.03-0.04 И0.04-0.05

0.05-0.06 ■ 0,06-0.07 ИО 07-0.08 ИО.ОВ-О.ОЭ Я0.09-0.1

Поверхностные токи Jr (вид с верху) я щ BB

ГТР ii, & а us

S -л 1В Hi 1У si

Ш ЙЙД i BB vill л ■■ L "1Г;

УШ Ж к £ i 'IU

5J! 1 1 i BIJ 1ЛТЩ шив в L^iU в mm mm в BB

III №n an > v : 1 lfr я 1 В ПВ a i в IP ^B ттш щ r /п^ВВ в уш л1 ^ Ш в к

Li= d л 1 =

ШШШШ mv: — ч V? В BB

L Ш т Ш й ЛВВВ

Р21

Р20

Р19

Р18

Р17

Р16

Р15

Р14

R13

Р12

Р11

Р10

Р9

Р8

Р7

Р6

Р5

Р4

РЗ

Р2

Р1

0-0.01 ■ 0.01-0 02 D0 02-0.03 DO 03-0.04 ■ 0.04-0.05

0.05-0.06 И0.06-0.07 DO 07-0.08 ВО 08-0.09 0 0.09-0.1

0.14

Р15 0-0.02 □ 0.06-0 08

10.02-0.04 10.08-0 1

0.04-0.06

0,1-0 12

Поверхностные токи Jy (вид с верху)

Q 0-0.02 0.06-0 08 мл л г\ д л л

Ю.02-0.04 10.08-0.1

0.04-0.06

0.1-0.12

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Медведик, Михаил Юрьевич, 0 год

1. Бабич В.М., Булдарев B.C. Асимптотические . методы в задачах дифракции коротких волн. М.: Наука, 1972.

2. Вайнштейн JI.A. Электромагнитные волны. М.: Радио и связь, 1988.

3. Васильев Е.Н. Возбуждение тел вращения. М.: Радио и связь, 1987.

4. Владимиров B.C.-Уравнения математической физики. М.: Наука, 1981.

5. Воеводин В.В., Воеводин Вл. В.Параллельные вычисления. Спб.: БХВ — Петербург, 2002.

6. Вычислительные методы в электродинамике. /Под ред. Р. Миттры. М.: Мир, 1977.

7. Градштейн И.С., Рыжик И:М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматгиз, 1965.

8. Гринберг Г.А., Пименов Ю.В. К вопросу о дифракции электромагнитных волн на бесконечно тонких идеально проводящих экранах. //Журнал Теор. Физика, т.27, 1957, вып. 10, с.2326-2339.

9. Гринберг Г.А. Метод решения задач дифракции электромагнитных волн на идеально проводящих экранах, основанный на изучении наводимых на экранах теневых токов. I и II //Журнал Теор. Физика, сер.Б, т.28, 1958, вып.З, с.542-568.

10. Двайт Г.Б. Таблица интегралов и другие математические формулы. М.: Наука, 1983.

11. Дмитреев В.И., Захаров Е.В. Интегральные уравнения в краевых задачах электродинамики. М.: Изд-во МГУ, 1985.

12. Егоров Ю.В. Линейные дифференциальные уравнения главного типа. М.: Наука, 1984.

13. Егоров Ю.В. Лекции по уравнениям с частными производными. Дополнительные главы. М., Изд-во МГУ, 1985.

14. Егоров Ю.В., Шубин М.А. Линейные дифференциальные уравнения с частными производными. Элементы современной теории. В кн.:

15. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т.31. Итоги науки и техники, ВИНИТИ. М., 1988. С.5-125.

16. Захаров Е.В., Пименов Ю.В. Численный анализ дифракции» радиоволн. Mi: Радио и связь, 1982.

17. Зоммерфельд А. Дифференциальные уравнения в частных производных в физике, М.: Иностр. литература, 1950.

18. Зоммерфельд А. Оптика. М.: Иностр. Литература, 1973.

19. Ильинский А.С., Смирнов s Ю.Г. Дифракция электромагнитных волн на проводящих тонких экранах. М.: Радиотехника, 1996.

20. Канторович JI.B., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984.

21. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972.

22. Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния;. М.: Мир, 1987.

23. Кондратьев? В.А. Краевые: задачи! для эллиптических, уравнений в областях с коническими и угловыми точками. Труды ММО, т.16, 1967, с.209-292.

24. Купрадзе В.Д. Основные задачи математической теории дифракции. М.: Гостехиздат, 1935.

25. Купрадзе В.Д. Граничные задачи; теории колебания и интегральные уравнения. М.: Гостехиздат, 1951.

26. Корнейчук Н.П. Сплайны в теории приближения. М;: Наука, 1984.

27. Лионе: Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971.

28. Медведик М: Ю., Смирнов Ю. Г. Параллельный вычислительный алгоритм и расчет поверхностных токов для электромагнитной задачидифракции на плоском экране. Новые промышленные технологии. 2005. №.1.с. .

29. Медведик М. Ю. Исследования задачи дифракции акустической волны на диске. Системный анализ, управление и обработка информации. Пенза. Сборник научных трудов университетского семинара. 2001. №.1. с. 36-43.

30. Медведик М. Ю. Метод псевдодифференциальных уравнений для решения электромагнитной задачи дифракции на прямоугольной пластине. Актуальные проблемы науки и образования. Пенза: Информационно-издательский центр ПРУ. 2003; Т.1. с. 26-28;

31. Медведик М. Ю;, Смирнов Ю. Г., Соболев С.И. Параллельный алгоритм расчета поверхностных токов в электромагнитной задаче дифракции на экране. Вычислительные методы и программирование. 2005. Т.6. с. 99108. '

32. Мищенко А.С. Векторные расслоения и их применения. М.: Наука, 1984.

33. Миттра Р., Ли С. Аналитические методы теории волноводов. М:: Мир, 1974.

34. Пламеневский Б.А. Алгебра псевдодифференциальных операторов. М.: Наука, 1986.

35. Ремпель Ш., Шульце Б.-В. Теория индекса эллиптических краевых задач. М., Мир, 1986.

36. Смирнов Ю.Г. О разрешимости векторных интегродифференциальных уравнений в задаче дифракции; электромагнитного поля на экранах произвольной формы. // Журнал вычисл. матем. и матем. физики, 1994, т.34, №10; с. 1461-1475;

37. Сологуб В.Г. Коротковолновая асимптотика решения задачи дифракции на круглом диске. //Журнал вычисл. матем. и матем. физики, 1972, т. 12, №2, с.388-412.

38. Сологуб В.Г. О решении одного интегрального уравнения типа свертки с конечными пределами интегрирования. //Журнал вычисл. матем. и матем. физики, 1970, т. 11, №4, c:637-654.

39. Тейлор М. Псевдодиффренциальные операторы. М.: Мир, 1985.

40. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики.— М.: Наука, 1966.

41. Трибель X. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. М.: Мир, 1980.

42. Уфимцев П.Я. Метод краевых волн в физической теории дифракции. М.: Сов. радио, 1962.

43. Фельд Я.Н. Основы теории щелевых антенн. М.: Сов. радио, 1948.

44. Фельд Я.Н. Дифракция электромагнитных волн на незамкнутых металлических поверхностях. //Радиотехника и электроника, 1975, т.20, №1, с. 28-38.

45. Хенл X., Мауэ А., Вестпфаль К. Теория дифракции. М.: Мир, 1964.

46. Шубин М.А. Псевдодифференциальные операторы и спектральная теория. М.: Наука, 1978:

47. Эскин Г.И: Краевые задачи для эллиптических псевдодифференциальных уравнений. М.: Наука, 1973:

48. Angell T.S., Hsiao G.C., Krai J. Double Layer Potentials on Boundaries with Corners and Edges. //Comment. Math. Unit. Carol. 1986, vol.27, p.419.

49. Computational Electromagnetics: Frequency-Domain Method of Moments. Ed. By E.K. Miller, L. Medgyesi-Mitschand, E.H. Newman. //IEEE Press, New York, 1992.

50. Costabel M. Boundary Integral Operators on Curved Polygons. //Ann. Mat. Рига Appl., 1983, vol.133, p.305-326.

51. Costabel M. Boundary Integral Operators on Lipschitz Domains: Elementary Results. //SIAM J. Math.-Anal., vol.19, № 3, May 1988, p. 613-626.

52. Harrington R.F. Field Computation by Moment Methods. Macmillian Co., New York, 1968.

53. Harrington R.F. Mautz J.R. Computation Methods for Transmission on Wave. //Electromagnetic Scattering. Edited by P.L.E. Uslenghi New York, Academic Press, 1978, p.429-470.

54. Kohn J.J., Nirenberg L. Ant Algebra of Pseudodifferential Operators: //Commun. Pure and Appl. Math., 1965, v. 18, № 1-2, p. 269-305.

55. Maue A.W. Toward Formulator of a General Diffraction Problem via an Integral Equation; // Zeitschrift ftir Physik, vol. 126, 1949, p. 601-618.

56. Miller E.K., Poggio A.J. Moment-Method Techniques in: Electromagnetics from' an: Applications: Viewpoint. //Electromagnetic Scattering. Edited by P.L.E. Uslenghi New York, Academic Press, 1978, p. 315-358.

57. Mittra R:, ed. Numerical and Asymptotic Techniques in Electromagnetics. New York: Springer Verlag, 1975.

58. Moor J., Pizer R.\ Moment Methods in Electromagnetics: Techniques and; Applications. New York: John Wiley & Sons, 1984.

59. Morrison J.A., Lewis J.A. Charge Singularity at the Corners of a Flat Plate. // . SIAM J. Appl. Math, vol.31, 1976, p. 233-250.

60. Muller CI. Foundations of the Mathematical Theory of Electromagnetics

61. Waves, Springer-Verlag; New York, 1969.

62. Paivarinta L., Rempel S. A decovolution problem with Kernel l/|x| on the plane. //Appl. Anal. 1987. vol.26, p.105-128.

63. Paivarinta L., Rempel S. Corner singularities of solutions to A±U2u = f in two dimentions. //Asymptotic Analysis, 5, .1992, p. 429-460.

64. Ramm F.G. Scattering by Obstacles. //Dordrecht. D. Reidel Publ. Сотр., 1986.

65. Rao S.M., Wilton D.R., Glisson A.W. Electromagnetic Scattering by Surface of Arbitrary Shape. //IEEE Trans. Antennas Propagation, vol. Ap-30, №3, 1982, p. 409-418.

66. Smirnov Yu. G., Vartanov A. A., Medvedik M. Yu. Pseudodifferential Equations Method for Solving of Problem of Electromagnetic Wave Diffraction on Conducting Screens. //In: Proceedings of 3rd International

67. Conference «Antenna Theory and Techniques», Sevastopol, Ukraine, 8-11 September, 1999, p. 150-151.

68. Stephan E.P. Boundary Integral Equations for Screen Problem in 7?3. //Integral Equation and Operator Theory. 1987. vol.10, p.236-257:

69. Stephan E., Wendland W.L. An Augmented Galerkin Procedure for the Boundary Integral Method Applied to Two-dimensional Screen and Crack Problems. //Applicable Analysis. 1984. vol.18, p.105-128.

70. Wang J.H.H. Generalized Moment Methods in Electromagnetics. //New York: John Wiley & Sons, 1991.

71. Penzel F. Sobolev Space Methods For The Laplace Equation In The Exterior Of The Disk. // Integral Equations and Operator Theory. 1993. vol. 17.

72. Penzel F. A Combined Boundary Element and Fourier Method.

73. A. Peter M. Zwamborn and Peter M. van den Berg. A Weak Form of the Conjugate Gradient FFT Method for Plate Problems. IEEE Transactions on antennas and propagation, vol 39, pp 224-228, February 1991.