Исследование математических моделей двумерной дифракции, криволинейных и биконических вибраторных антенн методом Галеркина тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат технических наук Эминов, Илья Стефанович

• Эминов, Илья Стефанович
• кандидат технических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат технических наук Эминов, Илья Стефанович

Список условных обозначений

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1.

ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ДИФРАКЦИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН НА

НЕЗАМКНУТЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ

1.1 Векторное уравнение в задаче дифракции электромагнитных волн на идеально-проводящей поверхности

1.2 Система интегро-дифференциальных уравнений на произвольной идеально-проводящей поверхности

1.3 Уравнения дифракции Е и II поляризованных волн на незамкнутой цилиндрической поверхности

1.4 Уравнения дифракции на незамкнутой поверхности вращения

Глава 2.

РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ И ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДИФРАКЦИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН НА НЕЗАМКНУТЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ПОВЕРХНОСТЯХ

2.1 Решение интегрального уравнения с логарифмической особенностью в ядре методом Галсркина

2.2 Решение гиперсингулярного уравнения методом Галеркина

2.3 Решение интегрального уравнения дифракции для волн Е -поляризации на произвольной цилиндрической незамкнутой поверхности

2.4 Решение интегрального уравнения дифракции для волн Н-поляризации на произвольной цилиндрической незамкнутой поверхности

Глава 3.

РЕШЕНИЕ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

КРИВ О ЛИНЕЙ! 1ЫХ И БИКОИИЧЕСКИХ ВИБРАТОРНЫХ АНТЕНН

3.1 Решение интефо-дифферснциалыюго уравнения линейного вибратора

3.2 Решение интсгро-дифференциалыюго уравнения дугового вибратора

3.3 Решение интегро-диффереппиальпого уравнения цилиндрической спиральной вибраторной антенны

3.4 Решение интсгро-дифференциалыюго уравнения криволинейной вибраторной антенны

3.5 Интегральное уравнение задачи дифракции Е поляризации на незамкнутой поверхности вращения

3.6 Решение игггегро-дифференциалыгого уравнения биконических вибраторных антенн

Глава 4.

РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЫ 1БТХ УРАВНЕНИЙ С МАЛЫМ ПАРАМЕТРОМ

СИНТЕЗА ЛИНЕЙНБ1Х А1ГГЕНН МЕТОДОМ ГАЛЕРКИНА

4.1 Постановка задач синтеза поверхностных токов по заданной диаграмме направленности. Уравнения с малым параметром

4.2 Анализ уравнения с малым параметром

4.3 Решение уравнения синтеза линейной антенны методом Галеркина. Анализ решения

4.4 Токовый синтез на полосе

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование математических моделей двумерной дифракции, криволинейных и биконических вибраторных антенн методом Галеркина»

Актуальность работы.

Вибраторные антенны наряду с щелевыми и зеркальными антеннами находят самое широкое применение. Вибраторные антенны используются как в качестве самостоятельных антенн, так и в составе сложных антенных систем. Они устанавливаются на различных объектах: самолетах, автомобилях, кораблях, космических летательных аппаратах и т.д. Поэтому исследование математических моделей вибраторных антенн имеет важное теоретическое и практическое значение.

Исследование реальных вибраторных антенн приводит к сложным задачам электродинамики, решение которых сопряжено с большими математическими трудностями и практически осуществимо только на основе построения математических моделей реальных объектов. В процессе развития теории антенн сформировалась некоторая система математических моделей, более или менее полно отражающих реальную ситуацию. Так уже при постановке задачи делают ряд упрощающих предположений. Пренебрегают влиянием соседних тел, т.е. считают, что рассматриваемый объект является уединенным. Предполагают, что окружающее пространство безгранично и заполнено однородной изотропной средой. Если рассматриваемый объект металлический, его обычно считают идеально проводящим. Кроме того, стремятся максимально упростить форму объекта, сохраняя ее основные особенности. Именно этот класс моделей и будет рассмотрен в данной работе. Будем считать поверхность вибраторной антенны незамкнутой и идеально проводящей.

Электродинамический анализ вибраторных антенн основан на решении интегральных и интегро-дифференциальных уравнений.

Обзор известных методов решения интегральных и интегро-дифференциальных уравнений двумерной дифракции и вибраторных антенн.

Приведем краткий обзор работ, посвященных решению интегральных и интегро-дифференциальпых уравнений вибраторных антенн.

Интегральное уравнение вибраторной антенны впервые исследовано, по-видимому, в работе шведского ученого Э.Халлена в конце 30-х годов [1]. Независимо от Халленна интегро-дифференциальное уравнение вибраторной антенны было исследовано советскими учеными М.А. Леонтовичем и М.Л.Левиным в 1944г. \2] методом возмущений - методом, характерным для этого периода развития методов решения интегральных уравнений. Существенным недостатком метода возмущений является то, что требуется, чтобы вибратор был не только топким, но и экспоненциально тонким.

Начало развития численных методов решения интегральных уравнений вибраторных антенн приходит на конец 50-х годов. В 1959 году Я.Н. Фельд одним из первых предложил [6] решать интегро-дифференциальные уравнения вибраторных и щелевых антенн методом Галеркина на основе тригонометрического базиса, когда каждая базисная функция обращается в нуль на концах интервала интегрирования. Решению интегрального уравнения вибраторной антенны посвящена работа П.Л.Капицы, В.А.Фока и Л.А.Вайнштейна [5]. В ней ядро интегрального уравнения задано точным. Используя разложение тока в тригонометрический ряд, получена бесконечная система для определения искомых коэффициентов. В данной работе не приводятся результаты численных расчетов. Однако в последующих работах [19,20] этих авторов приводятся результаты численных решений интегральных уравнений а также сравнения с другими авторами.

В конце 50-х и вначале 60-х годов появились работы зарубежных исследователей, где развиты численные методы решения интегральных уравнений [3,8,10,16,17]. Результаты этих исследований систематизированы в монографии [32]. В этой книге изложен метод коллокаций на основе тригонометрического и кусочно-постоянного базиса, приводятся результаты численного решения интегральных уравнений. На графическом материале продемонстрирована сходимость метода коллокаций. Чрезвычайно важным является то, что было показано совпадение результатов численных методов с результатами экспериментальных исследований. После выхода в свет книги [32], появилось большое количество работ, посвященных интегральным и интегро-дифференциальным уравнениям вибраторных антенн. В работе [34] была проведена сравнительная оценка. Приведена таблица, характеризующая сходимость метода коллокации при определении входных сопротивлений. Получено еще одно подтверждение эффективности метода коллокации для решения интегро-дифференциальных уравнений. Усилия многих исследователей были направлены на изучение преимуществ других базисных функций при решении уравнений методом Галеркина или методом коллокации. Были апробированы кусочно-линейные функции, кусочно-тригонометрические, степенные функции, а также функции, удовлетворяющие условиям Мейкснера на ребре. Вместе с тем перечисленным работам присущи определенные недостатки. В этих работах точное сингулярное ядро заменяется на приближенное непрерывное ядро. И остаются неосвещенными вопросы низкой эффективности численных методов при расчете входных сопротивлений rio сравнению с решением уравнений пассивных антенн или задач дифракции на тонких экранах.

В 1980 г. в работе А.Н.Тихонова, A.C. Ильинского, А.Г. Свешникова [39] была выяснена структура ядра интегрального уравнения вибраторной антенны. Было доказано, что ядро имеет логарифмическую особенность при совпадении точек излучения и наблюдения. Несколько позже аналогичные результаты появились в американской литературе [45]. Таким образом, была выявлена аналогия между уравнениями вибраторных антенн и уравнениями задач дифракции электромагнитных волн на незамкнутых цилиндрических поверхностях. Для решения интегральных и интегро-дифференциальных уравнений Е и Н поляризованных волн на незамкнутых цилиндрических поверхностях в работе [50] изложен метод механических квадратур. В работе [50] продемонстрирована высокая эффективность метода механических квадратур. В работе [461 предложен метод коллокации на основе кусочнопостоянного базиса. Дальнейшее развитие метода коллокации на основе кусочно-постоянного базиса проведено в работе [51]. В этой работе рассматривается задача дифракции электромагнитных волн на произвольной идеально-проводящей поверхности. Получена система двух интегро-дифференциальных уравнений относительно касательных составляющих поверхностных токов. Форма записи интегро-дифференциальных уравнений оказалась весьма эффективной для численного решения различными методами: методом коллокации, методом Галеркина и т.д. Эта работа оказала весьма плодотворное влияние на дальнейшее развитие численных методов решения интегро-дифференциальных уравнений. Также упомянем монографию [56], в которой исследуются вибраторные антенны в форме замкнутых тел. Для замкнутых тел удается получить интегральное уравнение Фредгольма второго рода. В работе исследованы не только идеально-проводящие, но и импедансные тела и идеально-проводящие тела, покрытые многослойным магнитодиэлектриком. Теории интегральных уравнений дифракции электромагнитных волн на замкнутых идеально проводящих телах посвящена монография [57].

Используя результаты работы [39], в другой работе [58] была предпринята попытка построения математически строго решения интегрального уравнения вибраторной антенны. Проведено общее исследование интегрального уравнения с логарифмическим ядром, включая вопросы существования и единственности. Для решения интегрального уравнения развит метод коллокации на основе полиномов Чебышева первого рода. Вместе с тем, в работе не приводится обоснование сходимости приближенного решения к точному решению.

В работе [60] построена теория интегро-дифференциального уравнения цилиндрического вибратора. В основе теории лежит выделение главного оператора и доказательство того, что главный оператор является положительно определенным в пространстве квадратично суммируемых функций. Далее в этой работе доказано, что интегро-дифференциальное уравнение эквивалентно уравнению Фредгольма второго рода. Для решения исходного интегро-дифференциального уравнения предложен метод Галеркина на основе полиномов Чебышева второго рода, умноженных на весовую функцию. Эти базисные функции обладают двумя замечательными свойствами. Во-первых, каждая базисная функция обладает нужным поведением на концах интервала, удовлетворяет условию Мейкснера на ребре. Во-вторых, в аналитическом виде удается найти преобразование Фурье от базисных функций [35]. Это свойство позволяет эффективно решать проблему вычисления матричных элементов для линейных структур: в задачах дифракции на полосе и на отрезке кругового цилиндра.

В работах [60] приведены результаты численных расчетов, полученных методом Галеркина. Анализ численных расчетов показывает, что в задачах дифракции сходимость метода Галеркина быстрая, а в задачах возбуждения медленная. Причины этого явления изучены в работах [71,77]. И причина медленной сходимости связана с тем, что в задачах возбуждения правая часть интегро-дифференциальпого уравнения разлагается в медленно сходящийся ряд. Для преодоления указанной трудности предложен новый метод решения, который можно рассмотреть как модификацию метода Галеркина. Этот метод также называется численно-аналитическим методом. На основе последнего метода проведены расчеты входного сопротивления цилиндрического вибратора в широком диапазоне изменения входных параметров и построена таблица входных сопротивлений. В этой книге вычислены входные сопротивления для линейных вибраторов.

Проведенные в работе [71] исследования показали преимущество метода Галеркина на основе полиномов Чебышева второго рода по сравнению с другими численными методами: методом механических квадратур и методом коллокации. Поэтому представляется важным и актуальным перенести эти методы на криволинейные и бикопические вибраторные антенны.

Необходимо отметить, что интерес к вибраторным антеннам продолжает оставаться и в настоящее время среди ведущих научных школ [65,76,88], предпринимаются попытки создания новых математических методов для решения интегральных и интегро-дифференциальных уравнений.

Наряду с задачами электродинамического анализа антенн, к важнейшим задачам теории антенн и теории дифракции относятся задача синтеза поверхностных токов по заданной диаграмме направленности [13]. Связь между поверхностными токами и полем в дальней зоне описывается уравнением Фредгольма первого рода. Задача решения уравнения первого рода является некорректной и долгое время оставалась нерешенной. Ситуация начала меняться после выхода в свет работы Тихонова А.Н. [14], в которой были предложены новые методы решения некорректных задач. В основе этих методов лежит замена уравнения первого рода на уравнение Фредгольма второго рода с малым параметром. Методы решения некорректных задач широко применялись в теории антенн. Они оказались достаточно эффективными в задачах синтеза поверхностных токов на замкнутых поверхностях [28,63]. В то же время, когда поверхность незамкнута, то решение уравнения с малым параметром не удовлетворяет условию Мейкснера на ребре.

В работах [68,69] предложены новые уравнения синтеза поверхностных токов на незамкнутых поверхностях. Структура этих уравнений совпадает со структурой уравнений в задачах анализа, а решения уравнений удовлетворяют условиям Мейкснера на ребре. Работы носят преимущественно теоретический характер, представляется важным разработать численные методы решения уравнений с малым параметром.

Целью диссертации является исследование математических моделей дифракции электромагнитных волн на незамкнутых цилиндрических поверхностях, криволинейных и биконических вибраторных антенн.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

- разработка численных методов, решение интегрального и интегро-дифференциального уравнения относительно поверхностных токов, наведенных электромагнитным полем на цилиндрической незамкнутой поверхности;

- разработка численных методов, решение интегро-дифференциальных уравнений криволинейных и биконических вибраторных антенн;

- разработка численных методов, решение интегрального и интегро-дифференциального уравнения с малым параметром в задаче синтеза токов по заданной диаграмме направленности.

Объектом исследования являются математические модели дифракции электромагнитных волн па незамкнутых цилиндрических поверхностях, криволинейных вибраторных антенн.

Предметом исследования является внутренняя сходимость численного метода Галеркина при решении интегральных и интегро-дифференциальных уравнений, а также совпадение с результатами других авторов для частных случаев.

Метод исследования. Для исследования математических моделей дифракции и антенн применяется метод интегральных уравнений. При решении уравнений используется численный метод Галеркина на основе полиномов Чебышева первого и второго рода.

Научная новизна исследования состоит в следующем:

- исследована и решена численным методом Галеркина задача дифракции Я - поляризации на произвольной криволинейной цилиндрической поверхности;

- исследована и решена численным методом Галеркина задача электродинамического анализа криволинейных и биконических вибраторных антенн;

- решено ингегро-дифференциальное уравнение с малым параметром в задаче синтеза токов на поверхности линейного вибратора по заданной диаграмме направленности;

- решено интегральное уравнение с малым параметром в задаче синтеза токов Е - поляризации на полосе.

Практическая значимость работы.

Разработаны высокоэффективные алгоритмы и комплексы программ расчета электродинамических характеристик криволинейных вибраторных антенн, работающие в широком диапазоне изменения входных параметров.

Результаты диссертационной работы были использованы в следующей научно-исследовательской работе:

Фундаментальная ПИР "Обобщенные решения нелинейных интегро-дифференциальпых и разностных уравнений", руководитель Панов Е.Ю., по заданию Минобрпауки России, гос.рег. №01200951831, 2009-2011.

Достоверность теоретических результатов обеспечивается использованием апробированных методов теории интегральных уравнений, строгой обоснованностью метода Галеркина при решении интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. Критерием достоверности служит совпадение с имеющимися экспериментальными данными, а также совпадение с результатами других авторов.

На защиту вынося тся следующие основные положения:

1) развитие численного метода Галеркина в задаче дифракции Н-поляризации на криволинейной незамкнутой цилиндрической поверхности;

2) развитие численного метода Галеркина в задаче электродинамического анализа криволинейных и биконических вибраторных антенн;

3) анализ входных сопротивлений в зависимости от геометрии антенны;

4) исследование и решение численным методом Галеркина уравнений с малым параметром в задачах синтеза токов по заданной диаграмме направленности.

Апробация рабо ты. Результаты работы докладывались и обсуждались на конференциях:

• 7-й Международной научно-технической конференции, посвященной 150-летию со дня рождения А.С.Попова "Физика и технические приложения волновых процессов" (Самара, 2008 г.);

• 52-й научной конференции МФТИ "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук" (Москва, 2009 г.);

• ежегодных научных конференциях преподавателей, аспирантов, студентов НовГУ (Великий Новгород, 2009 г. - 2011 г.) Публикации. Всего по теме диссертации опубликовано 18 работ, из них

4 статьи в журналах, входящих в перечень, рекомендованных ВАК для публикации основных результатов. Получены два свидетельства о регистрации программ для ЭВМ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения, изложенных на 106 страницах, а также списка литературы. В работе имеется 6 рисунков и 54 таблицы. Список литературы содержит 94 наименования.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Эминов, Илья Стефанович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, в работе получены следующие основные результаты.

1. Векторное уравнение в задаче дифракции электромагнитных волн на незамкнутой поверхности вращения в осесимметричном случае сведено к двум скалярным уравнениям. Последние уравнения записаны в виде, допускающем эффек тивное решение методом Галеркина: оператор двойного дифференцирования один раз проводится в точке излучения, а другой раз - в точке наблюдения.

2. Проведено исследование математической модели задачи дифракции Е поляризованной волны на произвольной незамкнутой цилиндрической поверхности. В основе исследования лежит решение интегрального уравнения относительно поверхностных токов. Для решения интегрального уравнения развит метод Галеркина на основе полиномов Чебышева первого рода, умноженных на весовую функцию. Проведены численные расчеты для полосы и параболического цилиндра. Продемонстрирована быстрая сходимость метода 1 алеркипа по мере увеличения числа базисных функций. Показано, что при уменьшении кривизны результаты для параболического цилиндра приближаются к соответствующим значениям полосы.

3. Проведено исследование математической модели задачи дифракции Н поляризованной волны на произвольной незамкнутой цилиндрической поверхности. В основе исследования лежит интегро-дифференциальное уравнение относительно поверхностных токов. Для решения интегро-дифференциальиого уравнения развит метод Галеркина на основе полиномов Чебышева второго рода, умноженных на весовую функцию. Наряду с матрицей гиперсингулярного оператора, в работе аналитическими средствами найдена матрица интегрального оператора с логарифмическим ядром. Построен эффективный численный алгоритм и программа. Проведены исследования для параболического цилиндра и полосы. Показана быстрая сходимость метода Галеркина по мере увеличения числа базисных функций в широком диапазоне изменения входных параметров. Также показано, что по мере уменьшения кривизны результаты для параболического цилиндра приближаются к соответствующим значениям полосы.

3. Проведено исследование математических моделей криволинейных и биконических вибраторных антенн. В основе исследований лежит решение двумерного интегро-дифференциального уравнения. В работе развит общий подход для выделения логарифмической особенности и сведения исходного уравнения к стандартному гиперсингулярному уравнению. Найдено эффективное решение проблемы вычисления матричных элементов, представленных в виде двойных и тройных интегралов. Разработаны алгоритмы и программы решения интегро-дифференциальных уравнений линейных, дуговых, спиральных, произвольных криволинейных и биконических вибраторных антенн. На большом численном материале продемонстрирована быстрая сходимость метода Галеркина. Проведены многочисленные сравнения с другими исследованиями и получено удовлетворительное совпадение результатов. Проведен электродинамический анализ в зависимости от различных параметров.

4. Проведено исследование математической модели задачи синтеза токов по заданной диа!рамме направленности дли линейного вибратора. В основе исследования лежит решение гиперсингулярного уравнения с малым параметром. Впервые решены уравнения с малым параметром методом Галеркина на основе полиномов Чебышева. Найдено эффективное решение проблемы вычисления матричных элементов. Продемонстрирована высокая эффективность метода Галеркина в широком диапазоне изменения, как параметра малости, так и других параметров задачи. В результате решения находятся поверхностные токи и реализованная диаграмма. Исследована возможность приближения к заданной диаграмме направленности.

5. Проведено исследование математической модели задачи синтеза токов по заданной диаграмме направленности дли полосы в случае Е поляризации.

В основе исследования лежит решение интегрального уравнения с логарифмическим ядром, содержащим параметр малости. Впервые решено уравнение с малым параметром методом Галеркина на основе полиномов Чебышева первого рода. Продемонстрирована быстрая сходимость метода Галеркина в широком диапазоне изменения параметра малости. В результате решения находятся поверхностные токи и реализованная диаграмма. Исследовано поведение нормы токов по мере уменьшения параметра малости и приближения к заданной диаграмме направленности в зависимости от других параметров задачи.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Эминов, Илья Стефанович, 2011 год

1. Hallen Е. Thcorctical investigations into the transmittion and receiving qualities ofantennas // Nova acta rcgial societatis scientiarum upsaliensis. Ser. 4. 1938. - Vol. 2 , Uppsala. - № 4. - P. 1 - 44.

2. Леонтович M.A., Левин M.JL К теории возбуждения колебаний в вибраторах антенн // ЖТФ . 1944. - Т. 14. - Вын.9. - С. 481 - 506.

3. King R.W.P. The Theory of Linear Antennas with Charts and Tables for Practical Applications. Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press, 1956. - 944p.

4. Капица ПЛ., Фок B.A., Вайнштейн Л.А. Симметричные электрические колебания идеально проводящего цилиндра конечной длины // ЖТФ. 1959. -Т. XXIX.-Выи. 10.-С. 1188- 1205.

5. Капица ПЛ., Фок В.А., Вайнштейн Л.А. Статистические граничные задачи для полого цилиндра конечной длины // ЖТФ. 1959. - Т. XXIX. - Вып. 10. — С. 1177- 1187.

6. Фельд Я. II., Бснепсои JI.C. Антенпо-фидерные устройства. Часть 2. М.: ВВИА им. Н.Е.Жуковского, 1959. - 552 с.

7. Васильев Е. II. Возбуждение гладкого идеально проводящего тела вращения // Изв. Вузов СССР. Сер. Радиофизика. 1959. - Т. 2. - № 4. - С. 588 - 601.

8. Duncan R.H., Ilinchey Е.А. Cylindrical Antenna Theory // Jornal of Research of the Nation Bureau of Standards D. Radio Propagation. - 1960. - Vol.64. - № 5. -P. 584-594.

9. Марков Г.Т. Антенны. М.-Л.:Госэнергоиздат,1960. - 535c.

10. Wu T.T. Theory of the dipole antenna and two-transmission line // J. Math. Phys. 1961. - Vol. 2. - P. 550 - 574.

11. Драбкин А.Л., Зузеико В.Л. Антенно-фидерные устройства. М.: Сов. Радио, 1961.-816с.

12. Градпггейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Изд. физ.-мат. лит-ры, 1962. - 1100 с.

13. Зелкин Е.Г. Построение излучающей системы по заданной диаграмме направленности. М. -Л.: Энергоиздат, 1963. -272с.

14. Тихонов A.II. Решение некорректно поставленных задач и метод регуляризации.//Докл. АН СССР. 1963. - Т. 151. -№3. — С.501-504.

15. Хенл X., May А., Вестпфаль К. Теория дифракции. М.: Мир, 1964. - 428 с.

16. Mei К.К. On the integral equations of thin wire antennas // IEEE Trans, on

17. Antennas and Propagation. 1965. - Vol. AP-13. - P. 374 - 378.

18. King R.W.P., Wu T.T. The Cylindrical Antenna with Arbitrary Drivinng Point // IEEE Trans, on Antennas and Propagation. 1965. - Vol. AP-13. - Sept. - P.710 -718.

19. Вайнштсйп JI.A. Теория дифракции и метод факторизации. М.: Советское радио, 1966. - 431 с.

20. Фок В.А., Вайпштейн JI.A. Симметричные электрические колебания идеально проводящего цилиндра конечной длины.Ш. Передающий вибратор. Общие замечания. // ЖТФ. 1967. - Т. XXXVII. - Вып. 7. - С. 1189 - 1195.

21. Вайнштейн JI.A. Симметричные электрические колебания идеально проводящего цилиндра конечной длины.П. Численные результаты для пассивного вибратора. // ЖТФ. 1967. - Т. XXXVII. - Вып. 7. - С. 1181 - 1187.

22. Мусхелишвили П.И. Сингулярные интегральные уравнения. -М.:Наука,1968. 511с.

23. Минкович Б.М., Яковлев В.Г1. Теория синтеза антенн. М.:Сов. радио,1969. -269 с.

24. Popovic B.D. Polynomial approximation of current along thin symmetrical dipoles.// Proc. IRE. 1970. - Vol.117. - №5.

25. Михлип С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1970.-420 с.

26. Шестопалов В.П. Метод задачи Римана-Гильберта в теории дифракции и распространения электромагнитных волн. Харьков: Изд-во Харьк. ун-та, 1971. - 400 с.

27. Колмогоров A.II., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.:Наука,1972. - 496с.

28. Ворович И.И., Александров В.М., Бабешко В.А. Неклассические смешанные задачи теории упругости. М.: Наука, 1974. - 455 с.

29. Бахрах Л.Д., Кремепецкий С.Д. Синтез излучающих систем (теория и методы расчета). М: Сов. радио, 1974. - 232 с.

30. Марков Г.Т., Сазонов Д.М. Антенны. М.: Энергия, 1975. - 528 с.

31. Краснов МЛ. Интегральные уравнения. М.:Наука,1975. - 302 с.

32. Канторович JI. В., Акилов Г.Г1. Функциональный анализ. М.:Наука,1977. -742с.

33. Вычислительные методы в электродинамике / Под ред. Р. Митры. М.: Мир, 1977.-485 с.

34. Гахов В.Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977. - 640 с.

35. Докуков И.Л., Рунов A.B. Сравнительная оценка возможностей интегральных уравнений Халлена и Поклингтона // Радиотехника и электроника (Минск). 1978. - Вып. 8. - С. 84 - 89.

36. Фихмапас Р.Ф., Фридберг П.Ш. Использование аналитических свойств преобразования Фурье при численной реализации вариационных принципов // Радиотехника и электроника. 1978. - Т. 23. - № 7. - С. 1465-1476.

37. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Паука, 1978. - 206с.

38. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. / Под ред. М.А.Абрамовича и И.Стигана. Пер. с англ. / Под ред. В.А./{иткина и Л.Н.Карамзиной. М.: Наука, - 1979. - 832 с.

39. Тихонов А.II., Арсении В Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979.-285с.

40. Тихонов А.Н., Ильинский A.C., Свешников А.Г. Математические модели электродинамики излучающих систем // Проблемы вычислительной математики. М.: МГУ, 1980. - С. 96.

41. Сахнович JI.A. Уравнения с разностным ядром на конечном отрезке//Успехи математических паук. -1980. Т.35. - Вып. 4(214).С.69-129.

42. Бирман М. Ш., Соломяк М. 3. Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. Ленинград: Изд-во Ленингр. универс., 1980.-264 с.

43. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. М.: Наука, 1981. - 700 с.

44. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. -М.: Наука, 1981.-416 с.

45. Селин В.И. Об интегральных уравнениях тонких криволинейных проводников//Радиотехника. 1981.-Т. 36.-№ 7.-С. 74-78.

46. Jones D.S. Note on the integral equation for a straight wire antenna. //IEE PROC. -1981. Vol.128. -№2. -P.l 14-118.

47. Захаров E.B., Пимсиов 10.В. Численный анализ дифракции радиоволн. М.: Радио и связь, 1982. - 184 с.

48. Попов Г.Я. Контактные задачи для линейно-деформируемого основания.-Киев-Одесса: Вита школа, 1982 . 168с.

49. Прудников Л.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Специальные функции. М.: Наука, 1983. - 752 с.49 . Марков Г.Т., Чаплин А.Ф. Возбуждение электромагнитных волн. М.: Радио и связь, 1983. 286 с.

50. Панасюк В.В., Саврук М.П., Назарчук З.Т. Метод сингулярных интегральных уравнений в двумерных задачах дифракции. Киев: Наук, думка, 1984,- 344 с.

51. Давыдов А.Г., Захаров Е.В., Пименов Ю.В. Метод численного решения задач дифракции электромагнитных волн на незамкнутых поверхностях произвольной формы // ДАН СССР. 1984. - Т. 276. - № 1. - С. 96 - 100.

52. Айзенберг Г.З., Белоусов С.П., Журбенко Э.Н. и др. Коротковолновые антенны. -М.: Радио и связь, 1985. 536 с.

53. Дмитриев В.И., Березина П.И. Численные методы решения задач синтеза излучающих систем. М.: МГУ, 1986. - 112 с.

54. Панченко Б.А., Нефедов Н.И. Микрополосковые антенны.- М.:Радио и связь, 1986 с.-146 с.

55. Радциг IO.IO., Туишев М.А. Исследование характеристик слабонаправлеппых резона горно-щелевых антенн с учетом покрытий // Деп. в ВИНИТИ. -1986. № 3619. - В 86.-237 с.

56. Васильев E.H. Возбуждение тел вращения.- М.: Радио и связь, 1987. 271с.

57. Колтон Д., Кресс Р. Интегральные уравнения в теории рассеяния. М: Мир, 1987. -311 с.

58. Коняшенко H.A. Спектральный подход к анализу диапазонных свойств плоских излучателей. // Радиотехника и электроника. 1987. Т.32. - №12. -С.2470-2479.

59. Эминов С.И. Теория интегрального уравнения тонкого вибратора // Радиотехника и электроника. 1993. - Т. 38. - № 12. - С. 2160 - 2168.

60. Эминов С.И. Структура интегрального уравнения дифракции Н-поляризованиых волн на произвольной незамкнутой цилиндрической поверхности // Письма в ЖТФ. 1993. - Т. 19. - Вып. 10. - С. 41- 43.

61. Артемьев В.В., Плотников В.Н., Эминов С.И. Решение интегрального уравнения дифракции Ii-поляризации на полосе проекционными методами // ЖТФ. 1995. - Т. 65. - Вып. 3. - С. 72 - 79.

62. Кацепеленбаум Б.З. Проблемы аппроксимируемости электро- магнитного поля. -М.:Наука. Физматлит, 1996. 176 с.

63. Эминов С.И. Об уравнении Эйлера в задачах синтеза излучающих систем// Письма в ЖТФ. 2000. Т.26. - Вып. 14. - С.97-102.

64. Вайнико Г.М., Лифанов И.К., Полтавский Л.Н. Численные методы в гиперсингулярных интегральных уравнениях и их приложения. М.: "Янус-IC", 2001.-508с.

65. Эминов С.И. Уравнения синтеза токов на незамкнутых поверхностях// Журнал вычислительной математики и математической физики. 2002. Т.42. -№3.-С.351-356.

66. Эминов С.И. Уравнения с малым параметром для синтеза поверхностного тока. Известия Вузов "Радиофизика". -2002. - №4. - С.328-338.

67. Васильева А.Б., Тихонов ILA. Интегральные уравнения.- М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. 160с.

68. Эминов С.И. Аналитическое обращение гиперсингулярного оператора и его приложения в теории антенн // Письма в ЖТФ. 2004. - Т. 30. - Вып. 22. - С. 8 -16.

69. Сочилип A.B., Эминов С.И. Таблицы входных сопротивлений вибраторных антенн: Справочник / Под ред. Л.Д.Бахраха. -М.: Радиотехника, 2005. 80с.

70. Эминов С.И. Ортопормированный базис в пространствах Соболева-Слободецкого на отрезке // Дифференциальные уравнения. 2005-Т.41. -№4. -С.558-560.

71. Эминов С.И. . Аналитическое обращение гиперсингулярного оператора и его приложения в теории дифракции // Доклады РАН. 2005. - Т.403. - №3. -С.339-344

72. Лифанов И.К., Ненашев A.C. Гиперсингулярные интегральные уравнения и теория проволочных антенн. // Дифференциальные уравнения -2005. -Т.41, №1. С.121-137.

73. Клещенков А. Б., Лсрер А. М., Лабунько О. С. Решение методом моментов интегрального уравнения электрического вибратора в многослойной среде. // Успехи современной радиоэлектроники. 2006. № 6. С. 60-66.

74. Эминов С.И., Сочилии A.B. Численно-аналитический метод решения интегральных уравнений вибраторных антенн // Радиотехника и электроника. -2008. Т. 53. - №5 . - С. 553 -558.

75. Дмитриев В.И., Захаров Е.В. Метод интегральных уравнений в вычислительной электродинамике. -М.: МАКС Пресс, 2008. 316 с.

76. Сочилин A.B., Эминов И.С., Эминов С.И. Оптимальный токовый синтез линейных антенн //Деп. в ВИНИТИ 11.01.2008. -№ 15-В2008. 14 с.

77. Эминов С.И., Сочилии A.B., Эминов И.С. Обоснование метода Галеркина в теории дифракции па плоских экранах // Физика и механика материалов. Приложение к научно- теоретическому и прикладному журналу «Вестник» НовГУ.2009.С. 48-50.

78. Эминов И. С., Сочилии A.B., Эминов С. И. Метод Галеркина в теории дифракции на плоских экранах // Деп. в ВИНИТИ 25.03.09-.№ 156-В2009. -8с.

79. Эминов И.С. Численное решение гиперсингулярного уравнения методом Галеркина // Тезисы докладов аспирантов, соискателей, сотрудников НовГУ, Великий Новгород,2009. С. 12.

80. Сочилин A.B., Эминов С.И., Эминов И.С. Решение интегрального уравнения синтеза линейных антенн // Электромагнитные волны и электронные системы. 2009. - Т. 14. - №10. -С. 73-78.

81. Сочилин A.B., Эминов С.И., Эминов И.С. Оптимальный токовый синтез на диске // Труды 52 ой научной конференции МФТИ. Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук. Москва - Долгопрудный, 2009. Часть

82. VIII. Проблемы современной физики. С.58-60.

83. Лабунько О. С. Метод решения интегрального уравнения электрического вибратора. // Электромагнитные волны и электронные системы. 2009. Т. 14. № 5. С. 12-17.

84. Эминов И. С. Иптсгро-дифференциальные уравнения дифракции Н-поляризации на произвольной цилиндрической поверхности // Деп. в ВИНИТИ 28.05.10. -№ 319-В2010. -12с.

85. Сочилин A.B., Эминов С.И., Эминов И.С. Скорость сходимости метода Галеркина в теории антенн и дифракции // Электромагнитные волны и электронные системы. 2010. - Т. 15. - №6. - С. 57-61.

86. Эминов И.С., Эминова B.C. Интегральные уравнения дифракции Е-поляризации на произвольной цилиндрической поверхности // Деп. в ВИНИТИ 10.09.10. № 514 - В2010. -20с.6 6 ^

87. Эминов И.С. Метод 1 алеркина в задаче дифракции на произвольной цилиндрической незамкнут ой поверхности // Тезисы докладов аспирантов, соискателей, сотрудников НовГУ, Великий Новгород, 2010. С.4.

88. Эминов И.С., Эминова B.C. Метод Галеркина в задаче дифракции Е-поляризации на произвольной цилиндрической поверхности // Вестник НовГУ. -2010. -№60. -С.62-64.

89. Сочилин A.B., Эминов И.С., Эминов С.И. Интегро-дифференциальные уравнения линейных, бикоиических и криволинейных вибраторных антенн// Антенны. 2010 . - № 12. - С. 27-34.