Структурные и теоретико-модельные аспекты теории решеточно упорядоченных групп тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Курылева, Ольга Александровна

• Курылева, Ольга Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Курылева, Ольга Александровна

Введение.

Глава 1. Интерпретация арифметики

§ 1. Основные сведения

§ 2. Идеалы СЛп для п = 2,3.

§ 3. Идеалы Тп для п >

§ 4. Интерпретация арифметики

Глава 2. Дискриминирующие /-группы

§ 1. Критерий дискриминируемости/-групп

§ 2. Примеры дискриминирующих /-групп

§ 3. Дискриминируемость /-групп и универсальная эквивалентность

§ 4. Дискриминируемость свободных абелевых /-групп.

Глава 3. Квазимногообразия псевдо-МУ-алгебр

§ 1. Решетка квазимногообразий псевдо-МУ-алгебр.

§ 2. Квазирегулярные классы и унитальные решеточно упорядоченные группы.

§ 3. Связь квазимногообразий унитальных решеточно упорядоченных групп и псевдо-МУ-алгебр

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Структурные и теоретико-модельные аспекты теории решеточно упорядоченных групп»

Решеточно упорядоченной группой (1-группой) называется алгебраическая система сигнатуры I =< -,1,е, V, Л >, совмещающая в себе структуру группы и решетки, связанные естественными соотношениями х{и V у)у = хиу V хуу, х{и Л у)у = хиу Л хуу.

Векторное пространство V над полем действительных чисел И, являющееся решеткой относительно некоторого частичного порядка, называется векторной решеткой, если для всех и,у,и> 6 V и + (у V ги) = (и + у) V (и + -ш), и + (у Л ъи) = (и + у) Л (и + у)).

В настоящее время теория решеточно упорядоченных групп является теорией с широким кругом задач и разработанными методами.

За последние 30 лет произошел расцвет в развитии теории /-групп. Наиболее полно теория /-групп изложена в монографиях В.М. Копытова [29], Г. Биркгофа [7], В.М. Копытова, Н.Я. Медведева [21], Л. Фукса [37], М.Р. Дарнела [10]. Современное состояние теории /-групп, ее перспективы и проблематика отражены в работе В.М. Копытова, Н.Я. Медведева [31].

Связи теории решеточно упорядоченных групп обнаружены со многими другими разделами математики, такими как логика, теория моделей, геометрия, функциональный анализ, теория групп, теория МУ-алгебр и псевдо-МУ-алгебр.

Все больше научных работ посвящено исследованиям на стыке теории решеточно упорядоченных групп с другими дисциплинами.

Напомним ряд определений и вспомогательных результатов, необходимых в дальнейшем.

Элелгентарной теорией ТН()С) класса /С алгебраических систем сигнатуры а называется совокупность всех замкнутых формул сигнатуры а прикладного исчисления предикатов (ПИП), истинных на всех системах из класса /С. Элементарная теория класса /С называется разрешимой, если существует алгоритм, который по произвольной замкнутой формуле ПИП сигнатуры су определяет, принадлежит эта формула ТН{К,) или нет. Если элементарная теория класса /С не является разрешимой, то она называется неразрешимой. Теория называется наследственно неразрешимой, если любая ее подтеория той же сигнатуры неразрешима.

Одним из основных методов доказательства неразрешимости теории является метод относительно элементарной определимости [27].

Пусть /Со - класс моделей сигнатуры <т0 =< ■ •■■>Ркк >, класс К\ -класс моделей сигнатуры Будем говорить, что класс /Со относительно элементарно определим в классе /Сь если существуют такие формулы сигнатуры а\ (здесь и далее х — (х\,., хп), у1 = (у\,., угт)), что для любой модели М £ 1С о найдутся модель N Е К.\ и элементы а\,.,ап Е |ЛГ|, удовлетворяющие условиям:

1) множество Ь = {Ъ \Ъ Е \М\т,М [= (р(а, Ь)} не пусто;

2) формула ^(а^у1 ,у2) задает отношение конгруэнтности 77 на модели С сигнатуры сто, основное множество которой есть Ь, а предикаты Р{ определены формулами ^(а,^1, 0 < г < к;

3) фактор-модель С/т] изоморфна Л4

Теорема 1. (Ершов Ю.Л. [27]) Если класс /Со относительно элементарно определим в классе и теория ТН{ТСо) наследственно неразрешима, то теория Тк^К,^ также наследственно неразрешима.

К наиболее известным моделям с наследственно неразрешимой элементарной теорией относятся модель целых положительных чисел со сложением и умножением [25], модель целых положительных чисел со сложением и предикатом делимости [27], модель двух эквивалентностей [27]. В Коуровской тетради [32] А.И. Кокориным поставлена проблема 5.20: Разрешима ли элементарная теория решеток идеалов свободных абелевых решеточно упорядоченных групп? В работах [35], [46] получено отрицательное решение данной проблемы.

Пусть X - частично упорядоченное множество и У С X. Подмножество У называется выпуклым в Х} если из неравенства у\ < х < г/2, где УъУ2 £ У, следует, что х Е У. Напомним, что выпуклую /-подгруппу абелевой /-группы называют идеалом абелевой /-группы, и выпуклое подпространство векторной решетки, являющееся подрешеткой, называют идеалом векторной решетки.

Будем говорить, что идеал Р абелевой /-группы (векторной решетки) спрямляющий, если из того, что Р = IП где /, 3 - идеалы, следует, что либо Р — I, либо Р = 3.

Известно [29], что множество идеалов абелевой /-группы (векторной решетки) образуют решетку, и любой идеал абелевой /-группы (векторной решетки) есть пересечение содержащих его спрямляющих идеалов.

Описание спрямляющих идеалов свободных векторных решеток и свободных абелевых /-групп дано в работе Д. Панти [24].

Обознчим через ||ii|| евклидову норму вектора и Е Rn, через U — единичиую сферу пространства Rn, U = {х Е Rn : ||а;|| = 1}. Для любого ненулевого вектора и Е Rn положим:

С (и, е) называется открытым конусом с центром и ^ 0 и радиусом £ > 0. Для любого непустого подмножества М векторов пространства Rn положим S(M) = Е Е М, п Е N}. S(M) называется выпуклым конусом, порожденным множеством М (или выпуклым конусом, натянутым на множество векторов М). Если М = {г>1, ., г^}, то S(v\, V2,vt) = R+vi + R+i>2 + . + R+,Ui называется полиэдральным конусом, натянутым на векторы г>1,г>2,

Пусть Тп - свободная векторная решетка с п порождающими. Для любого набора е = (1, £2,., Et) положительных действительных чисел, где 1 < t < п, положим S(ü, ё) равному полиэдральному конусу

S(lli, Щ + Е2и2, Щ + £2и2 + . + £tUt)

Тогда множество

GUxu2.ut — {/ G Fn f = 0 на S(u,£) для некоторого е( 1 < t < п)} является спрямляющим идеалом свободной векторной решетки Тп для любого ортонормального набора векторов и любой системы положительных действительных чисел и любой спрямляющий идеал свободной векторной решетки совпадает с одним из таких идеалов.

Универсальной теорией Thy(}C) класса /С алгебраических систем сигнатуры а называется совокупность всех замкнутых V-формул сигнатуры а прикладного исчисления предикатов (ПИП), истинных на всех системах из класса /С.

Как обычно, через N, Z, Q и R обозначим множества натуральных, целых, рациональных и действительных чисел, соответственно. Модулем элементах решеточно упорядоченной группы G будем считать |ж| = х\/х~1. Элементы ж и у /-группы G называются ортогональными, если )гс| А \у\ = е, и ортогональным рангом решеточно упорядоченной группы называется максимальное число попарно ортогональных элементов.

Одним из наиболее значимых результатов по универсальной теории абелевых решеточно упорядоченных групп является теорема Н.Г. Хисамиева:

Теорема 2. (Хисамиев Н.Г [38]) Абелевы решеточно упорядоченные группы, универсально эквивалентны тогда и только тогда, когда равны их ортогональные ранги.

В 2001 г. Б. Файном, A.M. Гаглионе, А.Г. Мясниковым и Д. Спелльманом [12] определено понятие дискриминируемое™ групп, которое связано с классическим понятием дискриминируемости групп, введенным X. Нейман [36], но не эквивалентно ему, и описана связь между универсальной теорией групп и дискриминируемостыо.

Говорят, что группа Н отделяется группой G, если для любого нетривиального элемента h G Н существует гомоморфизм фь : Н —> G, такой что 4>h(h) ^ е и группа Н дискриминируется группой G, если для любого конечного множества X С Н нетривиальных элементов из Н существует гомоморфизм фх : Н —> G, такой что фх(Ь>) Ф е для любого hex.

Группа G называется дискриминирующей, если любая группа Н, которая отделяется группой G, дискриминируется группой G.

Авторами [12] рассматривалась дискриминируемость некоторых классов групп, построен ряд примеров, показывающих, что класс дискриминирующих групп не пуст. В частности, доказано, что абелевы группы без кручения являются дискриминирующими, а недискриминирующими - неабелевы свободные, неабелевы коммутативно-транзитивные, неабелевы свободные нильпотентные группы.

Связь решеточно упорядоченных групп установлена также с MV-алгебрами и псевдо-МУ-алгебрами.

Теория MV- алгебр происходит из теории многозначных логик Лукасевича. В 1958 г. Ч. Чен [8], [9] рассмотрел алгебраическую версию логик Лукасевича. МУ-алгебры соответствуют многозначным логикам Лукасевича так же, как Булева алгебра соответствует классической двузначной логике.

Псевдо-МУ-алгебра — это некоммутативное расширение MF-алгебры, впервые рассмотренное Г. Георгеску и А. Иоргулеску [14]

Алгебра Л =< А, 1, 0 > типа (2,1,1,0,0) называется псевдо

MV-алгеброй, если Л удовлетворяет следующим тождествам: (А1) (жф2/)®2 = жф(2/ф2) (А2) £©0 = 0ф:с = 0 (A3) а;®1 = 1фа; = 1 (А4) - 1 = 0, П1 = 0 (А5) ~ (пж0пу) хф - у)

А6) жф ~ х © у — у® ~ у © х = xQny ф у — уО^х ф х (А7) х О Сх ф у) = (ж© ~ у) ф у (А8) ~ Сх) = х, где х<Эу (Ъф^у)

Напомним, что элемент и решеточно упорядоченной группы (? называется сильной единицей, если для любого элемента д Е найдется натуральное число пбК, такое что уГп < д < ип.

В 1986 г. Д. Мундичи [23] доказал, что существует взаимнооднозначное соответствие между абелевыми /-группами со сильной единицей и МУ-алгебрами. Позднее в 2002 г. А. Двуреченкий [11] получил аналогичный результат для псевдо-МУ-алгебр и решеточно упорядоченных групп.

Если С - решеточно упорядоченная группа со сильной единицей и, то пара (6?, и) называется унитальной 1-группой. Пусть (С, и) - унитальная ¿-группа. Положим А равное интервалу [0,и] в С, и для х,у & А определим х ф у = (х + у) А и, пх — и — х. ~ х = —х + и, 1 = и.

Нетрудно заметить, что алгебраическая система

Г(С, и) =< Л, 0,п, и, 0 > является псевдо-МУ-алгеброй. А. Двуреченский [11] доказал, что для любой псевдо-МУ-алебры А существует единственная с точностью до изоморфизма унитальная /-группа С со сильной единицей -и, такая что

А = Г(в,и).

В 2003 г. Я. Якубик [20], используя результат А. Двуреченского [11], рассмотрел решетку многообразий псевдо-МУ-алгебр и построил вложение решетки многообразий ¿-групп в решетку многообразий псевдо-МУ-алгебр.

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ, ВЫНЕСЕННЫЕ НА ЗАЩИТУ:

1. Построена интерпретация модели N целых положительных чисел со сложением и умножением в решетке идеалов САп (п = 2,3) свободной абелевой /-группы с п порождающими. (Теорема 1.4.5. а) (результат получен совместно с Н.Я. Медведевым)

2. Построена интерпретация модели N целых положительных чисел со сложением и умножением в решетке идеалов ИТп (п > 2) свободной векторной решетки с п порождающими. (Теорема 1.4.5. Ь) (результат для п = 3 доказан Н.Я. Медведевым)

3. Указан критерий дискриминируемости /-групп. (Теорема 2.1.1)

4. Установлена связь между дискриминируемостью и универсальной теорией /-групп.

5. Доказана дискриминируемость свободных абелевых/-групп ранга п > 2. (Теорема 2.4.2)

6. Построено вложение решетки квазимногообразий ¿-групп в решетку квазимногообразий псевдо-МУ-алгебр и описаны некоторые свойства решетки квазимногообразий псевдо-МУ-алгебр.

Диссертация состоит из 3-х глав.

Целью главы 1 является доказательство неразрешимости элементарных теорий решеток идеалов свободных абелевых /-групп и свободных векторных решеток. Для доказательства неразрешимости теории использован метод относительно элементарной определимости [27], в качестве модели с наследственно неразрешимой теорией - модель N целых положительных чисел со сложением и умножением, неразрешимость которой доказана А. Тарским [25]. В §1 даны основные понятия и сформулированы результаты, необходимые для построения интерпретации арифметики в решетках идеалов.

Во втором параграфе описаны спрямляющие идеалы свободной абелевой /-группы Дп, где п = 2,3 в соответствии с [24] и доказано, что решетка идеалов СЛп для п = 2,3 изоморфна решетке Яп семейств всех наборов ,., Кп), п — 2,3, где К* С 11г (г < п), удовлетворяющих определенным условиям. В третьем параграфе по аналогии с §2 описаны спрямляющие идеалы свободной векторной решетки СТп для п > 2, отдельно рассмотрены случаи для п = 2, 3.

В §4 построен ряд формул сигнатуры а =< V, Л.,1,0 >, позволяющих доказать относительно элементарную определимость модели N положительных чисел со сложением и умножением в моделях СЛп и откуда по теореме 1 следует наследственная неразрешимость элементарных теорий данных моделей.

Во второй главе рассматривается адаптация к понятию /-группы понятия дискриминируемости групп, введенного Б. Файном, А. Гаглионе, А.С. Мясниковым и Д.Спеллманом [12], которое тесно связано с классическим определением дискриминируемости [36], но не совпадает с ним. В §1 определены основные понятия и доказан критерий дискриминируемости /-групп. В §2 построен ряд примеров, показывающих, что класс дискриминируемых /-групп не пуст. В частности, установлено, что группа Томпсона, группа Длаба, декартова сумма счетного числа групп целых чисел со стандартным решеточным порядком являются дискриминирующими. Кроме того, доказано, что любая /-группа конечного ортогонального ранга не является дискриминирующей.

В третьем параграфе рассматривается связь между дискриминируемостью и универсальной теорией /-групп. Доказано, что конечно определенная /-группа является дискриминирующей тогда и только тогда, когда С квадратоподобна, то есть универсальные теории £ и ее декартова квадрата совпадают. С использованием полученных результатов установлено, что класс квадратоподобных абелевых /-групп совпадает с классом абелевых ¿-групп бесконечного ортогонального ранга, и этот класс аксиоматизируем.

В §4 доказано, что свободная абелева ¿-группа Лп, где п - число свободных порождающих, п > 2, является дискриминирующей /-группой.

В третьей главе построено инъективное отображение (р из решетки Т2 квазимногообразий /-групп в решетку Тх квазимногообразий псевдо-МУ'-алгебр, такое что для любых квазимногообразий /-групп Zl, Z2 имеем р(г{) с ср{г2) (*)

В §1 представлено описание решетки квазимногообразий псевдо-МУ-алгебр в соответствии с описанием решетки квазимногообразий /-групп [22]. В §2 дано определение квазирегулярного класса унитальных /групп и построен изоморфизм частично упорядоченного множества Тх в частично упорядоченное множество Ы классов унитальных решеточно упорядоченных групп.

В третьем параграфе главы 3 построено вложение (р : Тг —► Тх, обладающее свойством (*) и доказано, что решетка А всех квазимногообразий псевдо-МК-алгебр не модулярна и, следовательно, не дистрибутивна.

Методы, используемые автором для доказательства результатов опираются на абстрактную теорию групп, универсальную алгебру теорию моделей.

Все результаты диссертации являются новыми, носят теоретический характер и могут найти применение в дальнейших исследованиях решеток идеалов /-групп, универсальных теорий /-групп и квазимногообразий псевдо-МК-алгебр.

Результаты диссертации докладывались на ХЫН международной конференции "Студент и научно-технический прогресс", (г. Новосибирск, 2005 г.), Восьмой региональной конференции по математике "МАК - 2005"(Барнаул, 2005 г.), Шестой международной конференции "Пограничные вопросы теории моделей и универсальной алгебры"(Эрлагол, 2005 г.), Международной конференции "Мальцевские чтения", (г. Новосибирск, 2005 г.), Девятой региональной конференции по математике "МАК - 2006"(Барнаул, 2006 г.), Международной конференции "Мальцевские чтения", (г. Новосибирск, 2006 г.), семинаре "Алгебра и логика"ИМ СО РАН (г. Новосибирск, 2007 г.), Седьмой международной конференции "Пограничные вопросы теории моделей и универсальной алгебры"(Эрлагол, 2007 г.)

Результаты диссертации опубликованы в работах автора [41] - [43], и совместно с Н.Я. Медведевым в работе [46].

Диссертация содержит 63 страниц, состоит из введения, трех глав и библиографии. Библиография включает 46 наименований.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Курылева, Ольга Александровна, 2008 год

1. BAKER К. Free vector lattices // Canadian J. Math. 1968.№ 20. P. 58-56.

2. BAYANOVA N.V., MEDVEDEV N. YA. Vector lattices with two generators // Algebra and Logik. 2002. № 41. P. 217-227.

3. BELEGRADEK O. Discriminating and square-like groups // J. Group Theory. 2004. № 7. P. 521-532.

4. BELLUCE L.P., GRIGOLIA R., LETTIERI A. Representation of monadic MV-algebras // Studia Logica. 2005 № 81. P. 123-144.

5. BEYNON W.M. Duality theorems for finitely generated vector lattices // Proc.London Math. Soc. 1975. № 31. P. 114-128.

6. BEYNON W.M.: Applicatins of duality in the theory of finitely generated lattice-ordered groups // Canadian J. Math. 1977. № 29. P. 243 - 254.

7. BlRKHOFF G. On the structure abstract algebra // Proc.Cambridge Phil. Soc. 1935. № 31. P. 433-454.

8. CHANG C.C. Algebraic analysis of infinite valued logic // Tranc. Amer. Math. Soc. 1958. № 88. P. 467-490.

9. CHANG C.C. A new proof of the completeness of the Lukasiewicz axioms // Tranc. Amer. Math. Soc. 1959. № 93. P. 74-90.

10. DARNEL M.R. Theory of lattice-ordered groups // Marcel Dekker Inc., New York - Basel - Hong Kong. 1995.

11. DVURECENSKIJ A. Pseudo MV-algebras are intervals in /-groups // J.Austral.Math.Soc. Ser A. 2002. № 72. P. 427-445.

12. FINE В., GAGLIONE A.M., MYASNIKOV A.G., SPELLMAN D. Discriminating groups // J.Group Theory. 2001. № 4. P. 467-479.

13. FINE В., GAGLIONE A.M., MYASNIKOV A.G., SPELLMAN D. Groups whose universal theory is axiomatizable by quasi-identities // J.Group Theory. 2002. № 5. P. 365-381.

14. К У Р Ы Л Е В А О.А. Интерпретация арифметики в решетке идеалов свободной векторной решетки CJ-n. // Алгебра и логика. 2008. Т. 47, № 1. 71-82.

15. КУРЫЛЕВА, О.А. О квазимногообразиях псевдо-МУ-алгебр // Сиб. мат. ж. 2008. Т.49, № 3. 568-573.

16. МЕДВЕДЕВ Н.Я., КУРЫЛЕВА О.А. Интерпретация арифметики в решетке идеалов свободной абелевой Z-группы с тремя порождающими // Восьмая региональная конференции по математике "МАК - 2005". Тез. докладов. Барнаул: Изд-во Алт. Ун-та. 2005