Скелеты локально-конечных конгруэнц-модулярных многообразий и многообразий решеток тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Мордвинов, Яков Леонидович

• Мордвинов, Яков Леонидович
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Мордвинов, Яков Леонидович

1 Введение и необходимые сведения по теории многообразий и их скелетам

1.1 Введение

1.2 Необходимые сведения по теории многообразий и их скелетам.

2 Скелеты конгруэнц-модулярных многообразий

2.1 Скелеты локально-конечных неразрешимых многообразий

2.2 Фактор-линейная упорядоченность счетных скелетов

3 Решеточные свойства счетных скелетов дискриминаторных многообразий

4 Скелеты многообразий решеток

4.1 Полурешеточные свойства счетных скелетов многообразий решеток.

4.2 Проблема покрытия.

4.3 Независимость отношений вложимости и эпиморфности

Глава

Введение и необходимые сведения по теории и их скелетам

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Скелеты локально-конечных конгруэнц-модулярных многообразий и многообразий решеток»

При изучении строения различных классов алгебраических систем можно выделить два основных подхода: построение и изучение различных представлений систем из этого класса и изучение самого класса или систем из него при отождествлении изоморфных алгебраических систем. Такое отождествление, т. е. рассмотрение изоморфных алгебраических систем как единого объекта, типа изоморфизма, происходит в большом числе вопросов теории моделей и современной алгебры. В качестве одного лишь примера подобного вопроса назовем проблему спектра класса, т. е. нахождение числа неизоморфных систем данного класса, имеющих фиксированную мощность. А. Тарским, в монографиях [41, 51], была поставлена задача изучения различных операций и отношений, комногообразий торые возникают между типами изоморфизма алгебраических систем данного класса при перенесении на типы изоморфизма "алгебраически значимых" операций и отношений между алгебраическими системами. При изучении строения многообразий, в силу теоремы Г. Биркгофа [28], описывающей многообразия как классы алгебр, замкнутые относительно подалгебр, гомоморфных образов и декартовых произведений, важнейшая роль принадлежит изучению отношений "быть подалгеброй", "быть гомоморфным образом" и операции декартова произведения. Решению задачи А. Тарского служит изучение так называемых скелетов многообразий алгебраических систем, введенных в систематическое изучение А. Г. Пинусом в работе [10]. С решением отмеченной выше задачи А. Тарского и связана данная диссертация.

Введем некоторые обозначения. Готическими буквами 21, (£, D с верхними и нижними индексами будем обозначать алгебры. Букву 93 (с индексами) используем только для булевых алгебр. Классы алгебр будем обозначать буквами Я, (возможно с индексами). Для любого кардинала К и любого класса алгебр Я через Як обозначаем совокупность Я-алгебр мощности, не большей чем N.

Если Я — некоторый класс алгебр, то через ^Я обозначим совокупность типов изоморфизма Я-алгебр. Заметим, что традиционный вопрос о спектре класса Я является вопросом о мощностях множеств Здесь Як = {01 G Я : |2l| = N}. Если а, с G т. е. являются типами изоморфизма некоторых Я-алгебр 01, <£, то пусть а < с (а <С с) имеет место тогда и только тогда, когда алгебра 01 изоморфна некоторой подалгебре алгебры С (21 является гомоморфным образом алгебры <£). Для любого класса алгебр Я отношения <, <С являются отношениями квазипорядка на ЗЯ.

Скелетом вложимости многообразия 9Я (скелетом эпиморфности 9Я) назовем квазиупорядоченный класс (&Ш; <) <С)); ^-ограниченным скелетом вложимости (эпиморфности) многообразия ЮТ будем называть <) <С))- В частности, счетным скелетом вложимости (эпиморфности) многообразия 9DT называется квазиупорядоченное множество (SI,,»; <> «)).

Дважды квазиупорядоченный класс (ЗШ1; <, С) называется двойным скелетом многообразия Ш. Будем говорить, что отношения вложимости < и эпиморфности < независимы (финито независимы) на многообразии Ш если любое (любое конечное) дважды квазиупорядоченное множество <ъ <2) изоморфно вложимо в двойной скелет многообразия Ш. Заметим, что скелеты вложимости и эпиморфности многообразий занимают промежуточное положение между такими традиционными объектами универсальной алгебры как "грубые"решетки подмногообразий с одной стороны и "тонкие"решетки конгруэнций и подалгебр •— с другой. Действительно, как нетрудно заметить, для любого многообразия 9Я существуют изотопные отображения скелетов эпиморфности и вложимости многообразия ЯЯ на решетку подмногообразий этого многообразия. С другой стороны, для любого бесконечного кардинала N существует антиизотонное отображение решетки конгруэнций 9Я-свободной N-порожденной алгебры на ^-ограниченный скелет эпиморфности ЯЯ (существует изотонное отображение решетки подалгебр ^-универсальной по вложимости ЯЯ-алгебры,если таковая существует, на К-ограниченный скелет вложимости 9Я).

Отметим, что эпизодическое изучение различных вопросов, связанных со скелетами конкретных многообразий и некоторых других классов алгебраических систем, проводилось в целом ряде работ различных авторов. В работах Бонне [30,33] изучался скелет вложимости некоторых подклассов многообразия булевых алгебр. Большое число работ посвящено изучению скелетов вложимости и эпиморфности класса линейно упорядоченных множеств. Среди них работы Фрессе, Поуза, Бонне, Лавера, Ландрайтиса и других. Сводку результатов такого рода можно найти в монографии Фрессе [36]. В ряде работ А. Г. Пинуса [1-6,8,9] также изучались вопросы, связанные со скелетами вложимости и эпиморфности класса линейных порядков. Наиболее значимым из результатов о скелетах эпиморфности и вложимости класса линейных порядков, по-видимому, является результат Лавера [46,47], давшего положительное решение проблемы Фрессе и даказавшего, что счетный скелет вложимости класса всех линейно упорядоченных множеств является лучшим квазипорядком и, в частности, не содержит бесконечно убывающих цепей и бесконечных антицепей. Большое число результатов о строении скелетов конгруэнц-дистрибутивных многообразий содержится в работах А. Г. Пинуса [7,10-27].

Основное внимание в данной диссертации уделено изучению скелетов конгруэнц-модулярных многообразий. Этот класс многообразий играет заметную роль в современной алгебре. Примерами конгруэнц-модуляр-ных. многообразий являются все многообразия групп и колец, булевых алгебр и решеток, весь класс дискриминаторных многообразий, включающий в себя такие многообразия как многообразия алгебр Поста, цилиндрических алгебр, реляционных алгебр, многообразия, порожденные конечным множеством конечных полей, и целый ряд других. Известно решение Балдвином - Маккензи [32] проблемы спеектра для класса конгруэгц-модулярных многообразий: для любого такого неабелевого многообразия 9Я, любого бесконечного кардинала К число типов изоморфизма Ш1-алгебр, имеющих мощность U, максимально и равно 2*\ Тем самым, есть основания полагать, что и скелеты вложимости и эпиморф-ности конгруэнц-модулярных многообразий будут достаточно богаты и обладают развитой теорией.

Цель работы. Исследование вопроса о возможности перенесения ряда результатов о строении скелетов конгруэнц-дистрибутивных многообразий на более широкий класс конгруэнц-модулярных многообразий. Описание дискриминаторных многообразий с полурешеточными счетными скелетами. Исследование строения скелетов многообразий решеток.

Общая методика исследования. При изучении скелетов многообразий ключевую роль играет изучение решеток конгруэнций алгебр этих многообразий. В частности, изучение строения частично упорядоченных множеств главных конгруэнций алгебр, построенных с помощью различных булевых конструкций: булевых, фильтрованных булевых и Iконгруэнц-булевых степеней. Широко используются в диссертации методы теории булевых алгебр, и пережде всего рассмотрение стоунов-ских пространств. Разнообразные применения находят результаты теории коммутаторов для конгруэнц-модулярных многообразий. Используются различные результаты из теории линейно упорядоченных множеств.

Научная новизна. Новыми являются все результаты диссертации, а также значительная часть аппарата исследований. Как уже было сказано выше, скелеты конгруэнц-дистрибутивных многообразий подробно исследовались во многих работах А. Г. Пинуса. Были доказаны многие свойства скелетов такие, как вложимость в несчетные скелеты эпиморфности (а при условии продолжимости конгруэнций и в несчетные скелеты вложимости) любых квазипорядков соответствующих мощностей, наличие в скелете эпиморфности неуплотняемых цепей порядковых типов множества всех действительных чисел и класса всех ординалов, неразрешимость элементарной теории скелета эпиморфности, финитная независимость отношений вложимости и эпиморфности и т. д. Рассматривался вопрос о решеточных свойствах скелетов. Для любого конгруэнц-дистрибутивного многообразия все несчетные скелеты не являются полурешетками, описаны дискриминаторные многообразия с полурешеточными счетными скелетами эпиморфности, в то же время было доказано, что не существует не локально конечных дискриминаторных многообразий с полурешеточными счетными скелетами вложимости. В силу этого возникает ряд естественных вопросов. В каких случаях результаты о строении скелетов конгруэнц-дистрибутивных многообразий могут быть перенесены на случай конгруэнц-модулярных многообразий. Очевидно, что это не всегда возможно. К примеру, скелеты категоричных абеле-вых конгруэнц-модулярных многообразий изоморфны классу всех ординалов, а значит, не обладают почти всеми указанными выше свойствами. В силу этого представляло интерес нахождение условий на конгруэнц-модулярные многообразия, при которых их скелеты в какой-то мере сохраняют свойства скелетов конгруэнц-дистрибутивных многообразий. В дагйгой диссертации доказано, что подобным достаточным условием яв-* ляется свойство неразрешимости локально конечных конгруэнц-моду-лярных многообразий.

СЛЕДСТВИЕ 2.4. Пусть многообразие конгруэнц-модулярно, локально конечно и неразрешимо. Тогда:

1) Для любого несчетного регулярного кардинала К каждое квазиупорядоченное множество мощности, не превышающей К, изоморфно вложимо в К-ограниченный скелет эпиморфности (SSDTn; <С) многообразия ШТ.

2) (К.Г.) В (ЗШТ; <С) имеются неуплотняемые цепи порядковых типов множества всех действительных чисел и класса всех ординалов.

3) (К. Г.) Элементарная теория (&Ш; <С) неразрешима.

Если к тому же ШТ имеет продолжимые конгруэнции, то:

4) Для любого несчетного кардинала К любое квазиупорядоченное множество мощности, не превышающей изоморфно вложимо в N-ограниченный скелет вложимости (йШТк; <) многообразия ШТ.

5) (К.Г.) Отношения вложимости и эпиморфности локально независимы на Ш, т. е. любое конечное дважды квазиупорядоченное множество изоморфно вложимо в двойной скелет (^ШТ^; <С, <) многообразия ШТ.

В работах А. Г. Пинуса [17,20-22] предложена некоторая классификация конгруэнц-дистрибутивных многообразий по свойствам их счетных скелетов. В частности, описаны конгруэнц-дистрибутивные многообразия, счетные скелеты которых фактор-линейны. В силу этого, представляет интерес описание конгруэнц-модулярных многообразий с фактор-линейными скелетами. В настоящей диссертации получен следующий результат.

ТЕОРЕМА 2.2. Счетный скелет эпиморфности неабелевого конгру-энц-модулярного многообразия фактор-линейно упорядочен тогда и только тогда, когда это многообразие порождается квазипрималъной алгеброй без собственных подалгебр. При этом (^ШТн; <С) — из\ + 1*, т. е. является минимальным. Из фактор-линейной упорядоченности счетного скелета эпиморфности неабелевого конгруэнц-модулярного много- 9 образия ffl следует совпадение скелетов эпиморфности и вложимости класса 9Df„0, где 9Л'Ко = {21 6 Ж : 1 < |21| < оо.

Здесь tc?i -+- 1* — ординальная сумма ординала ш\ и континуума попарно эквивалентных элементов.

Выше уже отмечалось, что счетные скелеты вложимости не локально конечных дискриминаторных многообразий не являются ни верхними, ни нижними полурешетками. В связи с этим естественный вопрос — описание локально конечных дискриминаторных многообразий с полурешеточными счетными скелетами вложимости. Ответ на этот вопрос найден в данной диссертации.

ТЕОРЕМА 3.5. Пусть 9Я — локально конечное дискриминаторное многообразие конечной сигнатуры и <) — нижняя полурешетка. Тогда:

1) для всякой простой Ш-алгебры 21 выполнены условия: а) 21 — квазипрималъная алгебра без неодноэлементных собственных подалгебр; б) 21 содержит идемпотентный элемент; в) для любых двух идемпотентных элементов алгебры 21 существует автоморфизм алгебры 21, переводящий один из этих элементов в другой;

2) множество конечно и <) = (a>i + 1*)п, где п = |5ЯЯз|; в частности <) является дистрибутивной решеткой конечной ширины.

Верно и обратное утверждение, если дискриминаторное многообразие Ш конечной сигнатуры порождено конечным числом квазипрималъ-ных алгебр с условиями "а— "в", то <) — нижняя полурешетка.

Здесь 9Я5 обозначает совокупность простых алгебр многообразия ЯК.

ТЕОРЕМА 3.6. Пусть ЯК — локально конечное дискриминаторное многообразие конечной сигнатуры и (^ЯК'^; <) — верхняя полурешетка. Тогда:

1) для всякой простой Ш-алгебры 21 выполнены условия: а) 21 — квазипрималъная алгебра без неодноэлементных собственных подалгебр; б) для любых двух идемпотентных элементов алгебры 21 существует автоморфизм алгебры 21, переводящий один из этих элементов в другой;

2) множество &Ш5 конечно и (ЗЯК'Но; <) = Ln, где п = |SSDts|, a Ln — верхняя полурешетка, получаемая из решетки (o>i + 1*)" удалением наименьшего элемента.

Верно и обратное утверждение, если дискриминаторное многообразие ЯК конечной сигнатуры порождено конечным числом квазипрималь-ных алгебр с условиями "а", "б", то <) — верхняя полурешетка.

В связи с тем, что многообразия решеток, являясь конгруэнц-дистрибутивными, не являются дискриминаторными представляло интерес описание таковых многообразий с полурешеточными счетными скелетами. В диссертации доказано, что таких многообразий не существует.

ТЕОРЕМА 4.1. Для любого нетривиального многообразия решеток ЯК счетный скелет вложимости многообразия ЯК не является полурешеткой.

СЛЕДСТВИЕ 4.2. Счетный скелет эпиморфности любого нетривиального многообразия решеток не является полурешеткой.

В ряде работ А. Г. Пинуса [14, 24] найден целый ряд достаточных условий существования покрытий элементов в скелетах эпиморфности конгруэнц-дистрибутивных многообразий. Однако оставался открытым вопрос: любая ли алгебра конгруэнц-дистрибутивного многообразия имеет покрытие в скелете эпиморфности этого многообразия. В связи с этим представляет интерес следующий результат, доказанный в диссертации.

СЛЕДСТВИЕ 4.3. Если произвольное нетривиальное многообразие решеток с нулем (с единицей), то любая Ш-решетка имеет покрытие в скелете эпиморфности многообразия ШТ.

В диссертации получен еще ряд результатов, связанных с существованием покрытий элементов в скелетах эпиморфности многообразий решеток.

А. Г. Пинусом [10] была доказана финитная независимость отношений вложимости и эпиморфности на произвольном конгруэнц-дистрибутивном многообразии со свойством продолжимости конгруэнций. (Как известно, многообразие всех решеток последним свойством не обладает.) Представлялся естественным вопрос: в каких ситуациях можно говорить о большем — о независимости этих отношений. Подобная независимость доказана для многообразия всех решеток.

ТЕОРЕМА 4.5. (ОКГ) Отношения эпиморфности и вложимости независимы на многообразии всех решеток.

Отметим, что все результаты, связанные с многообразиями решеток получены в нераздельном соавторстве с А. Г. Пинусом.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Мордвинов, Яков Леонидович, 2000 год

1. А.Г. Пинус О числе попарно несравнимых порядковых типов // Сиб. мат. журн., 14, N 1 (1973), 229-234.

2. А.Г. Пинус Лексикографические степени линейно упорядоченных множеств // Сиб. мат. журн., 14, N 3 (1973), 684-690.

3. А.Г. Пинус Wj-рассеяные множества и вложения линейных порядков // Алгебраические системы, Иркутск, изд-во ИрГУ, 1976, 154-163.

4. А.Г. Пинус Совокупности попарно несравнимых линейных порядков данной степени рассеяности // Известия вузов. Математика, N 7 (1979), 62-65.

5. А.Г. Пинус Слабая коммутативность рассеяного суммирования линейных порядков // Сиб. мат. журн., 21, N 2 (1980), 155-159.

6. А.Г. Пинус Вложения лексикографических произведений линейных порядков // Упорядоченные множества и решетки, N 6, Саратов, изд-во СГУ, 1980, 52-63.

7. А.Г. Пинус Спектр жестких систем хорновых классов // Сиб. мат. журн., 22, N 5 (1981), 153-157.

8. А. Г. Пину с Об отношенияж вложимости и эпиморфности на линейных порядках // Упорядоченные множества и решетки, N 8, Саратов, изд-во СГУ, 1982, 81-91.

9. А.Г. Пинус Элементарные теории полугрупповых операций на классе линейных порядков // ВИНИТИ, N 4116-82, Деп. 1982.

10. А.Г. Пинус Об отношениях вложимости и эпиморфности на конгруэнц-дистрибутивных многообразиях // Алгебра и логика, 24, N 5 (1985), 588-607.

11. А.Г. Пинус Конгруэнц-модулярные многообразия алгебр // Иркутск, изд-во ИрГУ, 1986.

12. А.Г. Пинус О простых счетных скелетах эпиморфности конгруэнц-дистрибутивных многообразий // Известия вузов. Математика, N 11 (1987), 67-70.

13. А.Г. Пинус О квазипростых алгебрах // Исследования алгебраических систем по свойствам их подсистем, Изд-во УрГУ, Свердловск, 1987, 108-118.

14. А.Г. Пинус О покрытиях в скелетах эпиморфности многообразий алгебр // Алгебра и логика, 27, N 3 (1988), 316-326.

15. А.Г. Пинус Конгруэнц-дистрибутивные многообразия алгебр // Итоги науки и техники. ВИНИТИ, сер. Алгебра. Топология. Геометрия., 26, 1988, 311-323.

16. А^Г. Пинус Элементарная теория скелетов эпиморфности конгруэнц-дистрибутивных многообразий // Известия вузов. Математика, N 7 (1989), 14-17.

17. А.Г. Пинус О числе несравнимых в счетных скелетах эпиморфности дискриминаторных многообразий // Алгебра и логика, 28, N 3 (1989), 311-323.

18. А.Г. Пинус О счетных скелетах вложимости дискриминаторных многообразий // Алгебра и логика, 28, N 5 (1989), 597-607.

19. А.Г. Пинус Об интервалах и цепях в скелетах эпиморфности конгруэнц-дистрибутивных многообразий // Алгебра и логика, 29, N 2 (1990), 207-219.

20. А.Г. Пинус Многообразия с простым счетным скелетом вложимости // Сиб. мат. журн., 31, N 1 (1990), 127-134.

21. А.Г. Пинус О счетных скелетах конечно порожденных дискриминаторных многообразий // Сиб. мат. журнал, 33, N 2 (1992), 190-195.

22. А.Г. Пинус О многообразиях, скелеты которых являются решетками // Алгебра и логика, 31, N 1 (1992), 74-82.

23. А.Г. Пинус Булевы конструкции в универсальной алгебре // Успехи мат.наук, 47, N 4 (1992), 145-180.

24. А.Г. Пинус К вопросу о покрытиях в скелетах эпиморфности многообразий // Известия вузов. Математика, N 1 (1993), 48-55.

25. A.G. Pinus Boolean constructions in universal algebra Dordrecht, Kluwer Academic Publ., 1993.

26. A.G. Pinus Sceletons of congruence distributive varieties of algebras // Alg. univ., 32, N 3 (1994), 531-544.

27. А. Г. Пину с О свойстве быть полурешеткой для счетных скелетов вложимости дискриминаторных многообразий // Вопросы алгебры и логики. Труды ИМ СО РАН, т. 30 (1996), 119-125.

28. G. Birkhoff On the structure of abstract algebras // Proc. Camb. Philos. Soc., 31, N 3 (1935), 433-454.

29. S. Burns Boolean powers // Alg. univ., 5, N 3 (1975), 341-360.

30. R. Bonnet On homomorphism types of superatomic interval Boolean algebras // Models and sets, Berlin: Springer-Verlag, 1984, 67-81.

31. R. Bonnet Very strongly rigid Boolean algebras, continuum discrete set condition, countable antichain condition (I) // Alg. univ., 11, N 3 (1980), 341-364.

32. J. T. Baldwin, R. McKenzie Counting models in universal Horn classes // Alg. univ., 15, N 3 (1982), 359-384.

33. R. Bonnet, H. Si-Kaddour Comparison of Boolean algebras // Order., v. 4, N 3 (1987), 273-284.

34. S. Bulman-Fleming, H. Werner Equational compactness in quasi-primal varieties // Alg. univ., 7, N 1 (1977), 33-46.

35. S. Burris, H. Werner Sheaf constructions and their elementary properties, Trans. Amer. Math. Soc., 248, N 1 (1979), 269-309.

36. R. Fraisse Theory of relations // Amsterdam, North-Holland Publ. Сотр., 1986.

37. E. Fried, G. Gratzer, R. Quackenbush Uniform congruence schemes // Alg. univ., 10, N 2 (1980), 176-189.

38. R. Freese, R. McKenzie Commutator theory for congruence modular varieties, Cambridge — New York, Cambridge Univ. Press, 1987.

39. W. Hodges On constructing many non isomorphic algebras // Universal algebra and its links with logik, algebra, combinatoric and computer sciences, Berlin: Springer-Verlag, 1984, 67-77.

40. Д.Хобби, P. Маккензи Строение конечных алгебр, М., Мир, 1993.

41. L. Henkin, J.D. Monk, A. Tarski Cylindric algebras. Part I // Amsterdam, North-Holland Publ. Сотр., 1971.

42. В. Jonsson Algebras whose congruence lettices are distributive // Math. Scand., v. 21, N 1 (1967), 110-121.

43. B. Jonsson Congruence distributive varieties // Math. Japonica, v. 48, N 2 (1995), 353-401.

44. S. Koppelberg General theory of boolean algebras // Handbook of boolean algebras, v. 1, North-Holland Publ. Сотр., Amsterdam — New York — Oxford — Tokyo, 1989.

45. K. Keimel, H. Werner Stone duality for varieties generated by quasi-primal algebras // Metoirs AMS, 1975, v. 148, 59-85.

46. R. Laver On Fraisse's order type conjecture // Ann. Math., v. 93, N 1 (1971), 89-111.

47. R. Laver An order type decomposition theorem // Ann. Math., v. 98, N 1 (1973), 96-119.

48. С. Landraitis A combinatorial property of the homomorphism relation between countable order types // J. Symb. Logic, v. 44, N 3 (1979), 403-411.

49. R. Magari Una dimonstrazione del fatto che ogni varieta ammehte algebre semplied // Ann. Univ. Ferrara Sez., v. 14, N 7 (1969), 1-4.

50. A.F. Pixley The ternary discriminator function in universal algebra // Math. Ann., 191, N 3 (1971), 167-180.

51. A. Tarski Cardinal algebras // Amsterdam, North-Holland Publ. Сотр., 1949.

52. H. Werner Discriminator algebras, Akademic-Verlag, Berlin, 1978.Работы автора по теме диссертации

53. Я.Л. Мордвинов О простых скелетах конгруэнц-модулярных многообразий // Алгебра и теория моделей, Изд-во НГТУ, Новосибирск, 1997, 110-116.

54. А.Г. Пинус, Я.Л. Мордвинов О скелетах многообразий решеток // Алгебра и теория моделей 2, Изд-во НГТУ, Новосибирск, 1999, 111— 118.'

55. А.Г. Пинус, Я.Л. Мордвинов О скелетах многообразий решеток // Тезисы международной конференции по математической логике памяти А.И. Мальцева, Новосибирск, 1999, 49-50.

56. А.Г. Пинус, Я.Л. Мордвинов О независимости отношений эпиморфности и вложимости на многообразии всех решеток// Сиб. мат. журнал (в печати).1.AIS