Частичные порядки групп тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Зенков, Алексей Владимирович

• Зенков, Алексей Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2001

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Зенков, Алексей Владимирович

Введение 3

ГЛАВА 1.Частичные порядки группы AutQ 11

§1. Минимальные частичные порядки AutQ 11

§2. Максимальные частичные порядки 21-27 нормальных подгрупп группы AutQ

Глава 2. Группы Длаба 28

§1. Линейные порядки групп Длаба I), ^я* 29

§2. Группы Длаба DH(l), £*я(I), DHi А*я 35

§3. Группы Длаба и многообразия £-групп 38

ГЛАВА 3. Мощности множеств правых порядков 43

§1. Мощности множеств правых порядков локально 43-46 индикабельных групп

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Частичные порядки групп»

Теория частично упорядоченных групп, то есть групп на которых введено отношение частичного порядка, устойчивое относительно группового умножения, является одной из обширных и интенсивно развивающихся областей теории групп. В настоящее время изучение частично упорядоченных групп ведется по следующим основным направлениям: линейно упорядоченные группы, решеточно упорядоченные группы и правоупорядоченные группы.

Исследование групп, допускающих порядок, является одной из важнейших задач теории частично упорядоченных групп, так как введение порядка возможно далеко не всегда и предполагает наличие у группы определенных свойств. Одним из важных и интересных направлений исследований частично упорядоченных групп является описание частичных порядков групп. В этом направлении Б.Нейманом (см.[1], с.306, проблема 18 (а), (с)) для упорядочиваемых групп были сформулированы следующие вопросы: 1) Если число линейных порядков на упорядочиваемой группе конечно, должно ли оно быть степенью числа 2? А если оно бесконечно, должно ли оно быть степенью числа 2? 2) Что представляют из себя упорядочиваемые группы с конечным числом линейных порядков? Пример, опровергающий гипотезу 1), был найден М.И.Каргаполовым, А.И.Кокориным, В.М.Копытовым в [2]. Группы с конечным числом линейных порядков изучались В.М.Копытовым в [3] и Н.Я.Медведевым в [4]. В.Длабом [5] показано, что существуют неабе-левы простые группы с двумя линейными порядками. В [б] В.В.Блудовым приведен пример неабелевой группы, допускающей два линейных порядка и не являющейся простой. Аналогичные вопросы рассматривались также и для правоупорядочиваемых групп. Оказалось, что группа с двумя правыми порядками является подгруппой аддитивной группы рациональных чисел (С.А.Тодоринов, Н.Л.Петрова [7], В.М.Тарарин [8]). В.М.Тарариным [8] получено полное описание групп с конечным числом правых порядков, показано, что если число правых порядков конечно, то оно является степенью числа 2 и для каждого натурального числа п найдены группы с 2п правыми порядками.

Доказательство Ч.Холландом [9] теоремы о том, что всякая решеточно упорядоченная группа имеет точное представление автоморфизмами подходящего линейно упорядоченного множества, позволило систематически привлекать к изучению решеточно упорядоченных групп технику работы с группами автоморфизмов линейно упорядоченных множеств. Группы порядковых автоморфизмов линейно упорядоченных множеств изучались Ч.Холландом в

9], [ 10], [11], А.Глассом в [12], [13], С.Макклири в [14], [15].

Современное состояние теории частично упорядоченных групп достаточно полно отражено в монографической литературе (см. В.М.Копытов [16], В.М.Копытов, Н.Я.Медведев [17], В.М.Копытов, Н.Я.Медведев [18], М.Дарнел [19], А.Гласс [20],[21].

Напомним определения и вспомогательные результаты, необходимые в дальнейшем.

Группа G называется частично упорядоченной, если на ней введено такое отношение частичного порядка <, что для любых x>y,z,t G G неравенство х < у влечет неравенство txz < tyz. Если порядок линеен, то G называется упорядоченной группой, если порядок решеточный, то G называется реше-точно упорядоченной группой (^-группой). Как обычно Р = {д £ G | д > е}. Очевидно, что Р обладает следующими свойствами:

1) Р ■ Р С Р (Р- полугруппа),

2) Pf] P~l = {е} (Р- чистое множество),

3) х~1 * Р • х С Р для любого х £ G (Р- инвариантное множество).

Верно и обратное утверждение. То есть, если в группе G есть множество Р со свойствами 1)-3), то на G можно ввести отношение частичного порядка при котором Р будет множеством положительных элементов G. Таким образом частичный порядок можно отождествить с чистой инвариантной полугруппой. Как обычно (G, Р) означает, что группа G упорядочена относительно порядка Р.

Группа называется упорядочиваемой (правоупорядочиваемой), если она может быть превращена в упорядоченную (правоупорядоченную) группу. Хорошо известно (см., например, [16], [18]), что класс всех упорядочиваемых (всех правоупорядочиваемых) групп является квазимногообразием. Группа G называется локально индикабельной, если ее каждая неединичная конеч-нопорожденная подгруппа имеет неединичный гомоморфный образ на аддитивную группу целых чисел. Класс всех локально индикабельных групп совпадает с классом конрадовых правоупорядочиваемых групп, то есть групп, обладающих полной, субнормальной и линейно упорядоченной по включению системой подгрупп, факторы которой - абелевы группы без кручения ([18], с. 187).

Решеточно упорядоченную группу G (£-группу) можно рассматривать как алгебраическую систему сигнатуры I — , е, V, А). В этой сигнатуре стандартным образом вводятся понятия тождества и многообразия I-групп. Множество L всех многообразий £-групп является полной решеткой по включению. При этом пересечением X Д У многообразий £-групп X и У является теоретико-множественное пересечение классов X и а объединение X\J У полагается равным наименьшему многообразию £-групп, содержащему как X, так и У. Говорят, что многообразие £-групп V накрывает многообразие ^-групп V в решетке многообразий ^-групп L, если К D V" и из V Э U D V следует V = U или U = V.

Как обычно, |ж| = х V х[х,у] = x~ly~lxy, Z, N - множества целых и натуральных чисел, х у означает, что х > уп для любых положительных х, у и любого п G N.

Среди всех многообразий ^-групп выделим следующие.

1) Л - многообразие всех абелевых ^-групп. Е.Вайнбергом [22] показано, что Л является наименьшим нетривиальным многообразием в решетке многообразий ^-групп L;

2) Wa - многообразие всех ^-групп, в которых выполнено тождество x~l\y\x\y\~2 V е = е. Это многообразие называется многообразием жестких групп;

3) - многообразие всех оаппроксимируемых ^-групп. П.Лоренцен в [23], Ф.Шик в [24] показали, что это многообразие в классе всех ^-групп задается тождеством (ж А у~гх~гу) Ve = e;

4) V - многообразие £-групп, которое задается следующей бесконечной системой тождеств: х A y~lx~ly) V е = е

Kl^rfl'v^l^yJIril^rinA KlIx.ylPv^l^yl^l^yinA l((M v МГЧ^.З/ЖМ V |г/|) A |[ж,г/]Г)|[ж,г/]Гп| А

1((М V М)1М]|(М V И)'1 А |[®,у]|т)|[®,у]П = е (т,п € N;n,m> 2).

Это многообразие определено Н.Я.Медведевым в работе [25]. Там же в частности показано, что V содержит все оаппроксимируемые накрытия многообразия абелевых £-групп Л и многообразие УУа жестких i-групп. Возникло предположение о том, что V является наименьшим многообразием, содержащим все о-аппроксимируемые накрытия А.

Здесь и далее используется терминология и обозначения, принятые в теории групп (см. книги М.И. Каргаполова, Ю.И. Мерзлякова [26], А.Г. Куро-ша [27]), теории решеточно упорядоченных групп (см. книгу В.М. Копытова,

Н.Я. Медведева [17]), теории групп порядковых автоморфизмов линейно упорядоченных множеств (см. книгу А. Гласса [20]).

Пусть AutQ - группа всех порядковых автоморфизмов линейно упорядоченного множества Q рациональных чисел. Из работ Е.Вайнберга [28], Ч.Холланда [10] следует, что группа AutQ изоморфно вложима как группа порядковых автоморфизмов в группу ^4(R) всех порядковых автоморфизмов линейно упорядоченного множества действительных чисел R, то есть существуют порядковое отображение г : Q -> R и изоморфизм (р : AutQ A(R) такие, что (а)д = ((a)r)(gip) для любых а € Q и д £ AutQ. Таким образом AutQ можно рассматривать как группу порядковых автоморфизмов линейно упорядоченного множества действительных чисел R. Орбитой (областью транзитивности) группы G порядковых автоморфизмов линейно упорядоченного множества fi, содержащей a Е П, называется множество (a)G = {(а)д | д 6 G}. Из леммы 1.10.10 [20] следует, что линейно упорядоченное множество Irr иррациональных чисел будет орбитой группы AutQ. Поэтому AutQ имеет в R две орбиты - множество иррациональных и множество рациональных чисел. Как отметили Ч. Холланд и Ю. Гуревич в [29], группа AutQ изоморфна группе Autlrr всех порядковых автоморфизмов линейно упорядоченного множества Irr иррациональных чисел.

В работе [5] В. Длабом были определены группы порядковых автоморфизмов Дн-(1), £>#*(I), D*#(I), DH(l) единичного интервала I = [0,1] действительной прямой. Более точно. Пусть S - множество всех монотонно возрастающих (не более, чем счетных) последовательностей Е

Е = {£t|l < t < г, где г - ординалы, ££ 6 1} всех возможных типов т вполне упорядоченных последовательностей, обладающих наибольшим элементом и таких, что 0 < £«j £ст = sup{£t|t < а] для каждого предельного числа а, а < т и Н — произвольная подгруппа мультипликативной группы положительных действительных чисел ранга 1. Через Dh(T) обозначим множество всех монотонно возрастающих функций (.x)f из группы порядковых автоморфизмов I, таких, что для / существует последовательность Е/, Е/ = {£t|z, < г} из S такая, что (£)/ = £ для всех £, £ ^ [£ь£г], 0 < £i, £r < 1 и / - линейная функция на каждом отрезке [£i,£i+i]> причем значения правой производной (x)f функции / в точках £t содержатся в подгруппе Я. Подгруппы £>я(1), Дя*(1), £>*#(!) в группе DH(I) определяются следующим образом: неединичный элемент / соответственно принадлежит D#(I), Dh*(I), D*h{I) тогда и только тогда, когда о < £i < £r < 1, 0 < £i < £r < 1, 0 < £i < £т < 1. Аналогично определяются группы Длаба Dh, Dh, Dh*, D*h расширенной действительной прямой

R = {-oo}URU{+oo}

НА ЗАЩИТУ ВЫНОСЯТСЯ СЛЕДУЮЩИЕ ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ:

1. Доказано, что множество всех различных минимальных нетривиальных частичных порядков каждой из групп AutQ и Autlrr конечно и получено описание каждого их минимального нетривиального частичного поряд-ка(Теорема 1.1.11);

2. Для каждой неединичной нормальной подгруппы каждой из групп AutQ и Autlrr найдено множество ее максимальных частичных порядков (Теорема 1.2.6);

3. Доказано, что каждая из групп Длаба £)#*(!), Ан* допускает в точности два различных линейных порядка, не имеет собственных нормальных относительно выпуклых подгрупп и не является простой группой (Теорема 2.1.9);

4. Вычислены мощности множеств линейных порядков групп Длаба DHl D*h (Теорема 2.2.4);

5. Найдено о-аппроксимируемое многообразие ^-групп V, содержащее линейно упорядоченные группы Длаба (D#*(I), Р), (Дн*(1), Р-1), (.Dh*,Pi), (Дн*,-^-1) и такое, что всякая жесткая ^-группа многообразия V является абелевой (Теорема 2.3.1);

6. Показано, что многообразие £-групп V не является наименьшим в решетке L многообразием, содержащим все о-аппроксимируемые накрытия многообразия абелевых £-групп А, а именно, существует такое о-аппроксимируемое многообразие Vo, что оно содержит все о-аппрксимируемые накрытия А и V0 С V, Vo ф V(Теорема 2.3.2);

7. Доказано, что мощность множества различных правых порядков произвольной локально индикабельной группы конечна или несчетна (Теорема 3.1.3).

Целью главы 1 является описание частичных порядков групп AutQ и Autlrr всех порядковых автоморфизмов линейно упорядоченного множества Q рациональных и линейно упорядоченного множества Irr иррациональных чисел соответственно. В §1 главы 1 изучаются минимальные частичные порядки этих групп. Доказано, что каждая из них имеет 36 различных минимальных нетривиальных частичных порядков и получено описание каждого порядка (Теорема 1.1.11).

Пусть / £ AutQ. Тогда носителем элемента / называется множество supp(f) = {ж £ R|(a:)/ ф х}. Введем в рассмотрение следующие множества:

В = {/ £ AutQ | supp{f) ограниченное подмножество R} (J{e}, bL = {/ £ AutQ | supp(f) ограниченное снизу подмножество R} U(e}) bR = {/ € AutQ | supp(f) ограниченное сверху подмножество R} U{e}

Несложно заметить, что B,bL,bR будут нормальными подгруппами группы AutQ. Из теоремы 2.3.2 [20] следует, что это все нетривиальные нормальные подгруппы AutQ. §2 главы 1 посвящен описанию максимальных частичных порядков групп В, bL, bR, AutQ. Доказано, что группа В функций с ограниченным носителем имеет 8 различных максимальных частичных порядков и все они описаны (Предложение 1.2.3). Далее, показано, что каждая из групп bL, bR имеет 20 максимальных различных частичных порядков и все они описаны (Предложение 1.2.4). Наконец, группа AutQ допускает 80 различных максимальных частичных порядков (Предложение 1.2.5). Так как AutQ и Autlrr изоморфны, то получено полное описание максимальных частичных порядков всех неединичных нормальных подгрупп этих групп (Теорема 1.2.6). Отметим, что максимальные и минимальные частичные порядки группы A(R) всех порядковых автоморфизмов линейно упорядоченного множества R действительных чисел изучались Ч.Холландом в [30].

Результаты этой главы получены автором лично и опубликованы в [42],[43].

Как уже отмечалось выше в [5] В. Длабом были определены группы порядковых автоморфизмов D#(I), Д?*(1), Д,я(1), Dh(I) единичного интервала I = [0,1] действительной прямой R и там же в частности доказано, что группа Dh{I) является простой и допускает только два различных линейных порядка. Позднее ([16], с. 131) аналогичный результат был получен для группы Длаба Dh• Глава 2 посвящена изучению групп Длаба, а так же рассмотрению свойств многообразий £-групп и квазимногообразий групп, содержащих эти группы. В §1 главы 2 доказано, что для любой подгруппы Н ранга 1 мультипликативной группы положительных действительных чисел, каждая из групп Дд*(I), Dh* имеет в точности два различных линейных порядка, не содержит нетривиальных нормальных относительно выпуклых подгрупп и не является простой (Теорема 2.1.9). В §2 описаны линейные порядки групп Dh{I), I) (Предложение 2.2.1, Предложение 2.2.2). Доказано, что мощность множества всех линейных порядков каждой из групп DH, D*h несчетна (Теорема 2.2.4). В §3 главы 2 изучены некоторые свойства многообразий -£-групп (квазимногообразий групп), содержащих упорядоченные группы Длаба (группы Длаба). Найдено о-аппроксимируемое многообразие ^-групп V, содержащее упорядоченные группы (Дн*(1), Р), (Ая*(I), Р-1),

Dh*,Pi), (Dh*,Pi1) и такое, что всякая жесткая ^-группа многообразия V является абелевой (Теорема 2.3.1). Н.Я.Медведевым в [25] было определено о-аппроксимируемое многообразие V и в частности показано, что V содержит все о-аппроксимируемые накрытия многообразия абелевых ^-групп Л. Позднее в [31] М.Андерсен, М.Дарнел, Т.Фейл указали о-аппроксимируемое многообразие С с аналогичным свойством. С.В.Молочко и С.В.Морозовой в [32] было доказано, что V С С, V ф С. В §3 доказано, что многообразие £-групп V не является наименьшим многообразием £-групп, содержащим все о-аппроксимируемые накрытия многообразия Л, а именно, существует такое о-аппроксимируемое многообразие Vo, что оно содержит все о-аппрксимируемые накрытия А и Vo С V, Vo Ф V(TeopeMa 2.3.2).

Пусть {-P7I7 Е Г}, {Q7|7 G Г} - множества всех линейных порядков групп Dh, D*h соответственно. Через Т>\ обозначим многообразие ^-групп, порожденное упорядоченными группами (Dh, By), (Д*я, Q7)- Пусть )С\ - квазимногообразие групп, порожденное группами Dh*(T), Дет*;/С2 - квазимногообразие групп, порожденное группами Dh, D*h- Показано, что многообразие ^-групп X>i отлично от многообразия 1Z всех о-аппроксимируемых групп и каждое из квазимногообразий /Сi, Кг не совпадает с квазимногообразием О всех упорядочиваемых групп (Теорема 2.3.3). Найдены примеры групп невло-жимых в £>я*(1),£>я* (Следствие 2.3.4).

Результаты главы 2, кроме Теоремы 2.3.2, получены автором совместно с Н.Я.Медведевым, опубликованы в [44],[45]. Теорема 2.3.2 получена автором лично, опубликована в [43],[46].

В [8] В.М.Тарариным было описано строение групп, допускающих конечное число правых упорядочений. Глава 3 посвящена нахождению мощностей множеств правых порядков локально индикабельных групп. Доказано, что мощность множества различных правых порядков произвольной локально индикабельной группы либо несчетна, либо конечна и равна 2П для подходящего целого неотрицательного числа п (Теорема 3.1.3). Установлено, что мощность множества различных правых порядков произвольной упорядочиваемой группы либо несчетна, либо конечна и равна 2 или 1 (Следствие 3.1.4).

Результаты главы 3 получены автором лично, опубликованы в [47],[48] и полностью вошли в книгу В.М.Копытова, Н.Я.Медведева "Правоупорядоченные группы" [18].

Методы, используемые для доказательства результатов, опираются на абстрактную теорию групп и теорию групп порядковых автоморфизмов линейно упорядоченных множеств.

Все результаты диссертации являются новыми, носят теоретический характер и могут найти применение в дальнейших исследованиях в теории частично упорядоченных групп.

Результаты диссертации докладывались на семинарах "Теория групп" и "Алгебра и логика" Института Математики СО РАН, Международной летней школе "Пограничные вопросы теории моделей и универсальной алгебры " (Эрлагол, 1995 .г), Втором сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике "ИНПРИМ - 96" (Новосибирск, 1996 г.), краевых конференциях по математике "МАК-98" , "МАК-99" (Барнаул, 1998, 1999 г.), Международной конференции "Логика и приложения" , посвященной 60-летию академика Ю.Л. Ершова (Новосибирск, 2000 г.).

Результаты диссертации опубликованы в работах автора [42], [43], [46]-[48] и совместно с Н.Я. Медведевым в [44], [45].

Диссертация содержит 51 страницу, состоит из введения, трех глав, содержащих 6 параграфов и библиографии. Библиография включает 48 наименований.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Зенков, Алексей Владимирович, 2001 год

1. Фукс Л. Частично упорядоченные алгебраические системы. Москва, 1965.

2. Каргаполов М.И., Кокорин А. И., К опытов В.М. К теории упорядочиваемых групп // Алгебра и логика. 1965. Т.4. №6. С.21-27.

3. Копытов В.М. О линейно упорядоченных разрешимых группах // Алгебра и логика. 1973. Т.12. №6. С.655-666.

4. Медведев Н.Я. Группы с конечным числом линейных порядков // Алгебра и логика. 1999. Т.38. №2. С.176-200.

5. Dlab V. On a family of simple ordered groups //J. Austral. Math. Soc. 1969. V.8. №3. P.591-608.

6. Блудов В.В. Группы, упорядочиваемые единственным способом // Алгебра и логика. 1974. Т. 13. №6. С.609-634.

7. Тодоринов С.А., Петрова П.Л. Группы, допускающие единственный правый порядок // Годишн. ВУЗ. Прилож. мат. 1980. Т.16. №2. С.55-60.

8. Тарарин В.М. О группах, допускающих конечное число правых упорядочений // Деп. в ВИНИТИ. 1987. №627-В87. 15стр.

9. Holland W. Ch. The lattice-ordered group of automorphisms of an ordered set // Michigan Math. J. 1963. V. 10. №4. P.399-408.

10. Holland W.Ch. Transitive lattice-ordered permutation groups If Math. Zeit. 87(1965). P.420-433.

11. Holland W.Ch. A class of simple lattice-ordered permutation groups// Proc. American. Math. Soc. 19(1975). P.331-344.

12. Glass A.M.W. The world problem for lattice-ordered groups// Proc. Edinbugh Math. Soc. 19(1975). P.217-219.

13. Glass A.M.W. Generating varieties of lattice-ordered groups: approximating wreath products// Illinois Journal of Mathematics. 1963. V. 30. №2. P.214-221.

14. McCleary S.H. Closed subgroups of lattice-ordered permutation group// Trans. American. Math. Soc. 173(1973). P.431-443.

15. McCleary S.H. O-primitive ordered permutation groups// Pacific J. Math. 40(1972). P.349-372.

16. Копытов B.M. Решеточно упорядоченные группы. M.: Наука, 1984.

17. Kopytov V.M., Medvedev N.Ya. The Theory of Lattice-Ordered Groups. Dordrecht-Boston-London.: Kluwer Academic Publishers, 1994.

18. Копытов B.M., Медведев Н.Я. Правоупорядоченные группы. Новосибирск: Научная книга, 1996.

19. Darnel M.R. Theory of lattice-ordered groups. Marcel Dekker, Inc., Now York-Basel-Hong Kong, 1995.

20. Glass A.M.W. Ordered permutataion groups // London Math. Soc. Lee. Notes Ser., 1981.

21. Glass A.M.W. Partially ordered groups // World Scientific, Series in Algebra Volume 7, Singapore-New Jersey-London-Hong Kong, 1999.

22. Weinberg E.C. Free lattice ordered abelian gpoups// Math. Ann. 1963. V.151. №. P.187-199.

23. Lorenzen P. Uber halbgeordnete Gruppen// Math. Z. 1949. V.52. №5. P.483-526.

24. Sik F. Uber subdirekte Summen geordneter Gruppen// Czech. Math. J. 1960. V.10. №3. P.400-424.

25. Медведев Н.Я. О решетке о-аппроксимируемых ^-многообразий// Czechoslovak Math. J. 1984. V. 34. M. P. 6-17.

26. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. М.: Наука, 1972.

27. Курош А.Г. Теория групп. М.: Наука, 1967.

28. Weinberg E.C. Embedding in a divisible lattice-ordered groups //J. London Math. Soc. 1967. V.42. №3. P.504-506.

29. Gurevich Yu., Holland W.Ch. Recognizing the real line // Transactions of the American Math. Soc. 1981. V. 265. №2. P.527-534.

30. Holland W. Ch. Partial orders of the group of automorphisms of the real line // Contemporary Mathematics. 1992, V. 137. P.197-207.

31. Anderson M., Darnel M.R., Feil T. A variety of lattice-ordered groups containing all representable covers of the abelian variety// Order. 1991. V. 7. M. P.401-405.

32. Молочко С.В., Морозова С.В. К теории многообразий решеточно упорядоченных групп // Сибирский Математический журнал. 1997. Т.38. №1.С.151-160.

33. Зайцева М.И. О совокупности упорядочений абелевой группы // УМН.1953. Т.8. №11. С.135-137.

34. Teh Н.Н. Construction of orders in abelian groups // Proc. Cambr. Phil. Soc. 1961. V.57. №3. P.476-482.

35. Trevisan G. Classificazionale dei semplice ordenamenti di un gruppo libera // Rend. Semin. mat. Univ. Padova 1953. V.22. P.143-156.

36. Хион Я.В. Архимедовски упорядоченные кольца // УМН.1954. T.9. J№4. С.237-242.

37. Conrad P.F. The structure of lattice-ordered groups with a finite number of disjoint elements// Michigan Math. J. 7(1960). P.171-180.

38. Медведев Н.Я. Частичные порядки на группах Длаба // Алгебра и логика (В печати).

39. Медведев Н.Я. О решетках многообразий решеточно упорядоченных групп и алгебр Ли // Алгебра и логика. 1977. Т. 16. М. С.40-45.

40. Кокорин А.И., Копытов В.М Линейно упорядоченные группы М.: Наука, 1972.

41. Смирнов Д.М. Правоупорядоченные группы // Алгебра и логика. 1966. Т.5. №6. С.41-59.Работы автора по теме диссертации

42. Зенков А. В. Частичные порядки группы порядковых автоморфизмов линейно упорядоченного множества рациональных чисел/ / Международная конференция "Логика и приложения", посвященная 60-летию академика Ю.Л. Ершова. Тезисы докладов. Новосибирск. 2000. С.51.

43. Зенков А. В. К теории решеточно упорядоченных групп// Рукопись депонирована в ВИНИТИ. 14.07.00. М971-В00. 15стр.

44. Зенков А.В., Медведев Н.Я. Свойства групп Длаба// 1-я краевая конференция по математике "МАК-98". Тезисы докладов. Барнаул.1998. С.4.

45. Зенков А.В., Медведев Н.Я. О группах Длаба // Алгебра и логика.1999. Т.38. №5. С.531-548.

46. Зенков А.В. Два вопроса теории решеточно упорядоченных групп// 2-я краевая конференция по математике "МАК-99". Тезисы докладов. Барнаул. 1999. С.6-7.

47. Зенков А.В. О группах с бесконечным числом правых порядков// 2-й сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике "ИНПРИМ-96". Тезисы докладов. Новосибирск. 1996. С.190.

48. Зенков А.В. О группах с бесконечным множеством правых порядков // Сиб. матем. ж. 1997. Т.38. М. С.90-92.РОССИЙСКИ® fр/6i/x -7--о/