Следовые неравенства и коммутаторы в 𝐶*-алгебрах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Фауаз Хаттаб

• Фауаз Хаттаб
• кандидат наук
• 2023

Оглавление диссертации кандидат наук Фауаз Хаттаб

1.3 Соотношения для пар идемпотентов и для пар изоклин-ных проекторов

1.4 Представление операторов в виде сумм коммутаторов

Глава II. Характеризация следовых функционалов на алгебрах

фон Неймана

2.1 Характеризация следов среди нормальных весов на ал-гебах фон Неймана

2.2 Точный нормальный полуконечный след и унитарно инвариантная норма

Глава III. Трипотенты в алгебрах: идеалы и коммутаторы

3.1 Свойства п-потентных элементов в унитальных алгебрах

3.2 Коммутирование и антикоммутирование трипотентов

Заключение

Список условных обозначений

Список литературы

Введение

Актуальность темы. Следы на С*-алгебрах являются одним из фундаментальных инструментов теории операторов и ее приложений. Поэтому исследования о характеризации следов в широких классах весов на С*-алгебрах важны и привлекают внимание большой группы математиков.

Следовые неравенства на С*-алгебрах и на алгебрах фон Неймана являются одним из самых важных аппаратов исследования алгебр операторов и пространств измеримых операторов. Такие неравенства часто применяются к задачам о характеризации следов в классе всех линейных положительных функционалов на С*-алгебрах пли нормальных весов на алгебрах фон Неймана.

В 70-х гг. XX века начались изучения задачи о характеризации следов неравенствами. В работе Л.Т. Гарднера [62] доказано, что линейный положительный функционал ф на С*-алгебре А является следом, если выполняется неравенство |ф(А)| < ф(|А|) для любого элемента А из А. Л.Т. Гарднер доказал аналогичный результат для нормального "сильно полуконечного" веса на алгебре фон Неймана.

В работе Я. Земанека и Д. Петца 1988 г. [83] был приведён ряд эквивалентных условий, характеризующих след среди линейных положительных функционалов на матричных алгебрах. Они обобщили некоторые результаты на случай операторных алгебр.

Задачами о характеризации следов занимаются и казанские математики М.С. Матвейчук, А.Н. Шерстнев, O.E. Тихонов, А.И. Столяров, A.M. Бикчентаев и A.A. Новиков.

Так, в работах O.E. Тихонова и A.M. Бикчентаева приведены характеризации следов неравенствами для модуля [87], неравенством субаддитивности [92], неравенством монотонности [36] и неравенством Юнга [35].

В 2009 г. в работе [53] Т. Сано и К. Чо обобщили результат A.M. Бикчентаева и O.E. Тихонова о характеризации следа неравенством Юнга для степенных функций, используя произвольные пары функций, сопряженных по Юнгу. При этом они применяли метод, предложенный A.M. Бикчентаевым в [35].

В 2010 г. в работе [8] A.M. Бикчентаевым получены характеризации следов в терминах коммутирования произведений проекторов под знаком веса.

Хорошо известные классические неравенства (неравенство Гёльдера [90], неравенство Коши - Шварца - Буняковского [75], неравенство Голдена - Томпсона [84], неравенство Пайерлса - Боголюбова [84], неравенство Араки [30] и др.), рассматриваемые только для пар проекторов, характеризуют следовые функционалы среди всех положительных нормальных функционалов ф на алгебре фон Неймана A (см., [8], [40]).

Другое направление исследований предлагаемой работы -разности и коммутаторы идемпотентов в С*-алгебрах.

Различные свойства разности идемиотентов в гильбертовом пространстве H исследованы в работах A.M. Бикчентаева (см. Ill, fl3], [14]).

Пусть Р, ф - идемпотенты в гильбертовом пространстве Н. Каждый трииотент является разностью идемиотентов Р и ф с Рф = фР = 0 [38, предложение 1]. Поэтому трипотенты наследуют некоторые свойства идемпотентов [42].

Если X = Р — ф является ядерным оператором, то следы всех нечетных степеней X совпадают:

^(Р—ф) = ^((Р—ф)2п+1) = аш1кег(Х—1)—Лткег(Х+1) Е

1

где 1 - тождественный оператор в Н. Если X является компактным оператором, то правая часть (1) дает естественную "регуляризацию" для следа и показывает, что это всегда является целым числом [31], [71].

В [11, теорема 3] установлен С*-аналог этого утверждения: Пусть ф - след на унитальной С*-алгебре А, Мф - идеал определения следа ф и трипотенты Р, ф Е А. Есл и Р — ф Е Мф, то ф(Р — ф) Е М.

Пары идемпотентов играют важную роль в квантовом эффекте Холла [32]. Для идемиотентов Р, ф, Я с ядерными Р — ф и ф — Я из равенств а 1;г(Р — ф) = 1;г(Р — Я) + 1;г(Я — ф) и (1)

имеем

1г((Р — ф)3) = 1г((Р — Я)3) + 1г((Я — ф)3). (2)

Физическое понимание аддитивности в (2) приходит из интерпретации 1т((Р — Q)3) как проводимости Холла. Аддитивность (кубического) уравнения в (2) может быть рассмотрена как вариант закона Ома об аддитивности проводимости [63].

Подробный обзор будет представлен в соответсвующих разделах диссертации.

Все вышесказанное свидетельствует об актуальности:

1. Исследования новых характеризаций следов на алгебрах фон Неймана и С*-алгебрах с помощью неравенств.

2. Поиска новых утверждений о разностях и коммутаторах идемпотентов.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Следовые неравенства и коммутаторы в 𝐶*-алгебрах»

Цель работы.

1. Получение новых характеризаций следов на алгебрах фон Неймана и С*-алгебрах с помощью неравенств.

2. Получение новых утверждений о разностях и коммутаторах идемпотентов и парах изоклинных проекторов.

3. Нахождение новых представлений операторов в виде сумм коммутаторов.

4. Получение новых свойств п-потентных элементов в уни-тальных алгебрах.

5. Получение условий коммутирования и антикоммутирования трипотентов на С*-алгебрах.

Методы исследований. Применяются стандартные методы функционального анализа, общие методы теории метрических и топологических пространств, методы теории операторных алгебр и методы спектральной теории самосопряженных операторов. Также использованы методы теории весов и следов на С*-алгебрах и на алгебрах фон Неймана и методы теории некоммутативного интегрирования.

Научная новизна. Все основные резултаты диссертации, выносимые на защиту, являются новыми и приводятся с полными доказательствами.

Теоретическая и практическая значимость диссертации. Диссертация носит теоретический характер. Все основные результаты, представленные в диссертации, важны для исследований в теории операторных алгебр, изучении следовых неравенств в теории некоммутативного интегрирования, изу-

о и

чении свойств коммутаторов и разностей идемпотентов на С -алгебрах.

Основные результаты диссертации.

1. Доказано, что известное неравенство

ф(А) < ф(|А + В|) для всех А е Л+ и Б е Л8а (3)

характеризует следовые функционалы ф среди всех положительных нормальных функционалов на алгебре фон Неймана Л. Здесь Л+ и Л8а - положительный конус и эр-

Л

рий коммутативности алгебр фон Неймана. С помощью неравенства (3) даны характеризации следов в широком классе весов на алгебре фон Неймана.

2. Установлено подобие некоторых трипотентов и идемпотен-тов в гильбертовом пространстве Н. Получены новые результаты о разностях и коммутаторах идемпотентов. Показано, что коммутатор идемпотента и произвольного эле-

А

том.

3. Установлены новые свойства п-потентных элементов в уни-тальных алгебрах. Найдены условия компактности произведения трипотентов А и В гильбертова пространства Н. Получены условия коммутирования и антикоммутирования трипотентов в С*-алгебрах.

Степень достоверности результатов, полученных в диссертации, обусловлена тем, что: все результаты диссертации точные, проверенные, доказаны и опубликованы.

Апробация результатов. Основные результаты диссертации докладывались на следующих научных мероприятиях:

• 24-28 июня 2019 г. Международная научная конференция 'Алгебра и математическая логика: теория и приложения" (Казань, КФУ) [58];

• 28 еентября-1 октября 2020 г. Международная конференция «Теория функций, теория операторов и квантовая

теория информации» (Уфа) [17];

• 25-27 января 2021 г. Итоговая научная конференция Казанского федерального университета (Казань, КФУ);

• 22-28 августа 2021 г. Международная конференция по алгебре, анализу и геометрии (Казань, КФУ) [24];

• 27 января 2022 г. Итоговая научная конференция Казанского федерального университета (Казань, КФУ).

13 сентября 2022 г. Работа в целом докладывалась на семинаре «Операторные алгебры» иностранного члена академии наук Армении проф. Сурена Аршаковича Григоряна при Казанском государственном энергетическом университете.

Личный вклад автора. Диссертант участвовал в доказательствах всех основных результатов, представленных в диссертации. Постановки большинства задач принадлежат научному руководителю. В совместных статьях [18], [59] и [60] диссертанту принадлежит по 50% содержания.

Публикации. Содержание научной работы опубликовано в 6 печатных рвотах, из них 3 статьи опубликованы в работах [59], [18] и [60]. Статья [18] совместная с научным руководителем А.М. Бикчентаевым и вторая статья [59] совместная с аспирантом X. Алхасаном; и третья статья [60] совместная с доцентом P.C. Якушевым. Работы [58], [17] и [24] опубликованы в сборниках трудов международных конференций как тезисы докладов.

Scopus и WoS:

[18] Бикчентаев A.M. Разности и коммутаторы идемпотен-тов в C*-алгебрах / A.M. Бикчентаев, X. Фауаз // Известия вузов. Математика. - 2021. - № 8. - С. 16-26;

[59] Fawwaz Kh. Characterization of tracial functionals on von Neumann algebras / Khattab Fawwaz, Hasan Alhasan // Lobachevskii J. Math. - 2021. - V. 42, № 10. - P. 2273-2279;

[60] Fawwaz Kh. Tripotents in algebras: ideals and commutators / Khattab Fawwaz, Rinat Yakushev // Lobachevskii J. Math. -2022. - V. 43, № 7. - P. 1626-1632.

В других изданиях:

[58] Fawwaz Kh. On quasi isometries on Hilbert spaces / Khattab Fawwaz // Матер, международной конф. "Алгебра и математическая логика: теория и приложения", поев. 125-летию со дня рождения основателя кафедры алгебры Казанского университета члена-корреспондента АН СССР Николая Григорьевича Чеботарева и 75-летию со дня рождения заведующего кафедрой академика АН РТ Марата Мирзаевича Арсланова (Казанский федеральный университет, 24-28 июня 2019 г.). - Казань: Казанский университет; изд-во АН РТ, 2019. - С. 38.

[17] Бикчентаев A.M. Разности и коммутаторы идемпотентов в С*-алгебрах / A.M. Бикчентаев, X. Фауаз // Теория функций, теория операторов и квантовая теория информации: сборник тезисов Международной конференции, г. Уфа. (28 сентября - 1 октября 2020 г.). - Уфа: Научно-издательский центр "Аэтерна".

- 2020. - С. 16.

[24] Фауаз X. Характеризация следовых функционалов на ал_ гебрах фон Неймана / X. Фауаз, X. Алхасан // Труды математического центра имени Н.И. Лобачевского // Материалы международной конференции по алгебре, анализу и геометрии (Казанский федеральный университет, 22-28 августа 2021 г.).

- Казань: Изд-во Казанск. матем. о-во, Изд-во Академии наук РТ, 2021. - Т. 60. - С. 311-312.

Структура и объем диссертации. Диссертация включает введение, описание обозначений и предварительных сведений, обзор литературы, три главы и список литературы. Полный объем диссертации составляет 94 страницы, список литературы включает 97 наименований.

Содержание диссертации.

Во введении даны актуальность темы диссертации, приведён небольшой исторический очерк, указаны авторы-предшественники и дан обзор их работ. Определены цель и задачи объекта исследования. Приведены основные результаты диссертации и описана их научная новизна. Изложены сведения об апробации работы и список публикаций автора по теме диссертации. В конце приводится краткое изложение содержания диссертации. Затем приведены раздел предварительных сведений и обозначений и раздел обзора литературы.

Первая глава посвящена разностям и коммутаторам идем-потентов в С*-алгебрах.

В параграфе 1.1 установлены условия подобия некоторых трипотентов и идемпотентов.

Теорема 1.1. Если А е то А и А* подобны.

Если Л - унитальная С*-алгебра и Р е Л"*, то существует единственное представление Р = Р + где Р е Лрг, а ^ е Л — нильпотент с Z2 = 0 причем ZP = 0 PZ = ^ [73, теорема 1.3

Теорема 1.2. Рели Л - униталь нал С *-алгебра, Р е Л1й, и Р = Р+Z - описанное выше разложение, то Р, Р, Р* попарно подобны.

В параграфе 1.2 получены новые результаты о разностях и коммутаторах идемпотентов Р и ф. В унитальном случае с разностью Р — ф нами связана разность АР,д другой пары идемпотентов.

Теорема 1.4. Пусть ф является следом на С *-алгебре Л. 1) Если X е Л^, У е Ли [X, У ] е Ж^, то ф([Х, У ]) = 0. и) Если X, У е Ли [X, У ] е Жф, т о [Хк, Уп] е Жф для любых к,п е N.

(ш) Если X, У е Ли X — У е Ж^т о Уп] е Жф и ф(^к, Уп]) = 0 для любых к,п е N.

1.3

потентов и для пар изоклинных проекторов.

Теорема 1.5. Пусть А является C*-алгеброй, и P, Q Е Арг - изоклинные проекторы с углом 6 Е (0,п/2). Тогда

sin4 6 P V Q + (P + Q)4 = (2 + cos2 6)(P + Q)2, г<?е (P + Q)2 = 2(P + Q) - sin2 6P V Q.

В параграфе 1.4 доказаны результаты о представлении операторов в виде сумм коммутаторов идемпотентов.

Теорема 1.6. Любой оператор A Е £(%), dim H = может быть представлен как сумма не более чем 50 коммутаторов идемпотентов из B(H).

Теорема 1.8. Пусть H является сепарабельным пространством и dim H = го. Тогда, любой косоэрмитов оператор T Е B(H) может быть представлен как сумма T = k=i[Ak, ]7 в которой Ak,Bk Е B(H) являются косоэрмитовыми.

Вторая глава посвящена задаче о характеризации следовых функционалов на алгебре фон Неймана.

2.1

ного неравенства

ф(А) < ф(|А + iB|) для всех A Е А+ и B Е Asa, (1)

i

Теорема 2.1. Для положительного нормального линейного функционала ф на алгебре фон Неймана А следующие условия равносильны:

ф

(и) ф(А) < ф(| А + 1В|) для всех А еЛ^ В е Л8а. Следствие 2.1. Для положительного нормального линей-

фЛ

вия эквивалентны: ф

(и) ф(^ — Ие X |) < ф(|X — У |) для вс ех X е Ли У е Л8а? где ReX = (X + X*)/2.

Показано, что это усиливает характеризацию Гарднера [62].

ф

линейный функционал на алгебре фон Неймана Л. Если |ф^)| < ф(|X |) для вс ех X е Л с II е X > 07 т о ф является следовым.

Как следствие, получен следующий критерий коммутативности алгебр фон Неймана.

Л

условия эквивалентны:

Л

(11) ф(А) < ф(|А + 1В|) для всех нормальных состояний ф на Л а А е Л+ В е Л8а.

(ш) ф(^ — ReX|) < ф(^ — У|) для, всех нормальных состояний ф на Ли X е Л У е Л8а.

Также мы даем характеризацию следов в широком классе весов на алгебре фон Неймана с помощью неравенства (1).

Следствие 2.4. Пусть ф - нормальный полуконечный вес на алгебре фон Неймана А такой, что ф(А) < ф(|А + 1В|) для всех А еА^ В е А™ (или ф(|Х - ИеX|) < ф(|Х - У|) для всех X е А и У е А*). Тог да ф является следом.

В параграфе 2.2 доказано, что каждый точный нормальный

фА

соотношению (1).

ф

ный след на алгебре фон Неймана А. Тогда, ф(А) < ф(|А + 1В|) для всех: А е А+ и В е А8а.

Теорема 2.3. Пусть ||| • ||| - унитарно-инвариантная норма на унитальной С *-алгебре А Тогда, ||| А||| < |||А+1В ||| для всех

А е А+ И В е А8а.

Третья глава посвящена трипотентам в алгебрах, идеалам и коммутаторам в них.

В параграфе 3.1 установлены новые свойства п-потентных элементов.

Теорема 3.1. Рассмотрим унитальную алгебру А и п-пот-ент А е А п > 3. Если существует правый обратный элемент А-1 е А (соответственно левый обратный элемент А-1 е А), то А обратим, с А-1 = Ап-2.

Теорема 3.2. Пусть 7 - идеал, в унитальной алгебре А, А, В е А'1 и А + В = Л/ + К для некоторых Л е С \{-2, 0, 2} и К е 7. Тогда АВ е 7 и Л е {-1,1}.

Следствие 3.1. Пусть A = B(H) для сепарабельного гильбертова пространства H и пусть dim H = . Рассмотрим A, B G Atn такие, что A + B - некоммутатор, а операторы A + B ± 2/ некомпактны. Тогда оператор AB компактен.

Теорема 3.3. Пусть A G B(H) - эрмитов п-потентный оператор, n > 2. Тогда,

(i) если n четно или A G B(H)+ rno A является проектором;

nA

Теорема 3.5. Пусть J - идеал, в алгебре A A, B G Atri и A = Pi — B = P2 — Q2 - представления леммы, 3.1. Тогда, следующие условия эквивалентны:

(i) A — B G J;

(ii)Pi — P2,Qi — Q2 G J.

В параграфе 3.2 найдены условия коммутирования и антикоммутирования трипотентов. Также определяется, при каких условиях A + B является идемпотентом. Устанавливается подобие некоторых идемпотентов в унитальных алгебрах.

A A, B G

A таковы, что ABA = AA для некоторого A G C \ {0}.

(i) Если A является п-потентом для некоторого n > 3, то идемпотенты An— 1, A—1AB и A—1BA попарно подобны. Если A действует на векторном пространстве 8, то мм имеем

im(An—1) = im(A—1AB) и ker(An—1) = ker(A—1BA).

(11) Если В является 2п-потентом, то Р = Л 1ВпАВп лежит в А* и В2п-1Р = РВ2п-1 = Р.

Пусть А - алгебр а и А, В е А Запис ь А — В означает, что А = Х^В = УХ для некоторых X, У е А.

Теорема 3.9. Пусть А - алгебра, а А = Р - Ц и В = 5 - Т - представления трипотентов А, В е А1п по лемме 3.1, т. е. Р, Ц, 5, Т е Аи и РЦ = ЦР = 5Т = Т5 = 0. Рсли А - В7 то А2 — В2; Р — 5 и Ц — Т. Обратно, если Р — 5 и Ц — Т то А — В и А2 — В2.

В заключении приведены основные результаты диссертации и наиболее важные теоремы и следствия из них.

Благодарности. Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю доценту Айрату Мидхатовичу Бикчентаеву за постановку проблемы, постоянную поддержку, за внимание к работе, за участие в обсуждении полученных результатов и помощь при оформлении диссертации. Автор выражает огромную благодарность профессору кафедры математического анализа Семену Рафаиловичу Насырову и другим профессорам за отличные, очень познавательные лекции, сведения которые помогли автору в его исследованиях. Автор также выражает благодарность сотрудникам кафедры за помощь автору в процессе обучения в КФУ.

Обозначения и предварительные сведения

1. Векторное пространство Л над пол ем Л называется алгеброй, если в нём определяется умножение элементов, которые удовлетворяют условиям

(ф + Z )Р = фР + ZP, Р (ф + Z) = Рф + PZ,

А(Рф) = (ЛР)ф = Р(Ад), Р= (Р<2^

для всех Р, Q,Z е Л и А е Л. Унитальной алг еброй Л называется алгебра, в которой существует элемент I е Л такой, что /Р = Р1 = Р, для любого Р е Л, и 1 = 0.

Л

РеЛ

для которого существует элемент Рг—1 е Л (соответственно Рг— 1 е Л такой, что РРГ—1 = I (соот. Рг—1Р = I). Элемент Р

Р

слева и справа; при этом Р—1 = Рг— 1 = Рг—^

Л

определена операция

* : А еЛи А* е Л,

такая, что

А* + В * = (А + В )*; В *А* = (АВ )*; ЛА* = (АА)*; А = (А*)*.

А

определена норма || • || такая, что ||ХУ|| < ||Х||||У|| для всех X, У е А. Для инволютивной нормированной алгебры требуем чтобы ^Ц = ||.

5. С*-алгебра - это комплексная банахова *-алгебра А такая, что ||А*А|| = ||А||2 для ВСех А е А. Для С*-алгебры А через Арг, А& и А+ мы обозначаем его подмножества проекторов (А = А* = А2), эрмитовых элементов (А* = А) и положительных элементов соответственно. Если А е А, то |А| = е А+. Если / является единицей алгебры А и Р е Арг то Р^ = / - Р. Равенств ом (Р Л = РН П ЦН определим проектор Р Л Ц для Р, Ц е В(Н)рг, а проектор Р V Ц - равенством Р V Ц = (Р^ Л Ц^)^, от проектирует на Нп(РН и ЦН).

С* А А А

подмножества унитарных элементов и обратимых элементов соответственно.

ф С* А

зывается эрмитовым, если ф^*) = ф^) для всех X е А; положительным, если ф^) > 0 для всех X е А+; следовым.;, если ф(XX*) = ф(X*X) для всех X е А.

7. Конусом в векторном пространстве будем называть множе-

К

и умножения на вещественные положительные числа.

8. Отображение ф : А+ ^ [0, называется весом, на С*-алгебре А, есл и ф^ + У) = ф^) + ф(У), ф(ЛX) = Лф^)

для всех X, У е Л+, Л > 0 (причем, 0 • (+гс>) := 0). Для веса ф определим

М+ = {X е Л+: ф^) < Мф = ИпсМ+

Ограничение ф|М+ всегда можно расширить по линейности до функционала на который мы обозначим той же буквой ф.

Такое расширение позволяет нам идентифицировать конечные веса (т. е. такие веса ф, что ф^) < для всех X е Л+)

Л

9. Положительный линейный функционал ф на Л с ||ф|| = 1 называется состоянием.

10. Вес ф на Л называется точным, если ф^) = 0 (X е Л+) ^ X = 0.

11. Вес ф называется следом, если ф(Z*Z) = ф(ZZ*) для всех

Z е Л.

12. След ф на С*-алгебре Л называется полуконечным, если ф(А) = яир{ф(В) : В е Л+, В < А, ф(В) < для каждого А е Л+.

13. Пусть Н - гильбертово пространство над полем С В(Н) -*-алгебра всех линейных ограниченных операторов наН.

По теореме Гельфанда-Наймарка любая С*-алгебра изометрически изоморфна некоторой конкретной С*-алгебре операторов в подходящем гильбертовом пространствеН [51, 11.6.4. 10].

14. Коммутантом множества X С В(Н) называется множество

X' = {У е В(Н): XY = У^ да всех X е X}.

20

15. Алгеброй фон Неймана, действующей в гильбертовом пространстве H называется *-подалгебра A алгебры £(%), такая что A = A". Для P, Q Е Apr мы пишем P ~ Q (эквивалентность Мюррея - фон Неймана), если P = U*U и Q = UU* для некоторого U Е A.

16. Вес ф та алгебре фон Неймана A называется нормальным, если Xj возрастает к X (X^,X Е A+) ф(Х) = sup ф(Х^); полуконечным, если множество Мф ультраслабо плотно в A (см. [91, определение VII.1.1]).

17. Изоклинными проекторами называют проекторы R, S Е A (с углом в Е (0, п/2)), если RSR = cos2 в R и SRS = cos2 в S.

18. C*-алгебра A называется W*-алгеброй, если она имеет пред-двойственное банахово пространство A*: A~ (A*)*. Собственно бесконечной алгеброй называется W*-алгебра, на которой нет ненулевых нормальных конечных следов.

19. Пусть A - алгебра, Aid = {A Е A : A2 = A} и Atri = {A Е

A : A3 = A} - множества всех пдемпотентов и всех трипотентов

A

20. Для A, B Е A мы пиш ем A ~ Б, если существуют такие X, Y Е A, что XY = A, YX = Б.

21. Элемент X Е A является ш^^/mamop ом,, если X = [A, Б ] = AB — БA для некоторых A, Б Е A Элементы X, Y Е A анти-

коммутируют, если XY = — YX.

22. Если / - единица алгебры A и P £ Ald, то P± = I — P £ Ald и SP = 2P — I являете симметрией, т. е. Sp = I.

Пусть Asym - множество всех симметрий из A. Если A, B £ A подобны, то A ~ B.

23. Пусть H - гильбертово пространство над полем C, B(H) - *-

алгебра всех линейных ограниченных операторов на H. Пусть B (H)+ - положительный конус в B(H). Пусть Si(H) - множество всех класс ядерных операторов на H.

24. Оператор A £ B(H) является гипош^шальм^ш, если A*A > AA*; нормальным, если A*A = AA*;

25. Оператор A £ B(H) является частичной изометрией, если A изометричен на ker(A)^, т. е. ||A£|| = ||£|| для всex £ £ ker(A)^. При dimH = n < то алгебра B(H) может быть отождествлена с полной матричной алгеброй Mn(C).

26. Каждый оператор A £ B(H), dimH = то, представляется в виде суммы двух коммутаторов [25, следствие 2 из задачи 186].

27. Каждый компактный оператор, имееющий бесконечномерное приводящее подпространство, на котором он равен 0, является коммутатором компактных операторов.

Каждый компактный оператор является коммутатором [A, B] ограниченного оператора A и компактного оператора B [28].

Обзор литературы

Укажем здесь в хронологической последовательности список основных публикаций отдельно по теме характеризации следовых функционалов и следов и по теме характеризации комму-С*

Характеризация следовых функционалов

1974: В работах М.С. Матвейчука [20,21] даны характеризации следов на конечных алгебрах фон Неймана с использованием неравенств субмультипликативности [21] и неравенств субаддитивности [20] случайных норм. Идея такой характеризации принадлежит Д.Х. Муштари.

1979: Л.Т. Гарднер [62] привел неравенство ф(^|) > |ф^)|, характеризующее следы в широком классе весов. Так, если функ-

ф С* А

Гарднера справедливо для любых X е А. Обратно, если неравенство Гарднера справедливо для всех X е А и функци-ф

вым. Если же М является алгеброй фон Неймана, аф - нор-

ф

конечного проектора Р е М справедливо неравенство Гарднера (ф(IX|) > |ф^)|) при любых X = PXoP, Xo е М, то этот вес является следом.

1981: X. Упмайер [93] далеко продвинулся в этой задаче; в обос-

новании характеризации Ш.А. Аюпов сформулировал окончательный результат в работе [1] (1986).

1982: В работе Г. Педерсена, Э. Штермера [82] получен следующий результат.

Если ф является линейным функционалом на С*-алгебре Л,

то эквивалентны следующие условия: ф

(и) для любого целого числа к > 0 и для всех X е Л справедливо неравенство ф(^|к) > |ф^к)|;

(ш) существует целое число к > 0 для которого ф(^|к) > |ф^к )| при люб ом X е Л.

1986: Ш.А. Аюпов [1] обосновал следующую характеризацию.

Если ф - вес на алгебре фон Неймана М, то равенство ф^) = ф(SXS) справедливо при любых X е М+ и любых

эрмитовых симметрий 5 алгебры М тогда и только тогда, ко-ф

1988: Я. Земанек, Д. Петц [83] получили большое количество

разных характеристик следа, среди которых можно отметить

ф

на М является следовым в том и только том случае, если он суббадитивный на решетке проекторов (выполняется неравенство ф(Р) + ф(ф) > ф(Р V ф) для всех Р, ф е Мрг).

В этой же статье был дан следующий критерий, определяющий, когда алгебра фон Неймана является абелевой. Алгебра фон Неймана - абелева, если и только если любое состояние

является субаддитивным на решетке проекторов этой алгебры.

1992: O.E. Тихонов, А.И. Столяров [23] предложили критерий следовости, в котором используется неравенство треугольника для модулей самосопряженных операторов под знаком веса. Также, ими были предложены характеризации следов в широком классе весов, содержащем все конечные веса. Исследования в этом направлении были продолжены в работах [87] и [78].

1995: A.M. Бикчентаев [2] предложил новую характеризацию следов в широком классе весов, включающем все нормальные веса на алгебре фон Неймана. Доказательства были опубликованы в работе 1998-го года [34].

2002: А.Н. Шерстнев, А.И. Столяров, O.E. Тихонов [87] показали, что на алгебре фон Неймана M любой нормальный полуконечный вес ф такой, что ф(|А|) + ф(|В|) > ф(|А + B|) при любых A, B Е Msa, является следом.

В указанной работе были получены и другие такого рода характеризации следов среди всех положительных функционалов. Например, усилена характеризация, данная Гарднером.

2004: A.M. Бикчентаев, O.E. Тихонов, A.C. Русаков [4] анонсировали ряд результатов, которые были опубликованы позже вместе с другими результатами в [36] (2007).

Также среди всех имеющихся работ одной из наиболее ярких является

2005: O.E. Тихонов [92] получил ряд интересных результатов,

среди которых отметим следующее утверждение.

Пусть ф является положительным нормальным функционалом на алгебре фон Неймана M и пусть f - вещественная функция на R+, измеримая по Борелю и ограниченная на ограниченных подмножествах R+, причем f (0) = 0. Пусть также ф^(A)) + ф^(B)) > ф^(A + B)) для любых A, B G M+ Тогда имеет место ровно один из следующих случаев:

(i) f линейна (f (x) = cx c G R);

(ii) f выпукла и функционал ф является следовым;

(iii) f субаддитивна, функционал ф является следовым, а носитель я(ф) - абелевым проектором;

(iv) ф := 0.

В этой же работе доказательство следовости функционала на произвольной алгебре фон Неймана было сведено к доказательству для случая матричной алгебры M2(C).

2005: В работе A.M. Бикчентаева, O.E. Тихонова [35] даны ха-

рактеризации следов при помощи неравенства Юнга. ф

ф

а, в > 0 а + в = 1 такие, что для любых неотрицательно определенных матриц X и Y справедливо условие аф(Х1/а) + вф(У1/в) > ф(^|).

2006: Т. Ятсу, Т. Сано [85] дали характеризации следового свойства положительного линейного функционала через неравенства выпуклости.

2007: A.M. Бикчентаев, O.E. Тихонов [36] получили следующий результат.

Если ф - положительный функционал наМп(С), 0 < а < то и для любых 0 < A < B выполняется неравенство ф(В1+а) > ф(А1+а)^о ф = Atr, А > 0.

Пусть ф - положительный функц ионал на Mn(C), и для любых X, Y Е МПа с условием X < Y выполняется неравенство ф(ехр(У)) > ф(ехр(Х)) jo ф = A tr, для некоторого числа А > 0.

2007: O.E. Тихонов, Д.Ч. Хоа [65] предложили характеризовать следы весовыми неравенствами монотонности.

2009: Т. Сано, К. Чо [53] для характеризации следовых функционалов использовали неравенство Юнга для общих выпуклых функций, используя методы работы A.M. Бикчентаева [35].

2009: A.M. Бикчентаев [7] сообщил о возможности охарактеризовать следовые функционалы на алгебре фон Неймана при помощи соотношений перестановочности проекторов внутри знака функционала.

2010: Д.Ч. Хоа, O.E. Тихонов [66] развили результаты предыдущей работы [65].

2010-2011: A.M. Бикчентаевым [8,40] расширены и дополнены результаты, полученные им в [7] (2009).

2011: A.M. Бикчентаев [39] показал, что неравенства Араки - Либа - Тирринга и Пайерлса - Боголюбова также характе-

ризуют следы в классе положительных функционалов на С*-алгебрах.

2012: A.M. Бикчентаев [37] дал обзор имеющихся результатов по задачам 1)-3).

2012: Д.Ч. Хоа [67] продолжил направление исследования, проведенного в работах [65,66].

2013: A.M. Бикчентаев [41] получил характеризацию следов в классе весов соотношениями перестановочности операторов из C *-алгебры.

2013: Д.Ч. Хоа, X. Осака, Х.М. Тоан [68] использовали неравенство Пауэрса-Штермера для характеризации следовых функционалов.

2015: A.M. Бикчентаев [43] в наиболее общем виде охарактеризовал следы в терминах перестановочности операторов из алгебры фон Неймана.

2015: O.E. Тихонов, Ан.Ан. Новиков [78] предложили двойственные к характеризациям следов утверждения, характеризующие центральные элементы С*-алгебр и алгебр фон Неймана. В частности, ими даны характеризации, двойственные к характеризациям Л.Т. Гарднера [62], и доказано, что элемент С*-алгебры является центральным тогда и только тогда, когда выполняется равенство |ф|(a) = ||а 1/2фа1/2|| и неравенство треугольника для отображений

ma : ф Е ^ M(a), ^ : ф G ^ Ф+(а).

2016: Д. Вирожтек [94] дал характеризацию центральных элементов алгебры через неравенства монотонности.

2017: A.M. Бикчентаев [11] предложил характеризацию следовых функционалов с использованием следующих неравенств для проекторов:

2ф(РVQ) > ^(P+Q+|P—Q|)), ф(Р+д) > ф(|Р-Q|+2(PAQ)).

2018: A.M. Бикчентаев [13] дал характеризацию следовых функционалов равенством для разностей проекторов: ф ((Р — Q)3) =

ф(Р — Q)

2018: С. Абед [26] представил условия, при которых непрерывная функция является проекторно-выпуклой, т. е.

/ (АР + (1 — A)Q) < А/(Р) + (1 — A)f (Q)

для любых проекторов Р и Q и любого вещественного числа А Е (0,1). Также были получены характеризация проекторной коммутативности и характеризация следа в терминах равенств для неплоских функций.

2019: A.M. Бикчентаев, С. Абед [46] получили следующий утверждение о проекторах и следах на алгебрах фон Неймана. Р, Q

гда следующие условия равносильны:

(i) PQ + QP < 2^Q)p для некоторого числа 0 < Р < 1;

(ii) PQ - паранормальный оператор;

(iii) Р^ - М*-паранормальный оператор;

iv) PQ = QP.

2019: A.M. Бикчентаев [14] получил следующее утверждение.

Если ф - положительный нормальный функционал на алгебре фон Неймана M, то равносильны следующие условия:

i) ф является следом;

ii) ф(Q — P) G R+ для любых идемпо тентов P, Q GMc условием QP = P;

(iii) min^(P),ф(Q)} > ф(|PQ — QP|) для любых проекторов

P,Q GM;

(iv) ф(PQP + QPQ) > ф(PQ + QP) для любых проекторов

P,Q gM.

2019: A.M. Бикчентаев [15] ввел на решетке проекторов следующие метрики

Рф(Л Q) = ф(^|), dp(P, Q) = ф(P V Q — P Л Q)

и доказал, что выполнение неравенства треугольника для рф и эквивалентно следовостп функционал ф.

2020: A.M. Бикчентаев [16] показал, что для положительного функционала ф на матричной алгебре Mn с условием ф(/) = n выполнение аналога классических неравенств для матричного следа и определителя (или для перманента) влечет равенство ф = tr.

2021: A.M. Бикчентаев [49] представил следующие результаты.

Пусть для положительного линейного функционала ф на C*-алгебре A выполняется одно из следующих условий:

(i) ф(|Х|) < ф(У) для любых X G Asa, Y G A+ таких, что -Y < X < Y;

(ii) ф(| AB + BA|) < ф(А2 + B2) для любых A, B G Asa. Тогда функционал ф является следовым.

Для положительного линейного функционала ф на C*-алгебре

A

ф

(ii) ф(иРи*) < ф(Р) для любых частичных изометрий U G A, P G Apr.

ф

Неймана A, причем ф(^Р^) < ф(Р ) для люб ых P, Q G Apr. ф

Характеризация коммутативности C*-алгебры и свойства коммутаторов

Существует много различного рода результатов, касающихся коммутативности C*-алгебр. Здесь мы приведем лишь некоторые наиболее выдающиеся результаты в этом направлении.

Характеризация Капланского может считаться одной из первых, полученных до 1969 года, а именно: C*-алгебра A коммутативна, если и только если единственным нильпотентом этой алгебры является нуль [56,70].

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Фауаз Хаттаб, 2023 год

Литература

[1] Аюпов Ш.А. Классификация и представление упоряден-ных йордановых алгебр / Ш.А. Аюпов // отв. редактор Т.А. Сарымсаков; АН УзССР, Ин-т математики им. В.И. Романовского. - Ташкент: Фан, 1986. - 121 с.

[2] Бикчентаев A.M. Характеризация следов в некоторых классах весов на алгебре фон Неймана / A.M. Бикчентаев // В сб. Теория функций и ее приложения. - Казань: Казанск. фонд математика, 1995. - С. 8-9.

[3] Бикчентаев A.M. О представлении линейных операторов в гильбертовом пространстве в виде конечных сумм произведений проекторов / A.M. Бикчентаев // Докл. Акад. наук. - 2003. - Т. 393, № 4. - С. 444-447.

[4] Бикчентаев A.M. Характеризация следа степенными неравенствами /A.M. Бикчентаев, A.C. Русаков, O.E. Тихонов //Тр. матем. центра им. H.H. Лобачевского. Т. 23. Алгебра и анализ - 2004. Матер, межд. конф., поев. 200-летию Казан. гос. ун-та (Казань, 2-9 июля 2004 г.). - Казань: Изд-во Казан, матем. о-во, 2004. - С. 45-46.

[5] Бикчентаев A.M. О представлении элементов алгебры фон Неймана в виде конечных сумм произведений проекторов /A.M. Бикчентаев // Сиб. матем. журн. - 2005. - Т. 46, № 1. - С. 32-45.

[6] Бикчентаев A.M. О представлении элементов алгебры фон Неймана в виде конечных сумм произведений проекторов, III. Коммутаторы в C*-алгебрах /A.M. Бикчентаев // Матем. сборник. - 2008. - Т. 199, № 4. - С. 3-20.

[7] Бикчентаев A.M. Перестановочность проекторов и харак-теризация следа на алгебрах фон Неймана. I / A.M. Бикчентаев // Изв. вузов. Матем. - 2009. - № 12. - С. 80-83.

[8] Бикчентаев A.M. Перестановочность проекторов и харак-теризация следа на алгебрах фон Неймана /A.M. Бикчентаев // Сиб. матем. журн. - 2010. Т. 51, № 6. - С. 1228-1236.

[9] Бикчентаев A.M. Об идемпотентныхт-измеримых операторах, присоединенных к алгебре фон Неймана / A.M. Бикчентаев // Матем. заметки. - 2016. - Т. 100, № 4. - С. 492503.

[10] Бикчентаев A.M. О сходимости интегрируемых операторов, присоединенных к конечной алгебре фон Неймана / A.M. Бикчентаев // Тр. МИАН. - 2016. - Т. 293. - С. 7382.

[11] Бикчентаев A.M. Разности идемпотентов в C*-алгебрах /

A.M. Бикчентаев // Сиб. матем. журн. - 2017. - Т. 58, № 2. - С. 243-250.

[12] Бикчентаев A.M. След и коммутаторы измеримых операторов, присоединенных к алгебре фон Неймана / A.M. Бикчентаев // Итоги науки и техн. Сер. Соврем, мат. и ее прил. Темат. обз. - 2018. - Т 151. - С. 10-20.

[13] Бикчентаев A.M. Разности идемпотентов в C*-алгебрах и квантовый эффект Холла / A.M. Бикчентаев // ТМФ. -2018. - Т. 195, № 1. - С. 75-80.

[14] Бикчентаев A.M. След и разности идемпотентов в C*-алгебрах / A.M. Бикчентаев // Матем. заметки. - 2019.

- Т. 105, № 5. - С. 647-655.

[15] Бикчентаев A.M. Метрики на проекторах алгебры фон Неймана, ассоциированные со следовыми функционалами / A.M. Бикчентаев // Сиб. матем. журн. - 2019. - Т. 60, № 6. - С. 1223-1228.

[16] Бикчентаев A.M. Неравенства для определителей и харак-теризация следа / A.M. Бикчентаев // Сиб. матем. журн.

- 2020. - Т. 61, № 2. - С. 314-321.

[17] Бикчентаев A.M. Разности и коммутаторы идемпотентов в С*-алгебрах /A.M. Бикчентаев, X. Фауаз // Теория функций, теория операторов и квантовая теория информации: сборник тезисов Международной конференции, г. Уфа (28

сентября - 1 октября 2020 г.). - Уфа: Научно- издательский центр "Аэтерна". - 2020. - С. 16.

[18] Бикчентаев A.M. Разности и коммутаторы идемпотентов в C*-алгебрах / A.M. Бикчентаев, X. Фауаз // Известия вузов. Математика. -2021. - № 8. - С. 16-26.

[19] Глазман И.М. Конечномерный линейный анализ / И.М. Глазман, Ю.И. Любич // Наука, М., 1969. - 477 с.

[20] Матвейчук М.С. Случайные нормы и свойства вероятностных мер на ортопроекторах, присоединенных к фактору / М.С. Матвейчук // Вероятн. методы и кибернетика. Вып. IX. Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1971. - С. 73-78.

[21] Матвейчук М.С. О кольцах со случайной нормой / М.С. Матвейчук // Вероятн. методы и кибернетика. Вып. X-XI. Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1974. - С. 43-50.

[22] Мерфи Дж. C*-алгебры и теория операторов / Дж. Мерфи // Факториал, М., 1997. - 336 с.

[23] Столяров А.И. О характеризации следов в терминах некоммутативного интегрирования / А.И. Столяров, O.E. Тихонов. Рукопись деп. Казанск. ун-том 05.11.1992, № 3186-В92 Деп. - М.: ВИНИТИ АН СССР, 1992. - 9 с.

[24] Фауаз X. Характеризация следовых функционалов на а л-гебрах фон Неймана / X. Фауаз, X. Алхасан // Труды

Математического центра имени Н.И. Лобачевского. Материалы Международной конференции по алгебре, анализу и геометрии (Казанский федеральный университет, 22-28 августа 2021 г.). - Казань: Изд-во Казанск. матем. о-во, Изд-во Академии наук РТ, 2021. - Т. 60. - С. 311-312.

[25] Халмош П. Гильбертово пространство в задачах / П. Хал-мош // Мир, М., 1970. - 352 с.

[26] Abed S.A. An inequality for projections and convex functions / S.A. Abed // Lobachevskii J. Math. - 2018. - V. 39, № 9. -P. 1287-1292.

[27] Akemann C.A. Triangle inequalities in operator algebras / C.A. Akemann, J. Anderson, G.K. Pedersen // Linear Multilinear Algebra. - 1982. - V. 11, № 2. - P. 167-178.

[28] Anderson J. Commutators of compact operators / J. Anderson // J. Reine und Angew. Math. - 1977. - V. 291. - P. 128-132.

[29] Andruchow E. Operators which are the difference of two projections / E. Andruchow //J. Math. Anal. Appl. - 2014. - V. 420, № 2. - P. 1634-1653.

[30] Araki H. On an inequality of Lieb and Thirring / H. Araki // Lett. Math. Phys. - 1990. - V. 19, № 2. - P. 167-170.

[31] Avron J. The index of a pair of projections / J. Avron, R. Seiler, B. Simon // J. Funct. Anal. - 1994. - V. 120, № 1. - P. 220-237.

[32] Bellissard J. The noncommutative geometry of the quantum Hall effect / J. Bellissard, A. van Eist, H. Schulz-Baldes // Topology and physics. J. Math. Phys. - 1994. - V. 35, 10. - P. 5373-5451.

[33] Bhatia R. Matrix analysis / R. Bhatia // Graduate Texts in Mathematics, 169. Springer-Verlag, New York, 1997.

[34] Bikchentaev A.M. On a property of Lp-spaces on semifinite von Neumann algebras / A.M. Bikchentaev // Math. Notes. -1998. - V. 64, № 1-2. - P. 159-163.

[35] Bikchentaev A.M. Characterization of the trace by Young's inequality / A.M. Bikchentaev, O.E. Tikhonov // JIPAM. J. Inequal. Pure Appl. Math. - 2005. - V. 6, № 2. Article 49. - 3 pp.

[36] Bikchentaev A.M. Characterization of the trace by monotonicity inequalities /A.M. Bikchentaev, O.E. Tikhonov // Linear Algebra Appl. - 2007. - V. 422, № 1. - P. 274-278.

[37] Bikchentaev A.M. Characterization of traces on C*-algebras: a survey / A.M. Bikchentaev // Gaspar, D. (ed.) et al., An operator theory summer. Proc. 23rd Internat. Conf. Operator Theory. Timisoara, Romania, June 29 - July 4, 2010. Bucharest: The Theta Foundation. Theta Series in Advanced Math. 13, P. 1-12 (2012).

[38] Bikchentaev A.M. Representation of tripotents and

representations via tripotents / A.M. Bikchentaev, R.S. Yakushev // Linear Algebra Appl. - 2011. - V. 435, № 9. - P. 2156-2165.

[39] Bikchentaev A.M. The Peierls-Bogoliubov inequality in C*-algebras and characterization of tracial functionals / A.M. Bikchentaev // Lobachevskii J. Math. - 2011. - V. 32, № 3. -P. 175-179.

[40] Bikchentaev A.M. Commutation of projections and trace characterization on von Neumann algebras. II / A.M. Bikchentaev // Math. Notes. - 2011. - V. 89, № 3-4. - P. 461-471.

[41] Bikchentaev A.M. Commutativity of operators and characterization of traces on C*-algebras / A.M. Bikchentaev // Dokl. Math. - 2013. - V. 87, № 1. - P. 79-82.

[42] Bikchentaev A.M. Tripotents in algebras: invertibility and hyponormality / A.M. Bikchentaev // Lobachevskii J. Math. - 2014. - V. 35, № 3. - P. 281-285.

[43] Bikchentaev A.M. Commutation of projections and characterization of traces on von Neumann algebras. Ill / A.M. Bikchentaev // Internat. J. Theor. Physics. - 2015. -V. 54, № 12. - P. 4482-4493.

[44] Bikchentaev A.M. Integrable products of measurable operators

/ A.M. Bikchentaev // Lobachevskii J. Math. - 2016. - V. 37, № 4. - P. 397-403.

[45] Bikchentaev A.M. On r-compactness of products of t-measurable operators / A.M. Bikchentaev // Internat. J. Theoret. Phys. - 2017. - V. 56, № 12. - P. 3819-3830.

[46] Bikchentaev A.M. Projections and traces on von Neumann algebras / A. M. Bikchentaev, S.A. Abed // Lobachevskii J. Math. - 2019. - V. 40, № 9. - P. 1260-1267.

[47] Bikchentaev A.M. Rearrangements of tripotents and differences of isometries in semifinite von Neumann algebras / A.M. Bikchentaev // Lobachevskii J. Math. - 2019. - V. 40, № 10. - P. 1450-1454.

[48] Bikchentaev A.M. On the T-compactness of the product of T-measurable operators adjoint to a semifinite von Neumann algebra / A.M. Bikchentaev // J. Math. Sci. - 2019. - V. 241, № 4. - P. 458-468.

[49] Bikchentaev A.M. Trace inequalities for Rickart C*-algebras / A.M. Bikchentaev // Positivity. - 2021. - V. 25. - P. 19431957.

[50] Bikchentaev A.M. Differences and commutators of projections on a Hilbert space/ A.M. Bikchentaev // Internat. J. Theoret. Phys. - 2022. - V. 61, № 1. Article 2. - 10 pp.

[51] Blackadar B. Operator algebras, theory of C*-algebras and

von Neumann algebras / B. Blackadar// in: Encyclopaedia of Mathematical Sciences, in: Operator Algebras and Non-commutative Geometry, III, vol. 122. Springer-Verlag, Berlin, 2006.

[52] Brown A. Structure of commutators of operators / A. Brown, C. Pearcy // Ann. Math. (2). - 1965. - V. 82, № 1. - P. 112 127.

[53] Cho K. Young's inequality and trace / K. Cho, T. Sano // Linear Algebra Appl. - 2009. - V. 431, № 8. - P. 1218-1222.

[54] Chevalier G. Automorphisms of an orthomodular poset of projections / G. Chevalier // Internat. J. Theoret. Phys. -2005. - V. 44, № 7. - P. 985-998.

[55] Crabb M.J. Characterization of commutativity for C*-algebras / M.J. Crabb, J. Dunkan, C.M. McGregor // Glasgow Math. J. - 1974. - V. 15, № 2. - P. 172-175.

[56] Dixmier J. C*-algebras / J. Dixmier // North-Holland Mathematical Library, Vol. 15, North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1977.

[57] Fack T. Generalized s-numbers of r-measurable operators / T. Fack, H. Kosaki // Pac. J. Math. - 1986. - V. 123, № 2. -P. 269-300.

[58] Fawwaz Kh. On quasi isometries on Hilbert spaces / Khattab Fawwaz // Матер, международной конф. "Алгебра и ма-

тематическая логика: теория и приложения" (Казанский федеральный университет, 24 -28 июня 2019 г.). - Казань: Казанский университет; изд-во АН РТ, 2019. - С. 38.

[59] Fawwaz Kh. Characterization of tracial functional on von Neuman algebras / Khattab Fawwaz, Hasan Alhasan // Lobachevskii J. Math. - 2021. - V. 42, № 10. - P. 2273-2279.

[60] Fawwaz Kh. Tripotents in algebras: ideals and commutators / Khattab Fawwaz, Rinat Yakushev // Lobachevskii J. Math. -2022. - V. 43, № 7. - P. 1626-1632.

[61] Fukamiya M. On order and commutativity of B*-algebras / M. Fukamiya, M. Misonou, Z. Takeda // Tohoku Math. J. -1954. - V. 6, № 2. - P. 89-93.

[62] Gardner L.T. An inequality characterizes the trace / L.T. Gardner // Canad. J. Math. - 1979. - V. 31, № 6. - P. 13221328.

[63] Gesztesy F. From Mathematical Physics to Analysis: a walk in Barry Simon's Mathematical Garden, II / F. Gesztesy (coordinating Editor) // Notices Amer. Math. Soc. - 2016. - V. 63, № 8. - P. 878-889.

[64] Halmos P.R. A Hilbert space problem book / P.R. Halmos // Second edition. Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 17. Graduate Texts in Mathematics, 19. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1982.

[65] Hoa D.T. Weighted trace inequalities of monotonicity / D.T. Hoa, O.E. Tikhonov // Lobachevskii J. Math. - 2007. - V. 25.

- P. 63-67.

[66] Hoa D.T. Weighted monotonicity inequalities for traces on operator algebras / D.T. Hoa, O.E. Tikhonov // Math. Notes.

- 2010. - V. 88, № 1-2. - P. 177-182.

[67] Hoa D.T. On weighted monotonicity and characterization of the traces / D.T. Hoa // Lobachevskii J. Math. - 2012. - V. 33, № 2. - P. 152-157.

[68] Hoa D.T. On generalized Powers-Stormer's inequality / D.T. Hoa, H. Osaka; H.M. Toan // Linear Algebra Appl. - 2013. -V. 438, № 1. - P. 242-249.

[69] Ji G. On characterization of commutativity of C*-algebras / G. Ji, J. Tomiyama // Proc. Amer. Math. Soc. - 2003. - V. 131. - P. 3845-3849.

[70] Kadison R.V. Foundamentals of the theory of operator algebras, Vol.1. Elementary Theory / R.V. Kadison, J.R. Ringrose // Pure and Applied Mathematics, 100, Academic Press, Inc., New York-London, 1983.

[71] Kalton N.J. A note on pairs of projections / N.J. Kalton // Bol. Soc. Mat. Mexicana (3). - 1997. - V. 3, № 2. - P. 309-311.

[72] Kaplansky I. Modules over operator algebras / I. Kaplansky // Amer. J. Math. - 1953. - V. 75, № 4. - P. 839-858.

[73] Koliha J.J. Range projections of idempotents in C*-algebras / J.J. Koliha // Demonstration Math. - 2001. V. 24, № 1. - P. 91-103.

[74] Koliha J.J. Fredholm properties of the difference of orhogonal projections in a Hilbert space / J.J. Koliha, V. Rakocevic // Integral Equat. Oper. Theory. - 2005. V. 52, № 1. - P. 125-134.

[75] Manjegani S.M. Inequalities in operator algebras / S.M. Manjegani //A thesis for the PhD in mathematics degree of Regina University. Canada, Regina, 2004. 95 pp.

[76] Murphy G.J. C*-algebras and operator theory / G.J. Murphy // Academic Press, Inc., Boston, MA, 1990.

[77] Nakamoto R. A spectral characterization of commutative C*-algebras / R. Nakamoto // Math. Japan. - 1979/1980. - V. 24. - P. 399-400.

[78] Novikov An.An. Characterization of central elements of operator algebras by inequalities / An.An. Novikov, O.E. Tikhonov // Lobachevskii J. Math. - 2015. -V. 36, № 2. -P. 208-210.

[79] Ogasawara T. A theorem on operator algebras / T. Ogasawara //J. Sei. Hiroshima Univ. Ser. A. - 1955. - V. 18. - P. 307-309.

[80] Paszkiewicz A. Any selfadjoint operator is a finite linear combination of projectors / A. Paszkiewicz // Bull. L'Acad. Polon. Sei. Ser. Sei. Math. - 1980. - V. 28, № 7-8. - P. 337-345.

[81] Pearcy C. Sums of small numbers of idempotents/ C. Pearcy, D.M. Topping // Mich. Math. J. - 1967. - V. 14, № 4. - P. 453-465.

[82] Pedersen G.K. Traces on Jordan algebras / G.K. Pedersen, E. Stormer // Canad. J. Math. - 1982. - V. 4, № 2. - P. 370-373.

[83] Petz D. Characterizations of the trace / D. Petz, J. Zemanek // Linear Algebra Appl. - 1988. - V. 111. - P. 43-52.

[84] Ruskai M. Inequalities for traces on von Neumann algebras / M. Ruskai // Commun. Math. Physics. - 1972. - V. 26, № 4.

- P. 280-289.

[85] Sano T. Characterizations of the tracial property via inequalities / T. Sano, T. Yatsu //J. Inequal. Pure Appl. Math. - 2006. - V. 7, № 1. - Article 36. - 11 pp.

[86] Sherman S. Order in operator algebras / S. Sherman // Amer. J. Math. - 1951. - V. 73, № 1. - P. 227-232.

[87] Stolyarov A.I. Characterization of normal traces on von Neumann algebras by inequalities for the modulus / A.I. Stolyarov, O.E. Tikhonov, A.N. Sherstnev // Math. Notes.

- 2002. - V. 72, № 3-4. - P. 411-416.

[88] Stratila §. Lectures on von Neumann algebras / § Stratila, L. Zsido // Abacus Press, England, 1979.

[89] Sukochev F.A. The triangle inequality for operators that are measurable with respect to Hardy-Littlewood order / F.A.

Sukochev, V.l. Chilin // (Russian), Izv. Akad. Nauk UzSSR Ser. Fiz.-Mat. Nauk. - 1988. № 4. - P. 44-50.

[90] Takesaki M. Theory of operator algebras. Vol. I. Operator Algebras and Non-commutative Geometry 5 / M. Takesaki // Springer-Verlag, Berlin, 2002.

[91] Takesaki M. Theory of Operator Algebras, Operator Algebras and Non-Commutative Geometry, 6. v. II / M. Takesaki // Encyclopaedia Math. Sei., 125. Springer-Verlag, New York, 2003.

[92] Tikhonov O.E. Subadditivity inequalities in von Neumann algebras and characterization of tracial functionals / O.E. Tikhonov // Positivity. - 2005. - V. 9, № 2. - P. 259-264.

[93] Upmeier H. Automorphism groups of Jordan C*-algebras / H. Upmeier // Math. Z. - 1981. - V. 176, № 1. - P. 21-34.

[94] Virosztek D. Connections between centrality and local monotonicity of certain functions on C*-algebras / D. Virozstek //J. Math. Anal. Appl. - 2016. - V. 453, № 1.

- P. 221-226.

[95] Williams J.P. Operators similar to their adjoints / J.P. Williams // Proc. Amer. Math. Soc. - 1969. - V. 20, № 1.

- P. 121-123.

[96] Wu W. An order characterization of commutativity for C*-

algebras / Wei Wu // Proc. Amer. Math. Soc. - 2000. - V. 129, № 4. - P. 983-987.

[97] Zuo K. Nonsingularity of the difference and the sum of two idempotent matrices / K. Zuo // Linear Algebra Appl. - 2010. - V. 433, № 2. - P. 476-482.