Теоретико-игровое моделирование биржевых торгов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.09, кандидат наук Сандомирская, Марина Сергеевна

• Сандомирская, Марина Сергеевна
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Сандомирская, Марина Сергеевна

Оглавление

Введение

Глава 1. Повторяющиеся игры с неполной информацией как инструмент для моделирования биржевых торгов рисковыми активами

1.1. Основные определения и рекурсивная структура повторяющихся игр с неполной информацией

1.2. Непрерывная упрощенная модель биржевых торгов на базе повторяющихся игр с неполной информацией

1.3. Дискретизация непрерывной модели. Решение игр торгов бесконечной продолжительности

Глава 2. Модели биржевых торгов с ненулевым бид-аск спредом. Анализ игр торгов бесконечной продолжительности

2.1. Модель многошаговых биржевых торгов с различными ценами покупки и продажи

2.2. Описание игры С™ь{р)

2.3. Верхняя оценка выигрыша инсайдера

2.4. О стратегии инсайдера и нижней оценке выигрыша

2.5. Соотношение верхней и нижней границ

2.6. Модели торгов со счетным числом возможных значений случайной цены акции

2.7. Верхняя граница для значений игр С® (р)

2.8. Нижняя граница для значений 1^х>(р) игр С^Др)

Глава 3. Игры торгов с конечным числом шагов. Оценки выигрыша инсайдера

3.1. Нижняя оценка значения конечношаговой игры С™(к/т)\ выигрыш инсайдера в п-шаговой игре, гарантированный стратегией ат

3.2. Сравнение полученного выигрыша инсайдера за п шагов со значением п-шаговой игры для случая т = 3

3.3. Нижняя оценка значения конечношаговой игры С™ 5 для модели с ненулевым

бид-аск спредом

Глава 4. Одношаговые игры торгов с нулевым и ненулевым спредом

4.1. Одношаговая модель биржевых торгов без введения спреда

4.2. Анализ используемых игроками ставок в оптимальных смешанных стратегиях в игре

4.3. Рекурсивные соотношения для значения игры С^р) в зависимости от структуры спектров стратегий

4.4. Точки излома функции У{п(р)

4.5. Об оптимальной стратегии инсайдера в игре С"г(р)

4.6. Игра С"г-6(р), моделирующая одношаговые биржевые торги с ненулевым бид-аск спредом

4.7. Структура спектров ставок в оптимальных стратегиях игроков в игре 6"/'"»

4.8. О длине пропусков в оптимальных стратегиях в С"г'6(р)

4.9. Рекурсивные соотношения на значение игры У{п'8(р)

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Теоретико-игровое моделирование биржевых торгов»

Введение

Повторяющиеся игры с неполной информацией представляют собой естественную математическую модель для исследования информационных аспектов продолжительного взаимодействия сторон в условиях неопределенности. Они были введены Ауманом и Машлером в 60-х годах прошлого века (препринты этих годов были изданы в форме монографии в 1995 г., см. [131) в период их работы на Американское Агентство по Контролю над Вооружениями и Разоружению. Разработанная теория способствовала проведению Советско-американских переговоров по сокращению стратегических вооружений.

Повторяющиеся игры с неполной информацией являются эффективным инструментом анализа процессов обмена информацией. Они позволяют ответить на вопросы, при каких условиях и с какой скоростью происходит раскрытие информации, каковы эффективные механизмы сокрытия информации, какую выгоду можно извлечь при грамотном использовании информации.

В теории повторяющихся игр с неполной информацией основное число работ посвящено играм двух лиц с нулевой суммой (антагонистическим). Наиболее полно изучены свойства повторяющихся игр с неполной информацией у одной из сторон. В таких играх два игрока п раз разыгрывают матричную антагонистическую игру. Матрица выигрышей определяется так называемым состоянием природы, которое выбирается из множества возможных состояний случайным ходом перед началом игры на весь период в соответствии с известным обоим игрокам распределением р. Случайный выбор сообщается одному из игроков (инсайдеру), но не его оппоненту, причем это общеизвестно. После каждого шага неинформированный игрок, наблюдая за действиями информированного, пересматривает свои представления о распределении вероятностей р. Это уменьшает стратегическое преимущество инсайдера и ставит перед ним задачу наилучшего использования своей приватной информации. Важной особенностью анализа процесса обновления информации неинформированным игроком является то обстоятельство, что требуется рассматривать целый класс игр, параметризованных исходным распределением на множестве состояний природы.

В теории, разработанной Ауманом и Машлером в [13], рекуррентная структура игр исследуется на основе анализа уравнения Беллмана. Это приводит к ряду технических сложностей при решений конкретных игр, и поэтому лишь сравнительно небольшое число повторяющихся игр с неполной информацией удалось решить явно- см работы Колберга [30], Хойера |29], Де Мейера и Салей [19], До-манского и Крепе |22]. [23|, [24], [20], [4|.

Важной областью приложения повторяющихся игр с неполной информацией является моделирование торгов на финансовых рынках, на которых имеется асимметричная информация о ликвидных ценах торгуемых рисковых активов среди рыночных агентов

Одним из основополагающих вопросов финансовой теории является анализ процесса ценообразования на финансовых рынках. В качестве модели для описания эволюции цен. начиная с работы Башельс |15]. используется модель случайных блужданий и ее непрерывный аналог — броуновское движение Возникновение флуктуаций цен традиционно принято объяснять экзогенными воздействиями большого числа независимых внешних факторов, случайно изменяющихся с течением времени Однако существуют основания полагать, что объяснение флуктуаций цен исключительно на основе экзогенных факторов не вполне удовлетворительно Так. в ряде теоретико-игровых работ [19|. |16]. |20|. [4] выдвигается и подтверждается результатами исследований гипотеза о возможном эндогенном происхождении флуктуаций цен на финансовых рынках

Эта гипотеза состоит в следующем Институциональные инвесторы, как принято считать, по ряду причин имеют доступ к конфиденциальной информации о состоянии финансового рынка Например, эти инвесторы могут обладать передовыми инструментами анализа поступающего потока информации Биржевые агенты. имеющие дополнительную инсайдерскую информацию, при длительном взаимодействии неизбежно выдают эту информацию другим участникам рынка через свои действия Однако инсайдер не заинтересован в немедленном раскрытии своей приватной информации, влекущем утрату стратегического преимущества Это стремление инсайдера скрывать свою информацию вынуждает его к стратегическому маневрированию выражающемуся в рандомизации своих действий

Идея состоит в том, что именно эта рандомизация приводит к сглаживанию резких скачков рыночных цен (обуславливаемых внешними шоковыми факторами) и влечет появление в их эволюции броуновской компоненты.

Впервые эндогенная гипотеза в таком виде была высказана в работе Де Мей-ера и Салей [19]. Отметим, что модели торгов с участием инсайдера рассматривались и в более ранних работах, например, в работе Кайла [311. Принципиальное отличие модели Кайла от модели Де Мсйсра и Салей состоит в наличии на финансовом рынке фоновых игроков (noise traders), которые добавляют определенный шум сигналу, получаемому неинформированным игроком, и таким образом "обеспечивают маскировку" действиям инсайдера. Фактически, в этом случае наблюдаемые флуктуации носят экзогенный характер (шум явно добавлен в модель Кайла), а не стратегический. Это направление получило развитие в работах Бэка [14], Субрахманьяма [40] и других.

В играх торгов, рассматриваемых Де Мейером и Салей [19] и Доманским [20|, имеются два риск-нейтральных рыночных агента, обладающих безрисковым активом (деньгами) и рисковым активом (акциями одного типа). При этом один из агентов (инсайдер) знает ликвидную цену акций к моменту окончания торгов, а другой игрок не знает. Торги проходят в п этапов. На каждом шаге торгов игроки одновременно предлагают свою цену за одну акцию. Назвавший более высокую цену покупает по этой цене одну акцию у оппонента. Каждый игрок стремится увеличить свой итоговый капитал (деньги плюс денежный эквивалент приобретенных/оставшихся акций).

Описанная модель сводится к повторяющейся игре с неполной информацией у одного из игроков. Различие моделей [19] и |20| состоит в множестве допустимых действий игроков — в модели Де Мейера и Салей множество допустимых ставок совпадает с множеством вещественных чисел, а в модели Доманского ставки цело-численны — и носит принципиальный характер с точки зрения как методов анализа игр. так и получаемых результатов. Подробнее рассмотрение этих моделей содержится в §1.2 и §1.3 главы 1.

Отмстим, что дискретные модели более реалистичны, поскольку отражают наличие на рынке минимальной денежной единицы, в которой проводятся торги.

На данный момент основной линией развития непрерывных моделей является исследование общей динамики ценообразования на финансовых рынках. В работе Де Мсйера [16] рассмотрен предельно общий торговый механизм с непрерывными множествами действий игроков. Текущие исследования Де Мсйера направлены на изучение непрерывных моделей с игроками, предпочитающими уклоняться от риска.

В дискретном случае Доманский и Крепе проводят исследования различных усложнений модели: переход от двух возможных ликвидных цен акции к счетному множеству [4]. увеличение числа участников торгов [3|. введение второго рискового актива [26]. При этом сохраняется сам механизм пошагового обмена между игроками- цены покупки и продажи совпадают, что не соответствует условиям, в которых на рынке функционируют так называемые маркетмейкеры.

Предметом этого диссертационного исследования являются повторяющиеся игры с неполной информации, моделирующие биржевые торги различной продолжительности с усложненным торговым механизмом, позволяющим игрокам назначать различные цены покупки и продажи с фиксированным бид-аск спрс-дом

Актуальность этой темы заключается в разработке дискретных моделей биржевых торгов, в которых игроки назначают различные цены покупки и продажи Анализ этих моделей позволяет исследовать влияние бид-аск спреда на ожидаемые выигрыши инсайдера и на активность совершения сделок Интерес к моделям с ненулевым спредом также отмечается и в непрерывном случае, о чем упоминается в §1 [19] и §6.2 [16].

В работе получен ряд результатов для игр торгов конечной продолжительности с ненулевым и нулевым спредом. Ранее исчерпывающие результаты удалось получить лишь для игр с неограниченной (бесконечной) продолжительностью торгов. и лишь в частном случае — для конечношаговой игры |6]

Целью этой работы является исследование повторяющихся игр торгов с неполной информацией с усложненным торговым механизмом и различной продолжительностью Результаты анализа этого класса игр позволяют более обосновано говорить о стратегическом влиянии асимметричности информации на фи-

нансовом рынке на процесс ценообразования.

Для достижения этой цели мы решаем ряд задач:

• Исследуем модель биржевых торгов с заранее не ограниченной продолжительностью, в которой игроки могут назначать различные цены покупки и продажи, и определяем, какое влияние оказывает ненулевой бид-аск спред на поведение участников торгов и на выигрыш информированных агентов.

• Анализируем модель торгов с большим, но конечным числом повторений для случая как нулевого, так и ненулевого бид-аск спреда. Разрабатываем механизм, позволяющий переходить от игры с бесконечным числом шагов к конечношаговым играм, и вычисляем, какие потери несет инсайдер при остановке торгов раньше ожидаемого момента.

• Изучаем модель однократных торгов, в которых вся приватная информация, имеющаяся у инсайдера, должна быть использована сразу. Определяем, при каких условиях инсайдер может ожидать наибольший выигрыш от использования информации.

Основными методами решения поставленных задач являются методы анализа повторяющихся игр с неполной информацией и динамических игр, методы теории матричных игр, а также методы теории вероятностей и теории управляемых случайных процессов. Для анализа одношагового случая также используются методы теории статических игр с неполной информацией. Научная новизна.

Дискретные модели биржевых торгов с ненулевым бид-аск спредом на основе повторяющихся игр с неполной информацией исследуются впервые. Оригинален разработанный в главе 3 подход к анализу конечношаговых игр с неполной информацией на базе решения бесконечных игр.

Теоретическая значимость работы состоит в исследовании оригинальных повторяющихся игр с неполной информацией. В биржевых играх, рассмотренных в данной работе, вводится новый параметр — бид-аск спред, оказывающий существенное влияние на технику исследования и полученные результаты. Также ис-

следованы игры торгов с большим конечным числом шагов Предположительно, данную методику исследования можно перенести на более широкий класс динамических игр. имеющих сходную вероятностную структуру решения (стратегия инсайдера генерирует простое случайное блуждание апостериорных вероятностей)

Практическая значимость данной работы заключается в оценке влияния величины бид-аск спреда на стратегические возможности инсайдера извлекать выгоду из приватной информации Также результаты могут быть использованы для оценки рисков маркетмсйкеров на финансовых рынках

Остановимся кратко на описании структуры работы и ее основных положений Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.

Глава 1 включает в себя описание основных понятий и соотношений теории повторяющихся игр с неполной информацией, разработанных Ауманом и Машле-ром [131 Также в этой главе дастся обзор базовых моделей биржевых торгов с нулевым бид-аск спредом (непрерывная модель Дс Мейера и Салей [19[ и дискретная модель Доманского |20|) Описаны решения соответствующих повторяющихся игр. необходимые для построения более точных моделей торгов

В главе 2 вводится модель биржевых торгов с ненулевым бид-аск спредом и исследуются биржевые торги с неограниченным числом шагов Строится стратегия неинформированного игрока в бесконечной игре, гарантирующая ему ограниченный сверху проигрыш при любом количестве повторений Найдена наилучшая стратегия инсайдера, порождающая простое случайное блуждание апостерионых вероятностей, и выигрыш инсайдера гарантируемый этой стратегией Показано, что верхняя и нижняя границы выигрыша инсайдера уменьшаются с ростом бид-аск спреда В главе 2 рассмотрены модели как с двумя возможными ликвидными ценами акции так и со счетным числом возможных цен

В главе 3 рассматриваются модели биржевых торгов с нулевым и ненулевым спредом с конечным числом повторений Определена величина, которую может гарантировать инсайдер, применяя стратегию, оптимальную при бссконечноша-говом взаимодействии Показано, что при бесконечном увеличении числа повторений значение конечной игры стремится к значению бесконечношаговой игры как

минимум с экспоненциальной скоростью.

Глава 4 посвящена исследованию статических моделей биржевых торгов с нулевым и ненулевым спредом. Определяется возможная структура ставок, используемых игроками в оптимальных смешанных стратегиях Строятся рекуррентные соотношения на веса ставок в оптимальных смешанных стратегиях, позволяющие связывать стратегии, использующие большее число ставок, со стратегиями с меньшим набором активных ставок.

В работе 90 страниц. Использована двойная нумерация теорем, определений и формул: первая цифра означает номер главы, вторая — внутренний номер внутри главы. Список литературы содержит 40 источников.

Апробация работы.

Результаты диссертационной работы были представлены на 5-й Международной конференции "Теория Игр и Менеджмент" GTM2011 (Санкт-Петербург.

2011), на 16-й Международной конференции Общества Прикладной Теории Вероятностей APS 2011 (Стокгольм. 2011). на 7-й Международной Испано- Итало- Нидерландской конференции по Теории Игр SING7 (Париж. 2011), на Всероссийской конференции "Моделирование в задачах городской и региональной экономики" (Санкт-Петербург, 2011), на Международной конференции "Математика, экономика, менеджмент 100 лет со дня рождения JI В Канторовича' (Санкт-Петербург.

2012). на 8-й Международной петрозаводской конференции "Вероятностные методы в дискретной математике" и 13-м Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Петрозаводск, 2012), на 6-й Международной конференции "Теория Игр и Менеджмент" GTM2012 (Санкт-Петербург. 2012). на 5-й Израильской конференции по Теории Игр (Тель-Авив, 2013), на Международном семинаре "Сетевые игры и менеджмент" NGM2013 (Петрозаводск, 2013), на 7-й Международной конференции "Теория Игр и Менеджмент" GTM2013 (Санкт-Петербург. 2013). на 2-й Международной научной конференции "Теория рыночных структур и пространственная экономика" (Санкт-Петербург. 2013). на научных семинарах Санкт-Петербургского экономико-математического института РАН. Центрального экономико-математического института РАН и Факультета Прикладной Математики и Процессов Управления СПбГУ

Публикации.

Основные результаты научных исследований по теме диссертации содержатся в 13 публикациях, в их числе 1 публикация в ведущем научном журнале перечня Высшей аттестационной комиссии (в списке публикаций № 12) и 2 публикации в сборниках избранных статей международных конференций (№ 27, 36). В работах [12, 28, 34-36] соавтору (научному руководителю) принадлежит постановка задачи и идея рекурсивного анализа выравнивающих стратегий. В работе |27] диссертантом подготовлены разделы 3, 5 и 8.

Результаты главы 2 тезисно опубликованы в [39]. Результаты главы 3 тезисно опубликованы в [38]. Результаты главы 4 опубликованы в |12| и |36]. Обзор результатов всех глав содержится в [27]. Остальные публикации диссертанта, также отражающие основное содержание работы, представляют собой тезисы Всероссийских и международных конференций.

1 Повторяющиеся игры с неполной информацией как инструмент для моделирования биржевых торгов рисковыми активами

1.1 Основные определения и рекурсивная структура повторяющихся игр с неполной информацией.

Антагонистическая п-шаговая игра Сп(р) с неполной информацией у Игрока 2 (см. [13], [33], [32|) задается следующими элементами

• конечное множество Э — множество состояний природы,

• вероятностное распределение р на 0 — априорное вероятностное распределение на множестве состояний природы:

• конечные множества действий I и ,/ игроков 1 и 2 соответственно:

• одношаговые выигрыши а?(г, ]) Игрока 1. определенные на конечном множестве в х / х 3

Отметим, что в более поздних работах при определенных условиях рассматриваются также счетные (например . в работе [4]) и континуальные множества (см. [19])

На шаге 0 случайный ход выбирает состояние природы О Е в "раз и навсегда" согласно априорному вероятностному распределению р £ А (О), известному обоим игрокам Вероятность р(6) состояния природы в равна рв. После этого Игроку 1 сообщается исход случайного хода (истинное состояние природы), а Игроку 2 не сообщается

На каждом следующем шаге ¿ = 12... .п оба игрока независимо выбирают действия г^ и из множеств / и 3 доступных действий для Игроков 1 и 2, соответственно После каждого хода пара сообщается обоим игрокам. Игроки помнят историю ходов, сделанных к текущему шагу. Этот случай соответствует играм с полным наблюдением и совершенной памятью.

После последнего шага п Игрок 2 выплачивает Игроку 1 величину

п

Описание игры, в том числе асимметричная информированность игроков, является общим знанием. Это значит, что Игрок 2 знает о том, что Игрок 1 — инсайдер. Также Игрок 1 знает, что Игрок 2 знает о том, что Игрок 1 — инсайдер. И так далее для подобной цепи рассуждений любой конечной длины.

Отметим, что рассматриваемый здесь итоговый выигрыш отличается от усредненного по числу шагов выигрыша, введенного в модели Аумана и Машлера. Введение неусредненного выигрыша обуславливается биржевой интерпретацией рассматриваемых игр. о чем будет подробно сказано в следующем параграфе.

Поскольку Игрок 1 обладает приватной информацией, то Игрок 2 должен, наблюдая за действиями Игрока 2. обновлять свои представления об истинном состоянии природы. Инсайдер в свою очередь должен принимать это во внимание и не раскрывать информацию неосмотрительно, т.е. соблюдать баланс между сокрытием информации и извлечением выгоды из нее.

Естественно, мы допускаем использование игроками также смешанных стратегий. На шаге £ игрокам достаточно учитывать только действия Игрока 1 на предыдущих £ — 1 шагах {г\, ¿2, • • • • 4-х)- Тогда стратегия а Игрока 1 — это последовательность ходов

с = (о"г.....сг*.....сг„).

где ход Игрока 1 на шаге £ сг£ : О х —Д(/) представляет собой вероятностное распределение на множестве его действий, зависящее от истинного состояния природы и предыстории ходов.

Стратегия т Игрока 2 — это последовательность ходов

т = (ть ... .ти . . . ,тп).

где ть : (/ х Д(7).

Пара стратегий (а, т) порождает вероятностное распределение П(ст г) на множестве (I х 3)'г.

Функция выигрышей Игрока 1 в игре С,г(р) определяется согласно формуле

Кп(р, <т, г) = т. г),

б»ее

где функции

^^(h-Jt)

hen(a т) = Е(о-т)

_t=i

представляют собой 0-компоненты ?1-шагового векторного выигрыша инсайдера hn(a т) при использовании игроками пары стратегий (а. т) Математическое ожидание здесь берется по вероятностному распределению П^ г)

Для априорного вероятностного распределения р стратегия а гарантирует инсайдеру выигрыш за п шагов

wn(p, а) = mf Кп(р. а т)

т

Стратегия т гарантирует Игроку 2 проигрыш не больше чем hn(r) с компонентами

h^r) = sup h°n(a. г)

а

Опишем рекурсивную структуру повторяющихся игр(?п+х(р) с п+1 шагами Стратегию инсайдера а можно рассматривать как пару (<ti. (сг(г))?€/) где а\(г\0) — это вероятностная мера на /, зависящая от состояния природы 0, а а(г) — это ?г-шаговая стратегия зависящая от первого хода /\ = г Аналогично стратегию т Игрока 2 представим как пару (ti (т(г))?е/) где т\ — вероятностная мера на J

Пара (p. o"i) порождает вероятность 7г на 0 х I

Пусть q £ Д(-0 является маргинальным распределением тт на I (полные вероятности действий из I)

е

и пусть р{г) £ ~~ это условная вероятность на 51 (апостериорная вероят-

ность), порождаемая первым ходом инсайдера — г:

Аг) = щт.

ф)

В свою очередь, любое множество полных вероятностей действий д £ Д(^) и апостериорных вероятностей (р(г) Е Д(0))ге/. удовлетворяющих соотношению

Р,

>е!

определяют случайный ход Игрока 1 для текущей вероятности р. Апостериорная вероятность содержит в себе всю существенную информацию о предыстории игры. Таким образом, для того чтобы описать стратегию Игрока 1, достаточно определить случайный ход Игрока 1 при произвольной текущей апостериорной вероятности.

Отметим, что последовательность апостериорных вероятностей является мартингалом с дискретным временем, т.е. если рп — апостериорная вероятность на шаге п, рп+\ ~ апостериорная вероятность на шаге п + 1, Нп — история ходов Игрока 1, то

Е(рп+1|Я„) = рп, п= 1,2,....

Рекурсивному представлению стратегий соответствует следующее рекуррентное представление функции выигрыша:

Кп+ х(р, а. т) = Кх(р,а1,Т1) + ^ д(1)Кп(р(г), сг(г), г(г)).

ге/

Стратегия а — (сг(г))ге/) гарантирует Игроку 1 выигрыш

и>п+1

(р. а) — пни >

76/

1_0ее

(1.1)

Стратегия т = (т\. (т(?))г€/) обеспечивает векторный выигрыш кп+1 (т) с компонентами

,0

К+1{т) = тах

г£/

^(зУ^.Л + ^Мг))

(1.2)

Для любого числа шагов п игра Gn(p) имеет значение Vn(p). Функции Vn(p) — непрерывные, выпуклые вверх по р. Оба игрока имеют оптимальные стратегии а* и т* соответственно:

Vn(p) = inf Кп(р, а*, т) = sup Кп(р, сг,т*),

т ст

или, в терминах гарантированного выигрыша,

Vn(p)=wn(p,a*) = 52pehn(T*)-

ве&

1.2 Непрерывная упрощенная модель биржевых торгов на базе повторяющихся игр с неполной информацией.

В статье |19] была введена упрощенная модель биржевых торгов однотипными рисковыми активами на основе повторяющейся игры с асимметричной информацией. Целью авторов являлось исследование влияния приватной информации у одного из участников рынка на эволюцию цен, устанавливающихся на финансовом рынке.

Де Мейер и Салей рассматривают взаимодействие между двумя агентами рынка, обладающими рисковыми активами одного типа (акциями) и безрисковым активом (деньгами, эквивалентными множеству К вещественных чисел). Ликвидная цена акции зависит от состояния природы в £ 0 = {L. Н}. Состояние природы определяется перед началом торгов случайным ходом и остается неизменным на протяжении всего периода торгов: Н выбирается с вероятностью р, L с вероятностью 1 — р. В состоянии Н ликвидная цена акции к фиксированному конечному горизонту времени п (время в модели дискретно; п - момент окончания торгов или. другими словами, число шагов) равна 1, в состоянии L — нулю.

Оба игрока знают вероятность р. Помимо этого, Игрок 1 (инсайдер) сразу получает информацию о выборе случайного хода. т.е. знает ликвидную цену акции. У Игрока 2 этой информации нет. Это описание является общим знанием.

На каждом шаге торгов t = 1,... ,п игроки одновременно и независимо предлагают свою цену за одну акцию. Предложивший больше покупает по этой цене

акцию у оппонента. Если ставки равны, то транзакции не происходит. Допустимы любые вещественные ставки. После каждого хода ставки публично оглашаются. Игроки помнят историю ставок.

После п шагов игроки могут обменять акции на деньги по ликвидной цене и посчитать свой итоговый капитал (естественно, нсайдер может вести этот подсчет после каждой транзакции). Целью игроков является максимизация приращения своего капитала относительно стартового уровня.

Описанный механизм сводится к антагонистической повторяющейся игре С„,(р) с асимметричной информацией в том виде, как она описана в §1.1.

Торговый механизм, введенный авторами в данной работе, обладает рядом естественных характеристик.

|А1 ] Повторяющаяся игра Сп{;р) имеет значение при любом априорном вероятностном распределении р.

|А2 | Значение одношаговой игры (п(р) является непрерывной функцией от распределения р.

[АЗ ] Торговый механизм обладает свойством инвариантности относительно масштаба денег: независимо от того, проводятся ли торги в долларах или центах, это приводит к одним и тем же транзакциям рискового актива на каждом шаге торгов. Более того, числа, назначаемые в центах, будут равняться числам, назначаемым в долларах, умноженным на 100. Это аксиома однородности значения игры.

|А4 ] Значение игры инвариантно относительно сдвига безрисковой составляющей ликвидной цены рискового актива на постоянную фиксированную сумму.

[А5 | Существует ситуация, в которой Игрок 1 может получить строго положительный выигрыш, используя свою приватную информацию. Это означает, что Игроку 1 выгоднее получить сообщение с инсайдерской информацией, чем не получить его. Эта аксиома является естественной при моделировании

финансовых рынков: в самом деле, приватная информация имеет строго положительную цену на рынке.

В общей торговой модели, исследованной Де Мейером в [16|, эти характеристики берутся в качестве аксиом, которым должен удовлетворять механизм торгов.

Из аксиомы 5 непосредственно следует, что антагонистическая игра Сп(р) имеет положительное значение, т.е. Игрок 2, вступая в торги, заведомо проиграет. Поэтому возникает вопрос о целесообразности рассмотрения таких моделей: неинформированным игрокам невыгодно вступать в подобные торги. Однако на финансовых рынках есть фирмы определенного типа (некоторые брокерские конторы, так называемые, маркстмейкеры), имеющие обязательства продать некоторое количество акций своих клиентов. Маркетмейксры действуют на рынке и как продавцы, и как покупатели и пытаются выиграть на разнице между ценами покупки и продажи акций. Избежать участия в торгах маркетмейксры могут только путем установления большого бид-аск спреда, однако величина спреда ограничена условиями договора с биржей. Поэтому имеет место ситуация регулирования финансового рынка со стороны инсайдера, и рассмотрение данного класса моделей правомерно.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Сандомирская, Марина Сергеевна, 2013 год

Список литературы

[1] Доманский В.К., Крепе В.Л. Повторяющиеся игры с асимметричной информацией и случайные блуждания цен на финансовых рынках // Обозрение прикл. и промышл. матем. 2005. Т. 12. Вып.4. С.950-952.

[2] Доманский В.К., Крепе В.Л. Момент обнаружения "инсайдер-ской"информации на торгах с асимметричной информированностью агентов // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2007. Т.14. Вып.З. С.399-416.

[3] Доманский В.К., Крепе В.Л. Многошаговые торги акциями и повторяющиеся игры N лиц с неполной информацией. В сб.: Теория вероятностей, случайные процессы, математическая статистика и приложения. Труды международной научной конференции. Минск, «Издательский центр БГУ». 2008. С.82-88.

[4] Доманский В.К., Крепе В.Л. Теоретико-игровая модель биржевых торгов: стратегические аспекты формирования цен на фондовых рынках // Журнал Новой Экономической Ассоциации. 2011. Вып.11. С.39-62.

[5] Карлин С. Математические методы в теории игр, программировании и экономике. М.: Мир. 1964. 838с.

[6] Крепе В.Л. Повторяющиеся игры, моделирующие биржевые торги, и возвратные последовательности // Известия РАН. Теория и системы управления. 2009. Вып.4. С.109-120.

[7] Крепе В.Л. Модель одношагового биржевого торга // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2009. Т. 16. Вып.6. С. 1086-1087.

[8] Сандомирская АТС. Теоретико-игровая модель биржевых торгов: общий торговый механизм // Сборник тезисов Всероссийской Конференции "Моделирование в задачах городской и региональной экономики". Санкт-Петербург. 2011. С.179-180.

|9| Сандомирская M.C. Теоретико-игровая модель биржевых торгов с фиксированной маржой // Материалы международной конференции «Математика, экономика, менеджмент: 100 лет со дня рождения JI.B. Канторовича» / Под ред. И.В. Романовского. Санкт-Петербург. 2012. С. 169.

|10| Сандомирская М.С. Теоретико-игровая модель одношаговых инсайдерских торгов с ненулевой маржой // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2012. Т.19. Вып.2. С.219-220.

|11| Сандомирская М.С. Оценки значения повторяющейся игры, моделирующей биржевые торги с маржой // Материалы III Всероссийской конференции "Экономический рост, ресурсозависимость и социально-экономическое неравенство". Санкт-Петербург. 2012. С.173-176.

[12| Сандомирская М.С., Доманский В.К. Решение одношаговой игры биржевых торгов с неполной информацией // Математическая теория игр и ее приложения. 2012. Т.4. Вып.1. С.32-54.

|13] Aumann R., Maschler М. Repeated Games with Incomplete Information. The MIT Press: Cambridge, Massachusetts - London, England. 1995. 360p.

|14| Back K. Insider trading in continuous time // The Review of Financial Studies. 1992. Vol. 5(3). P.387-409.

[15| Bachelier L. Theorie de speculation // Ann. Ecole Norm. Sup. 1900. Vol.17. P.21-86.

|16] De Meyer B. Price dynamics on a stock market with asymmetric information // Games and Economic Behavior. 2010. 69. P.42-71.

117] De Meyer В., Marino A. Continuum versus discrete time market game. Preprint 2002/111, MSE, Universite Paris 1.

|18| De Meyer В., Marino A. Continuous versus discrete market game. Cowles Foundation Discussion Paper , No 1535. 2005.

[19] De Meyer B., Saley H. On the Strategic Origin of Brownian Motion in Finance // Int. Journal of Game Theory. 2002. 31. P.285-319.

[20] Domansky V. Repeated games with asymmetric information and random price fluctuations at finance markets // Int. Journal of Game Theory. 2007. 36(2). P.241-257.

|21] Domansky V. Symmetric representations of bivariate distributions // Statistics and Probability Letters. 2013. 83. P.1054-1061.

[22] Domansky V., Kreps V. "Eventually revealing" repeated games with incomplete information // Int. Journal of Game Theory. 1994. 23. P.89-99.

[231 Domansky V., Kreps V. Repeated Games and Multinomial Distributions // ZOR - Math. Methods of Operations Research. 1995. 42. P.275-293.

[24] Domansky V., Kreps V. Repeated Games with Incomplete Information and Transportation Problems // Math. Methods of Operations Research. 1999. 49(3). P.283-298.

[25] Domansky V., Kreps V. Repeated games with asymmetric information and random price fluctuations at finance markets: the case of countable state space. Centre d'Economie de la Sorbonne. Preprint 2009. 40, Univ. Paris 1.

[26] Domansky V., Kreps V. Repeated games with asymmetric information modeling financial markets with two risky assets // RAIRO Operations Research. 2013. Vol.47. P.251-272.

[27] Domansky V., Kreps V., Sandomirskaia M. A survey on discrete bidding games with asymmetric information // Contributions to game theory and management. Vol. VI. Collected papers presented on the Sixth Int. Conf. Game Theory and Management / Eds. by L. Petrosjan and N. Zenkevich. St.Petersburg. 2013. P.89-114.

[28] Domansky V., Sandomirskaya M. Solutions for one-stage bidding game with incomplete information // The Fifth Int. Conference Game Theory and Management GTM2011. Abstracts / Eds. by L. Petrosjan and N. Zenkevich. St.Petersburg. 2011. P.68-71.

[29] Heuer M. Optimal Strategies for the Uninformed Player // Int. Journal of Game Theory. 1991. 20. P.33-51.

[30] Kohlberg E. (1974) Optimal Strategies in Repeated Games with Incomplete Information // Int. Journal of Game Theory. 1974. 4(1). P.7-14.

[31] Kyle A.S. Continuous auctions and insider trading // Econometrica. 1985. V.53. P.1315-1335.

[321 Mertens J.F., Zamir S. The Normal Distribution and Repeated Games // Int. Journal of Game Theory. 1976. Vol.5. P.187-197.

[33] Mertens J.F., Sorin S., Zamir S. Repeated Games. CORE Discussion Paper. 2000. 9420.

[34] Sandomirskaya M., Domansky V. Solutions for one-stage bidding game with incomplete information // Abstracts of The 16th applied probability society conference. Royal institute of technology (KTH). Stockholm. 2011. P.171-172.

[35] Sandomirskaya M., Domansky V. Solutions for one-stage bidding game with incomplete information // Abstracts of The 7th Int. Conference Spain Italy Netherlands Meeting on Game Theory SING7. Telecom Paris Tech. Paris. 2011. P.68.

[36] Sandomirskaia M.. Domansky V. Solution for one-stage bidding game with incomplete information // Contributions to game theory and management. Vol. V. Collected papers presented on the Fifth Int. Conf. Game Theory and Management / Eds. by L. Petrosjan and N. Zenkevich. St.Petersburg. 2012. P.268-285.

stage bidding with non-zero bid-ask spread // The Sixth Int. Conf. Game Theory and Management GTM2012. Abstracts / Eds. by L. Petrosjan and N. Zenkevich. St.Petersburg. 2012. P.232-233.

[38] Sandomirskaia M. On the bidding with asymmetric information and the finite number of repetition // The Seventh Int. Conf. Game Theory and Management GTM2013. Abstracts / Eds. by L. Petrosjan and N. Zenkevich. St.Petersburg. 2013. P.203-206.

[39] Sandomirskaia M. On multistage bidding games with positive bid-ask spread // Extended Abstracts of Int. Workshop Networking Games and Management. Petrozavodsk. 2013. P.84-89.

[40] Subrahmanyam A. Risk aversion, market liquidity, and price efficiency // The Review of Financial Studies. 1991. Vol.4(3). P.417-441.