Информация и равновесие в многошаговых играх тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.09, доктор физико-математических наук Слобожанин, Николай Михайлович

• Слобожанин, Николай Михайлович
• доктор физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Слобожанин, Николай Михайлович

Введение.

Глава 1. Информационная разрешимость.

§ 1.1. Процессы с задержкой информации.

§ 1.2. Процессы с неполной информацией.

§ 1.3. Информационная разрешимость в общем случае.

§ 1.4. Динамика принятия решений.

Глава 2. Развернутая форма игры с разделенными динамиками

§2.1. Определение развернутой формы.—

§2.2. Траектории и чистые стратегии.

§2.3. Равновесие по Нэшу в классе чистых стратегий в играх с полной информацией.

§ 2.4. Алгоритмы решения игр с полной информацией.

Глава 3. Определение многошаговой антагонистической игры с задержкой информации.

§3.1. Развернутая форма игры.—

§3.2. Мера на множестве траекторий, индуцируемая стратегиями поведения.

§3.3. Нормальная форма игры, подыгра, множества Зсг(х,п). с{х,п).

Глава 4. Основное функциональное уравнение.

§4.1. Вывод основного функционального уравнения.

§ 4.2. Функциональное уравнение для игр с конечными альтернативными множествами.

§4.3. Теорема существования ситуации ^-равновесия и оптимальной стратегии у одного из игроков для дискретного случая

Глава 5. Метод решения многошаговых антагонистических

§5.1. Рекурсивная стратегия в общем случае.—

§5.2. Рекурсивная стратегия в играх с монотонной памятью.

§5.3. Функциональные уравнения для игры с монотонной памятью

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Информация и равновесие в многошаговых играх»

Актуальность темы. Теория многошаговых игр занимается изучением управления изменяющихся систем в условиях конфликта или неполноты информации. По этой причине на протяжении последних восьми десятилетий наблюдается большой интерес к созданию математических моделей, теории и методов решения многошаговых игр.

Основой построения математической модели конфликтного процесса является строгое адекватное действительности определение его информационной структуры. Первоначально в работах Джона фон Неймана, Г. Куна и др. для конечных многошаговых игр с зависимой динамикой (позиционных игр) информационная структура процесса моделировалась посредством разбиения пространства игры на информационные множества игроков. Это безусловно строгий подход, но обладает одним существенным недостатком - чрезмерной общностью подхода, что затрудняет построение методов нахождения оптимальных стратегий игроков. Основополагающей работой ио информационному анализу позиционных игр является работа Г. Куна [35], в которой автор для конечных игр доказал теорему о необходимых и достаточных условиях равенства выигрыша игроков в смешанных стратегиях и соответствующих им стратегиях поведения. Это условие было названо Куном полной памятью для игроков. В дальнейшем эта теорема была обобщена Л. А. Петросяном [54] для бесконечношаговых позиционных игр с конечным множеством альтернатив и нобелевским лауреатом Р. Дж. Ауманом [1] для бесконечношаговых позиционных игр с множеством альтернатив произвольной мощности. Однако, отметим, что требование полной памяти довольно сильное требование (игрок в каждый момент времени должен помнить всё. что совершил и знал ранее). При более слабых ограничениях на память игрока в игре теоремы об эквивалентности некоторого подкласса смешанных стратегий всему классу смешанных стратегий были доказаны H.H. Воробьёвым [10, 12].

Настоящая диссертация посвящена многошаговым играм с разделёнными динамиками игроков. Одной из первых задач данного класса игр является интересная проблема о корабле, маневрирующим так, чтобы минимизировать вероятность его поражения бомбардировщиком, летящим над ним, сформулированная Р. Айзексом из РЭНД-Корпорейшн и представлен пая им на конференции Американского общества по исследованию операций 16 мая 1953 г. [120]. Он же предсказал значение этой игры. В 1957 году независимо С. Карлином [20] и Л. Э. Дубинсом [16] эта игра была решена для постоянной задержки информации у корабля равной двум и полной информации у бомбардировщика при конечных альтернативных множествах. Автором настоящей диссертации в 1981 г. в [67] доказана теорема о необходимых и достаточных условиях оптимальности стратегий поведения корабля для случая произвольной конечной задержки информации у корабля. Одной из первых фундаментальных работ в области многошаговых игр с разделёнными динамиками является работа X. Э. Скарфа и Л. С. Шепли [63]. В ней авторы рассмотрели бесконечношаго-вые антагонистические игры с постоянными положительными задержками информации у игроков, с конечными альтернативными множествами. При предположении непрерывности функции выигрыша были получены функциональные уравнения, связывающие значения подыгр соседних уровней. На основании этих уравнений был получен метод решения упомянутого выше класса многошаговых игр.

В 1969 году вышла работа Д. Блэкуэлла [119], в которой автор исследован вопрос существования значения в играх с конечными альтернативными множествами, с нулевыми задержками информации, с функциями выигрыша, имеющим вид характеристических функций. В 1972 году были опубликованы работы М. Оркина [121, 122] об играх, рассмотренных X. Э. Скарфом и Л. С. Шепли, в которых изучен вопрос о приближении значения игры значениями других игр, функциями выигрыша которых сходятся сверху к функции выигрыша первоначальной игры.

Говоря об играх с неполной информацией, необходимо сказать о довольно развитой области теории игр с неполной информацией - дифференциальных играх с неполной информацией, которые могут быть сведены к играм с полной информацией, что в свою очередь позволяет использовать известный аппарат дифференциальных игр. В значительной степени этот класс игр был исследован H.H. Красовским и его учениками [29-34, 50, 51, 111-113]. Этому же вопросу посвящены работы Ф.Л. Черноусько [114] и A.A. Меликяна [115]. Представляют интерес работы М. С. Никольского [47, 48], в которых приводятся достаточные условия для завершения преследования за конечное время при неполном знании преследователем фазового положения или динамики убегающего. Проблема вывода функциональных интегральных уравнений в дифференциальных играх с постоянной задержкой информации у преследователя, несводимых к играм с полной информацией, нашла отражение в работах Л. А. Петросяна [56, 58, 62]. Значение информации о функции цели противника в играх двух лиц. основы информационной теории иерархических систем, исследованы в работах H.H. Моисеева [14, 46], Ю.Б. Гермейера [13], А. Ф. Кононенко и его учеников [7. 23, 24]. Анализ равновесия в различных классах стратегий в дифференциальных играх с полной информацией приведён в работах А.Ф. Кононенко [25], O.A. Малафеева [45], C.B. Чистякова [117]. Прикладные аспекты теории многошаговых игр исследованы в работах A.A. Васина [4, 5], В. В. Мазалова [43, 44] и других зарубежных и отечественных учёных.

В настоящей диссертации впервые информационная структура многошаговых игр с разделёнными динамиками моделируется посредством информационных вектор-функций игроков. Производится анализ таких функций. Последнее позволяет, в частности, для антагонистических игр с переменной задержкой информации произвольной продолжительности (как конечной, так и бесконечной), с динамиками, определяемыми произвольными функциями достижимости, получить функциональные интегральные уравнения, связывающие значения подыгр соседних уровней. На базе этих уравнений в диссертации строится метод решения многошаговых антагонистических игр с неполной информацией [106, 107]. Таким образом, на основании вышеизложенного можно у тверждать, что в диссертации исследуется актуальные проблемы конфликтных процессов.

Цель работы заключается в построении математической модели развёрнутой формы многошаговых игр с разделенными динамиками с множеством игроков произвольной мощности, основой которой является определение информационной структуры игры, а также методов и алгоритмов решения различных подклассов рассматриваемого класса игр.

Методы исследования. Доказательство основных результатов диссертации опираются на классические методы теории игр, функционального анализа и теории вероятностей.

Научная новизна. Впервые для описания информационности игрока в многошаговых играх с разделёнными динамиками вводится информационная вектор-функция. Впервые приведена аксиоматика развёрнутой формы многошаговых игр с разделёнными динамиками, основой которой является, введённое и исследованное в диссертации, условие информационной разрешимости упорядоченного по игрокам набора информационных вектор-функций.

На множествах траектории игры и чистых стратегий игроков вводятся топологии А.Н. Тихонова. Показано, когда данные топологии можно задать метриками, аналогичными метрике Бэра. В многошаговых играх с зависимыми динамиками отображение, сопоставляющее ситуации в чистых стратегиях единственную порождённую ею траекторию, непрерывно. В играх с разделёнными динамиками это не всегда так. Впервые получена и доказана теорема о необходимых и достаточных условиях, когда упомянутое отображение непрерывно для игр с разделёнными динамиками. Это условие связывает геометрические и информационные характеристики многошаговой игры.

На базе упомянутой выше теоремы для многошаговых игр с разделёнными динамиками с не более чем счётным множеством игроков, с полной информацией, произвольной продолжительности, с произвольными непрерывными функциями выигрыша доказана, теорема о необходимых и достаточных условиях существования равновесия по Нэшу в чистых стратегиях, которая развивает и обобщает теоремы Цермело-Неймана и Гсйла-Стюарта. Для того же класса игр для полунепрерывных сверху функций выигрыша доказаны теоремы существования е -равновесия в игре в чистых стратегиях и построены алгоритмы нахождения е -. равновесных чистых стратегий. Доказана также теорема существования седловой точки в играх преследования с нолной информацией в произвольном пространстве, когда выигрыш преследователя определяется поглощением преследуемого множеством достижимости преследователя.

Для многошаговых игр с разделёнными динамиками, с множеством игроков произвольной мощности впервые вводится понятие измеримой стратегии поведения, по ситуации в измеримых стратегиях поведения строится мера на множестве траекторий игры, исследуются свойства этой меры.

Впервые для многошаговых антагонистических игр с переменными задержками информации у игроков, которые могут принимать отрицательные значения, вводится определение подыгры. Впервые для того же класса игр на основании полученных в диссертации свойств меры на множестве траекторий игры вводятся и обосновываются функциональные интегральные уравнения, связывающие значения подыгр соседних уровней. Эти уравнения развивают и обобщают уравнения X. Э. Скарфа, Л. С. Шепли. Л. А. Петросяна.

На базе функциональных интегральных уравнений впервые определяется и обосновывается метод решения многошаговых антагонистических игр с разделёнными динамиками, с переменными задержками информации у игроков.

Практическая ценность. Полученный в диссертации метод решения многошаговых антагонистических игр с переменной задержкой информации может быть положен в основу исследования игровых задач с неполной информацией. которые служат моделями развёртывающихся во времени процессов. В частности, его модно использовать при исследовании задач управления системами при частично известных возмущающих воздействиях, при решении задач планирования с заранее неопределёнными параметрами. Введённые в диссертации информационные вектор-функции и условие информационной разрешимости упорядоченного по игрокам набора информационных вектор-функций могут быть использованы для дальнейшего исследования информационных конфликтных процессов, в частности, для информационной классификации таких процессов, начало которой приведено в диссертации.

Положения, выносимые на защиту.

1. Математический анализ информационной структуры многошаговых игр с разделёнными динамиками и на базе этого аксиоматика развёрнутой формы многошаговых игр с разделёнными динамиками, основой которой является условие информационной разрешимости упорядоченного по игрокам набора информационных вектор-функций.

2. Необходимые и достаточные условия непрерывности отображения, сопоставляющего ситуации в чистых стратегиях единственную порождённую ею стратегию для многошаговых игр с разделёнными динамиками. Получение с помощью этого условия необходимых и достаточных условий существования равновесия но Нэшу, б равновесия в многошаговых играх с полной информацией и Седловой точки в играх преследования с полной информацией.

3. Построение меры на множестве траекторий многошаговой игры с разделёнными динамиками с множеством игроков произвольной мощности по измеримым стратегиям поведения. Исследование свойств этой меры.

4. Построение о обоснование функциональных интегральных уравнений, связывающих значения подыгр соседних уровней для многошаговых антагонистических игр с переменной задержкой информации.

5. На базе функциональных интегральных уравнений построение метода решения многошаговых антагонистических игр с разделёнными динамиками, с переменными задержками информации у игроков.

Апробация работы. Основные положения и результаты работы докладывались и обсуждались на международном конгрессе по компьютерным систсмам и прикладной математике (Санкт-Петербург, 1993 г.); международной конференции по интегральным и алгебраическим вычислительным методам в науке и технике "Интеграл - 94"(Санкт-Петербург, 1994 г.): международных научных конференциях "Многокритериальные и игровые задачи "(Орехово-Зуево, 1994, 1996 гг.); международном симпозиуме но водородной энергетике и технологии HYPOTHESIS-ПІ, секция "Экономикам моделирование высокотехнологичных социально-экономических процессов" (Санкт-Петербург. 1999 г.); международной конференции Control Applications of Optimization (11th IFAC) (Санкт-Петербург, 2000 г.); межвузовской конференции молодых учёных ( Москва, МФТИ, 1989 г.); всероссийской конференции "Понтрягинские чтения - IV"( Воронеж 1993 г. ); III Московской международной конференции по исследованию операций (ORM2001) ( Москва, 2001 г.), а также на городских научных семинарах по теории игр под руководством профессора. H.H. Воробьева (ИСЭП, Ленинград, 1982-1984 гг.), городских научных семинарах по теории вероятности под руководством академика И. А. Ибрагимова ( ЛОМИ, Ленинград, 1984-1985 гг.); городских научных семинарах по теории игр под руководством Л. А. Петросяна ( факультет ПМ-ПУ СПбГУ, Санкт-Петербург, 1990-е-2000-е гг.); научном семинаре по теории игр института математики и механики УрО РАН под руководством чл. корр. РАН А. Г. Ченцова ( Екатеринбург. 2003 г.), на научном семинаре по теории игр ВЦ РАН под руководством профессора А. Ф. Кононенко ( Москва, 2003 г.): на научном семинаре по теории игр МГУ кафедры исследования операций под руководством профессора. А. А. Васина. ( Москва, 2003 г.), а также на научных семинарах кафедры моделирования социально-экономических систем факультета прикладной математики - процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета под руководством профессора O.A. Малафеева ( Санкт-Петербург, 1992-2011 гг. )

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 43 научных работах, в том числе - в одной монографии объёмом 308 страниц.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Общий объём диссертации - 270 страниц. Список литературы включает 124 наименования.

Заключение диссертации по теме «Дискретная математика и математическая кибернетика», Слобожанин, Николай Михайлович

Основные результаты, которые получены в итоге проведенных исследований и выносятся на защиту, следующие:

1. Для описания информированности игрока в многошаговых играх с разделенными динамиками, с множеством игроков произвольной мощности, с различными (в том числе бесконечными) иродолжительностями игры разных игроков введена информационная вектор-функция игрока. Произведен математический анализ упорядоченного по игрокам набора информационных вектор-функций с целью получения условия, когда каждый игрок получает причитающуюся ему информацию вовремя и полностью. Это условие названо информационной разрешимостью упорядоченного по игрокам набора информационных вектор-функций. Первоначально информационная разрешимость определена для игр с конечным множеством игроков.

2. Оказалось, что информационная разрешимость для игр с конечным множеством игроков в общем случае не работает для игр с не менее чем счетным множеством игроков. Для многошаговых игр с множеством игроков произвольной мощности получено другое условие информационной разрешимости. Доказано, что для игр с конечным множеством игроков эти два условия эквивалентны.

3. Дана частичная информационная классификация многошаговых игр с разделенными динамиками. В частности получены и доказаны теоремы о необходимых и достаточных условиях для упорядоченных игрокам наборов информационных вектор-функций, определяющих одновременные игры, поочередные игры, игры с полной информацией. Приведено в отличие от Г. Куна не стратегическое, а информационной определение игр с полной памятью.

4. Приведена аксиоматика развернутой формы многошаговых игр с разделенными динамиками, с множеством игроков произвольной мощности, основой которой является условие информационной разрешимости упорядоченного по игрокам набора информационных вектор-функций.

5. Определены тихоновские топологии на множестве траекторий, чистых стратегий игры. Показано когда эти топологии можно задать метриками, аналогичными метрикам Бэра.

6. Для многошаговых игр с разделенными динамиками, с множеством игроков произвольной мощности доказана теорема о необходимых и достаточных условиях непрерывности отображения, сопоставляющего ситуации в чистых стратегиях единственную, порожденную ею траекторию. Тем самым установлена связь геометрических и информационных параметров игры.

7. Доказана теорема о необходимых и достаточных условиях существования равновесия по Нэшу в чистых стратегиях для многошаговых игр с разделенными динамиками, с полной информацией, с не более чем счетным множеством игроков, для произвольных непрерывных функций выигрыша игроков.

8. Для многошаховых игр с разделенными динамиками, с полной информацией, с не более чем счетным множеством игроков, с полунепрерывными сверху функциями выигрыш доказаны теоремы существования е-равновесия в игре в чистых стратегиях и построены алгоритмы нахождения ^-равновесия в чистых стратегиях.

9. Доказана теорема существования седловой точки в играх преследования с полной информацией в произвольном пространстве, когда выигрыш преследователя определяется поглощением преследуемого множеством достижимости преследователя.

10. Для многошаговых игр с разделенными динамиками, с множеством игроков произвольной мощности введено понятие измеримой стратеги поведения игрока. По ситуации в измеримых стратегиях поведения построена, мера на множестве траекторий игры, исследованы свойства этой меры.

11. Для многошаговых антагонистических игр, произвольной продолжительности, с разделенными динамиками, с переменными задержками информации у игроков получены и обоснованы функциональные интегральные уравнения, связывающие значения подыгр соседних уровней.

12. На базе функциональных интегральных уравнений получен и обоснован метод решения многошаговых антагонистических игр с разделенными динамиками, произвольной продолжительности, с переменными задержками информации у игроков.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Слобожанин, Николай Михайлович, 2012 год

1. Ауман Р. Дж. Смешанные стратегии и стратегии поведения в бесконечных позиционных играх. / пер. И. Н. Врублевской // Позиционные игры / Под ред. Н. Н. Воробьева и И. Н. Врублевской - М.: Наука, 1967. -С.251-277.

2. Беллман Р. Динамическое программирование. М.: Иностранная литература, 1960. - 400 с.

3. Бородин А. Н., Ибрагимов И. А. Предельные теоремы для функционалов от случайных блужданий // Труды МИАН СССР. СПб.: Наука, 1994.

4. Васин А. А., Гурвич В. А. Коалиционные ситуации равновесия в метаиг-рах /7 Вестн. МГУ. Вычислительная математика и кибернетика. 1980. - Вып. 3. - С.38-44.

5. Васин A.A., Гусев А. Г., Шарикова A.A. Теоретико-игровой анализ од-ноэтапных и двухэтапных аукционов однородного товара // Математическая теория игр и се приложения. 2009. - Т. 1, вып. 4.

6. Ватель И. А., Ерешко Ф. И. Математика конфликта и сотрудничества. -М.: Знание, 1973.

7. Ведерников Р. А., Кононенко А. Ф. О принятии решений в двухуровневой иерархической системе управления при неполной информации о нижнем уровне // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1976. - Вып. 2. - С. 13-22.

8. Вентцель А. Д. Курс теории случайных процессов. М.: Наука, 1975. -320 с.

9. Воробьев Н. Н. Редуцированные стратегии для игр в обобщенной форме //Докл. АН СССР. 1957. - Т. 115, №5. - С.855-857.

10. Воробьев Н. Н. Редуцированные стратегии в позиционных играх // Позиционные игры / Под ред. H.H. Воробьева и И.Н. Врублевской М.: Наука, 1967. - С.94-113.

11. Воробьев H.H. Современное состояние теории игр // Успехи мат. наук. 1970. - Т. 25, т. - С.81-140.

12. Воробьев H.H. Теория игр. М.: Наука, 1984. - 496 с.

13. Гермейер Ю. Б. Введение в теорию исследования операций. М.: Наука, 1971.

14. Гермейер Ю.Б., Моисеев H.H. О некоторых задачах теории иерархических систем управления // Проблемы прикладной математики и механики. М.: Наука, 1971. - С. 30-43.

15. Гликсберг И. Л. Дальнейшее обобщение теоремы Какутани о неподвижной точке с приближением к ситуациям равновесия в смысле Нэша // Бесконечные антагонистические игры / Под ред. H.H. Воробьева М.: Физматгиз, 1963. - С.297 303.

16. Дубине Л. Э. Дискретная игра на уклонение от преследования / / Применение теории игр в военном деле. М.: Советское радио, 1961. С. 275 302.

17. Захаров В. В., Петросян Л. А. Теоретико игровой подход к проблеме охраны окружающей среды // Вестн. ЛГУ. Серия мат., мех., астрон. -Л., 1981. Вып. 1.

18. Захаров В. В. О регуляризации и динамической устойчивости решений иерархических дифференциальных игр // Вестн. ЛГУ. Серия 1. Л., 1988. Вып. 1.

19. Иванов М.А., Луценко М. М. Минимаксные доверительные интервалы для параметра гипергеометрического распределения // Автомат, и теле-мех. 2000. - Вып. 7. - С.68-76.

20. Карлин С. Бесконечная игра с запаздыванием // Применение теории игр в военном деле. М.: Советское радио, 1961. - С. 303-321.

21. Колмогоров А. H. Основные понятия теории вероятностей. М.: Наука, 1974. - 120 с.

22. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976. - 544 с.

23. Кононенко А. Ф. Роль информации о функции цели противника в играх двух лиц с фиксированной последовательностью ходов /./ ЖВМ и МФ.- 1973. Т. 13, вып. 2. - С.311-317.

24. Кононенко А.Ф. Теоретико-игровой анализ двухуровневой иерархической системы управления //' ЖВМ и МФ. 1974. Т. 14, вып. 5. -С.1161-1170.

25. Кононенко А. Ф. О равновесных позиционных стратегиях в неантагонистических дифференциальных играх // Докл. АН СССР. 1976. - Т. 231, вып. 2. - С.285-288.

26. Кононенко А. Ф., Халезов А. Д., Чумаков В. В. Принятие решений в условиях неопределенности. М.: ВЦ АН СССР, 1991.

27. Красовский А. А. Статистическая теория переходных процессов в системах управления. М.: Наука, 1968. 240 с.

28. Красовский А. А. Игровые задачи о встрече движений. М.: Наука, 1970.- 420 с.

29. Красовский H. Н. Об управлении при неполной информации // Прикладная математика и механика 1976. - Т. 40, вып. 2. - С.197-205.

30. Красовский H. Н. Дифференциальные игры. Аппроксимационные и формальные модели // Мат. сб. 1978. - Т. 107, вып. 4. С.541-571.

31. Красовский H.H., Осипов Ю. С. К теории дифференциальных игр с неполной информацией // Докл. АН СССР. 1974. - Т. 215, вып. 4.- С.780-783.

32. Красовский H.H., Субботин А. И. Позиционные дифференциальные иг ры. М.: Наука, 1974. - 456 с.

33. Кряжимский А. Б. Альтернатива в линейной игре сближения-уклонения с неполной информацией // Докл. АН СССР. 1976. - Т. 230, вып. 4. -С. 773-776.

34. Кряжимский А. Б., Филиппов С. Д. Об одной игровой задаче сближения двух точек на плоскости в условиях неполной информации // Задачи управления с неполной информацией. Свердловск, 1976. - С.62-77.

35. Кун Г. У. Позиционные игры и проблема информации / Пер. О. Н. Бондаревой // Позиционные игры / Под ред. H.H. Воробьева и И. Н. Вруб-левской. М.: Наука, 1967. - С.13-40.

36. Кукушкин Н.С., Морозов В. В. Теория неантагонистических игр. М.: МГУ, 1984. - 104 с.

37. Куржанекий А. Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977. - 392 с.

38. Куржанекий А. Б. Об информационных множествах управляемой системы // Докл. АН СССР. 1978. - Т. 240, вып. 1. - С.14-17.

39. Лагунов В. Н.Оценка платы в одной дифференциальной игре при наличии эффекта запаздывания // Управляемые системы. Новосибирск, 1970. Вып. 6. - С.23-25.

40. Лоэв М. Теория вероятностей. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1962. - 720 с.

41. Луценко М.М. Теоретико-игровой метод оценки параметра биномиального закона // Теория вероятностей и ее применения. 1990. - Т. 35, вып.3. С.471-481.

42. Луценко М. М. Теоретико-игровой подход к оценке точности тестирования // Математическая теория игр и ее приложения. 2009. - Т. 1, вып.4. С.63-77.

43. Мазалов В. В. Математическая теория игр и приложения. Санкт-Петербург, Москва, Краснодар: Лань, 2010. - 446 с.

44. Мазалов В. В., Сакагучи М. Равновесие в бескоалиционной игре п лиц с выбором момента времени // Математическая теория игр и ее приложения. 2009. - Т. 1, вып. 1.

45. Малафеев О. А. О существовании равновесия в дифференциальных бескоалиционных играх двух лиц с независимыми движениями // Вестн. ЛГУ, серия математика, 1980. - Вып. 4. - С. 12-16.

46. Моисеев Н. Н. Элементы теории оптимальных систем. М.: Наука, 1975.

47. Никольский М.С. Преследование не полностью известного объекта /7 Вестн. Моск. ун-та, серия 1. 1971. - Вып. 1. - С. 3-8.

48. Никольский М. С. Об одной задаче преследования с неполной информацией // Изв. АН СССР. Техн. кибери. 1971. - Вып. 5, 6. - С. 10-13.

49. Никольский М.С. Линейные дифференциальные игры преследования при наличии запаздываний ,// Диф. кравнеиия. 1972. - Т. 8, вып. 2.- С. 260-267.

50. Осипов Ю.С. К теории дифференциальных систем с последействием // Прикладная математика и механика 1971. - Т. 35, вып. 2. - С. 300-311.

51. Осипов Ю. С., Пименов В.Г. К теории дифференциальных игр в системах с последействием // Прикладная математика и механика 1978. - Т. 42, вып. 6. - С. 969-977.

52. Пацюков В. П. Дифференциальные игры при различной информированности игроков. М.: Советское радио, 1976. - 200 с.

53. Петросян Л. А. Некоторые теоремы из теории бесконечных позиционных игр // Программа четвертого Всесоюзного математического съезда. 1961.- 60 с.

54. Петросян Л. А. Еще одно обобщение теоремы Куна // Позиционные игры / Под ред. Н. Н. Воробьева и И. Н. Врублевской. М.: Наука, 1967. -С. 230-245.

55. Петросян Л. А. Сигнальные стратегии и стратегии поведения в одном классе бесконечных позиционных игр // Позиционные игры / Под ред. Н. Н. Воробьева и И. Н. Врублевской. М.: Наука, 1967. - С. 221-229.

56. Петросян Л. А. Дифференциальные игры с неполной информацией // Докл. АН СССР. 1970. - Т. 195, вып. 3. - С. 558-561.

57. Петросян Л. А. Игры преследования с неполной информацией // Успехи теории игр. Труды II Всесоюзной конференции по теории игр. Вильнюс, 1971. - С. 227-233.

58. Петросян Л. А. Игры преследования с задержкой информации у игрока // Изв. АН Арм. ССР Мат. 1973. - Т. 8. - С. 93-101.

59. Петросян Л. А. Дифференциальные игры преследования. Л.: ЛГУ, 1977.- 224 с.

60. Петросян Л. А., Захаров В. В. Введение в математическую экологию. -Л., 1986.

61. Петросян Л. А., Томский Г. В. Динамические игры с полной информацией и их приложения к играм с неполной информацией // Диф. уравнения.- 1982. Т. 18, вып. 4. - С.593-595.

62. Петросян Л. А., Томский Г. В. Дифференциальные игры с неполной информацией. Иркутск: ИГУ, 1984. - 187 с.

63. Скарф X. Э., Шеили Л. С. Игры с неполной информацией /./ Применение теории игр в военном деле. М.: Советское радио, 1961. - С. 256-274.

64. Слободинская Т. В., Петросян Л. А. Функциональное уравнение для дифференциальной игры с неполной информацией // Вопросы механики и процессов управления. Л.: ЛГУ, 1981. - Вып. 4. - С. 183-197.

65. Слобожанин Н. М. Теоремы существования для бесконечных позиционных игр // Некот. вопросы вычисл. и прикл. мат. Якутск, 1977. - С. 3742.

66. Слобожанин Н. М. О существовании ситуации равновесия в бесконечных позиционных играх п лиц // Вопросы механики и процессов управления.- Л.: ЛГУ, 1978. Вып. 2. - С. 213-219.

67. Слобожанин Н.М. Обоснование одной гипотезы Л. А. Петроеяна // Вестн. Ленингр. ун-та. 1981. - Вып. 13. - С. 120-123.

68. Слобожанин Н. М. О функциональных уравнениях одного класса многошаговых игр // Вестн. ЛГУ. Серия мат., мех., астрой. Л., 1981. -Вып. 19. - 14 с. - Деп. в ВИНИТИ 15.09.1981, №4455-81 Деп.

69. Слобожанин Н. М. О существовании ситуации равновесия в бесконечных позиционных играх с неполной информацией // Многошаговые дифференциальные бескоалиционные и кооперативные игры и их приложения.- Калинин: КГУ, 1982. С. 89-195.

70. Слобожанин Н. М. Измеримые стратегии поведения в многошаговых играх / /' Вестн. ЛГУ. Серия мат., мех., астрон. Л., 1982. - Вып. 13. - 19 с.- Ден. в ВИНИТИ 24.03.1982, №1298-82 Деп.

71. Слобожанин Н. М. О мере на множестве партий в многошаговых играх / / Вопросы механики и процессов управления. Л.: ЛГУ, 1984. - Вып. 7. -С. 87-93.

72. Слобожанин Н. М. Многошаговые игры с неполной информацией // Мат. методы оптимизации и управления в сложных системах. Калинин, 1984.- С. 90-103.

73. Слобожанин Н.М. Существование ситуации равновесия при конечном времени игры // Дифференциальные игры с неполной информацией/ Л.А. Петросян, Г.В. Томский. Иркутск: ИГУ, 1984. - Глава 3, параграф 3 - С. 142-150.

74. Слобожанин Н.М. Одно необходимое и достаточное условие оптимальности стратегии убегающего // Дифференциальные игры с неполной информацией/ Л.А. Петросян, Г.В. Томский. Иркутск: ИГУ, 1984. - Глава 3, параграф 4 - С. 150-162.

75. Слобожанин Н. М. О мере на множестве траекторий в динамических играх // Межвузовская конференция молодых ученых "Развитие фундаментальных и прикладных исследований"(II), 23.04.84-27.04.84. Л.: ЛГУ, 1984. - С.101-104.

76. Слобожанин Н. М. Многошаговые игры с задержкой информации // Записки науч. семинаров ЛОМИ. Сер. Проблемы теории вероятностных распределений. 1985. Т. 142, вып. 9. - С. 86-93.

77. Слобожанин Н.М. Об одной задаче геометрической вероятности // Межвузовская конференция молодых ученых "Развитие фундаментальных и прикладных исследований"(III), 2.04.85-5.04.85. Л.: ЛГУ, 1985. - С.80-84.

78. Слобожанин Н. М. Один метод решения игр с задержкой информации // Многошаговые дифференциальные бескоалиционные и кооперативные игры и их приложения. Калинин, 1985. - С. 87-105.

79. Слобожанин Н. М. Заметка к играм поиска !/ Дифференциальные, многошаговые, бескоалиционные и иерархические игры. Калинин: КГУ, 1986. - С. 160-168.

80. Слобожанин Н. М. Об одном свойстве многошаговых игр поиска // Межвузовская конференция молодых ученых "Развитие фундаментальных и прикладных исследований"(IV), 12.05.86-16.05.86. Л.: ЛГУ, 1986. -С.71-75.

81. Слобожанин Н. М. Решение одного класса многошаговых игр с полной информацией // Вести. ЛГУ. Серия мат., мех., астрон. Л., 1987. -Вып. 15. - 10 с. - Деп. в ВИНИТИ 27.10.1986, №7205-87 Деп.

82. Слобожанин Н. М. О рекурсивных стратегиях в играх с монотонной памятью // Межвузовская конференция молодых ученых "Развитие фундаментальных и приклад- ных исследований"(У), 20.04.87-24.04.87. Л.: ЛГУ, 1987. - С.90-94.

83. Слобожанин Н. М. О рекурсивных стратегиях в многошаговых играх с полной памятью // Дифференциальные, многошаговые, бескоалиционные и иерархические игры. Калинин: КГУ, 1987. - С. 128-140.

84. Слобожанин Н. М. Формализация принципа оптимальности Беллмана // Межвузовская конференция молодых ученых МФТИ. Москва, 1989. -С.100-104.

85. Слобожанин Н. М. Теоретико-игровая модель диагностики экологических систем // Всесибирская конференция по математическим проблемам экологии, 23.06.92-25.06.92. Новосибирск, Институт математики СО РАН, Тез. докладов, 1992. - С.70-71.

86. Слобожанин Н. М. О математической модели прогноза и управления экологическим процессом // Конференция "Теоретические и прикладные проблемы экологии 23.10.92-27.10.92. Бухарский ГУ, 1992. - С.50-51.

87. Слобожанин Н. М. Об оптимальном управлении в динамических антагонистических процессах с переменной задержкой информации // Всероссийская конференция "Понтрягинские чтения-IV 3.05.93-8.05.93. Воронеж, Тез. докладов, 1993. - С.80.

88. Слобожанин Н. М. О топологии на множестве траекторий в дискретных динамических управляемых процессах // Международный конгресс по компьютерным системам и прикладной математике, 19.07.93-23.07.93. -Санкт-Петербург, Тез. докладов. С. 100.

89. Слобожанин Н. М. Динамические игры с дискретным временем с неполной информацией // Сб. научных трудов "Модели, алгоритмы, программы". Тверь: ТГУ, 1993. - С. 80-87.

90. Слобожанин Н.М. Дискретные динамические управляемые процессы п лиц // Международная конференция по интервальным и алгебраическим вычислительным методам в науке и технике "Интервал 94 7.03.9410.03.94. - Санкт-Петербург, Тез. докладов. - С. 100-102.

91. Слобожанин Н.М. О свойствах меры на множестве траекторий в динамических процессах с запаздыванием информации // III Международная конференция "Многокритериальные задачи при неопределенности 5.09.949.09.94. Орехово-Зуево, Тез. докладов. - С.70.

92. Слобожанин Н. М. The properties of control in pursuit games // Сб. научных трудов "Game Theory and Applications-/ edited by L.A. Petrosjan and V.V. Mazalov. New York, USA, Nova Science Publishers, 1996. - C. 187-192.

93. Слобожанин Н.М. Управление в конфликтных дискретных процессах с запаздыванием информации // Вопросы механики и процессов управления. СПб: СПБГУ, 1996. - Вып. 17. - С.189-195.

94. Слобожанин Н. М. The control in pursuit games // Международная научная конференция "Много-критериальные и игровые задачи", 8.09.9614.09.96. Орехово-Зуево, Тез. докладов. - С. 110.

95. Слобожанин Н.М. Управление в многошаговых играх. СПб.: СПбГУ, 1996. - 96 с.

96. Слобожанин Н. М. Управление в динамических играх с зависимыми движениями // Процессы управления и устойчивость. Труды XXX науч. конф. СПб., 1999. - С. 591-604.

97. Слобожанин Н. М. Управление в играх в развернутой форме // Труды XXXI научной конференции "Процессы управления и устойчивость", ф-т ПМ-ПУ СПбГУ. СПб: СПбГУ, НИИ Химии, 2000. - С.472-481.

98. Слобожанин Н. М. On two definitions of informational consistency in games with separated dynamics ,// Abstracts of llt/l I FA С International workshop Control Applications of Optimization. 2000. - C.238-239.

99. Слобожанин H. M. On information consistency in games with separated dynamics // A proceeding volume from the ll"' IFAC Workshop/ edited by V. Zakharov. Volume 2. СПб: PERGAMON, 2000. C.647-653.

100. Слобожанин H. M. On information structure in games with separated dynamics // Тезисы докладов III Московской международной конференции по исследованию операций (ORM2001). Москва: ВЦ РАН, 2001. -С. 108-109.

101. Слобожанин Н.М. О непрерывности отображения, связывающего стратегии и траектории в играх // Труды XXXIII научной конференции «Процессы управления и устойчивость», ф-т ПМ-ПУ СПбГУ. Санкт-Петербург: СПбГУ, НИИ Химии, 2002. - С.530-534.

102. Слобожанин Н. М. Информация и управление в динамических играх. -СПб.: СПбГУ, 2002. 308 с.

103. Слобожанин Н. М. О функциональных уравнениях одной игры с неременной задержкой информации // Вестник С.-Петербургского университета.

104. Серия 10, Прикладная математика, информатика, процессы управления.- СПб: СПбГУ, 2006. Вып. 2. - С.75-90.

105. Слобожанин Н. М. Информационная разрешимость в многошаговых играх с конечным множеством игроков // Математическая теория игр и ее приложения. Петрозаводск: редакционно-издательский отдел КарНЦ РАН, 2011. - Т. 3, вып. 2. - С. 81-101.

106. Слобожанин Н. М. Информационная разрешимость в многошаговых играх с множеством игроков произвольной мощности // Математическая теория игр и ее приложения. Петрозаводск: редакционно-издательский отдел КарНЦ РАН, 2011. - Т. 3, вып. 4. - С.81 109.

107. Субботин А. И., Чснцов А. Г. Оптимизация гарантии в задачах управления. М.: Наука, 1991. - 342 с.

108. Филиппов С.Д.Игровая задача наведения при запаздывании информации // Оптимальное управление системами с неопределенной информацией. Свердловск, 1980. - С. 113-119.

109. Халмош П. Теория меры. М.: Иностранная литература, 1953. 291 с.

110. Чснцов А. Г. О структуре одной игровой задачи сближения // Докл. АН СССР. 1975. - Т. 224, вып. 6. - С. 1272-1275.

111. Ченцов А. Г. Об игровой задаче сближения в заданный момент времени // Матем. сб. 1976. - Т. 40, вып. 6. - С. 1113-1116.

112. Ченцов А. Г. Об одном примере нерегулярной дифференциальной игры // Прикладная математика и механика. 1976. Т. 99, вып. 3. - С. 394-420.

113. Черноусько Ф. JI. Управляемый поиск подвижного объекта // Прикладная математика и механика. 1980. - Т. 44, вып. 1. - С.3-12.

114. Черноусько Ф. Л., Меликян A.A. Игровые задачи управления и поиска.- М.: Наука, 1978. 268 с.

115. Чикрий A.A., Чикрий Г. Ц. Об информированности в дискретных игровых задачах // Кибернетика. 1979. - Вып. 5. - С.126-128.

116. Чистяков С. В. Об одном подходе к решению игр преследования /в соавт. с Л. А. Петросяном // Вестн. ЛГУ. Серия мат., мех., астрой. Л., 1977.- Вып. 1.

117. Яновская Е. Б. О существовании значения антагонистических игр с полунепрерывными функциями выигрыша /7 Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1973. - Вып. 6. - С. 56-60.

118. Blackwell D. Infinite Г,$-games with imperfect information // Zastosow. mat.- 1969. №10 - P.99-101.

119. Isaaks R. The problem of aiming and evasion // Naval Research Logistics Quarterly. 1955. - Vol. 2 - P.47-67.

120. Orkin M. Infinite games with imperfect information // Trans. Amcr. Math. Soc, 171, Sept. 1972. - P.501-507.

121. Orkin M. An approximation theorem for infinite games // Proc. Amer. Math. Soc, 36. 1972. - №1 - P.212-216.

122. Stewart F. M. and Gale D. Infinite games with perfect information /7 An. of Mat. Studies 28. Princeton, 1953. - P. 245-266.

123. Tulcea I. Mesures dans les espases produits /7 Atti Accad. Naz. Lincei Rend, 7 1949, 1950.