Стохастические модели теории запасов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.05, доктор физико-математических наук Булинская, Екатерина Вадимовна

• Булинская, Екатерина Вадимовна
• доктор физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Булинская, Екатерина Вадимовна

Оглавление

введение

1 СЛУЧАЙНО ВОЗМУЩЕННЫЕ СИСТЕМЫ С СИНХРОНИЗАЦИЕЙ ПОСТАВОК И ПОТРЕБЛЕНИЯ

1.1 Описание основной модели и некоторые вспомогательные результаты

1.2 Асимптотическое поведение момента остановки процесса, описывающего возмущенную систему

1.3 Модель с дефицитом

1.4 Модель с экстренными поставками

1.5 Проблема неустойчивости исходной модели

1.6 Дважды стохастические системы

1.7 Надежность системы и выбор оптимальных параметров

1.8 Оптимизация системы в стационарном режиме

2 УПРАВЛЯЕМЫЕ СИСТЕМЫ И ОПТИМИЗАЦИЯ

2.1 Определение управляемой системы

2.2 Двухуровневое управление в модели с экстренными поставками

2.3 Двухуровневое управление в модели с остановкой

2.4 Многоуровневые управления и устойчивость системы

2.5 Оптимальное управление

3 МОДЕЛИ СО СЛУЧАЙНЫМ СПРОСОМ (ДИСКРЕТ-

НОЕ ВРЕМЯ)

3.1 Постановка задачи

3.2 Оптимальное управление при известном распределении спроса170

3.3 Устойчивость стационарной (й, ¿^-политики

3.4 Асимптотически оптимальные политики при неизвестном распределении спроса

3.5 Анализ устойчивости оптимального управления

3.6 Модели с взаимозаменяемыми продуктами

4 МОДЕЛИ С НЕПРЕРЫВНЫМ ВРЕМЕНЕМ

4.1 Управляемая модель с одним переключением

4.2 Управляемая модель с двумя переключениями

4.3 Приближение процессов с дискретным временем процессами с непрерывным

4.4 Системы производства-хранения в условиях большой нагрузки

4.5 Анализ динамики развития системы производства-хранения

ЛИТЕРАТУРА

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Стохастические модели теории запасов»

ВВЕДЕНИЕ

Математическая теория запасов - это относительно молодая интенсивно развивающаяся наука. Международное общество по исследованию запасов (ISIR) планирует отметить ее полувековой юбилей в начале следующего тысячелетия.

Возникновение современной теории запасов обычно связывается с появлением в 1951г. работы Arrow, Harris, Marschak [68], а затем в 195253гг. трех работ Dvoretzky, Kiefer, Wolfowitz [102, 103]. В них были четко сформулированы основные математические проблемы, описаны важные модели, указаны факторы, влияющие на принятие решений, и предложены подходы к учету неопределенности спроса. Точнее говоря, в них были заложены основы стоимостного подхода в теории запасов.

Прежде всего обратимся к предмету излагаемой теории и обсудим основные этапы ее развития. Человечество так или иначе практически решает задачи управления запасами на протяжении всей истории своего существования. И каждому понятна естественность стоимостного подхода: слишком большие запасы приводят к омертвлению капитала, вложенного в запасы, они могут устаревать и портиться, в то время как отсутствие запасов или их слишком низкий уровень также приводит к издержкам. А это значит, что вопросами выбора рационального уровня запасов интересовались еще и до 50-х годов. Но это были отдельные работы, причем практически все изучавшиеся модели были детерминированными.

Интересно отметить, что впервые задача управления запасами (применительно к определению резервных денежных фондов) была математически сформулирована в 1888г. в работе Edgeworth [106].

Первым обзором по теории запасов была книга Raymond [180], вышедшая в 1931г. Однако она не содержала никаких теоретических разработок, касавшихся характера оптимальных политик управления запасами, а давала некоторые практические указания по поводу применения EOQ-

формулы (наиболее экономичного размера заказа). В англоязычной литературе соответствующая модель носит название формулы Wilson'a, который ввел ее в 1934г. [212], независимо от своих предшественников. Аналогичный результат получил в 1915г. Harris [118]. А в немецкой литературе первенство в ее открытии приписывается работам Andler [67] 1929г., Marganinsky [154] 1933г. или Steffanic-Allmayer [202] 1927г.

Формула Wilson'a для своего вывода требует элементарных знаний из области математического анализа, однако содержит результат, который часто далеко не очевиден практикам. Пусть известен размер спроса в единицу времени, равный S. Дефицит не допускается, доставка пополнения немедленная, стоимость доставки заказанной партии равна К. Расходование запасов идет с постоянной скоростью, а плата за хранение единицы продукта единицу времени равна h. Необходимо выбрать размер доставляемой партии Q (или, что то же самое, частоту поставок), чтобы минимизировать суммарные издержки в предположении, что стоимость заказываемого продукта с течением времени не меняется. Оптимальным оказывается значение

Q* = V2KShrl. (0.1)

Эта простая широко известная модель послужила основой для многих исследований и, что самое интересное, продолжает изучаться и обобщаться и до сих пор (см., напр., [169, 182, 94, 207]).

Другая простая модель, уже стохастическая, появилась в годы второй мировой войны в работах Morse и Kimbel по исследованию операций и стала доступна широкой научной общественности лишь в 1951г. [162]. Она носит название модели продавца газет, или продавца рождественских елок, и интерес к ней также не пропал до сих пор [170]. И хотя она всегда традиционно приводится как пример принятия решения в условиях неопределенности и относится к исследованию операций, но по своей природе это типичная статическая модель теории запасов.

Здесь предполагается, что спрос на запасаемый продукт - это случайная величина £ с известным распределением. Известна также цена покупки В и продажи V, неиспользованный продукт пропадает. В качестве функционала, который надо максимизировать, рассматривается полученный средний доход УЕ min((2, £) — BQ, если приобретена заранее партия размера Q. Эта модель является первым шагом при рассмотрении динамических моделей, которые стали интенсивно развиваться

после выхода в 1955г. работы Bellman, Glicksberg, Gross [75], а также последующих работ Беллмана и особенно благодаря созданному им динамическому программированию [9]. Особое внимание в этот период уделяется поиску условий, при которых оптимальна политика, зависящая лишь от одного критического параметра х (если уровень запасов становится ниже ж, то происходит пополнение до этого уровня, превышение х влечет отсутствие заказов).

Работы по теории запасов (inventory theory) регулярно печатаются в таких журналах, как Management Science, Journal of Applied Probability, Opérations Research, Journal of Industrial Engineering, SIAM Journal, Unternehmensforschung, Revue Française de la Recherche Opérationnelle, Spectrum, Econometrica, Harvard Business Review, International Journal of Production Economies и многих других.

Глубокий математический анализ задач управления запасами был проведен в сборниках статей, изданных Стэнфордским университетом в 1958 и 1962 гг. под редакцией Arrow, Karlin, Scarf [69, 70]. Здесь содержались также и работы, касающиеся регулирования запасов воды в гидроэнергетике. Это направление, получившее в англоязычной литературе название storage theory или dam theory (которое на русский язык переводится как теория хранения или теория водохранилищ), также интенсивно развивается в 50-е годы в работах Могап [161], Gani [109], Prabhu [46, 45] и др. (см., напр. [132]). Для исследований этого направления характерно изучение переходного и установившегося режима в системах, где приток воды случаен, а выпуск производится по некоторому заданному правилу. Этим они отличаются от работ первого направления, связанного с производством, где случаен спрос, а поставки надо производить так, чтобы минимизировать возникающие средние издержки. Первые оптимизационные работы в теории водохранилищ появились в 70-е годы и принадлежат Faddy, Zuckerman, Attia, Brockwell, и другим (см., напр., [107, 219, 72, 214, 218]).

В нашей стране первыми математическими работами по теории запасов были статьи автора диссертации, опубликованные в журнале "Теория вероятностей и ее применения" в 1964г., и кандидатская диссертация "Некоторые задачи оптимального управления запасами" (МГУ, 1965г.), развивавшие далее стоимостной подход. В 1969г. появилась книга Ры-жикова [52], далее книги Рубальского [51], Первозванского [40], Петра-

кова, Ротаря [41] и др., многие статьи отечественных авторов, а также переводы на русский язык монографий Buchan, Koenigsberg [15], Hanss-man [62], Wight [57] и ряда других. В 1970 и 1972гг. ЦЭМИ АН СССР проводит Всесоюзные конференции по теории запасов. В Германии в конце 60-х годов появляются книги Klemm, Mikut [145], Girlich [112], Hochstädter [120] и Popp [174], с тех пор в этой области активно работают исследователи школы Girlich'a.

С появлением в 1964г. работы Ргёкора [178], а затем Zirmann, Horvath [121] связано возникновение и развитие надежностного подхода в теории запасов. В то время как стоимостной подход стремится свести к минимуму издержки, существуют ситуации, когда такой подход неприменим. Например, недостаток топлива у самолета или крови для переливания больному может привести к гибели людей, а это не следует оценивать лишь с помощью возникающих издержек. Здесь необходим другой критерий качества функционирования системы - ее надежность. Этот подход оказался очень плодотворным в связи с фундаментальными результатами, полученными в работах Гнеденко, Соловьева, Коваленко, Каштанова, Беляева, их коллег и учеников (см., напр., [20]).

В 70-е годы снова усиливается интерес к детерминированным моделям теории запасов, при этом центр тяжести перемещается в область централизованного планирования производственных процессов и запасов сырья или полуфабрикатов. Если раньше речь шла о наиболее рациональном выборе уровня запасов, то теперь доминирует желание иметь их как можно меньше, а лучше всего не иметь вообще. В 1975г. выходит книга Orlicky "Material Requirement Planning" [167], посвященная этим проблемам. Еще раньше, в 50-е годы, вопросами организации производства стали заниматься в Японии. Сначала соответствующий подход был разработан компанией Toyota, а затем он широко распространился и на другие компании, в особенности после нефтяного кризиса 1973г. В этой связи можно отметить работы Ohno [165] , 1982г., Suzaki [204], 1985г., а также Shingo [195], 1989г.

Их исследования заложили основу нового подхода - синхронизации процессов поставки и потребления, который по-английски называется just-in-time ( или сокращенно JIT). Как уже было сказано, цель этого подхода - сократить уровень запасов (или в идеале вообще избежать хранения), тем самым значительно уменьшив издержки.

Разработанная в Японии система получила название Kanban. Это также планирование производства, но менее централизованное. С конца 70-х годов идеи уменьшения запасов начинают распространяться на США и Западную Европу. Среди таких компаний, которые начали использовать подход JIT, можно указать General Electric, Hewlett Packard, IBM, Xerox и др., о чем написано, например, в статьях Schönberger, Ansari [188], Schönberger, Schniederjans [190], Sepehri, Walleigh [193].

К 80-м годам относится появление более 1000 работ в журналах, а также первых книг и обзоров по системам JIT, среди них Hall [117], Monden [160], Jordan [134], Deming [97], Ryan [179], Schönberger [187], Groen-velt, Karmarkar [115]. Происходит изучение различных аспектов систем JIT (к которым относятся MRP и Kanban [76, 84, 213, 155]), начиная с отчетов об успешной организации работы на отдельных предприятиях или в цехах и моделирования с помощью компьютеров [105, 110, 122, 191], кончая статьями об оптимизации параметров рассматриваемых производственных систем [108, 131, 168, 150, 216]. В 1989г. Buzacott сравнивает между собой системы Kanban и MRP, моделируя их как сети массового обслуживания [86]. Однако в подавляющем большинстве этих работ все процессы считаются детерминированными и внимание сосредоточено на улучшении организации труда и создании заинтересованности персонала в конечном результате [95, 136, 137, 203, 211], контроле качества [205, 206, 179, 193] и многих других интересных и важных сторонах рассматриваемого подхода (см. [82, 83, 77, 71, 79, 80, 81, 85, 90, 91, 92, 98, 129, 155, 156, 189, 198]).

В частности, снова проводится исследование модели EOQ. Традиционно в учебниках по теории запасов (см., напр., Нах, Candea [119]) указывалось, что как оптимальный размер заказа Q*, задаваемый формулой (0.1), так и минимальные издержки С* = л/2KhS, нечувствительны к малым изменениям параметров К и h. Поэтому в применениях величина К постоянных издержек на организацию производства партии размера Q (или ее доставку) считалась фиксированной. Однако Porteus в [175] рассматривает возможность инвестиций в сокращение издержек К и производит одновременную оптимизацию К и Q. Zangwill [215] рассмотрел инвестиции в сокращение фиксированных издержек в динамической модели EOQ, предложенной в 1958г. Wagner, Whitin [209]. В работе Schönberger, Schniederjans [190] доказано, что при "правиль-

ной организации" доставки и хранения оптимальное Q* равно единице. Имеется лишь небольшое количество работ, где содержится критика систем JIT или делаются попытки учесть случайные возмущения. К ним относятся, например, работы Mitra, Mitrani [157, 158], Buzacott [86] и др. [110, 111]. В статье 1991г. Zipkin [217] пишет, что не следует идеализировать системы JIT, поскольку для реального сокращения запасов потребуются огромные капиталовложения на реорганизацию производства, а без этого сокращение запасов нанесет лишь вред. Об опасности слепого копирования японских систем JIT говорит и Moyes [163], который считает, что отсутствие буферов в виде запасов способствует дестабилизации экономики. Эти опасения частично подтвердились во время землетрясения 1995г. в Кобе, когда, вследствие разрушения коммуникаций и невозможности поставок, производство остановилось из-за отсутствия запасов.

Подводя итоги краткого исторического обзора, можно отметить, что до середины 60-х годов основную роль при выборе политики регулирования запасов играл стоимостной подход. Он означает, что при фиксированном горизонте планирования Т для оценки качества функционирования системы рассматриваются средние суммарные издержки Ст-Если горизонт планирования неограничен, то в качестве целевой функции рассматриваются дисконтированные ожидаемые издержки или же средние издержки в единицу времени при длительном функционировании системы (более точно, рассматривается lim (1 /Т)£у, подробнее см.,

Т-> оо

например, [44]).

При надежностном подходе в качестве целевой функции выступают вероятности опустошения и/или переполнения, средний размер дефицита и другие характеристики системы. В то время как при стоимостном подходе часто оказывалось возможным находить оптимальную политику, обеспечивающую достижение экстремума целевой функции, добиться "полной надежности", скажем, бездефицитной работы, практически никогда не удается. В результате возникает понятие е-оптимальной политики, которая обеспечивает отклонение целевой функции от ее экстремума не более чем на е. Это направление в теории запасов было инициировано работами автора диссертации, выполненными в 1976г.

Широкое распространение в 80-е годы систем JIT означало новый взгляд на роль запасов в производстве, при этом упор делался на плани-

рование и организацию производства и снабжения, а "целью" становилась ликвидация запасов.

В диссертации получили дальнейшее развитие все три вышеуказанных подхода. Представленное автором в пленарном докладе на 1 Международном симпозиуме по запасам (1980г.) общее описание моделей теории запасов легло в основу их классификации и позволило четко осознать тесную связь между теорией запасов и теорией массового обслуживания, теорией надежности, теорией водохранилищ, теорией страхования, моделями развития биологических популяций, последовательным анализом и др.

Стохастические процессы с дискретным временем, предложенные автором в работах 1990-98гг. для описания случайно возмущенных систем с синхронизацией поставок и потребления, позволили глубоко проникнуть в природу таких систем. В современной теории вероятностей большой интерес представляют проблемы, связанные с устойчивостью тех или иных моделей. Даже классическая теорема Пуассона излагается в книге Ширяева [64] с оценкой по вариации отклонения распределения сумм независимых слагаемых (со значениями 0 и 1) от соответствующего пуассоновского закона.

Автору диссертации удалось установить, что исходная детерминированная модель синхронизации поставок и потребления неустойчива по отношению к малым случайным возмущениям. В этой связи было доказано, что использование многоуровневых управлений способствует стабилизации системы.

Разработан новый для теории запасов подход к выбору оптимального управления. Здесь в качестве функционала, характеризующего систему, выбирается средняя длительность ее бесперебойной работы. Рассмотрены также проблемы условной оптимизации, когда в качестве ограничения выступают издержки, связанные с осуществлением управления.

Исследование введенных автором диссертации дважды стохастических систем приводит к необходимости изучения свойств случайных блужданий в случайной среде. Процессы такого типа начали интенсивно изучаться более 20 лет назад в связи с потребностями физики. Упомянем одну из первых работ в этой области Solomon [199], работы Kesten, Kozlov, Spitzer [139], Key [140], фундаментальные исследования Синая и его школы [53, 33, 34]. Основное внимание уделялось исследованию воз-

вратности и предельному поведению этих случайных блужданий.

С точки зрения теории запасов особый интерес представляет асимптотическое поведение моментов достижения высокого уровня для процессов с задерживающим или отражающим экраном в нуле. Исследования такого типа, выполненные автором, позволили не только уточнить характер предельного поведения неуправляемых систем, но и произвести оценку их надежности. Это дало также возможность выбора параметров, обеспечивающих оптимизацию функционирования систем в стационарном режиме.

В рамках классического стоимостного подхода был найден явный вид оптимального управления для целого ряда моделей, важных для приложений и не рассматривавшихся ранее в литературе.

Основным достижением в этом направлении является предложенный автором в 1984г. и развитый в дальнейших работах метод построения асимптотически оптимальных политик на базе эмпирических распределений.

Как известно, основная трудность для применения теоретически найденных оптимальных политик управления запасами состоит в том, что практически все они устанавливаются в предположении, что распределение спроса известно. Однако на практике в большинстве случаев это не так. Отдельные попытки преодоления этой трудности предпринимались уже давно. Следует отметить работу Scarf [185] 1959 года, где предполагалось, что размер спроса в отдельные периоды имеет гамма-распределение, но его параметры неизвестны. Поскольку предложенное решение существенно опиралось на вид достаточной статистики, распространить его на случай других распределений оказалось невозможным.

Другой подход - минимаксный - изучался в работах Girlich [112], Тран Зоан Фу [56], Димитрова [99] и ряда других авторов. Он относится к тому случаю, когда заданы несколько первых моментов распределения спроса. Ищется наиболее неблагоприятное распределение с данными моментами, а затем для него производится минимизация издержек.

Однако наиболее распространенная ситуация, когда о распределении спроса неизвестно ничего. В этом случае, как впрочем и в двух предыдущих, плодотворным оказался статистический подход, предложенный автором.

Еще одно важное направление исследований - это управляемые модели

с непрерывным временем, являющиеся обобщением упоминавшихся ранее моделей Faddy и др. Характерной особенностью этих моделей является то, что рассматриваемые случайные процессы не являются марковскими. Решающую роль в их исследовании играет тот факт, что введение управлений и наличие двух отражающих экранов делает эти процессы регенерирующими.

Доказанные функциональные предельные теоремы позволяют переходить от систем с дискретным временем к их аналогам с непрерывным временем, что часто облегчает изучение их характеристик. При доказательстве этих результатов используется классическая теорема Прохорова [47], дающая необходимые и достаточные условия слабой сходимости мер в полном сепарабельном метрическом пространстве.

Основной используемый математический аппарат - это сочетание разнообразных методов теории цепей Маркова, марковских процессов диффузионного типа, регенерирующих процессов, процессов восстановления, случайных блужданий, в том числе в случайной среде. Применяются производяшие функции, преобразования Лапласа и другие методы изучения асимптотического поведения распределений. Использовано линейное и динамическое программирование, а также нелинейная оптимизация в стохастических задачах теории запасов.

Все результаты являются новыми. По теме диссертации имеется 64 публикации автора. Результаты неоднократно докладывались на международных конферениях в нашей стране и за рубежом. В том числе в 1966г. на Международном конгрессе математиков в Москве, на Международных Вильнюсских конференциях в 1973, 1981, 1985, 1989, 1993гг., на 1 Всемирном конгрессе общества Бернулли (Ташкент, 1986), на 12 международных семинарах по проблемам устойчивости стохастических моделей в период 1979-1998гг., на всех 10 Международных симпозиумах по теории запасов с 1980г. по 1998г. в Будапеште, на симпозиуме по исследованию операций в Пассау в 1995г., на 21-27 Всепольских конференциях по приложениям математики в 1992-1998гг., на II и IV Международных конференциях женщин-математиков в Пущино (1994г.) и в Волгограде (1996г.) и др. Доклады неоднократно делались также на Ломоносовских чтениях в МГУ, научно-исследовательских семинарах механико-математического факультета и факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ, ЦЭМИ РАН.

По теме диссертации были прочитаны лекции и сделаны доклады в университетах Бухареста (1973г.), Берлина (1974,1990гг.), Будапешта (1985г.), Софии (1986г.), Дрездена (1974г.), Лейпцига (1974,1989гг.), Ульма (1990г.), Магдебурга (1995г.) и Лондона (1998г.).

По решению Исполкома Международного Общества по Исследованию Запасов (ГБШ) Е.В.Булинской в 1998г. была присуждена медаль "За выдающийся вклад в развитие математической теории запасов".

Диссертация состоит из 4 глав. Глава 1 "Случайно возмущенные системы с синхронизацией поставок и потребления" разделена на 8 параграфов, в первом из которых дается описание исходной модели и устанавливаются некоторые вспомогательные результаты.

Основные цели данной главы - изучение влияния случайных возмущений на качество функционирования системы, ее устойчивость и надежность, а также выбор оптимальных параметров в стационарном режиме.

Главным объектом исследования являются случайные блуждания в полосе. Изучены все возможные комбинации граничных условий. Так, модели с остановкой соответствуют два поглощающих экрана, для модели с дефицитом нижняя граница задерживающая, а верхняя поглощающая. Модель с экстренными поставками имеет нижнюю отражающую границу, в то время как верхняя остается поглощающей. Переход к обратным случайным блужданиям позволяет рассмотреть системы, у которых, наоборот, нижняя граница поглощающая, а верхняя задерживающая или отражающая. Наконец, процесс с двумя задерживающими границами описывает систему, работа которой возобновляется как после опустошения, так и после переполнения.

Важным показателем качества функционирования системы, предложенным автором, являются времена поглощения поэтому много внимания уделяется их изучению.

Для систем производства-хранения характерны потребление и поставки партиями фиксированного размера. Без ограничения общности размер партии может быть принят за единицу, тем более, что согласно [190] при достаточно широких предположениях единичный размер партии является оптимальным. При этом естественно полагать, что ширина полосы, соответствующая объему хранилища, равна целому числу п. Начальный уровень запасов х также считается целым, а размер экстренной поставки равен 1. Сделанные предположения приводят к тому,

что чистое пополнение Х{ за i-й период принимает три значения -1, О и 1. В разделах 1.2-1.5 проводится исчерпывающее исследование неуправляемых систем, в которых случайные величины Х{ предполагаются независимыми и одинаково распределенными. Обозначим

р(х,- = 1)=р, p(xf = -l) = g, p(x¿ = 0) = г, (0.2)

р> 0, q> 0, г > 0, p + q + r = 1.

В разделах 1.2-1.4 исследуется асимптотическое поведение времен достижения 77i = 0,1,2, при п —> оо. Величина 77^ определяется соотношением

77^ = min{к > 0 : 40) = п или 40) = 0}, (0.3)

где Sq^ = ж, а = Е X¡. Для определения i = 1,2, используется

г'= 1 '

соотношение, аналогичное (0.3), где сохраняется лишь требование = п, а определены должным образом в рамках г-н модели (см. раздел 1-1)- ^ „

Найден явный вид предельного распределения случайных величин нормированных своим средним, что позволяет сделать вывод об устойчивости модели по отношению к флуктуациям параметра г. Природа этого явления допускает объяснение с помощью широко известных результатов Гнеденко, Круглова, Королева (см., напр., [114, 32]), так как г = 0,1, могут быть представлены в виде сумм случайного числа случайных слагаемых. Однако методы упомянутых авторов не позволяют установить характер предельных законов. Подчеркнем, что выбор Eíy!^ в качестве нормировки позволил не только обобщить результаты Stadje, Khan, Хаджара [201, 60, 141], относившиеся к частному случаю (г = 0, задерживающий экран в нуле, другая нормировка), но и глубже понять природу изучаемых систем. Отметим также, что процесс с г = 0 не подходит для описания случайно возмущенных систем just-in-time даже в простейшем предположении, что поставки и потребление представляют собой две независимые последовательности бернуллиевских случайных величин. Поэтому нами проведен детальный анализ случаев, когда г > 0.

Область возможных изменений начальных состояний (0,п) разбивается на две части, которые можно назвать областью устойчивости и областью неустойчивости по отношению к начальному состоянию х. При р ф q предельное распределение не зависит от начального состояния х

в довольно широкой области его изменения, а именно, когда х —> оо и п — х —у оо при п —> оо (иначе говоря, когда начальное состояние достаточно удалено от поглощающих границ). Напротив, при фиксированном ких — к, х — п — кв модели (0), а также при х = п — к в моделях (1) и (2) с верхней поглощающей границей, предельное распределение зависит от к. При нулевом сносе (а — 1) даже в центральной части полосы (0, п) наблюдается сильная зависимость предельного распределения от начального состояния, что доказывает

Теорема 1.4. Пусть а = 1 и при п оо начальное состояние меняется таким образом, что хп~1 —>• с, с Е (0,1), тогда -4 тс, где неотрицательная случайная величина тс обладает плотностью

оо

fc{y) = (2тгс(1 - с)у3)-1/2 £ (-l)k(c + k)exp{-(c+k)2/2c(l-c)y}

k=—oо

при у > 0.

Здесь и далее обозначается т^ = т/^/Е?^, а шапочка над символом г напоминает о том, что речь идет о случае а = 1.

Заметим, что похожее распределение возникает при изучении "падения" броуновского движения D\ = Ва — inf Bt у случайной величины

C<t<l

где - это стандартное броуновское движение, а Ва = sup Bt.

0<t<l

Исследование некоторых функционалов от броуновского движения было проведено Ширяевым и эти результаты приведены в его докладе на Большом семинаре кафедры теории вероятностей в октябре 1998г.

Асимптотическое поведение разительно отличается от предельного поведения тх(°) при а ф 1. В самом деле, согласно теореме 1.3, при аф \ предельное распределение вырождено, точнее, А 1 при п —> оо, если также х —» оо, п — х —оо.

Наличие в нуле задерживающего (модель (1)) или отражающего (модель (2)) экрана меняет характер предельного поведения rj^, г = 1,2 в центральной полосе по сравнению с т^, что демонстрируют теоремы 1.5 и 1.7. Приведем формулировку первой из них.

Теорема 1.5. При р > q, если х фиксировано или растет с ростом п так, что п — х —> оо, когда п —>■ оо, то А 1.

При р < q, в тех же предположениях относительно начального со-

стояния х, имеем -4 т, где т распределена показательно с параметром 1.

При р = д, если хп~~1 —>• с, 0 < с < 1, когда п —>■ оо; то т^ -4 тс; где неотрицательная случайная величина тс обладает плотностью

оо

9с{у) = (2тг(1-с2)у3)-1/2 £ (—1)т+1(2гп+с—1) ехр{ —(2т+с—1)2/2?/(1—с2)}.

т=—оо

Таким образом, наличие задерживающего (или отражающего) барьера в нуле не только меняет вид плотности при а = 1, но и способствует появлению невырожденного (показательного) распределения в том случае, когда снос направлен от поглощающей границы.

Эти результаты были получены с помощью техники преобразований Лапласа, что позволило также исследовать характер поведения т[г\ для х, лежащих в приграничной полосе. Как установлено в теоремах 1.6 и

(г)

1.8, при р < д существует предельное распределение являюще-

еся смесью вырожденного, сосредоточенного в нуле, и показательного, параметр которого, как и веса, зависящие от к, явно указаны.

В разделе 1.4 демонстрируется, что при р ф <1 результаты, касающиеся области устойчивости по отношению к начальному состоянию, могут быть получены с помощью метода моментов. Прир < д асимптотическая показательность г — 1,2, является следствием того, что рассматриваемые процессы являются регенерирующими, а пересечение высокого уровня на периоде регенерации представляет собой "редкое" событие. Следовательно, соответствующая часть теоремы 1.8 может быть получена и с использованием известной теоремы Соловьева [54].

В разделе 1.5, в отличие от предыдущих, изучается асимптотическое поведение всех трех ранее рассмотренных систем в предположении, что случайное возмущение убывает. Это означает, что г —> 1 (или, что то же самое, р —> 0, д —» 0), в то время как ширина полосы п и начальное состояние х остаются фиксированными.

Для вероятностей выйти на поглощающую границу прежде, чем произойдет возвращение в начальное состояние, справедливы следующие явные выражения, как показывает

Следствие 1.9. Для любого п > 1 и х Е (0, п

+

а ах —

1 — 1 — а1

лл 1 — а

qy —р--— для г = 1,2.

Очевидно, если р —У 0, q 0 так, что се = qp~x остается фиксированным, то —>■ 0, i = 0,1,2. Однако из следствий 1.10 и 1.11 (из раздела 1.5) вытекает, что условия теоремы Соловьева не выполняются. И хотя эти условия не являются необходимыми для показательности предельного распределения, удается доказать, что и в самом деле характер предельного поведения существенным образом зависит не только от ж и п, но и от конкретного значения а. Справедлива, например, следующая теорема.

Теорема 1.9. Пусть р —>■ 0 таким образом, что а = qpостается фиксированным, тогда ■

1) при произвольном а имеем t¡°2 -4 т, где т распределена показательно с параметром 1,

2) при п — 3, х = 1,2 аналогичное утвержедние справедливо лишь

для а = 1, т.е. -4 г,

3) при п = 3 и а ф 1 предельное распределение имеет плотность

= 0 при t < 0, а для t > 0 она зависит от а:

f[°¡(t) = {cosh[ív^(2 + a)/(l+a+a2)] + a3/2smh[¿v/a(2+a)/(l + a+a2)]}x

х[(2 + а)/(1+ас + a2)] exp{-¿(2 + За + а2)/(1 + а + а2)}, ff¡(t) = {acosh[íA/a(l+2a)/(l+a+a2)]+a~1/2sinh[¿v/«(l+2a')/(l+a+a2)]}x х[(1 +2а)/(1 + а + а2)} exp{-í(l + За + 2а2)/(1 + а + а2)}.

Существование плотности у предельного распределения т^ при любых ж, п и а устанавливает

Теорема 1.10. Для любых п > 4, х = 1, п — 1, предельное распределение г]0^ (при р —>0 и фиксированном а) обладает плотностью зависящей от а). В частности, при т > 1, t > О

Л^« = К1 + «2га)/^(0)(2т, 2т+1)] Е - ^а»)-1 X

о1 а'фа

х ехр{—¿(1 + а + 2т, 2т+1)}, (0.4)

где с (°)(2т,2т+1) задаете я следствием 1.12. В (0.4) мы суммируем по всевозможным наборам а — (<71,..., <7т) длины т с <Т1 = 0,1, % — 1, т, и

89 = (-1)^^(2 + НГЧ2 + ( —1)1Тз(2 + ...

+ (-1)<г-1(2 + (-1)^л/2)1/2 • • .)1/2)1/2)1/2< (0.5)

Далее,

= (0.6)

(индекс ~ означает, что поменяли местами р и д, иными словами, подставили аГ1 вместо а).

Отметим, что для явного описания плотностей полезно замечание 1.7, согласно которому предельные распределения и т„_:х п совпадают.

При а ф 1 совпадают предельные распределения тД и значок "-"

показывает, что речь идет об обратном случайном блуждании.

Аналогичные результаты получены и для моделей с дефицитом и с экстренными поставками. При этом особенно интересными представляются просто формулируемые теоремы 1.12 и 1.13, устанавливающие связь между поведением систем с различными граничными условиями.

Теорема 1.12. Для п > 2, ж = 1,п — 1

Л2!(0 = /п—ж,2п—1 • Теорема 1.13. Для п > 1, х < п

— /1+1,«+1

Таким образом, в результате проведенных исследований становится ясным, что системы с синхронизацией поставок и потребления неустойчивы по отношению к малым случайным возмущениям. А сравнение поведения систем с различными граничными условиями убеждает в необходимости введения управлений, что и делается в главе 2.

Однако до этого в разделе 1.6 рассматриваются дважды стохастические системы, которые описываются случайными блужданиями в случайной среде. Наглядно это означает, что вероятности (р, q) в (0.2) заменяются на независимые одинаково распределенные случайные векторы

Следующий результат не только представляет самостоятельный интерес, но и позволяет уточнить теоремы 1.5, 1.7, как показывает приведенное ниже следствие.

Теорема 1.16. Если а\ < 1, Ь\ < оо, а х таково, что п — х —> оо при п —> оо, то при ¿ = 1,2

T^n(ET^n)_1 1 почти наверное.

Здесь обозначено: а\ — М<5, Ь\ — М/?, случайные величины а и (3 определяются аналогично неслучайным а и ¡3 с помощью равенств а = qp-1, ¡3 = р-1, а М означает их математическое ожидание (в отличие от Е, которое предполагает двойное усреднение). Через обозначено время до выхода на уровень п процессом, начинающимся в точке х.

Следствие 1.19 При а < 1 имеет место сходимость г = 1,2, к 1 не только по вероятности, но и с вероятностью 1.

Дальнейшее уточнение теоремы 1.16, проведенное в разделе 1.7, позволяет получить экспоненциальное убывание хвостов распределения максимального размера дефицита (теорема 1.19). А это в свою очередь полезно для расмотренного в данном разделе надежностного подхода к системам JIT.

Нахождение явного вида стационарного распределения для процесса с двумя задерживающими экранами, а также размера страхового запаса и резервной емкости, позволяет решить задачу минимизации средних издержек в единицу времени при заданной надежности системьг

Последний раздел 1.8 главы 1, посвященный оптимизации системы в стационарном режиме, отличается от предыдущих тем, что распределение случайных величин Х{ предполагается нерешетчатым, а объем хранилища R произвольным неотрицательным числом. Как и в разделе 1.7, изучается процесс с двумя задерживающими границами и сначала исследуется асимптотическое поведение его стационарного распределения при R —> оо. Многие прикладные задачи теории массового обслуживания, математической статистики, теории надежности, теории страхования, математической биологии и др. формулируются в виде граничных задач для случайных блужданий, задаваемых суммами независимых случайных величин или однородными процессами с независимыми приращениями (см., например, широко известные книги Боровкова [12, 11],

Королюка и Боровских [28], Прабху [46, 45], Такача [55], Феллера [59], а также работы Айвазяна [1], Афанасьевой [5], Золотарева [24], Молчанова [39], Лотова [35, 36], Могульского [38], Печинкина [42, 43] и многие другие).

Подчеркнем, что в диссертационной работе изучаются те аспекты случайных блужданий, которые представляют интерес для теории запасов и которые ранее не применялись. Рассмотренная в теореме 1.27 (т.е. при нулевом сносе) задача об асимптотике стационарного распределения Фе(х) для случая, когда одновременно с Я —У оо также х —>• ос и Я — х —> ос следует логике предыдущих разделов и отличается, например, от постановок задач [36, 38] о случайном блуждании в полосе с расширяющимися границами, где границы полосы менялись со временем а = а(п), Ь = Ъ(п). Интересно также отметить, что пункт 2 упомянутой теоремы 1.27 с точностью до обозначений совпадает с результатом, справедливым для дискретного распределения скачков, как показывает замечание 1.11.

Найденный вид стационарного распределения позволяет решить задачи о выборе оптимального объема хранилища и исследовать его асимптотическое поведение, когда штраф за дефицит или за переполнение неограниченно возрастает, т.е. по сути дела рассматривается переход от стоимостного критерия к надежностному (теоремы 1.22, 1.23, 1.28 и следствие 1.23).

Глава 2 "Управляемые системы и оптимизация" состоит из 5 параграфов. В данной главе продолжается исследование случайных блужданий в полосе, но без предположений о независимости и одинаковой распределенности скачков Х{.

Раздел 2.1 дает определение управляемой системы и описывает класс допустимых управлений. Как указано в предыдущей главе, неуправляемые процессы с вероятностью 1 достигают одной из границ. Поскольку в приложениях желательно как можно дольше отсрочить остановку процесса, связанную с выходом на поглощающую границу, естественно вводить управления, создающие защитные зоны вблизи таких границ.

Вместо (0.2) теперь предполагается,что для любого у £ (0,п)

Р(Х1+1 = 1/5, = у)= р(у), Р(Х{+1 = -1/5,- = у) = д(у), ( , Р(ХШ = 0/5,- = з/) = г (у), р{у) + д(у) + г {у) = 1 1 ' ;

независимо от того, как процесс представляющий собой уровень за-

пасов в момент г, попал в состояние у.

Применение многоуровневого управления с I переключающими уровнями щ, 0 = По < щ < ... < щ < П1+1 = п, означает, что в (0.7)

Р{у) =Ри ч{у) = Чи г{у) = П (0.8)

для у Е [щ,щ+х), t = 0,1. При Ь — 0 значение у = 0 в соответствующую полосу не включается. Для модели (0) с двумя поглощающими экранами р(^) = д(т/) = 0, г (у) = 1 при у = 0, п. В модели (1) с задерживающим экраном в нулер(О) = ро, д(0) = 0, г(0) = 1 —ро- Модель (2) с отражением в нуле отличается от предыдущей тем, что р(0) = 1, д(0) = г(0) = 0.

Сначала в разделе 2.2 рассматривается модель с экстренными поставками при наличии одно- или двухуровеневого управления. Это значит, что имеются два уровня щ и п^ [п\ < щ) такие, что

п~1П1 —> Ь{, г = 1,2, при п —> оо (0.9)

и выполняются соотношения

р{х)=ро, д(ж) = г(ж) = 0 и ро > д0 при х р{х)=р2, = д2, г(ж) = 0 и р2 < д2 при хе[п2,гг).

(0.10)

Что касается средней полосы [гг.х,П2), то здесь р(.х) = ^ъ д(ж) = дх, г (ж) = гх. Оказывается, что не только величина гх, но и направление сноса в этой области не влияет на характер асимптотического поведения. А именно, во всех трех случаях (р\ > дх? — 41-, VI < величины асимптотически показательны в достаточно широком диапазоне значений х (теорема 2.2).

Доказательство этого утверждения, разбитого на ряд теорем и лемм, требует рассмотрения вспомогательных случайных блужданий и занимает 16 стр. Исследование проводится с использованием свойств регенерирующих процессов. Условия (0.10) означают, что при пересечении уровней щ и П2 происходит "переключение", т.е. меняется размер сноса, а возможно, и его направление. Иначе говоря, двухуровневая политика может пониматься следующим образом: когда уровень запасов ¿¿^ попадает в область [0,пх), частота поставок увеличивается, а в области [щ,п) она уменьшается. Другая возможность - соответственно увеличивать или уменьшать частоту отказов потребителям.

В следующих двух разделах изучается управляемая модель с остановкой. В разделе 2.3, где речь идет о двухуровневом управлении, условия

(0.10) ослаблены следующим образом: вместо г(х) — 0 при х Е [1,тн) и х Е [п2,п) предполагается, что г(х) > 0 при всех х Е (0, п).

Наличие управления существенным образом меняет характер асимптотического поведения В то время как для неуправляемой системы при]? ф д предельное распределение было сосредоточено в одной или в двух точках, нормированное время до поглощения в управляемой системе является асимптотически показательным не только для состояний ж, лежащих в центральной полосе [п1,п2), но и в тех частях подполос [1,774) и [п2>п)у которые достаточно удалены от поглощающих границ (теорема 2.7). В этой области устойчивости относительно начального состояния управляемая модель устойчива и по отношению к параметрам гг-, г = 0,1,2. Доказательство данного результата потребовало детального анализа определенных рекуррентных уравнений. Использование преобразований Лапласа позволяет также изучить и область неустойчивости по отношению к начальному состоянию х, где предельное распределение зависит от ж, хотя и не меняется с изменением р1, д! и Г1, как утверждает

Теорема 2.8. Для любого ос\ при фиксированном к и п —> оо имеет, место соотношение -4 тк, где распределение Тк - это смесь (с весами 1 -сгд и о?о) показательного распределения с параметром 1 — и вырожденного, сосредоточенного в нуле. При тех же предположениях Тп-кп ^к, где распределение Тк ~ это смесь (с весами 1 — и а^) показательного распределения с параметром 1 — и вырожденного, сосредоточенного в нуле.

При рассмотрении в разделе 2.4 более широкого класса допустимых управлений ситуация оказывается еще более сложной, поэтому и там отдается предпочтение исследованию производящих функций и преобразований Лапласа.

В дополнение к (0.7) и (0.8) предполагается, что для некоторых к и 7в, 1 < к < т < /,

pt > qt, г = 0}к - р1 = £ — к,т - 1, рг < г — га,/,

т.е. требование о наличии "защитных зон" у поглощающих границ сохраняется. Исследование асимптотического поведения управляемой системы проводится при дополнительном условии о зависимости переключа-

ющих уровней пг-, г = 1от ширины полосы (объема хранилища) п при п —У со. А именно, пусть существуют а^ > 0, г — 0, гг, такие, что

I

а1 = 1 И (пг'+1 — щ)п~1 —> аг- при П —» ОО. (0-11)

г=0

Требование (0.11) гарантирует, что переключение не происходит слишком часто. Для решения оптимизационных задач в следующем разделе это условие удобнее, чем использовавшееся ранее (0.9).

Доказательство основного результата данного раздела (теорема 2.9) разбито на 6 лемм. При этом за счет введения должных вспомогательных функций удается провести анализ очень громоздких выражений. Так, согласно лемме 2.24, если х Е 1), то при I — к производящая

функция Я{х) — Е^'" записывается в виде Я{х) = Д^Д-1, где

Дж = Ьк1<рк+1(х) + 6*2^-1 (ж),

0 О , -г_•_■

Л= Е £ (-1) г 3тк(пк+1 +],пк + г)4_ц_1-еА+111_1?-,

И

Щх) = [Я(щ+\)щ-1(х) + Ьпт^щ+г.х^р^щ^), для £ = ОД - 1,

Я(х) = [Я(гн - 1)<рг+1{х) + Ъпгщ(х,щ - ~ !)• Для^ = к + 1,1.

Однако при этом функции I = — 1, Л: — 1, и ^г(ж), Ь = к + 1,/ + 1,

а также £ = —1, г = —1,0 и I = & + М, = —1,0

определяются для целых &,0<&</,иж,0<ж<п,с помощью следующих рекуррентных соотношений

^(я) = Е (-1

г=—1

с?—1,1-* = -(1 + «)> = ^-1(^+1 — 1 — «),

з=-1

е/+1Д-; = 1 + .?, = -!-;)•

Кроме того,

г-1 _

601 = 1, Ьц = П шг-(пг-+ьпг-+1 - 1), £ = 1,

г'=0

г _

6/2 = 1, Ьг2= П т{(щ,щ - 1), ¿ = А:,/-1. г=г+1

и для Ь = О, I и неотрицательных целых чисел /1 и /2 обозначено т* /2) = ~ А^Л^, где А^- = ^ = 1,2 имеют вид

Ау = (2Ргг)~1 {1 - + (-1)^1[(1 - т)2 ~ 4М^]1/2} .

Теорема 2.9 устанавливает, что при любом числе переключающих уровней I предельное распределение оказывается показательным с параметром 1, если х —> оо при п оо так, что п — х —> оо. Таким образом, введение указанных управлений стабилизирует систему.

Управление вводится для того, чтобы как можно дольше не произошел выход на границу. Поскольку предельное распределение т]^ при любом многоуровневом управлении одно и то же, представляется естественным найти среди них оптимальное. Ключевую роль в задачах оптимизации играет выбор целевой функции (см., напр., [2, 44]). В разделе 2.5 автором предложена в качестве целевой функции скорость роста среднего времени до поглощения. Ранее такая целевая функция в теории запасов не использовалась, впервые она появилась в работах автора 1996-98гг. Так как осуществление управления влечет за собой издержки, рассматривается также оптимизация при дополнительных ограничениях. В результате приходится решать задачи линейного программирования и нелинейной оптимизации.

В случае, когда возникающие издержки не учитываются, оптимально использовать управление с одним переключающим уровнем, как показывает

Теорема 2.12. Пусть управление осуществляется бесплатно ( или сумма, выделенная на его осуществление, неограничена). Если величины 011 = ЧФТ1, г — 0,1, фиксированы и 0 < «о < ос\ < ■ ■ ■ < 1 < 1 < о^. < ... < щ < оо; то оптимально иметь лишь один переключающий уровень щ = [п(1п а/)/(1п 070^ 1)], при этом а (у) = ад при у < щ, в то время как а{у) = оц при у > щ; здесь квадратные скобки означают взятие целой части.

При ограничениях на издержки (согласно теореме 2.13) оптимальное управление должно иметь не более трех переключающих уровней. Найдены также достаточные условия, при которых оптимальное управление имеет лишь один переключающий уровень и при наличии ограничений (теорема 2.14).

Таким образом, предложенные в главе 2 методы управления позволяют стабилизировать поведение неустойчивой системы с синхронизацией. Принципиальную роль здесь играет введенная автором целевая функция, естественным образом связанная с асимптотическим поведением нормированного момента выхода изучаемого процесса на границу области.

Глава 3 "Модели со случайным спросом (дискретное время)" состоит из 6 параграфов. Основная цель этой главы - преодоление трудностей, препятствующих практическому применению теоретически установленных оптимальных политик. В рамках классического стоимостного подхода разрабатывается метод, позволяющий находить асимптотически оптимальные политики в условиях неизвестного спроса.

В первом разделе 3.1 дается постановка задачи и вводятся понятия асимптотически оптимальной и стационарной политик. В разделах 3.2, 3.5 и 3.6 рассматриваются новые модели управления запасами с периодической проверкой уровня запасов, обобщающие предложенные автором в работах 1967г. и 1981г., а также работы [138,149, 127,128], и проводится анализ устойчивости оптимального поведения. А именно, исследуется оптимальное поведение в моделях с несколькими поставщиками, со случайной доставкой заказов, модели со скоропортящимися продуктами и с взаимозаменяемыми продуктами. Неудовлетворенные требования ожидают пополнения запасов. Распределение спроса сначала предполагается известным. В качестве целевой функции выбираются средние суммарные издержки за п периодов либо дисконтированные средние издержки. Основные виды учитываемых издержек - плата за пополнение запасов, штраф за дефицит и плата за хранение. В разделе 3.6 добавляются также издержки, связанные с заменой продуктов.

Минимальные средние издержки fn(x) за п периодов, если начальный уровень запасов равен ж, в модели с двумя поставщиками удовлетворяют (см. [16]) соотношению

fn{x) = -с\х + min Gn(u,v), (0.12)

IL / U / JU

где

Gn(u,v) = c2u + (ci - c2)v + L(v) + E/n_i(w-L(v) = E[Ä(v - + " = max(a,0). (0.13)

Значения и и г>, на которых достигается минимум в правой части (0.12), задают оптимальное поведение на первом шаге n-шагового процесса следующим образом: размер заказа у первого поставщик zi(x, п) равен v—x, размер заказа у второго Z2(x,n) равен и — v. В предположении о линейности платы за заказ имеет место следующий результат.

Теорема 3.1. Оптимальная политика имеет вид:

A. Если а < 0, (/ — 1 )р < с\ < lp, I > 1, то

z\(x,n) — Z2(x,n) = 0 при п < /,

zi(x, п) = (tn — х)+, Z2(x,n)—0 при п>1. (0-14)

Параметры tn, однозначно определяемые соотношениями Tn(tn) = 0, п > I, образуют ограниченную неубывающую последовательность. Ее предел t удовлетворяет условию F(t) — ß.

B. Если 0 < а < р, (I — 1 )р < с\ < lp, I > I, тс2 < (т — 1)с\, т > 2, (тем самым т>1 и ип > v при п > т), то

zi(x, п) = 2^2(ж, п) при п<1,

z\{x, п) = (v — х)+, Z2(x,n) = min{(un — v), (ип — х)+} при п>т.

(0.15)

Параметры ип, однозначно определяемые соотношениями Нп(ип) = 0, п > т, образуют ограниченную неубывающую последовательность. Ее предел й - единственное решение уравнения Ь{и) = 0; где

и—V

Ь{и) = -а + (а - p)F(u - v) + (р + h) j F{u- s)dF{s),

о

При l < n < m оптимальное поведение может иметь вид (0.14) или (0.15), но если при некотором щ оно имеет вид (0.14), то же самое верно при I < п < щ.

C. Если а > р, {к — 2)р < C2 < (к — 1 )р, к > 2, то

Zi(x,n) = Z2(x,n) при п < к,

Z\(x)n) = 0., Z2(x,n) = (ип — ж)+ при п> к.

Параметры ип, однозначно определяемые соотношениями Нп(ип) = 0; образуют ограниченную неубывающую последовательность. Ее предел и удовлетворяет условию F2*(u) = ß.

Таким образом, теорема 3.1 устанавливает оптимальное поведение для всех возможных значений параметров системы с двумя поставщиками в случае линейной платы за заказ. Характерной особенностью оптимального поведения является его пороговый характер.

Если рассматривать будущие издержки со скидкой, то уравнение для минимальных средних издержек /"(ж) в модели с двумя поставщиками примет вид

f%(x) = min [ci(у -х) + С2(и - у) + L(y) + * F(u)}. (0.16)

tl s* у ^ &

Справедливо следующее утверждение.

Теорема 3.14. 1. Пусть р > с'х(0) > с2( 1 + а)/а, с'1оо > р + с2; тогда при любом п оптимальное значение у^{х) = уп{х)> определенному в теореме 3.12.

При п — 1 имеем uf(x) = у\(х).

При п > 2 существуют такие постоянные й®, образующие возрастающую последовательность, что

Существует lim и" = и01} являющийся решением уравнения Da(u) = 0, где

Если р + с2 > с^О) > тах(р,с2(1 + а)/а), с'1оо > р + с2, то и"(х) = у"{х) — х, при п > 2 оптимальное поведение такое же, как указано выше.

2. Для любого 0 < а < 1, если выполнены условия п.1, существует

ип(х) = ип пРи х < К) ип{Х) = Х nPU Х ^ ^тг

оо

Сх(у(ж) - ж) + c2(wa - у(х)) + Ь(у(х)) + ж < ж

ж < ж < иа,

X > и1

здесь

1 ~0L

1

о

оо

оо оо

оо

+ / L(y(üa ~s))cp(s)ds+ I Cl(y(üa-s)- (üa - s))ip(s) ds +

üa-x

ua—x

oo

+c2 / (üa-y(üa-s))<p(s)ds .

ua—x

Сходимость f%(x) равномерна на полупрямой x < M.

Как показано в теоремах 3.12-3.14, предположение о выпуклости платы за заказ у первого поставщика приводит к существенному изменению оптимального поведения. Размер производимого у него заказа определяется уже не одним, а двумя параметрами, причем, когда уровень запасов меньше нижнего порога ж, производится заказ фиксированного размера, при х > х не заказывается ничего, а для х, лежащих в промежутке (х, х), размер заказа монотонно убывает с ростом х. Таким образом, получившийся результат также отличается от всесторонне изученной классической (s, 5)-политики, где заказ размера S — х делается при х < s, а при х > s не заказывается ничего.

Наибольший интерес в этой главе представляют разделы 3.3 и 3.4. В первом из них устанавливается асимптотическая оптимальность стационарной двухпараметрической (й,^-политики (теорема 3.2). Преимущество стационарной политики заключается в том, что, во-первых, нет необходимости производить трудоемкие, даже при малом горизонте планирования, вычисления по рекуррентному определению параметров оптимальной политики, а, во-вторых, нет необходимости заранее фиксировать горизонт планирования. Асимптотическая оптимальность политики означает, что lim п_1/*(ж) = lim п_1/п(ж), где fn(%) - средние

Ti ) ОО 71—УОО

издержки за п периодов при использовании («, v)-политики, а fn(x) -минимальные средние издержки за тот же срок.

В разделе 3.4 демонстрируется предложенный автором метод построения асимптотически оптимальных политик при неизвестном распределении спроса. Преимущество этих политик, основанных на эмпирических функциях распределения и их непрерывных аналогах, состоит в том, что они стационарны, т.е. при продлении срока функционирования

системы, а значит, и появлении новых наблюдений, значения параметров лишь уточняются. Доказательство основной теоремы 3.4 разделено на 7 лемм. Исследовано также предельное поведение случайных издержек, а не только их средних, при использовании введенных политик.

Естественность постановок задач, рассмотренных в предыдущих главах, подкрепляется и тем обстоятельством, что должный предельный переход приводит к соответствующим задачам для процессов с непрерывным временем, как показано в главе 4.

Глава 4 "Модели с непрерывным временем" разделена на 5 параграфов. Первые два изучают управляемые модели водохранилища с одно-и двухуровневым управлением. Раздел 4.1 исследует предельное при t —> оо поведение модели, предложенной Faddy, Attia, Brockwell, Zucker-man и др. в [107, 72, 214, 218]. В разделе 4.2 содержится разработанное автором обобщение изучавшихся ранее моделей. Следует отметить тот факт, что рассматриваемые процессы Z(t) не являются марковскими. Однако наличие управления делает их регенерирующими процессами с запаздыванием. Это позволяет найти явный вид предельного распределения.

Теорема 4.2. У процесса Z(t) существует предельное распределение Р(В) = Hm Рt(B), обладающее плотностью р{х), которая имеет следующий вид

р(х

(е2ф-с)а~ _ е2¡л(х-Ь)а- у ^ ^ Q < Ж < С, (1 _ е-2{М-Мх-с)*->у(дЩ _ ^ +

+ (1 - е2^х-ь>~2)1(дц) для с < х < Ь,

(e-2(Af-/4(*-6)<r-2 _ _ ^ для Ь<х<а5

(0.17)

где

0 = E(02-r2)+E(72-0i;

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Булинская, Екатерина Вадимовна, 1998 год

Литература

[1] С.А.Айвазян. Различение близких гипотез о виде плотности распределения в схеме обобщенного последовательного критерия// Теория вероятн. и ее примен. - 1965. - т.10,в.4. - с.713-726.

[2] С.А.Айвазян. Об опыте применения экспертно-статистического метода построения неизвестной целевой функции/ в кн.: Многомерный статистический анализ в социально-экономических исследованиях. М., 1974, с.56-86.

[3] С.А.Аничкин. Склеивание процессов восстановления и его применения/ в сб.: Проблемы устойчивости стохастических моделей. Труды семинара.-М.:ВНИИСИ.- 1982.-c.4-24.

[4] В.И.Афанасьев. О максимуме невозвратного случайного блуждания в случайной среде// Теория вероятн. и ее примен. - 1990. -т.35, в.2. - с.209-219.

[5] Л.Г.Афанасьева. Генерация спайка как задача о пересечении уровня/ в сб.: Теория массового обслуживания. Труды семинара.-М.:ВНИИСИ.-1981. -с.119-121.

[6] Л.Г.Афанасьева, Е.В.Булинская. Случайные процессы в теории массового обслуживания и управления запасами - М.:Изд-во МГУ, 1980.

[7] Л.Г.Афанасьева, Е.В.Булинская. Некоторые асимптотические результаты для случайных блужданий в полосе// Теория вероятню и ее применю - 1984. - т.19, в.4. - с.654-668.

[8] Г.Бейтман, А.Эрдейи. Таблицы интегральных преобразований, т.1. - М.:Наука, 1969.

[9] Р.Беллман. Динамическое программирование.-М.:ИЛ, 1960.

[10] П.Биллингсли. Сходимость вероятностных мер.-М.:Наука, 1977.

[11] А.А.Боровков. Вероятностные процессы в теории массового обслуживания.- М.:Наука, 1972.

[12] A.A.Боровков. Асимптотические методы в теории массового обслуживания.-М. .-Наука, 1980.

[13] А.А.Боровков, В.С.Королюк. О результатах асимптотического анализа в задачах с границами// Теория вероятн. и ее примен. -1965. - т.10, в.2. - с.255-266.

[14] A.A.Боровков, А.А.Могульский. Вторая функция уклонений и асимптотические задачи восстановления и достижения границы для многомерных блужданий// Сиб.Мат.Ж.-1996.-т.37,Кт 4.-е. 745782.

[15] Дж.Букан, Э.Кенигсберг. Научное управление запасами. М.:Наука, 1967.

[16] Е.В.Булинская. Некоторые задачи оптимального управления запасами/ / Теория вероятн. и ее примен. - 1964. - т.9,в.4. - с.431-447.

[17] В.А.Булинский. О некоторых особенностях применения системного анализа при рассмотрении задач большой сложности// Экономика и матем. методы. - 1972. - т.8, N 6. - с.928-936.

[18] Г.Вагнер. Основы исследования операций, т.1, М.:Мир, 1972.

[19] А.А.Васин, Н.Н.Евтихеев. Некоторые задачи принятия решений, связанные со случайными блужданиями// Вестн. МГУ, сер.15.-1997.-N 1 - с.18-23.

[20] Вопросы математической теории надежности, под ред.Б.В.Гнеденко - М.-.Радио и связь, 1983.

[21] И.И.Гихман, А.В.Скороход. Теория случайных процессов, т.З.-М.:Наука, 1975.

[22] Б.В.Гнеденко. Курс теории вероятностей, 6 изд. - М.:Наука, 1988.

[23] Е.Б.Дынкин. Марковские процессы. - М.:Физматгиз, 1963.

[24] В.М.Золотарев. Момент первого прохождения уровня и поведение на бесконечности одного класса процессов с независимыми приращениями// Теория вероятн. и ее примен. - 1964. - т.9,в.4. - с.724-733.

[25] Г.И.Ивченко, В.А.Каштанов, И.Н.Коваленко. Теория массового обслуживания. М.:ВШ, 1982.

[26] К.Ито. Вероятностные процессы.- М.:Мир, 1963, вып.П.

[27] В.С.Королюк, Н.И.Портенко, А.В.Скороход, А.Ф.Турбин. Справочник по теории вероятностей и математической статистике. -М.:Наука,1985.

[28] В.С.Королюк, Ю.В.Боровских. Аналитические проблемы асимптотики вероятностных распределений.-Киев: Наукова думка, 1981.

[29] Д.Кокс, В.Смит. Теория восстановления.-М.:Сов.Радио, 1967.

[30] Г.Крамер. Математические методы статистики. - М.:Мир, 1975.

[31] Г.Крамер, М.Лидбеттер. Стационарные случайные процессы. Свойства выборочных функций и их приложения. М.:Мир, 1969.

[32] В.М.Круглов, В.Ю.Королев. Предельные теоремы для случайных сумм. - М.:Изд-во МГУ, 1990.

[33] А.В.Летчиков. К решению задачи Кестена// Теория вероятн. и ее примен-1990 -т.ЗбЛ 2.-с.358-361.

[34] А.В.Летчиков. Одна предельная теорема для случайных блужданий в случайной среде// Теория вероятн. и ее примен.-1988.-т.ЗЗ,К 2.-с.246-256.

[35] В.И.Лотов. О факторизации Винера-Хопфа для одного класса случайных блужданий// Докл. РАН-1996.-т.348,К 2.-е. 162-164.

[36] В.И.Лотов. Об асимптотике распределений, связанных с выходом недискретного случайного блуждания из интервала.-в кн.: Предельные теоремы теории вероятностей и смежные вопросы. Тр. ин-та математики СО АН СССР, т.1, Новосибирск: Наука, 1982, с.18-24.

[37] М.Лоэв. Теория вероятностей.-М.:Изд-во ИЛ, 1962.

[38] А.А.Могульский. Точная асимптотика в двуграничной задаче для случайных блужданий.-Препринт ин-та математики СО АН СССР. Новосибирск, 1981.

[39] С.А.Молчанов. Граничные задачи для сумм независимых случайных величин// Вестн. МГУ. - 1969. - N6. - с.3-10.

[40] А.А.Первозванский. Математические модели в управлении производством. - М.: Наука, 1975.

[41] Н.Я.Петраков, В.И.Ротарь. Фактор неопределенности и управление экономическими системами. - М.: Наука, 1985.

[42] А.В.Печинкин. Предельные распределения для случайных блужданий с поглощением// Теория вероятн. и ее примен. - 1980. - т.25,в.З.

- с.588-592.

[43] А.В.Печинкин. Некоторые предельные распределения для процессов с независимыми приращениями// Теория вероятн. и ее примен.

- 1977. - т.22,в.1. - с.179-180.

[44] А.Б.Пиуновский. Оптимальное управление случайными последовательностями в задачах с ограничениями. М.:РФФИб 1996.

[45] Н.Прабху. Методы теории массового обслуживания и управления запасами.-М.:Машиностроение, 1969.

[46] Н.Прабху. Стохастические процессы теории запасов- М.:Мир, 1984.

[47] Ю.В.Прохоров. Сходимость случайных процессов и предельные теоремы теории вероятностей//Теория вероятн. и ее примен. - 1956

- т.1, вып.2,- с.177-238.

[48] Ю.В.Прохоров. Управление винеровским процессом при ограниченном числе переключений/ в сб.: Труды Мат. Ин-та АН СССР, 1964, т.71, с.82-87.

[49] Ю,В.Прохоров. Переходные явления в процессах массового обслуживания// Лит. мат. сб. - 1963. - т.З, N1. - с.199-205.

50] Б.А.Рогозин. О распределении величин первого перескока// Теория вероятн. и ее примен.-1964.-т.1Х, N З.-с.498-515.

51] Г.Б.Рубальский. Управление запасами при случайном спросе (модели с непрерывным временем). - М.:Сов. радио, 1977.

52] Ю.И.Рыжиков. Управление запасами. - М.:Наука, 1969.

53] Я.Г.Синай. Предельное поведение одномерного случайного блуждания в случайной среде//Теория вероятн. и ее примен.- 1982,- т.27, вып.2 - с.247-258.

54] А.Д.Соловьев. Аналитические методы расчета и оценки надежности. - В кн.: Вопросы математической теории надежности, под ред. Б.В.Гнеденко - М.:Радио и связь, 1983.

55] Л.Такач. Комбинаторные методы в теории случайных процессов-М.:Мир, 1971.

56] Тран Зоан Фу. Стохастични модели за управление на запасите при непълна информация.- Автореф. дис.-София, 1986.

57] О.У.Уайт. Управление производством и материальными запасами в век ЭВМ. М.:Прогресс, 1978.

58] В.Феллер. Введение в теорию вероятностей и ее приложения, т.1. -М.:Мир, 1964.

59] В.Феллер. Введение в теорию вероятностей и ее приложения, Т.П. - М.:Мир, 1967.

60] М.Хаджар. Асимптотика времени первого опустошения хранилища. - Вестник МГУ, сер. 1, матем. и мех. - 1993. - N 1. - С.97-101.

61] Р.З.Хасьминский. Устойчивость систем дифференциальных уравнений при случайных возмущениях их параметров. М.: Наука, 1969.

62] Ф.Хэнссменн. Применение математических методов в управлении производством и запасами. М.:Прогресс, 1966.

63] Чжун Кай-лай. Однородные цепи Маркова. - М.:Мир, 1964.

64] А.Н.Ширяев. Вероятность.-М.:Наука, 1989.

[65] Д.Штоян. Качественные свойства и оценки стохастических моделей - М.:Мир, 1979.

[66] S.C.Aggaraval. A review of current inventory theory and its applications// Int.J.Prod.Res.-1974.-v.l2.-p.443-482.

[67] K.Andler. Rationalisierung der Fabrikation and optimale Losgröße. -Oldenburg, München, 1929.

[68] K.J.Arrow, T.Harris, T.Marschak. Optimal inventory policy// Econometrics - 1951. - v.l9, N3. - p.250-272.

[69] К.J.Arrow, S.Karlin, H.Scarf. Studies in the mathematical theory of inventory and production-Stanford, 1958.

[70] K.J.Arrow, S.Karlin, H.Scarf. Studies in Applied Probability and Management Science, Stanford Univ. Press, 1962.

[71] A.Asari. Survey identifies critical factors in implementation of just in time purchasing techniques// Ind.Eng - 1986. - v.18,N10.- p.44-50.

[72] P.A.Attia, P. J. В rock well. The control of a finite dam.// J.Appl. Prob-1982.-v.19.-p.815-825.

[73] J.L.Balintfy. On a basic class of multi-item inventory problems// Manag.Sci.-1964.-v. 10, N 2.-p.287-297.

[74] E.W.Barankin. A delivery-lag inventory model with emergency provision: the single-period case// Naval Res. Logist. Quart.- 1961.- v.8, N 3.-p.285-311.

[75] R.Bellman, J.Glicksberg, 0.Gross. On the optimal inventory equation// Manag. Sei. - 1955. - v.2,Nl. - p.83-104.

[76] B.Beit. MRP and Kanban - A possible synergy?// Prod.Invent. Manag.- 1987.- v.28,Nl.- p.71-80.

[77] O.Berman, E.H.Kaplan, D.G.Shimshak. Deterministic approximations for inventory management at service facilities// HE Transact ions.-1993.- v.25,N 5.-p.98-104.

[78] D.P.Bertsekas. Dynamic Programming: Deterministic and Stochastic Models. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 1987.

[79] G.Bitran, L.Chang. A mathematical programming approach to a deterministic Kanban system// Manag.Sci. - 1987. - v.33, N4. - p.427-441.

[80] J.T.Black. Cellular manufacturing systems reduce setup time, make small lot production economical// Ind.Eng. - 1983. - v.15, N11. - p.36-48.

[81] J.A.Bockerstette. Misconceptions abound concerning Just-in-Time operating philosophy// Ind.Eng. - 1988. -v.20, N9."- p.54-58.

[82] M.Bonney. Trends in inventory management// Int.J.Prod.Econ. - 1994.

- v.35. - p.107-114.

[83] M.Bonney, K.Popplewel, M.Matoug. Effect of errors and delays in inventory reporting on prduction system performance// Int.J.Prod.Econ.

- 1994. - v.35. - p.93-105.

[84] H.J.Bose, A.Rao. Implementing JIT with MRP II creates hybrid manufacturing environment// Ind.Eng. - 1988. - v.20, N9. - p.49-53.

[85] E.K.Boukas, J.Young, G.Yin, Q.Zhang. Manufacturing systems, their modelling and numerical procedures// Stochastic Anal. Appl. - 1997.

- v.15, N3. - p.269-193.

[86] J.A.Buzacott. Queueing models of Kanban and MRP controlled production systems// Engrg. Costs Prod. Econ. - 1989. - v.17. - p.3-20.

[87] R.Cavazos-Cadena, L.I.Sennott. Comparing recent assumptions for the existence of average optimal stationary policies// Operations Research Letters.-1992.-v.ll,N l.-p.33-37.

[88] A.Chikan.(Ed.). Bibliography of inventory literature.-Budapest: Int.Soc.Inv.Res., 1986.

[89] W.K.Ching, X.Y.Zhou. Optimal (s,S) production policies with delivery time garanties/ in: Mathematics of stochastic manufacturing systems. Lectures in Applied Mathematics, N33, 1997, p.71-81.

[90] R.Conway, W.Maxwell, J.O.McClain, L.J.Thomas. The role of work-in-process inventory in serial production lines// Oper.Res. - 1988. - v.36, N2. - p.229-241.

[91] K.M.Crawford, J.H.Blackstone, J.F.Cox. A study of JIT implementation and operating problems//Int.J.Prod.Res. - 1988. - v.26, N9. -p 561-568.

[92] P.B.Crosby. The Just in time manufacturing process: Control of quality and quantity//Prod.Invent.Manag. - 1984. - v.25, N4. - p.21-34.

[93] D.A.Darling, A.J.Siegert. The first passage problem for a continuous Markov process// Ann. Math. Statist. - 1953. - v.24,N4. - p.624-639.

[94] C.Das. Economic lot size models./ In:Encyclopedia of Computer Science and Technology (J.Beizer, A.G.Holman, A.Kent, eds.)-v.8,p.52-75, Marcel Dekker, New York, 1977.

[95] C.Das, S.K.Goyal. A vendor's view of the JIT manufacturing system// Internat.J.Oper.Prod.Manag. - 1989. - v.9, N8. - p.106-111.

[96] J.-L.Deleersnyder, T.J.Hodgson, H,Muller(-Malek), P.J.O'Grady. Kan-ban controlled pull system - An analytic approach// Manag.Sei. - 1989. - v.35, N9. - p.1079-1091 .

[97] W.E.Deming. Out of the crisis. MIT. Center for Adv. Eng. Study, 1986.

[98] R.L.Dicasali. Job shops can use repetitive manufacturing methods to facilitate Just in time production// Ind.Eng. - 1986. - v.18, N6. - p.48-52.

[99] B.N.Dimitrov, Tran Zoan Fu. On the stochastic inventory models with incomplete demand information// Comptes rendues de l'Academie bulgare des Sciences.- 1987.-v.40,N 12.-p.11-14.

[100] J.Doob. Heuristic approach to the Kolmogorov-Smirnov theorem// Ann. Math. Statist. - 1949. - v.20. - p.393-403.

[101] T.E.Duncan. Identification and control of stochastic manufacturing systems with noisy demand/ in: Mathematics of stochastic manufacturing systems. Lectures in Appl. Math., N33, 1997, p.83-88.

[102] A.Dvoretzky, J.Kiefer, J.Wolfowitz. The inventory problem: Case of known distribution of demand// Econometrica - 1952. - v.20, N2,3. -p.187-222, 450-466.

103] A.Dvoretzky, J.Kiefer, J.Wolfowitz. On the optimal character of the (s,S)-policy in inventory control // Econometrica - 1953. - v.21, N4. -p.586-596.

104] J.Durbin. The first-passage density of the Brownian motion process to a curved boundary// J.Appl. Probab. - 1992. - v.29. - p.291-304.

105] M.Ebrahimpour, B.M.Fathi. Dynamic simulation of a Kanban production inventory system// Internat.J.Oper.Prod.Manag. - 1985. - v.5, N1. - p.5-14.

106] F.Y.Edgeworth. The mathematical theory of banking// J.Royal Statist. Soc.- 1888.-v.51.-p.113-127.

107] M.J.Faddy. Optimal control of finite dams: discrete (2-stage procedure)//J.Appl.Prob- 1974-v.ll.-p.lll-121.

108] C.H.Fine, E.L.Porteus. Dynamic process improvment// Oper.Res. -1989. - v.37, N4. - p.580-591.

109] J.Gani. Problems in the probability theory of storage systems// J. Royal Statist. Soc., Ser.B. - 1957. - v.l9,N2. - p.181-204.

110] S.B.Gershwin, I.C.Schick. Modelling and analisys of three-stage transfer lines with unreliable machines and finite buffers// Oper.Res. - 1983. -v.31, N2. - p.354-380.

111] L.C.Giunipero, C.O'Neal. Obstacles to JIT procurement// Indust. Market.Manag. - 1988. - v.17. - p.35-41.

112] H.J.Girlich. Diskrete stochastishe Entscheidungsprozesse und ihre Anwendung in der Lagerhaltung.-Teubner Verlag, 1973.

113] H.J.Girlich. Dynamic inventory problems and implementable models// J.Inform.Process.Cybernetics-EIK-v.20.-p.462-475.

114] B.V.Gnedenko, V.Yu.Korolev. Random Summation. Limit Theorems and Applications. CRC Press, Boca Raton,FI, 1996.

115] H.Groenvelt, U.S.Karmarkar. A dynamic Kanban system case study// Prod.Invent.Manag. - 1988. - v.29, N2. - p.46-51.

[116] G.Hadley, T.Whitin. Analysis of Inventory Systems.-Englewood Cliffs, New Jersey, 1963.

[117] R.W.Hall. Zero inventories. - Dow, Jones-Irwin, Homewood, IL,1983.

[118] F.Harris. Operations and Costs/ in: Factory Management Series, A.W.Shaw Co., Chocago, 1915, p.48-52.

[119] A.C.Hax, D.Candea. Production and Inventory Management, Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1984.

[120] D.Hochstádter. Stochastische Lagerhaltungsmodelle. - Lecture Notes in Operations Research and Mathematical Economics, N 10, SpringerVerlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1969.

[121] L.Horváth. On empirical Prékopa processes// Acta Sci.Math. -1980.-p.265-274.

[122] P.Y.Huang, L.R.Rees, B.W.Taylor III. A simulation analisys of the Japanese Just-in-Time technique (with Kanbans) for a multiline, multistage production system// Decision Sci. - 1983. - v.14, N3. - p.326-344.

[123] D.L.Iglehart. The dynamic inventory model with unknown demand distribution// Manag. Sci. - 1964. - v.10, N3. - p.429-440.

[124] D.Iglehart. Capital accumulation and production for the firm optimal dynamic policies//Manag.Sci.-1965.-v.l2, N 3.-p.193-205.

[125] D.Iglehart. Limit theorems for queues with traffic intensity one// Ann. Math. Statist. - 1965. - v.36,N5. - p.1437-1443.

[126] D.Iglehart. Limiting diffusion approximation for many server queues and the repairman problem// J. Appl. Probab. - 1965. v.2,N2. - p.429-441.

[127] E.Ignall. Optimal continuous review policies for two product inventory systems with joint set-up cost //Manag.Sci.-1969.-v.15, N 5.-p.278-283.

[128] E.Ignall, A.Veinott. Optimality of myopic inventory policies for several substitute products //Manag.Sci.-1969-v.l5,N 5.-p.284-304.

[129] J.H.Im. Lessons from Japanese production management// Prod. Invent. Manag. - 1989. - v.30, N3. - p.25-29.

[130] K.Inderfurth. Safety stocks in multistage divergent inventory systems: A survey// Int.J.Prod.Econ. - 1994. - v.35. - p.321-329.

[131] R.I.Inman, R.L.Bulfin. Sequencing JIT mixed-model assembly lines// Manag.Sci. - 1991. - v.31, N7. - p.901-904.

[132] M.Jankiewicz. Elementy teorii tam// Rocz. tow. mat., ser.3- 1982.— v.l8.-p.5-57.

[133] E.Johnson. On (s,S)-policies// Manag.Sci.-1968.-v.15, N l.-p.80-101.

[134] S.Jordan. Analisys and approximation of a JIT production line// Decision Sci. - 1988. - v.19, N3. - p.672-681.

[135] V.Kalashnikov. Topics on regenerative processes. - CRC Press, Boca Raton, Ann Arbor, London, Tokyo, 1994.

[136] U.S.Karmarkar. Lot sizes, lead times and in-process inventories// Manag.Sci. - 1987. - v.33, N3. - p.409-418.

[137] U.S.Karmarkar, S.Kekre. Lot sizing in multi-item, multi-machine job shops// HE Trans. - 1985. -v.17. - p.290-298.

[138] H.Kaspi, D.Perry. Inventory systems of perishable commodities// Adv.Appl.Prob.-1983.~v.l5.-p.674-685.

[139] H.Kesten, M.V.Kozlov, F.Spitzer. A limit law for random walk in a random environment// Compos. Math. - 1975. - v.30. - p.145-168.

[140] E.Key. Recurrence and transience criteria for random walk in a random environment//Ann.Probab.- 1984 - v.12, N2,- p.529-560.

[141] R.A.Khan. On cumulative sum procedures and the SPRT with applications // J.R.Statist.Soc. - 1984. - V.46. - N 1. - P.79-85.

[142] O.Kimura, H.Terada. Design and analisys of pull system, a method of multi-stage production control// Internat.J.Prod. Res. - 1981. - v.19, N3. - p.241-253.

[143] J.F.C.Kingman. On queues in heavy traffic// J.Roy. Statist. Soc. -1962. - B24,N2. - p.383-392.

[144] J.F.C.Kingman. On continuous time models in the theory of dams// J. Aust. Math. Soc. - 1963. - v.3. - p.480-487.

[145] H.Klemm, M.Mikut. Lagerhaltungsmodelle, Akademie-Verlag, Berlin, 1968.

[146] W.Konig. The drift of a one-dimensional self-avoiding random walk// Prob. Theory and Relat. Fields.-1993.-v.96,N 4-p.521-543.

[147] L.J.Krajewski, B.E.King, L.P.Ritzman, D.S.Wong. Kanban, MRP and shaping the manufacturing environment// Manag.Sci. - 1987. - v.33, N1. - p.39-57.

[148] E.V.Krichigina, S.X.C.Lou, S.M.Sethi, M.I.Taksar. Diffusion approximation for a controlled stochastic manufacturing system with average cost minimization// Math. Oper. Res. - 1995. -v.20,N4. - p.895-922.

[149] B.Lakdere, B.T.Zaid. On an inventory model for deteriorating items and time-varying demand// Math. Methods Oper. Res. - 1997. - v.45, N2. - p.221-233.

[150] L.C.Lee. Parametric appraisal of the JIT system// Internat.J.Prod. Res. - 1987. - v.25, N10. - p.1415-1429.

[151] T.Lindvall. Weak convergence of probability measures and random functions in function space D[0,oo)//J. Appl. Prob. - 1973.-v.10.-p.109-121.

[152] S.F.Love. Inventory control.- McGraw-Hill, New York, 1979.

[153] D.K.Macbeth, L.F.Baxter, N.Ferguson, G.C.Neil. Buyer-vendor relationships with Just-in-Time: Lessons from U.S. multinationals// Ind.Eng. - 1988. - v.20, N9. - p.38-41.

[154] B.Marganinsky. Wirtschaftliche Lagerhaltung. Berlin, 1933.

[155] J.McManus. Some lessons from a decade of group technology// Prod. Eng. - 1980. - v.59, N11. - p,40-42.

[156] G.J.Miltenburg, G.Sinnamon. Scheduling mixed-model multi-level Just-in-time production systems// Internat.J.Prod.Res. - 1989. - v.29, N9. - p.1487-1509.

[157] D.Mitra, I.Mitrani. Analysis of a Kanban discipline for cell coordination in production lines I// Manag.Sci. - 1990. - v.36, N12. - p.1548-1566.

[158] D.Mitra, I.Mitrani. Analysis of a Kanban discipline for cell coordination in production lines II: Stochastic demands// Oper.Res. - 1991. - v.39, N5. - p.807-823.

[159] S.Miyazaki, H.Ohta, N.Nishiyama. The optimal operation planning of Kanban to minimize the total operation cost// Internat.J.Prod.Res. -1988. - v.26, N10. - p.1605-1611.

[160] Y.Monden. Adaptable Kanban system helps Toyota maintain Just-in-Time production// Ind.Eng. - 1981. - v.13, N5. - p.20-30.

[161] P.A.P.Moran. The theory of storage. Methuen Co., London, 1959.

[162] Ph.M.Morse, G.E.Kimbel. Methods of Operations Research. - M.I.T. Press, Cambridge, Mass., 1951.

[163] J.Moyes. The dangers of JIT// Manag.Account. - 1988. - v.66, N2. -p.22-24.

[164] E.Naddor. Inventory Systems.- John Wiley and Sons, New York, 1965.

[165] T.Ohno. How the Toyota system was created// Japan Econ. Stud. -1982. - v.lO,N4. - p.83-101.

[166] B.Oksendal. Stochastic differential equation. An Introduction with Applications. 3rd ed., Springer, New York, 1992.

[167] J.A.Orlicky. Materials Requirements Planning. McGraw Hill, New York, 1975.

[168] L.-Y.Ouyang, K.-S.Wu. Mixture inventory model involving variable lead time with a service level constraint// Comput. Oper. Res. - 1997. - v,24, N9. - p.875-882.

[169] A.K.Pal, B.Mandl. An EOQ model for deteriorating inventory with alternating demand rates// Korean J.Comput.Appl.Math. - 1997. -v.4, N2. - p.397-407.

[170] M.Pal. Asymptotic confidence intervals for the optimal cost in newsboy problem// Calcutta Statist. Assoc. Bull. - 1996. - v.46, N 183-184. -p.245-252.

[171] B.Pasik-Duncan. Stochastic adaptive control and manufacturing systems/ in: Math, of stochast. manufacturing syst. Ledture Notes in Appl. Math., N33, 1997, p.201-207.

[172] D.Perry. A double band control policy of a Brownian perishable inventory system// Probab. Engrg. Inform. Sei. - 1997. -1- v.11, N3. -p.361-373.

[173] R.M.Phatarfod, T.P.Speed, A.M.Walker. A note on random walks// J.Appl.Prob.-1971.-v.8.-p.

[174] W.Popp. Einführung in die Theorie der Lagerhaltung, Springer, Berlin, 1968.

[175] E.Porteus. Investing in reduced setups in the EOQ model// Manag.Sei. - 1985. - v.31, N8. - p.998-1010.

[176] N.U.Prabhu. Time-dependent results in storage theory// J.Appl. Probab. - 1964. - v.l,Nl. - p.452-460.

[177] N.U.Prabhu. Limit theorems for the single-server queue with traffic intensity one// J.Appl. Probab. - 1970. - v.7,Nl. - p.227-233.

[178] A.Prekopa. Reliability equation for an inventory problem and its asymptotic solution/ in: Colloquium on Applications of Math, to Economics.-Acad.Kiado, 1964.

[179] T.P.Ryan. Statistical methods for quality improvement. Wiley, New York, 1986.

[180] F.E.Raymond. Quantity and Economy in Manufacture. - McGraw Hill, New York, 1941.

[181] R.Rempala. (s,S)-type policy for a production inventory problem with limited backlogging and with stockouts// Appl. Math. (Warsaw) - 1997.

- v.24, N3. - p.343-354.

[182] K.Richter. Pure and mixed strategies for the EOQ repair and waste disposal problems/ in: Production and logistics, eds. H.-O.Günther, K.Inderfurth. OR Spectrum. - 1997. - v.19,N2. - p.123-129.

[183] V.Rykov, M.Yu.Kitaev. Controlled queueing systems// L. Appl. Math, and Stochast. Anal. - 1995. - v.8, N 4. - p.433-435.

[184] H.Scarf. The optimality of (s, S) policies in the dynamic inventory problem/ in: Mathematical methods in the social sciences. Stanford, 1959.

- p.196-202.

[185] H.Scarf. Bayes solutions of the statistical inventory problem// Ann.Math.Statist. - 1959. - v.30, N 2. - p.490-508.

[186] T.H.Scheike. A boundary-crossing results for Brownian motion// L. Appl.Prob.-1992.-v.29.-p.448-453.

[187] R.J.Schönberger. World class manufacturing. Free Press, New York, 1986.

[188] R.J.Schönberger, A.Ansari. Just-in-Time purchasing can improve quality// J.Purch.Mat.Manag. - 1984. - v.20, N1. - v.20, N1. - p.2-7.

[189] R.J.Schönberger, J.P.Gilbert. Just-in-Time purchasing: A challenge for US industry// Calif.Manag.Rev. - 1983. - v.26, N1. - 54-68.

[190] R.J.Schönberger, M.J.Schniederjans. Reinventing inventory control// Interfaces.- 1984-v.14,N3-p.76-83.

[191] B.J.Schroer, J.T.Black, S.X.Zhang. Microcomputer analyzes 2 card Kanban system for "Just-in-Time" small batch production// Ind.Eng.

- 1984. - v.16, N6. - 54-65.

[192] L.I.Sennott. Average cost optimal stationary policies in infinite state Markov decision process with unbounded costs.// Operations Research.- 1989.-v.37,N 4, p. 626-633.

[193] M.Sepehri, R.Walleigh. Quality and inventory control go hand in hand at Hewlett Packard's computer system division// Ind.Eng. - 1986. -v.18, N2. - p.2. - p.44-51.

[194] S.P.Sethi. Some insights into near optimal plans for stochastic manufacturing systems/ in: Math, in stochast. manufacturing systems. Lecture Notes in Appl. Math. N33, 1997, p.287-315.

[195] S.Shingo. Revolution in manufacturing: the SMEAD System, Product. Press, Cambridge, M.A. 1989.

[196] E.A.Silver. Operations research in inventory management: A review and critique// Oper.Res.-1981.-v.29.-p628-645.

[197] E.A.Silver, R.Peterson.-Decision Systems for Inventory Management and Production Planning .-John Wiley and Sons, New York, 1985.

[198] C.S.Snead. Group Technology: Foundation for Competitive Manufacturing. - Van Nostrand Reinhold, New York, 1988.

[199] F.Solomon. Random walks in a random environment// Ann.Probab.-1975- v.3, N1.- p.1-31.

[200] T.P.Speed. A note on random walks.II//J.Appl.Prob.-1973.-v.10.-p.11-20.

[201] W.Stadje. Asymptotic behaviour of a stopping-time related to cumulative sum procedures and single-server queues // J.Appl.Probab. - 1987. - v.24. - p.200-214.

[202] K.Steffanic-Allmayer. Die günstige Bestellmenge beim Einkauf. - Sparwirtschaft, Wien, 1927.

[203] N.C.Suresh, J.R.Meredith. Achieving factory automation through group technology principles// J.Oper.Manag. - 1985. - v.5, N2 - p.151-167.

[204] K.Suzaki. Work in process management: An illustrated guide to productivity improvement// Prod. Invent. Manag. - 1985. - v.26,N3. -p.101-110.

[205] C.Tapiero. Production learning and quality control// HE Trans. - 1987.

- v.19, N4. - p.362-370.

[206] M.V.Tatikonda. Just-in-Time and modern manufacturion environments: Implications for cost accounting// Prod.Invent.Manag. - 1988.

- v.29, N1. - 1988.

[207]. V.R.V.Valqui. Stochastic version of the economic lot size model// Invest. Oper.-1994.-v.l5,N 1-p.3-12.

[208] A.Veinott. Optimal policy for a multi-product dynamic non- stationary inventory problem//Manag.Sci.-1965.-v.12, N 3.-p.206-222.

[209] H.M.Wagner, T,Whitin. Dynamic version of the economic lot size model// Manag.Sci. - 1958. - v.5. - p.89-96.

[210] M.Wang. Limit theorems on occupation times for perturbed random walks// Sequent. Anal.-1996.-v.l5,N 2-3,-p.l03-122.

[211] H.A.Welke, J.Overbeeke. Cellular manufacturing: A good technique for implementing Just-in-Time and total quality control// Ind.Eng. - 1988.

- v.20, N11. - p.36-41.

[212] R.W.Wilson. A scientific Routine for Stock control// Harv. Bus. Rev.

- 1934. - v.13, N1. - p.116-128.

[213] Wu Xiaoyue. An inventory decision model of repairable spare parts// Hunan Ann.Math.-1996.-v.16, N 3.-p.41-43.

[214] L.Yeh. Optimal control of a finite dam: average cost case// J. Appl. Prob.- 1985.-v.22.-p.480-484.

[215] W.I.Zangwill. Eliminating inventories in a series facility production system// Manag.Sci. - 1987. - v.33, N9. - p.1150-1164.

[216] W.I.Zangwill. From EOQ to ZI// Manag.Sci. - 1987. - v.33, N10. -p.1209-1223.

[217] P.H.Zipkin. Does manufacturing need a JIT revolution?// Harv.Bus. Rev. - 1991. - v.69, N1. - p.40-50.

[218] D.Zuckerman. Characterization of the optimal class of output policies in a control model of a finite dam// J. Appl. Prob.-1981.-v.18.- p.913-923.

[219] D.Zuckerman. Two-stage output procedure of a finite dam// J.Appl. Prob.-1977.-v.14.-p.421-425.

Список публикаций автора по теме диссертации

[1] Е.В.Булинская. Оптимальный контроль и устойчивость некоторых систем// Теория вероятн. и ее примен. - 1997. - т.42, в.2. - с.386-387.

[2] Е.В.Булинская. Асимптотическое поведение момента остановки управляемых случайных процессов/ в сб.: IV Международная конференция женщин- математиков. Математика, моделирование, экология. 27-31 мая 1996г., Волгоград, с. 17.

[3] Е.В.Булинская. Предельные теоремы для моментов остановки случайных блужданий в полосе// Фундаментальная и прикладная математика.- 1996,- т.2, N 4.-с.977-997.

[4] Е.В.Булинская. О пересечении высокого уровня некоторым классом случайных процессов с дискретным временем// Фундаментальная и прикладная математика - 1995.-т.1,К 1.-е.81-107.

[5] Е.В.Булинская. Надежность некоторых систем снабжения/ веб.: V Всесоюзное Совещание по распределенным вычислительным системам и сетям (СБ8-92), 7-11 сентября, Калининград, 1992, с.З.

[6] Е.В.Булинская. Предельные теоремы для больших систем производства -хранения// Теория вероятн. и ее примен. - 1991. - т.36, в.4. - с.779-780.

[7] Е.В.Булинская. Диффузионная аппроксимация для моделей управления запасами и сетей связи/ в сб.: Применение статистических методов в производстве и управлении. Пермь, 1990, т.2, с.285-286.

[8] Е.В.Булинская. О построении асимптотически оптимальных политик/ в сб.: Проблемы устойчивости стохастических моделей. Труды семинара. М.:ВНИИСИ - 1989. - с. 10-19.

[9] Е.В.Булинская. Асимптотическое поведение некоторых систем массового обслуживания и управления запасами/ в сб.: V Всесоюзное совещание по системам и сетям связи. Рига, 1988, с.5-6.

[10] Е.В.Булинская. Асимптотически оптимальные политики управления запасами, построенные по эмпирическим распределениям/ в сб.: Тезисы докладов III Всесоюзной школы-семинара "Программно-алгоритмическое обеспечение и прикладной многомерный статистический анализ", с.15-16.

[11] Е.В.Булинская. Предельные теоремы для стохастических моделей теории запасов/ в сб.: IV Международная Вильнюсская конференция по теории вероятностей и математической статистике. Тезисы докладов. Вильнюс, 1985, с. 78-79.

[12] Е.В.Булинская. О сетях в теории запасов/ в сб.: IX Всесоюзная школа-семинар по вычислительным сетям, Пущино, 1984, N9, с. 1722.

[13] Е.В.Булинская. Статистические модели в задачах управления запасами/ в сб.: Тезисы докладов Всесоюзной научно-технической конференции, Пермь, 1984, с.151-152.

[14] Е.В.Булинская. Об одной модели теории водохранилищ// в сб.: Проблемы устойчивости стохастических моделей. Труды семинара. М.-.ВНИИСИ. - 1984, с.34-39.

[15] Е.В.Булинская. Об оптимальной структуре систем управления запасами/ в сб.: Наблюдения в сетях ЭВМ, Куйбышев, 1986 , с.12-20.

[16] Е.В.Булинская. Проблемы непрерывности в теории запасов// Теория вероятн. и ее примен. - 1983. - т.29, в.4. - с.807-808.

[17] Е.В.Булинская. Об оптимальной структуре систем управления запасами/ в сб.: 2 Международный симпозиум по хозяйствованию запасами, Будапешт, 1982, с.7.

[18] Е.В.Булинская. Многопродуктовые модели с взаимозаменяемыми продуктами./в сб. Теория массового обслуживания. Труды семинара - М.:ВНИИСИ, 1981, с.122-127.

[19] Е.В.Булинская. Некоторые модели теории запасов/ в сб.: 1 Международный симпозиум по хозяйствованию запасами, Будапешт, 1980, с.3-4.

[20] Е.В.Булинская. Теория запасов/ в сб.: Труды школы-семинара по массовому обслуживанию, Пущино, 1974. М.:Изд.МГУ, 1976, с.17-41.

[21] Е.В.Булинская. Теория запасов и ее связь с различными областями прикладной математики/ в сб.: Сг\уа^а С^оЫороЬка копГегепс^а 2а81ю80Л¥ап п^ета1укь Изд. Польской АН, 1975, с.12-14.

[22] Е.В.Булинская. Вероятностные модели в теории запасов/ в сб.: Вильнюсская конференция по теории вероятностей и математической статистике, Вильнюс, 1973, с.102-105.

[23] Е.В.Булинская. О модели определения запасов сельскохозяйственной продукции/ в сб.: Доклады II Симпозиума по управлению запасами. М.: 1972, с.11-14.

[24] Е.В.Булинская. Управление запасами при случайной доставке/ в сб.: Доклады I Симпозиума по управлению запасами. Москва, 1970, с.13-18.

[25] Е.В.Булинская. Оптимальный выбор страхового запаса/ в сб.: Тезисы докладов Совещания по теории запасов, Киев:Изд. АН УССР, 1970, с.15-16.

[26] Е.В.Булинская. Математические методы управления запасами. М.:ЦНИИТЭИМС, 1969, 22с.

[27] Е.В.Булинская. Оптимальное управление запасами в случае выпуклой платы за заказ// Теория вероятн. и ее примен. - 1967. -т.12, в.1. - с.11-23.

[28] Е.В.Булинская. Оптимальное управление запасами в случае частичного возврата использованных предметов/ в сб.: Тезисы докладов Международного конгресса математиков, Москва, 1966, т.11, с.25.

[29] Е.В.Булинская. О задачах оптимального управления запасами// Теория вероятн. и ее примен. - 1965. - т.10, в.2. - с.390.

[30] E.V.Bulinskaya. Systems stability and optimal control// J.Math.Sci. -1998. - v.l2,N2. - p.12-28.

[31] E.V.Bulinskaya. Multi-level control and asymptotic behaviour of some inventory systems// Int.J.Prod.Econom. - 1998. - v.37 - p.248-256.

[32] E.V.Bulinskaya. On hitting times for random walks in random environment/ in: XIX Seminar on Stability Problems for Stochastic Models, 6-12 Sept., 1998, Vologda, p.ll.

[33] E.V.Bulinskaya. Just-in-time systems and their random perturbations/ in: Dwudziesta siodma ogolnopolska konferencja zastosowan matem-atyki, Zakopane-Koscielisko, 21-28.IX,1998,p.l6-18.

[34] E.V.Bulinskaya. Delays in control implementation and inventory system's performance/ in: Abstracts of the 10-th International Symposium on Inventories, Budapest, Aug.24-28, 1998, p.5.

[35] E.V.Bulinskaya. Stability problems in inventory theory// Int.J. Prod. Economics. - 1996. - v.45 - p.353-359.

[36] E.V.Bulinskaya. Multi-level control and optimization. / in: Dwudziesta pi§,ta ogolnopolska konferencja zastosowan matematyki, Zakopane-Koscielisko, 17-24.IX, 1996, p.18-19.

[37] E.V.Bulinskaya. Asymptotic behaviour of some inventory systems and their optimization/ in: Abstracts of the Symposium on Operations Research (SOR-96), Braunschweig, September 4-6, 1996.

[38] E.V.Bulinskaya. Inventory models with random supply. Asymptotic analysis and optimization/ in: Operations Research Proceedings 1995, eds. P.Kleinschmidt et al. Springer, Berlin, Heidelberg, 1996, p.451-456.

[39] E.V.Bulinskaya. Multi-level control and asymptotic behaviour of some inventory systems/ in: Abstracts of the 9-th International Sumposium on Inventories, Budapest, Aug. 19-23, 1996.p.3.

[40] E.V.Bulinskaya. Asymptotic behaviour of the stopping-time related to iventory and insurance problems/ in: Dwudziesta czwarta ogolnopolska konferencja zastosowan matematyki. Zakopane-Koscielisko, 19-26 IX, 1995.p.16-17.

[41] E.V.Bulinskaya. Inventory models with random supply. Asymptotic analysis and optimization/ in: Abstracts of the Symposium on Operations Research (SOR-95), Passau, September 13-15, 1995,p.27.

[42] E.V.Bulinskaya.Reliability of some inventory-production systems// Int. J. Prod. Economics. - 1994. - v.35. - p.245-251.

[43] E.V.Bulinskaya. Stability problems in inventory theory/ in: Abstracts of the 8-th International Symposium on Inventories, Budapest, Aug.22-28, 1994, p.6.

[44] E.V.Bulinskaya. Boundary crossing problems for some applied probability models/ in: Dwudziesta trzecia ogolnopolska konferencja zastosowan matematyki, Zakopane-Koscielisko, 20-27.IX.1994. - p.19.

[45] E.V.Bulinskaya. General asymptotic problems in applied probability. -in: Abstracts of the 6-th Vilnius conference on Probability and Mathematical Statistics, Vilnius, 1993,p.

[46] E.Bulinskaya. Main research directions in the modern inventory theory/ in: Dwudziesta druga ogolnopolska konferencja zastosowan matematyki, Zakopane-Koscielisko, 18-25.IX, 1993, p.9-11.

[47] E.V.Bulinskaya. Heavy-traffic inventory-production systems//Int.J. Prod.Economics.-1992.-v.26.-p.283-291.

[48] E.V.Bulinskaya. Asypmtotic problems of inventory theory/ in: Dwudziesta perwsza ogolnopolska konferencja zastosowan matematyki, Zakopane- Koscielisko, 15-21.IX, 1992, p.18,

[49] E.V.Bulinskaya. Reliability of some inventory-production systems/ in: Abstracts of the 7-th International Symposium on Inventories, Budapest, Aug.24-28, 1992, p.4.

[50] E.V.Bulinskaya. Heavy-traffic inventory-production systems/ in: Abstracts of the 6-th International Symposium on Inventories, Budapest, Aug.25-29. 1990,p.3.

[51] E.V.Bulinskaya. Inventory control in case of unknown demand distribution/ / Engineering Costs and Prod. Economics.-1990.-v.l9.-p.301-306.

[52] E.V.Bulinskaya. Control processes in some complex systems/ in: Abstracts of Commun. of V International Vilnius Conference on Probability Theory and Mathematical Statistics, 1989, p.15-16.

[53] E.Bulinskaja. Lagerhaltung bei unbekannter Nachfrageverteilung./ in: H.J.Girlich (Ed.), Sitzungsbericht 1989, Konferenz Lagerhaltung Systeme und Logistik, 26-29 Juni, p.75-89.

[54] E.V.Bulinskaya. Functional limit theorems for some inventory models/ in: A.Chikan (Ed.) Progress in inventory research.-Akademiai Kiado, Budapest, Hungary, 1989. - p.323-328.

[55] E.V.Bulinskaya. Inventory control in case of unknown demand distribution/ in: Abstracts of the 5-th International Symposium on Inventories, Budapest, Aug. 1988, p.9.

[56] E.V.Bulinskaya. Functional limit theorems for some inventory models/ in: Abstracts of the 4-th International Symposium on Inventories, Budapest, Aug. 1986, p.7.

[57] E.V.Bulinskaya. Limit theorems for stochastic inventory models/ in: Prob. Theory and Math. Stat., 1986, VNU Science Press, v.l, p.291-306.

[58] E.V.Bulinskaya. Functional limit theorems for some storage models/ in: I International Bernoulli Congress, Tashkent, 1986, p.39.

[59] E.Bulinszkaja. Egyes keszletgazdlkodasi rendszerek aszimptotikus viselkedesi tulajdonasi/ in: A.Chikan (ed.) Keszletek az elmeletben es a gyakorlatban, Budapest, 1985, p.31-57.

[60] E.V.Bulinskaya. Limit theorems for stochastic inventory models/ in: 4th Int. Vilnius Conf. on Probab. Theory and Math. Statist., Vilnius, 1985, p.25-17.

[61] E.V.Bulinskaya. The asymptotic behaviour of some inventory systems / Proc. Third Int. Symp. on Inventories. - Budapest, 1984. - p.459-472.

[62] E.Bulinskaja. Methoden der Bedienungstheorie in der Lagerhaltungs-theorie/ in: H.Girlich (ed.) IG Lagerhaltungsmodelle, 1984, s.9-15.

[63] E.V.Bulinskaya. On optimal capacities of some inventory systems / Proc. Second Int. Symp. on Inventories. - Budapest, 1982. - p.639-648.

[64] E.V.Bulinskaya. Some inventory models// Proc. First Int. Symp. on Inventories, Budapest, Hungary, 1980.-p.309-317.