Пространственная структура ветвящихся случайных блужданий тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.05, доктор физико-математических наук Яровая, Елена Борисовна

• Яровая, Елена Борисовна
• доктор физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Яровая, Елена Борисовна

Содержание

Введение

Глава 1. Симметричные ветвящиеся случайные блуждания

1.1. ВСБ с одним источником ветвления

1.1.1. Описание модели

1.1.2. Генератор случайного блуждания

1.1.3. Процесс ветвления в источнике

1.1.4. Основные уравнения

1.2. Фазовые переходы в ВСБ

1.2.1. Асимптотическое поведение моментов

1.2.2. Вероятность выживания популяции

1.2.3. Вероятность наличия частиц в произвольной точке

1.2.4. Предельное поведение ВСБ

1.3. ВСБ с тяжелыми хвостами

1.3.1. Отказ от конечности дисперсии скачков

1.3.2. Критерий возвратности

1.3.3. Предельные теоремы

Глава 2. Несимметричные ветвящиеся случайные блуждания

с конечным числом источников

2.1. ВСБ с нарушением симметрии блуждания

2.1.1. Основные уравнения

2.1.2. Свойства эволюционного оператора Ж

2.1.3. Асимптотика моментов

2.1.4. Предельная теорема

2.2. ВСБ с источниками трех типов

2.2.1. Модель ВСВ/г/к/т

2.2.2. Основные результаты

2.3. Фазовые переходы в надкритических ВСБ

2.3.1. ВСБ с источником и "псевдо-источником"

2.3.2. ВСБ с двумя источниками

Глава 3. Пространственно-временная структура ветвящихся случайных блужданий

3.1. Переходные вероятности для больших уклонений случайного блуждания

3.2. Предельные теоремы для функции Грина решетчатого лапласиана

3.3. Большие уклонения для ВСБ

3.4. Предельные теоремы для функции Грина оператора симметричного блуждания

Глава 4. Ветвящиеся случайные блуждания в случайных средах

4.1. Случайные среды и потенциалы

4.1.1. ВСБ в однородной случайной среде

4.1.2. ВСБ в неоднородной случайной среде

4.2. Представление Фейнмана-Каца

4.3. Предельная теорема для моментов

4.4. Моменты для потенциалов вейбулловского и гумбелевского типов

Глава 5. Функционально-аналитические методы исследования

ветвящихся случайных блужданий

5.1. Линейные операторы в пространствах

5.1.1. Оператор %

5.1.2. Оператор si

5.1.3. Оператор sü +

5.1.4. Оператор d + ÇT^sé + ß%

5.1.5. Многоточечные возмущения оператора si

5.2. Дифференциальные уравнения в банаховых пространствах

5.2.1. Основные определения

5.2.2. Уравнения в гильбертовом пространстве

5.2.3. Операторные дифференциальные уравнения

5.3. Дифференциальные неравенства

5.3.1. Скалярные уравнения

5.3.2. Уравнения в конечномерных пространствах

5.3.3. Уравнения в бесконечномерных пространствах

5.3.4. Монотонность решения задачи Коши

5.4. Асимптотические методы

5.4.1. Интеграл Лапласа

5.4.2. Тауберовы теоремы

5.4.3. Асимптотическое поведение интегралов

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Пространственная структура ветвящихся случайных блужданий»

Введение

Актуальность работы. Диссертация посвящена ветвящимся случайным блужданиям — одной из интенсивно развивающихся областей теории вероятностей и случайных процессов. С помощью ветвящихся случайных блужданий изучается поведение систем, элементы которых могут размножаться, гибнуть и перемещаться по пространству в различных средах по правилам, учитывающим фактор случайности. Ветвящееся случайное блуждание (ВСБ) является стохастическим процессом, сочетающим в себе свойства ветвящегося процесса и случайного блуждания.

Ветвящиеся процессы описывают явления, связанные с размножением и исчезновением совокупностей объектов. Основные идеи теории ветвящихся процессов появились в исследованиях Ф. Гальтона и Д. Ватсона еще во второй половине XIX века. Однако аксиоматические основы этой теории были заложены лишь в середине прошлого века в фундаментальных исследованиях А.Н. Колмогорова, H.A. Дмитриева, Б.А. Севастьянова, Р. Беллмана и Т. Харриса и получили развитие в многочисленных публикациях современных авторов, в частности, в монографиях Н. Атрея и П. Нея [70], К. Мода [89], 3. Ли [88], П. Ягер-са [86]. Обзор по этой проблематике можно найти в работах В.А. Ватутина и A.M. Зубкова [14,100].

Термин "случайное блуждание" был введен, по-видимому, К. Пирсоном [93]. С помощью случайных блужданий изучаются процессы перемещения частиц под действием некоторого случайного механизма. Широкий круг проблем теории случайных блужданий описан в классических монографиях Ф. Спицера [44] и В. Феллера [46]. Различным подходам к их решению посвящены труды A.A. Боровкова, К.А. Боровкова, Г. Кестена, М.В. Козлова, Я.Г. Синая и других авторов.

В последние годы актуальным стало исследование поведения более сложных стохастических систем с размножением, гибелью и перемещением элемен-

тов в пространстве в зависимости от структуры среды и пространственной динамики, которые не вписываются в рамки классических теорий. Подобные модели возникают в статистической физике [83, 112], химической кинетике [82], теории гомополимеров [77]. Прикладные проблемы, а также логика развития теории случайных процессов привели к формулировке основных принципов ВСБ. Вероятностные модели ВСБ принято описывать в терминах размножения, гибели и блуждания частиц. Основополагающей в этом направлении признана статья Б.А. Севастьянова [41] о ветвящихся процессах с диффузией частиц. Важные результаты для ветвящихся диффузионных процессов и ветвящихся блужданий связаны также с именами A.B. Скорохода, С. Асмуссена, Д. Биггинса, П. Реве-са. Однако работы этих и многих других математиков в основном посвящены либо одномерному случаю, либо исходят из предположения об однородности ветвящейся среды. В связи с этим на первый план выходит анализ ветвящихся процессов с диффузией частиц в пространственно неоднородных, "каталитических" средах. Например, в работах [79, 81] рассмотрены супердиффузионные процессы, возникающие как "диффузионный" предел ветвящихся случайных блужданий в больших системах частиц [80, 98].

Одно из современных направлений анализа ВСБ, возникшее в работах С. Альбеверио, JI.B. Богачева, С.А. Молчанова и автора диссертации [54,67, 68], связано с исследованием процессов на целочисленных решетках с непрерывным временем для пространственно неоднородных или случайных ветвящихся сред, представляющих собой совокупность процессов размножения и гибели частиц в узлах решетки. При этом среды с конечным числом источников ветвления называют неоднородными. Весьма актуальным представляется анализ влияния среды на предельное пространственное распределение частиц. Эта проблема интересна также в связи с исследованием пространственных распределений в случайных средах, в которых интенсивности размножения и гибели частиц случайны. Для таких сред характерно возникновение структур с выраженной неоднородностью пространственного распределения, связанной с наличием так на-

зываемых сильных центров, в окрестности которых происходит основной рост процесса [82, 90]. Такие модели используются в теории надежности [62], [99], при исследовании миграции и деления клеточных популяций [111] и других областях. Свойства ВСБ, связанные с неоднородностью, некомпактностью, а также размерностью пространства, служат для объяснения эффектов в более сложных неоднородных структурах [85, 98].

Для понимания особенностей поведения ВСБ фундаментальное значение имеет модель симметричного ВСБ с одним источником ветвления и конечной дисперсией скачков [5, 54]. Эта "точно решаемая" модель позволяет изучить эффекты, обусловленные неоднородностью среды и неограниченностью пространства. В приложениях условие симметричности ВСБ является достаточно ограничительным, в связи с чем возникает необходимость распространения полученных результатов на ВСБ с нарушением симметрии блуждания в источнике [99].

Исследование ВСБ требует развития уже существующих методов, а также создания новых подходов. Традиционный подход связан с представлением ВСБ как ветвящегося процесса с несколькими типами частиц. Он позволил получить [10-13,15] предельные теоремы для критических ВСБ. В диссертации развивается функционально-аналитический подход. Он основан на представлении эволюционных уравнений для моментов численностей частиц как уравнений в банаховых пространствах [66, 68] (см. также [56]) и исследовании спектра операторов, возникающих в правых частях этих уравнений. Такой подход предлагает единую точку зрения на модели ВСБ различных типов — как с нарушением, так и без нарушения симметрии блуждания в источниках [65]. Он позволяет использовать при изучении моделей математической физики, химической кинетики и др. методы функционального анализа, в равной степени пригодные для исследования как ВСБ с конечным числом источников, так и многих естественнонаучных моделей, не обязательно описываемых в теоретико-вероятностных терминах. В этом контексте предложенный подход можно применять для учета

главных членов "теории возмущений" в соответствии с иерархией каталитических центров.

Одним из принципиальных предположений в ранее проводимых исследованиях В СБ было условие конечности дисперсии скачков случайного блуждания. В этом случае ВСБ оказывается возвратным на одно- и двумерных решетках, но теряет это свойство на решетках более высокой размерности [56]. В последние годы случайные блуждания (без ветвления) с бесконечной дисперсией скачков привлекали внимание многих авторов, см., например, книгу A.A. Боровкова и К.А. Боровкова [71] и библиографию в ней. Подобного рода проблемы актуальны и для ВСБ с "тяжелыми хвостами", которые ранее, по-видимому, не рассматривались.

При изучении поведения сложных случайных систем возникает необходимость анализа ситуаций, когда система частиц испытывает большие уклонения. Иными словами, ведет себя нетипично. Начало современной теории больших уклонений было положено в 1938 году в работе Г. Крамера [76]. В ней исследовались большие уклонения для сумм независимых, одинаково распределенных случайных величин. Изучение больших уклонений траекторий случайных процессов связано с именами A.A. Боровкова, К.А. Боровкова, С.Р. Ва-радана, А.Д. Вентцеля, Д.А. Коршунова, A.A. Могульского, A.A. Пухальского, М.И. Фрейдлина и других авторов. Задачи такого типа актуальны и для ВСБ на многомерных решетках. К сожалению, для ВСБ техника, предложенная в цитируемых выше работах, или неприменима или по меньшей мере очень сложна. В недавней статье М. Кренстона, JI. Коралова, С. Молчанова и Б. Вайнберга [77], посвященной непрерывной модели гомополимера, где рассматривалось M.d вместо Zd и броуновское движение вместо случайного блуждания, был предложен подход к таким задачам, основанный на резольвентном анализе эволюционного оператора. В рамках этого подхода для исследования спектра эволюционного оператора средних численностей частиц используется информация о переходных вероятностях и функции Грина эволюционного оператора. Анализ резоль-

венты оператора при больших уклонениях случайного блуждания позволяет существенно расширить результаты предыдущих исследований для ВСБ. К исследованию функции Грина обращался ряд авторов, среди которых П. Кучмент [87], К. Ушияма [97], а также С.А. Молчанов и автор диссертации [35, 36].

Аналогичные вопросы возникают в теории случайных сред, в которых интенсивности деления и гибели частиц являются случайными полями, однородными по пространству или по пространству-времени. Такие модели важны не только с точки зрения популяционной динамики, но и, например, как модели реальных физических явлений. Принципиально новым эффектом, типичным для теории случайных сред, оказывается так называемая перемежаемость, т.е. высокая степень локальной иррегулярности поля частиц (или магнитного поля в физике): наличие редких высоких пиков, слоистых структур и т.п. Первые математические работы в этой области принадлежат группе Я.Б. Зельдовича (С.А. Молчанов, A.A. Рузмайкин, Д.Д. Соколов) [24, 112]; см. также цикл работ Ю. Гертнера, С.А. Молчанова, Р. Кармоны [74, 84, 91]. Основным объектом анализа в этих работах было не само поле частиц, а его первая корреляционная функция (плотность), удовлетворяющая параболическому уравнению Андерсона со случайным потенциалом. Математическим проявлением перемежаемости является прогрессивный рост старших моментов поля в сравнении с младшими моментами. Технически это связано с весьма трудной задачей решения системы уравнений для соответствующих корреляционных функций. Анализ явления перемежаемости и связанных с ним особенностей предельного поведения ВСБ в случайных средах до сих пор остается одной из актуальных проблем.

Цель диссертационной работы состоит в исследовании пространственной структуры ветвящихся случайных блужданий с непрерывным временем и лежащих в их основе случайных блужданий по многомерной решетке с различной пространственной динамикой в неоднородных и случайных средах как при фиксированных пространственных переменных, так и при совместном росте пространственных координат и времени.

Научная новизна. Все полученные в диссертации результаты являются новыми. Перечислим основные из них.

1. Проведена классификация асимптотического поведения моментов и вероятностей продолжения процесса для численностей частиц в ВСБ в зависимости от интенсивности источника, свойств блуждания и размерности пространства, как для симметричного блуждания, так и для блуждания с нарушением симметрии в источнике.

2. Выявлен новый эффект возникновения критических и докритических ВСБ в низких размерностях даже при отсутствии гибели частиц, связанный с отказом от конечности дисперсии скачков случайного блуждания, лежащего в основе ВСБ.

3. Введена общая модель ВСБ с конечным числом источников различных типов как с нарушением, так и без нарушения симметрии блуждания в источниках. Для таких ветвящихся случайных блужданий выявлены фазовые переходы в надкритическом случае, что существенно отличает их от ВСБ с одним источником.

4. Получены явные формулы, описывающие асимптотическое поведение переходных вероятностей простого симметричного случайного блуждания при совместном росте пространственных координат и времени.

5. Доказаны предельные теоремы для функции Грина переходных вероятностей при произвольном положительном значении параметра, что позволяет исследовать фронт популяции и найти предельные распределения для полного числа частиц в популяции или числа частиц вблизи границы фронта.

6. Для моделей однородного и неоднородного симметричного ВСБ в случайной среде получены условия, при которых асимптотическое поведение усредненных по среде моментов совпадает для обеих моделей. Показано, что таким условиям удовлетворяют ВСБ со случайным потенциалом, для

которого логарифм распределения "правого хвоста" асимптотически эквивалентен логарифму распределения Гумбеля и Вейбулла.

Методы исследования. В диссертации используются методы теории вероятностей и случайных процессов, методы теории дифференциальных уравнений и неравенств в банаховых пространствах, методы спектральной теории, методы анализа тригонометрических рядов со знакопостоянными коэффициентами, а также методы асимптотического анализа рядов и интегралов, в частности, тауберовы теоремы, метод перевала и метод интегралов Лапласа.

Автором разработан оригинальный метод оценки скорости роста преобразования Фурье переходных интенсивностей случайного блуждания с "тяжелыми хвостами", метод анализа резольвенты разностного лапласиана при больших уклонениях для простого случайного блуждания при произвольных значениях параметра, а также предложена общая схема исследования функций Грина переходных вероятностей при больших уклонениях для симметричного случайного блуждания.

Теоретическая и практическая ценность. Работа имеет теоретический характер. Результаты и разработанные автором методы, изложенные в диссертации, могут быть использованы специалистами в области теории вероятностей, случайных процессов, статистической физики, химической кинетики и уже применяются авторами, работающими в Московском государственном университете (МГУ) имени М.В. Ломоносова, в Математическом институте имени В.А. Стеклова РАН и других научных центрах.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались

• на Большом семинаре кафедры теории вероятностей механико-математического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова в 2005-2012 гг. (руководитель — академик РАН А.Н. Ширяев);

• на Ломоносовских чтениях в МГУ имени М.В. Ломоносова в 2010, 2011 гг.;

• на семинаре отдела дискретной математики Математического институ-

та имени В.А. Стеклова РАН (руководители — член-корреспондент РАН Б.А. Севастьянов, профессора, доктора физ-мат. наук A.M. Зубков, В.П. Чистяков, В.А. Ватутин) в 2003 г.

По теме диссертации автором сделаны доклады на следующих конферен-

Международная конференция "Колмогоров и современная математика", Москва, 2003;

Международная конференция "Ветвящиеся процессы в случайной среде" Франкфурт-на-Майне, Германия, 2004;

25-й и 26-й Международные семинары по проблемам устойчивости стохастических моделей, Салерно, Италия, 2005 и Нахария, Израиль, 2007; 7-я Международная петрозаводская конференция "Вероятностные методы в дискретной математике", Петрозаводск, Россия, 2008; Международный симпозиум по прикладной вероятности (IWAP 2008), Компьен, Франция;

Международная барселонская конференция по асимптотической статистике, Белатерра, Испания, 2008;

3-й Международный симпозиум "Марковские и полумарковские модели. Теория и приложения", Кальяри, Италия, 2009;

Международная конференция "Современные проблемы математики, механики и их приложений", посвященная 70-летию ректора МГУ имени М.В. Ломоносова академика В.А. Садовничего, Москва, Россия, 2009; 6-й Санкт-Петербургский симпозиум по моделированию, 2009; 6-я Международная конференция "Математические методы в теории надежности" (MMR 2009), Москва, Россия;

Российско-японский симпозиум "Стохастический анализ современных статистических моделей" Москва, Россия, 2009;

Международная конференция "Стохастические методы моделирования и

анализ данных" (БМТОА 2010), Ханья, Греция, 2010;

• 10-я Вильнюсская международная конференция по теории вероятностей и математической статистике, Вильнюс, Литва, 2010;

• 5-й Международный симпозиум по прикладной вероятности, Кольменаре-хо, Испания, 2010;

• Международный симпозиум "Стохастика и ее видение", Москва, Россия, 2010;

• Международные конференции "Прикладные стохастические модели и анализ данных" (АБМБА 2007), Ханья, Греция, (А8МБА-2009), Вильнюс, Литва и (А8МБА 2011), Рим, Италия;

• Международный симпозиум "Ветвящиеся и относящиеся к ним процессы" Люмини, Франция, 2011;

• Франкфуртский семинар и рабочее совещание по случайным дискретным структурам, Франкфурт-на-Майне, Германия, 2011;

• Международная конференция "Марковские, полумарковские процессы и относящиеся к ним области" (МЗМРИР 2011), Порто Каррас, Греция;

• Международный симпозиум по ветвящимся процессам и их приложениям, Бадахос, Испания, 2012;

• 12-я и 15-я Международные летние конференции по вероятности и статистике (18СР8, 2006), Созополь, Болгария и (ГЗСРЗ, 2012) Поморье, Болгария;

• Международная конференция "Теория вероятностей и ее приложения", посвященная 100-летию со дня рождения Б.В. Гнеденко. Москва, Россия, 2012;

• 8-ой Международный конгресс по вероятности и статистике, Турция, Стамбул, 2012.

Тезисы всех докладов опубликованы в сборниках тезисов соответствующих конференций.

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 28-и печатных работах, список которых приведен в конце автореферата. Из них одна монография, 11 статей входят в официальный перечень ВАК, 16 статей опубликованы в рецензируемых отечественных и зарубежных изданиях, 7 из которых включены в международные системы цитирования.

Личный вклад автора. Все представленные в диссертации результаты и основные положения, выносимые на защиту, получены лично автором. Из 28-и работ, опубликованных по теме диссертации, 21 выполнена без соавторов.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 5-и глав и библиографии. Общий объем диссертации 296 страниц, включая 6 рисунков и 2 таблицы. Библиография содержит 112 наименований.

Содержание работы

В главе 1 рассматривается симметричное ветвящееся случайное блуждание (ВСБ) с непрерывным временем по ¿-мерной целочисленной решетке в предположении, что ветвление происходит в единственной точке — источнике. Для простого симметричного ветвящегося случайного блуждания такая модель была введена автором диссертации [54]. Исследуется эволюция системы частиц, состояние которой описывается числом частиц ¡it{y) в момент времени t в каждой точке у € Zd,B предположении, что в начальный момент времени система состоит из одной частицы, находящейся в некоторой точке х. Частицы совершают случайное блуждание по решетке Zd, причем в одной из точек решетки xq, источнике, частицы могут размножаться и гибнуть. Каждая из новых частиц эволюционирует по тому же закону, независимо от остальных частиц и от всей предыстории. Лежащее в основе процесса случайное блуждание частиц определяется матрицей переходных интенсивностей А = (а{х, y))x^y£zd и предполагается однородным по пространству, регулярным, симметричным, неприводимым и обладающим конечной дисперсией скачков.

Механизм ветвления в источнике задается процессом Гальтона-Ватсона с непрерывным временем, определяемым инфинитезимальной производящей функцией /(и) = Х^о^п'м" с неотрицательными при п > 1 коэффициентами Ьп, удовлетворяющими условию Х^о^ ~ Предполагается, что число потомков частицы имеет конечные моменты всех порядков.

Основными объектами исследования являются численности частиц ^(у) и й = ^у&ъ3- в произвольной точке и на всей решетке, их целочисленные моменты тпп(Ь,х,у) = Ех${у) и тп(£,л:) = Е^", вероятности (¿(1,х,у) = Рж{ан(у) > 0} наличия частиц в произвольной точке у 6 Я/*, а также вероятности (¿(1,х) = Рх{& > 0} выживания популяции частиц на всей решетке при старте процесса из произвольной точки х €

Эволюцию переходных вероятностей, моментов и вероятностей продолжения процесса удобно описывать дифференциальными уравнениями в банаховом пространстве. При таком подходе исследование ВСБ разбивается на три этапа:

• на первом этапе эволюционные уравнения для переходных вероятностей и моментов численностей частиц представляются как линейные дифференциальные уравнения в банаховых пространствах,

• на втором этапе в силу линейности полученных уравнений исследование асимптотического поведения решений при £ —оо сводится к изучению спектра операторов в правых частях соответствующих уравнений,

• на третьем этапе анализ структуры спектра эволюционных операторов позволяет выявить фазовые переходы в асимптотическом поведении моментов численностей частиц как в произвольной точке, так и на всей ре-

шетке.

Для моментов тп^,х,у) и тп(£,ж) мы получаем уравнения вида

(1)

с начальными условиями гап(0, -,у) = ду(-) и тп{0, •) = 1, соответственно. Здесь Ж = $1 + РЩ, где Р := /'(1),и

Выражение Жшк обозначает Жт^ї, ?/) или Жт•), а функция задается некоторым рекуррентным соотношением. Линейные операторы огра-

ничены в каждом из пространств 1Р{ЪЛ), при этом выбор пространства диктуется рассматриваемой задачей. Например, при анализе моментов тп(£,ж, у), удовлетворяющих "точечному" начальному условию тп{0, •, у) = 6У(-), такими пространствами являются Р(ЪЛ) при 1 ^ р < со. При анализе моментов тп(£, х), удовлетворяющих "распределенному" начальному условию тп{0, х) = 1, единственным возможным пространством оказывается

Фундаментальную роль при исследовании ВСБ играет преобразование Лапласа переходной вероятности р(і, х, у) случайного блуждания

оо

Рг(0, у-х)

йв,

А - Ф(в)

Ох(х,у) := |е Х1р(^х,у)<И =

О [-7Г,7Г]<*

где ф{9) — преобразование Фурье функции а(-). Функция С?д(-, •) называется функцией Грина случайного блуждания. Положим Сд = Од(0,0). Величина Со (среднее число возвращений в точку старта процесса) конечна только для размерностей ^ 3. Следовательно, случайное блуждание транзиентно при й ^ 3, и возвратно при б, = 1,2. Значение рс := 1/<7о параметра (3 является критическим в том смысле, что при /3 > (Зс У оператора Ж имеется единственное собственное значение Ао > 0, которое определяется из уравнения = 1. В случае Р = Рс корень Ао = 0 уравнения /3(7д = 1 является собственным значением оператора Ж лишь при с? ^ 5.

В теореме 1.2.1 приводится классификация асимптотического поведения моментов в зависимости от параметра Р и размерности решетки, показывающая что в размерностях й = 1,2 критический режим имеет место, когда у

частицы в источнике появляется в среднем один потомок, что совпадает с определением критичности ветвящегося процесса Гальтона-Ватсона с непрерывным временем. В силу свойств функции Грина критическое значение ßc возрастает с увеличением размерности d. Этот факт тесно связан с "усилением" свойства невозвратности случайного блуждания при росте размерности решетки Ъл в случае d > 3. Как следствие, с ростом размерности решетки надкритический режим возникает при все большей интенсивности источника, т.е. для его возникновения среднее число потомков одной частицы в источнике должно увеличиваться. Докритический режим в старших размерностях (d ^ 3) возможен даже при полном отсутствии гибели частиц в источнике. В надкритическом случае согласно теореме 1.2.2 случайные величины ßt{y) и fa имеют предельные распределения:

lim fa{y) e"Xot = A0GAo(0, у)£, lim fa e"Aot =

t—>oo i—ЮО

где £ — некоторая невырожденная случайная величина, а пределы следует понимать в смысле сходимости моментов.

В заключительной части раздела 1.2 исследуются фазовые переходы в ВСБ. В теоремах 1.2.3 и 1.2.4 установлено предельное поведение производящих функций и вероятностей продолжения процесса на решетке. В теореме 1.2.5 найдены явные асимптотические выражения для вероятностей наличия частиц в произвольной точке в критическом случае, а в теоремах 1.2.6-1.2.10 — предельные распределения для размера популяции частиц в критическом и докри-тическом случае при различных предположениях о точке старта процесса и для различных размерностей.

В разделе 1.3 мы отказываемся от предположения о конечности дисперсии скачков и предполагаем, что элементы a(z) матрицы интенсивностей имеют на бесконечности "тяжелые хвосты", т.е. убывают достаточно медленно — как \z\~(d+a\ где а € (0,2). При выполнении данного условия дисперсия скачков становится бесконечной. По теореме 1.3.1 преобразование Фурье ф{в) функции

а(-) в этом случае имеет неквадратичный рост в нулевой точке максимума, в отличие от случая с конечной дисперсией скачков. Это оказывается определяющим при доказательстве критерия возвратности, установленного в теореме 1.3.2 и утверждающего, что случайное блуждание в случае "тяжелых хвостов" невозвратно при d = 1 для каждого 0 < а < 1 и при d ^ 2 для каждого О < а < 2.

Как показывается в теореме 1.2.2, при выполнении условия конечности дисперсии скачков критерием экспоненциального роста численностей частиц является неравенство ß > ßc. Аналогичный результат для ВСБ с тяжелыми хвостами вытекает из теоремы 1.3.3. Другим следствием теорем 1.3.2 и 1.3.3 является тот факт, что утверждения, полученные в теоремах 1.2.1 и 1.2.2 для ВСБ с конечной дисперсией скачков, справедливы для ВСБ с тяжелыми хвостами. Таким образом, основной эффект для ВСБ с тяжелыми хвостами заключается в существовании нетривиального критического значения ßc > 0 уже в низких размерностях d = 1,2. Это отличает такие ВСБ от ВСБ с конечной дисперсией скачков, для которых нетривиальное критическое значение ßc > 0 существует только в размерностях d ^ 3.

В главе 2 мы переходим к анализу несимметричных ВСБ с конечным числом источников. Отметим, что в гл. 1 для анализа ВСБ с единственным источником ветвления была предложена схема исследования, основанная на трактовке эволюционных уравнений для моментов численностей частиц как уравнений в банаховых пространствах. Цель настоящей главы — распространить эту схему исследования на модели ВСБ с конечным числом источников ветвления и показать, что основные принципиальные сложности при изучении спектра возникающих линейных операторов могут быть конструктивно преодолены. Особый интерес представляет второй этап предложенной схемы, поскольку первый и третий этапы при переходе к случаю с несколькими источниками не претерпевают существенных изменений. В модели с несколькими источниками ветвления существенным оказывается то обстоятельство, что различные источники могут

оказывать различное влияние на процесс. В связи с этим предполагается, что источники ветвления могут быть трех типов:

• в источниках первого типа гибель и размножение частиц происходит без нарушения симметричности случайного блуждания,

• в источниках второго типа нарушается симметричность блуждания за счет введения дополнительного параметра, усиливающего степень преобладания ветвления или блуждания в источнике,

• наконец, в источниках третьего типа нарушается лишь симметричность блуждания (без размножения или гибели частиц) — такие источники правильнее было бы назвать "псевдо-источниками".

ВСБ с г источниками первого, к источниками второго и т источниками третьего типа обозначаются ВСБ/г/к/т. В разделе 2.1 рассмотрена простейшая модель такого рода — В СБ/О/1/0, в которой нарушение симметрии блуждания происходит в одном источнике. Формальное описание общей модели ВСБ/г/к/т дается в разделе 2.2.

Модель ВСБ/1/0/0, являющаяся ничем иным как симметричным ВСБ с одним источником, была исследована в гл. 1, где для нее были установлены условия экспоненциального роста численностей частиц как в произвольном узле, так и на всей решетке. Такой характер роста численностей частиц определялся наличием изолированного положительного собственного значения в спектре оператора, описывающего эволюцию средних численностей частиц. Данный анализ существенно опирался на тот факт, что соответствующий эволюционный оператор Ж допускал представление в виде суммы ограниченного самосопряженного оператора sd и вполне непрерывного оператора рЩ (одноточечное возмущение). Необходимые и достаточные условия, при которых подобного рода возмущения приводят к появлению изолированного положительного собственного значения в структуре спектра эволюционного оператора, не меняя при этом его существенного спектра, указаны в разделе 5.1.

В моделях ВСБ/r/fc/ra с конечным числом источников возникают более сложные (многоточечные) возмущения генератора симметричного случайного блуждания Ы, имеющие вид

У = * + Е + Е (3)

i 3

где si — это симметрический оператор, % = 6Х5J, а 6Х = <5X(*) обозначает вектор-столбец на решетке, принимающий единичное значение в точке х и нули в остальных точках, и правая часть в (3) содержит конечное число слагаемых. В каждом из множеств U = и V = {vj} точки попарно различны, но сами множества U и ¥ могут иметь непустое пересечение. Точки множества V \ U отвечают г источникам первого типа в рассматриваемой вероятностной модели, точки множестваUnY — к источникам второго типа, а точки множества U\ V — га источникам третьего типа.

В разделе 2.1 исследуется простейший тип несимметричного ВСБ/0/1/0 с нарушением симметрии блуждания в источнике xq = 0 вида

а(у, 0) = а(у) Ф 3(0, у) = -(1 - а 6 (0,1),

и ветвление задается инфинитезимальной производящей функцией

оо

f{u) = a^2bnun

п=0

и Д := /'(1). В этом разделе черта над функцией обозначает, что рассматриваемая функция относится к ВСБ/0/1/0.

В ВСБ/0/1/0, так же как и в ВСБ/1/0/0, существенным свойством является монотонность переходной вероятности p(t) = p(t, 0,0). Однако оператор

Ш = а + ((а - 1)а_1(0) - 1) %st

при а ф а(0) + 1, где 0 < а < 1, уже не является самосопряженным, а для его матрицы не выполняется свойство однородности (в отличие от матрицы

оператора stf), что затрудняет исследование. Тем не менее, и в ВСБ/0/1/0 для решения задачи Коши

§ = р(0) = 60.

справедливо свойство монотонности, сформулированное в теореме 2.1.1 и доказанное в гл. 5. В теореме 2.1.2 показывется, что рекуррентные уравнения для моментов численностей частиц в ВСБ/0/1/0, получаются из уравнений (1), (2) заменой оператора Ж на Ж = sä + Применение теоремы 2.1.2 позволяет получить один из основных результатов гл. 2 — теорему 2.1.3, согласно которой эволюция средних численностей частиц в ВСБ/0/1/0 определяется структурой спектра оператора Ж. Из теоремы 2.1.3 вытекает, в частности, что ВСБ/0/1/0 является надкритическим, если оператор Ж обладает хотя бы одним положительным собственным значением (теорема 2.1.4). Для надкритического ВСБ/0/1/0 справедливы соотношения mn(t,x,y) ~ Cn(x,y)enXt, где Л — положительное собственное значение оператора Ж (единственное в данном случае), коэффициенты Сп(х,у) вычисляются с помощью явных рекуррентных соотношений (теорема 2.1.5). Аналогичное соотношение mn(t,x) ~ Cn(x)enXt для общей численности частиц устанавливается в теореме 2.1.6. Из этих теорем с использованием метода моментов выводится основной результат для ВСБ/0/1/0, аналогичный теореме 1.2.2, — теорема 2.1.7, показывающая, что случайные величины ¡it{y) и ßt имеют предельные распределения:

lim ßt(y) е~м = £фї{у), lim Щ e~xt =

f—> OO t—>00

где ^д (у) — некоторая явно определяемая функция, £ — невырожденная случайная величина, а пределы понимаются в смысле сходимости моментов.

В разделе 2.2 изучается ВСБ/г/fc/m, в основе которого лежат три "базовые" модели ВСБ с одним источником - ВСБ/1/0/0, ВСБ/0/1/0 и ВСБ/0/0/1. Важную роль при исследовании несамосопряженных операторов (3), возникающих в эволюционных уравнениях для первых моментов численностей частиц

в ВСБ/г/А;/т, играет теорема 2.2.1 о "симметризации", сводящая задачу к анализу самосопряженных операторов.

Исследование спектра оператора У осложняется тем фактом, что этот оператор действует в бесконечномерном пространстве. В теореме 2.2.3 анализ собственных значений оператора У сводится к некоторой конструктивно определяемой конечномерной задаче. В разделе 2.3 для иллюстрации применения общей схемы нахождения условий существования изолированных собственных значений оператора вытекающей из теоремы 2.2.3, рассмотрены примеры ВСБ с двумя источниками, для которых удается получить явные уравнения для положительных собственных значений оператора Найдены условия существования как одного, так и двух положительных собственных значений в ВСБ/2/0/0. В надкритическом случае выявлены фазовые переходы в поведении ВСБ в зависимости от числа положительных собственных значений в спектре оператора У.

В главе 3 проводится резольвентный анализ решетчатого лапласиана — генератора простого случайного блуждания на «¿-мерной целочисленной решетке для больших уклонений случайного блуждания. Такого рода анализ представляет интерес в связи с тем, что позволяет получить асимптотические представления для переходной вероятности простого случайного блуждания при совместном росте пространственных координат и времени, а также соответствующей ей функции Грина С\(х, у) при произвольном неотрицательном значении параметра Л и \у — х\ —>• оо.

Особенность теорем об асимптотическом поведении переходных вероятностей случайного блуждания, используемых в предыдущих главах, заключается в том, что все они устанавливают асимптотики по времени как функции фиксированных пространственных переменных. Эти результаты оказываются малопригодными при исследовании больших уклонений для ВСБ, поскольку в этом случае необходимы единые "пространственно-временные" асимптотики переходных вероятностей. Получению утверждений такого рода и посвящена на-

стоящая глава. При этом асимптотическое поведение переходных вероятностей при совместном росте как пространственной, так и временной переменной удается описать с помощью явных формул. В частности, оно позволяет ввести шкалу изменения переходной вероятности при изменении времени I и пространственной переменной, принимающей значения порядка при различных значениях а ^ 0. Доказаны предельные теоремы об асимптотическом поведении функции Грина переходных вероятностей при больших уклонениях для случайного блуждания, лежащего в основе ВСБ.

В ряде работ по теории перемежаемости [74, 82, 83] важную роль играет структура спектра решетчатого лапласиана А на Ъл с одноточечным потенциалом. Положим

Щ = + ¡3%, х > О,

где

(ДгО(*):= £ МО-«(*)).

Полагая £й = хД, из результатов гл. 1 получаем, что

/

Рс =

1

(2тг У

йв

(4)

(-хД(0)) \ [-М* /

где

Д(0) = -2^(1" сов*,), в = (0Ь..., ад.

При й ^ 3 интеграл в (4) конечен, т.е. /?с > 0, а при <¿=1,2 интеграл в (4) равен бесконечности, и поэтому ¡Зс = 0. При /3 > (Зс у оператора Щ имеется изолированное собственное значение Ло > 0, а при ¡3 < /Зс спектр оператора Жі не имеет неотрицательных собственных значений и совпадает со спектром оператора Д. При ¡3 = ¡Зс ситуация зависит от размерности <1. При <1 ^ 4 правый край спектра оператора Д не является собственным значением, начиная же с размерности с? = 5, правый край спектра ст(Д) становится собственным значением оператора Жі.

Как показано в предыдущих главах, а также в работе М. Кренстона и С. Молчанова [78], спектральная бифуркация оператора Ж\ ответственна за фазовые переходы в моделях ВСБ и гомополимеров. При больших уклонениях ВСБ техника, предложенная в цитируемых выше работах, или не работает вообще или по меньшей мере очень сложна. В работе Р. Кармоны, Л. Коралова, С. Молчанова и Б. Вайнберга [77] был предложен новый подход к таким задачам, основанный на резольвентном анализе эволюционного оператора. Однако эта работа не охватывает ВСБ по с эволюционным оператором Щ средних численностей частиц при больших уклонениях. Для исследования спектра Ж1 требуется информация о переходных вероятностях и резольвенте оператора хД.

Таким образом, цель гл. 3 — провести анализ резольвенты оператора хА при больших уклонениях случайного блуждания. Примечательно, что в этом случае для переходной вероятности р^,х,у) и соответствующей ей функции Грина С\{х,у) в теореме 3.1.2 удается получить явные асимптотические выражения. Основная трудность в доказательстве этой теоремы преодолевается в теореме 3.1.1, относящейся к случаю (1=1, т.к. при (1 > 1 переходная вероятность р(Ь,х,у) является произведением одномерных переходных вероятностей.

С помощью полученного в теореме 3.1.2 разложения для р(Ь,х,у) в теоремах 3.1.3-3.1.5 при различных значениях а ^ 0 устанавливается шкала изменения переходной вероятности х, у) при совместном росте как времени ¿, так и пространственных переменных х и у, норма разности которых \у — х\ принимает значения порядка Ьа.

Наиболее важная часть главы состоит в исследовании функции Грина решетчатого лапласиана, тесно связанного со спектральными свойствами оператора Ж1. Одними из основных результатов является теорема 3.2.2, дающая описание функции Грина С\(х,у) для каждого фиксированного Л > 0 при \у — х\ —У оо, а также теорема 3.2.3, описывающая случай Л -> 0. Отметим, что теорема 3.2.3 не является прямым следствием теоремы 3.2.2, хотя при ее доказательстве используются те же идеи. В случае Л = 0 теорему 3.2.2 дополняет

анализ поведения функции Go{x, у) при \у — х\ —> оо, проведенный в теореме 3.2.4. Для случая d = 3 аналогичный результат иным методом доказан в работе Е.Б. Дынкина и A.A. Юшкевича [22]. Для произвольного d и оператора более общего вида исследование асимптотики соответствующей функции Грина Go{x^y) проводилось также в работе К. Ушиямы [97].

В разделе 3.3 приводятся примеры применения теорем 3.1.2 и 3.2.2 для анализа больших уклонений в модели ВСБ/г/0/0 с эволюционным оператором

г 5=1

Как следует из теорем 2.2.2 и 2.2.3, спектр оператора Ч/ в пространстве l2(Zd) состоит из двух компонент — абсолютно непрерывного спектра, совпадающего с отрезком [—2,0], и точечного спектра сг.(|0, содержащего не более чем г неотрицательных собственных значений. Следующие факты являются обобщением аналогичных фактов из гл. 1 для случая с одним источником и гл. 2 для случая с несколькими источниками.

Если £¿ = 1,2 (возвратный случай), то cr.(f^) ^ 0 для каждого ß > 0. В частности, существует простое старшее собственное значение \o(ß) > 0 с отвечающей ему собственной функцией ipo(x,ß) > 0.

Если d ^ 3, то существует спектральная бифуркация, т.е. может быть найдено такое значение ßc > 0, что cr.fä) = 0 при ß < ßc (в этом случае имеется только абсолютно непрерывный спектр), а при ß > ßc существует собственное значение Xo(ß) > 0 с собственной функцией фо(х, ß) > 0.

Если £¿ ^ 3 и ß = ßc, то в случае <¿ = 3,4 имеем cr.(f^) = 0, но при d ^ 5 существует Xo(ßc) = 0.

В случае £¿ = 1,2 при надлежащем ßi>0vi0<ß<ßi дискретный спектр содержит только одно собственное значение Ао(/3) > 0.

Если £¿ ^ 3 и ßc < ß < ßi, то опять при подходящем выборе ßi получаем, что card<7.(fif) = 1. Отметим, что при d = 1,2 критическим значением называется ßc = 0. Для достаточно больших ß во всех размерностях card = г.

В теореме 3.3.1 установлена асимптотика собственной функции фо(х,/3) оператора Ч/ при ¡Зс < /3 < /3\. Найденное выражение может быть использовано, в частности, для получения асимптотического представления для средней плотности популяции

mi(i, О, у) = е^Мфо (у, Р)М0, Р) + 0{ 1).

Если /3 —> /Зс при d ^ 3 или /? О при d = 1,2, то правая часть в выражении для фо(х,/3) имеет вид

ф0(х,(3) = 0Фо(О,0)Ош(О,х) х e-V^M(i+o(i>).

Эта формула показывает, что при малых Л функция Грина Сд(0, х) имеет такую же асимптотику [77] как и функция Грина непрерывного лапласиана в Rd.

Другим применением теорем 3.1.2 и 3.2.2 является анализ так называемого фронта популяции. Предположим, что pi(0,0,y) — ôo(y) и /Зс < ¡3 < /3\. Множество

Tt = {у: Е0 /ф, 0, у) = mi(t, О, у) ^ С}

назовем фронтом популяции. Если 1п(7л(0,2/) ~ — \у\г\,н {у/\у\) при \у\ —> оо, то согласно теореме 3.3.2 фронт популяции приближенно имеет следующий вид:

г. = {у : (|5f) > Л°(/5)} •

Глава завершается разделом 3.4, в котором описана детальная схема исследования функции Грина G\(x,y) в случае произвольного симметричного случайного блуждания, порождаемого оператором sâ.

В главе 4 проводится сравнение двух моделей ВСБ в случайных средах. В первой из этих моделей размножение и гибель частиц могут происходить в каждом узле решетки, и поэтому такую ветвящуюся среду будем называть пространственно однородной. Во второй модели на решетке выделяется конечное множество центров генерации частиц, т.е. ветвящаяся среда — пространственно неоднородна. В отличие от предыдущих глав интенсивности размножения и гибели частиц предполагаются случайными.

Большое внимание в теории случайных сред, в особенности в контексте проблемы локализации [75], уделяется исследованию спектральных свойств оператора Андерсона, представимого в виде суммы разностного лапласиана и случайного потенциала, определяемого случайной ветвящейся средой. Операторы такого вида естественным образом возникают при описании ВСБ в случайных средах. Например, для пространственно однородного ВСБ с непрерывным временем, в котором движение частиц на Ъл задается простым симметричным случайным блужданием, эволюция средних численностей частиц в произвольной точке решетки, а также на всей решетке описывается оператором яА+Y2,xezd Отметим, что в этом случае ожидаемая общая численность

частиц (т.е. момент первого порядка для размера популяции) удовлетворяет задаче Коши для оператора Андерсона со случайным потенциалом:

Известно [82, 83, 90, 91, 112], что эволюция поля т^^х) приводит к формированию нерегулярных пространственно-временных структур, характеризующихся образованием редких высоких пиков. Этот феномен носит название "перемежаемость". Изучение перемежаемости [82, 83, 90, 91] основано на асимптотическом анализе моментов (шх), полученных усреднением случайного момента тх по всем пространственным реализациям, где угловые скобки {•) в гл. 4 обозначают математическое ожидание относительно случайной среды. Перемежаемость проявляется в аномально быстром росте моментов {т\) относительно порядка р при £ —» оо. Например [82, 83, 90, 91], второй момент растет быстрее, чем квадрат первого момента, четвертый момент ведет себя так же по отношению к квадрату второго момента и так далее:

(m?) » <mi)2, <т?) > (mi)(m?>,..., (т2п) » (тп)2, (т3п) » {тп){т2п),

В [67] рассмотрен случай, когда потенциал У{х) имеет вейбулловский правый "хвост". Для этого случая были вычислены ляпуновские экспоненты для момен-

тов всех целочисленных порядков р.

Один из основных результатов главы заключается в получении условий, при которых асимптотическое поведение моментов (щР) совпадает в обеих моделях как для численностей частиц в каждом узле решетки, так и для общей численности частиц на всей решетке. Показано, что эти условия выполняются для случайных потенциалов, имеющих "достаточно легкий правый хвост"; таким условиям удовлетворяют, например, распределения Гумбеля и Вейбулла и, как следствие, нормальное распределение.

В разделе 4.1 приводится формальное описание моделей ВСБ в однородной и неоднородной случайной среде для симметричного случайного блуждания, которое задается генератором sd, и ставятся задачи Коши для случайных моментов ВСБ в однородных и неоднородных случайных средах с различными начальными условиями.

Предположим, что ветвящаяся случайная среда формируется парами неотрицательных случайных величин

определенными на вероятностном пространстве (Q, Р). Элементарный исход и € Q представляет собой реализацию поля £(•). В частности, мы предполагаем, что ü = (R+)zd. Предполагается, что случайное поле £ пространственно однородно, т.е. распределение Р поля инвариантно относительно сдвигов х х -f h при всех х, h €

Введем на Zd случайное поле V(x) := — называемое потен-

циалом. Тогда моменты mn(t,x,y), mn(t,x) удовлетворяют цепочке линейных (неоднородных) дифференциальных уравнений, которые удобно представить как уравнения в банаховом пространстве:

= ämn + I V{x)%. ) тп -f i J дп{тъ..., mn_i),

\i6Zd / \x€Zd J

где n = 1,2,..., с начальными условиями тп(0, •,у) = 6У(-) и тп(0, •) = 1, где

28

дг = 0 и дп{тп1,.. .,тп-\) := для п ^ 2. Отметим, что момен-

ты первого порядка (математические ожидания) удовлетворяют однородному уравнению в банаховом пространстве

вт\

dt

= stmi + f V(x> ) mi- (5)

\xeZd /

Эти уравнения получены в гл. 1 для оператора sd + описывающего эволюцию первого момента в неоднородной неслучайной среде. В неоднородной среде уравнение для моментов первого порядка принимает вид

^ = stm 1 + V(0, w)r0mi. (6)

В разделе 4.2 в теоремах 4.2.2 и 4.2.3 приводятся представления Фейн-мана-Каца для моментов первого порядка как для однородной, так и для неоднородной среды, а также матричные представления исследуемых операторов для размерности d = 1.

В разделе 4.3 установлены условия, при которых асимптотическое поведение моментов (тчисленностей частиц в произвольной точке и на всей решетке одинаково для ВСБ в пространственно однородной и неоднородной случайных средах. Если ((j^y)d) < где ln+:r := Ina; при х > е и ln+a; := 1 при х < е, и каждая из задач Коши (5) и (6) почти наверное относительно меры Р имеет единственное неотрицательное решение, то верна теорема 4.3.1, утверждающая, что условие

lim = 0 (7)

i-»oo In (в ) v

влечет соотношение Нт*_юо = 1 для всех п ^ 1 и р ^ 1. Теоремы 4.4.1

и 4.4.2 содержат примеры распределений случайного потенциала V, удовлетворяющих условию (7).

В главе 5 приведены факты теории функций и функционального анализа, использующиеся в предыдущих главах при исследовании ВСБ. Основные результаты — о спектральных свойствах разностных операторов, определенных

на многомерных целочисленных решетках, и о предельном поведении сверток функций являются новыми. Для удобства ссылок приводятся формулировки некоторых известных утверждений — тауберовых теорем, леммы Шура и др. Изложение не использует результаты предыдущих глав.

Раздел 5.1 посвящен линейным операторам в пространствах Необ-

ходимость такого раздела обусловлена тем, что в литературе не удалось найти цельного изложения всех требуемых утверждений в достаточно компактном объеме. Здесь даются определения основных операторов, используемых на протяжении всей работы — оператора % = проектирования на "координатный" вектор 6Х и симметричного оператора определяемого выражением

:= £ а{? - г')и(г'),

¿¿ЕЛ

где функция а(-) является абсолютно суммируемой и симметричной.

Ключевым является вопрос о том, как меняется спектр оператора £й при его "одноточечном" симметричном Ж = + или несимметричном — $ + СГ0а 4- /3% возмущении, а также при общем многоточечном возмущении

к т кг

V = ¿1 + £ + ]Г + ]Г 01%. + £ (8)

г=1 j=í г=1 8=1

в котором предполагается, что все точки {у^} и {ги5} различны.

Такого рода операторы естественным образом возникают в предыдущих главах в правых частях эволюционных уравнений для моментов численностей частиц при различных предположениях о ВСБ. Основной вопрос при этом — о структуре спектра соответствующих операторов. В ряде случаев соответствующие утверждения элементарны или известны и приводятся для удобства ссылок (теоремы 5.1.1-5.1.5 и некоторые другие). Одним из основных утверждений, доказанных и используемых в работе, является теорема 5.1.7 об условиях существования собственных значений оператора Ж. Обобщение приводимого утверждения дается в теореме 5.1.11.

Зависимость спектра оператора Ж от размерности решетки выясняется в теореме 5.1.8, а теорема 5.1.9 показывает, что собственный вектор оператора Ж является "знакопостоянным" во всех точках исключая начало координат.

В теореме 5.1.10 показано, что точки спектра несимметричного оператора = + (%& + не принадлежащие кругу {г 6 С : \г - а(0)| ^ |а(0)|}, если таковые существуют, являются собственными значениями конечной кратности. Более подробному анализу структуры спектра оператора V посвящена теорема 5.1,11.

Раздел 5.1 завершается анализом спектральных свойств многоточечных возмущений (8) оператора . Здесь показывается, что число Л £ сгявляется собственным значением оператора : 12{ЪЛ) —> 12{ЪЛ) в том и только том случае, когда некоторая конечномерная система линейных уравнений с явно определяемыми коэффициентами имеет нетривиальное решение. Полученные результаты применяются при доказательстве теоремы 2.2.3.

В разделе 5.2 напоминаются необходимые результаты теории дифференциальных уравнений и неравенств в банаховых пространствах, поскольку метод представления эволюционных уравнений для переходных вероятностей и моментов численностей частиц как дифференциальных уравнений в банаховых пространствах, используется на протяжении всех предыдущих глав. В теоремах 5.2.1-5.2.3 приводятся основные оценки скорости роста решений линейных уравнений. В теоремах 5.2.4-5.2.6 исследуются уравнения в банаховых пространствах, элементами которых являются линейные операторы, удовлетворяющие так называемому условию Шура. Описаны ситуации, в которых решения таких операторных уравнений обладают специального вида "симметрией", что используется в предыдущих главах при анализе В СБ.

В разделе 5.3 рассмотрен круг вопросов, связанных с анализом монотонности решений дифференциальных уравнений. Большая часть излагаемых конструкций является обобщением соответствующих постановок для уравнений в конечномерных пространствах и, более того, скалярных уравнений. Необходи-

мость данного раздела вызвана тем, что соответствующие результаты для уравнений в банаховых пространствах нуждаются в более аккуратных доказательствах. Соответствующие утверждения приводятся в теоремах о дифференциальных неравенствах 5.3.1-5.3.6, причем доказательство теоремы 5.3.3 приводится в виде, адаптированным для распространения его на случай бесконечномерных пространств. Традиционно утверждения, связанные с понятием монотонности, формулируются в терминах теории конусов [30, 33]. Мы отказались от такого подхода и привели координатные формулировки, чтобы не загромождать изложение несущественной техникой.

Специально остановимся еще на одном утверждении о монотонности решений, не следующем непосредственно из общих теорем о дифференциальных неравенствах. Представляет интерес вопрос, когда монотонным является не все решение х{Ь), а лишь некоторый функционал от этого решения, например, его норма. В теореме 5.3.7 подобного типа информация получена для решений линейного уравнения в гильбертовом пространстве Эта теорема дополняет теорему 5.2.3. Отметим, что в условиях теоремы 5.3.7 монотонность функций {х(£),у) при у ф я(0), вообще говоря, не имеет места. Отметим, что в теореме 5.3.7 вместо 12{7/) можно взять произвольное гильбертово пространство Е.

Заключительный раздел 5.4 посвящен анализу асимптотического поведения действительных функций. Традиционными инструментами такого анализа являются теоремы об асимптотике интеграла Лапласа и тауберовы теоремы, формулировки которых для удобства ссылок напоминаются в этом разделе. Однако, в ряде ситуаций, возникающих в предыдущих главах, этих теорем недостаточно. Поэтому в разделе 5.4.3 устанавливаются несколько технически более простых, но в то же время более удобных в контексте анализа ВСБ утверждений об асимптотическом поведении сверток так называемых степенно-логарифмических функций. Так, в теореме 5.4.4 находится асимптотика интеграла от степенно-логарифмической функции, а в теореме 5.4.5 (о свертках) устанавливается асимптотика свертки — йв степенно-логарифмических на

бесконечности функций (р({) ~ и х(^) ~ при различных

значениях параметров ¡л, ¡1, и, ь>. Утверждение теоремы о свертках дополняют теоремы 5.4.6-5.4.8 о поведении сверток функций в тех случаях, когда вместо асимптотики одной из функций <р(-) и %(•) известна лишь оценка скорости ее роста или убывания, либо же явная информация о скорости роста функций ср(-) и х(') вообще отсутствует.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Яровая, Елена Борисовна, 2013 год

Литература

1. Ахиезер Н. И., Глазман И. М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1966. 544 с.

2. Ахмеров Р. Р., Каменский М. И., Потапов А. С. и др. Меры некомпактности и уплотняющие операторы. М.: Наука, 1986. 264 с.

3. Бари Н. К. Тригонометрические ряды. М.: Физматгиз, 1961. 936 с.

4. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены. М.: Наука, 1966. 296 с.

5. Богачев JL В., Яровая Е. Б. Моментный анализ ветвящегося случайного блуждания на решетке с одним источником // Доклады Академии наук. 1998. Т. 363, № 4. С. 439-442.

6. Богачев JI. В., Яровая Е. Б. Предельная теорема для надкритического ветвящегося случайного блуждания на Zd с одним источником // Успехи математических наук. 1998. Т. 53, № 5(323). С. 229-230.

7. Богачев JI. В., Яровая Е. Б. О моментах ветвящегося случайного блуждания в случайной среде // Успехи матем. наук. 2000. Т. 55, № 5(335). С. 173-174. URL: http://dx.doi.org/10.1070/ rm2000v055n05ABEH000325.

8. Брейн Н. Г. Асимптотические методы в анализе. М.: ИЛ, 1961. 247 с.

9. Булинская Е. Вл. Каталитическое ветвящееся блуждание по двумерной решетке // Теория вероятн. и ее примен. 2010. Т. 55, № 1. С. 142-148.

10. Булинская Е. Вл. Предельные распределения численностей частиц в вет-

вящемся случайном блуждании // Математические заметки. 2011. Т. 90, № 6. С. 845-859.

11. Булинская Б. Вл. Предельные теоремы для локальных численностей частиц в ветвящемся случайном блуждании // Доклады Академии наук. 2012. Т. 444, № 6. С. 733-738.

12. Ватутин В., Топчий В. Предельная теорема для критических каталитических ветвящихся случайных блужданий // Теория вероятн. и ее примен. 2004. Vol. 49, по. 3. Р. 463-484.

13. Ватутин В., Топчий В. Каталитичекое ветвящееся случайное блуждание по Zd с одним источником ветвления // Мат. труды. 2011. Vol. 14, по. 2. Р. 28-72.

14. Ватутин В. А., Зубков А. М. Ветвящиеся процессы. I // Итоги науки и техники. Теория вероятн. Матем. статистика. Теор. кибернетика. М.: ВИНИТИ, 1985. Т. 23. С. 3-67.

15. Ватутин В. А., Топчий В. А., Ху Ю. Каталитическое ветвящееся случайное блуждание по решетке Z4 с ветвлением лишь в начале координат // Теория вероятн. и ее примен. 2011. Vol. 56, по. 2. Р. 224-227.

16. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967. 576 с.

17. Гихман И. И., Скороход А. В. Теория случайных процессов. М.: Наука, 1973. Т. И. 640 с.

18. Голицына А. Г., Молчанов С. А. Многомерная модель редких случайных рассеивателей // Доклады Академии наук. 1987. Vol. 294, по. 6. Р. 1302-1306.

19. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Основные положения о дефектных числах,

корневых числах и индексах линейных операторов // Успехи матем. наук. 1957. Т. 12, № 2 (74). С. 43-118.

20. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. 4-е изд. М.: Физматгиз, 1963. 1100 с.

21. Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1970. 534 с.

22. Дынкин Е. Б., Юшкевич А. А. Теоремы и задачи о процессах Маркова. М.: Наука, 1967. 231 с.

23. Зельдович Я. Б., Молчанов С. А., Рузмайкин А. А., Соколов Д. Д. Перемежаемость пассивных полей в случайных средах // Журн. эксперим. и теор. физ. 1985. Т. 6, № 12. С. 2061-2072.

24. Зельдович Я. Б., Молчанов С. А., Рузмайкин А. А., Соколов Д. Д. Перемежаемость в случайной среде // Успехи физ. наук. 1987. Т. 152, № 1. С. 3-32.

25. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. М.: Мир, 1965. Т. I. 616 с.

26. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972. 739 с.

27. Колмогоров А. Н., Петровский И. Г., Пискунов Н. С. Исследование уравнения диффузии, соединенной с возрастанием количества вещества, и его применение к одной биологической проблеме // Бюллетень МГУ. Сер. 1: Математика. Механика. 1937. № 1(6). С. 1-26.

28. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1981. 544 с.

29. Крамер Г. Об одной новой предельной теореме теории вероятностей // Успехи матем. наук. 1944. Т. 10. С. 166-178. URL: http: //mi. mathnet. ru/umn8797.

30. Красносельский М. А. Положительные решения операторных уравнений. М.: Физматгиз, 1962. 396 с.

31. Красносельский М. А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1966. 332 с.

32. Красносельский М. А., Забрейко П. П., Пустыльник Е. И., Соболевский П. Е. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. М.: Наука, 1966. 499 с.

33. Красносельский М. А., Лифшиц Е. А., Соболев А. В. Позитивные линейные системы: метод положительных операторов. М.: Наука, 1985. 256 с.

34. Лоэв М. Теория вероятностей. М.: ИЛ, 1962. 720 с.

35. Молчанов С. А., Яровая Е. Б. Ветвящиеся процессы с решетчатой пространственной динамикой и конечным множеством центров генерации частиц // Доклады Академии наук. 2012. Т. 446, № 3. С. 259-262.

36. Молчанов С. А., Яровая Е. Б. Предельные теоремы для функции Грина решетчатого лапласиана при больших уклонениях случайного блуждания // Изв. РАН. Сер. матем. 2012. Т. 76, № 6. С. 123-152.

37. Молчанов С. А., Яровая Е. Б. Структура популяции внутри распространяющегося фронта ветвящегося случайного блуждания с конечным числом центров генерации частиц // Доклады Академии наук. 2012. Т. 447, № 3. С. 265-268.

38. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. 2. Гармонический анализ. Самосопряженность. М.: Мир, 1978. 393 с.

39. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. 4. Анализ операторов. М.: Мир, 1982. 426 с.

40. Робертсон А., Робертсон В. Топологические векторные пространства. Библиотека сборника "Математика". М.: Мир, 1967. 261 с.

41. Севастьянов Б. А. Ветвящиеся случайные процессы для частиц, диффундирующих в ограниченной области с поглощающими границами // Теория вероятн. и ее примен. 1958. Т. 3, № 2. С. 121-136.

42. Севастьянов В. А. Ветвящиеся процессы. М.: Наука, 1971. 442 с.

43. Сенета Е. Правильно меняющиеся функции. М.: Наука, 1985. 144 с.

44. Спицер Ф. Принципы случайного блуждания. М.: Мир, 1969. 472 с.

45. Федорюк М. В. Асимптотика: Интегралы и ряды. М.: Наука, 1987. 544 с.

46. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. М.: Мир, 1984. Т. 2. 752 с.

47. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Физматгиз, 1963. Т. III. 656 с.

48. Функциональный анализ / Под ред. С. Г. Крейна. М.: Наука, 1972. 544 с.

49. Ширяев А. Н. Вероятность. В 2-х кн. 3-е изд. М.: МЦНМО, 2004. Кн. 1 — 520 е., Кн. 2 - 408 с.

50. Шубин М. А. Псевдоразностные операторы и их функция Грина // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1985. Т. 49, № 3. С. 652-671.

51. Якымив А. Л. Вероятностные приложения тауберовых теорем. М.: Физ-матлит, 2005. 256 с.

52. Яровая Е. Б. Процессы чистого размножения в случайной среде // Вестник Моск. ун-та. Сер. 1: Математика. Механика. 1989. № 1. С. 105-109.

53. Яровая Е. Б. Перемежаемость старших моментов в модели ветвящегося процесса с диффузией в случайной среде // Вестник Моск. ун-та. Сер. 1: Математика. Механика. 1990. № 4. С. 79-82.

54. Яровая Е. Б. Применение спектральных методов в изучении ветвящихся процессов с диффузией в некомпактном фазовом пространстве // Теоретическая и математическая физика. 1991. Т. 88, № 1. С. 25-30.

55. Яровая Е. Б. Предельная теорема для критического ветвящегося случайного блуждания на Z,d с одним источником // Успехи матем. наук. 2005. Т. 60, № 1. С. 175-176.

56. Яровая Е. Б. Ветвящиеся случайные блуждания в неоднородной среде. М.: Центр прикладных исследований при механико-математическом факультете МГУ, 2007. 104 с. ISBN: 978-5-211-05431-8.

57. Яровая Е. Б. Две модели ветвящегося случайного блуждания с одним источником по d-мерной целочисленной решетке // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2008. Т. 15, № 4. С. 765-766. URL: http://istina.imec.msu.ru/publications/article/2652391/.

58. Яровая E. Б. Критические ветвящиеся случайные блуждания по решеткам низких размерностей // Дискрета, матем. 2009. Т. 21, № 1. С. 117-138.

59. Яровая Е. Б. Об исследовании ветвящихся случайных блужданий по многомерным решеткам // Современные проблемы математики и механики. М.: Изд-во Моск. ун-та, 2009. Т. 4 из сер. "Теория вероятностей и математическая статистика". С. 119-136.

60. Яровая Е. Б. Критерии экспоненциального роста числа частиц в моделях ветвящихся случайных блужданий по Zd // Теория вероятн. и ее примен. 2010. Т. 55, № 3. С. 621-622.

61. Яровая Е. Б. Критерии экспоненциального роста числа частиц в моделях ветвящихся случайных блужданий // Теория вероятн. и ее примен. 2010. Т. 55, № 4. С. 705-731.

62. Яровая Е. Б. Модели ветвящихся блужданий и их применение в теории надежности // Автоматика и телемеханика. 2010. № 7. С. 29-46.

63. Яровая Е. Б. Монотонность вероятности возвращения в источник в моделях ветвящихся случайных блужданий // Вестник Моск. ун-та. Сер. 1: Математика. Механика. 2010. № 2. С. 44-47.

64. Яровая Е. Б. Симметричные ветвящиеся блуждания с тяжелыми хвостами // Современные проблемы математики и механики. М.: Изд-во Моск. ун-та, 2011. Т. 7 из сер. "Теория вероятностей и математическая статистика". С. 77-84.

65. Яровая Е. Б. Спектральные свойства эволюционных операторов в моделях ветвящихся блужданий с несколькими источниками ветвления // Математические заметки. 2012. Т. 92, № 1. С. 124-140.

66. Albeverio S., Bogachev L. V. Branching random walk in a catalytic medium. I. Basic equations // Positivity. 2000. Vol. 4, no. 1. P. 41-100. URL: http: //dx.doi.org/10.1023/A:1009818620550.

67. Albeverio S., Bogachev L. V., Molchanov S. A., Yarovaya E. B. Annealed moment Lyapunov exponents for a branching random walk in a homogeneous random branching environment // Markov Process. Related Fields. 2000. Vol. 6, no. 4. P. 473-516.

68. Albeverio S., Bogachev L. V., Yarovaya E. B. Asymptotics of branching symmetric random walk on the lattice with a single source // C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math. 1998. Vol. 326, no. 8. P. 975-980. URL: http: //dx.doi.org/10.1016/S0764-4442(98)80125-0.

69. Albeverio S., Bogachev L. V., Yarovaya E. B. Branching random walk with a single source // Communications in difference equations (Poznan, 1998). Amsterdam: Gordon and Breach, 2000. P. 9-19.

70. Athreya K. B., Ney P. E. Branching processes. New York: Springer-Verlag, 1972. xi+287 p. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 196.

71. Borovkov A., Borovkov K. Asymptotic Analysis of Random Walks. Heavy-Tailed Distributions. Cambridge: Cambridge University Press, 2008. 200 p.

72. Bulinskaya E. VI. Catalytic branching random walk on three-dimensional lattice // Theory Stoch. Proc. 2010. Vol. 16, no. 2. P. 23-32.

• 73. Bulinskaya E. VI. Local particles numbers in critical branching random walk // J. Theor. Probab. 2012. —August.

74. Carmona R., Koralov L., Molchanov S. Asymptotics for the almost sure Lya-punov exponent for the solution of the parabolic Anderson problem // Random Oper. Stochastic Equations. 2001. Vol. 9, no. 1. P. 77-86. URL: http://dx.doi.org/10.1515/rose.2001.9.1.77.

75. Carmona R., Lacroix J. Spectral theory of random Schrodinger operators. Probability and its Applications. Boston, MA: Birkhâuser Boston Inc., 1990. xxvi+587 p. ISBN: 0-8176-3486-X. URL: http://dx.doi.org/10.1007/ 978-1-4612-4488-2.

76. Cramér H. Sur un nouveau théorème-limite de la théorie des probabilités // Actualités Scientifiques et Industrielles. 1938. Vol. 736. P. 5-23. Colloque Consecré à la Théorie des Probabilités 3. Hermann, Paris.

77. Cranston M., Koralov L., Molchanov S., Vainberg B. Continuous model for homopolymers //J. Funct. Anal. 2009. Vol. 256, no. 8. P. 2656-2696.

78. Cranston M., Molchanov S. On phase transitions and limit theorems for homopolymers // Probability and mathematical physics. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2007. Vol. 42 of CRM Proc. Lecture Notes. P. 97-112.

79. Dawson D. A., Fleischmann К. A super-Brownian motion with a single point catalyst // Stochastic Process. Appl. 1994. Vol. 49, no. 1. P. 3-40. URL: http://dx.doi.org/10.1016/0304-4149(94)90110-4.

80. Dawson D. A., Fleischmann К., Le Gall J.-F. Super-Brownian motions in catalytic media // Branching processes (Varna, 1993). New York: Springer, 1995. Vol. 99 of Lecture Notes in Statist. P. 122-134.

81. Fleischmann К., Le Gall J.-F. A New Approach to the Single Point Catalytic Super-Brownian Motion // Probab. Theory and Relat. Fields. 1995. Vol. 102, no. 1. P. 63-82.

82. Gärtner J., Molchanov S. A. Parabolic problems for the Anderson model. I. Intermittency and related topics // Comm. Math. Phys. 1990. Vol. 132, no. 3. P. 613-655. URL: http: //projecteuclid. org/getRecord?id=euclid. cmp/ 1104201232.

83. Gärtner J;, Molchanov S. A. Parabolic problems for the Anderson model. II. Second-order asymptotics and structure of high peaks // Probab. Theory Related Fields. 1998. Vol. Ill, no. 1. P. 17-55. URL: http://dx.doi.org/10. 1007/S004400050161. '

84. Gärtner J., W. K., Molchanov S. A. Geometric characterization of intermittency in the parabolic Anderson model // Ann. Probab. 2007. Vol. 35, no. 2. P. 439-499.

85. Greven A., den Hollander F. Branching Random Walk in Random Environment: Phase TYansition for Local and Global Growth Rates // Probab. Theory and Relat. Fields. 1992. Vol. 91, no. 2. P. 195-249.

86. Jagers P. Branching processes with biological applications. London: Wiley-In-terscience [John Wiley & Sons], 1975. P. xiii+268. ISBN: 0-471-43652-6. Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics—Applied Probability and Statistics.

87. Kuchment P., Raich P. A. Green's function asymptotics near the internal edges of spectra of periodic elliptic operators. Spectral edge case // ArXiv.org e-Print archive. 2011. —October. arXiv:1110.0225. URL: http://arxiv.org/abs/ 1110.0225.

88. Li Z. Measure-valued branching Markov processes. Probability and its Applications (New York). Heidelberg: Springer, 2011. P. xii+350. ISBN: 978-3-642-15003-6. URL: http://dx.doi.org/10.1007/ 978-3-642-15004-3.

89. Mode C. J. Multitype branching processes. Theory and applications. Modern Analytic and Computational Methods in Science and Mathematics, No. 34. American Elsevier Publishing Co., Inc., New York, 1971. P. xx+330 pp. (loose erratum).

90. Molchanov S. Lectures on random media // Lectures on probability theory (Saint-Flour, 1992). Berlin: Springer, 1994. Vol. 1581 of Lecture Notes in Math. P. 242-411.

91. Molchanov S. A. Reaction-Diffusion Equations in the Random Media: Localization and Intermittency // Nonlinear Stochastic PDEs. Hydrodynamic Limit and Burgers' Turbulence / Ed. by T. Funaki, et al. Berlin: Springer, 1996. Vol. 77 of IMA, Math. Appl. P. 81-109.

92. Oksendal B. Stochastic Differential Equations. An Inroduction with Applications. Sixth edition. Heidelberg: Springer, 2005. 365 p.

93. Pearson K. The Problem of the Random Walk 11 Nature. 1905. Vol. 72, no. 294. P. 318-342.

94. Schur I. Bemerkungen zur Theorie der beshrankten Bilinearformen mit uneb-dlich vielen Veranderlichen // J. Reine Angew. Math. 1911. Vol. 140, no. 1. P. 1-28.

95. Shohat J. A., Tamarkin J. D. The Problem of Moments. New York: Amer. Math. Soc., 1943. 144 p.

96. Topchii V., Vatutin V. Individuals at the origin in the critical catalytic branching random walk // Discrete random walks (Paris, 2003). Assoc. Discrete Math. Theor. Comput. Sci., Nancy, 2003. Discrete Math. Theor. Comput. Sci. Proc., AC. P. 325-332 (electronic).

97. Uchiyama K. Green's functions for random walks on 7tN // Proc. London Math. Soc. (3). 1998. Vol. 77, no. 1. P. 215-240. URL: http://dx.doi.org/ 10.1112/S0024611598000458.

98. Vatutin V., Xiong J. Some limit theorems for a particle system of single point catalytic branching random walks // Acta Math. Sin. (Engl. Ser.). 2007. Vol. 23, no. 6. P. 997-1012. URL: http://dx.doi.org/10.1007/ S10114-005-0757-4.

99. Vatutin V. A., Topchii V. A., Yarovaya E. B. Catalytic branching random walks and queueing systems with a random number of independent servers // Teor. ImovTr. Mat. Stat. 2003. no. 69. P. 1-15.

100. Vatutin V. A., Zubkov A. M. Branching Processes. II // J. Sov. Math. 1993. Vol. 69, no. 6. P. 3407-3485.

101. Yarovaya E. Critical and subcritical branching symmetric random walks on ¿-dimensional lattices // Advances in data analysis. Boston, MA: Birkhauser

Boston, 2010. Stat. Ind. Technol. P. 157-168. URL: http://dx.doi.org/10. 1007/978-0-8176-4799-5_15.

102. Yarovaya E. Symmetric branching walks in homogeneous and nonhomogeneous _ random environments // Comm. Statist. Simulation Comput. 2012. Vol. 41,

no. 7. P. 1232-1249. URL: http://dx.doi.org/10.1080/03610918.2012. ■ 625856.

103. Yarovaya E. B. Branching symmetric random walk on one- and two-dimensional lattice // Transactions of XXV International Seminar on Stability Problems for Stochastic Models, Maiori (Salerno), Italy, September 20 - 24. Maiori (Salerno), Italy, 2005. P. 320-321. URL: http://istina.imec.msu.ru/publications/ article/3070455/.

104. Yarovaya E. B. Critical and Subcritical Branching Symmetric Random Walk on d-dimensional lattice // Proceedings, XII Int. Conf. Applied Stochastic

- Models and Data Analysis (ASMDA) May 29-31 and June 1, 2007, Chania, Crete, Greece / Ed. by C. H. Skiadas. 2007. P. 1-8.

105. Yarovaya E. B. D-dimensional Critical Branching Symmetric Random Walk // Transactions of the XXVI International Seminar on Stability Problems for Stochastic Models. Ort Braude Colledge, Karmiel, Israel, 2007 / Ed. by Z. Volkovich. 2007. P. 193-195.

106. Yarovaya E. B. Estimation of parameters in branching random walks // Absract 2008 Barcelona Conf. Asymptotic Statist. Centre de Recerca Matem'atica. Bellaterra. September 1-5. / Ed. by V. Zaiats. 2008. P. 120-121.

107. Yarovaya E. B. Supercritical Catalytic Branching Random Walks // The XIII International Conference "Applied Stochastic Models and Data Analysis" (AS-MDA-2009). Selected Papers, Ed. by L. Sakalauskas, C. Skiadas, E. K. Zavad-

skas. Vilnius: Gediminas Technical University Publishing House "Technika", 2009. P. 228-232. ISBN: 978-9955-28-463-5.

108. Yarovaya E. B. Three models of non-degenerate processes in random environments // Proceedings of the 6th St. Petersburg Workshop on Simulation / Ed. by A. N. P. S. M. Ermakov, V. B. Melas. Vol. I. St. Petersburg, VVM com. Ltd., 2009. P. 1-6.

109. Yarovaya E. B. Branching Walks in Inhomogeneous Random Environments // Proceedings of International Conference "Stochastic Modeling Techniques and Data Analysis" (SMTDA 2010) June 8-11, Chania, Crete, Greece / Ed. by Y. D. C. Skiadas. 2010. P. 1-8.

110. Yarovaya E. B. Supercritical branching random walks with a single source // Comm. Statist. Theory Methods. 2011. Vol. 40, no. 16. P. 2926-2945. URL: http://dx.doi.org/10.1080/03610926.2011.562779.

111. Yarovaya E. B. Branching Random Walks with Several Sources //.Mathematical Population Studies. 2013. Vol. 20, no. 1. P. 14-26.

112. Zel'dovich Y. B., Molchanov S. A., Ruzmaikin A. A., Sokoloff D. D. Intermit-tency, diffusion and generation in a nonstationary random medium // Mathematical physics reviews, Vol. 7. Chur: Harwood Academic Publ., 1988. Vol. 7 of Soviet Sci. Rev. Sect. C Math. Phys. Rev. P. 3-110.

/