Статистическое оценивание функционалов пенсионных рент актуарных моделей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат наук Губина Оксана Викторовна

• Губина Оксана Викторовна
• кандидат наук
• 2021

Оглавление диссертации кандидат наук Губина Оксана Викторовна

ВВЕДЕНИЕ

1 ФУНКЦИОНАЛЫ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ПЕНСИОННЫХ РЕНТ

1.1 Модель детерминированной пенсионной схемы

1.2 Детерминированные постоянные ренты

1.3 Непрерывные ренты

1.4 Модели стохастических пенсионных схем

1.5 Оценивание рент методом суммарной выплаты

1.6 Непрерывные пожизненные ренты как функционалы распределений продолжительностей жизни

1.7 Непрерывные ренты для основных моделей актуарной математики

1.7.1 Модель де Муавра

1.7.2 Модель Эрланга

1.7.3 Модели Гомпертца и Мейкхама

1.7.4 Модель Вейбулла

1.8 Выводы по главе

2 ФУНКЦИОНАЛЫ КОЛЛЕКТИВНЫХ ПЕНСИОННЫХ РЕНТ

2.1 Понятие статуса

2.2 Функционалы рент для статусов совместной жизни и выживания последнего

2.2.1 Статус для двух лиц

2.2.2 Статус для т лиц

2.2.3 Непрерывные ренты для двух лиц (модель де Муавра)

2.2.4 Непрерывные ренты для двух лиц (модель Эрланга)

2.2.5 Непрерывные ренты для двух лиц (модели Гомпертца и Мейкхама)

2.2.6 Непрерывные ренты для двух лиц (модель Вейбулла)

2.3 Выводы по главе

3 НЕПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ФУНКЦИОНАЛОВ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ПЕНСИОННЫХ РЕНТ

3.1 Синтез непараметрических оценок рент

3.2 Функции от статистик, их асимптотические свойства

3.3 Асимптотическая нормальность непараметрической оценки пожизненной ренты

3.4 Смещение непараметрической оценки пожизненной ренты

3.5 Среднеквадратическая ошибка непараметрической оценки ренты

3.6 Оценивание ^-летней временной пожизненной ренты

3.6.1 Синтез оценки

3.6.2 Среднеквадратическая ошибка оценки

3.6.3 Асимптотическая нормальность оценки

3.7 Оценивание актуарной современной стоимости отсроченной ренты

3.7.1 Оценка отсроченной ренты

3.7.2 Среднеквадратическая ошибка оценки а(8)

3.7.3 Асимптотическая нормальность оценки ^аN(8)

3.8 Оценивание современной стоимости смешанной и-летней пожизненной ренты

3.8.1 Синтез оценки

3.8.2 Свойства оценки и-летней пожизненной ренты

3.9 Выводы по главе

4 НЕПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ФУНКЦИОНАЛОВ КОЛЛЕКТИВНЫХ ПЕНСИОННЫХ РЕНТ

4.1 Оценивание функционала ренты статуса совместной жизни для двух лиц

4.2 Оценивание функционала ренты статуса выживания последнего для двух лиц

4.3 Асимптотическая нормальность непараметрической оценки ренты для двух лиц

4.4 Смещение непараметрической оценки ренты для двух лиц

4.5 Среднеквадратическая ошибка непараметрической оценки ренты для двух лиц

4.6 Асимптотические свойства кусочно-гладких аппроксимаций оценок рент для двух лиц

4.7 Оптимизация кусочно-гладких аппроксимаций оценок рент

для двух лиц

4.8 Выводы по главе

5 СТАТИСТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

5.1 Непараметрическое оценивание непрерывной пожизненной ренты

по случайной выборке из распределения де Муавра

5.2 Непараметрическое оценивание непрерывной пожизненной ренты

по случайной выборке из распределения Мейкхама

5.3 Непараметрическое оценивание непрерывной g-летней ренты по случайной выборке из распределения де Муавра

5.4 Непараметрическое оценивание непрерывной g-летней ренты по случайной выборке из распределения Мейкхама

5.5 Параметрическое оценивание рент для модели де Муавра

5.6 Параметрическое оценивание рент для модели Эрланга

5.7 Параметрическое оценивание рент для моделей Гомпертца и Мейкхама

5.8 Параметрическое оценивание рент для модели Вейбулла

5.9 Непараметрическое оценивание непрерывной пожизненной ренты

по реальным данным

5.10 Выводы по главе

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЕ А Зарегистрированные данные о смертях в Кожевниковском районе Томской области за 2001 год

ПРИЛОЖЕНИЕ Б Акт внедрения результатов диссертации в учебный процесс НИ ТГУ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Статистическое оценивание функционалов пенсионных рент актуарных моделей»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы исследования. В основе теории расчета пенсионных рент лежит использование идей математической теории страхования [1, 3, 10-20, 24, 26-28, 41, 51, 57, 58, 61, 64, 67-71, 73, 75-104, 111-121]. Идеи математической теории страхования получили широкое распространение, и круг практических задач, решаемых с привлечением методов этой теории, непрерывно расширяется, в соответствии с выдвигаемыми требованиями рынка. Вместе с соответствующими экономическими и юридическими дисциплинами актуарная математика образует более широкую область знаний - актуарную науку. Общепринятое название данного научного направления - актуарная математика [36,76-79,88,99,122], которая является теоретической основой страхового бизнеса [2,29,30,59,60,62,63,79,81,83,97,118].

При расчете пенсионных рент широко используется понятие нетто-премии. Введем ряд необходимых определений [1,3,10-13,27,28,58,67-71,73,77-79,86].

1. Нетто-премия является частью страховой премии, предназначенной для покрытия ущерба. Нетто-премия - это часть брутто-премии.

2. Страховая премия (брутто-премия) является платой за страхование, которая вносится страховщику согласно договору страхования.

3. Страховая выплата - это выплата страховщиком страхователю страхового возмещения.

Известно, что пенсионные ренты связаны с соответствующими нетто-премиями. Для простоты рассмотрим пожизненную ренту [77, с. 170], суть которой состоит в том, что, с момента ¿0 = 0, индивидуум начинает получать денежную сумму (для удобства её обычно принимают в качестве единицы измерения). Важно отметить, что для таких рент выплаты производятся пока человек жив. Часто расчет характеристик пожизненной ренты основан на использовании характеристик соответствующего вида страхования. Так, согласно [77, с. 184], среднее значение современной стоимости полной непрерывной индивидуальной пожизненной ренты определяется формулой

а, (8) = ЦА,

О

да

где Лх =1 е /х (г)& - нетто-премия (среднее значение современной стоимости

о

единичной страховой суммы при пожизненном страховании в возрасте х лет), 5 -интенсивность процентов, /х (г) - плотность распределения остаточной продолжительности жизни Тх = X - х, х - возраст человека в момент г0 = 0 начала платежей, Х - продолжительность его жизни, которая, в рамках актуарной математики, является непрерывной случайной величиной.

Современное развитие теории рент требует использования все более сложных математических моделей происходящих явлений и процессов в данной сфере. Возникает потребность в новых идеологиях расчета рент, которые предоставят рынкам пенсионных услуг новый инструментарий для аналитики, позволяющий сократить время принятия эффективных решений в условиях:

- неопределенности реакции страхового рынка на такие события как эпидемии, природные и социальные катаклизмы и т.д. [2,24,122],

- отсутствия достаточной информации о развивающихся страховых рынках и рынках новых видов пенсионных услуг [72,75,121].

В работе развивается подход, в основе которого лежит синтез оценок непрерывных рент по наблюдениям продолжительности жизни индивидуумов [14-21,29,36,37,41-55, 59,83,89-92,95-96,101-115,120].

Применение классических методов и схем статистической обработки данных зачастую оказывается недостаточным для получения адекватных моделей при поиске эффективных решений страховой компанией, что потребовало, как дальнейшего развития этих методов, так и комплексного их использования. Использование только параметрических методов и моделей требует, в отличие от непараметрических, достаточно полной априорной информации об изучаемом явлении и может приводить даже к менее качественным статистическим выводам в случае неадекватности параметрического описания. Комплексная обработка данных параметрическими и непараметрическими методами позволяет в ряде

случаев строить более простые (с меньшим числом параметров) и хорошо обусловленные (с известными статистическими свойствами) модели.

Решение вопросов, связанных с освоением новых страховых рынков и созданием новых видов страховых услуг, требует рассмотрения задач статистического оценивания функционалов рент при различных видах страхования жизни.

Степень разработанности темы исследования. Указанная выше проблема статистического оценивания функционалов рент рассматривается впервые. Поэтому не найдено литературных источников по исследуемому вопросу.

Цели и задачи работы. Целью данной работы является построение вероятностных моделей пенсионных рент для различных видов индивидуального и коллективного страхования жизни, оценивание функционалов рент в условиях параметрической и непараметрической неопределенностей по продолжительностям жизней индивидуумов, исследование свойств предложенных оценок.

Были поставлены и решены следующие задачи для достижения приведенной выше цели:

1. Нахождение точных значений пенсионных рент для различных моделей актуарной математики.

2. Оценивание функционалов актуарных индивидуальных и коллективных рент в условиях параметрической неопределенности.

3. Оценивание функционалов актуарных индивидуальных и коллективных рент в условиях непараметрической неопределенности.

4. Вывод главных частей асимптотических среднеквадратических ошибок (СКО) предложенных оценок и их предельных распределений.

5. Исследование свойств предложенных оценок при конечных объемах наблюдений с помощью статистического моделирования.

6. Оценивание рент по реальным данным продолжительностей жизней индивидуумов.

Методы исследования. В диссертации для решения поставленных задач используются методы математического анализа, теории вероятностей, математической статистики, оптимизационные процедуры, статистическое моделирование и численные методы.

Научная новизна. Новыми являются следующие результаты диссертационного исследования:

Впервые построены вероятностные модели функционалов коллективных пенсионных рент для статусов совместной жизни и выживания последнего, позволяющие на их основе синтезировать ренты более сложных, например, составных коллективных рент.

Синтезированы оценки индивидуальных и коллективных рент методом подстановки, методом с использованием кусочно-гладкой аппроксимации, обобщающей регуляризацию А.Н. Тихонова, в условиях непараметрической неопределенности по выборкам продолжительностей жизней индивидуумов. Кусочно-гладкие аппроксимации оценок рент позволяют находить главные части их смещений и СКО при более слабых ограничениях по сравнению с оценками подстановки.

Доказаны теоремы об асимптотической нормальности предложенных оценок рент; эти результаты позволяют строить интервальные оценки рент заданной надежности.

Доказаны теоремы о главных частях смещений и СКО оценок рент в асимптотике, что говорит о состоятельности оценок. Численные эксперименты, имитационное моделирование и результаты, полученные по реальным данным, подтверждают состоятельность оценок рент.

Теоретическая значимость работы. Разработанная методология оценивания функционалов рент для различных видов индивидуального и коллективного страхования жизни является достаточно общей, что позволяет её применять и для более сложных видов страхования, которые имеют место, например, при коллективном страховании многих лиц.

Практическая ценность

1. Созданы программы для оценивания рент различных актуарных моделей;

2. Предлагаемая идеология расчета рент предоставляет страховым компаниям необходимый инструментарий для аналитики, позволяющий повысить точности оценивания рент, сократить время принятия эффективных решений в условиях отсутствия достаточной информационной базы данных развивающихся страховых рынков и рынков новых видов страхования.

Личный вклад. Постановка задач сделана соискателем совместно с научным руководителем, профессором Кошкиным Геннадием Михайловичем. Основные теоретические и практические результаты, представленные в диссертации, получены лично автором.

Реализация и внедрение результатов работы Список НИР, в рамках которых проводились исследования, включает 4 проекта.

1. «Развитие теории робастного оценивания и управления стохастическими системами в условиях статистической неопределенности», поддержанном грантом РФФИ 13-08-00744 (2013-2015 гг.), ИПУ РАН, Москва (руководитель гранта Добровидов А.В.).

2. «Разработка информационной системы идентификации локальных включений на основе метода многоэнергетической цифровой рентгенографии», поддержанном грантом РФФИ 13-08-98027 (2013-2015 гг.), ФГБОУ ВПО НИ ТПУ, Томск (руководители гранта Клименов В.А., Удод В.А.).

3. «Разработка статистических, вероятностных и логических методов для синтеза и анализа сложных систем», поддержанном НИР «Программа повышения конкурентоспособности ТГУ» (2014-2016 гг.), лаборатория компьютерных наук, ФГБОУ ВПО НИ ТГУ, Томск (руководитель проекта Евтушенко Н.В.).

4. «Актуарные модели и расчеты в системах социального страхования», поддержанном НИР «Программа повышения конкурентоспособности ТГУ», проект № 8.1.37.2018 (2018 г.), ФГБОУ ВПО НИ ТГУ, Томск (руководитель проекта Кошкин Г.М.).

Также результаты работы используются в учебном процессе в Институте прикладной математики и компьютерных наук Томского государственного университета при проведении практических занятий и лекций дисциплины «Актуарные расчеты в страховании» для бакалавров и «Непараметрические методы идентификации экономических систем» для магистрантов.

Положения, выносимые на защиту. На защиту выносятся следующие результаты:

1. Вероятностные модели функционалов коллективных пенсионных рент для статусов совместной жизни и выживания последнего.

2. Процедура синтеза непараметрических оценок подстановки функционалов индивидуальных и коллективных рент.

3. Кусочно-гладкие аппроксимации предложенных оценок.

4. Теоремы об асимптотической нормальности оценок.

5. Теоремы о главных частях асимптотических СКО оценок.

Достоверность. Полученные результаты подтверждаются строгими

аналитическими выкладками изложенных в работе доказательств лемм и теорем, корректностью применяемых методов исследования и проведения расчетов, а также статистическими экспериментами, проведенными для пенсионных рент ряда актуарных моделей.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались, обсуждались и представлялись на следующих научных конференциях:

1. VII Международная научная студенческая конференция (Новосибирск, 11-18 апреля 2014 г.).

2. X Российская конференция с международным участием «Новые информационные технологии в исследовании сложных структур» (Алтай, 09-13 июня 2014 г.).

3. International Conference and Demographics Workshop (SMTDA 2014) «Stochastic Modeling Techniques and Data Analysis» (Lisbon, Portugal, 11-14 June 2014).

4. III Всероссийская молодежная научная конференция с международным участием «Математическое и программное обеспечение информационных, технических и экономических систем» (Томск, 22-23 мая 2015 г.).

5. The Second International Symposium «Stochastic Models in Reliability Engineering, Life Science, and Operations Management (SMRLO 2016)» (Beer Sheva, Israel, February 15-18, 2016).

6. XI Международная конференция «Новые информационные технологии в исследовании сложных структур» (Екатеринбург, 06-10 июня 2016 г.).

7. VII Международная молодежная конференция «Математическое и программное обеспечение информационных, технических и экономических систем» Томск, 23-25 мая 2019 г.).

8. The Fifth International Workshop «Applied Methods of Statistical Analysis. Statistical Computation and Simulation (AMSA2019)» (Novosibirsk, Russia, 18-20 September 2019).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 12 работ, из них 4 статьи в журналах, включенных в Перечень рецензируемых научных изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук (в том числе 3 статьи в российском научном журнале, входящем в Web of Science), 1 статья в сборнике материалов зарубежной конференции, представленном в издании, входящем в Web of Science, 2 статьи в прочем научном журнале, 5 публикаций в сборниках материалов международных и всероссийских с международным участием научных конференций (из них 1 зарубежная конференция). В опубликованных работах достаточно полно отражены материалы диссертации.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, двух приложений и списка литературы. Содержит 15 рисунков и 23 таблицы. Список литературы включает 122 наименования, в том числе 40 - на иностранном языке. Общий объем работы -145 страниц.

Благодарности. Автор выражает глубокую признательность доктору физико-математических наук, профессору Кошкину Геннадию Михайловичу, доктору физико-математических наук, доценту Дмитриеву Юрию Глебовичу и доктору технических наук, профессору Смагину Валерию Ивановичу за помощь и поддержку при работе над диссертацией.

1 ФУНКЦИОНАЛЫ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ПЕНСИОННЫХ РЕНТ

Глава 1 в определенном смысле носит обзорный характер. Перечислим положения, отражающие это утверждение. Вводятся базовые модели актуарной математики (модели де Муавра, Эрланга, Гомпертца, Мейкхама, Вейбулла). Приводятся основные принципы, на которых основано получение формулы непрерывной пенсионной ренты, исходя из простейшей и общей моделей детерминированной пенсионной схемы. Рассматриваются модели стохастических пенсионных схем (полная, временная и отсроченная пожизненные ренты), для которых приводятся формулы, определяемые функциями выживания индивидуумов. Показывается, что все ренты выражаются через соответствующие нетто-премии современной стоимости условных единичных страховых сумм.

1.1 Модель детерминированной пенсионной схемы

В разделах 1.1-1.5 вводятся основные определения, понятия и схемы индивидуальных пенсионных рент согласно [1,3,10-13,27,28,58,67-71,73,7779,86]. Следуя [77], серии выплат, сделанные в какие-то моменты времени, необходимо привести к некоторому фиксированному моменту '0 = 0. Теперь эти выплаты можно вычитать, сравнивать, анализировать и т.п.

С точки зрения практических приложений к страхованию и пенсионным схемам важной является задача нахождения современной стоимости а для п выплат Ь, Ь,...,Ь, которые будут выполнены в моменты ц, '2,...,. Величина а может рассматриваться как сумма, которая вносится в пенсионный фонд в момент заключения договора, который обычно принимают за начальный момент. В моменты ^, ¿2, индивидуум будет получать выплаты (пенсии) величиной Ь1, Ь2,...,Ьп. Таким образом,

а = Ь и'1 + Ь2 и'2 +... + Ьп ,

где согласно [77, с. 9-12] и = (1 + i) = e - коэффициент дисконтирования, (1 + — 1

5 = lim (---= ln(1 + i) - интенсивность процентов, i = e5 -1 - эффективная

At^0 At

процентная ставка.

Так, если i = 0,1, то 5 = ln(1 + 0,1) = ln(1,1) = 0,095 и и = —1— = 0,909 .

1 + 0,1

Аналогично, если i = 0,06, то 5 = 0,058 и и = 0,943.

Описанная выше модель детерминированной пенсионной схемы на практике обычно не применяется. Обычно используются схемы, обладающие некоторой формой регулярности по величине взносов, выплат и по моментам платежей. Например, важным является случай фиксированных платежей, которые производятся через равные промежутки времени. Ниже рассматриваются такие постоянные ренты.

1.2 Детерминированные постоянные ренты

Рассмотрим п последовательных промежутков времени (0,1),(1,2),...,(п -1,п) единичной длины. Для удобства момент ¿0 = 0 будем считать настоящим моментом, а единичным промежутком времени - промежуток в один год.

Совокупность п единичных выплат, сделанных в моменты 1,2,...,п, называется запаздывающей рентой.

Совокупность п единичных выплат, сделанных в моменты 0,1,2,...,п -1, называется упреждающей рентой.

Если выбрать начальный момент t=1, то запаздывающая рента становится упреждающей.

Приведенная ценность упреждающей ренты обозначается ¿Ц, которая

определяется как ценность серии п единичных платежей, причем стоимость серии рассчитывается в момент первого платежа.

Если ценность серии платежей рассчитывается на единицу времени раньше, то такая приведенная ценность называется запаздывающей и обозначается а-|.

Подсчитаем эти ренты согласно приведенным выше определениям:

2 , п

а-\ = и + и +... + и

п

п

1 - и

г

1п

С1-\ = 1 + 1) + 1) +... + 1) =-,

И1 а

_с

где ё = I /(1 + I) = 1 - и = 1 - е - эффективная учетная ставка, I - эффективная процентная ставка.

Например, если I = 0,1, то ё = —01— = 0,09 ; если I = 0,06, то ё = 0,06.

(1 + 0,1)

Видим, что интенсивность процентов 5 незначительно отличается от эффективной учетной ставки ё .

Понятно, что через величины а-1 и а-1 можно определить суммы,

позволяющие получать в будущем регулярный доход.

Разобьем каждый из промежутков на р равных частей. Обычно используются следующие разбиения:

1. р = 12 (1/ р равняется одному месяцу),

2. р = 4 (1/ р равняется одному кварталу),

3. р = 2 (1/ р равняется одному полугодию). Серия из пр выплат величиной 1/ р в моменты

1/ р,...,р / р = 1;...;п -1 +1/ р,...,п -1 + р / р = п, называется запаздывающей рентой частоты р. Ценность такой серии в момент t0 = 0 обозначается а(р), а в момент = п называется накоплением и

обозначается я (р).

п

Серия из пр выплат величиной 1/ р в моменты

0, 1/ р,...,(р -1)/ р;...;п -1,п -1 +1/ р,...,п -1 + (р -1)/ р,

называется упреждающей рентой частоты р. Ценность такой серии в момент ¿о = 0 обозначается а^, а в момент гп = п называется накоплением и

обозначается ,у1|"'.

и

Таким образом, величины , .у-(;) и а-!' , .у1(;) оценивают одинаковую

серию платежей в разные моменты времени. Поэтому между ними имеет место такая связь:

а(р) = 5(р) • ип , ^(р) = а(р) • (1 +1)п,

Я я 'и и V ' '

¿¿f} = • , sif} = • (1 + 0" , (1.1)

п \ п \ п И1 4 у v 7

(р) "(р) 1,1« ai, = ai| ■'---1—D

н »I р р

1.3 Непрерывные ренты

Рассмотрим упреждающую и запаздывающую ренты, выплачиваемые с частотой p на промежутке [0, n] при p ^ да . В этом случае, согласно работе [77, с. 13-15] и (1.1)

.<р) d .. 1 -и"

lim а~Г = — а-\ =-,

оо п\ 5 ' 8

In

1 (Р)

lim a -p- = — a_, =-,

п 5 п| 8

т.е. эти пределы совпадают.

Здесь мы имеем дело с большим числом малых платежей величиной 1/ р, которые совершаются через малые промежутки времени 1/ р. В пределе при р ^ да поступление средств представляет собой непрерывный процесс, причем различие между платежами в начале и в конце промежутков исчезает. Такой непрерывный поток платежей называется непрерывно выплачиваемой рентой.

Приведенная стоимость непрерывного потока платежей в момент ¿0 = 0

обозначается .

п\

Непрерывные ренты являются приближенными оценками рент, выплачиваемых достаточно часто:

а.-^ « а-,, а(-?} « ан.

п\ п ' п п\

Можно получить и более точные формулы приближений [77, с. 14]:

■•(Р) —

а,-Г = а-|

(р) — а_т = а_.

1 +

1 -

5 > (11

+ О —

2 р 1Р У

5 1 {11

+ О —

2 Р У 1 р У

Отметим, что последовательность регулярно повторяющихся платежей на практике могут возникать при выплате процентов, дивидендов, пенсий, ежегодных страховых взносов и т.д.

1.4 Модели стохастических пенсионных схем

Выясним, как определяются ренты в случае, когда продолжительность жизни индивидуума X считается случайной величиной. В этом случае важными характеристиками актуарной математики являются Г = X - х - остаточное время жизни и случайная величина Кх = [Г ] - округленная остаточная продолжительность жизни, которая принимает только целые значения.

Полная пожизненная рента

Сначала определим простейшую пожизненную ренту. Начиная с момента ^ = 0 индивидуум раз в год начинает получать определенную сумму, принимаемую для удобства расчетов в качестве условной денежной единицы. Важно отметить, что выплаты производятся только во время жизни человека.

Видим, что рента - это регулярный доход для получателя ренты.

Временная пожизненная рента

Пусть возраст человека, которому выплачивается рента - х лет. В этом случае и-летняя временная пожизненная рента определяется как совокупность выплат условной единичной суммы, которые производятся раз в год, начиная с момента ¿0 = 0, в течение, и лет.

Отсроченная пожизненная рента

Отсроченная на т лет пожизненная рента определяется как серия выплат условной единичной суммы, производимых раз в год в течение жизни индивидуума, начиная с момента ¿0 + т = т . Понятно, что если человек умрет, то выплаты не производятся.

Пожизненные ренты, выплачиваемые с частотой р

На практике чаще рассматриваются случаи, когда пенсионные выплаты производятся раз в квартал (р = 4), раз в месяц (р = 12), раз в неделю (р = 52). В таких случаях в качестве условной денежной единицы принимается сумма всех выплат в течение года.

1.5 Оценивание рент методом суммарной выплаты

Будем обозначать стоимость стохастической ренты в момент времени ¿0 = 0 символом У. Пожизненная рента по методу суммарной выплаты обычная рента со случайным числом выплат. Отсюда, привлекая формулы для детерминированных рент и формулы расчета современной стоимости соответствующего вида страхования можно получить формулы современной стоимости для стохастических рент

Л Кг+1 л гу

для временной на и лет пожизненной ренты

=

а-,, г/ Т > п

п ' ^ ж

а—,, г/ Т <п

V л. ' ^ Ж

1 - и * (

■> /Тх > 1 -

(1.3)

1 Кх +1

1 - и х (

. Тх <

(

для отсроченной на ш лет пожизненном ренты

^ =

т X

и - и

О, г/ Тх<т

к+1

(

0,

г/ Тх > т. I/ Т < т,

^ -, -

х:т т X (

(1.4)

где Г - современная стоимость пожизненной ренты, - современная

стоимость временной на п лет пожизненной ренты, - современная стоимость

отсроченной на ш лет пожизненной ренты.

Таким образом, актуарная современная стоимость ренты является математическим ожиданием случайной современной стоимости. Такая рента обозначается символом а. Согласно формулам (1.2)—(1.4) получаем:

для пожизненной ренты

1 -А

_х

й

(1.5)

для «-летней временной пожизненной ренты

1 - А _,

а -, =

х\п\

й

(1.6)

для отсроченной на ш лет пожизненной ренты

.А \-А А А —\

х:т т\ х х х:т

М

т\ х

(1.7)

й? й?

да

Важно отметить, что в выражениях рент (1.5-1.7) величина Ах = | е- ('/х

0

есть среднее значение современной стоимости единичной страховой суммы при

пожизненном страховании с выплатой страховой суммы в конце года жизни;

п

Лх-1 = | е~Л/х (г)& определяет нетто-премию при смешанном страховании жизни.

0

1.6 Непрерывные пожизненные ренты как функционалы распределений продолжительностей жизни

Если р ^ да, то мы имеем дело с большим числом малых платежей, совершаемых через малые промежутки времени длиной 1/ р.

Согласно формуле (1.5), в которой й необходимо заменить на 5, рента выражается через нетто-премию, являющуюся средним значением величины, задаваемой формулой (1.2) для непрерывного случая. В этом случае нетто-премия, когда величина страховой выплаты принимает единицу, задается формулой:

Е[е~ЪТх} = А = £" е~5Ух (г)йг, (1.8)

где Г = X - х - остаточное время жизни наудачу выбранного индивидуума

возраста х, Х - продолжительность жизни этого индивидуума, 5 - процентная ставка с непрерывно начисляемым процентом по вкладу (интенсивность процентов), /х (г) - плотность распределения остаточной продолжительности жизни Г = X - х.

Сначала рассмотрим полную пожизненную ренту. Тогда актуарная приведенная стоимость полной непрерывной пожизненной ренты принимает вид [77, с.184]:

1 - А

« (5) = . (1.9)

5

Аналогично, для временной пожизненной ренты

1 - А _,

«И (5) = > (1.10)

для отсроченной пожизненной ренты

А —| | А А А —|

__х:т т\ х х х:т / л 1 1 х

т| «х (5) = --- = ---> (111)

где х - возраст человека в момент г0 = 0 начала платежей, А задается формулой

п да

(1.8), АхЦ = | е-5тх (г —, тА =\ е~ы/х (г —.

0 т

1.7 Непрерывные ренты для основных моделей актуарной математики

Ниже рассмотрим ряд стандартных вероятностных моделей, которые аппроксимируют в некоторых случаях и при определенных условиях реальные процессы смертности. Согласно (1.8) и (1.9) рента принимает вид [ср. 77, с. 184]:

да

1 -/ е - 5г / ( ОЛ «х(5) = —^-. (1.12)

5

Преобразуем формулу (1.12) к удобному для исследований виду. Представим плотность остаточного времени жизни Г в виде отношения плотности случайной величины X и функции выживания 5 (х) = 1 - ¥ (х) = Р (X > х), ¥ (х) = Р(X < х). Согласно [36,37] имеем:

/.( г) = —Р\т <гIX>х| = —Р{х<X<х + г\/Р{X>х\ х йг 1 х 1 йг ' 1 '

1 — г , , ч1 / (х + г)

[ ¥ (х + г) - ¥ (х) ]=/ ( )

(1.13)

5(х) — 5(х)

Подставив (1.13) в (1.12) получим:

да да

1--[ е "6г / (х + г)йг 1--[ е "6г й¥ (х + г)

5 (х к 5 (х)1 «х(5) =-^-=-^-. (1.14)

о о

После замены переменных в (1.14) и = х + г функционал (1.14) приводится к виду

ах (5) =

.. да

1 — ^Г е

^ (х)Г

—5 (и—х)

ёГ (и) 1 —

Ф (х, 5) 5 (х)

(1.15)

да да

1 — | е"8(и—х)(и) 1 — | е"8(и—х)I(х < и(и)

Ф (х, 5) =-х-=-0-,

8 8

где I(А) - индикатор множества А.

Рассмотренная идеология нахождения непрерывной пожизненной ренты ниже будет распространена на основные модели актуарной математики. Также эта методика в Главе 2 будет обобщена на коллективные ренты. Понятно, что в этих случаях под X будут подразумеваться соответствующие аналоги продолжительности жизни.

1.7.1 Модель де Муавра

Ц х е (а,Ь]

Введем для удобства обозначение I (а,ЬI = \ . Пусть

[О, х й (а,Ь]

распределение продолжительности жизни X описывается законом де Муавра

I (х) =

1Х (О, ш)

5 (х) = 1х (—да, ш)

х!х(0,ю)

ш ш

где I(х) - плотность распределения, 5 (х) - функция выживания. Отсюда плотность распределения остаточного времени жизни принимает вид

I (х — X) 1( (О, ш — х)

I (X)

5 (х)

ш — х

ах(5) = 1

5

1 — Г е ~Ы1Х (X )Л

Л 1'

V о

1 —

у -V ю — х о

Г е ыйХ

1 —

1 — е

-5(ю—х) Л

5( ю — х)

. (1.16)

Рента (1.16) является монотонно убывающей функцией возраста х, так как

г

производная (ах (5)) < 0. График кривой соответствующей плотности изображен на рисунке 1.1:

0.01

ОД

0 50 100

х

Рисунок 1.1 - Плотность распределения де Муавра График зависимости ренты ах (8) от возраста х представлен на рисунке 1.2.

з-6-

0 50 100

к

Рисунок 1.2 - Зависимость ренты от возраста х для модели де Муавра при ю = 100

и 8 = 0,1

Величины рент, вычисленные по формуле (1.16) для различных возрастов при ю = 100 и 8 = 0,1, приведены в таблице 1.1.

Таблица 1.1 - Значения рент (1.7.5) для различных возрастов (модель де Муавра)

Возраст, х лет 10 20 30 40 50 60 70 80 90

^(0,1) 9,09 9 8,89 8,75 8,57 8,34 8,01 7,55 6,83

Согласно таблице 1.1, современная стоимость полной непрерывной пожизненной индивидуальной ренты для х = 40 лет, при 8 = 0,1 и ежегодной выплате в размере одной условной денежной единицы равна 8,75 условных денежных единиц. Таким образом, в рамках нашей модели, современная стоимость пожизненной ренты для человека в возрасте х лет, при 8 = 0,1 и ежемесячной выплате в размере 1000 руб., равна 12000 • ах (0,1) (для конкретных возрастов значения рент приводятся в таблице 1.2).

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Губина Оксана Викторовна, 2021 год

и - и

О, г/ Тх<т

к+1

(

0,

г/ Тх > т. I/ Т < т,

^ -, -

х:т т X (

(1.4)

где Г - современная стоимость пожизненной ренты, - современная

стоимость временной на п лет пожизненной ренты, - современная стоимость

отсроченной на ш лет пожизненной ренты.

Таким образом, актуарная современная стоимость ренты является математическим ожиданием случайной современной стоимости. Такая рента обозначается символом а. Согласно формулам (1.2)—(1.4) получаем:

для пожизненной ренты

1 -А

_х

й

(1.5)

для «-летней временной пожизненной ренты

1 - А _,

а -, =

х\п\

й

(1.6)

для отсроченной на ш лет пожизненной ренты

.А \-А А А —\

х:т т\ х х х:т

М

т\ х

(1.7)

й? й?

да

Важно отметить, что в выражениях рент (1.5-1.7) величина Ах = | е- ('/х

0

есть среднее значение современной стоимости единичной страховой суммы при

пожизненном страховании с выплатой страховой суммы в конце года жизни;

п

Лх-1 = | е~Л/х (г)& определяет нетто-премию при смешанном страховании жизни.

0

1.6 Непрерывные пожизненные ренты как функционалы распределений продолжительностей жизни

Если р ^ да, то мы имеем дело с большим числом малых платежей, совершаемых через малые промежутки времени длиной 1/ р.

Согласно формуле (1.5), в которой й необходимо заменить на 5, рента выражается через нетто-премию, являющуюся средним значением величины, задаваемой формулой (1.2) для непрерывного случая. В этом случае нетто-премия, когда величина страховой выплаты принимает единицу, задается формулой:

Е[е~ЪТх} = А = £" е~5Ух (г)йг, (1.8)

где Г = X - х - остаточное время жизни наудачу выбранного индивидуума

возраста х, Х - продолжительность жизни этого индивидуума, 5 - процентная ставка с непрерывно начисляемым процентом по вкладу (интенсивность процентов), /х (г) - плотность распределения остаточной продолжительности жизни Г = X - х.

Сначала рассмотрим полную пожизненную ренту. Тогда актуарная приведенная стоимость полной непрерывной пожизненной ренты принимает вид [77, с.184]:

1 - А

« (5) = . (1.9)

5

Аналогично, для временной пожизненной ренты

1 - А _,

«И (5) = > (1.10)

для отсроченной пожизненной ренты

А —| | А А А —|

__х:т т\ х х х:т / л 1 1 х

т| «х (5) = --- = ---> (111)

где х - возраст человека в момент г0 = 0 начала платежей, А задается формулой

п да

(1.8), АхЦ = | е-5тх (г —, тА =\ е~ы/х (г —.

0 т

1.7 Непрерывные ренты для основных моделей актуарной математики

Ниже рассмотрим ряд стандартных вероятностных моделей, которые аппроксимируют в некоторых случаях и при определенных условиях реальные процессы смертности. Согласно (1.8) и (1.9) рента принимает вид [ср. 77, с. 184]:

да

1 -/ е - 5г / ( ОЛ «х(5) = —^-. (1.12)

5

Преобразуем формулу (1.12) к удобному для исследований виду. Представим плотность остаточного времени жизни Г в виде отношения плотности случайной величины X и функции выживания 5 (х) = 1 - ¥ (х) = Р (X > х), ¥ (х) = Р(X < х). Согласно [36,37] имеем:

/.( г) = —Р\т <гIX>х| = —Р{х<X<х + г\/Р{X>х\ х йг 1 х 1 йг ' 1 '

1 — г , , ч1 / (х + г)

[ ¥ (х + г) - ¥ (х) ]=/ ( )

(1.13)

5(х) — 5(х)

Подставив (1.13) в (1.12) получим:

да да

1--[ е "6г / (х + г)йг 1--[ е "6г й¥ (х + г)

5 (х к 5 (х)1 «х(5) =-^-=-^-. (1.14)

о о

После замены переменных в (1.14) и = х + г функционал (1.14) приводится к виду

ах (5) =

.. да

1 — ^Г е

^ (х)Г

—5 (и—х)

ёГ (и) 1 —

Ф (х, 5) 5 (х)

(1.15)

да да

1 — | е"8(и—х)(и) 1 — | е"8(и—х)I(х < и(и)

Ф (х, 5) =-х-=-0-,

8 8

где I(А) - индикатор множества А.

Рассмотренная идеология нахождения непрерывной пожизненной ренты ниже будет распространена на основные модели актуарной математики. Также эта методика в Главе 2 будет обобщена на коллективные ренты. Понятно, что в этих случаях под X будут подразумеваться соответствующие аналоги продолжительности жизни.

1.7.1 Модель де Муавра

Ц х е (а,Ь]

Введем для удобства обозначение I (а,ЬI = \ . Пусть

[О, х й (а,Ь]

распределение продолжительности жизни X описывается законом де Муавра

I (х) =

1Х (О, ш)

5 (х) = 1х (—да, ш)

х!х(0,ю)

ш ш

где I(х) - плотность распределения, 5 (х) - функция выживания. Отсюда плотность распределения остаточного времени жизни принимает вид

I (х — X) 1( (О, ш — х)

I (X)

5 (х)

ш — х

ах(5) = 1

5

1 — Г е ~Ы1Х (X )Л

Л 1'

V о

1 —

у -V ю — х о

Г е ыйХ

1 —

1 — е

-5(ю—х) Л

5( ю — х)

. (1.16)

Рента (1.16) является монотонно убывающей функцией возраста х, так как

г

производная (ах (5)) < 0. График кривой соответствующей плотности изображен на рисунке 1.1:

0.01

ОД

0 50 100

х

Рисунок 1.1 - Плотность распределения де Муавра График зависимости ренты ах (8) от возраста х представлен на рисунке 1.2.

з-6-

0 50 100

к

Рисунок 1.2 - Зависимость ренты от возраста х для модели де Муавра при ю = 100

и 8 = 0,1

Величины рент, вычисленные по формуле (1.16) для различных возрастов при ю = 100 и 8 = 0,1, приведены в таблице 1.1.

Таблица 1.1 - Значения рент (1.7.5) для различных возрастов (модель де Муавра)

Возраст, х лет 10 20 30 40 50 60 70 80 90

^(0,1) 9,09 9 8,89 8,75 8,57 8,34 8,01 7,55 6,83

Согласно таблице 1.1, современная стоимость полной непрерывной пожизненной индивидуальной ренты для х = 40 лет, при 8 = 0,1 и ежегодной выплате в размере одной условной денежной единицы равна 8,75 условных денежных единиц. Таким образом, в рамках нашей модели, современная стоимость пожизненной ренты для человека в возрасте х лет, при 8 = 0,1 и ежемесячной выплате в размере 1000 руб., равна 12000 • ах (0,1) (для конкретных возрастов значения рент приводятся в таблице 1.2).

Таблица 1.2 - Значения современной стоимости пожизненной ренты для различных возрастов

х 10 20 30 40 50 60 70 80 90

12000 • ах (0,1) 109080 108000 106680 105000 102840 100080 96120 90600 81960

Согласно таблице 1.2, современная стоимость полной непрерывной пожизненной индивидуальной ренты равна 12000 • 8,75 = 105000 руб. для индивидуума возраста х = 40 лет, при 8 = 0,1 и ежемесячной выплате в размере 1000 руб.

1.7.2 Модель Эрланга

Рассмотрим модель Эрланга 2-го порядка, для которой кривая смертей

Л х . 1

х — х + а____х ^ т

/(х) = — е а, х > 0. В этом случае £(х) =-е а, /х(т) = —--е а, где х, т > 0,

а

а

а( х + а)

а рента

ах(а)= -8

1 е~5т/х (т )Лт

Л 1'

V 0

С

1-

1

1

а (х + а)

V

|8+

| е ^ а > Л + }

а (х + а)

Те

I

-/8+1 е 1 аУ (х + Т )ЛТ

1 -

1

а (х + а)

х j е

V 0 0

2 ЛЛ л С

Л

У У

аа

х-+--

8а +1 (8а +1)

У/

1-

х8а + х + а (х + а )(8а +1)2

Приведем значения ренты для некоторых возрастов при 8 = 0,1 и а = 40 (см. таблицу 1.3). В этом случае средняя продолжительность жизни ЕХ = 2а = 80 лет. Таблица 1.3 - Значения рент для различных возрастов (модель Эрланга)

Возраст, х лет 10 20 30 40 50 60 70 80 90

ах (40) 9,28 9,07 8,91 8,8 8,71 8,64 8,58 8,53 8,49

Ниже на рисунках 1.3 и 1.4 представлены графики плотности распределения Эрланга и зависимости ренты от возраста х.

Т

Рисунок 1.3 - Плотность распределения Эрланга

Рисунок 1.4 - Зависимость ренты от возраста х для модели Эрланга при а = 40 и

8 = 0,1

Отметим, что функция ренты для модели де Муавра выпукла вверх, а для модели Эрланга выпукла вниз. Найденные вторые производные подтверждают такое поведение рент строго математически: вторая производная для первого случая больше нуля, а для второго случая меньше нуля.

Для модели Эрланга limР{Г(x) > i} = e~tla, и, следовательно, при больших

значениях х получается заведомо завышенный результат (ср. таблицы 1.1 и 1.2 для больших возрастов).

1.7.3 Модели Гомпертца и Мейкхама

В модели Гомпертца интенсивность смертности ^ =

f (x) S (x)

= Beax, а > B > 0,

функция выживания S (x) = exp

- B (e^ -1) a

, кривая смертей

f (x) = B exp

в

B s ax л \

ax--(e -1)

а

, а рента равна

ax (B> а) =

да [ e~8 'B exp / ч B a( x +1)--(e " -1) dt

j 0 _ а _

exp B B / ax i\ --(e - 1)

_ а _

(1.17)

1 - B exp B , B ax ax н— e да i exp (а - S)t - Bea{ x+t} dt

_ а _ j 0 _ а _

5

Модель Гомпертца обобщил У. Мейкхам, который предложил приближать интенсивность смертности ^ функцией вида А + Ве™, параметр А учитывает

риски жизни, связанные с несчастными случаями, а слагаемое Веа учитывает влияние возраста на смертность. В этой модели

В

S(x) = exp f (x) = ( A + Be а x) exp

Ax -— (eax -1) а

-Ax - B (eаx -1) а

ах (А, В, а) =1 8

1 -

да Г е (А + Ве а (х+г ))ехр - А( х + г) В (еа(х+г) -1)

0 _ а _

ехр - Ах - В (еах - -1)

а

да 1 -Г (А + Ве а (х))ехр -(8 + А)г - В (еа(х+г) - еах)

0 [а ]

8

(1.18)

Вычисление интегралов в выражениях рент (1.17) и (1.18) проводится приближенно методом трапеций при В = 0,00005, еа = 100 04 для модели Гомпертца и А = 0,0007, В = 0,00005, для модели Мейкхама (такие значения параметров используются в иллюстративной таблице продолжительности жизни в США [86]). Постоянное слагаемое А учитывает риски, связанные с несчастными случаями, а слагаемое Веах учитывает влияние возраста на смертность. Для сравнения величины рент (1.17) и (1.18) приведены в таблице 1.4.

Таблица 1.4 - Значения рент для различных возрастов (модели Гомпертца и Мейкхама при А = 0,0007, В = 0,00005, еа = 10004)

Возраст, х лет 10 20 30 40 50 60 70 80 90

ах (В, а) 9,94 9,86 9,7 9,38 8,79 7,79 6,34 4,56 2,82

ах (А, В, а) 9,87 9,79 9,64 9,32 8,74 7,76 6,31 4,54 2,81

Графики кривых соответствующих плотностей изображены на рисунках 1.5

и 1.6:

Рисунок 1.5 - Плотность распределения Гомпертца

Рисунок 1.6 - Плотность распределения Мейкхама Зависимость ренты ах (В, а) от возраста х при В = 0,00005 и еа = 10 0 04 на основе таблицы 1.4 представлена на рисунке 1.7.

Рисунок 1.7 - Зависимость ренты от возраста х для модели Гомпертца

Зависимость ренты ах (А, В, а) от возраста х на основе таблицы 1.4 представлена на рисунке 1.8.

х

Рисунок 1.8 - Зависимость ренты от возраста х для модели Мейкхама при

А = 0,0007, В = 0,00005 и еа = 100 04

Из таблицы 1.4 видно, что модель Мейкхама по сравнению с моделью Гомпертца более адекватно описывает процесс смертности человека: для детских возрастов в интенсивности смертности преобладает роль несчастных случаев, в то же время роль несчастных случаев ослабевает с увеличением возраста.

1.7.4 Модель Вейбулла

Функцию интенсивности смертности В. Вейбулл предложил задавать в виде

а а-1 г\

¡х = — х , а, а > 0, откуда а

£ (х) = ехр

ах (а,а) = — 5

V а У

1 -

Г/

Л\ ^ а—1

х) = х ехР

а

х

V а У

да Г — 5t а ( , да—1 1 е -Т (х + t) ехР 0 а ( х + t ^ а

V а У

ехр " ( х ) _ Vа У а

а

а

а

I (X + г )а-1

ехр

-Ъг -

/ . о

(х + г) - х

а

Л

(1.19)

V у

Интеграл в выражении ренты (1.19) вычисляется приближенно при а = 4,24

и а = 80,188 (при таких значениях параметров мода продолжительности жизни,

т.е. чаще всего встречающаяся продолжительность жизни равна 72,93). Значения

рент (1.19) приводятся в таблице 1.5.

Таблица 1.5 - Значения рент для различных возрастов (модель Вейбулла при а = 4,24 и а = 80,188)

Возраст, х Лет 10 20 30 40 50 60 70 80 90

ах (а, а) 9,88 9,72 9,42 8,97 8,37 7,65 6,85 6,02 5,21

График кривой соответствующей плотности изображен на рисунке 1.9:

Рисунок 1.9 - Плотность распределения Вейбулла

Тенденция зависимости ренты ах (а,а) от возраста х на основе таблицы 1.5 представлена на рисунке 1.10.

93

а :: (а, ст)

Рисунок 1.10 - Зависимость ренты от возраста х для модели Вейбулла при

а = 4,24 и а = 80,188

Из таблиц 1.1-1.5 и рисунков 1.1-1.10 следует, что значения ренты существенно зависят от распределения продолжительности жизни Х.

В главе 1 рассматриваются непрерывные пенсионные ренты стохастических пенсионных схем для основных моделей актуарной математики (модели де Муавра, Эрланга, Гомпертца, Мейкхама, Вейбулла). Приводятся основные принципы, на которых основано получение формулы непрерывной пенсионной ренты, исходя из простейшей и общей моделей детерминированной пенсионной схемы.

Вводятся понятия упреждающей и запаздывающей ренты, которые при большом числе малых платежей совпадают. В этом случае непрерывный поток платежей называется непрерывно выплачиваемой рентой. Далее, рассмотрены модели стохастических пенсионных схем (полная, временная и отсроченная пожизненные ренты), для которых приводятся формулы, определяемые функциями выживания индивидуумов. Показывается, что все ренты выражаются через соответствующие нетто-премии современной стоимости единичных страховых сумм.

1.8 Выводы по главе 1

Показывается, как с помощью введенного класса функционалов распределений продолжительностей жизни, находятся непрерывные ренты для основных моделей актуарной математики. Структура функционала удобна для использования параметризованных распределений моделей актуарной математики. Находятся функционалы для пяти наиболее часто используемых актуарных распределений: де Муавра, Эрланга, Гомпертца, Мейкхама и Вейбулла. Если параметры этих моделей неизвестны, то они находятся из решений систем уравнений, составленных согласно методу моментов. Вычисляются ренты при конкретных значениях параметров, приводятся таблицы и графики, которые подтверждают существенную зависимость значения ренты от выбора распределения продолжительности жизни.

2 ФУНКЦИОНАЛЫ КОЛЛЕКТИВНЫХ ПЕНСИОННЫХ РЕНТ

2.1 Понятие статуса

Далее мы будем изучать коллективные непрерывные ренты для различных статусов. Введем понятие статуса для совокупности индивидуумов [10,86]. Предстоящее время жизни k-го индивидуума обозначим через T (xk) = X - хк. Совокупности m чисел T(xj),T(х2),....,T(хот) поставим в соответствие статус U с продолжительностью жизни T (U). На практике в основном используются статус совместной жизни и статус выживания последнего.

Статус совместной жизни обозначается U := х :х2:...:хт, причем такой статус будем считать разрушенным, если наступила смерть хотя бы одного из индивидуумов, т.е. T(U) = min(T(х),T(х2),...,T(хш)). Понятно что

P{T(U) > t} = P{min(T(xx),T(x2),...,T(хя)) > t} = P{T(x) > t,T(x2) > t,...,T(xm) > t},

m

а в случае, когда наблюдается независимость смертей, P{T(U) > = рх , где

1=1 '

Р = P {X > х +1}.

Введем обозначение: U := х :х2:...:хт - статус выживания последнего, который разрушается, когда наступает смерть последнего представителя коллектива, т.е. T(U) = max(T(х),T(х2),...,T(хт)). Аналогично,

P{T(U) < t} = P{max(T(x),T(x2),...,T(xm)) < t} = P{T(Xi) < t,...,T(X2) < t,...,T(Xm) < t},

я

и в предположении независимости смертей P{T(U) < t} = ^ tqx, где tqx = 1 — рх.

1=1 1 1

В актуарной математике рассматриваются и более сложные статусы, например, статус выживания k последних (k-survivor status), точный статус выживания k последних ([k]-deferred survivor status), которые находят применение при расчёте аннуинитетов [10, c. 107], [86, c. 484]. Также находят применение смешанные статусы, в основе которого лежит комбинация статусов.

2.2

Функционалы рент для статусов совместной жизни и выживания последнего

2.2.1 Статус для двух лиц

Рассмотрим статус совместной жизни для двух индивидуумов U := x: x2,

для которого T(U) = min(T(x),T(x2)). По аналогии со случаем индивидуальной

ренты, рента статуса совместной жизни для двух индивидуумов выразится формулой

1

г

a (5) = - 1 -f е -&tf (t )dt

Х1 X £ J X :X2

5 V 0

где плотность распределения этого статуса

f™ (t)=d(-^{min(r (х-), t (> t»=

(2.1)

r S (x +1) S (X2 +1)Л " S(-X-) S(x2)

f (x- + t) S(x2 +t) + ^ = fx (t)S (t) + f^ (t)^ (t),

S. (t) =

S (X-) S (X2) S (X-) S (X2) S (X +1)

X2 X1

S (X.)

, i = 1,2 - функция выживания случайной величины T , fx (t) - её

плотность распределения. Формулу (2.1) можно записать также в виде

/да Л

ä,:* (5) = -

1 + (е - StdS (t )dt

J X1-X2

v 0

(2.2)

d

где — (-Бх.х ^)) = /х.х ^). Отметим, что выражение (2.2) позволяет синтезировать

простую оценку ренты статуса х : х2.

Запишем неравенство, связывающее ренту статуса совместной жизни и его индивидуальную нетто-премию:

~äX (8) =

1

да Л 1

1 е ~5t + fXi(t)SXi(t) ] dt > 11 - Ax1-Ax2 ). (2.3)

v 0

В случае статуса выживания последнего для двух индивидуумов U := хх : х2, для которого T (U) = max \T (х ),T (х2)}, рента выразится формулой

а— (5) =1

xi:x2 5

( ^

1 - f е-5tf— (t)dt

J Xi .^2

V о у

где плотность распределения статуса выживания последнего

fx^ (t) = d (P imax (T (Xi),T (X2) t})

^F (x +1) F (x2 +1 )Л

dt

S (x) S (x2)

у t

Z^+O + /fe+O = fx (t) F (t) + f (t)Fx (t),

Fx. (t) =

S(Xj) S (x2) S (Xj) S (x) F (x +1) .

x1 x2

x2 x1

S (x)

, i = 1,2 - функция распределения случайной величины Tx .

Формулу (2.4) можно записать в виде

а— (5)

v •V. 4 У

1

1 - f е"udF— (t)

J x1 .x2

V 0

(2.5)

где d(F— (t)) = f— (t). Выражение (2.5) позволяет синтезировать простую

dt V x1:x2 ' x1: x2

оценку ренты статуса x : x2. По аналогии с неравенством (2.3) получаем

а— (5) = -

x1:x2 5

да Л 1

1 - j е [ fx, (t)FXl (t) + fH (t)Fx (t) ] dt >-(1 - Ä2). (2.6)

V 0

2.2.2 Статус для m лиц

Рассмотрим статус совместной жизни для m индивидуумов U := x :...: xn для которого T (U) = min {T (x),..., T(xm)}. По аналогии с формулой (1.12)

ах . x (5) = 1

x1.....xm х ' g

1 -f е - StU,xm (t) ät

V 0

(2.7)

fXl,,Xm(t) = d[-P{min(T(x1),T(x),...,T(xm)) > t}] = d

S (x +1 )w w S (xm +t)

X ... X

S ( x1) S ( xm )

=I

S (x +1) d

i=1 S (Xj) dt