Экономико-математические модели актуарной оценки страховых премий по данным из малых выборок при различных формах зависимости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 08.00.13, доктор экономических наук Кудрявцев, Андрей Алексеевич

• Кудрявцев, Андрей Алексеевич
• доктор экономических наук
• 2011

Оглавление диссертации доктор экономических наук Кудрявцев, Андрей Алексеевич

Введение б

Глава 1. Оценка страховых премий (тарификация) в краткосрочном страховании

1.1. Концепции актуарного моделирования

1.1.1. Расширение сферы актуарного анализа

1.1.2. Традиционная концепция актуарного моделирования

1.1.3. Современная концепция актуарного анализа

1.2. Основные подходы к ценообразованию (тарификации) в краткосрочном страховании

1.2.1. Общая характеристика ценообразования в страховании

1.2.2. Технико-экономический (актуарный) подход к оценке страховых премий

1.2.3. Финансово-экономический (рыночный) подход к оценке страховой премии

1.2.4. Согласование технико-экономического и финансово-экономического подходов

1.3. Задачи ценообразования и расширение сферы актуарного моделирования

ЗЛ^ Ценообразование не может рассматриваться как изолированная функция страховщика

1.3.2. Отбор факторов риска при согласовании тарифов

1.3.3. Особенности оценки страховых премий, обусловленные спецификой имеющейся страховой статистики

1.4. Выводы по главе

Глава 2. Модели оценки страховых премий (обзор литературы)

2.1. Модели оценки с учетом качества данных

2.1.1. Идея оценивания с учетом качества данных

2.1.2. Основные типы моделей оценивания с учетом качества данных

2.1.3. Модели оценки с учетом качества данных как регрессионные модели

2.1.4. Методы оценки с учетом качества данных с точки зрения теории принятия статистических решений

2.1.5. Оценки Джеймса - Стейна

2.2. Некоторые важные типы регрессионных моделей

2.2.1. Регрессионные модели при наличии мультиколлинеарности

2.2.2. Квантильная регрессия

2.3. Выводы по главе

Глава 3. Учет зависимости при оценке страховых премий с учетом качества данных о выплатах

3.1. Проблема зависимости в при оценке страховых премий

3.2. Зависимость в ненаблюдаемых характеристиках риска при оценивании премий с учетом качества данных

3.2.1. Общая характеристика влияния зависимости ненаблюдаемых характеристик риска при оценивании премий с учетом качества данных

3.2.2. Иерархическая модель с общими эффектами

3.3. Модели Бюльманна и Бюльманна-Штрауба с альтернативной структурой зависимости

3.3.1. Ковариационная матрица со специальной гребневой структурой

3.3.2. Пример расчета на реальных данных

3.3.3. Произвольная ковариационная матрица

3.4. Регрессионные модели с учетом качества данных при наличии мультиколлинеарности

3.4.1. Мультиколлинеарность в регрессионной модели с учетом качества данных

3.4.2. Модификации регрессионной модели с учетом качества данных, обеспечивающие оценки, не чувствительные к мультиколлинеарности

3.4.3. Сведение проблемы мультиколлинеарности к решению недоопределенной системы линейных уравнений

3.4.4. Пример оценок с учетом качества данных в условиях мультиколлинеарности

3.5. Выводы по главе

Глава 4. Альтернативные подходы к оценке страховых премий на малых выборках

4.1. Оценки Джеймса - Стейна в моделях прогнозирования страховых премий

4.1.1. Общая характеристика использования оценок Джеймса-Стейна к прогнозированию страховых премий

4.1.2. Оценки Джеймса-Стейна, основанные на нормальном распределении, при условиях независимости и одинаковых распределений

4.1.3. Оценки Джеймса-Стейна, основанные на нормальном распределении, при произвольных ковариационных матрицах

4.1.4. Дисперсионный анализ и учет точности актуарных оценок

4.1.5. Нормальная аппроксимация

4.1.6. Оценки, основанные на распределениях из экспоненциального класса

4.1.7. Имитационное моделирование

4.2. Особенности применения метода квантильной регрессии для оценки нетто-премий по страховым договорам

4.2.1. Квантильная регрессия хорошо согласуется с особенностями данных и процедурами оценки страховой премии

4.2.2. Сравнение квантильной регрессии с классическими регрессионными методами в контексте оценки нетто-премий

4.2.3. Пример использования метода квантильной регрессии

4.2.4. Имитационное моделирование

4.3. Выводы по главе 234 Заключение 238 Список использованной литературы 244 Приложение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Экономико-математические модели актуарной оценки страховых премий по данным из малых выборок при различных формах зависимости»

Актуальность. Страхование - важная область финансовых операций и управления рисками, которая обеспечивает устойчивость работы всего народного хозяйства. В то же время эффективное функционирование страхования во многом зависит от правильной оценки страховых премий, отражающих принятые страховщиком обязательства по возмещению будущего ущерба. Слишком высокие премии означают потерю части клиентов и, следовательно, снижение финансового результата работы страховщика, что ставит под сомнение возможность заключения страховых договоров в будущем. Недостаточно высокие премии означают неоправданное повышение риска неплатежеспособности страховой организации и срыв выполнения обязательств по уже действующим договорам.

В этой связи, необходимость получения как можно более точной оценки страховых премий не является чисто техническим вопросом, а определяет все стороны работы страховой организации, особенно финансовую. Иными словами, от выбора методов прогнозирования размера премий часто зависит финансовое состояние страховщика, устойчивость его работы и эффективность будущего развития.

С актуарной точки зрения страховые премии должны соответствовать ожидаемым выплатам, отражая финансовую устойчивость страховых операций. Иными словами, оценка страховой премии должна основываться на прогнозе будущих выплат: премии рассматриваются не столько как цены на специфические страховые услуги, сколько как оценки будущего риска, базирующиеся на указанном прогнозе. Это требует разработки специфических методов оценивания страховых премий и их компонентов, основанных на экономико-математических моделях прогнозирования основных характеристик страховых выплат.

Важной особенностью подобных моделей должен быть учет особенностей страховой статистики, используемой для установления значений параметров моделей. Среди указанных особенностей для краткосрочного страхования, прежде всего, следует назвать ограниченность объема статистики (малые выборки) и наличие достаточно сложных форм зависимости данных. В ряде случаев это делает неприменимыми классические подходы к оцениванию (в частности, оценки получаются статистически незначимыми), так что возникает дефицит инструментария для научно обоснованной оценки страховых премий.

Таким образом, необходимость диссертационного исследования обусловлена важностью разработки вопросов оценки страховых премий для страховой организации, в частности занимающейся краткосрочными (имущественными) видами страхования. Для обеспечения финансовой устойчивости страховой организации и обеспечения экономических интересов ее клиентов указанные вопросы должны решаться на хорошо проработанной научной основе с учетом практических особенностей работы страховщика (например, для случаев ограниченности объема данных и наличия различных форм зависимости в них).

Это определяет выбор темы данного исследования, которое направлено на решение важной научной проблемы - развитие теории и методологии актуарных расчетов с целью создания универсальных методов прогнозирования страховых премий, учитывающих ограниченность данных о прошлых выплатах (малые выборки) и наличие сложных форм зависимости между ними.

Степень разработанности проблемы. Методологической основой диссертации послужили работы российских и зарубежных специалистов по оценке страховых премий, фундаментальные исследования по актуарному анализу, исследованию операций и математической статистике.

Имеется обширная литература по вопросам оценки страховых премий, особенно в контексте оценивания премий с учетом качества данных: традиционно используемые подходы в данной области развивали такие российские и зарубежные авторы, как В.Н. Баскаков, А. Бейли, X. Бюль-манн, Г. Вентер, Х.-У. Гербер, А. Гислер, М. Гоовэртс, Д. Данненбург, Ф. Де Вильдер, Д.В. Денисов, У. Джеуелл, С.К. Завриев, И.Б. Котлобовский, В.Ю. Королев, Э. Кремер, Т. Мак, Г. Малер, В.В. Новиков, Р. Норберг, Б. Сундт, Г. Тейлор, Б. де Финетти, Ч. Хахемайстер, М. Харди, Б. Ценвирт, В.П. Чернов, Э. Штрауб.

Указанные авторы основное внимание уделяли моделированию ситуаций возникновения ущерба, демонстрирующих поведение, близкое к идеальному. Прежде всего, речь идет об использовании предпосылок о достаточно простых формах зависимости между выплатами и об определенных типах выборочных оценок.

В последние годы делались попытки разработки более реалистичных моделей. Среди авторов «новой волны» можно назвать К. Антонио, И.Ю. Бардина, К. Болансе, Э. Вальдеса, Л. Вэня, X. Гарридо, Э. Гомеса-Дениса, М. Денуи, М.В. Ермолаеву, Б. Йохансена, 3. Ландсмана, М. Мерца, В. Нойхауса, Е. Ольсона, Э. Фриза, В. Янг. Однако построить актуарные модели оценки страховых премий, обеспечивающие универсальность и достаточную широту диапазонов их применения, пока не удалось: практика страхования демонстрирует намного более широкий круг ситуаций по сравнению с теми, для которых до сих пор предлагался подходящий экономико-математический инструментарий оценивания. Методы, применяемые актуариями, все еще носят частный характер и ориентированы на достаточно узкие наборы практических ситуаций.

В области математической статистики был предложен ряд подходов, которые могли бы помочь преодолеть дефицит инструментария, используемого актуариями. В первую очередь, следует обратить внимание на работы К. Банерджи, Й. Грасса, М. Грубера, И.А. Ибрагимова, P. Kappa, Р. Кёнкера, Р. Кеннарда, Т. Кубокавы, Ч. Морриса, Дж. Нельдера, К. Отани, К.Р. Pao, П. Руссеева, А.К.Мд.Е. Салеха, К. Стейна, Б. Свинделя, Л. Фирин-гетти, А. Хёрла, X. Цукумы, Б. Эфрона. Однако со стороны актуариев и других специалистов в области экономико-математического моделирования страховых и финансовых операций не предпринималось усилий к исследованию возможности и диапазона применения соответствующих результатов и их адаптации для прогнозирования размера страховых премий.

В целом, применяемые до настоящего времени модели и методы не позволяют в полной мере учесть особенности данных, имеющих место в страховой практике. Это оставляет простор для разработки новых подходов в данной области.

Цель и задачи исследования. Цель исследования состоит в разработке и развитии комплекса экономико-математических моделей актуарной оценки страховых премий и в выявлении диапазонов применения альтернативных подходов с учетом ограниченности объема страховых данных и сложных форм их зависимости. В рамках исследования поставлены и решены следующие задачи:

• уточнить роль и место актуарных методов в процессах принятия решений по прогнозированию страховых премий;

• выявить особенности страховой статистики, используемой для оценки параметров экономико-математических моделей страховых премий и на этой основе установить границы и диапазоны применения актуарных методов, традиционно используемых на практике;

• изучить механизмы влияния характеристик риска на вид оценки ожидаемой нетто-премии;

• показать, что зависимость между факторами риска, не имеющими количественного выражения, не влияет на вид оценки ожидаемых нетто-премий;

• исследовать особенности оценки премий при ограниченном объеме данных для определенных типов ковариационных матриц (в рамках разработки и развития прикладной статистики как аппарата актуарного анализа страховых операций);

• предложить основные подходы к получению прогнозов страховых премий при наличии мультиколлинеарности факторов риска и выявить диапазоны их применения;

• изучить особенности и диапазоны применения оценок Джеймса -Стейна для оценивания страховых премий, что позволит расширить аппарат актуарного анализа страховых операций;

• обосновать и разработать метод оценки нетто-премии на основе применения квантильной регрессии, что обеспечивает развитие методов эконометрики и прикладной статистики как инструментария актуарного анализа страховых операций.

Объектом исследования является страховая организация, занимающаяся краткосрочными (имущественными) видами страхования, в части выполнения ею одной из основных функций - ценообразования по вновь заключаемым договорам на основе актуарных моделей и методов.

Предметом исследования являются процессы возникновения будущего ущерба и, соответственно, прогнозирование ряда характеристик будущих страховых выплат в целях ценообразования на основе системы экономико-математических актуарных моделей оценки страховых премий с учетом особенностей страховой статистики, прежде всего малого объема выборок и наличия сложных форм зависимости между данными.

Методическую и теоретическую основу исследования составили принципы построения моделей актуарного анализа страховых операций, а также аппарат эконометрики и прикладной статистики. При разработке новых методов оценивания страховых премий использовались различные методологические подходы и методы научного познания, в том числе системного анализа, теории вероятностей и математической статистики, регрессионного анализа и имитационного моделирования. Для проверки моделей на реальных примерах и проведении имитационных исследований использовалось стандартное программное обеспечение MS Excel VBA.

Информационную основу исследования составили практические данные, предоставленные крупными российскими страховыми организациями по своим страховым портфелям. Эти данные использованы как основа для выявления особенностей реальной страховой статистики и проверки применимости методов прогнозирования страховых премий, разработанных в диссертации.

Научная новизна диссертации состоит в построении комплекса новых экономико-математических актуарных моделей оценки премий с учетом качества данных для ситуаций с различными структурами зависимости в используемой статистике в условиях ограниченности ее объема, а также в определении условий и границ применения ряда статистических методов, которые ранее в области страхования не использовались.

Наиболее существенными являются следующие результаты диссертационного исследования, полученные лично соискателем и выносимые на защиту:

1. По-новому рассмотрены роль и место экономико-математических актуарных методов в процедурах принятия решений о размере страховых премий по вновь заключаемым договорам страхования. Показано существенное усиление ведущей роли актуарных методов в целом как основного инструмента научного обоснования управленческих решений в страховании. При этом значение методов оценки страховых премий еще больше увеличивалось в связи с тем, что прогнозирование премий важно для обеспечения финансовой устойчивости страховщиков. Предлагаемые в работе актуарные методы позволяют повышать качество таких прогнозов по сравнению с результатами исследований X. Бюльманна, Х.-У. Гербера, А. Гислера, М. Гоовэртса, Ф. Де Вильдера, У. Джеуелла, Э. Кремера, Р. Нор-берга, Б. Сундта, Г. Тейлора и Б. Ценвирта. В результате использования разработанных в диссертации методов управление страховыми организациями должно значительно улучшаться.

2. Выявлена и проанализирована специфика информационного обеспечения экономико-математических актуарных моделей прогнозирования страховых премий по краткосрочным видам страхования. В частности, показано, что в процессе построения и практического применения указанных моделей ключевую роль играют такие особенности страховой статистики, как неоднородность данных, малый и сверхмалый объем выборки, наличие разных форм зависимости в наблюдаемых данных. Не все из них (в первую очередь, сложные формы зависимости) учитываются в традиционно используемых актуариями методах оценки страховых премий, разработанных А. Бейли, X. Бюльманном, Г. Вентером, Л. Вэнем, X. Гарридо, А.

Гислером, М. Гоовэртсом, Д. Данненбургом, М. Денуи, Ф. Де Вильдером, У. Джеуеллом, Э. Кремером, Т. Маком, Р. Норбергом, Б. Сундтом, Г. Тейлором, Ч. Хахемайстером, М. Харди, Б. Ценвиртом и Э. Штраубом, что существенно ограничивает диапазоны их применения. На этой основе обнаружены области и наборы практических ситуаций, для которых требуется разработка новых методов, предложенных в работе.

3. Впервые проанализированы прямой и косвенный механизмы влияния характеристик страхового риска на вид оценки ожидаемой нетто-премии, а также взаимное соотношение указанных механизмов. Показано, что прямой механизм оценки не учитывается в методах оценки страховых премий, разработанных А. Бейли, X. Бюльманном, А. Гислером, М. Гоовэртсом, Д. Данненбургом, Ф. Де Вильдером, М. Денуи, У. Джеуеллом, Т. Маком, Р. Норбергом, Б. Сундтом, Г. Тейлором, Б. де Финетти, Ч. Хахемайстером, М. Харди, Б. Ценвиртом и Э. Штраубом, что снижает их практическую ценность. Тем самым выявлена и обоснована необходимость разработки новых актуарных методов, учитывающих сложные формы зависимости в страховой статистике.

4. Доказано, что прогноз премии (вид формулы оценки наименьших квадратов) определяется особенностями воздействия на наблюдаемые данные о выплатах количественно неизмеримых факторов риска, но не наличием и характером зависимости между данными факторами. Это означает, что предпосылки модели о механизме взаимосвязи таких факторов не являются ключевыми, и, игнорируя их, можно в определенной степени упрощать постановки соответствующих экономико-математических моделей и снижать требования к информационному обеспечению процесса оценки страховых премий, что важно для практических приложений.

Кроме того, полученная формула обобщает результаты Э. Вальдеса, Ф. Де Вильдера, У. Джеуелла, Б. Сундта и Б. Ценвирта.

5. Впервые разработана модель оценивания страховых премий по данным из малых выборок для ковариационных матриц со специальной гребневой структурой. Для этого случая получена оптимальная оценка (в смысле обычного квадратичного критерия), которая позволяет учесть более широкий набор форм зависимости данных, чем традиционный подход. Оптимальность оценки доказана в виде математического утверждения. Подобная модель отвечает более широкому кругу практических ситуаций, чем традиционно используемые методы, предложенные X. Бюльманном, X. Гарридо, Х.-У. Гербером, А. Гислером, Э. Гомесом-Денисом, М. Гоовэр-тсом, Ф. Де Вильдером, М. Денуи, У. Джеуеллом, Э. Кремером, Т. Маком, Р. Норбергом, Б. Сундтом, Г. Тейлором, Б. де Финетти, Ч. Хахемайстером, М. Харди и Б. Ценвиртом.

6. Впервые построены регрессионные модели оценки премий с учетом качества данных с целью получения методов, нечувствительных к наличию мультиколлинеарности, которая встречается в реальной страховой статистике. Это принципиально отличает предлагаемые модели от результатов исследований М. Гоовэртса, Ф. Де Вильдера, У. Джеуелла, Э. Кремера, Р. Норберга, Б. Сундта и Ч. Хахемайстера. Определены диапазоны применения методов, разработанных в диссертации, в связи с необходимостью использования дополнительной информации об особенностях тарифной системы. На этой основе предложены рекомендации по выбору соответствующих методов и их применению для прогнозирования размера будущих страховых выплат и, следовательно, размера страховых премий.

7. Разработаны новые методы прогнозирования ожидаемых нетто-премий на основе оценок Джеймса - Стейна, используемых в математической статистике. С помощью имитационного моделирования (метод Монте-Карло) показано, что их применение позволяет лучше учесть вид зависимости в данных о выплатах и повысить точность прогноза страховой премии (в смысле минимизации квадратичной ошибки оценки) по сравнению с результатами А. Бейли, X. Бюльманна, Л. Вэня, Х.-У. Гербера, А. Гис-лера, М. Гоовэртса, Ф. Де Вильдера, У. Джеуелла, Э. Кремера, Г. Малера, Р. Норберга, Б. Сундта, Г. Тейлора, Б. де Финетти, Ч. Хахемайстера, М. Харди, Б. Ценвирта, Э. Штрауба и В. Янг.

8. Показаны особенности применения метода квантильной регрессии в данной области приложений. Предложены модификации данного метода, позволяющие оценивать не только ожидаемые нетто-премии, но и рисковые надбавки, что дает возможность системно решать с помощью одного подхода несколько взаимосвязанных задач прогнозирования страховых премий. Определены возможности и диапазоны применения методов квантильной регрессии в данной области, показаны преимущества их использования по сравнению с традиционными подходами (с регрессионными моделями на основе метода наименьших квадратов и с обобщенными линейными моделями), которые применялись А. Гислером, М. Го-овэртсом, Д. Данненбургом, Ф. Де Вильдером, У. Джеуеллом, Э. Креме-ром, 3. Ландсманом, М. Мерцем, В. Нойхаусом, Р. Норбергом, Б. Сундтом, Г. Тейлором, Э. Фризом, Ч. Хахемайстером и Б. Ценвиртом.

Область исследования. Полученные новые результаты соответствуют Паспорту специальности 08.00.13 - «Математические и инструментальные методы экономики», а именно пунктам:

1.1. Разработка и развитие математического аппарата анализа экономических систем: математической экономики, эконометрики, прикладной статистики, теории игр, оптимизации, теории принятия решений, дискретной математики и других методов, используемых в экономико-математическом моделировании - результат 4 (частично);

1.2. Теория и методология экономико-математического моделирования, исследование его возможностей и диапазонов применения: теоретические и методологические вопросы отображения социально-экономических процессов и систем в виде математических, информационных и компьютерных моделей - результаты 1, 2 и 3;

1.6. Математический анализ и моделирование процессов в финансовом секторе экономики, развитие метода финансовой математики и актуарных расчетов - результаты 4 (частично), 5, 6, 7 и 8.

Обоснованность и достоверность полученных результатов. Обоснованность результатов и выводов исследования определяется методологией проведенного исследования, полнотой анализа теоретических и практических разработок; использованием адекватных предпосылок предлагаемых экономико-математических актуарных моделей оценки страховых премий, определением границ их применения, аргументированным процессом их формализации и интерпретации результатов; корректным применением современных методов обработки данных исследования на основе математической статистики и эконометрики, проведением проверок с помощью имитационного моделирования на базе статистических данных по реальным страховым портфелям.

Достоверность обеспечивается путем систематичного построения комплекса предложенных экономико-математических моделей и корректного использования математических методов при исследовании этих моделей. Основные положения работы, связанные с новыми типами предлагаемых оценок страховых премий, сформулированы в виде утверждений и доказаны. Результаты соответствуют статистическим данным.

Оценки, полученные предлагаемыми в работе методами, имеют более узкие доверительные интервалы по сравнению с традиционными актуарными методами, что обеспечивает более высокую статистическую значимость этих оценок.

Теоретическая значимость работы состоит в том, что она способствует развитию научных знаний в области теории и методологии актуарного анализа, углубляя и развивая отдельные теоретические положения и экономико-математический инструментарий моделирования страховых операций за счет создания комплекса взаимосвязанных моделей и методов прогнозирования страховых премий, учитывающих ограниченность данных о прошлых выплатах (малые выборки) и наличие сложных форм зависимости между ними. В основу предложенных методов положены новые экономико-математические модели оценки страховых премий по краткосрочному страхованию. Кроме того, при их построении обсуждаются вопросы применимости нового (для актуарного анализа) математического аппарата: оценок Джеймса - Стейна и квантильной регрессии.

Практическая значимость работы заключается в том, что решаемая в диссертации научная проблема имеет важное хозяйственное значение, связанное с получением более точных и достоверных прогнозов размера страховых премий и в более широких диапазонах их применения по сравнению с методами, используемыми актуариями до настоящего времени. Предложенные в диссертации методы могут быть непосредственно использованы в работе страховых организаций, что позволяет:

• принимать во внимание больший объем количественной и качественной информации при принятии решений о размере страховых премий, что повышает их достоверность и обоснованность;

• расширить инструментарий экономико-математических моделей и методов актуарного анализа, с помощью которого актуарий может прогнозировать размер страховых премий;

• повысить точность прогнозирования будущих выплат и корректность процедур ценообразования, что обеспечит более высокую финансовую устойчивость работы страховых организаций.

Структура диссертационного исследования определена поставленными задачами. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы и приложения.

Заключение диссертации по теме «Математические и инструментальные методы экономики», Кудрявцев, Андрей Алексеевич

4.3. Выводы по главе

1. В ходе исследования возможности применения оценок Джеймса -Стейна при различных видах зависимости при оценке страховых премий установлено следующее:

• Традиционную актуарную оценку (2.1) для модели Бюльманна можно рассматривать как частный случай оценок Джеймса - Стейна. Хотя эта связь осознавалась как актуариями, так и статистиками, подробно она до сих пор не исследовалась. Сами оценки Джеймса - Стейна изучались на предмет сравнения с несмещенной оценкой типа хі или в отношении улучшения их качества. В данной главе они исследованы как альтернатива традиционным актуарным оценкам.

• Хотя имеются некоторые различия в предпосылках, лежащих в основе оценок, они могут быть использованы в актуарных расчетах. Это связано с возможностью аппроксимаций и использованием более широкого набора распределений для конструирования оценок Джеймса - Стейна (в частности, экспоненциального класса). Оценки Джеймса - Стейна хорошо увязываются с дисперсионным анализом.

2. На этой основе предложены альтернативные оценки страховых премий, позволяющие более полно учитывать типы зависимости данных, и выявлены особенности их практического применения. В результате имитационного моделирования на основе метода Монте-Карло, предполагающего сравнение различных критериев качества указанных оценок для разнообразных типов зависимости, которые встречаются на практике, получены диапазоны применения альтернативных оценок. Во многих случаях они позволяют получить лучший результат, чем традиционная актуарная оценка. Исключение представляют только случаи слабой зависимости, которые редко встречаются в страховой практике. В случае полной независимости следует выбирать «положительную» версию оценки (4.3). При наличии зависимости лучше использовать оценку Морриса (4.13), предполагающую гамма-аппроксимацию с подходящим выбором параметра формы у.

3. В целом, практическая рекомендация по результатам исследования состоит в том, что при использовании результатов теории учета качества данных необходимо проводить предварительное исследование структуры и степени зависимости. Некоторые свойства распределения,

235 лежащего в основе данных, например, величина асимметрии, также могут существенно влиять на качество оценок. Указанная информация должна учитываться при принятии решения о выборе типа оценки из числа предложенных в работе.

4. Анализ регрессионных методов, которые могут быть использованы для оценки размера страховой премии, показал, что традиционные подходы (метод наименьших квадратов и метод обобщенных линейных моделей) обладают рядом существенных недостатков. Прежде всего, необходимо выполнение соответствующих предпосылок, которые на практике часто нарушаются. При этом трудно оценить порядок ошибки, связанный с таким нарушением. Кроме того, имеются и содержательные сложности приложения результатов расчетов к практическим ситуациям.

5. В этой связи предложено использовать в качестве альтернативы метод квантильной регрессии. Он позволяет преодолеть недостатки классических подходов, что дает возможность характеризовать его как универсальный метод оценки нетто-премии. Даже если выполняются предпосылки классических регрессионных методов, оценки по методу квантильной регрессии не намного уступают по эффективности. Но в ситуации, когда указанные предпосылки нарушаются, такие оценки существенно, как видно из примера, проигрывают оценкам квантильной регрессии.

6. Среди преимуществ метода квантильной регрессии можно отметить, в первую очередь, его неприхотливость к используемым данным. Это выражается в независимости метода от функции распределения, робаст-ном характере оценок и отсутствии смещения. Кроме того, нужно отметить достаточно узкий доверительный интервал для оценок квантильной регрессии по сравнению с оценками классических методов, что наглядно видно из примера. В рассмотренном примере оценка нетто-премии по методу квантильной регрессии дает оценку, наиболее конкурентную на рынке среди всех рассмотренных методов. Особую важность имеет тот факт, что предложенный метод хорошо согласуется с идеей определения нетто-премии, что повышает адекватность полученных результатов.

7. Таким образом, оценки нетто-премии, полученные на основе метода квантильной регрессии, обладают лучшими техническими свойствами и более удачной интерпретацией. Это открывает дополнительные возможности для использования данного метода в актуарном анализе.

Заключение

В ходе проведенного диссертационного исследования установлено следующее:

• Определение размера страховых премий как объема принятых обязательств является важнейшей составной частью процесса принятия решений в страховой организации.

• Ключевую роль в процессе принятия решений по размеру страховых премий играют экономико-математические актуарные модели оценивания страховых премий.

• Экономико-математические и статистические актуарные модели оценки страховых премий должны учитывать следующие особенности страховой статистики - неоднородность данных, их ограниченность и наличие различных форм связи между ними.

• В качестве инструмента оценки страховых премий модели оценивания с учетом качества данных развиваются достаточно давно. Они хорошо приспособлены к построению оценок, характеризующихся ограниченностью объема данных и их неоднородностью. Однако диапазон применения таких оценок недостаточно широк. Это обусловлено использованием в моделях предположений об относительно простых формах зависимости используемых данных, что на практике реализуется достаточно редко.

• Экономико-математические и статистические актуарные модели оценки страховых премий должны учитывать факторы страхового риска, при этом отбор таких факторов также является самостоятельной задачей.

• В страховой практике встречаются разнообразные типы и формы зависимости между наблюдаемыми данными о прошлых страховых выплатах и факторами риска. Учет этих форм зависимости позволит существенно повысить адекватность моделей оценки страховых премий и точность прогнозирования последних. Однако учет других дополнительных особенностей страховой статистики (прежде всего, ограниченности ее объема) существенно усложняет модели оценки страховых премий.

• При исследовании влияния факторов риска на страховые выплаты актуарии часто сталкиваются с мультиколлинеарностью между наблюдаемыми факторами. Традиционные регрессионные модели с учетом качества данных в подобных ситуациях не позволяют получать оценки, т.к. они работают только для матриц с полным рангом, что сужает область применения таких моделей в актуарной практике. Методы, нечувствительные к мул ьти колли неарности, станут более универсальным инструментом анализа.

• Как инструмент прогнозирования страховых премий могут использоваться оценки Джеймса - Стейна, применяемые в математической статистике. Однако, прямое их применение в страховой практике невозможно в силу того, что предполагает использование ряда предпосылок, зачастую не соблюдаемых в практике страховании. При этом трудно оценить даже порядок ошибки, обусловленный нарушением этих предпосылок. Зачастую становится невозможной и интерпретация результатов, полученных при использовании оценок Джеймса - Стейна. Сказанное означает обязательность изучения области применения этих оценок в страховой практике как самостоятельной.

• В качестве метода оценивания нетто-премии традиционные регрессионные подходы (метод наименьших квадратов и метод обобщенных линейных моделей) обладают рядом существенных недостатков. Прежде всего, необходимо выполнение соответствующих предпосылок, которые на практике часто нарушаются. При этом трудно оценить порядок ошибки, связанный с таким нарушением. Кроме того, имеются и содержательные сложности приложения результатов расчетов к практическим ситуациям.

Все указанные выше недостатки применения традиционных актуарных методов определяют необходимость разработки новых моделей оценки страховых премий, повышающих точность прогноза. В ходе проведения исследования получены важные научные результаты:

1) Показана ведущая роль экономико-математических актуарных методов оценки страховых премий в процедурах научного обоснования и принятия решений об их размере, т.к. именно на их основе увязывается страховой риск с прогнозами будущих выплат, а следовательно, стоимости страховых услуг. По мере развития методов актуарного анализа роль экономико-математических моделей прогнозирования страховых премий возрастает;

2) Раскрыты особенности статистики страховых выплат, играющие ключевую роль при оценке премий (неоднородность рисков, ограниченность объема информации и наличие сложных форм зависимости в статистических данных). Они должны учитываться при построении соответствующих экономико-математических моделей в целях повышения точности прогноза размера премии, хотя для актуарных методов, традиционно используемых для оценки премий до настоящего времени, не все из них принимаются во внимание. В результате показано, что для некоторых ситуаций, встречающихся в страховой практике, эти методы неприменимы, так что выявлены границы и особенности применения традиционных актуарных методов прогнозирования размера страховых премий на основе оценки с учетом качества данных. В этой связи продемонстрирована необходимость разработки новых моделей такого типа;

3) Вскрыты различные механизмы влияния характеристик риска на размер страховых выплат и, соответственно, на размер страховых премий по заключаемым договорам. Показано, что прямой механизм влияния игнорировался традиционными методами оценки премий, используемых актуариями. На этой основе предложены новые методы, учитывающие данный механизм;

4) Показано, что важную роль для формы оценки размера страховой премии (вида формулы прогноза) играет влияние характеристик риска, не имеющих количественного выражения, на наблюдаемые данные о выплатах, но не формы зависимости между этими факторами. Этот результат означает, что предпосылки о зависимости между факторами риска можно считать несущественными и исходить из относительно простых соотношений, что упрощает постановки экономико-математических моделей;

5) Получена оценка ожидаемой нетто-премии для ковариационной матрицы со специфической гребневой структурой для данных о страховых выплатах. Построенная модель является обобщением актуарных моделей Бюльманна и Бюльманна - Штрауба и может быть использована на практике для более широкого набора типов зависимости в исходных данных;

6) Модифицированы традиционные регрессионные подходы к оценке страховых премий, чтобы обеспечить их нечувствительность к мультикол-линеарности факторов риска. В частности, использованы такие подходы, как переход к главным компонентам, гребневая регрессия и решение не-доопределенной системы нормальных уравнений. Эти подходы определяют новые методы оценивания страховых премий с учетом качества данных. С точки зрения условий применимости решение недоопределенной системы нормальных уравнений представляется наиболее гибким подходом;

7) Предложено использовать в качестве инструмента прогнозирования страховых премий оценки Джеймса - Стейна, используемые в математической статистике. Хотя традиционные актуарные методы можно рассматривать как частный случай таких оценок, предложенный метод обеспечивает более точные прогнозы из-за учета структуры ковариационной матрицы, что подтверждается результатами имитационного моделирования;

8) Рассмотрены возможности и условия применения метода квантиль-ной регрессии для оценки страховой премии, который позволяет преодолеть недостатки классических регрессионных методов, используемых актуариями. Среди преимуществ метода квантильной регрессии можно отметить его невысокую требовательность к используемым данным. Это выражается в независимости метода от функции распределения, робастном характере оценок и отсутствии смещения. Особую важность имеет тот факт, что предложенный метод обеспечивает хорошую экономическую ин-трепретацию, позволяя оценивать нетто-премию в целом (рисковая надбавка и ожидаемая нетто-премия оцениваются одновременно), что повышает адекватность полученных результатов.

Для практического использования предложенных моделей и методов рекомендуется:

1. Актуариям более тщательно изучать структуры зависимости данных о страховых выплатах с целью определения наиболее эффективных подходов к оценке будущих страховых премий. В ряде случаев подобная информация потребует применения более широкого круга моделей по сравнению с методами, традиционно используемыми актуариями.

2. Страховым организациям уделять особое внимание сбору статистической информации, ее полноте и комплексности, а также анализировать точность оценки страховых премий (по видам страхования) с целью повышения финансовой устойчивости страховых операций.

3. Органам страхового надзора и профессиональным актуарным ассоциациям сформулировать четкие методики и рекомендации по повышению точности оценки страховых премий на основе актуарных моделей, учитывающих различные формы статистической зависимости в данных о страховых выплатах.

Список литературы диссертационного исследования доктор экономических наук Кудрявцев, Андрей Алексеевич, 2011 год

1. Абдураманов P.A., Кудрявцев A.A. Анализ убыточности по договорам ОСАГО методом медианной регрессии // Финансы и бизнес. 2008. N92. С. 131-142.

2. Вартофский М. Модели: Репрезентация и научное понимание / Пер. с англ. М.: Прогресс, 1988. 507 с.

3. Введение в теорию порядковых статистик / Под ред. А.Е. Сархана и Б.Г. Гринберга. Пер. с англ. Под ред. А.Я. Боярского. М.: Статистика, 1970. 414 с.

4. Горелик В.А., Золтоева И.А., Печенкин Р.В. Методы коррекции несовместных линейных систем с разреженными матрицами // Дискретный анализ и исследование операций. Сер. 2. 2007. Т. 14. №2. С. 62-75.

5. Использование актуариев как составляющая часть модели надзора (рекомендации) / Международная ассоциация страховых надзоров. Октябрь 2003 г.

6. Поляков И.В., Чернова Г.В., Кудрявцев A.A. Актуарные расчеты в медицинском страховании и проблемы их информационного обеспечения // Проблемы социальной гигиены и история медицины. 1994. № 6. С. 28-31.

7. Кудрявцев A.A. Основные направления разработки типовых методик обоснования операций обязательного медицинского страхования // Проблемы перехода к рыночной экономике и опыт зарубежных стран: Сб. научных работ. Вып. IV. М.: МО РНФ, 1996. С. 82-97.

8. Поляков И.В., Кудрявцев A.A. Задачи актуарных расчетов по медицинскому страхованию // Бюллетень С.-Петербургского института медицинского страхования. Вып. 2. СПб., 1996. С.68-76.

9. Поляков И.В., Кудрявцев A.A. Особенности актуарных расчетов для добровольного медицинского страхования // Проблемы социальной гигиены и история медицины. 1996. № 4. С. 23-41.

10. Чернова Г.В., Поляков И.В., Кудрявцев A.A. Принципы андеррайтинга в медицинском страховании // Медицинское страхование. 1997. № 16. С. 34-37.

11. Кудрявцев A.A. Актуарная математика: Оценка обязательств компании страхования жизни. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2003. 240 с.

12. Кудрявцев A.A. Лекции по оценке премий для краткосрочных видов страхования. Часть 1. Совокупности однородных рисков. СПб.: Изд-во Ев-роп. ун-та в Санкт-Петербурге, 2004. 120 с.

13. Кудрявцев A.A. Лекции по оценке премий для краткосрочных видов страхования. Часть 2. Совокупности неоднородных рисков. СПб.: Изд-во Европ. ун-та в Санкт-Петербурге, 2005. 120 с.

14. Кудрявцев A.A. Концепции финансового прогнозирования страховых компаний // Финансы и бизнес. 2006. N94. С. 74 79.

15. Кудрявцев A.A. Регрессионная модель прогнозирования с учетом качества данных// Вестник Инжэкона. Серия «Экономика». 2006. № 4 (13). С. 159-163.

16. Кудрявцев A.A. Страницы истории развития актуарного анализа // Рынок страхования. 2008. №1. С. 22-26.

17. Кудрявцев A.A. Лекции по оценке премий для краткосрочных видов страхования. Часть 3. Учет качества данных. СПб.: Изд-во Европ. ун-та в Санкт-Петербурге, 2008. 108 с.

18. Кудрявцев A.A. Модель выбора инвестиционного портфеля на основе квантильных мер риска // Вестник СПбГУ. Сер. «Экономика». 2008. Вып. 4. С.95-102.

19. Кудрявцев A.A. Развитие концепции актуарного анализа // Вестник СПбГУ. Серия 5. «Экономика». 2009. Вып. 3. С. 134-147.

20. Кудрявцев A.A. Применение оценок Джеймса-Стейна в страховой математике // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2009. Т.16. Вып.2. С.359.

21. Кудрявцев A.A. Методология актуарного анализа. СПб.: СПбГУ, 2009. 204 с.

22. Кудрявцев A.A. Регрессионные модели с учетом качества данных при наличии мультиколлинеарности // Вестник Инжэкона. Серия «Экономика». 2010. Вып. 5 (40). С. 146-154.

23. Кудрявцев A.A. Функции страховщика. В кн.: Страхование: экономика, организация, управление. В 2-х т. / Под ред. Г.В. Черновой. Т.1. М.: Экономика, 2010. С. 155-183.

24. Кудрявцев A.A. Оценки Джеймса Стейна в ценообразовании страховых продуктов // Вестник Инжэкона. Серия «Экономика». 2010. Вып. 2 (37). С. 171-187.

25. Кудрявцев A.A. Модели Бюльманна и Бюльманна-Штрауба с альтернативной структурой зависимости // Вестник СПбГУ. Сер. 5. «Экономика». 2010. Вып. 4. С. 76-87.

26. Кудрявцев A.A. Регрессионные модели с учетом качества данных при наличии мультиколлинеарности // Вестник Инжэкона. Сер. «Экономика». 2010. Вып. 5 (40). С. 146-154.

27. Кудрявцев A.A. Сравнение оценок с ограниченной флуктуацией и оценок с наибольшей точностью в теории доверительного оценивания // Актуарий. 2010. №1. С. 43-47.

28. Кудрявцев A.A. Основные подходы к ценообразованию (тарификации) в страховании // Финансы и бизнес. 2011. №1. С.39-52.

29. Кудрявцев A.A. Иерархическая модель оценки страховых премий с учетом качества данных со структурой зависимости, порожденной общими эффектами (случай нормальных распределений) // Вестник Инжэкона. Сер. «Экономика». 2011. Вып. 2 (45). С. 186-193.

30. Кудрявцев A.A., Абдураманов P.A. Особенности применения метода квантильной регрессии для оценки нетто-премии по страховым договорам // Вестник Инжэкона. Серия «Экономика». 2008. Вып. 1. С. 182 190. (1,05 п.л.)

31. Кудрявцев А.А., Чернова Г.В. Мировой опыт подготовки актуариев // Вестник СПбГУ. Сер. 5. «Экономика». 1996. Вып. 3 (№19). С. 87-94.

32. Шеффе Г. Дисперсионный анализ. 2-е изд. М.: Наука, 1980. 512 с.

33. Abduramanov R., Kudryavtsev A. The method of quantile regression, a new approach to actuarial mathematics // 11th International Congress "Insurance: Mathematics and Economics" July 10-12, 2007, Piraeus, Greece. Book of Abstracts. P. 56-57.

34. Ahmed S.E., Ullah B. Improved biased estimation in an ANOVA model // Linear Algebra and its Applications. 1999. Vol. 289. P. 3-24.

35. Aigner D.J., Judge G.G. Applications of pre-test and Stein estimators to economic data // Econometrica, 1977. Vol. 45. N.5. P. 1279-1288.

36. Albrecht P. An evolutionary credibility model for claim numbers // ASTIN Bulletin. 1985. Vol. 15. N.l. P. 1-17.

37. Ammeter H.A. Potenzmittel-Credibility // Mitteilungen der Vereinigung schweizerischer Versicherungsmathematiker. 1980. Heft 3. S. 327-342.

38. Anderson D. et al. A practitioner's guide to Generalized Linear Models // CAS Discussion Paper Program. 2004. P. 1 -115.

39. Andrews D.F. A robust method for multiple linear regression // Techno-metrics. 1974. Vol. 16. P. 523-531.

40. Angers J.-F. et al. Vehicle and fleet random effects in a model of insurance rating for fleet of vehicles// ASTIN Bulletin. Vol. 36. N.l. P. 25-77.

41. Antonio K. et al. Lognormal mixed models for reported claims reserves // North American Actuarial Journal. 2006. Vol. 10. N.l. P. 30-48.

42. Antonio K., Beirlant J. Actuarial statistics with generalized linear mixed models // Insurance: Mathematics and Economics. 2007. Vol. 40. N.l. P. 58-76.

43. Antonio К., Beirlant J. Issues in claims reserving and credibility: a semi-parametric approach with mixed models // The Journal of Risk and Insurance. 2008. Vol. 75. N.3. P. 643-676.

44. Antonio K., Frees E.WV Valdez E.A. A multilevel analysis of intercompany claim counts//ASTIN Bulletin. 2010. Vol. 40. N. 1. P. 151-177.

45. Bacon R.W., Hausman J.A. The relationship between ridge regression and the minimum mean square error estimator of Chipman // Oxford Bulletin of Economics and Statistics. 1974. Vol. 56. N.2. P. 115-124.

46. Bailey A.L. Sampling theory in casualty insurance: Introduction and Parts I and II // Proceedings of the Casualty Actuarial Society. 1942. Vol. 29. P. 50-79.

47. Bailey A.L. Sampling theory in casualty insurance: Parts III trough VII // Proceedings of the Casualty Actuarial Society. 1942. Vol. 30. P. 31-65.

48. Bailey A.L. A generalised theory of credibility // Proceedings of the Casualty Actuarial Society. 1945. Vol. 32. P. 13-20.

49. Bailey A.L. Credibility procedures: Laplace's generalization of Bayes' rule and the combination of collateral knowledge with observed data // Proceedings of the Casualty Actuarial Society. 1950. Vol. 37. P. 7-23 (дискуссия там же p. 94-115).

50. Bailey R.A. Experience rating reassessed // Proceedings of the Casualty Actuarial Society: там же. 1962. Vol. 49. P. 90-98).

51. Bailey R.A., Simon L.J. An actuarial note on the credibility of experience of a single private passenger car // Proceedings of the Casualty Actuarial Society. 1959. Vol. 46. P. 159-164.

52. Bailey R.A., Simon L.J. Two studies in automobile insurance ratemaking //Proceedings of the Casualty Actuarial Society. 1960. Vol. 47. P. 1-19 (перепечатано в журнале: ASTIN Bulletin. 1960. Vol. 1. N.4. P. 192-217).

53. Bailey W.A. Operational bootsrapping for the least squares credibility Z //Actuarial Research Clearing House. 1994. N. 1. P. 227-258.

54. Balleer M. Pricing of insurance products: principles and framework. EAA Seminar on Actuarial Topics 'Pricing in General Insurance'. lst-3rd October 2008. St.Petersburg.

55. Banerjee K.S., Carr R.N. A comment on ridge regression. Biased estimation for non-orthogonal problems // Technometrics. 1971. Vol. 13. N.4. P. 895898.

56. Baranchik A.J. A Family of Minimax Estimators of the Mean of a Multivariate Normal Distribution // The Annals of Mathematical Statistics. 1970. Vol. 41. N.2. P. 642-645.

57. Bauwelinckx T., Goovaerts M.J. On a multilevel hierarchical credibility algorithm // Insurance: Mathematics and Economics. 1990. Vol. 9. N.2-3. P. 221228.

58. Belhadj H.; Vincent G., Ouellet T. On parameter estimation in hierarchical credibility//ASTIN Bulletin. 2009. Vol.39. N.2. P. 495-514.

59. Berger J. A robust generalized Bayes estimator and confidence region for a multivariate Normal mean // The Annals of Statistics. 1980. Vol.8. N. 4. P. 716-761.

60. Berger J.O. Statistical decision theory: foundations, concepts and models. Berlin et al.: Springer, 1980. 425 p.

61. Bermudez L., Denuit M., Dhaene J. Exponential bonus-malus system integrating a priori risk classification //Journal of Actuarial Practice. 2000. Vol. 9. P. 84-112.

62. Berry J.C. Improving the James-Stein estimator using the Stein variance estimator// Statistics and Probability Letters. 1994. Vol. 20. P. 241-245.

63. Bichsel F. Experience rating in subsets of risks // ASTIN Bulletin. 1967. Vol. 4. N.3. P. 210-227.

64. Birkes D., Dodge Y. Alternative methods of regression. N.Y. et al.: Wiley, 1993. 228 p.

65. Bolance C., Guillen M., Pinquet J. Time-varying credibility for frequency risk models: estimation and tests for autoregressive specifications on random effects // Insurance: Mathematics and Economics. 2003. Vol. 33. N.2. P. 273282.

66. Bolance C. et al. Greatest accuracy credibility with dynamic heterogeneity: the Harvey-Fernandes model // Belgian Actuarial Bulletin. 2007. Vol. 7. N.l. P. 14-18.

67. Bolance C., Guillen M., Pinquet J. On the link between credibility and frequency premium // Insurance: Mathematics and Economics. 2008. Vol. 43. N.2. P. 209-213.

68. Bondy M. Auto B.I. liability rates Use of 10/20 experience in the establishment of territorial relativities // Proceedings of the Casualty Actuarial Society. 1958. Vol. 45. P. 1-8.

69. Boor J.A. Credibility based on accuracy // Proceedings of the Casualty Actuarial Society. 1992. Vol. 79. P. 166-185.

70. Boor J.A. The complement of credibility // Proceedings of the Casualty Actuarial Society. 1996. Vol. 83. N.l. P. 1-40.

71. Booth P. et al. Modern Actuarial Theory and Practice. London: Chap-man&Hall/CRC, 1999. P. 248 271.

72. Boucher J.-Ph., Denuit M. Credibility premiums for the zero-inflated Poisson model and new hunger for bonus interpretation // Insurance: Mathematics and Economics. 2008. Vol. 42. N.2. P. 727-735.

73. Boucher J.-Ph., Denuit M. Fixed versus random effects in Poisson regression models for claims counts: a case study with motor insurance // ASTIN Bulletin. Vol. 31. N.l. P. 285-301.

74. Braverman J.D. A critique of credibility tables // Journal of Risk and Insurance. 1967. Vol. 34. N.3. P. 409-416.

75. Braverman J.D. Credibility theory: a probabilistic development // Journal of Risk and Insurance. 1968. Vol. 35. N.3. P. 411-423.

76. Brouhns N. et al. Bonus-malus scales in segmented tariffs with stochastic migration between segments // Journal of Risk and Insurance. 2003. Vol. 70. N.4. P. 577-599.

77. Bowers N.L et al. Actuarial mathematics. Itasca, IL: The Society of Actuaries, 1986. 624 p. (русский перевод: Бауэре Н.Л. и др. Актуарная математика. М.: Янус-К, 2001. 656 с.)

78. Biihlmann Н. Experience rating and credibility // ASTIN Bulletin. 1967. Vol. 4. N.3. P. 199-207.

79. Biihlmann H. Experience rating and credibility // ASTIN Bulletin. 1969. Vol. 5. N.2. P. 157-165.

80. Biihlmann H. Credibility procedures. In: Proceedings of the 6th Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability. June 21—July 18, 1970. Vol. I. Theory of Statistics. Berkeley: University of California, 1972. P. 515-525.

81. Biihlmann H. Mathematical Methods in Risk Theory. Berlin: Springer, 1970. 210 p.

82. Biihlmann H. Minimax credibility // Scandinavian Actuarial Journal. 1976. N.l. P. 65-78.

83. Biihlmann H. Actuaries of the third kind? // ASTIN Bulletin. 1987. Vol. 17. N.2. P. 137-138.

84. Bühlmann P., Bühlmann H. Selection of credibility regression models //ASTIN Bulletin. 1999. Vol. 29. N.2. P. 245-270.

85. Bühlmann H.; De Felice M., Gisler A. et al. Recursive credibility formula for Chain Ladder factors and the claim development results // ASTIN Bulletin. 2009. Vol. 39. N.l. P. 275-306.

86. Bühlmann H., Gisler A., Jewell W. Excess claims and data trimming in the context of credibility rating procedures // Mitteilungen der Vereinigung schweizerischer Versicherungsmathematiker. 1982. Heft 1. S. 117-147.

87. Bühlmann H.; Gisler A. credibility in the regression case revisited (a late tribute to Charles A. Hachemeister) // ASTIN Bulletin. 1997. Vol.27. N.l. P83-98.

88. Bühlmann H., Gisler A. A course in credibility theory and its applications. Berlin at ai.: Springer, 2005. 331 p.

89. Bühlmann H., Jewell W.S. Crédibilité hiérarchique // Bulletin de l'ARAB. 1987. Vol. 81. P. 43-59.

90. Bühlmann H., Jewell W.S. Hierarchical credibility revisited // Mitteilungen der Vereinigung schweizerischer Versicherungsmathematiker. 1987. Heft 1. S. 35-54.

91. Bühlmann H., Straub E. Glaubwürdigkeit für Schadensätze // Mitteilungen der Vereinigung schweizerischer Versicherungsmathematiker. 1970. Heft 1. S. 111-133.

92. Bunke H., Gladitz J. Empirical linear Bayes decision rules for a sequence of linear models with different regressor matrices // Mathematische Operationsforschung und Statistik. 1974. Bd. 5. S. 235-244.

93. Cabrai M.A.P., Garcia J.M.A. Calculations of provisions using credibility theory//ASTIN Bulletin. 1974. Vol. 7. N.3. P. 277-292

94. Cabral M.A.P., Garcia J.A. Study of factors influencing the risk and their relation to credibility theory// ASTIN Bulletin. 1977. Vol. 9. N.l-2. P. 84-104.

95. Cagle J.A.B., Harrington S.E. Insurance supply with capacity constraints and endogenous insolvency risk // Journal of Risk and Uncertainty. 1995. Vol.11. N.3. P. 219-232.

96. Carlson Th.O. An actuarial analysis of retrospective rating // Proceedings of the Casualty Actuarial Society. 1942. Vol. 28. P. 283-323.

97. Carlson Th.O. Observation on casualty insurance rate-making in the United States // Proceedings of the Casualty Actuarial Society. 1964. Vol. 51. P. 282-297.

98. Centeno L. The Buhlmann-Straub model with the premium calculated according to variance principle // Insurance: Mathematics and Economics. 1989. Vol. 8. N. 1. P. 3-10.

99. Clarkson R.S. Financial Economics an Investment Actuary's Viewpoint // British Actuarial Journal. 1996. Vol. 2. Part IV. P. 809 - 973.

100. Cossette H., Luong A. Generalized least squares estimators for covari-ance parameters for credibility regression models with moving average errors // Insurance: Mathematics and Economics. 2003. Vol. 32. N.2. P. 281-293.

101. Couret J., Venter G. Using multi-dimensional credibility to estimate class frequency vectors in workers compensation // ASTIN Bulletin. 2008. Vol. 38. N.l. P. 73-85.

102. Cox S.H. Loss distributions and credibility theory: Study notes and exercises for Casualty Actuarial Society 4B Examinations. Champaign, IL: Stipes Publishing, 1999. 559 p.

103. Crouhy M., Mark R., Galai D. Risk Management. N.Y.: McGraw-Hill, 2001. 718 p.

104. Dannenburg D.R. An autoregressive credibility IBNR model // Blätter der Deutsche Gesellschaft für Versicherungsmathematik. 1995 Bd. 22. Heft 2. S. 235-248.

105. Dannenburg D.R. Crossed classification credibility models. In: Transaction of the 25th International Congress of Actuaries. 1995. Vol. 4. P. 1-35.

106. Danneburg D.R. Basic actuarial credibility models: evaluation and extension. Doct. thesis. Amsterdam, 1996

107. Daykin C.D., Hey G.B. Modelling the operations of a general insurance by simulation // Journal of Institute of Actuaries. 1989. Vol. 116. Part III. N.465. P. 639-662.

108. Dempster A.P., Schatzoff M., Wermuth N. A Simulation Study of Alternatives to Ordinary Least Squares// Journal of the American Statistical Association. 1977. Vol. 72. P. 77-91.

109. Dempster A.H. et al. Global asset liability management // British Actuarial Journal. 2003. Vol. 9. Part I. N.40. P. 137 216.

110. Denuit M. et al. Actuarial theory for dependent risks: measures, orders and models. N.Y.: Wiley, 2005. 440 p.

111. Denuit M. et al. Actuarial Modelling of Claim Counts: Risk Classification, Credibility and Bonus-Malus Systems. Chichester (UK) et al.: Wiley, 2007. 356 p.

112. Derron M. A study of credibility betterment through exclusion of the largest claims//ASTIN Bulletin. 1966. Vol. 4. N.l. P. 39-48.

113. Desjardins D., Dionne G., Pinquet J. Experience rating schemes for fleets of vehicles//ASTIN Bulletin. Vol. 31. N.l. P. 81-105.

114. De Vylder Fl. Geometrical credibility // Scandinavian Actuarial Journal. 1976. N.3. P. 121-149.

115. De Vylder F. Optimal semilinear credibility // Mitteilungen der Vereinigung schweizerischer Versicherungsmathematiker. 1976. Heft 1. S. 27-40.

116. De Vylder F. Iterative credibility // Mitteilungen der Vereinigung schweizerischer Versicherungsmathematiker. 1977. S. 27-40.

117. De Vylder Fl. Parameter estimation in credibility theory // ASTIN Bulletin. 1978. Vol. 10. N.l. P. 99-112.

118. De Vylder Fl., Ballegeer Y. A numerical illustration of optimal semilinear credibility//ASTIN Bulletin. 1979. Vol. 10. N.2. P. 131-148.

119. De Vylder Fl. Practical credibility theory with emphasis on optimal parameter estimation//ASTIN Bulletin. 1981. Vol. 12. N.2. P. 115-131.

120. De Vylder Fl. Regression model with scalar credibility weights // Mitteilungen der Vereinigung schweizerischer Versicherungsmathematiker. 1981. Heft 1. S. 27-38.

121. De Vylder Fl., Sundt B. Constrained credibility estimators in the regression models // Scandinavian Actuarial Journal. 1982. N.l. P. 23-37.

122. De Vylder F. Estimation of IBNR-claims by credibility theory // Insurance: Mathematics and Economics. 1982. Vol. 1 N.l. P. 35-40.

123. De Vylder Fl., Goovaerts M. Semilinear credibility with several approximating functions // Insurance: Mathematics and Economics. 1985. Vol. 4. N.3. P. 155-162.

124. De Vylder Fl. Non-linear regression in credibility theory // Insurance: Mathematics and Economics. 1985. Vol. 4. N.3. P. 163-172.

125. De Vylder Fl., Goovaerts M. Estimation of the heterogeneity parameter in the Bühlmann-Straub credibility theory model // Insurance: Mathematics and Economics. 1991. Vol. 10. N.4. P. 233-238.

126. De Vylder Fl., Goovaerts M. Optimal parameter estimation under zero-excess assumptions in a classical model // Insurance: Mathematics and Economics. 1992. Vol. 11. N.l. P. 1-6.

127. De Vylder Fl., Goovaerts M. A summary of new results on optimal parameter estimation under zero-excess assumptions // Insurance: Mathematics and Economics. 1992. Vol. 11. N.2. P. 153-161.

128. De Vylder Fl., Goovaerts M. Optimal parameter estimation under zero-excess assumptions in the Bühlmann-Straub model // Insurance: Mathematics and Economics. 1992. Vol. 11. N.3. P. 167-171.

129. Dhaene J., Kukush A., Pupashenko M. On the structure of premium principles under pointwise comonotonicity // Theory of Stochastic Processes. 2006. Vol. 12. N.3-4. P. 27-45.

130. Dionne G., Vanasse Ch. A generalization of automobile insurance rating models: the negative binomial distribution with a regression component //ASTIN Bulletin. 1989. Vol. 19. N.2. P. 199-212.

131. Dionne G., Vanasse C. Automobile insurance ratemaking in the presence of asymmetrical information // Journal of Applied Econometrics. 1992. Vol. 7. P. 149-165.

132. Duan Q., Gui O. Robustifying biased estimation in linear model // Chinese Quarterly Journal of Mathematics. 2000. Vol. 15. N.2. P. 29-35.

133. D'Hooge L., Goovaerts M.J. Bayesian interference in credibility theory //ASTIN Bulletin. 1975. Vol. 8 N.2. P. 164-174.

134. Dornheim H., Brazauskas V. Robust-efficient credibility models with heavy-tailed claims: A mixed linear models perspective // Insurance: Mathematics and Economics. 2011. Vol. 46. N.l. P. 72-84.

135. Dorweiler P. A survey of risk credibility in experience rating // Proceedings of the Casualty Actuarial Society. 1934. Vol. 21. P. 1-25.

136. Dropkin L.B. Automobile merit rating and inverse probabilities // Proceedings of the Casualty Actuarial Society. 1960. Vol. 47. P. 37-40.

137. Dubey A., Gisler A. On parameter estimators in credibility // Mitteilungen der Vereinigung schweizerischer Versicherungsmathematiker. 1981. Heft 2. S. 187-211.

138. Dykstra R. Minimax estimation of a mean vector for distributions on the compact set // ASTIN Bulletin. 1990. Vol. 20. N.2. P. 173-179.

139. Eckhardt B.H. Gefahrdungstarifierung in der Lebensversicherung ein Credibility Ansatz. In: Transactions of the 23rd International Congress of Actuaries. Helsinki, Finland. 11-16 July 1988. Vol. 3. P. 63-73.

140. Efron B., Morris C. Empirical Bayes on Vector Observations: An Extension of Stein's Method // Biometrika. 1972. Vol. 59. N.2. P. 335-347.

141. Efron B., Morris C. Limiting the Risk of Bayes and Empirical Bayes Estimators Part II. The Empirical Bayes Case // Journal of the American Statistical Association. 1972. Vol. 67. P. 130-139.

142. Efron B., Morris C. Stein's Estimation Rule and its Competitors An Empirical Bayes Approach // Journal of the American Statistical Association. 1973. Vol. 68. P. 117-130.

143. Efron B., Morris C. Data analysis using Stein's estimator and its generalizations//Journal of the American Statistical Association. 1975. Vol. 70. P. 311319

144. Eichenauer J., Lehn J., Rettig S. A gamma-minimax result in credibility theory // Insurance: Mathematics and Economics. 1988. Vol. 7. N.l. P. 49-57.

145. Elling M., Parnitzke Th., Schmeiser H. Management strategies and dynamic financial analysis//Variance. 2008. Vol. 2. N.l. P. 52-70.

146. Engle R.F., Manganelli S. CAViaR: Conditional value at risk by quantile regression / National Bureau of Economic Research. Working Paper N. 7341. 1999.

147. Englund M. et al. Multivariate latent risk: a credibility approach // ASTIN Bulletin. 2008. Vol. 38. N. 1. P. 137-146.

148. Erohin I.V., Kudryavtsev A.A. On links between the different definitions of time in IBNR run-off triangles// 11th International Congress "Insurance: Mathematics and Economics" July 10-12, 2007, Piraeus, Greece. Book of Abstracts. P. 53.

149. Feldblum Sh. The Actuary as strategist // CAS Discussion Paper Programs. 1993. P. 145-157.

150. Firinguetti L. A generalized ridge regression estimator and its finite sample properties. // Communication is Statistics Theory and Methods. 1999. Vol. 28. N.5. P. 1217-1229.

151. Fisher A. Outline of a method for determining basic pure premium // Proceedings of the Casualty Actuarial Society. 1916. Vol. 2. P. 394-406.

152. Franckx E. La théorie du comportement et la credibility theory américaine//ASTIN Bulletin. 1968. Vol. 5. N.l. P. 15-24.

153. Frees E.W. Multivariate credibility for aggregate loss models // North American Actuarial Journal. 2003. Vol. 7. N.l. P. 13-37.

154. Frees E.W. Regression modelling with actuarial and financial applications. Cambridge et al.: Cambridge university press, 2010. 565 p.

155. Frees E.W., Valdez E.A. Understanding relationships using copulas // North American Actuarial Journal. 1998. Vol. 2. N.l. P. 1-15.

156. Frees E.W., Wang P. Credibility using copulas // North American Actuarial Journal. 2005. Vol. 9. N.2. P. 31-48 (предварительная версия опубликована в Actuarial Research Clearing House. 2005. Vol. 39. N.l. P. 1-27).

157. Frees E.W., Young V.R., Luo Y. A longitudinal data analysis interpretation of credibility models // Insurance: Mathematics and Economics. 1999. Vol. 24. N.3. P. 229-248.

158. Frees E.W., Wang P. Copula credibility for aggregate loss models // Insurance: Mathematics and Economics. 2006. Vol. 38. N.2. P. 360-373.

159. Fuhrer Ch. Credibility with incomplete information in group insurance //Actuarial Research Clearing House. 1996. Vol. 1. P. 593-595.

160. Fung W.K., Xu X.Ch. Estimation and robustness of linear mixed models in credibility context // Variance. 2010. Vol. 4. N.l. P. 66-80.

161. Gangopadhyay A., Gau W.-C. Bayesian nonparametric approach to credibility modelling // Annals of Actuarial Science. 2007. Vol. 2. N.l. P. 91-114.

162. Garrido J., Romera R. Robust credibility with Kalman filter // Actuarial Research Clearing House. 1995. N.l. P. 163-172.

163. Garrido J., Zhou J. Credibility theory for generalized linear and mixed models // ARCH. 2007. Vol. 41. N.l. P. 1-17.

164. Garrido J., Zhou J. Full credibility with generalized linear and mixed models// ASTIN Bulletin. 2009. Vol. 39. N.l. P. 61-80.

165. Gatto R. An accurate asymptotic approximation for experience rated premiums//ASTIN Bulletin. 2004. Vol. 34. N.l. P. 113-124.

166. Gau W.-Chv Gangopadhyay A., Han Zh. Interval estimation of the credibility factor//Variance. 2008. Vol. 2. N.l. P. 71-84.

167. Gerber H.U., Jones D.A. Credibility formulae with geometric weights 11 Proceedings of the Business and Economics Section, American statistical association. 1973. P. 229-230.

168. Gerber H.U. An Introduction to Mathematical Risk Theory. Homewood, IL: Irwin, 1979. 164 p.

169. Gerber H.U. Credibility for Esscher premiums // Mitteilungen der Vereinigung schweizerischer Versicherungsmathematiker. 1980. Heft3. S. 307-312.

170. Gerber H.U. An unbayesed approach to credibility // Insurance: Mathematics and Economics. 1982. Vol. 1. P. 271-276.

171. Gerber H.U. A teacher's remark on exact credibility // ASTIN Bulletin. 1995. Vol. 25. N.2. P. 189-192.

172. Gilde V., Sundt B. On bonus system with credibility scales // Scandinavian Actuarial Journal. 1989. N.l. P. 13-22.

173. Gillam W.R. Parametrizing the workers compensation experience rating plan // Proceedings of the Casualty Actuarial Society. 1992. Vol. 79. P. 21-56.

174. Gisler A. Optimum trimming of data in the credibility model // Mitteilungen der Vereinigung schweizerischer Versicherungsmathematiker. 1980. Heft 3. S. 313-326.

175. Gisler A. Einige Bemerkungen zum hierarchischen Credibility-Modell // Mitteilungen der Vereinigung schweizerischer Versicherungsmathematiker. 1987. Heft 1. S. 91-98.

176. Gisler A., Reinhard P. Robust credibility // ASTIN Bulletin. 1993. Vol. 23. N.l. P. 117-143.

177. Gisler A., Würtrich M. Credibility for the Chain Ladder reserving method //ASTIN Bulletin. 2008. Vol. 38. N.2. P. 565-600.

178. Goel P.K. On implications of credible means being exact Bayesian // Scandinavian Actuarial Journal. 1982. N.l. P. 41-46.

179. Goford J. The Control Cycle: Financial Control of a Life Assurance Company //Transactions of the Institute of Actuaries of Australia. 1985. P. 539-561.

180. Gómez-Déniz E. A generalization of the credibility theory obtained by using the weighted balanced loss function // Insurance: Mathematics and Economics. 2008. Vol. 42. N.2. P. 850-854.

181. Gómez-Déniz E., Bermúdes L., Morillo I. Computing bonus-malus premiums under partial prior information // British Actuarial Journal. 2005. Vol. 11. N.2. P. 361-374.

182. Gómez-Déniz E.; Pérez-Sánchez J.M., Vázquez-Polo F.J. On the use of posterior regret T-minimax actions to obtain credibility premiums // Insurance: Mathematics and Economics. 2006. Vol. 39. N.l. P. 115-121.

183. Goovaerts M.; Bauwelinckx T., Stoop C. The practical application of credibility theory// Insurance: Mathematics and Economics. 1989. Vol. 8. N.l. P. 23-29.

184. Goovaerts M.J., Hoogstad W.J. Credibility theory. Rotterdam: Nationale-Nederlanden, 1987. 115 p. (Surveys of Actuarial Studies. N.4)

185. Goulet V. On approximations in limited fluctuations credibility theory // Proceedings of the Casualty Actuarial Society. 1997. Vol. 84. P. 533-552.

186. Goulet V. A generalized crossed classification credibility model // Insurance: Mathematics and Economics. 2001. Vol. 28. N.2. P. 205-206.

187. Goulet V., Forgues A., Lu J. Credibility for severity revisited // North American Actuarial Journal. 2006. Vol. 10. N.l. P. 49-62.

188. Graß J. Restricted ridge estimation // Statistics & Probability Letters. 2003. Vol. 65. P. 57-64.

189. Green E.J., Strawderman W.E. A James-Stein type estimator for combining unbiased and possibly biased estimators // Journal of the American Statistical Association. 1991. Vol. 86. P. 1001-1006.

190. Greene W.W. Written discussion of papers read at previous meetings I I Proceedings of the Casualty Actuarial Society. 1918. Vol. 5. P. 133-139.

191. Grossman E.A. Accident rates with confidence limits // Proceedings of the Casualty Actuarial Society. 1947. Vol. 34. P. 95-101.

192. Gruber M.H.J. Improving efficiency by shrinkage: The James-Stein and ridge regression estimators. N.Y.: Marcel Dekker, 1998.

193. Haastrup S. Comparison of some Bayesian analyses of heterogeneity on group life insurance. Working paper N. 150. Laboratory of Actuarial Mathematics. University of Copenhagen. 1997.10 p.

194. Haitovsky Y., Wax Y. Generalized Ridge Regression, Least Squares with stochastic prior information, and Bayesian estimators // Applied Mathematics and Computation. 1980. Vol. 7. N.2. P. 125-154.

195. Hansen J.E. A note on full credibility for estimating claim frequency // Proceedings of the Casualty Actuarial Society. 1972. Vol. 59. P. 51-56 (дискуссия: там же: p. 57-64).

196. Hassett M., Januzil B. Credibility: theory meets regulatory practice //ARCH. 2003. Vol. 37. N.l. P. 7.1-7.6.

197. Hardy M.R. Stochastic Simulation in Life Office Solvency Assessment // Journal of Institute of Actuaries. 1993. Vol. 120. Part I. N.475. P. 131 151.

198. Hartigan J.A. Linear Bayesian methods // Journal of the Royal Statistical Society. Series B. 1969. Vol. 31. N.3. P. 446-454.

199. Harvey A.C., Fernandes C. Time series analysis for insurance claims //Journal of the Institute of Actuaries. 1989. Vol.116. Pt. 3. P. 513-528.

200. Heckman Ph. Credibility and solvency// CAS Discussion Paper Program. 1980. P. 116-152.

201. Heilmann W.R. Decision theoretic foundations of credibility theory // Insurance: Mathematics and Economics. 1989. Vol. 8. N.l. P. 77-95.

202. Herzog Th.N. Introduction to credibility theory. Winsted, CT: ACTEX, 1996. 100 p.

203. Hesselager 0., Witting Th. A credibility model with random fluctuations in delay probabilities for the prediction of IBNR claims // ASTIN Bulletin. 1988. Vol. 18. N.l. P. 79-90.

204. Hesselager 0. Prediction of outstanding claims: a hierarchical credibility approach // Scandinavian Actuarial Journal. 1991. N.l. P. 25-47.

205. Hesselager O. Rates of risk convergence on empirical linear Bayes estimators //Scandinavian Actuarial Journal. 1992. N.l. P. 88-94.

206. Hewitt Ch.C. Credibility for severity // Proceedings of the Casualty Actuarial Society. 1970. Vol. 57. P. 148-171 (дискуссия: там же, 1971. Vol. 56. P. 25-31).

207. Hickman J.C., Heacox L. Credibility theory: the cornerstone of actuarial science // North American Actuarial Journal. 1999. Vol. 3. N.2. P. 1-8.

208. Hiss K. Lineare Filtration und Kredibilitätstheorie // Mitteilungen der Vereinigung schweizerischer Versicherungsmathematiker. 1991. Heft 2. S. 85103.

209. Hoerl A.E., Kennard R.W. Ridge regression: biased estimation of nonorthogonal problems //Technometrics. 1970. Vol. 12. P. 55-67.

210. Hogg R.V. Adaptive Robust Procedures: A Partial Review and Some Suggestions for Future Applications and Theory // Journal of the American Statistical Association. 1972. Vol. 43. P. 1041-1067.

211. Hoffmann K. Stein estimator A review // Statistical Papers. 2000. Vol. 41. P. 127-158.

212. Hoffmann W., Rejman A. Embedded Value and Profit Testing. Lecture Notes for 13th Actuarial Summer School. Warsaw. 7-18 July 2003.

213. Huang X., Song L., Liang Y. Semiparametric credibility ratemaking using a piecewise linear prior // Insurance: Mathematics and Economics. 2003. Vol. 33. N.3. P. 585-593.

214. Hudson H.M. A Natural Identity for Exponential Families with Applications in Multiparameter Estimation // The Annals of Statistics. 1978. Vol. 6. N.3. P. 473-484.

215. Hurley R.L. A credibility framework for gauging fire classification experience // Proceedings of the Casualty Actuarial Society. 1954. Vol. 41. P. 161175.

216. Hurley R.L. Commercial fire insurance ratemaking procedures // Proceedings of the Casualty Actuarial Society. 1973. Vol. 60. P. 208-257 (дискуссия: там же, 1974. Vol. 64. P. 62-72).

217. Hurlimann W. Simple risk forecasts using credibility // Insurance: Mathematics and Economics. 1988. Vol. 7. N.4. P. 251-259.

218. Hurliman W. Credible loss ratio claims reserves: the Benktander, Neuhaus and Mack methods revisited // ASTIN Bulletin. 2009. Vol. 39. N.l. P. 8199.

219. James W., Stein C. Estimation with Quadratic Loss. In: Proceedings of the Forth Berkley Symposium. Vol. 1. Berkley: University of California Press, 1961. P. 361-379.

220. Jewell W.S. Multi-dimensional credibility // Actuarial Research Clearing House. 1973. Vol. 4. P. 1-43 (первоначальная версия опубликована как Report ORC 73-7. Operations Research Center. University of California, Berkeley. 1973).

221. Jewell W.S. Credible means are exact Bayesian for exponential families //ASTIN Bulletin. 1974. Vol. 8. N. 1. P. 77-90.

222. Jewell W.S. The credible distribution // ASTIN Bulletin. 1974. Vol. 7. N.3. P. 237-269.

223. Jewell W.S. Regularity conditions for exact credibility // ASTIN Bulletin. 1975. Vol. 8. N.3. P. 336-341.

224. Jewell W.S. Bayesian regression and credibility theory 11 Research memorandum RM-75-63. International Institute of Applied System Analysis, Laxenburg, Austria. 1975. 34 p.

225. Jewell W.S. Model variations in credibility theory. In: Credibility: theory and applications, Proceedings of the Berkley actuarial research conference on Credibility / Ed. by P.M. Kahn. N.Y.: Academic press, 1975. P. 193-244.

226. Jewell W.S. Exact multidimentional credibility // Mitteilungen der Vereinigung schweizerischer Versicherungsmathematiker. 1976. Heft 2. S. 191213.

227. Jewell W.S. Two classes of covariance matrix giving simple linear forecasts // Scandinavian Actuarial Journal. 1976. N.l. P. 15-29.

228. Jewell W.S., Schnieper R. Credibility approximations for Bayesian prediction of second moments//ASTIN Bulletin. 1985. Vol. 15. N.2. P. 103-121.

229. Jewell W.S. A general framework for credibility prediction of multidimensional first and second moments // Insurance: Mathematics and Economics. 1989. Vol. 8. N.2. P. 127-136.

230. Jewell W.S. Covariance matrix patterns invariant under multiplication and inversion // Insurance: Mathematics and Economics. 1990. Vol. 9. N.4. P. 273-275.

231. Johnson, R.A., Jr. The multi-split experience rating plan in New York // Proceedings of the Casualty Actuarial Society. 1941. Vol. 28. P. 15-36.

232. Jorion Ph. Bayes-Stein Estimation for Portfolio Analysis //The Journal of Financial and Quantitative Analysis. 1986. Vol. 21. N.3. P. 279-292.

233. Jorion Ph. Value at Risk: The New Benchmark for Managing Financial Risk. N.Y.: McGraw-Hill, 2001. 544 p.

234. Kaas R., Dannenburg D., Goovaerts M. Exact credibility for weighted observations//ASTIN Bulletin. 1997. Vol. 27. N.2. P. 187-295.

235. Kaas R. et al. Modern actuarial risk theory using R. 2nd ed. Berlin et al.: Springer, 2008. 381 p. (Перевод первого издания на русский язык: Каас Р. и др. Современная актуарная теория риска. М.: Янус-К, 2007. 376 с.)

236. Karst O.J. Linear curve fitting using least deviations // Journal of the American Statistical Association. 1958. Vol. 53. N.281. P. 118-132.

237. Keating J.P., Mason R.L. James-Stein Estimation from an Alternative Perspective//The American Statistician. 1988. Vol. 42. N.2. P. 160-164.

238. Kenneth Q. Z., Stephen L. P. Direct Use of Regression Quantiles to Construct Confidence Sets in Linear Models // The Annals of Statistics. 1996. Vol. 24. N.l. P. 287-306.

239. Khury C.K. Personal lines pricing: from judgement to fact // Proceedings of the Casualty Actuarial Society. 1974. Vol. 61. P. 1-11.

240. Klaasen EJ. Multiple coverage experience rating plan // Proceedings of the Casualty Actuarial Society. 1960. Vol. 47. P. 66-80.

241. Kleffe J., Norberg R. Minimum norm estimation of variance components for life insurance data // Communications in Statistics: Theory and Methods. 2001. Vol. 30. N.8-9. P. 1591-1604.

242. Klugman S.A. Credibility for classification ratemaking via the hierarchical normal linear model // Proceedings of the Casualty Actuarial Society. 1987. Vol. 74. P. 272-321.

243. Klugman S.A. Credibility for increased limits // Insurance: Mathematics and Economics. 1990. Vol. 9. N.2-3. P. 77-80.

244. Klugman S.A., Panjer H.H., Willmot G.E. Loss models: from data to decisions. 2nd ed. NY: Wiley, 1998. 644 p.

245. Koenker R. Quantile regression. Cambridge et al.: Cambridge university press, 2005. 349 p.

246. Koenker R., Bassett G., Jr. Regression quantiles // Econometrica. 1978. Vol. 46. N.l. P.33-50.

247. Koenker R., Hallock K.F. Quantile regression // Journal of Economic Perspectives. 2001. Vol. 15. N.4. P.143-156.

248. Kormes M. The experience rating plan as applied to worksmen's compensation risks. Part I // Proceedings of the Casualty Actuarial Society. 1934. Vol. 21. P. 81-132.

249. Kormes M. The experience rating plan as applied to worksmen's compensation risks. Part II // Proceedings of the Casualty Actuarial Society. 1935. Vol. 22. P. 81-108.

250. Kormes M. Small risks versus large risks in workmen's compensation insurance // Proceedings of the Casualty Actuarial Society. 1936. Vol. 23. P. 4673.

251. Kormes M. Note on experience rating credibility // Proceedings of the Casualty Actuarial Society. 1952. Vol. 39. P. 98-99.

252. Kormes M. A practical application of credibility to experience rating plan for hospitalization and medical-surgical insurance // ASTIN Bulletin. 1968. Vol. 5. N. 1. P. 33-40.

253. Kremer E. Credibility theory for some evolutionary models // Scandinavian Actuarial Journal. 1982. N.3-4. P. 129-142.

254. Kremer E. Exponential smoothing and credibility // Insurance: Mathematics and Economics. 1982. Vol. 1. N.3. P. 213-217.

255. Kremer E. The linear growth credibility model // Scandinavian Actuarial Journal. 1984. N.3. P. 143-149.

256. Kremer E. Notiz zu einem saisonalen Kredibilitätsmodell // Blätter der deutsche Gesellschaft für Versicherungsmathematik. 1986. Bd. 17. Heft 3. S. 245-249.

257. Kremer E. Box-Jenkins Credibility // Blätter der deutsche Gesellschaft für Versicherungsmathematik. 1988. Bd. 18. Heft 4. S. 277-289.

258. Kremer E. Practical exponential smoothing credibility // Blätter der Deutsche Gesellschaft für Versicherungsmathematik. 1990. Bd. 19. Heft 4. S. 313-317.

259. Kremer E. Large claims in credibility// Blätter der Deutsche Gesellschaft für Versicherungsmathematik. 1991 Bd. 20. Heft 2. S. 123-150.

260. Kremer E. Robust credibility via robust Kaiman filtering // ASTIN Bulletin. 1994. Vol. 24. N.2. P. 221-233.

261. Kremer E. Empirical Kalman-credibility // Blätter der Deutsche Gesellschaft für Versicherungsmathematik. 1995. Bd. 22. Heft 1. S. 17-28.

262. Kremer E. Credibility for stationarity // Blätter der Deutsche Gesellschaft für Versicherungsmathematik. 1996. Bd. 22. Heft 4. S. 755-764 (исправление опечаток там же, Bd. 23. Heft 1. S. 100).

263. Kremer E. Credibility in evolutionary models revisited // Scandinavian Actuarial Journal. 1997. N.l. P. 95-96.

264. Kremer E. BAP and Credibility // Blätter der Deutsche Gesellschaft für Versicherungsmathematik. 1999. Bd. 24. Heft 1. S. 159-162.

265. Kremer E. An extension of the Bühlmann credibility model 11 Blätter der Deutsche Gesellschaft für Versicherungs- und Finanzmathematik. 2001. Bd. 25. Heft 1. S. 55-60.

266. Kremer E. Random coefficient autoregressive loss reserving, revisited // Blätter der Deutsche Gesellschaft für Versicherungsmathematik. 2003. Bd. 26. Heft 1. S. 155-159.

267. Kremer E. Credibility for regresion models with autoregressive error terms // Blätter der Deutsche Gesellschaft für Versicherungs- und Finanzmathematik. 2005. Bd. 27. Heft 1. S. 71-79.

268. Kremer E. Polynomial credibility // Blätter der Deutsche Gesellschaft für Versicherungsmathematik. 2006. Bd. 27. Heft 3. S. 463-471.

269. Kremer E. Discount credibility // Blätter der Deutsche Gesellschaft für Versicherungsmathematik. 2006. Bd. 27. Heft 3. S. 575-578.

270. Kubokawa T. The Stein phenomenon in simultaneous estimation: a review// Discussion Papers CIRJE (Univ. of Tokyo). Series F. 1997. Issue 97-F-14.

271. Kudryavtsev A. Credibility and James-Stein Estimators. In: XIIIth International Congress on Insurance: Mathematics and Economics (IME2009). May 27-29, 2009. Istanbul, Turkey. Programme and Submitted Abstract Book. P. 60.

272. Kudryavtsev A. Credibility regression models with multicollinear or near-multicollinear data. In: 14th International Congress on Insurance: Mathematics and Economics. June 17-19, 2010. Toronto. Canada. Abstracts. P. 51.

273. Kudryavtsev A.A. Using quantile regression for rate-making // Insurance: Mathematics and Economics. 2009. Vol. 45. N.2. P. 296-304.

274. Künsch H.R. Robust methods for credibility // ASTIN Bulletin. 1992. Vol. 22. N.l. P. 33-49.

275. Lamm-Tennant J., Starks L.T., Stokes L. An Empirical Bayes approach to estimating loss ratios // Journal of Risk and Insurance. 1992. Vol. 59. N.3. P. 426-442.

276. Landsman Z.M., Makov U.E. Exponential dispersion models and credibility // Scandinavian Actuarial Journal. 1998. N.l. P. 89-96.

277. Landsman Z.M., Makov U.E. On stochastic approximations and credibility // Scandinavian Actuarial Journal. 1999. N.l. P. 15-31.

278. Landsman Z.M., Makov U.E. Sequential credibility evaluation via stochastic approximation // Actuarial Research Clearing House. 1999. Vol. 1. P. 8998.

279. Landsman Z.M., Makov U.E. Credibility evaluation for the exponential dispersion family// Insurance: Mathematics and Economics. 1999. Vol. 24. N.l-2. P.23-29.

280. Landsman Z., Makov U. Sequential credibility evaluation for symmetric location claim distributions // Insurance: Mathematics and Economics. 1999. Vol. 24. N.3. P. 291-300.

281. Landsman Z.M., Makov U.E. On credibility evaluation and tail area of the exponential dispersion family // Insurance: Mathematics and Economics. 2000. Vol. 27. N.3. P. 277-283.

282. Landsman Z. Credibility theory: a new view from the theory of second order optimal statistics // Insurance: Mathematics and Economics. 2002. Vol. 30. N.3. P. 351-362.

283. Landsman Z., Makov U. Contaminated exponential dispersion loss models // North American Actuarial Journal. 2003. Vol. 7. N.2. P. 116-127.

284. Landsman Z. Second order Bayes prediction of functional of exponential dispersion distributions and an application to the prediction of the tails //ASTIN Bulletin. 2004. Vol. 34. N.2. P. 285-298.

285. Lau J.W., Siu Т.К., Yang H. On Bayesian mixture credibility 11 ASTIN Bulletin. 2006. Vol. 36. N.2. P. 573-588.

286. Ledolter J., Klugman S., Lee Ch.-S. Credibility models with time-varying trend components // ASTIN Bulletin. 1985. Vol. 21. N.l. P. 73-91.

287. Lee R.E. A Prophet of Profit: An Introduction to the Theory and Applications of Profit Tests // Journal of the Institute of Actuaries Students' Society. 1985. Vol. 28. P. 1-42.

288. Lee Y. Nelder J.A., Pawitan Y. Generalized linear models with random effects: unified analyses via h-likelyhood. Boca Raton, FL: Chapman&Hall/CRC, 2006. 396 p.

289. Lemaire J. How to define a bonus-malus system with an exponential utility function // ASTIN Bulletin. 1979. Vol. 10. N.3. P. 274-282.

290. Lewin C.G. et al. Calculating Devices and Actuarial Work // Journal of the Institute of Actuaries. 1989. Vol. 116. Part II. N.464. P. 215 287.

291. Liu K. Using Liu-type estimator to combat collinearity // Communications in Statistics Theory and Methods. 2003. Vol. 32. N.5. P. 1009-1020.

292. Lo C.H., Fung W.K., Zhu Zh.Y. Generalized estimating equations for variance and covariance parameters in regression credibility models // Insurance: Mathematics and Economics. 2006. Vol. 39. N.l. P. 99-113.

293. Lo C.H., Fung W.K., Zhu Zh.Y. Structural parameter estimation using generalised estimating equations for regression credibility models // ASTIN Bulletin. 2007. Vol. 37. N.2. P. 323-343.

294. Loimaranta K. On the calculations of variances and credibilities by experience rating//ASTIN Bulletin. 1977. Vol. 9. N.l-2. P. 203-207.

295. Longley-Cook L.H. An introduction to credibility theory// Proceedings of the Casualty Actuarial Society. 1962. Vol. 49. P. 194-221.

296. Luo Y., Young V.R., Frees E.W. Credibility ratemaking using collateral information 11 Scandinavian Actuarial Journal. 2004. N.6. P. 448-461.

297. Mack Th. Schadenversicherungsmathematik. Karlsruhe: WW, Munchener Ruck, 1997. 406 S. (русский перевод: Мак Т. Математика рискового страхования. М.: Олимп-Бизнес, 2005. 432 с.)

298. Mack Th. Credible claims reserve: the Benktander method // ASTIN Bulletin. 2000. Vol. 30. N.2. P. 333-347.

299. Maguire R.D. An empirical approach to the determination of credibility factors//Transactions of Society of Actuaries. 1969. Vol. 21. Pt. 1. P. 1-8.

300. Mahler H.C. An actuarial note on credibility parameters // Proceedings of the Casualty Actuarial Society. 1986. Vol. 73. P. 1-26.

301. Mahler H.C. An example of credibility and shifting risk parameters // Proceedings of the Casualty Actuarial Society. 1990. Vol. 77. P. 225-308.

302. Mahler H.C. The credibility of a single private passenger driver // Proceedings of the Casualty Actuarial Society. 1991. Vol. 78. P. 146-162.

303. Mahler H.C. A graphical illustration of experience rating credibilities // Proceedings of the Casualty Actuarial Society. 1997. Vol. 84. P. 654-688.

304. Mahler H.C. A Markov chain model of shifting risk parameters // Proceedings of the Casualty Actuarial Society. 1997. Vol. 84. P. 581-659.

305. Mahler H.C. Credibility with shifting risk parameters, risk heterogeneity, and parameter uncertainty // Proceedings of the Casualty Actuarial Society. 1998. Vol. 85. P. 455-653.

306. Makov U. The implementation of Bayesian credibility models by a sampling-resampling technique // Actuarial Research Clearing House. 1992. N.l. P. 217-221.

307. Mangold K.-P. Rekursive Schätzverfahren in der Kredibilitätstheorie // Blätter der deutsche Gesellschaft für Versicherungsmathematik. 1987. Bd. 18. Heft 1. S. 27-44.

308. Mangold K.-P. Pricing Technics for Property Insurance. EAA Seminar on Actuarial Topics 'Pricing in General Insurance'. 1st 3rd October 2008. St.Petersburg.

309. Mano C.A. Use of bootstrap technique in credibility factor estimation. In: Transactions of the 26th International Congress of Actuaries. 7-12 June 1998. Vol.4. P. 173-192.

310. Marazzi A. Minimax credibility // Mitteilungen der Vereinigung schweizerischer Versicherungsmathematiker. 1976. S. 219-229.

311. Margolin M. On the credibility of group insurance claim experience //Transactions of the Society of Actuaries. 1973. Vol. 23. Pt. 1. P. 229-238 (дискуссия: там же, p.239-272).

312. Mashaekhi M. On asymptotic optimally in empirical Bayes credibility // Insurance: Mathematics and Economics. 2003. Vol. 33. N.3. P. 285-295.

313. Mashayekhi M. A note on empirical linear Bayes estimation of finite population means // Journal of Statistical Planning and Inference. 2003. Vol. 112. P. 77-88.

314. Massy W.F. Principal components regression in exploratory statistical research // Journal of the American Statistical Association. 1965. Vol. 60. P. 234-256.

315. Mayerson A.L. A Bayesian view of credibility// Proceedings of the Casualty Actuarial Society. 1964. Vol. 51. P. 85-104 (дискуссия: там же. 1965. Vol. 52. P. 121-127)

316. Mayerson A.L., Jones D.A., Bowers, Jr. N.L. On the credibility of pure premium // Proceedings of the Casualty Actuarial Society. 1968. Vol. 55. P. 175-185 (дискуссия: там же, 1969. Vol. 56. P. 63-82).

317. McClure R.D. An actuarial note on experience rating nuclear property insurance // Proceedings of the Casualty Actuarial Society. 1972. Vol. 59. P. 150-155 (дискуссия: там же, 1973. Vol. 60. P. 105-111).

318. McCulloch Ch.E., Searle Sh.R. Generalized, Linear, and Mixed Models. New York et al.: John Wiley and Sons, 2001. 325 p.

319. McCullagh P., Neider J.A. Generalized Linear Models. 2nd ed. CRC Press, 1989

320. Mehra R.K. Credibility theory and Kaiman filtering with extensions. Research memorandum RM-75-64. International Institute of Applied Systems Analysis, Laxenburg, Austria. 9 p.

321. Merz M. Credibility-Theorie in kontinuierlich Zeit // Blätter der Deutsche Gesellschaft für Versicherungsmathematik. 2005. Bd. 27. Heft 1. S. 1-20.

322. Merz M. Credibility-Prädiktoren in kontinuierlich Zeit und ihre statistische Eigenschaften // Blätter der Deutsche Gesellschaft für Versicherungsmathematik. 2005. Bd. 27. Heft 1. S. 21-48.

323. Merz M. Credibility approach to the Munich Chain-Ladder method // Blätter der Deutsche Gesellschaft für Versicherungsmathematik. 2005. Bd. 27. Heft 4. S. 619-628.

324. Merz M. Note on semi-linear credibility and structural interruption in the Bühlmann-Straub model // Mitteilungen der schweizerischen Aktuarvereinigung. 2006. Heft 2. S. 143-151.

325. Meyers G.G. Empirical Bayesian credibility for worker's compensation classification ratemaking // Proceedings of the Casualty Actuarial Society. 1984. Vol. 71. P. 96-121.

326. Meyers G.G. An analysis of experience rating 11 Proceedings of the Casualty Actuarial Society. 1985. Vol. 72. P. 278-317 (дискуссия: там же, 1987. Vol.74. P. 119-189).

327. Michelbacher G.F. The practice of experience rating // Proceedings of the Casualty Actuarial Society. 1918. Vol. 4. P. 293-324.

328. Morgan I.M., Heckman J.C. Conjugate Bayesian analysis of the negative binomial distribution // Actuarial Research Clearing House. 1993. N.l. P. 97113.

329. Morillo I., Bermudes L. Bonus-malus system using an exponential loss function with an Inverse Gaussian distribution // Insurance: Mathematics and Economics. 2003. Vol. 33. N.l. P. 49-57.

330. Morris C.N. Parametric Empirical Bayes Inference: Theory and Applications // Journal of the American Statistical Association. 1983. Vol. 78. P. 47-55 (with discussion p. 55-65).

331. Morris C.N. Natural Exponential Families with Quadratic Variance Functions: Statistical Theory // The Annals of Statistics. 1983. Vol. 12. N.2. P. 515529.

332. Morris C.N. Parametric empirical Bayes and credibility theory // Actuarial Research Clearing House. 1985. Vol. 2. P. 1-3.

333. Mowbray A.H. How extensive a payroll exposure is necessary to give dependable pure premium // Proceedings of the Casualty Actuarial Society. 1914. Vol. 1. P. 24-30.

334. Mowbray A.H. A new criterion of adequacy of exposure // Proceedings of the Casualty Actuarial Society. 1918. Vol. 4. P. 263-273.

335. Najafabadi A.T.P. A new approach to the credibility formula // Insurance: Mathematics and Economics. 2010. Vol. 46. N.2. P. 334-338.

336. Nelder J.A., Verall R.J. Credibility theory and generalized linear models //ASTIN Bulletin. 1997. Vol. 27. N.l. P. 71-82.

337. Neuhaus W. Inference about parameters in empirical linear Bayes decision problems // Scandinavian Actuarial Journal. 1984. N.3. P. 131-142.

338. Neuhaus W. Choice of statistics in linear Bayes estimation // Scandinavian Actuarial Journal. 1985. N.l. P. 1-26.

339. Neuhaus W. Risk invariant linear estimation // Scandinavian Actuarial Journal. 1988. N.3. P. 157-190.

340. Neuhaus W. Balanced credibility estimation // Applied Stochastic Models and Data Analysis. 1995. Vol. 11. N.3. P. 217-230.

341. Neuhaus W. Optimal estimation under linear constraints // ASTIN Bulletin. 1996. Vol. 26. N.2. P. 233-245 (первоначальная версия была опубликована как Working paper N.136. Laboratory of Actuarial Mathematics. University of Copenhagen. 1995. 17 p.)

342. Nielsen J.P., Sandquist B.L. Credibility weighted hazard estimation //ASTIN Bulletin. 2000. Vol. 30. N.2. P. 405-417.

343. Nielsen J.P., Sandqvist B.L. Proportional hazard estimation adjusted by continuous credibility//ASTIN Bulletin. 2005. Vol. 35. N.l. P. 239-258.

344. Norberg R. Credibility premium plans which make allowance for bonus hunger// Scandinavian Actuarial Journal. 1975. N.2. P. 73-86.

345. Norberg R. A credibility theory for automobile bonus system // Scandinavian Actuarial Journal. 1976. N.2. P. 92-107.

346. Norberg R. The credibility approach to experience rating // Scandinavian Actuarial Journal. 1979. N.4. P. 181-221.

347. Norberg R. Empirical Bayes credibility // Scandinavian Actuarial Journal. 1980. N.4. P. 177-194.

348. Norberg R. On optimal parameter estimation in credibility // Insurance: Mathematics and Economics. 1982. Vol.1 N.2. P. 73-89.

349. Norberg R. Unbayesed Credibility Revisited // ASTIN Bulletin. 1985. Vol. 15. N.l. P. 37-43.

350. Norberg R. Hierarchical credibility: analysis of a random effect linear model with nested classification // Scandinavian Actuarial Journal. 1986. N.3-4. P. 204-222.

351. Norberg R. A class of conjugate hierarchical priors for Gammoid likelihoods // Scandinavian Actuarial Journal. 1989. N.4. P. 177-193.

352. Norberg R. Experience rating in group life insurance // Scandinavian Actuarial Journal. 1989. N.4. P. 194-224.

353. Norberg R. Linear estimation and credibility in continuous time // ASTIN Bulletin. 1992. Vol. 22. N.2. P. 149-165.

354. Norberg R. Credibility theory. In: Ecyclopedia of Actuarial Science. In 3 Volumes. Chichester, UK: Wiley, 2004. Vol. 1. P. 398-406.

355. Ohlsson E., Johansson B. Credibility theory and GLM revisited // Research report 2003:15. Mathematical Statistics. Stockholm University. P. 1-25.

356. Ohlsson E., Johansson B. Combining credibility and GLM for rating of multi-level factors // CAS Discussion Paper Program. 2004. P. 315-326.

357. Ohlsson E. Johansson B. Exact credibility and Tweedie model // ASTIN Bulletin. 2006. Vol. 36. N.l. P. 121-133.

358. Ohlsson E. Combining generalized linear models and credibility models in practice // Scandinavian Actuarial Journal. 2008. N.4. P. 301-314.

359. Ohtani K. On small sample properties of the almost unbiased generalised ridge estimator // Communications in Statistics Theory and Methods. 1986. Vol. 22. P. 2733-2746.

360. Ozkale M.R. A stochastic restricted ridge regression estimator//Journal of Multivariate Analysis. 2009. Vol. 100. N.8. P. 1706-1716.

361. Pan M.7 Wang R.; Wu X. On the consistency of credibility premiums regarding Esscher principle // Insurance: Mathematics and Economics. 2008. Vol. 42. N.l. P. 119-126.

362. Panjer H.H., Willmot G.E. Insurance Risk Models. Schaumburg, IL: The Society of Actuaries, 1992. 442 p.

363. Panjer H.H., Li D.X. Credibility models: an estimating function approach. Research report 94-07. Institute of Insurance and Pension Research. University of Waterloo, Ontario, Canada. 1994. 26 p.

364. Parodi P., Bonche St. Uncertainty-based credibility and its applications //Variance. 2010. Vol. 4. N.l. P. 18-29.

365. Parry A.E., Math S.E. Pitfalls of the current experience rating plan // Journal of Risk and Insurance. 1993. Vol. 60. N.4. P. 658-670.

366. Paulsen J., Lunde A., Skaug H.J. Fitting mixed-effects models when data are left truncated // Insurance: Mathematics and Economics. 2008. Vol. 43. N.l. P. 121-133.

367. Pechlivanides P.M. Approximations by orthogonal functions in casualty insurance. Report ORC 73-24. Operations Research Center. University of California, Berkeley. 1973.

368. Pentikainen T. Insurance Solvency and Financial Strength. Helsinki: Finnish Insurance training and Publishing Company, 1989. 315 p.

369. Perryman F.S. Some notes on credibility // Proceedings of the Casualty Actuarial Society. 1932. Vol. 19. P. 65-84.

370. Perryman F.S. Experience rating plan credibilities // Proceedings of the Casualty Actuarial Society. 1937. Vol. 24. P. 60-125.

371. Perryman F.S. Possible values for retrospective rating plans // Proceedings of the Casualty Actuarial Society. 1944. Vol. 31. P. 5-34.

372. Peters G.W., Shevchenko P.V., Wurtrich M. Model uncertainty in claims reserving within Tweedie's compound Poisson model // ASTIN Bulletin. 2009. Vol.39. N.l. P. 1-33.

373. Philbrick S.W. An Examination of credibility concepts // Proceedings of the Casualty Actuarial Society. 1981. Vol. 68. P.195-219 (дискуссия: там же, 1982. Vol. 69. P. 131-133).

374. Pinquet J. Experience rating through heterogeneous models. In: Handbook of Insurance / Ed. By G. Dionne; Huebner international series on risk, insurance and economic security. Boston et al.: Kluwer Academic Publishers, 2000. P. 459-500.

375. Pitselis G. De Vylder's robust nonlinear regression credibility // Belgian Actuarial Bulletin. 2004. Vol. 4. N.l. P. 44-49.

376. Pitselis G. A seemingly unrelated regression model in a credibility framework // Insurance: Mathematics and Economics. 2004. Vol. 34. N.l. P. 37-54.

377. Pitselis G. Quantile regression in a credibility framework. In: 11th International Congress 'Insurance: Mathematics and Economics' July 10-12, 2007, Piraeus, Greece. Book of Abstracts. P. 52.

378. Pitselis G. Robust regression credibility: The influence function approach // Insurance: Mathematics and Economics. 2008. Vol. 42. N.l. P. 288300.

379. Pitt D.G.W. Regression Quantile Analysis of Claim Termination Rates for Income Protection Insurance//Annals of Actuarial Science. 2006. Vol. 1. Part II. P. 345-357.

380. Portnoy E. Regression-quantile graduation of Australian life tables, 1946-1992 // Insurance: Mathematics and Economics. 1997. Vol. 21. N.2. P. 163-172.

381. Promislow S.D., Young V.R. Equity and exact credibility // ASTIN Bulletin. 1995. Vol. 25. N.2. P. 3-11.

382. Promislow S.D., Young V.R. Equity and credibility // Scandinavian Actuarial Journal. 2000. N.2. P. 121-146.

383. Purcaru 0., Denuit M. On the stochastic increasingness of future claims in the Bühlmann linear credibility premium // Blätter der Deutsche Gesellschaft für Versicherungsmathematik. 2002. Bd. 25. Heft 4. S. 781-793.

384. Purcaru 0., Denuit M. On the dependence induced by frequency credibility models // Belgian Actuarial Bulletin. 2002. Vol. 2. N.l. P. 73-79.

385. Purcaru 0., Denuit M. Dependence in dynamic claims frequency credibility models // ASTIN Bulletin. 2003. Vol. 33. N.l. P. 23-40.

386. Purcaru 0., Guillen M., Denuit M. Linear credibility models based on time series for claim counts // Belgian Actuarial Bulletin. 2004. Vol. 4. N.l. P. 62-74.

387. Qian W. An application of nonparametric regression estimation in credibility theory// Insurance: Mathematics and Economics. 2000. Vol. 26. N.2-3. P. 169-176.

388. Ramlau-Hansen H. An application of credibility theory to solvency margins//ASTIN Bulletin. 1982. Vol. 13. N.l. P. 37-45.

389. Rantala J. Experience rating of ARIMA processes by the Kaiman filter //ASTIN Bulletin. 1986. Vol. 16. N.l. P. 19-31.

390. Rao C.R. Simultaneous estimation of parameters in different linear models and applications to biometric problems // Biometrics. 1975. Vol. 31. N.2. P. 545-554.

391. Rao C.R. et al. Linear models and generalizations. 3rd ed. Berlin: Springer, 2008. 570 p.

392. Rejesus R.M. et al. Developing experience-based premium rate discounts in crop insurance // American Journal of Agricultural Economics. 2006. Vol. 88. P. 409-419.

393. Robbin I. A Bayesian credibility formula for IBNR counts // Proceedings of the Casualty Actuarial Society. 1986. Vol. 73. P. 129-164 (дискуссия: там же, p. 165-167).

394. Robbins H. The empirical Bayes approach to statistical problems // Annals of Mathematical Statistics. 1964. Vol. 35. N.l. P. 1-20.

395. Robert C.P., Hwang J.T.G., Strawderman W.E. Is Pitman Closeness a Reasonable Criterion? // Journal of American Statistical Association. 1993. Vol. 88. P. 57-76.

396. Roberts L.H. Credibility of 10/20 as compared with 5/10 experience // Proceedings of the Casualty Actuarial Society. 1959. Vol. 46. P. 235-250.

397. Roeber W.F. Recent developments in workmen's compensation insurance rate making // Proceedings of the Casualty Actuarial Society. 1929. Vol.15. P. 223-235.

398. Rousseeuw P., Daniels В., Leroy A. Applying Robust Regression to Insurance // Insurance: Mathematics and Economics. 1984. Vol. 3. N.l. P. 67-72.

399. Ryan J.P. et al. The Valuation of General Insurance Company // Journal of Institute of Actuaries. 1990. Vol.117. Part III. N. 468. P. 597 669.

400. Saleh A.K.Md.E. Theory of Preliminary Test and Stein-Type Estimation with Applications. Hoboken, NJ.: Wiley Interscience, 2006. 622 p.

401. Scammon L.W. Massachusets workmen's compensation rate making-primary-excess basis // Proceedings of the Casualty Actuarial Society. 1947. Vol. 34. P. 17-49.

402. Scarsini M. Bayesian 0-free credibility// Scandinavian Actuarial Journal. 1984. N.4. P. 248-252.

403. Schlesinger H. The theory of insurance demand. In: Handbook of insurance / Ed. By G. Dionne. Boston et al.: Kluwer Academic Publishers, 2000. P.395-419.

404. Schmidt K.D. Convergence of Bayes and credibility premiums // ASTIN Bulletin. 1990. Vol. 20. N.2. P. 167-172.

405. Schmidt K.D., Timpel M. Experience rating under weighted squared error loss // Blatter der Deutsche Gesellschaft fur Versicherungsmathematik. 1995. Bd. 22. Heft 2. S. 289-307.

406. Schmitter H., Straub E. Quadratic programming in insurance // ASTIN Bulletin. 1974. Vol. 7. N.3. P. 311-322.

407. Schnieper R. On the estimation of credibility factor: a Bayesian approach//ASTIN Bulletin. 1995. Vol. 25. N.2. P. 137-151.

408. Schnieper R. Robust Bayesian experience rating // ASTIN Bulletin. 2004. Vol. 34. N.l. P. 125-150.

409. Sepanski J.H. A note on credibility using a varying parameter model // Actuarial Research Clearing House. 2003. Vol. 37. N.2. P. 1-10.

410. Smick J.J. Merit rating the proposed multi-split experience rating plan and the present experience rating plan // Proceedings of the Casualty Actuarial Society. 1939. Vol. 26. P. 84-129.

411. Stein C. Inadmissibility of the Usual Estimator for the Mean of a Multivariate Normal Distribution. In: Proceedings of the Third Berkley Symposium. Vol. 1. Berkley: University of California Press, 1955. P. 197-206.

412. Stein C.M. Confidence Sets for the Mean of a Multivariate Normal Distribution // Journal of the Royal Statistical Society. Series B (Methodological). 1962. Vol. 24. N.2. P. 265-285 (with discussion p. 285-296).

413. Straub E. Estimation of the number of excess claims by means of the credibility theory//ASTIN Bulletin. 1971. Vol. 5. N.3. P. 388-392.

414. Straub E. Credibility application in Switzerland // Insurance: Mathematics and Economics. 1992. Vol. 11. N.2. P. 109-111.

415. Sun L. Shrinkage Estimation in the Two-Way Multivariate Normal Model //The Annals of Statistics. 1996. Vol. 24. N.2. P. 825-840.

416. Sundt B. A hierarchical credibility regression model // Scandinavian Actuarial Journal. 1979. P. 107-114.

417. Sundt B. An insurance model with collective seasonal random factors // Mitteilungen der Vereinigung schweizerischer Versicherungsmathematiker. 1979. P. 57-64.

418. Sundt B. Credibility and relative exchangeability// Scandinavian Actuarial journal. 1979. N.l. P. 45-51.

419. Sundt B. On choice of statistics in credibility estimation // Scandinavian Actuarial Journal. 1979. N.2. P. 115-123.

420. Sundt B. A multi-level hierarchical regression model // Scandinavian Actuarial Journal. 1980. N.l. P. 25-32.

421. Sundt B. Recursive credibility estimation // Scandinavian Actuarial Journal. 1981. N.l. P. 3-21.

422. Sundt B. Invariantly recursive credibility estimation // Insurance: Mathematics and Economics. 1982. Vol. 1. N.3. P. 185-195.

423. Sundt B. Finite credibility formulae in evolutionary models // Scandinavian Actuarial Journal. 1983. N.2. P. 106-116.

424. Sundt B. On time-heterogeneous credibility estimation // Scandinavian Actuarial Journal. 1983. N.3. P. 183-190.

425. Sundt B. Two credibility regression approaches for the classification of passenger cars in a multiplicative tariff// ASTIN Bulletin. 1987. Vol. 17. N.l. P. 41-70.

426. Sundt B. Credibility and old estimates // Insurance: Mathematics and Economics. 1987. Vol. 6. N.3. P. 189-194.

427. Sundt B. Credibility estimator with geometric weights // Insurance: Mathematics and Economics. 1988. Vol. 7. N.2. P. 113-122.

428. Sundt B. Bonus hunger and credibility estimators with geometric weights // Insurance: Mathematics and Economics. 1989. Vol. 8. N.2. P. 119126.

429. Sundt B. Linearly sufficient fun with credibility // Insurance: Mathematics and Economics. 1991. Vol. 10. N.l. P. 69-74.

430. Sundt B. Letter to the editor // Blätter der Deutsche Gesellschaft für Versicherungsmathematik. 1991. Bd. 20. Heft 2. S. 257-259.

431. Sundt B. Letter to the editors // ASTIN Bulletin. 1992. Vol. 22. N.l. P. 121-123.

432. Sußmann G. Credibility kreuzklassifizierter Daten Kombination aus Marginalsummenverfahren und Credibility// Blätter der Deutsche Gesellschaft für Versicherungsmathematik. 2000. Bd. 24. Heft 3. S. 595-597.

433. Swindel B.F. Good estimator based on prior information // Communications in statistics Theory and Methods. 1976. Vol. 5. P. 1065-1075.

434. Taylor G.C. Experience rating with credibility adjustment of the manual premium // ASTIN Bulletin. 1974. Vol. 7. N.3. P. 323-336.

435. Taylor G.С. Credibility under conditions of imperfect persistency. In: Credibility: theory and applications, Proceedings of the Berkley actuarial research conference on Credibility / Ed. by P.M. Kahn. N.Y.: Academic press, 1975. P. 391-400.

436. Taylor G.C. Abstract credibility // Scandinavian Actuarial Journal. 1977. N.3. P. 149-168.

437. Taylor G.C. Credibility analysis of a general hierarchical model // Scandinavian Actuarial Journal. 1979. P. 1-12.

438. Taylor G. Credibility, hypothesis testing and regression software //ASTIN Bulletin. 2007. Vol. 37. N.2. P. 517-535.

439. The Actuarial Profession in the European Communities / Groupe Consultatif des Associations d'Actuaires des Pays des Communautés Européennes; Ed. by A D.Wilke. 1985. P. 19-23.

440. Theil H., Goldberg A.S. On pure and mixed statistical estimation in economics // International Economic Review. 1961. Vol. 2. N.l. P. 65-78.

441. Tsukuma H., Kubokawa T. Methods for Improvement in Estimation of a Normal Mean Matrix// Discussion Papers CIRJE (Univ. of Tokyo). Series F. 2005. Issue 05-F-378.

442. Understanding Actuarial Management: the actuarial control cycle / Ed by C. Bellis, J. Shepherd and R. Lyon. Sydney: Institute of Actuaries of Australia, 2003. 462 p.

443. Uhthoff D.R. The compensation experience rating plan A current review// Proceedings of the Casualty Actuarial Society. 1959. Vol. 46. P. 285-299 (дискуссия там же 1960, Vol. 46, P. 191-203).

444. Van Eegen J., Greup E.K., Nijssen J.A. Rate Making// Surveys of Actuarial Studies. 1983. N.2. 138 p.460. van Slyke O.E. Credibility-weighted trend factors // Proceedings of the Casualty Actuarial Society. 1981. Vol. 68. P. 16—171.

445. Venezian E.C. Good and bad drivers a Markov model of accident proneness // Proceedings of the Casualty Actuarial Society. 1981. Vol. 68. P. 65-85.

446. Venezian E.C. The distribution of automobile accidents are relatives stable over time? // Proceedings of the Casualty Actuarial Society. 1990. Vol. 77. P. 309-336.

447. Venter G.G. Structured credibility in applications hierarchical, multidimensional, and multivariate models // Actuarial Research Clearing House. 1985. N.2. P. 267-308.

448. Venter G.G. Classical partial credibility with application to trend // Proceedings of the Casualty Actuarial Society. 1986. Vol. 73. P. 27-51.

449. Venter G.G. A three-way credibility approach to loss reserving // Insurance: Mathematics and Economics. 1989. Vol. 8. N.l. P. 63-69.

450. Venter G.G. Credibility theory for dummies // Casualty Actuarial Society Forum. 2003. Vol. "Winter". P. 621-627

451. Verrall R.J. Bayes and empirical Bayes estimation for the Chain Ladder model // ASTIN Bulletin. 1990. Vol. 20. N.2. P. 217-243.

452. Wagner H.M. Linear programming techniques regression analysis // Journal of the American Statistical Association. 1959. Vol. 54. N.285. P.206-212.

453. Wald A. Contribution to the theory of statistical estimation and testing hypothesis // Annals of Mathematical Statistics. 1939. Vol. 10. N.4. P. 299-326.

454. Wald A. Statistical decision functions // Annals of Mathematical Statistics. 1949. Vol. 20. N.2. P. 165-205.

455. Wald A. Statistical decision functions. N.Y. et al.: Wiley, 1950. 179 p. (Русский перевод: Вальд А. Статистические решающие функции. В кн.: Позиционные игры. М.: Наука, 1967. С. 300-544).

456. Wang S.S., Young V.R. Risk-adjusted credibility premiums using distorted probabilities//Scandinavian Actuarial Journal. 1998. N.2. P. 143-165.

457. Waters H.R. An introduction to credibility theory: Special note. Edinburgh: Herriot-Watt University, 1987. 50 p.

458. Weeler R.A. Credibility and automobile rate making // Proceedings of the Casualty Actuarial Society. 1930. Vol. 16. P. 268-287

459. Wei L., Chen J. Empirical Bayes estimation and its superiority for two-way classification model // Statistics and Probability Letters. 2003. Vol. 63. P. 165-175.

460. Wen L., Wang W., Yu X. Credibility models with error uniform dependence // Journal of East China Normal University (Natural science). 2009. N.5. P. 118-126.

461. Wen L. Wu X., Zhou X. The credibility premiums for models with dependence induced by common effects // Insurance: Mathematics and Economics. 2009. Vol. 44. N.l. P. 19-25.

462. Whitney A.W. The theory of experience rating // Proceedings of the Casualty Actuarial Society. 1918. Vol. 4. P. 274-292.

463. Wilemse A.H., Voshol E. Credibility and the Dutch fire insurance // Insurance: Mathematics and Economics. 1992. Vol. 11. N.2. P. 135-138.

464. Willmot G.E. Introductory credibility theory. Research report 94-08. Institute of Insurance and Pension Research. University of Waterloo. Waterloo, Ontario, 1994. Ill p.

465. Wind S. An empirical Bayes approach to multiple linear regression //Annals of statistics. 1973. Vol. 1. N.l. P. 93-103.

466. Witt R.Ch. Credibility pricing and standards in automobile insurance //Journal of Risk and Insurance. 1974. Vol. 41. N.3. P. 375-396.

467. Witting Th. The linear Markov property in credibility theory // ASTIN Bulletin. 1987. Vol. 17. N.l. P. 71-84.

468. Witting Th. Kredibilitatsschatzungen fur die Anzahl IBNR-Schaden // Blatter der deutsche Gesellschaft fiir Versicherungsmathematik. 1987. Bd. 18. Heft 1. S. 45-58

469. Woodward J.H. The experience rating of workmen's compensation risks // Proceedings of the Casualty Actuarial Society. 1916. Vol 2. P. 356-369.

470. Yeo K.L., Valdez E.A. Claim dependence with common effects in credibility models // Insurance: Mathematics and Economics. 2006. Vol. 38. P. 609629.

471. Young V.R. Credibility and persistency // ASTIN Bulletin. 1996. Vol. 26. N.l. P. 53-69.

472. Young V.R. Credibility using semiparametric models // ASTIN Bulletin. 1997. Vol. 27. N.2. P. 273-285.

473. Young V.R. Credibility using a loss function from spline theory: parametric models with a one-dimensional sufficient statistics // North American Actuarial Journal. 1998. Vol. 2. N.l. P. 101-111 (дискуссия: там же, p. 111-117).

474. Young V.R. Robust Bayesian credibility using semiparametric models //ASTIN Bulletin. 1998. Vol. 28. N.2. P. 187-203.

475. Young V.R., De Vylder F.E. Credibility in favour of unlucky insureds // North American Actuarial Journal. 2000. Vol. 4. N.l. P. 107-113.

476. Young V.R. Credibility using semiparametric models and loss function with a constancy penalty// Insurance: Mathematics and Economics. 2000. Vol. 26. N.2-3. P. 151-156.

477. Zehnwirth B. The mean credibility formula is a Bayes rule // Scandinavian Actuarial Journal. 1977. N.4. P. 212-216.

478. Zehnwirth B. The credible distribution function is an admissible Bayes rule//Scandinavian Actuarial Journal. 1978. IM.3. P. 121-127.

479. Zehnwirth B. Credibility and Dirichlet process // Scandinavian Actuarial Journal. 1979. N.l. P. 13-23.

480. Zehnwirth B. A hierarchical model for the estimation of claim rates in a motorcar insurance portfolio // Scandinavian Actuarial Journal. 1979. P. 75-82.

481. Zehnwirth B. Conditional linear Bayes rules for hierarchical models // Scandinavian Actuarial Journal. 1982 N.3-4. P. 143-154.

482. Zehnwirth B. Linear filtering and recursive credibility estimation //ASTIN Bulletin. 1985. Vol. 15. N.l. P. 19-35.