Построение и применение в различных областях страхования вероятностных моделей для марковских систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.16, кандидат физико-математических наук Сухинин, Владимир Юрьевич

• Сухинин, Владимир Юрьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Сухинин, Владимир Юрьевич

ВВЕДЕНИЕ 5

ГЛАВА 1. Вывод и решение дифференциальных уравнений для 11перспективных и ретроспективных резервов в страховании жизни

§1.1. Общие определения резервов в страховании 11жизни и некоторые соотношения между ними

§1.2. Применение марковских процессов с 17непрерывным временем при моделировании полисов страхования жизни и аннуитетов

§1.3. Марковские условные процессы с непрерывным 24временем

§ 1.4. Резервы в модели марковского процесса 25

§1.5. Дифференциальные уравнения для 27перспективных резервов в различных состояниях процесса

§1.6. Дифференциальные уравнения для 29ретроспективных резервов в различных состояниях процесса

§1.7. Связь уравнений для перспективных и 31ретроспективных резервов с обратными и прямыми уравнениями Колмогорова

§1.8. Дифференциальные уравнения для моментов 32высших порядков

§1.9. Поведение ретроспективных резервов в окрестности

§1.10. Правдоподобие для марковских процессов с непрерывным временем

§ 1.11. Оценивание параметрических интенсивностей 36-38 по методу максимального правдоподобия

§1.12. Алгоритм расчета резервов в страховании жизни 38-39 с помощью дифференциальных уравнений

ГЛАВА 2. Применение дифференциальных уравнений для 40-70 резервов для решения задач, связанных с актуарными расчетами в страховании жизни

§2.1. Различные подходы к определению резервов 40

§2.2. Страховые резервы и нетто-премии 44

§2.3. Сравнение эффективности различных методов 46-52 перестрахования с точки зрения перестрахователя

§2.4. Применение дифференциальных уравнений для 53-64 расчета перспективных и ретроспективных резервов и страховых премий для различных типов договоров страхования жизни

§2.5. Общее описание параметров оценивания 65-70 платежеспособности страховой компании

ГЛАВА 3. Системы бонус-малус и теория достоверного 71-101 оценивания в автотранспортном страховании

§3.1. Общие принципы тарификации 71

§ 3.2. Определение системы бонус-малус 74

§ 3.3. Использование распределения Пуассона для 79-81 однородного страхового портфеля

§ 3.4. Использование отрицательно-биномиального 81распределения для неоднородного страхового портфеля

§ 3.5. Описание алгоритма статистического 83моделирования СБМ

§ 3.6. Определение оптимальной шкалы премий 85

§ 3.7. Достоверная премия: модели Бюльмана-Штрауба 87-90 и Бюльмана

§ 3.8. Достоверные оценки с геометрическими весами 90

§ 3.9. Бонусный голод 94

§ 3.10. Заключительные положения

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Построение и применение в различных областях страхования вероятностных моделей для марковских систем»

Актуальность проблемы.

1. Развитие актуарной науки в России и других странах. Моделирование - один из самых распространенных и доступных приемов изучения реальных процессов, происходящих в экономике, в частности, в страховом бизнесе. В силу своей специфики страхование, как финансовый институт, имеет своей целью обеспечение страхователей, т.е. физических лиц, заключающих договоры страхования или третьих лиц, в пользу которых они заключены, денежными средствами при наступлении страховых случаев. Последние, в свою очередь, являются реализацией неких случайных событий, качественно и количественно судить о которых можно, изучив степень риска того или иного конкретного договора страхования. Это, безусловно, делает вероятностное (стохастическое) моделирование одним из наиболее важных инструментов при принятии решений о ведении дел в страховых компаниях.

Следует заметить, что количественной оценкой риска занимаются актуарии - специалисты в страховой (актуарной) математике. Основы актуарной теории как особой отрасли науки были заложены в XVII в. работами таких ученых, как Д. Граунт , Я. Де Витт, Э. Галлей. Э. Галлей определил основные функции таблиц смертности, исчислил вероятности дожития и смерти, ввел понятие средней продолжительности жизни, исчислил тарифы по страхованию ренты. К концу XVII - началу XVIII века страхование жизни встало на научную основу. В XVIII веке актуарную теорию разрабатывали ряд ученых, включая знаменитых российских академиков Д. Бернулли и Л. Эйлера.

Зачатки стохастического исчисления актуарная наука ассимилировала около столетия назад. Дифференциальные уравнения для вероятности возможного разорения компании были получены Лундбергом еще в 1903 г., когда понятие стохастического процесса не было еще точно определено. С начала 20 века в Европе и США актуарная математика получила мощный стимул для дальнейшего развития благодаря огромному вкладу в нее таких выдающихся математиков, как Г. Крамер, В. Феллер, А. Лотка, а также, позднее, таких известных ученых-актуариев, как Н. Bühlmann, H.U. Gerber, C.D. Daykin, Р. Embrechts, R. Norberg, P. Petauton и других [13, 42, 44, 40, 21, 22,47-52].

На рубеже 19 и 20 веков в России быстро развивалось страховое дело и актуарные практика, образование и наука, что нашло свое отражение в работах Б.Ф. Малешевского, Н.С. Лунского, Ф.А. Бабаловича, П.М. Гончарова и многих других. После монополизации страхового дела в СССР существовало только две страховые организации: Госстрах и Ингосстрах, что не стимулировало развитие актуарной науки. Однако, и в СССР продолжались работы по актуарной науке и смежным проблемам демографии, что нашло свое яркое отражение в трудах таких ученых, как Кагаловская Э.Т., Калихман А.И., Мотылев Л.А., Рейтман Л.И., Четыркин Е.М. и ряда других.

С начала 90-х годов в России в области страховой и финансовой математики активно работают такие известные ученые, как Ширяев А.Н., Четыркин Е.М., Фалин Г.И., Башарин Г.П., Булинская Е.В., Виноградов О.П., Королев В.Ю., Мельников A.B., Ротарь В.И., Шоргин С.Я. и другие [35-37, 33, 34,31,32, 2-12, 24, 17, 38, 39].

По инициативе заведующего кафедрой теории вероятностей, профессора, академика АН УССР Гнеденко Б.В. и ректората МГУ им. М.В. Ломоносова в 1993 г. на механико-математическом факультете была открыта экономико-математическая специализация, основой которой служила страховая и финансовая математика. Аналогичную работу на факультете вычислительной математики и кибернетики МГУ проделал профессор кафедры исследования операций Ашманов С.А., а в 1995 г. на экономическом факультете МГУ была создана кафедра управления риском. В 1994 г. на базе МГУ было создано Российское Общество Актуариев, первым президентом которого стал член-корреспондент РАН Ширяев А.Н.

С 1994 г. по инициативе руководства Российского университета дружбы народов на кафедре теории вероятностей и математической статистики факультета физико-математических и естественных наук в рамках специальности "Прикладная математика и информатика" читается цикл актуарных дисциплин и производится выпуск бакалавров и магистров.

Учебная и исследовательская работа в этом направлении проводится в ряде ведущих вузов Москвы, Санкт-Петербурга и некоторых других городов России в рамках экономических и экономико-математических специализаций.

2. Актуальность работы. Теория стохастического исчисления, которая свое развитие получила, в основном, в последние полвека, дает возможность унифицированного подхода к широкому классу задач, связанных с предсказанием поведения в будущем страховых договора, портфеля или предприятия на основе прошлой истории. Подходящие версии теоремы Дуба о свободном выборе и цепное правило для семимартингалов (обобщенная формула Ито) вместе с разложением Дуба-Мейера и некоторые элементарные факты из теории мартингалов дают интегральные, дифференциальные или интегро-дифференциальные уравнения и для моментов современных стоимостей финансовых потоков, для вероятности разорения и других функций, имеющих практический интерес. Подход работает в достаточно сложных моделях, способных отвечать реальным системам, минимизируя как риск ответственности страховой компании перед клиентами, так и риск размещения активов.

Очень часто достаточно сложные системы, описывающие финансовые взаимоотношения страховой компании (страховщика) и ее клиента (страхователя), обладают свойством Маркова, т.е. отсутствием памяти.

Иными словами, в каждый момент действия договора страхования возникающие финансовые потоки определяются ситуацией, сложившейся непосредственно к этому моменту, и не зависят от предыдущей истории этих взаимоотношений. Примерами таких систем являются финансовые потоки, возникающие в результате заключения договоров страхования жизни определенного вида или договоров страхования автогражданской ответственности. Поскольку такие договоры заключаются наиболее часто и являются классическими с точки зрения теории страхования и поскольку изучены и применяются на практике далеко не все математические аспекты, связанные с ними, то выбор темы исследования представляется достаточно актуальным.

Целью данной диссертационной работы является изучение, систематизация и дальнейшее развитие вероятностных моделей, широко используемых в актуарной математике при исследовании страховых систем, обладающих свойством Маркова, а в некоторых случаях и без него, и применение полученных результатов в практической деятельности.

Методы исследований. В работе использованы методы теории вероятностей, математической статистики, актуарной и финансовой математики, математической демографии.

Научная новизна и результаты, выносимые на защиту, состоят в следующем:

- с помощью дифференциальных уравнений для резервов в страховании жизни получены новые формулы для расчета нетто- и брутто-премий по страхованию пенсии по инвалидности, удобные для практического применения; построена и исследована математическая модель финансовой деятельности страховой компании при осуществлении ей перестрахования жизни для двух различных типов договоров перестрахования;

- тарифы существующего во многих странах, включая Беларусь, и готовящегося в РФ обязательного страхования автогражданской ответственности, основаны на использовании системы бонус-малус (скидок и надбавок) и нуждаются в серьезных расчетах. Полученные в третьей главе результаты позволяют прогнозировать изменение страховых взносов, которые на практике за несколько лет уменьшаются более чем вдвое, что может нанести страховой компании большие убытки.

Практическая ценность работы. Большинство вероятностных и статистических методов, описанных в диссертации, применимо и частично уже было использовано в работе страховых и перестраховочных компаний. Результаты диссертации могут быть полезны при принятии решений о заключении договоров перестрахования на основе изучения финансовых показателей перестраховочной деятельности. Приведенные в диссертации формулы позволяют рассчитать страховые резервы и страховые премии для различных типов договоров страхования жизни. Кроме того, полученные результаты позволяют смоделировать финансовые потоки, возникающие в результате заключения договоров страхования. Результаты Главы 4, позволяют органам страхового надзора и страховым компаниям при страховании автогражданской ответственности обоснованно вводить в действие системы бонус-малус. Публикации по теме диссертации и результаты работы использовались на кафедре теории вероятностей и математической статистики факультета физико-математических и естественных наук Российского университета дружбы народов в студенческих НИР, выпускных работах бакалавров и магистерских диссертациях.

Реализация результатов работы. Исследования проводились по плану госбюджетных НИР Российского университета дружбы народов "Математические методы и модели в демографии и страховании" государственный регистрационный номер 01.20.00 06593). В ЗАО "Страховом обществе "ЛК-Сити" на практике проводилось сравнение эффективности рассмотренных автором различных методов перестрахования с точки зрения перестрахователя, что подтверждается справкой о внедрении. В результате наиболее эффективным был признан метод, рекомендуемый автором в диссертации.

Апробация работы. Основные результаты, изложенные в диссертации, докладывались на ХХХ1-ХХХУ научных конференциях факультета физико-математических и естественных наук РУДН (Москва, 1995-1999 г.г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 работ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 58 наименований и двух приложений. Диссертация содержит 108 страниц текста, 5 рисунков, 11 таблиц.

Заключение диссертации по теме «Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (по отраслям наук)», Сухинин, Владимир Юрьевич

Основные результаты диссертации отражены в следующих опубликованных работах:

1.Башарин Г.П., Сухинин В.Ю. Модель Бюльмана-Штрауба в теории достоверного оценивания. Тезисы докладов XXXI научной конференции факультета физико-математических и естественных наук РУДН, 15-23 мая 1995 г, С. 82.

2. Башарин Г.П., Сухинин В.Ю. О некоторых приложениях теории достоверного оценивания в автотранспортном страховании // Вестник РУДН. Серия "Прикладная математика и информатика". М.: Изд-во РУДН, 1996, № 1, С.57-76.

3. Сухинин В., Плаксина Н. Страхование на случай возникновения смертельно-опасных заболеваний // Страховое дело. 1997, № 12, С. 34-41.

4. Башарин Г.П., Сухинин В.Ю. Использование непрерывных цепей Маркова при расчетах в страховании жизни. Тезисы докладов XXXIV научной конференции факультета физико-математических и естественных наук РУДН, 19-22 мая 1998 г, С. 6-7.

5. Коннор П., Плаксина Н., Сухинин В. Страхование на случай постоянной потери трудоспособности // Страховое дело. 1998, № 1, С. 52-57.

6. Малых Д., Сафонов А., Ланда Т., Сухинин В., Плаксина Н. К вопросу об оценке обязательств страховщиков по договорам долгосрочного страхования жизни // Страховое дело. 1998, № 6, с.с. 43-50.

7. Башарин Г.П., Сухинин В.Ю. Вероятностный анализ рентабельности различных договоров перестрахования жизни // Вестник РУДН. Серия "Прикладная математика и информатика". М.: Изд-во РУДН, 1999, № 1, С.78-91.

8. Сухинин В.Ю. Использование непрерывных цепей Маркова для сравнения рентабельности различных договоров перестрахования. Тезисы докладов XXXV Всероссийской научной конференции по проблемам математики, информатики, физики, химии и методики преподавания, РУДН, 24-28 мая 1999 г, С. 44-45.

9. Башарин Г.П., Сухинин В.Ю., Солохина Т.Е. Сравнительный анализ различных вероятностных распределений при моделировании систем бонус-малус // Вестник РУДН. Серия "Прикладная математика и информатика". М.: Изд-во РУДН, 2000, № 1, с.с.37-48.

10. Башарин Г.П., Сухинин В.Ю., Солохина Т.Е. Численный анализ систем бонус-малус в автомобильном страховании. Тезисы докладов XXXVI Всероссийской научной конференции по проблемам математики, информатики, физики, химии и методики преподавания естественных дисциплин, РУДН, 22-26 мая 2000 г, С. 38.

11. Сухинин В.Ю. Элементы планирования дохода от инвестирования страховых средств. Тезисы докладов XXXVI Всероссийской научной конференции по проблемам математики, информатики, физики, химии и методики преподавания естественных дисциплин, РУДН, 22-26 мая 2000 г, С. 37.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Сухинин, Владимир Юрьевич, 2000 год

1. Баскаков В.Н., Карташов Г.Д. Построение таблиц продолжительности жизни по данным внутренней статистики НПФ // М.: "Пенсионные фонды", 1996, №4.

2. Башарин Г.П. Начала финансовой математики. М.: "Инфра-М", 1997.

3. Башарин Т.П., Коломин Е.В. Теория построения индивидуальных тарифов с использованием системы бонус-малус // Страховое дело. 1995, № 10, С. 3138.

4. Башарин Г.П., Сухинин В.Ю. Модель Бюльмана-Штрауба в теории достоверного оценивания. Тезисы докладов XXXI научной конференции факультета физико-математических и естественных наук РУДН, 15-23 мая 1995 г., С. 82.

5. Башарин Г.П., Сухинин В.Ю. О некоторых приложениях теории достоверного оценивания в автотранспортном страховании // Вестник РУДН. Серия "Прикладная математика и информатика". М.: Изд-во РУДН, 1996, № 1, С.57-76.

6. Башарин Т.П., Сухинин В.Ю. Теория стабильной популяции в демографии // Вестник РУДН. Серия "Прикладная математика и информатика". М.: Изд-во РУДН, 1996, №2, С. 44-60.

7. Башарин Т.П., Сухинин В.Ю. Использование непрерывных цепей Маркова при расчетах в страховании жизни. Тезисы докладов XXXIV научной конференции факультета физико-математических и естественных наук РУДН, 19-22 мая 1998 г., С. 6-7.

8. Башарин Г.П., Сухинин В.Ю. Вероятностный анализ рентабельности различных договоров перестрахования жизни // Вестник РУДН. Серия "Прикладная математика и информатика". М.: Изд-во РУДН, 1999, № 1 С.78-91.

9. Башарин Г.П., Сухинин В.Ю., Плаксина H.H. Оценка чистой функции материнства в демографической теории стабильной популяции // Вестник РУДН. Серия "Прикладная математика и информатика". М.: Изд-во РУДН, 1997, №1, С. 27-36.

10. Башарин Г.П., Сухинин В.Ю., Плаксина H.H. Распределение возраста обнаружения опасного хронического заболевания // Вестник РУДН. Серия "Прикладная математика и информатика". М.: Изд-во РУДН, 1998, №1, С. 65-76.

11. Башарин Г.П., Сухинин В.Ю., Солохина Т.Е. Сравнительный анализ различных вероятностных распределений при моделировании систем бонус-малус // Вестник РУДН. Серия "Прикладная математика и информатика". М.: Изд-во РУДН, 2000, № 1, С.37-48.

12. Гербер X. Математика страхования жизни. М.: Мир, 1995.

13. Ефимов C.JI. Энциклопедический словарь. Экономика и страхование. М.: "Церих-ПЭЛ", 1996.1-Х.

14. Капитоненко В.В. Финансовая математика и ее приложения. М.: Изд. ПРИОР, 1998.

15. Коннор П., Плаксина Н., Сухинин В. Страхование на случай постоянной потери трудоспособности // Страховое дело. 1998, № 1, С. 52-57.

16. Крихели М., Шоргин С. Подход к расчету перестраховочной квоты для квотно-пропорционального перестрахования и его реализация // Страховое дело. 1998, №6, С. 51-55.

17. Лемер Ж. Автомобильное страхование. М.: "Янус-ЕС", 1998.

18. Лемер Ж. Системы бонус-малус в автомобильном страховании. М.: "Янус-К", 1998.

19. Малых Д., Сафонов А., Ланда Т., Сухинин В., Плаксина Н. К вопросу об оценке обязательств страховщиков по договорам долгосрочного страхования жизни // Страховое дело. 1998, № 6, С. 43-50.

20. Норберг Р. Стохастическое исчисление в актуарной науке (перевод с англ. Т.Б. Толозовой) // Обозрение прикладной и промышленной математики. 1995, т. 2, в. 5, С. 823-848.

21. Норберг Р. Методы стохастического анализа в страховании жизни // Обозрение прикладной и промышленной математики. 1998, т. 5, в. 1, С. 83-116.

22. Плаксина H.H. , Сухинин В.Ю. Анализ современной динамики заболеваемости туберкулезом в России. Материалы научной конференции "Ломоносов -98", МГУ, экономический факультет, Совет молодых ученых. М.: ТЕИС, 1998, С.28-37.

23. Ротарь В.И., Бенинг В.Е. Введение в математическую теорию страхования // Обозрение прикладной и промышленной математики. 1994, т. 1, в. 5, С. 698-779.

24. Сухинин В., Плаксина Н. Страхование на случай возникновения смертельно-опасных заболеваний // Страховое дело. 1997, № 12, С. 34-41.

25. Сухинин В.Ю., Плаксина H.H. Оценка чистой функции материнства в демографической теории стабильной популяции. Тезисы докладов XXXIII научной конференции факультета физико-математических и естественных наук РУДН, 20-24 мая 1997 г, С. 96.

26. Сухинин В.Ю., Плаксина H.H. Анализ динамики заболеваемости туберкулезом в России. Тезисы докладов международной научной конференции "Ломоносов -98", МГУ. М.: Диалог МГУ, 1998, С. 28-30.

27. Сухинин В., Плаксина Н., Новожилова Н. 2040-й год: что век грядущий нам готовит? // Страховое дело. 1998, № 5, С. 21-27.

28. Фалин Г.И. Математический анализ рисков в страховании. М.: Российский юридический издательский дом, 1994.

29. Фалин Г.И. Математические основы теории страхования жизни и пенсионных схем. М.: Изд. мех.-мат. ф-таМГУ, 1996.

30. Четыркин Е.М. Актуарные методы в негосударственном медицинском страховании. М.: Дело, 1999.

31. Четыркин Е.М. Финансовая математика. М.: Дело, 2000.

32. Ширяев А.Н. Вероятность. М.: "Наука", 1989.

33. Ширяев А.Н. Актуарное и финансовое дело: современное состояние и перспективы развития // Обозрение прикладной и промышленной математики. 1994, т.1, в. 5, С. 684-697.

34. Ширяев А.Н. Основы стохастической и финансовой математики. М.: "Фазис", 1998, т.1: "Факты и модели".

35. Шоргин С.Я. Асимптотические оценки оптимальных страховых тарифов в условиях вариации страховых сумм // Обозрение прикладной и промышленной математики. 1997, т. 4, в. 1, С. 124-156.

36. Шоргин С .Я. Верхние оценки оптимальных страховых тарифов в условиях вариации страховых сумм // Обозрение прикладной и промышленной математики. 1998, т. 5, в. 1, С. 147-172.

37. Эмбрехтс П., Клюппельберг К. Некоторые аспекты страховой математики // Теория вероятностей и ее применения. 1993, т. 38, в. 2, С. 375-416.

38. Borgan О., Ноет J.M., Norberg R. A Nonasymptotic Criterion for the Evaluation of Automobile Bonus Systems // Scandinavian Actuarial Journal, 1981, P. 165-178.

39. Bowers N.L., Gerber H.U., Hickman J.C., Jones D.A., Nesbitt C.J. Actuarial Mathematics. Itasca, IL: The Society of Actuaries, 1986.

40. Bremaud P. Point processes and queues. New-York, Heidelberg, Berlin: Springer-Verlag, 1981, Section III.3.

41. Daykin C.D., Pentikainen Т., M. Pesonen. Practical Risk Theory for Actuaries. London: Chapman & Hall, 1996.

42. Higgins R.C. Analysis for Financial Management. 3rd edition. Homewood, IL, Boston, MA: IRWIN, 1992.

43. Neuhaus W. A bonus-malus system in automobile insurance // Insurance: Mathematics&Economics. 1998, # 7, P.103-112.

44. Norberg R. A Credibility Theory for Automobile Bonus Systems // Scandinavian Actuarial Journal, 1976, P. 92-107.

45. Norberg R. The Credibility Approach to Experience Rating // Scandinavian Actuarial Journal, 1979, P. 181-221.

46. Norberg R. Reserves in Life and Pension Insurance // Scandinavian Actuarial Journal, 1991, #1, P. 3-24.

47. Norberg R. Hattendorff s Theorem and Thiele's Differential Equation Generalised // Scandinavian Actuarial Journal, 1992, #1, P. 2-14.

48. Norberg R. A Solvency Study in Life Insurance // Proceedings of the 3rd AFIR Colloquium, 1993, v.2, P. 821-830.

49. Norberg R. Differential Equations for Moments of Present Values in Life Insurance // Insurance: Mathematics & Economics, 1995.

50. Sundt B. Credibility estimators with geometric weights // Insurance: Mathematics & Economics, 1988, # 7, 113-122.

51. Sundt B. Bonus hunger and credibility estimators with geometric weights // Insurance: Mathematics & Economics, 1989, # 8, 119-126.

52. Tiller J.E., Jr., Fagerberg D. "Life, Health and Annuity Reinsurance". Winsted, CT: ACTEX Publications, Inc., 1990.

53. Vatter C. Simulation of automobile insurance bonus-malus systems // American journal of Mathematical Sciences. V. 17, # 3-4, P. 329-368.

54. Walhin J.F., Paris J. Using Mixed Poisson Processes in Connection with BonusMalus Systems // ASTIN Bulletin, 1999, V. 29, # 1, P. 81-99.

55. Waters H.R. Credibility theory. Edinburgh: Heriot-Watt University, Department of Actuarial mathematics and Statistics, 1993.