Статистический подход к реконструкции динамических систем по зашумленным данным тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, кандидат физико-математических наук Мухин, Дмитрий Николаевич

  • Мухин, Дмитрий Николаевич
  • кандидат физико-математических науккандидат физико-математических наук
  • 2007, Нижний Новгород
  • Специальность ВАК РФ01.04.03
  • Количество страниц 124
Мухин, Дмитрий Николаевич. Статистический подход к реконструкции динамических систем по зашумленным данным: дис. кандидат физико-математических наук: 01.04.03 - Радиофизика. Нижний Новгород. 2007. 124 с.

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Мухин, Дмитрий Николаевич

Введение

I Статистический подход к реконструкции динамических систем (ДС)

1.1 Введение.

1.2 Частные случаи.

Нулевой шум измерений.

Существенный шум измерений.

1.3 Модификация Байесова подхода.

1.4 Восстановление значений параметров известной ДС по зашумленному временному ряду (ВР): сравнение модифицированного и "классического" подходов.

1.5 Классификация режимов поведения известной ДС по коротким зашум-ленным ВР.

Рекомендованный список диссертаций по специальности «Радиофизика», 01.04.03 шифр ВАК

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Статистический подход к реконструкции динамических систем по зашумленным данным»

2.2 Описание модели наблюдаемой динамики.44

Общий вид реконструируемой неавтономной системы.44

Параметризация оператора эволюции.46

2.3 Пример реконструкции: прогноз поведения ДС по хаотическому неза-шумленному ВР.48

Описание системы.49

Алгоритм реконструкции.53

О выборе числа нейронов.57

Результаты прогноза.59

Выводы из полученных результатов.64

2.4 Реконструкция ДС по зашумленному слабонестационарному ВР . . . . 65

Вводные замечания .65

Метод анализа функции апостериорной плотности вероятности

АПВ). 67

Примеры реконструкции: прогноз поведения ДС по хаотическим зашумленным ВР. 68

2.5 Заключительные замечания. 77

III Восстановление профилей атмосферных характеристик по данным дистанционного зондирования 81

3.1 Введение.81

3.2 Статистический подход в приложении к задаче восстановления атмосферных профилей.85

Построение функции правдоподобия .85

Параметризация профиля.89

3.3 Восстановление профиля атмосферного озона по данным миллиметровых измерений.90

Описание прямой задачи.90

Модельная задача.91

Решение модельной задачи: сравнение кусочно-однородной и нейронносетевой параметризаций профиля.92

Восстановление профиля озона по данным, измеренным в реальном эксперименте .98

3.4 Заключение.100

Заключение 102

Приложение 104

Литература 114

Введение

Разработке методов решения обратных задач реконструкции динамических систем (ДС) на основе порожденных ими наблюдаемых процессов (временных рядов) посвящено в последние тридцать лет большое количество работ (см., например, [1-3] и цитируемую там литературу). Актуальность такого подхода к реконструкции связана с тем, что он не требует наличия полной и детальной априорной информации о процессах, протекающих в системе, т. к. не включает в себя процедуру построения моделей из первых принципов (уравнений движения среды или отдельных частиц, уравнений для силовых полей, переноса излучения, химической кинетики, тепло и массопереноса и пр.). Математическая модель исследуемой ДС при этом строится путем прямого анализа наблюдаемых данных, вообще говоря, без каких-либо допущений о природе изучаемого явления. Как правило, каждый из предложенных к настоящему времени методов такой реконструкции, включает в себя два основных шага: (1) реконструкция области фазового пространства, в которой система эволюционирует, и (2) построение модели, воспроизводящей поведение системы в этой области фазового пространства.

Фундаментальной основой методов реализации первого шага являются доказанные Такенсом теоремы [4], из которых следует, что непрерывная бесконечная и стационарная зависимость от времени всего лишь одной (наблюдаемой) динамической переменной системы является достаточной для восстановления топологической структуры области фазового пространства, соответствующей наблюдаемой эволюции системы. В реальности протяженность наблюдаемого временного ряда (ВР) всегда ограничена, что приводит к ошибке при реконструкции реализующегося в фазовом пространстве системы аттрактора, и, как следствие, неточности в определении его характеристик. Тем не менее, созданные к сего. дняшнему дню алгоритмы позволяют достаточно аккуратно восстанавливать динамические свойства системы по конечному стационарному ВР. Кроме того, результаты многочисленных компьютерных экспериментов (начиная со статьи [5], инициировавшей упомянутую работу Такенса) с очень широким кругом моделей показали, что такая реконструкция может производится на основе дискретного ВР. Наконец, было показано [6], что теоремы Такенса могут быть обобщены на случай нестационарных ВР, т.е. нестационарность не налагает ограничений с точки зрения принципиальной возможности реконструировать наблюдаемый аттрактор.

Методы построения моделей, описывающих динамику исследуемой системы в восстановленном фазовом пространстве, можно разбить на две группы [1,2]. К первой относятся методы, направленные на реконструкцию локальной динамики системы в отдельно взятых элементарных ячейках фазового пространства. В рамках таких методов строятся модели, способные воспроизвести (предсказать) эволюцию малой окрестности выбранного вектора состояния системы в фазовом пространстве на времена порядка характерного масштаба изменения динамической переменной. Другими словами, для каждой интересующей точки фазового пространства строится локальный оператор эволюции (ОЭ), наилучшим образом предсказывающий дальнейшее поведение фазовых траекторий, попавших в малую окрестность данной точки, на определенный шаг по времени. В качестве функций, аппроксимирующих данный ОЭ, используются как полиномы различной степени [7] (в частности, полином нулевой степени - в этом случае предсказание заключается в простом усреднении по образам всех точек из выбранной окрестности), так и более сложные функции, например, системы радиальных базисных функций [8]. В случае хаотической динамики такие модели обеспечивают характерное время предсказания, обратно пропорциональное значению старшего ляпуновского показателя ВР, являющегося мерой разбегания изначально близких фазовых траекторий хаотического аттрактора [9]. Для успешной реконструкции поведения системы с помощью описанных локальных моделей необходимо, прежде всего, чтобы окрестность каждой точки исследуемого аттрактора была хорошо посещаема восстановленной фазовой траекторией, т. е. протяженность наблюдаемого ВР (объем данных) должна быть достаточной для хорошего покрытия всего аттрактора. Другим требованием к наблюдаемым данным является стационарность исследуемого ВР (предполагающая постоянство управляющих параметров реконструируемой системы), поскольку описанные методы базируются на эргодической гипотезе. Главным недостатком локальных моделей является очень большое количество коэффициентов, требуемых для их описания, что очевидным образом снижает точность реконструируемых характеристик системы. Кроме того, высокая чувствительность к измерительному шуму сильно затрудняет их использование при работе с реальными данными.

Вторую группу образуют методы глобальной реконструкции динамических систем, направленные на построение модели оператора эволюции, действующего во всей области фазового пространства, соответствующей наблюдаемому ВР. Такие модели воспроизводят качественную структуру фазового пространства ДС, при этом, вообще говоря, можно восстанавливать различные характеристики исследуемого аттрактора, такие как вероятностное распределение, фрактальная размерность, ляпунов-ские показатели и др. Привлекательность такого подхода связана с тем, что весь набор имеющихся данных описывается непрерывной гладкой моделью с небольшим (по сравнению с локальными моделями) числом параметров. Более того, с помощью глобальных моделей можно отслеживать изменения управляющих параметров исходной системы, что находит применение в задачах реконструкции неавтономности системы (см. главу 2 и [10-14]), восстановления бифуркационных диаграмм [15-18], передачи информации [19-21] и т.д. Чаще всего глобальная модель строится в виде дискретного ОЭ, описывающего связь между состояниями системы, соответствующими соседним по времени пересечениям фазовой траектории с выбранной секущей аттрактора в восстановленном фазовом пространстве. При этом для аппроксимации ОЭ могут использоваться различные функции, такие как, например, системы ортогональных (на инвариантной плотности аттрактора) полиномов [22], системы радиальных базисных функций [8,23,24], искусственные нейронные сети (ИНС) [12,13,25,26] и др. Кроме того, предложены методы построения потоковых глобальных моделей, представляющих собой системы дифференциальных уравнений заранее выбранного вида [27-32].

Особенностью глобальной реконструкции является то, что используемые модели являются параметризованными, т.е. представляют собой функции, зависящие от наборов параметров. При этом задача реконструкции ДС часто понимается, как поиск оптимального (обеспечивающего наилучшее соответствие модели и наблюдаемого процесса), с точки зрения выбранного критерия, вектора параметров модели. Математическим представлением такого критерия обычно является ценовая функция (ЦФ), определяющая меру близости наблюдаемых данных и модели, маленькие значения которой отвечают хорошему соответствию, а большие - плохому. Например, хорошо известной и наиболее широко используемой ЦФ является среднеквадратичная невязка, лежащая в основе метода наименьших квадратов (МНК) (см., например, [9,33,35]); в методе обобщенных наименьших квадратов (МОНК) используется ЦФ, наиболее эффективная в задачах аппроксимации данных, когда погрешность присутствует как в образах, так и в прообразах реконструируемого отображения [34,36,37]; при реконструкции параметров известной системы по ВР применяется метод множественной стрельбы [39,49], основанный на ЦФ, учитывающей "долгие" корреляции наблюдаемой динамической переменной. Кроме того, при реконструкции параметров простых систем, в основе которых лежат известные уравнения, может применяться метод статистических моментов [2,38], обоснованность которого очевидна для эргодических процессов. Однако, данный метод может применяться только в случае реконструкции систем простого априори известного вида, а эффективность его невысока [38].

Неотъемлемой чертой любого процесса реального наблюдения является наличие случайной составляющей в экспериментальных данных. Такая случайность может быть следствием, например, шума измерительной аппаратуры, конечной точности измерений, дискретности ряда по времени и т.п. Другими словами, измеренные значения отличаются от тех, которые были сгенерированы изучаемой системой, и эти отличия являются случайными величинами. Таким образом, наблюдаемые в реальном эксперименте величины содержат стохастическую компоненту, и, следовательно, уместным является вероятностный подход к их описанию. Ясно, что подход к оценке ненаблюдаемых величин (параметров системы, скрытых шумом (латентных) динамических переменных и других искомых характеристик системы) по таким данным должен быть статистически обоснованным, т. е. максимально корректно учитывать вероятностное распределение наблюдаемых величин. Можно легко показать, что в противном случае, когда используемый подход основан на неверной информации о статистических свойствах переменных (в частности, использование перечисленных выше ценовых функций далеко не всегда оказывается статистически обоснованным, см. главы I и II), производимые оценки искомых характеристик системы оказываются неконтролируемым образом систематически смещенными (см., например, [40,41]). Это обстоятельство делает наиболее адекватным вероятностный (Байе-сов) подход к решению задачи реконструкции, в рамках которого реконструируемые ненаблюдаемые переменные предполагаются случайными величинами, для которых конструируется функция апостериорной плотности вероятности (АПВ). Кроме информации о шуме, такой подход в вероятностной форме задействует также всю имеющуюся априорную информацию о реконструируемой системе. В наиболее типичном случае, когда решаемая задача является некорректной, использование обоснованной априорной информации, обеспечивающее регуляризацию решения, является ключевым моментом при реконструкции.

Одной из основных целей данной работы является разработка и реализация эффективного метода глобальной реконструкции ДС, позволяющего извлекать из наблюдаемого ВР максимально полную информацию об исследуемой системе на основе Байесового подхода к решению обратных задач. Попытки построения методик глобальной реконструкции ДС, в которых в основе производимых оценок лежат статистические соображения, начали предприниматься сравнительно недавно. Первой работой, направленной на получение несмещенной оценки параметров известной ДС по зашумленному хаотическому BP, является статья [40], в которой, во-первых, продемонстрировано растущее с увеличением уровня шума систематическое смещение оценок, полученных с помощью МНК и МОНК, и, во-вторых, предложена ценовая функция, учитывающая инвариантную плотность состояний в фазовом пространстве модели при различных значениях параметров1. На примере BP, сгенерированного простейшим точечным отображением (logistic map), показано отсутствие систематической погрешности реконструкции параметра данной системы во всем представленном диапазоне уровня шума. Однако, как справедливо отмечено в последующих работах [38,41], предложенный метод построения ЦФ содержит ряд ошибок, связанных с неправильной статистической интерпретацией переменных, при этом несмещенность оценки достигается крайне неэффективным способом. В этих же работах (кроме того, см. [42-44]) также отмечается трудность практического использования апостериорной плотности вероятности ненаблюдаемых, построенной статистически корректным образом (в рамках "классического" Байесова подхода), в случае реконструкции динамической системы по зашумленному хаотическому BP существенной протяженности. Основная проблема заключается здесь в практической невозможности учета "динамичности" системы в полной мере, что отражается в чрезвычайно сложной ("изрезанной") структуре соответствующей функции АПВ. Поскольку именно хаотические BP, неся в себе информацию о значительной части фазового пространства системы, представляют особый интерес с точки зрения глобальной реконструкции ДС, преодоление данной трудности является очень существенным шагом, на что и были направлены дальнейшие усилия в разработке Байесовых методов. Так, работе [41]

1 Фактически, предложено исключить из ценовой функции МОНК латентные переменные, проинтегрировав ее на предельном множестве состояний модели. предлагается подход, основанный на смягчении требований к динамичности исследуемой системы: при построении искомой АПВ предполагается наличие (кроме динамической) слабой стохастической связи между латентными переменными системы, т.е. по сути, в модель вводится динамический шум. Несмотря на то, что, как отмечено в работе [42], авторы фактически "неправомерно" подменили динамическую задачу стохастической, продемонстрировано, что такой подход позволяет получить несмещенные оценки на искомые характеристики системы. Можно, однако, показать [44], что при этом существенно снижается точность реконструкции из-за ослабления априорных требований к системе2. В другой работе [38] предложен способ построения "кусочной" функции правдоподобия, в рамках которого исследуемый ВР делится на сегменты одинаковой фиксированной протяженности, при этом налагается требование, чтобы модель "максимально хорошо" воспроизводила наблюдаемую траекторию на этих сегментах. Как параметры, так и латентные переменные считаются независимыми величинами в различных сегментах, их точечная оценка получается усреднением оптимальных (в смысле максимизации функции правдоподобия) значений по всем сегментам. Вопросы выбора оптимальной длины сегмента, а также способа корректной оценки точности реконструкции остаются при этом открытыми.

В диссертационной работе развивается способ модификации Байесо-ва подхода, направленный на построение функции АПВ, который корректно учитывает статистику шумов, и в то же самое время максимально возможным образом принимает во внимание динамичность исследуемой системы. Указанная выше трудность практического использования Байесова подхода для анализа хаотических рядов преодолевается при этом включением в процедуру реконструкции априорной информации

2Надо отметить, что использование стохастических моделей в рамках Байесовой реконструкции является довольно популярным, при этом основная проблема заключается в большом количестве латентных переменных, а, следовательно, и аргументов функции АПВ, что существенно затрудняет ее анализ. К настоящему времени предложены различные способы интегрирования АПВ по латентным переменным, например, с помощью метода Монте-Карло [45] (что является достаточно ресурсоемким) или приближенных рекуррентных оценок интегралов модифицированными фильтрами Кальмана [46,50] о свойстве динамического хаоса, состоящем в потере информационной связи между отсчетами ряда с увеличением временного интервала между ними. Последнее позволяет получить факторизованное (модифицированное) апостериорное распределение ненаблюдаемых, пригодное для численного анализа. Предлагается также основанный на методе Монте-Карло метод статистического анализа построенной функции АПВ, необходимого для расчета доверительных интервалов искомых величин. Отметим, что предложенный метод позволяет, кроме всего прочего, производить оценку параметров распределения шума (например, дисперсию), вообще говоря, неизвестных априори и являющихся ненаблюдаемыми наряду с параметрами модели и латентными переменными.

Первая глава данной работы посвящена описанию и иллюстрированию на модельных примерах модифицированного Байесова подхода. В начале главы делается введение, содержащее общие положения Байесова подхода применительно к анализу BP. Далее рассматриваются частные случаи, соответствующие ситуациям, когда измерительный шум мал и когда он существенен, вводится функция АПВ, соответствующая предлагаемому модифицированному Байесову подходу. Предлагается основанная на методе Metropolis-Hasting [51,52] реализация метода Монте-Карло, пригодная для численного анализа данной функции, необходимого для извлечения из него информации об искомых характеристиках системы. Описание соответствующего алгоритма вынесено в Приложение. Возможности предложенного подхода демонстрируются на двух примерах. В одном из них решается задача классификации неразличимых традиционными методами режимов поведения известной динамической системы по коротким (около 20 характерных периодов изменения динамической переменной системы) существенно зашумленпым BP. Другой пример посвящен реконструкции параметра логистического отображения по зашумленному BP: проводится сравнительный анализ результатов реконструкции, полученных упомянутыми существующими и предлагаемыми в данной работе методами. В заключение главы обсуждаются возможные факторы, ограничивающие точность предложенного метода реконструкции.

Вторая глава представленной работы посвящена разработке метода глобальной реконструкции неизвестной ДС в условиях, когда наблюдаемые данные представляют собой слабонестационарные хаотические процессы, т. е. соответствующие временные ряды имеют масштаб нестационарности много больший, чем характерные времена изменения динамических переменных. Такое поведение характерно, в частности, для различных систем, определяющих протекание важнейших процессов в атмосфере и гидросфере Земли (эволюцию озонного слоя [53], поведение концентраций химических составляющих атмосферы в приземном слое воздуха [54], крупномасштабных вариаций поверхностной температуры тропических вод Тихого океана (явление Эль-Ниньо) [55,56])3. Данное условие на масштаб нестационарности позволяет рассматривать систему, породившую данный ВР, как неавтономную с медленно изменяющимися во времени управляющими параметрами. Актуальность данной задачи обусловлена тем, что описанный тип неавтономности характерен для природных систем, т. к. они практически никогда не бывают замкнутыми, но зависят от изменяющихся с течением времени внешних условий, что может приводить к изменению во времени параметров, определяющих динамические свойства системы. Это означает, прежде всего, возможность смены типа поведения системы (бифуркации) в процессе ее эволюции, что влечет за собой существенные (иногда катастрофические) изменения количественных характеристик наблюдаемого процесса. Поэтому в описанной ситуации одной из главных задач, которую должна решать глобальная реконструкция, является задача прогноза качественного поведения ДС, в качестве первоочередной цели которого естественно определить предсказание возможных типов бифуркаций и моментов бифуркационных переходов. Разработанный в работе метод прогноза, основанный на Байесовой реконструкции, позволяет производить

3 Отметим, что круг реальных систем, демонстрирующих хаотическую динамику, уже сегодня простирается от перечисленных атмосферных и атмосферно-океанических процессов до различных систем в живых организмах [57,58] и тектонической активности [59] и имеет тенденцию к расширению по мере приложения современных методов анализа к новым базам данных различной природы. вероятностное предсказание поведения исследуемой системы. В рамках этого метода задается явно зависящая от времени модель ОЭ системы, строится функция АПВ параметров этой модели, которая определяет ансамбль возможных сценариев поведения системы, по которому затем вычисляются вероятности искомых характеристик (такие как, например, тип динамического режима в интересующий момент времени или моменты времени бифуркаций) как на интервале времени наблюдения, так и в будущем (путем экстраполяции модели за пределы времени наблюдения).

В последние 10-15 лет в печати демонстрируется повышенный интерес к анализу нестационарных ВР, в частности, большое внимание уделяется проблемам установления факта нестационарности, а также определению характера и меры нестационарности процессов различной природы. Разработан ряд методов, основанных на анализе распределений временных интервалов между соседними векторами в фазовом пространстве [60-62], использовании меры взаимной предсказуемости динамики между различными участками ВР [63], исследовании зависимости от времени плотности вероятности процесса и его спектральной плотности [64] и др. В данной работе, по сути, предлагается метод восстановления нестационарности процесса на основе глобальной реконструкции неавтономной ДС, породившей данный процесс.

Во вводных разделах описываемой главы ставится задача реконструкции ДС по слабонестационарному ВР, а также излагаются некоторые особенности связанной с ней задачи прогноза качественного поведения ДС. Затем описывается предлагаемый способ аппроксимации неизвестного неавтономного ОЭ системы: в форме ИНС. Выбор такой параметризации обусловлен тем, что ИНС является универсальным аппроксима-тором [25,65], т. е. позволяет аппроксимировать любую функцию на выбранном интервале изменения аргумента с наперед заданной точностью. Для модели в виде ИНС предлагается метод использования априорной информации о системе путем внесения вероятностных ограничений на параметры модели, необходимость которых диктуется вырожденностью пространства параметров модели. Далее отдельно рассматриваются два случая - когда реконструкция производится по ВР без шума измерений, и когда ВР содержит измерительный шум, существенно превосходящий ошибку, связанную с неточностью аппроксимации (дефект модели). Для обоих случаев строятся функции АПВ параметров модели, причем в последнем случае предлагается использовать АПВ, построенную в соответствии с модифицированным Байесовым подходом, описанным в первой главе.

Обстоятельством, усложняющим анализ вероятностного распределения в последнем случае, является наличие в нем степеней свободы, соответствующих латентным переменным системы, количество которых возрастает пропорционально протяженности исследуемого ВР. В рассматриваемой задаче прогноза поведения ДС используются реализации существенной протяженности (например, используемые в данной работе ВР включают в себя порядка 1000 отсчетов), поскольку требуется, чтобы процесс содержал в себе достаточную информацию о структуре фазового пространства восстанавливаемой системы. В результате размерность пространства ненаблюдаемых зачастую оказывается настолько большой, что численный анализ соответствующей функции АПВ становится практически невозможным. Для преодоления указанной трудности в работе предлагается метод приближенного интегрирования АПВ по латентным переменным, позволяющий получить АПВ только для параметров модели ОЭ.

Результаты прогноза с использованием построенных функций АПВ демонстрируются на примерах ВР, порожденных как точечным отображением (отображение Эно), так и системами обыкновенных дифференциальных уравнений (система Ресслера и система уравнений, описывающая химические процессы, протекающие в мезосфере Земли). В частности, в случае с зашумленными ВР приведенные результаты иллюстрируют высокую эффективность модифицированного Вайесова подхода с точки зрения как прогноза поведения системы, так и реконструкции наблюдаемой динамики. В заключении ко второй главе кратко излагаются основные выводы из полученных результатов, обсуждаются ограничения и возможные усовершенствования разработанного метода.

Таким образом, в двух первых главах представлена основанная на статистическом подходе методика решения обратной задачи реконструкции системы по данным наблюдений, включающая в себя (1) статистически обоснованную постановку задачи, основанную на вероятностном представлении данных, (2) построение пригодной для анализа функции АПВ, включающей в себя информацию о шумовой составляющей сигнала, физически обоснованную априорную информацию о системе, а также параметризацию оператора эволюции системы, (3) методы извлечения из построенной функции информации об искомых характеристиках системы. Хотя предложенная методика изначально разрабатывалась для задачи реконструкции динамических систем по генерируемым ими наблюдаемым процессам, она оказывается эффективной при решении других (не "динамических") некорректных обратных задач. Это демонстрируется в третьей главе работы, где рассматривается задача восстановления высотных распределений (профилей) параметров атмосферы по данным наземного пассивного радиометрического зондирования, представляющим собой спектры излучения (поглощения) химических составляющих атмосферы.

Данная задача предполагает решение интегрального уравнения [66] (в общем случае нелинейного), при этом она является некорректной [6770], поскольку неточность в исходных данных, обусловленная их дискретностью и существенной зашумленностью, приводит к бесконечному множеству возможных решений, в то время как существует точное и единственное решение невозмущенной задачи. Ключевым моментом при этом является включение в процедуру восстановления физически обоснованной априорной информации о профиле, ограничивающей класс возможных решений. Наиболее часто применяемые алгоритмы восстановления профилей атмосферных характеристик основаны на использовании метода наименьших квадратов, дополненного регуляризацией, содержащей необходимые априориые представления. Эти алгоритмы отличаются между собой преимущественно методами регуляризации, т. е. типами используемой априорной информации и способами ее включения. Например, в хорошо известном методе Тихонова [68] налагаются условия на гладкость решения, при этом жесткость ограничений задается условием равенства функции невязки и дисперсии шума измерений. Хотя сходимость решения к точному при стремлении уровня шума к нулю и доказана [68,69], такой определяемый шумом выбор априорных ограничений неизбежно приводит к систематической погрешности ("переглаженным" профилям), которая является неконтролируемой и может быть причиной принципиальных ошибок в случае не слишком малой зашумленности данных. Другой метод, предложенный и развитый в работах [71,72], использует для регуляризации априорную статистику, полученную из предыдущих измерений. Данный метод дает несмещенное решение только в том случае, когда в распоряжении исследователя имеется достаточно богатая статистика, учитывающая все физически возможные вариации профиля в данной географической точке, однако это условие выполняется далеко не всегда. Общим недостатком традиционных методов восстановления является использование кусочно-однородной (кусочно-линейной) аппроксимации профиля, что сильно ограничивает возможность включения в алгоритм априорной информации различного типа. Кроме того, большинство существующих методов направлены на решение линеаризованной задачи, в то время как связь между искомым профилем и наблюдаемым спектром часто описывается нелинейным интегральным уравнением. В ситуации, типичной для наземного зондирования, когда уровень шума достаточно высок, систематическая ошибка, вносимая линеаризацией, может быть существенна. Другим очень важным моментом при решении задачи восстановления является корректный расчет погрешности произведенных оценок. При использовании традиционных методов восстановления определение данной погрешности является отдельной весьма нетривиальной задачей даже в случае линейной связи измеряемой и восстанавливаемой характеристик (см., например, [73,74]).

В то время как существующие методы направлены на поиск единственного "оптимального" профиля, в данной работе предлагается метод [75,76], основанный на вероятностном представлении решения. В соответствии с описанным в первой главе подходом искомая величина интерпретируется как случайная, и для нее строится функция АПВ, включающая в себя как информацию о распределении шума измерительной аппаратуры, так и априорные ограничения, налагаемые на свойства восстанавливаемого высотного распределения. При этом исходные интегральные уравнения, лежащие в основе построения АПВ, могут быть нелинейными по отношению как к восстанавливаемой величине, так и к параметрам функции, аппроксимирующей профиль. Анализ функции АПВ методом Монте-Карло позволяет получить статистический ансамбль возможных профилей, по которому рассчитываются доверительные интервалы с заданным уровнем вероятности для искомой величины во всем зондируемом диапазоне высот. Таким образом, оценка погрешности восстановления является неотъемлемой частью предложенной процедуры и получается автоматически.

В первом параграфе третьей главы формулируется задача восстановления атмосферных профилей по данным дистанционного зондирования, а также подробно поясняются недостатки существующих методов. Далее описывается общий Байесов подход в приложении к рассматриваемой задаче, что в дальнейшем позволяет произвести прямое сравнение различных методов восстановления. Затем предлагается параметризация профиля функцией в виде ИНС. Показано, что использование аппроксимации в виде ИНС позволяет более эффективным образом (по сравнению с кусочно-линейной аппроксимацией) задействовать различную априорную информацию о профиле, такую как гладкость, диапазон вариаций концентрации озона, количество участков монотонности и т.д. В следующей части главы описывается конкретная задача - восстановление профиля озона по данным пассивного зондирования в миллиметровом диапазоне длин волн.Возможности метода демонстрируются сначала на модельном примере, имитирующем измерения радиационной температуры атмосферы спектрометром ИПФ РАН в Арктике [77,78]. Показано, что предлагаемый метод позволяет восстановить профиль с достаточно резкими вариациями озона, моделирующими ситуацию с сезонным образованием арктической озонной дыры, в то время как метод, включающий в себя кусочно-линейную параметризацию и регуляризацию Тихонова, оказывается неэффективным. Далее представляются результаты восстановления профиля озона по реальным измерениям, проведенным в Апатитах зимой 2002-2003 гг. [78], которые затем сравниваются с данными модели GOME/ROSE [79]. В заключении главы излагаются выводы из полученных результатов.

В Заключении сформулированы основные результаты диссертации.

В Приложении изложен алгоритм реализации метода Metropolis-Hasting, разработанный для анализа используемых в работе апостериорных распределений.

Апробация работы. Изложенные в диссертации результаты докладывались на семинарах и конкурсах работ молодых ученых Института прикладной физики РАН, семинарах НИИ ПМК, ИФА РАН, кафедры математической статистики ВМК МГУ им. М.В. Ломоносова, на семинаре «Российская наука - XXI век» Минпромнауки РФ, в Лондонском Империал колледже (Великобритания), на конкурсах научных работ, на международных и общероссийских конференциях и совещаниях: 12-ой Генеральной ассамблее Международного союза геодезии и геофизики (1999 г., Бирмингем, Великобритания), Международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения А.А. Андронова "Прогресс в нелинейной науке" (2001 г., Нижний Новгород), Международной конференции Ха-ос'01 (2001 г., Саратов), 120-ой Фарадеевской дискуссии Королевского химического общества "Nonlinear Chemical Kinetics: Complex dynamics and Spatiotemporal Patterns" (Манчестер, Великобритания, 2001), XXXII Международном научно-методическом семинаре «Шумовые и деграда-ционные процессы в полупроводниковых приборах» (Москва, 2001), 4-ом и 5-ом Рабочих совещаниях программы "REACTOR" Европейского научного фонда (2003 г., Будапешт, Венгрия; 2004г., Прага, Чехия), 35-ой Научной ассамблее COSPAR (2004г., Париж, Франция), Генеральной ассамблее Европейского союза наук о Земле (2005 г., Вена, Австрия), Международном симпозиуме "Topical Problems of Nonlinear Wave Physics" (2005 г., Санкт-Петербург - Нижний Новгород), 31-ом Международном симпозиуме по дистанционному зондированию окружающей среды (2005 г., Санкт-Петербург), Международной конференции "Динамические дни" (2006 г., Крит, Греция), 3-ой, 4-ой, 5-ой, С-ой Нижегородской научной сессии молодых ученых (Н. Новгород, 1998, 1999, 2000, 2001 гг.), 2-й Всероссийской научной конференции студентов-радиофизиков (1998 г., С.-Петербург), 9-ой Всероссийской школе-семинаре "Волны -2004" (Москва), 6-ой, 7-ой, 8-ой, 9-ой и 10-ой Всероссийской школе-конференции молодых ученых "МАПАТЭ" (2000 г. и 2003г., Нижний Новгород; 2004г., Москва; 2005г., Борок; 2006г., Москва), Международном симпозиуме стран СНГ "Атмосферная радиация" (2002 и 2004 г., С.-Петербург), 11-ой, 12-ой и 13-ой Научной школе "Нелинейные Волны" (2002, 2004 и 2006 г.г., Нижний Новгород), 20-ой Всероссийской конференции по распространению радиоволн (2002 г., Н. Новгород), 15-ой научной сессии Совета по нелинейной динамике (2006г., Москва).

Основные результаты диссертации опубликованы в 5 статьях в реферируемых российских (Известия ВУЗов - Радиофизика) и международных (Faradey Discussions, Advances in Space Research, Physical Review E) научных журналах, 3 препринтах НПФ РАН, 2 отчетах по программе фундаментальных исследований ОФН РАН, 6 сборниках трудов и 27 сборниках тезисов всероссийских и международных конференций.

Похожие диссертационные работы по специальности «Радиофизика», 01.04.03 шифр ВАК

Заключение диссертации по теме «Радиофизика», Мухин, Дмитрий Николаевич

Заключение

В заключение приведем основные результаты работы, являющимися также положениями, выносимыми на защиту.

1. Разработан метод глобальной реконструкции динамических систем (ДС) по порожденным ими временным рядам (ВР), основанный на статистическом подходе к решению обратных задач. Показано, что лежащая в основе метода модификация классического Байесо-ва подхода позволяет извлекать из наблюдаемого процесса максимально полную информацию об исследуемой ДС. Эффективность метода продемонстрирована на примере решения задач отыскания неизвестных значений параметров известной ДС, а также классификации режимов поведения ДС (как регулярных, так и хаотических) по короткому зашумленному ВР.

2. Разработан метод анализа функции апостериорной плотности вероятности ненаблюдаемых характеристик ДС, полученной в рамках Байесова подхода, необходимый для извлечения искомой информации о системе. Метод включает в себя как асимптотически корректную аналитическую оценку распределения латентных динамических переменных, так и анализ построенного апостериорного распределения методом Монте-Карло.

3. Разработан метод байесовой реконструкции ДС с неизвестным оператором эволюции (ОЭ) по слабонестационарному ВР. Предложен универсальный способ параметризации ОЭ, а также способ использования априорной информации о системе для отбора физически обоснованных решений соответствующей некорректной обратной задачи.

4. Предложен метод построения прогноза качественного поведения неизвестной ДС по нестационарному хаотическому ВР. Эффективность метода продемонстрирована путем построения прогноза по слабонестационарным ВР, порожденным как дискретными отображениями, так и потоковыми системами. Для обоих классов ДС правильно предсказаны вероятности реализации различных динамических режимов и бифуркационных переходов, а также типы возможных бифуркаций. Применительно к задаче прогноза показана эффективность использования модифицированного Байесова подхода в ситуации, когда исследуемые данные содержат существенный измерительный шум.

5. Показано, что разработанная методика решения некорректных обратных задач может быть успешно применена к задаче восстановления высотных распределений атмосферных параметров по данным радиометрического зондирования. Предложен новый способ параметризации высотных распределений, для которого разработан метод регуляризации задачи. Продемонстрированы преимущества предложенного способа регуляризации над предложенными ранее методами. Эффективность новой методики продемонстрирована как на модельных примерах, так и на реальных данных.

Автор выражает искреннюю благодарность Александру Марковичу Фейгину за чуткое руководство работой, постоянное внимание и всестороннюю поддержку, Ярославу Игоревичу Молькову за существенный вклад в постановку проблем, плодотворные обсуждения и полезные советы, Евгению Васильевичу Суворову, инициировавшему нашу деятельность по восстановлению профилей атмосферных характеристик, а также сотрудникам отдела 140 ИПФ за поддержку и дружелюбное отношение.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Мухин, Дмитрий Николаевич, 2007 год

1. Abarbanel H.D.1. Analysis of Observed Chaotic Data. New York: Springer-Verlag, 1997.

2. Безручко Б.П., Смирнов Д.А. Математическое моделирование и хаотические временные ряды. Саратов: ГосУНЦ "Колледж", 2005.

3. Анищенко B.C., Вадивасова Т.Е., Астахов В.В. Нелинейная динамика хаотических и стохастичеких систем. Саратов: Изд. Саратовского университета, 1999.

4. Takens F. Detecting strange attractor in turbulence // In: D.A. Rand and L.-S. Young (Eds.), Dynamical Systems and Turbulence, Warwick, 1980, Lecture Notes in Mathematics. Springer, Berlin 1981. Vol. 898. P. 366.

5. Packard N.H., Crutchfield J.P., Farmer J.D., and Shaw R.S. Geometry from a time series // Phys. Rev. Lett. 1980. Vol. 45. P. 712.

6. Stark J., Broomhead D.S., Davies M.E., Huke J. Takens Embedding theorems for forced and stochastic systems // Nonlinear Analysis, Theory, Methods Applications 1997. Vol. 30. P. 5303.

7. Farmer J.D. and Sidorowich J.J. Predicting Chaotic Time Series // Phys. Rev. Lett. 1987. Vol. 59. P. 845.

8. Powell M.J.D. Approximation Theory and Methods // Cambridge: Cambridge University, 1981.

9. Abarbanel H.D.I., Brown R., Sidorowich J.J., and Tsimring L.Sh. The analysis of observed chaotic data in physical systems // Rev. Mod. Phys. 1993. Vol. 65. P. 1331.

10. Лоскутов E.M., Мольков Я.И., Мухин Д.Н., Фейгин A.M. Прогноз бифуркаций слабоиеавтономных динамических систем на основе наблюдаемых временных рядов // Препринт № 508. Н. Новгород: ИПФ РАН. 1999. Нижний Новгород, 1999. 53 стр. (Препринт ИПФ РАН № 508).

11. И. Лоскутов Е.М., Мольков Я.И., Мухин Д.Н., Фейгин A.M. Прогноз качественного поведения динамической системы по хаотическому временному ряду //Изв. ВУЗов Радиофизика. 2001. Т. 44 (5-6). С. 376.

12. Лоскутов E.M., Мольков Я.И., Мухин Д.Н., Фейгин A.M. Глобальная реконструкция динамических систем по слабоиестационар-ным зашумленным хаотическим временным рядам // Нижний Новгород, 2006. 27 стр. (Препринт ИПФ РАН № 708).

13. Мольков Я.И., Фейгин A.M. Прогноз качественного поведения динамических систем по зашумленным временным рядам // Сб. лекций: Нелинейные волны'2002. / Под ред. А.В.Гапонова-Грехова, В.И.Некоркина Н.Новгород: ИПФ РАН, 2003. С. 34.

14. Tokunaga R., Kajiwara S., and Matsumoto Т. Reconstruction bifurcation diagrams only from time-waveforms // Physica D. 1994. Vol. 79. P. 348.

15. Bagarinao E., Nomura Т., Pakdaman K., and Sato S. Generalized one-parameter bifurcation diagram reconstruction using time series // Physica D. 1998. Vol. 124. P. 258.

16. Bagarinao E., Pakdaman K., Nomura Т., and Sato S. Time series based bifurcation diagram reconstruction // Physica D. 1999. Vol. 130. P. 211.

17. Bagarinao E., Pakdaman K., Nomura Т., and Sato S. Reconstructing bifurcation diagrams from noisy time series using nonlinear autoregressive models // Phys. Rev. E. 1999. Vol. 60 (1). P. 1073.

18. Дмитриев А.С., Панас А.И. Динамический хаос: новые носители информации для систем связи/ М.: Физматлит, 2002.

19. Anishchenko V.S., Pavlov А.P. Global reconstruction in application to multichannel communication // Phys. Rev. E. 1998. Vol. 57 (2). P. 2455.

20. Анищенко B.C., Павлов A.H., Янсон Н.Б. Реконструкция динамических систем в приложении к решению задачи защиты информации // ЖТФ 1998. Т. 68 (12). С. 1.

21. Brown R. Orthogonal polynomials as prediction functions in arbitrary phase space dimensions // Phys. Rev. E. 1993. Vol. 47. P. 3962.

22. Parlitz U. Identification of true and spurious Lyapunov exponents from time series // Int. J. Bif. Chaos 1992. Vol. 2. P. 155.

23. Judd K, Mees A.I. On selecting models for nonlinear prediction // Physica D. 1995. Vol. 82. P. 426.

24. Макаренко Н.Г. Фракталы, аттракторы, нейронные сети и все такое // Труды IV Всероссийской научн.-техн. конф. "Нейроинформатика-2002". Часть 2. М., 2002. Р. 121.

25. Casdagli М. Nonlinear prediction of chaotic time series // Physica D. 1989. Vol. 35. P. 335.

26. Грибков Д.А., Грибкова В.В., Кравцов Ю.А. и др.Восстановление структуры динамической системы по временным рядам // Радиотехника и электроника 1994. Т. 39 (2). С. 269.

27. Bezruchko В., Smirnov D. Constructing nonautonomous differential equations from a time series // Phys. Rev. E. 2001. Vol. 63. P. 016207.

28. Smirnov D., Bezruchko B. and Seleznev Ye. Choice of dynamical variables for global reconstruction of model equations from time series // Phys. Rev. E. 2002. Vol. 65. P. 026205.

29. Везручко Б.П., Диканев Т.В., Смирнов Д.А. Глобальная реконструкция модельных уравнений по реализации переходного процесса / / Изв. ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика. 2001. Vol. 9 (3). Р. 3.

30. Павлов А.Н., Янсон Н.Б., Анищенко В.С .Реконструкция динамических систем // Радиотехника и электроника 1999. Т. 44 (9). С. 1075.

31. Gouesbet G. Reconstruction of the vector fields of continuous dinamical systems from scalar time series // Phys. Rev. A. 1991. Vol. 43. P. 5321.

32. Jaeger L. and Kantz H. Unbiased reconstruction of the dynamics underlying a noisy chaotic time series // Chaos 1996. Vol. 6. P. 440.

33. Van Huffel S., Vandewalle J. The total least squares problem // Philadelphia: SIAM, 1991.

34. Grassberger P., Schreiber Т., Schaffrath C. Nonlinear time sequence analysis // Int. J. Bifur. Chaos 1991. Vol. 1. P. 521.

35. Kostelich E.J. Problems in estimating dynamics from data // Physica D 1992. Vol. 58. P. 138.

36. Kostelich E.J. and Schreiber T. Noise reduction in chaotic time-series data: A survey of common methods // Phys. Rev. E 1993. Vol. 48. P. 1752.

37. Pisarenko V. F. and Sornette D. Statistical methods of parameter estimation for deterministically chaotic time series // Phys. Rev. E 2004. Vol. 69. P. 036122.

38. Horbelt W., Timmer J. and Voss H. U. Parameter estimation in nonlinear delayed feedback systems from noisy data // Phys. Lett. A. 2002. Vol. 299. P. 513.

39. McSharry P.E. and Smith L.A. Better Nonlinear Models from Noisy Data: Attractors with Maximum Likelihood // Phys. Rev. Lett. 1999. Vol.83. P. 4285.

40. Meyer R. and Christensen N. Bayesian reconstruction of chaotic dynamical systems // Phys. Rev. E 2000. Vol. 62. P. 3535.

41. Judd K. Chaotic-time-series reconstruction by the Bayesian paradigm: Right results by wrong methods // Phys. Rev. E 2003. Vol 67. P. 026212.

42. Лоскутов E.M., Мольков Я.И., Мухин Д.Н., Фейгин A.M. Статистический подход к реконструкции динамических систем // Сб. лекций: Нелинейные волны'2004■ / Под ред. А.В.Гапонова-Грехова, В.И.Некоркина Н.Новгород: ИПФ РАН, 2005. С. 411.

43. Mukhin D. N., Feigin А. М., Loskutov Е. М., and Molkov Ya. I. Modified Bayesian approach for the reconstruction of dynamical systems from time series // Phys. Rev. E 2006. Vol. 73. P. 036211.

44. Gilks W. R., Richardson S. , and Spiegelhalter D. J. Markov Chain Monte Carlo in Practice // London: Chapman and Hall, 1996.

45. Meyer R. and Christensen N. Fast Bayesian reconstruction of chaotic dynamical systems via extended Kalman filtering // Phys. Rev. E 2001. Vol. 65. P. 016206.

46. Fraser A.M. and Swinney H.L. Independent coordinates for strange attractors from mutual information // Phys. Rev. A. 1986. Vol. 33 (2). P. 1134.

47. Schuster H.G. Deterministic Chaos // Weinheim: Physic-Verlag, 1984.

48. Bock H.G. Recent advances in parameter identification techniques for O.D.E. // Numerical Treatment of Inverse Problems in Differential and Integral Equestions, P.Deuflhard, E.Hairer (Eds.), Birkhauser, Basel, 1983. P. 95.

49. Sitz A., Schwarz U., Kurths J., and Voss H. U .Estimation of parameters and unobserved components for nonlinear systems from noisy time series // Phys. Rev. E 2002. Vol. 66. P. 016210.

50. Hastings W.K. Monte Carlo sampling methods using markov chains and their applications // Biometrica 1970. Vol. 67. P. 97.

51. Chib S. and Greenberg E. Understanding the Metropolis-Hasting algorithm // The American Statistian 1995. Vol. 49. P. 327.

52. Yang, P., Brasseur G.P. , Gille J.C., et al. Dimensionalities of ozone attractors and their global distribution // Physica D 1994. Vol. 76. P. 331.

53. Li, I.F., Biswas P. , and Islam S.Estimation of the dominant degrees of freedom for air pollutant concentration data: applications to ozone measurements // Atmospheric Environment 1994. Vol. 28. P. 1707.

54. Neelin, J.D. and Latif M. El Nino Dynamics // Physics Today 1998. Vol. 51. P. 32.

55. Wang В., Barcilon A. , and Fang Z. Stochastic Dynamics of El Nino-Southern Oscillation // Journal of the Atmospheric Science 1999. Vol. 56. P. 5.

56. Abarbanel H.D.I., Huerta R., Rabinovich M.I. Sijnchronized action of synaptically coupled chaotic model neurons // Neural Comput. 1996. Vol. 8 (8). P. 1567.

57. Frank G.W., Lookman Т., Nerenberg M.A.H. Chaotic time series analysis of epileptic seizures // Physica D 1990. Vol. 46. P. 427.

58. Srivastava H.N., Bhattacharya S.N., and Sinha Ray K.C. Strange attractor characteristics of earthquakes in Shillong plateau and adjoining regions // Geophys. Res. Lett. 1996. Vol. 23. P. 3519.

59. Kennel M.B. Statistical test for dynamical nonstationarity in observed time-series data // Phys. Rev. E 1997. Vol. 56. P. 316.

60. Gao J.B. Recurrence time statistics for chaotic systems and their applications // Phys. Rev. Lett. 1999. Vol. 83. P. 3178.

61. Rieke C., Sternickel K., Andrzejak R.G., Elger C.E., David P., and Lehnertz K. Measuring nonstationarity by analyzing the loss of recurrence in dynamical system // Phys. Rev. Lett. 2002. Vol. 88. P. 244102.

62. Schreiber T. Detecting and analyzing nonstationarity in a time series using nonlinear cross prediction // Phys. Rev. Lett. 1997. Vol. 78. P. 843.

63. Witt A., Kurths J., and Pikovsky A. Testing stationarity in time series // Phys. Rev. E. 1998. Vol. 58. P. 1800.

64. Hornik K., Stinchcombe M. and White H. Multilayer feedforward networks are universal approximators // Neural Networks. 1989. Vol. 2. P. 359.

65. Таунс Ч., Шавлов А. Радиоспектроскопия/ M.: Изд-во ин. лит., 1959.

66. Тихонов А.Н. Об устойчивости обратных задач // Докл. АН СССР. 1943. Т. 39 (5). С. 195.

67. Тихонов А.Н. О регуляризации некорректно поставленных задач // Докл. АН СССР. 1963. Т. 153 (1). С. 49.

68. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач/ М.: Наука, 1974.

69. Турчин В.Ф., Козлов В.П., Малкевич М.С. Использование методов математической статистики для решения некорректных задач // Усп. физ. наук. 1970. Т. 102 (3). С. 345.

70. Strand O.N., Westwater E.R. Statistical Estimation of the Numerical Solution of a Fredholm Integral Equation of the First Kind // J. Ass. Сотр. Machin. 1968. Vol. 15. P. 100.

71. Rodgers C.D. Retrieval of Atmospheric Temperature and Composition From Remote Measurements of Thermal Radiation // Geophys and Space Phys. 1976. Vol. 14. P. 609.

72. Rodgers C.D. The Characterization and Error Analysis of Profiles Retrieved from Remote Sounding Measurements //J. Geophys. Res. 1990. Vol. 95 (D5). P. 5587.

73. Rodgers C.D. Information content and optimisation of high spectral resolution remote measurements // Adv. Space Res. 1998. Vol. 21 (3). P. 361.

74. Мольков Я.И., Мухин Д.Н., Суворов Е.В., Фейгин A.M. Байесов подход к восстановлению вертикального распределения озона по данным радиометрических измерений // Изв. ВУЗов Радиофизика. 2003. Vol. 46 (8-9). Р. 752.

75. Mukhin D.N., Feigin A.M., Molkov Ya.I. and Suvorov E.V. Bayesian approach to retrieval of vertical ozone profile from radiometry data // Adv. Space Res. 2006. Vol. 37 (12). P. 2292.

76. Куликов Ю.Ю., Красильников А.А., Рыскин В.Г. Результаты микроволновых исследований структуры озонового слоя полярных широт во время зимних аномальных потеплений стратосферы // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. 2002. Т. 38 (2). С. 182.

77. Kulikov Yu.Yu., Ryskin V.G., and Krasilnikov A.A. Microwave Observations of Ozone Variability in the High-Latitude Stratospherein the 20022003 Winter // Radiophysics and Quantum Electronics. 2005. Vol. 48 (2). P. 120.

78. WDC for Remote Sensing of the Atmosphere, http: / / wdc.dlr.de/dataproducts/SERVICES / rose / index.html.

79. Бутковский О.Я., Кравцов Ю.А., Логунов М.Ю. Анализ погрешностей восстановления параметров нелинейного отображения по зашумленным хаотическим временным рядам // Изв. ВУЗов Радиофизика. 2002. Т. 45 (1). С. 55.

80. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника./ М.: Радио и связь, 1982.

81. Hegger R., Kantz Н., and Schreiber Т. Practical implementation of nonlinear time series methods: The TISEAN package // Chaos. 1999. Vol.9. P. 413.

82. Manuca R. and Savit R. Stationarity and nonstationarity in time series analysis // Physica D 1996. Vol. 99. P. 134.

83. Н.Б. Янсон, Павлов A.H., Капитаниак Т., B.C. Анищенко B.C. Глобальная реконструкция по нестационарным данным // Письма в ЖТФ 1999. Т. 25. С. 74.

84. The handbook of brain theory and neural networks./ Ed. By Arbib M.A. The MIT Press, 1995.

85. Fichtelmann В., Sonnemann G. Non-linear behaviour in the photochemistry of minor constituents in the upper mesosphere // Ann. Geophys. 1992. Vol. 10. P. 719.

86. Sonnemann G., Fichtelmann B. Subharmonics, cascades of period doubling, and chaotic behaviour of the photochemistry of the mesopause region // J. Geophys. Res. 1997. Vol. 102. P. 1193.

87. Feigin A.M., I.B. Konovalov and Y.I. Molkov Toward an understanding of the nonlinear nature of atmospheric photochemistry: Essentialdynamic model of the mesospheric photochemical system //J. Geophys. Res. 1998. Vol. 103 (D19). P. 25447.

88. Konovalov I.B. and Feigin A.M. Toward an understanding of the nonlinear nature of atmospheric photochemistry: Origin of the complicated dynamic behaviour of the mesospheric photochemical system // Nonlinear Processes in Geophysics 2000. Vol. 7. P. 87.

89. Kennel M.B., Brown R. and Abarbanel H. D. I. Determining embedding dimension for phase-space reconstruction using a geometrical construction // Phys. Rev. A. 1992. Vol. 45 (6). P. 3403.

90. Анищенко B.C. Сложные колебания в простых системах/ М.: Наука, 1990.

91. Press W.H., Teukolsky S.A., Vetterling W.T., and Flannery B.P. Numerical Recipes in С/ Cambridge: Cambridge University Press, 1992.

92. Лоскутов E.M., Мольков Я.И., Мухин Д.Н., Фейгин A.M. МСМС метод в байесовой реконструкции динамических систем по за-шумленным хаотическим временным рядам // Нижний Новгород, 2006. 15 стр. (Препринт ИПФ РАН № 716).

93. Rossler О.Е. An Equation for Continuous Chaos // Phys. Lett. 1976. Vol. 57A. P. 397.

94. Лаврентьев M.A., Шабат В.Б. Методы теории функций комплексного переменного/ М.: Наука, 1973.

95. Hegger R., Kantz Н., Matassini L., and Schreiber Т. Coping with Nonstationarity by overembedding // Phys. Rev. Lett. 2000. Vol. 84. P. 4092.

96. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и иноюенеров/ М.: Наука, 1970.

97. Phillips D.L. A technique for the numerical solution of certain integral equations of the first kind // Ass. Cornp. Machin. 1962. Vol. 9. P. 84.

98. Typ^HH B.O. // )K. BbiHHCJi. MaTeM. h MaTeM. 4)H3. 1967. Vol. 7. P. 1270.

99. TypHHii B.O. // >K. blihhcji. MaxeM. h MaTeM. <J)H3. 1969. Vol. 8. P. 230.

100. Kuntz M., Kopp G., Berg H., Hochschild G., and Krupa R. Joint retrieval of atmospheric constituent profiles from ground-based millimeterwave measurements: CIO, HN03, N20, and 03 // J. Geophys. Res. 1999. Vol. 104 (Dll). P. 13981.

101. Westwater E.R., Strand O.N. Statistical information content of radiation measurements used in indirect sensing // J. Atm. Sci. 1968. Vol. 25. P. 750.

102. Mocheneva O.S., Erukhimova T.L., Suvorov E.V. On a method of microwave measurement of ozone // Radiophysics and Quantum Electronics 1995. Vol. 38 (8). P. 499.

103. Erukhimova T.L., Suvorov E.V. Retrieval of Ozone-Density and Atmospheric-Temperature Profiles using the Spectra of Microwave Absorption in Two Rotational Ozone Lines // Radiophysics and Quantum Electronics 2001. Vol. 44 (1-2). P. 129.

104. Nardi B., Bellon W., Oolman L.D., and Deshler T. Spring 1996 and 1997 ozonesonde measurements over McMurdo Station, Antarctica // Geophys. Res. Lett. 1999. Vol. 26 (6). P. 723.

105. Hedin A.E. Extension of the MSIS Thermospheric Model into the Middle and Lower Atmosphere //J. Geophys. Res. 1991. Vol. 96. P. 1159.

106. Tierney L. Markov Chains for Exploring Posterior Distributions // Annals of Statistics 1994. Vol. 22. P. 1701.

Обратите внимание, представленные выше научные тексты размещены для ознакомления и получены посредством распознавания оригинальных текстов диссертаций (OCR). В связи с чем, в них могут содержаться ошибки, связанные с несовершенством алгоритмов распознавания. В PDF файлах диссертаций и авторефератов, которые мы доставляем, подобных ошибок нет.