Выбор переменных и структуры уравнений при динамическом моделировании по хаотическим временным рядам: Неавтономные системы тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, кандидат физико-математических наук Смирнов, Дмитрий Алексеевич

• Смирнов, Дмитрий Алексеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2001

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Смирнов, Дмитрий Алексеевич

ВВЕДЕНИЕ.

1. ВЫБОР ДИНАМИЧЕСКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.

1.1. Введение.

1.2. Описание методики.

1.3. Применение методики при реконструкции динамических систем по их «чистым» и зашумленным реализациям.

1.3.1. Реконструкция разностных уравнений.

1.3.2. Реконструкция ОДУ.

1.4. Применение методики при моделировании реальной нелинейной электрической цепи.

1.5. Выводы.

2. ВЫБОР СТРУКТУРЫ МОДЕЛИ - НЕАВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ ПОД СИЛОВЫМ ГАРМОНИЧЕСКИМ ВОЗДЕЙСТВИЕМ.

2.1. Введение.

2.2. Трудности стандартного подхода.

2.3. Модификация стандартного подхода и особенности ее использования.

2.4. Примеры применения методики при реконструкции уравнений осцилляторов.

2.5. Реконструкция уравнений осцилляторов при наличии шума.

2.6. Моделирование реальной неавтономной системы.

2.7. Выводы.

3. ВЫБОР СТРУКТУРЫ МОДЕЛИ - НЕАВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ ПРИ РАЗЛИЧНЫХ СПОСОБАХ РЕГУЛЯРНОГО ВОЗДЕЙСТВИЯ.

3.1. Введение.

3.2. Реконструкция уравнений при произвольном способе внесения гармонического воздействия.

3.3. Общий способ учета гармонического воздействия.

3.4. Моделирование неавтономных систем при произвольном регулярном воздействии.

3.4.1. Описание методики.

3.4.2. Примеры применения.

3.4.3. Выводы.

3.5. Оптимизация структуры глобальной модели.

3.5.1. Использование переходных процессов для моделирования.

3.5.2. Процедура оптимизации структуры модели.

3.5.3. Выводы.

3.6. Выводы.

4. МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕАВТОНОМНОГО КОЛЕБАТЕЛЬНОГО

КОНТУРА С ПОЛУПРОВОДНИКОВЫМ ДИОДОМ.

4.1. Введение.

4.2. Описание объекта моделирования.

4.3. Построение модельных ОДУ.

4.4. Отображение неизохронного осциллятора с диссипативным возбуждением как модель контура с диодом при низких частотах воздействия.

4.5. Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Выбор переменных и структуры уравнений при динамическом моделировании по хаотическим временным рядам: Неавтономные системы»

Возможность получения математической модели из общих законов природы путем их конкретизации применительно к исследуемому объекту1 существует на практике далеко не всегда. Более типичны ситуации, когда протекающие процессы обусловлены нечетко очерченной совокупностью явлений различной природы или общие законы (аналогичные законам Ньютона в механике) для исследуемой области не установлены, а основным источником информации об объекте являются данные эксперимента. В связи с этим возникает актуальная задача построения эмпирической модели, простейшим примером которой является аппроксимация множества точек на плоскости (х,у) функциональной зависимостью у =/(х) [2]. Так как результаты наблюдений различных процессов, как правило, представляются временными рядами - последовательностями значений наблюдаемых величин, измеренных в дискретные моменты времени, - то эта задача выливается в моделирование по временным рядам2. В диссертации данная проблема рассматривается в приложении к объектам радиофизики, но она значима также для метеорологии [3,4], сейсмографии [5], области финансов [6,7], медицины и физиологии [8-10], астрофизики [11], лазерной физики [12] и т.д.

Причем речь идет о моделировании сложного (в основном хаотического) поведения. До 1960-х гг. эта задача решалась с помощью статистических моделей [13], поскольку сложное поведение ассоциировалось только с очень большим числом степеней свободы, детерминированное описание которых не представлялось реальным. Использовались в основном линейные уравнения, поскольку для них уже были получены многие аналитические результаты. А

1 Этот вид моделей - асимптотические по классификации Н.Н. Моисеева [1] - в англоязычной литературе часто называют моделями «из первых принципов».

2 Далее будет использоваться термин «реконструкция уравнений по временным рядам», хотя, строго говоря, он применим лишь в том случае, когда исходный ряд представляет собой решение некоторой системы уравнений. Для реальных систем этот термин не вполне подходит, но его часто применяют и при анализе экспериментальных данных. Он стал общепринятым и широко используется, см., например, [17,18]. именно, модели авторегрессии и скользящего среднего (АРСС-модели), впервые предложенные в 1927 году для описания последовательности годовых чисел солнечных пятен [14], оставались основным средством моделирования по временным рядам вплоть до 1980-х гг. [13].

Однако после того, как стало понятно, что сложное поведение могут демонстрировать и простые (маломерные) нелинейные динамические системы [15,16], подходы к моделированию по временным рядам стали активно развиваться в рамках нелинейной динамики [17,18]. Для описания сложных процессов используются конечномерные динамические системы [19-31], представленные, в частности, отображениями x(*,) = F(x(fM),c), (1) где х = (xl,x2,.,xD) е Rd - вектор состояния, с eRM - вектор параметров, время t( - дискретно, или обыкновенными дифференциальными уравнениями (ОДУ) i(/) = F(x(/),c), (2) где время t - непрерывно. Хаотическое поведение типично и для бесконечномерных динамических систем - дифференциальных уравнений с запаздыванием [32] и дифференциальных уравнений в частных производных [33], которые только начинают применяться при эмпирическом моделировании [34-41].

При всем разнообразии подходов и практических ситуаций можно выделить следующие основные этапы в процедуре моделирования по временному ряду (рис.1):

1. Планирование эксперимента (если есть возможность контролировать его условия) и получение временного ряда наблюдаемой величины rj: {rj(tj , где t. =t0+ (i - 1)A?, At - интервал выборки, Nv - длина ряда1. Наблюдаемый ряд может быть и векторным (когда одновременно измеряются значения нескольких величин), но описание процедуры реконструкции и большинство примеров далее приведены для скалярного ряда, т.к. этот случай наиболее труден для реконструкции и часто встречается на практике.

Рис.1. Общая схема процедуры моделирования по временному ряду. В [42] логичная схема названа контуром идентификации.

-72. Выбор типа модельных уравнений: стохастические или детерминированные, разностные или дифференциальные.

3. Выбор переменных модели xx,.,xD и формирование их временных рядов.

Здесь задают количество переменных D и вид их связи с наблюдаемой //. Как правило, получают также их реализации, например, методом временных задержек или последовательных производных (см. ниже).

4. Выбор вида аппроксимирующих функций Fk, к = l,.,D, которые входят в правые части модельных уравнений (1) или (2). На этапах 2-4 фиксируется структура модели, после чего остается лишь конкретизировать значения ее параметров.

5. Расчет значений параметров модели cv.,cM по временному ряду.

6. Исследование решений полученных уравнений и сопоставление их с наблюдаемым процессом - диагностическая проверка модели. Критерии качества модели всегда определяются целями моделирования. Если полученная модель неудовлетворительна, то необходим возврат к какому-либо из предыдущих этапов и коррекция каких-либо действий (выбор другого вида функций, других переменных и т.п.).

Основное внимание в работе будет уделено этапам 2-4, которые фиксируют структуру модели и являются определяющими для успеха моделирования. В порядке обзора истории вопроса и последних достижений эмпирического моделирования проиллюстрируем приведенную схему, выделяя моменты, имеющие непосредственное отношение к цели работы.

При статистическом моделировании с помощью упомянутых АРСС-моделей [13] выбор переменных и вида функции в правой части уравнений производится универсальным образом. Для описания любого ряда используются стохастические разностные уравнения вида = Ш + + X W,-*) > (3) k=1 к=1 где p,q- порядок модели, ak,bk - ее параметры, ?(t.) - случайная последовательность с заданными вероятностными характеристиками (чаще всего это нормальный белый шум, т.е. последовательность независимых случайных величин, одинаково распределенных по нормальному закону с нулевым средним и дисперсией <т|). Переменные в уравнении (3) - последовательные значения наблюдаемой т], а функция в правой части - линейная. Для оценивания параметров ак,Ьк и а] используется, как правило, принцип максимального правдоподобия (МП), который сводится при некоторых предположениях к линейному или нелинейному методу наименьших квадратов (МНК). При диагностической проверке модели рассматриваются ее статистические свойства [13]. Способ построения таких моделей, который состоит в «подгонке» параметров уравнений к экспериментальным данным, в статистике получил название идентификации систем [42]. Область применимости АРСС-моделей оказалась достаточно широкой. Так, подбирая значения параметров ак,Ък, можно получить сигнал 77(?;.) практически с любым видом спектра мощности. Тем не менее, линейные модели часто не могут адекватно отразить существенные свойства наблюдаемых процессов.

С 1980-х гг. развивается новый подход к описанию сложных процессов, который использует нелинейные динамические модели. На его элементах мы остановимся подробнее. При нелинейном подходе к моделированию можно указать (в отличие от линейного) сколь угодно много различных форм уравнений. Они отличаются друг от друга как видом функций в правых частях, так и видом связи динамических переменных xv.,xD с наблюдаемой г/. И здесь проблемы выбора структуры модели становятся ключевыми.

Выбор динамических переменных {3-ий этап). Обычно наблюдаемая является одной из них: ?7(0 = (/,■)> хотя и не обязательно. Выбор остальных переменных связан с предполагаемой структурой уравнений или диктуется другими соображениями. Им определяется и способ формирования временных рядов динамических переменных (?,.)} . В начале 1980-х гг. была предложена [43], а затем доказана [44] возможность получения по скалярной временной реализации r\{t) почти любой достаточно гладкой динамической системы таких векторов х(7), которые гладко и взаимно однозначно связаны с исходными векторами состояния (теорема Такенса). Из взаимной однозначности следует, что восстановленный вектор \{t) полностью определяет состояние системы и, следовательно, тоже может служить вектором ее состояния.

Теорема Такенса обосновала универсальные способы получения динамических переменных при моделировании по скалярному временному ряду. В качестве координат восстановленных векторов х(/г) можно использовать последовательные значения наблюдаемой [^^(A + T),.,rj(ti+ (D-l)r)], где т-время задержки, или ее производные \p{ti)if]{ti),.,dПричем нужна достаточно большая размерность Д чтобы гарантировать взаимно однозначное соответствие. Достаточное условие: D>2m + \, где m - размерность многообразия, внутри которого происходит движение исходной системы1. Обычно необходимая величина D априори неизвестна. Ее оценивают снизу с помощью корреляционного интеграла [46], метода ложных ближайших соседей [49] или главных компонент [47], но часто перебирают различные значения D, пока не будет получена удовлетворительная модель2.

Кроме двух упомянутых (основных) существует и ряд других методов восстановления векторов состояния. Каждый из них имеет свои достоинства, недостатки и особенности практического применения. Например:

1 Процедуру получения векторов х часто называют реконструкцией аттрактора (или фазовой траектории). При обеспечении взаимной однозначности пространство восстановленных векторов х называют пространством вложения, а его размерность D - размерностью вложения. Строгую формулировку теоремы, ее обсуждение и обобщения см. в работе [45].

2 Теорема Такенса лежит в основе существующих алгоритмов расчета фрактальной размерности [46-51] и ляпуновских показателей [52-57] по временным рядам.

-101) При использовании метода временных задержек важно оптимальным образом подобрать т. Предлагались различные подходы к выбору т: четверть основного периода в Фурье-спектре или первый ноль автокорреляционной функции [47], первый минимум функции взаимной информации [58-60], первый ноль обобщенного корреляционного интеграла [61] и т.п. [62], а также использование неравномерного и переменного вложения [63].

2) Применение метода последовательных производных осложняется при больших размерностях модели, т.к. расчет производной высокого порядка приводит к существенному увеличению шума. Чтобы избежать этого приходится использовать фильтрацию временного ряда [64], что, однако, может привести к искажению существенных черт сигнала [65]. Кроме того, для численного дифференцирования нужно располагать достаточно частой выборкой, когда на характерном временном масштабе укладывается много точек временного ряда.

3) При реконструкции по сильно неоднородным сигналам эффективно использование в качестве координат вектора состояния интегралов от наблюдаемой по времени с переменным верхним пределом [17,66,67].

Используют и комбинации всех перечисленных методов. При моделировании по векторному ряду переменные можно получать с помощью любого из методов по любой из наблюдаемых, причем в любом сочетании. Каждый из способов реконструкции может быть хорош в соответствующих ситуациях, когда он позволяет получить эффективную модель меньшей размерности, чем другие. Это весьма желательно: условие D > 2m +1 в теореме Такенса - только достаточное, и в удачном случае можно получить «хорошую» модель даже размерности D-т.

Различные методы реконструкции векторов состояния использовались для построения модельных отображений [63,68-86] и ОДУ [17,18,87-122]. Например, при использовании метода временных задержек модельные дифференциальные уравнения имеют общий вид [87,88,100-103]: к =Fk(x1,x2,.,xD),k = !,.,£>, (4) где xl(t) = T](t),x2(t)-rj(t + T),.,x2(t)-T](t + (D-l)t). При использовании последовательных производных уравнения упрощаются (содержат лишь одну функцию F) [89-99,104-106,111-115]: где xx{t)-T]{t). Модельные отображения также могут содержать одну или несколько неизвестных функций.

Выбор вида аппроксимирующих функций. После того, как выбран тип уравнений и способ получения динамических переменных, остается подобрать функции в правых частях уравнений (4-ый этап процедуры моделирования). При построении ОДУ (2) эти функции аппроксимируют зависимость фазовой скорости х(^) от вектора состояния x(tt) (в случае (5) - зависимость только компоненты xD от х), причем производные х(/() предварительно рассчитываются по временному ряду {х(?.)} путем численного дифференцирования. При реконструкции отображений (1) отличие в том, что аппроксимируется зависимость будущего состояния х(/(+1) от текущего х(/;).

Были предложены два основных подхода к аппроксимации - глобальный [68,86-122] и локальный [69-79]. В отдельный класс выделяют «глобальные модели с хорошими локальными свойствами» [63,80-85]. При глобальном подходе искомая функция F представляется с помощью единой формулы, описывающей поведение модели во всем фазовом пространстве. При этом функцию F чаще всего ищут в виде суммы известных базисных функций с неизвестными коэффициентами:

Широко распространено [87-117] использование стандартного полиномиально

5) м

6) го базиса - функций 1, хх,., xD, xf, х{х2,., x2D,., т.е. представление функции F j , ., Ад , в виде алгебраического полинома некоторого порядка К. Такой подход опирается на теорему Вейерштрасса, которая утверждает, что любая непрерывная на ограниченном замкнутом множестве V функция может быть сколь угодно точно равномерно приближена алгебраическим полиномом Р(х), т.е.

03 Р(х) Vx е V |F(x) — Р(х)| < £. Возможно использование и других функциональных базисов, например, тригонометрического полинома или дробно-рациональных функций [86,104-106]. Глобальная аппроксимация применяется для построения как ОДУ [87-118], так и отображений [68,86].

При локальном подходе отказываются от описания зависимости с помощью одной формулы, а представляют функцию F в кусочном виде: используется отдельная формула в окрестности каждого вектора состояния \(t:), причем «сшивания» различных кусков не требуют. Поскольку в пределах малой окрестности вектора х(7.) аппроксимируемая зависимость меняется, как правило, слабо, то достаточно использовать локально постоянные и локально линейные аппроксимации [69-79]. Коэффициенты функции F рассчитываются отдельно в окрестности каждого вектора х(/; ), для чего необходимо найти во временном ряде несколько «близких соседей» этого вектора - таких векторов х(7.), для которых мала норма разности х(/у)-х(7;) . Поэтому локальные модели эффективны лишь при наличии очень длинного временного ряда, когда для каждого вектора состояния имеется достаточно много близких соседей.

К глобальным моделям с хорошими локальными свойствами относят радиальные базисные функции [63,82-85] и нейронные сети [80,81]. Преимуществом их над глобальными полиномами является то, что они не встречают существенных затруднений при аппроксимации в многомерных пространствах, поэтому их относят к способам «сильной аппроксимации» [82]. Радиальные базисные функции имеют вид /. (х) = ф х - г. v ^ У г. и aj называются соответственно центрами и радиусами. Такая функция зависит только от расстояния до своего центра (откуда их название). Вид функции ф(г) может быть различным, например, часто используется гауссов холм ф(г) - ехр(-г2 /2). При этом функция существенно отлична от нуля только в окрестности своего центра (хорошие локальные свойства).

Представление функции F с помощью нейронной сети является не суммой, как (6), а композицией функций (т.е. аргументом одной функции является другая функция и т.д.) [123]. Нейронным сетям посвящена обширная литература (см., например, [75,80,81,124-129]), и здесь мы не будем их касаться подробнее. Возможность сколь угодно точного приближения любой непрерывной функции с помощью радиальных базисных функций опирается на теорему Стоуна [123], а с помощью нейронных сетей - на обобщенную аппроксимацион-ную теорему [129].

Отметим, что все упомянутые варианты выбора переменных и аппроксимирующих функций ориентированы на построение моделей в универсальном виде. Так, часто используемые [89-99,103,105,111-115] модельные ОДУ (5) с полиномом в правой части названы в работе [90] стандартными. Далее мы тоже будем использовать этот термин применительно к ним, хотя его можно отнести и к любому из упомянутых подходов. В структурах моделей не содержится информации о каких-либо специфических чертах объекта. С одной стороны, в этом их преимущество - исследователь может не задумываться о механизмах явления (часто совсем не понятных); его задача - только подобрать оптимальным образом параметры процедуры моделирования.

Расчет параметров модели. После выбора вида функции F параметры модели сj (5-ый этап) обычно рассчитываются с помощью метода наименьших квадратов (МНК), т.е. их значения выбираются так, чтобы минимизировать средний квадрат погрешности аппроксимации е1 . Например, для модели (5) с глобальной аппроксимацией это условие min, (7)

TV ,-=i где N - длина восстановленного векторного ряда, причем величина N должна быть гораздо больше числа неизвестных параметров модели. Если параметры линейно входят в выражение для функции F (как при полиномиальной аппроксимации), то задача сводится к решению линейной системы алгебраических уравнений и может быть эффективно решена с помощью существующих численных методов. В случае большого числа неизвестных параметров предпочтительнее методы, использующие ^-разложение матрицы системы [64].

Если же параметры входят в функцию F нелинейно, то задача поиска минимума s2 сильно усложняется. Один из путей ее решения - перебор их значений из некоторого ограниченного набора, что используют для определения параметров г . и aj радиальных базисных функций [82]. При другом подходе выбирают начальные приближения для параметров и вычисляют поправки к ним, двигаясь шаг за шагом в сторону уменьшения величины s2. К таким методам относятся методы градиентного спуска [64] (одним из его вариантов является метод обратного распространения ошибки, с помощью которого рассчитывают параметры нейронной сети [126]) и квази-Ньютоновские методы (например, метод Левенберга - Марквардта [130]). При этом возникает проблема, связанная с попаданием в локальный, а не в абсолютный минимум е1 . Для борьбы с ней повторяют процедуру при различных начальных приближениях.

МНК позволяет найти функцию F (в случае удачного выбора ее вида), в разумном смысле близкую к экспериментальной зависимости xD (х). Он эффективен в том случае, когда погрешности в значениях переменных x1,x2,.,xD пренебрежимо малы, а погрешности в значениях величины xD могут присутствовать, но должны представлять собой аддитивный нормальный белый шум. При этих предположениях МНК является частным случаем принципа максимального правдоподобия (МП) и дает несмещенные оценки параметров модели.

Однако при нарушении этих условий МНК-оценки могут быть очень неточны. В работе [131] предложен метод расчета коэффициентов, основанный на использовании более общей формулировки МП-принципа и дающий хорошие результаты и в случае зашумленных значений xXix2,.,xD. Только при малом шуме (не более 5 % от уровня сигнала) оба метода дают примерно одинаковые оценки. Однако более общий МП-метод [131] трудно применять при большом количестве неизвестных параметров, т.к. используемая целевая функция (которую следует минимизировать) всегда нелинейно зависит от них.

Средства диагностической проверки динамических моделей (6-ой этап) разнообразны и зависят от цели моделирования. Наиболее общеупотребительные из них - сравнение фазовых портретов объекта и модели (проверка на качественное сходство поведения) [87-99,104-106,111-115], оценка качества аппроксимации s и расчет погрешности прогноза, который дает построенная модель, (количественная проверка) [69-81]. Хотя следует отметить, что погрешность прогноза может быть мала не столько из-за дефектов модели, сколько из-за большой положительной величины ляпуновского показателя. Тогда при наличии небольших шумов даже идеальная модель не может обеспечить точный прогноз. В работе [88] адекватность модельных ОДУ оценивалась по возможности синхронизации их решения с наблюдаемым временным рядом. Еще одним способом проверки работоспособности модели является сопоставление размерности ее аттрактора и ляпуновских показателей с аналогичными величинами, рассчитанными по наблюдаемому ряду. Однако эта процедура связана со значительными трудностями, поскольку расчет характеристик аттрактора по наблюдаемому ряду сам по себе представляет трудную задачу, поэтому она использовалась пока только для тестовых численных примеров [89]. В тестовых случаях сравнивают также значения параметров модели с известными априори. При получении неудовлетворительной модели возвращаются на какой-либо из предшествующих этапов, что-либо меняют (например, порядок полинома или размерность модели) и повторяют процедуру.

Применение моделей. Эмпирические модели, полученные с использованием перечисленных методов, уже показали свою эффективность для решения ряда практических задач. Модельные ОДУ с глобальными полиномами использовались для управления [106], расчета характеристик аттрактора по коротким зашумленным временным рядам [119], классификации сигналов [100-103], секретной многоканальной передачи информации [118,119]. Модельные отображения (использующие метод временных задержек и аппроксимацию с помощью нейронных сетей, локальных линейных и радиальных базисных функций) обеспечили достаточно точный прогноз ряда хаотических процессов из области гидродинамики [69], астрофизики [63,83], лазерной физики [76,81]. Качественное описание реальных процессов обычно стремятся получить с использованием ОДУ (возможно потому, что большинство общих законов природы сформулированы в такой форме). С помощью методов временных задержек, последовательного дифференцирования или интегрирования и глобальной полиномиальной аппроксимации были получены модели, качественно воспроизводящие сложную динамику реакции Белоусова- Жаботинского [88,99], нелинейной электрической цепи [88], артериального давления крови белой крысы [111] и электрокардиограммы человека [111-115], электрохимического процесса растворения меди в серной кислоте [91], вихревого движения жидкости [93], системы стабилизации резонансной частоты и температуры секции линейного ускорителя электронов [106].

Проблемы реконструкции модельных уравнений по временным рядам обусловлены трудностями реализации универсальных подходов. При практическом применении эти трудности оказываются очень значительными. Так что все известные нам и только что упомянутые успехи моделирования реальных объектов носят единичный характер. Та же стандартная структура модельных уравнений (5) не может быть наилучшей для всего множества реальных систем и ситуаций. В большинстве практических случаев эффективную модель получить не удается.

Наиболее слабым местом процедуры моделирования остаются этапы выбора динамических переменных и аппроксимирующих функций. Разнообразие возможностей, предоставляемых универсальными методиками для реконструкции векторов состояния (см. с. 10-11), часто не позволяет найти хороший вариант среди всего этого множества. Очень трудно перебирать все возможные способы получения динамических переменных и для каждого строить модельные уравнения с различными функциями. Слишком велик объем вычислительных работ и, кроме того, трудно автоматизировать процесс диагностической проверки моделей на качественное сходство.

Очень важно также отметить, что вполне пригодные для динамического моделирования переменные можно не распознать и не получить хорошую модель, если использовать не подходящий вид функций. Так, универсальные способы аппроксимации (например, алгебраическим полиномом) обычно неэффективны в пространствах высокой размерности. Общей же причиной неудач универсальных методик является как раз то обстоятельство, что в структуре моделей никак не учитываются существенные специфические черты объекта. С неудачами стандартных подходов в значительной степени связано некоторое разочарование исследователей в возможностях моделирования по временным рядам и сокращение числа публикаций на эту тему (по сравнению с началом и серединой 1990-х гг.).

Как альтернатива универсальным подходам, опирающимся на теорему Такенса, в работах [132-136] предпринимались попытки строить модель в специальной для каждого конкретного случая форме. Задача расчета параметров модели при этом усложняется и приводит к набору краевых задач и алгоритму «многократной стрельбы» [133] или к решению систем нелинейных алгебраических уравнений [132]. Для успеха этих подходов требуется очень удачно задать структуру модельных уравнений, которая должна быть адекватна объекту и содержать очень мало неизвестных параметров (не более 2-3). При этом об объекте нужно знать очень много, так что область применимости таких подходов узка, а получаемые модели - скорее асимптотические, чем эмпирические.

Актуальность работы. Получение эмпирических динамических моделей, демонстрирующих качественное и количественное сходство с объектом, открывает многочисленные возможности практического применения результатов моделирования: прогноз дальнейшего поведения объекта, расчет его существенных характеристик (например, для целей диагностики), изучение эволюции режимов его поведения при изменении параметров и т.д. Однако моделирование по временным рядам, несмотря на ряд достигнутых успехов, сталкивается как с техническими, так и с принципиальными трудностями. В том числе:

- несмотря на наличие универсальных способов выбора динамических переменных, для получения эффективной эмпирической модели очень часто не хватает методики поиска наилучшего их варианта. Простой перебор всех вариантов не представляется возможным не только из-за огромного объема расчетов, но и из-за того, что на конечный успех моделирования влияет еще и выбор вида аппроксимирующих функций. Поэтому весьма актуальной представляется задача предварительного (независимого от вида функций) исследования различных наборов переменных с целью установить, есть ли возможность получить эффективную глобальную модель с этими переменными, и выбрать наилучший их вариант.

- универсальные структуры модели оказываются в большинстве случаев неэффективными. Следует развивать подходы, опирающиеся на априорную информацию об объекте, на использование выгод взаимодействия эмпирического и асимптотического подходов к моделированию1. Поэтому перспективным путем дальнейшего развития методов глобальной реконструкции представляется отказ от претензий на полную универсальность моделей и модификация стандартных подходов применительно к некоторым классам объектов. В качестве такого класса в данной работе взяты неавтономные системы. Они распространены повсеместно: в радиофизике это электрические цепи, использую

1 В последнее время все чаще слышатся подобные соображения [68,120,132]. щиеся в системах передачи и обработки информации; многие ряды биологического происхождения нестационарны, что часто интерпретируют как влияние на объект меняющихся внешних условий, и т.д. В связи с этим разработка специальных методов моделирования неавтономных систем весьма актуальна. Моделирование таких систем с помощью локальных линейных отображений было рассмотрено в [73], но методика основана на отдельном измерении сигнала воздействия и какой-либо специальной структуры уравнений не использует. Некоторые подходы к учету воздействия в структуре глобальной модели начинают рассматриваться только в последнее время [108,170,176].

Цель диссертационной работы состоит в создании методики подбора наилучшего для глобального моделирования варианта динамических переменных, в модификации стандартной структуры уравнений применительно к классу неавтономных систем, в апробации и дальнейшем развитии разработанных методик глобальной реконструкции на примерах моделирования реальных неавтономных радиофизических систем.

Для достижения цели решались следующие основные задачи:

1. Создание методики предварительного исследования временных рядов динамических переменных и величин, которые должны войти в левые части модельных уравнений, позволяющей оценить пригодность переменных для глобального моделирования (глава 1) и выбрать наилучший вариант.

2. Модификация стандартной структуры уравнений для моделирования гармонически возбуждаемых систем при силовом характере воздействия (путем учета информации о воздействии в модели) и разработка методики расчета параметров таких моделей по временным рядам (глава 2), распространение подхода на случай неавтономных систем при произвольном способе внесения периодического и квазипериодического воздействия (глава 3).

3. Моделирование неавтономной электрической цепи с нелинейностью, характерной для варакторных диодов, по хаотическим временным рядам с помощью разработанных методик (глава 4).

На защиту выносятся следующие положения и результаты:

1. Показано, что при построении глобальной модели необходимо согласовывать структуру уравнений и способ получения временных рядов динамических переменных по ряду наблюдаемой. Эффективными показателями пригодности выбранных переменных являются локальные характеристики, оценивающие однозначность и непрерывность экспериментальных зависимостей между величинами, которые должны войти в левые части модельных уравнений, и динамическими переменными. Усредненные характеристики могут использоваться лишь в качестве дополнительной информации, полезной для выбора переменных при прочих равных условиях.

2. Работоспособность стандартного подхода при эмпирическом моделировании систем, возбуждаемых гармонической внешней силой, можно обеспечить, если ввести в структуру модельных уравнений явную гармоническую зависимость от времени и определить период воздействия Т с относительной по

ЛГ £л/з Т грешностью — <--, где TN - длительность используемого временно

Т 2 п TN го ряда, б - допустимая величина относительной погрешности аппроксимации воздействия. При произвольном способе внесения воздействия работоспособна структура уравнений с алгебраическим полиномом, все коэффициенты которого зависят от времени.

3. Подход, предложенный для моделирования неавтономных систем, эффективен при сложном периодическом и квазипериодическом воздействии. При этом явная зависимость от времени может быть введена в структуру модели как в виде специальной формулы, так и универсальным способом - в виде тригонометрических полиномов.

4. Предложен способ применения процедуры моделирования по временным рядам для проверки адекватности эквивалентных представлений нелинейных элементов радиотехнических цепей и расчета их эквивалентных характеристик при функционировании в режимах больших амплитуд и хаоса.

-215. Разработан и внедрен в учебный процесс компьютерный практикум «Моделирование по временным рядам» для студентов, изучающих курс «Математическое моделирование».

Достоверность научных выводов работы подтверждается воспроизводимостью полученных результатов в численных и радиофизических экспериментах, а также теоретическим обоснованием предложенных подходов.

Научная новизна результатов работы состоит в следующем.

- Предложена оригинальная методика предварительного исследования временных рядов динамических переменных, сформированных по ряду экспериментальной наблюдаемой, позволяющая оценить их пригодность для глобального моделирования.

- Предложена методика реконструкции модельных уравнений гармонически возбуждаемых систем, состоящая в модификации стандартного подхода. Показано, что предложенная методика моделирования неавтономных систем работоспособна при произвольном (по форме и способу внесения) периодическом и квазипериодическом воздействии.

- Методика моделирования по временным рядам впервые применена для определения эквивалентных параметров нелинейного элемента, работающего в режиме больших амплитуд и хаоса.

Научно-практическое значение результатов работы.

- Предложенная методика предварительного исследования рядов динамических переменных универсальна и может применяться при моделировании объектов различной природы.

- Предложенные способы модификации стандартной структуры уравнений позволяют получать эффективные модели неавтономных систем в случаях гармонического, сложного периодического и квазипериодического воздействия (как при силовом, так и при параметрическом характере воздействия). Универсальные подходы в этих случаях, как правило, не дают удовлетворительных результатов.

- Показана возможность использования разработанных методик для проверки адекватности эквивалентных схем нелинейных элементов и расчета их эквивалентных характеристик. Это может быть полезно в различных приложениях, в частности, для определения эквивалентных параметров нелинейных элементов, функционирующих в режимах больших амплитуд и хаоса.

- Разработанный практикум «Моделирование по временным рядам» внедрен в учебный процесс и используется студентами 4-го курса факультета нелинейных процессов Саратовского госуниверситета, изучающими курс «Математическое моделирование».

Личный вклад соискателя. Соискатель участвовал в постановке задач, разработке и обосновании методов их решения, интерпретации результатов численных и радиофизических экспериментов. Им разработаны компьютерные программы для реализации всех предложенных в диссертации подходов и методик, обеспечена иллюстрация методик на численных примерах, а также их применение к данным радиофизических экспериментов.

Апробация работы и публикации.

Основные результаты диссертации составили содержание докладов на

- IV международной научной конференции «Нелинейные колебания механических систем» (Нижний Новгород, 1996);

- V международной школе «Хаотические автоколебания и образование структур» ХАОС-98 (Саратов, 1998);

- региональной научной школе-конференции «Нелинейные дни в Саратове для молодых - 98» (Саратов, 1998);

- the 7th International Specialist Workshop "Nonlinear Dynamics of Electronic Systems" NDES-99 (VII международной рабочей группе по нелинейной динамике электронных систем, о. Борнхольм, Дания, 1999);

- V международной научной конференции «Нелинейные колебания механических систем» (Нижний Новгород, 1999);

-23- региональной научной школе-конференции «Нелинейные дни в Саратове для молодых - 99» (Саратов, 1999); th

- the 6 International Symposium on Nonlinear Theory and its Applications NOLTA-2000 (VI международном симпозиуме по нелинейной теории и ее приложениям, Дрезден, Германия, 2000);

- II международной конференции «Фундаментальные проблемы физики» (Саратов, 2000);

- региональной научной школе-конференции «Нелинейные дни в Саратове для молодых -2000» (Саратов, 2000);

- международной межвузовской конференции «Современные проблемы электроники СВЧ и радиофизики» (Саратов, 2001); th •

- the 9 International Specialist Workshop "Nonlinear Dynamics of Electronic Systems" NDES-2001 (IX международной рабочей группе по нелинейной динамике электронных систем, г. Делфт, Нидерланды, 2001);

- VI международной школе «Хаотические автоколебания и образование структур» ХАОС-2001 (Саратов, 2001);

- научных семинарах кафедры электроники, колебаний и волн Саратовского государственного университета;

- научных семинарах тематической группы СФ-6 Саратовского отделения Института радиотехники и электроники РАН.

Работы были поддержаны Российским фондом фундаментальных исследований (гранты №№ 96-02-16755, 99-02-17735, 01-02-06039) и Американским фондом гражданских исследований и развития для государств бывшего Советского Союза - CRDF (грант № REC-006).

По теме диссертации опубликовано и принято к печати 28 работ (7 статей в рецензируемых журналах, 8 статей в сборниках трудов научных конференций, 9 тезисов докладов и 4 учебно-методических пособия), которые включены в общий список литературы под номерами [137-164].

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, четырех содержательных глав, заключения, приложения и списка литературы. Общий объем диссертации - 177 страниц. В том числе, 109 страниц текста, 49 рисунков, 7 таблиц, библиография из 203 наименований.

Заключение диссертации по теме «Радиофизика», Смирнов, Дмитрий Алексеевич

Основные результаты четвертой главы опубликованы в работах [ 156-160].

-144

Заключение

При построении глобальных динамических моделей по временным рядам наиболее важными этапами являются выбор динамических переменных и выбор вида функций, входящих в правые части модельных уравнений. На этих этапах определяется структура модели и важно учесть как можно больше существенных специфических черт моделируемого объекта (универсальные подходы крайне редко позволяют получить эффективную модель). Поэтому необходим специальный предварительный анализ временных рядов и привлечение априорной информации об объекте для успешного преодоления этих этапов.

При неудачном выборе переменных зависимости между величинами, которые должны войти в левые части уравнений, и динамическими переменными могут оказаться слишком сложными для аппроксимации или вовсе неоднозначными. В первой главе предложена методика предварительного исследования временных рядов выбранных переменных, которая позволяет оценить, являются ли эти зависимости однозначными, непрерывными и без участков большой крутизны. Методика основана на анализе локальных свойств исследуемых зависимостей, которые здесь гораздо важнее, чем интегральные характеристики. Ее работоспособность показана на численных и радиофизических примерах.

Однозначность зависимости является необходимым условием, но еще не гарантирует получения эффективной глобальной модели. Универсальные подходы (например, использующие для аппроксимации алгебраический полином) не могут быть наилучшими для всего множества реальных ситуаций и часто не позволяют получить эффективную модель. По-видимому, можно рассчитывать на полезные рекомендации по выбору вида функций (и, возможно, специальных методов расчета коэффициентов) лишь в отношении достаточно узких классов моделируемых объектов. Поэтому перспективным путем развития методов глобальной реконструкции представляется модификация стандартных подходов в отношении таких классов.

-145

Подобная модификация проведена для класса объектов, находящихся под регулярным внешним воздействием, в главах 2 и 3. В главе 2 предложена структура уравнений для моделирования систем, находящихся под действием гармонической силы. Новизна подхода состоит в том, что модельные уравнения содержат (кроме полиномов) функции, явно зависящие от времени и призванные описать внешнее воздействие. Его преимущество заключается в том, что он позволяет обойтись моделью с меньшим (чем при стандартном методе) количеством уравнений, в которой, в то же время, учтены существенные специфические черты моделируемого объекта. Особенность реконструкции неавтономных уравнений состоит в том, что необходимо с высокой точностью определить значение периода внешнего воздействия.

В главе 3 этот подход развит и расширен на объекты: 1) с произвольным способом внесения гармонического воздействия (а не только с аддитивным -«силовым»), 2) с периодическим и квазипериодическим воздействием (а не только с гармоническим). В первом случае модельные уравнения содержат полином, коэффициенты которого зависят от времени по гармоническому закону. Во втором случае учет воздействия в структуре уравнений достигается или с помощью специальной для каждого конкретного случая формулы, или универсальным способом - с помощью тригонометрических полиномов. Предложенные структуры уравнений с учетом воздействия в ряде случаев также могут стать слишком громоздкими (как и при стандартном подходе). Поэтому очень важно исключить из модели «лишние» слагаемые, которые вносят лишь искажения. Для выявления таких слагаемых предложена специальная процедура, использующая реконструкцию уравнений по различным участкам реализации переходного процесса.

Работоспособность предложенных структур уравнений продемонстрирована на примерах реконструкции эталонных ОДУ по их «чистым» и зашумлен-ным решениям и при моделировании радиофизической системы - контура с переключаемыми конденсаторами - по хаотическому временному ряду.

-146В главе 4 методика предварительного исследования выбранных динамических переменных и методика реконструкции неавтономных уравнений использованы для моделирования достаточно сложной реальной системы - неавтономного колебательного контура с полупроводниковым диодом. Успешных результатов удалось достичь только при реконструкции неавтономных модельных ОДУ, причем по векторному временному ряду.

Интерпретация результатов моделирования (успехов в одном случае и неудач в других) проведена с опорой на различные эквивалентные представления диода и законы Кирхгофа. По ее итогам предложено использование процедуры глобальной реконструкции для проверки адекватности эквивалентного представления нелинейного элемента электрической цепи и одновременно для расчета его эквивалентных характеристик (причем при функционировании в хаотическом режиме). Показателем адекватности эквивалентного представления служит эффективность полученной с его учетом эмпирической модели. Эта возможность может быть весьма ценной для некоторых приложений процедуры глобальной реконструкции уравнений по временным рядам в радиотехнике и связи.

На примере моделирования контура с диодом при импульсном периодическом воздействии показан еще один возможный подход к выбору структуры модельных уравнений. Получены эффективные модельные отображения, структура которых выбиралась с учетом наблюдаемых свойств временных реализаций контура. В обоих случаях модели (и ОДУ, и отображение) демонстрируют качественно схожее с объектом хаотическое поведение. Кроме того, они содержат некоторые параметры, имеющие ясный физический смысл и аналоги в эксперименте. Показано, что такие эмпирические модели (в структуре которых учтена специфическая информация об объекте) качественно верно описывают поведение объекта в достаточно широкой области на плоскости параметров амплитуда - частота воздействия.

Результаты, полученные в диссертации, расширяют существующие представления о технике и возможностях глобальной реконструкции динамических модельных уравнений по временным рядам.

-147

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Смирнов, Дмитрий Алексеевич, 2001 год

1. Моисеев Н.Н. Математика ставит эксперимент. М.: Наука, 1985.

2. Демиденко Е.З. Линейная и нелинейная регрессия. М.: Финансы и статистика, 1981.-302 с.

3. Монин А.С., Питербарг Л.И. О предсказуемости погоды и климата// Пределы предсказуемости, под ред. Кравцова Ю.А. М.: ЦентрКом, 1997. С. 12-39.

4. Keller C.F. Climate, modeling, and predictability // Physica D, 1999, V. 133. P. 296-308.

5. Садовский M.A., Писаренко В.Ф. О прогнозе временных рядов // Пределы предсказуемости, под ред. Кравцова Ю.А., М.: ЦентрКом, 1997. С. 158-169.

6. Lequarre J.Y. Foreign currency dealing: a brief introduction (data set C) // in Time Series Prediction: Forecasting the Future and Understanding the Past, SFI Studies in the Science of Complexity, Proceedings Vol. XV, Addison-Wesley, 1993. P. 131-137.

7. Cecen A.A. and Erkal C. Distinguishing between stochastic and deterministic behavior in high frequency foreign exchange rate returns: Can non-linear dynamics help forecasting? // Int. J. Forecasting, 1996, V. 12. P.465-473.

8. Palus M. Nonlinearity in normal human EEG: Cycles, temporal asymmetry, non-stationarity and randomness, not chaos // Biol. Cybernetics, 1995, V.75, No. 5. P. 389-396.

9. Бокс Дж., Дженкинс Т. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. Часть 1. М.: Мир, 1974. 242 с.

10. Yule G.U. On a method of investigating periodicities in disturbed series with special reference to wolfer's sunspot numbers // Phil. Trans. R. Soc. London A, 1927, V. 226. P. 267-298.

11. Lorenz E.N. Deterministic nonperiodic flow // J. of the Atmospheric Sciences, 1963, V. 20. P. 130-141.

12. Ruelle D. and Takens F. On the nature of turbulence // Commun. Math. Phys., 1971, V. 20. P. 167-192. Русский перевод в сб. Странные аттракторы, М.: Мир, 1981. С. 117-151.

13. Павлов А.Н., Янсон Н.Б., Анищенко B.C. Реконструкция динамических систем // Радиотехника и электроника, 1999. Т. 44, № 9. С. 1075-1092.

14. Аносов О. Д., Бутковский О .Я., Кравцов Ю.А. Восстановление динамических систем по хаотическим временным рядам (краткий обзор) // Известия ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика, 2000. Т. 8, № 1. С. 29-51.

15. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Наука, 1981.-568 с.

16. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. М.: Наука, 1984.-432 с.

17. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. М.: Мир, 1984.-528 с.-16022. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. М.: Наука, 1987. 422 с.

18. Шустер Г. Детерминированный хаос. М.: Мир, 1988. 240 с.

19. Анищенко B.C. Сложные колебания в простых системах. М.: Наука, 1990. -311 с.

20. Мун Ф. Хаотические колебания. М.: Мир, 1990. 312 с.

21. Берже П., Помо И., Видаль К. Порядок в хаосе. М.: Мир, 1991 367 с.

22. Анищенко B.C., Астахов В.В., Вадивасова Т.Е. Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем. Саратов: изд-во Саратовского университета, 1999.-368 с.

23. Ланда П.С. Нелинейные колебания и волны. М.: Наука. Физматлит, 1997. -496 с.

24. Малинецкий Г.Г. Хаос. Структуры. Вычислительный эксперимент. М.: Эди-ториал УРСС, 2000 256 с.

25. Малинецкий Г.Г, Потапов А.Б. Современные проблемы нелинейной динамики. М.: Эдиториал УРСС, 2000. 336 с.

26. Каток А.Б., Хасселблатт Б. Введение в современную теорию динамических систем. М.: Факториал, 1999. 768 с

27. Гласс Л., Мэки М. От часов к хаосу. Ритмы жизни. М.: Мир, 1991. 248 с.

28. Трубецков Д.И., Рыскин Н.М. Нелинейные волны. М.: Наука, 2001.

29. Btinner M.J., Рорр М., Meyer Th., Kittel A., Rau U., and Parisi J. Recovery of scalar time-delay systems from time series // Phys. Lett. A, 1996, V. 211. P. 345349.

30. Voss H. and Kurths J. Reconstruction of non-linear time delay models from data by the use of optimal transformations // Phys. Lett. A, 1997, V. 234. P. 336-344.

31. Hegger R., Bunner M.J., Kantz H., and Giaquinta A., Identifying and modelling delay feedback systems // Phys. Rev. Lett. 1998, V. 81. P. 558 -561.

32. Biinner M.J., Ciofini M., Giaquinta A., Hegger R., Kantz H., Meucci R., and Politi A. Reconstruction of systems with delayed feedback: (I) Theory // Eur. Phys. J. D, 2000, V. 10. P. 165-176.

33. Bunner M.J., Ciofini M., Giaquinta A., Hegger R., Kantz H., Meucci R., and Politi A. Reconstruction of systems with delayed feedback: (II) Applications // Eur. Phys. J. D, 2000, V. 10. P. 177-185.

34. Bar M., Hegger R., and Kantz H. Fitting partial differential equations to space-time dynamics // Phys. Rev. E, 1999, V. 59, No. 1. P. 337-343.

35. Льюнг JI. Идентификация систем. Теория для пользователя. М.: Наука, 1991,-432 с.

36. Packard N.H., Crutchfield J.P., Farmer J.D., and Shaw R.S. Geometry from a time series // Phys. Rev. Lett., 1980, V. 45, No. 9. P. 712-716.

37. Takens F. Detecting strange attractors in turbulence // in Dynamical Systems and Turbulence, Warwick, 1980, eds. D.Rang and L.S.Young, Lecture Notes in Mathematics, 1981, V. 898. P. 366-381.

38. Sauer Т., Yorke J.A., and Casdagli M. Embedology // J. Stat. Phys., 1991, V. 65, No. 3-4. P. 579-616.

39. Grassberger P. and Procaccia I. Measuring the strangeness of strange attractors // Physica D, 1983, V. 9, No. 1-2. P. 189-208.

40. Kennel М.В., Brown R., and Abarbanel H.D.I. Determining embedding dimension for phase-space reconstruction using a geometrical construction // Phys.Rev. A, 1992, V. 45, No. 6. P. 3403-3411.

41. Theiler J. Estimating fractal dimension // J. Opt. Soc. Am., 1990, V. 7. P. 1055.

42. Potapov A. and Kurths J. Correlation integral as a tool for distinguishing between dynamics and statistics in time series data // Physica D, 1998, V. 120. P. 369-385.

43. Wolf A., Swift J.B., Swinney H.L., and Vastano J.A. Determining Lyapunov exponents from a time series // Physica D, 1985, V. 16, No. 3. P. 285-317.

44. Eckmann J.-P., Kamphorst C.O., Ruelle D., and Ciliberto S. Lyapunov exponents from time series // Phys. Rev. A, 1986, V. 34. P. 4971-4779.

45. Parlitz U. Identification of true and spurious Lyapunov exponents form time series // Int. J. Bifurc. Chaos, 1992, V. 2. P. 155.

46. Rosenstein M.T., Collins JJ., and De Luca C.J. A practical method for calculating largest Lyapunov exponents from small data sets // Physica D, 1993, V. 65. P. 117.

47. Kantz H. A robust method to estimate the maximal Lyapunov exponent of a time series // Phys. Lett. A, 1995, V.l 85. P. 77.

48. Ershov S.V., Potapov A.B. On the concept of stationary Lyapunov basis // Physica D, 1998, V. 118. P. 167-198.

49. Fraser A.M. Reconstructing attractors from scalar time series: a comparison of singular systems and redundancy criteria // Physica D, 1989, V. 34. P. 391.

50. Fraser A.M. Information and entropy in strange attractors // IEEE Trans. Inf. Theory, 1989, V. 35. P. 245-262.

51. Gibson J.F., Farmer J.D., Casdagli M., and Eubank S. An analytic approach to practical state space reconstruction // Physica D, 1992, V. 57. P. 1-30.

52. Judd K., Mees A.I. Embedding as a modeling problem // Physica D, 1998, V. 120. P. 273-286.

53. Press H., Teukolsky S.A., Vetterling W.T., and Flannery B.P. Numerical Recipes. Cambridge, Cambridge University Press, 1992.

54. Кипчатов А.А. Изменение структуры странного аттрактора при полосовой фильтрации хаотических колебаний//Письма в ЖТФ, 1993, Т. 17. С. 68-71.

55. Анищенко B.C., Янсон Н.Б., Павлов А.Н. Об одном методе восстановления неоднородных аттракторов // Письма в ЖТФ, 1996, Т. 22, № 7, С. 1-6.

56. Janson N.B., Pavlov A.N., and Anishchenko V.S. One method for restoring in-homogeneous attractors // Int. J. of Bifurcations and Chaos, 1998, V. 8, No. 4, P. 825-833.

57. Crutchfield J.P. and McNamara B.S. Equations of motion from a data series // Complex Systems, 1987, V. 1. P. 417-452.

58. Farmer J.D. and Sidorowich J.J. Predicting chaotic time series // Phys. Rev. Lett., 1987, V. 59. P. 845-848.

59. Casdagli M. Nonlinear prediction of chaotic time series // Physica D, 1989, V. 35. P. 335-356.

60. Kostelich E.J., Yorke J.A. Noise reduction: finding the simplest dynamical system consistent with data // Physica D, 1990, V. 41. P. 183-196.

61. Abarbanel H.D.I., Brown R., Kadtke J.B. Prediction in chaotic nonlinear systems: methods for time series with broadband Fourier spectra // Phys. Rev. A, 1990, V. 41, No. 4. P. 1782-1807.

62. Sauer T. Time series prediction by using delay coordinate embedding // in Time Series Prediction: Forecasting the Future and Understanding the Past, SFI Studies in the Science of Complexity, Proceedings Vol. XV, Addison-Wesley, 1993. P. 175-193.

63. Smith L.A. Does a meeting in Santa Fe imply chaos? // in Time Series Prediction: Forecasting the Future and Understanding the Past, SFI Studies in the Science of Complexity, Proceedings Vol. XV, Addison-Wesley, 1993. P. 323-343.

64. Lapedes A., Farber R.M. // Los Alamos technical report LA-UR 2662, 1987.

65. Mees A.I. Parsimonious dynamical reconstruction // Int. J. of Bifurcations and Chaos, 1993. V. 3. P. 669.-16583. Judd К., Mees A.I. On selecting models for nonlinear time series // Physica D, 1995, V. 82. P. 426-444.

66. Mees A.I., Judd K. Parsimony in dynamical modelling // in Predictability of Complex Dynamical Systems, eds. Kravtsov Yu.A. and Kadtke J.B., Springer Verlag, Berlin, Heidelberg. 1996. P. 123.

67. Judd K., Small M. Towards long-term prediction // Physica D, 2000, V. 136. P. 31-44.

68. Menard O., Letellier C., Maquet J., and Gouesbet G. Modeling maps by using rational functions //Phys. Rev. E, 2000, V. 62, No. 5. P. 6325-6331.

69. Cremers J. and Hubler A. Construction of differential equations from experimental data // Z. Naturforschung A, 1987, V. 42. P. 797-802.

70. Brown R., Rulkov N.F., and Tracy E.R. Modeling and synchronizing chaotic systems from time-series data // Phys. Rev. E, 1994, V. 49, No. 5. P. 3784-3800.

71. Gouesbet G. and Maquet J. Construction of phenomenological models from numerical scalar time series //Physica D, 1992, V. 58, P. 202-215.

72. Gouesbet G., Letellier C. Global vector-field approximation by using a multivariate polynomial L2 approximation on nets // Phys.Rev. E, 1994, V. 49, P. 49554972.

73. Letellier C., Le Sceller L., Dutertre P., Gouesbet G., Fei Z., and Hudson J.L. Topological characterization and global vector field reconstruction of an experimental electrochemical system // J. Phys. Chem., 1995, V. 99. P. 7016-7027.

74. Le Sceller L., Letellier C., and Gouesbet G. Global vector field reconstruction including a control parameter dependence // Phys. Lett. A, 1996, V. 211. P. 211216.

75. Reiterer P., Lainscsek C., Schurrer F., Letellier C., and Maquet J. A nine-dimensional Lorenz system to study high-dimensional chaos // J. Phys. A: Math. Gen., 1998, V. 31. P. 7121-7139.

76. Letellier C., Macquet J., Le Sceller L., Gouesbet G., and Aguirre L.A. On the non-equivalence of observables in phase space reconstructions from recorded time series // J. Phys. A: Math. Gen., 1998, V. 31. P. 7913-7927.

77. Letellier C., Maquet J., Labro H., Le Sceller L., Gouesbet G., Argoul F., and Arneodo A. Analyzing chaotic behavior in a Belousov-Zhabotinskyi reaction by using a global vector field reconstruction // J. Phys. Chem., 1998, V. 102. P. 10265-10273.

78. Le Sceller L., Letellier C., and Gouesbet G. Structure selection for global vector field reconstruction by using the identification of fixed points // Phys. Rev. E, 1999, V. 60, No. 2. P. 1600-1606.

79. Menard O., Letellier C., Maquet J., Le Sceller L.,and Gouesbet G. Analysis of a nonsynchronized sinusoidally driven dynamical system // Int. J. Bifurcations and Chaos, 2000, V. 10, No. 7. P. 1759-1772.

80. Kadtke J. Classification of highly noisy signals using global dynamical models, Phys. Lett. A, 1995, V. 203. P. 196-202.

81. Kadtke J., Kremliovsky M. Estimating statistics for detecting determinism using global dynamical models, Phys.Lett. A, 1997, V. 229. P. 97-106.

82. Kremliovsky M., Kadtke J. Classification of EEG signals from a music perception experiment using empirical dynamical methods // 1998 (unpublished).

83. Грибков Д.А., Грибкова В.В., Кравцов Ю.А., Кузнецов Ю.И., Ржанов А.Г. Восстановление дифференциальных уравнений автостохастических систем по временной реализации одной динамической переменной процесса // ЖТФ, 1994, Т. 64, № 3. С. 1.

84. Аносов О.Л., Бутковский О.Я., Исакевич В.В., Кравцов Ю.А. Выявление нестационарностей из случайно-подобных сигналов динамической природы // Радиотехника и электроника, 1995. Т. 40, № 2. С. 255.

85. Грибков Д.А., Грибкова В.В., Кузнецов Ю.И. Восстановление внешнего воздействия по реализации одной переменной автостохастической системы// Вестник Московского университета, 1995, Сер. 3, Т. 36, № 1. С. 76-78.

86. Anosov O.L., Butkovskii O.Ya., and Kravtsov Yu.A. Nonlinear chaotic systems identification from observed time series // Math.Models and Methods in Appl. Sciences. 1997. V. 7, No. 1. P. 49.

87. Аносов О.Л., Бутковский О.Я., Кравцов Ю.А. Минимаксная процедура идентификации хаотических систем по наблюдаемой временной последовательности // Радиотехника и электроника, 1997, Т. 42, В. 3. С. 313-319.

88. Янсон Н.Б., Анищенко B.C. Моделирование динамических систем по экспериментальным данным // Изв. ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика, 1995,T.3,№3. С. 112-121.

89. Анищенко B.C., Янсон Н.Б., Павлов А.Н. Может ли режим работы сердца здорового человека быть регулярным? // Радиотехника и электроника, 1997, Т. 42, В. 8. С. 1005-1010.

90. Павлов А.Н., Янсон Н.Б. Применение методики реконструкции математической модели к электрокардиограмме // Изв. ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика, 1997, Т. 5, № 1. С. 93-108.

91. Янсон Н.Б. Реконструкция динамических систем по экспериментальным данным (диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук), Саратов, 1997.

92. Павлов А.Н., Янсон Н.Б., Анищенко B.C. Применение статистических методов при решении задачи глобальной реконструкции // Письма в ЖТФ,1997, Т. 23, №8, С. 7-13.

93. Анищенко B.C., Павлов А.Н., Янсон Н.Б. Реконструкция динамических систем в приложении к решению задачи защиты информации // ЖТФ,1998.

94. Anishchenko V.S. and Pavlov A.N. Global reconstruction in application to multichannel communication // Phys.Rev. E, 1998, V. 57, No. 2, P. 2455-2457.

95. Anishchenko V.S., Pavlov A.N., and Janson N.B. Global reconstruction in the presence of a priori information // Chaos, Solitons & Fractals, 1998, V. 8, P. 1267-1278.

96. Janson N.B., Pavlov A.N., Kapitaniak Т., and Anishchenko V.S. Global reconstruction from nonstationary data // Phys. Lett. A, 1998.

97. Павлов А.Н. Реконструкция динамических систем и ее приложения (диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук), Саратов, 1998.-169123. Шефер X. Топологичекие векторные пространства. М.: Мир, 1971.

98. Круглов В.В., Борисов В.В. Искусственные нейронные сети. Теория и практика. М.: «Горячая линия Телеком», 2001. - 331 с.

99. Заенцев И.В. Нейронные сети: основные модели (учебное пособие). Воронеж, 1999. 76 с.

100. Короткий С. Нейронные сети: алгоритм обратного распространения // http://www.neuropower.de/rus/books/index.html.

101. Короткий С. Нейронные сети: обучение без учителя // там же.

102. Короткий С. Нейронные сети Хопфилда и Хэмминга // там же.

103. Горбань А.Н. Функции многих переменных и нейронные сети // Соросов-ский образовательный журнал, 1998, № 12. С. 105-112.

104. Levenberg К. A method for the solution of certain problems in least squares // in Quarterly of Applied Mathematics, 1944, V. 2. P. 164-168.

105. McSharry P.E. and Smith L.A. Better Nonlinear Models from Noisy Data: Attractors with Maximum Likelihood // Phys. Rev. Lett., 1999, V. 83, No. 21. P. 4285-4288.

106. Breeden J.L. and Hubler A. Reconstructing equations of motion from experimental data with unobserved variables // Phys. Rev. A, 1990, V. 42, No. 10. P. 5817-5826.

107. Baake E., Baake M., Bock H.J., and Briggs K.M. Fitting ordinary differential equations to chaotic data // Phys. Rev. A, 1992, V. 45, No. 8, P. 5524-5529.

108. Timmer J. Modeling noisy time series: physiological tremor // Chaos, 1998, V. 8, No. 7. P. 1505-1516.

109. Smirnov D.A., Bezruchko B.P., and Seleznev Ye.P. Choice of dynamical variables for global reconstruction of model equations from time series // Phys. Rev. E, accepted for publication 09.10.2001.

110. Bezruchko B.P., Seleznev Ye.P., and Smirnov D.A. Test of an experimental dependency for continuity // Proc. IX Int. Spec. Workshop NDES, Delft, The Netherlands, 2001. P. 205-208.

111. Smirnov D.A. and Bezruchko B.P. Selection of dynamical variables for modeling from time series // Тезисы докладов VI Международной школы ХАОС-2001, Саратов, 2001. С.43-44.

112. Безручко Б.П., Селезнев Е.П., Смирнов Д.А. Реконструкция уравнений неавтономного нелинейного осциллятора по временному ряду: модели, эксперимент // Изв. ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика, 1999, Т. 7, № 1, С. 49-67.

113. Bezruchko В.Р., Dikanev T.V., Seleznev Ye.P., and Smirnov D.A. Constructing a Model of a Non-Autonomous Piecewise-Linear Electronic Circuit from a Scalar Time Series // Proc. VII Int. Spec. Workshop NDES, Bornholm, Denmark, 1999. P. 65-68.

114. Смирнов Д.А. Моделирование нелинейных колебательных цепей по временным рядам // Материалы научной школы-конференции «Нелинейные дни в Саратове для молодых 99», Саратов, 1999, С. 79-82.

115. Смирнов Д.А. Моделирование неавтономной динамической системы по временному ряду // Материалы научной школы-конференции «Нелинейные дни в Саратове для молодых 98», Саратов, 1998, С. 85-88.

116. Bezruchko В.Р. and Smirnov D.A. Constructing nonautonomous differential equations from a time series //Phys. Rev. E, 2001, V. 63. 016207 (P. 1-7).

117. Безручко Б.П., Смирнов Д.А. Метод восстановления уравнений с гармоническим внешним воздействием по временному ряду // Изв. ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика, 2001, Т. 9, № 2. С. 27-38.

118. Smirnov D.A. Hierarchy of phenomenological models for harmonically driven systems // Proc. IX Int. Spec. Workshop NDES, Delft, The Netherlands, 2001, P. 201-204.

119. Смирнов Д.А. Феноменологические модели гармонически возбуждаемых систем // Тезисы докладов Международной межвузовской конференции «Современные проблемы электроники СВЧ и радиофизики», Саратов, 2001, С. 147-149.

120. Безручко Б.П., Селезнев Е.П., Смирнов Д.А. Моделирование гармонически возбуждаемых систем по временным рядам // Тезисы докладов 2-ой Международной конференции «Фундаментальные проблемы физики», Саратов, 2000, С. 35-36.

121. Bezruchko В.Р., Sysoev I.V., and Smirnov D.A. Reconstruction of model equations for driven systems under regular driving // Тезисы докладов VI Международной школы ХАОС-2001, Саратов, 2001. С. 17-18.

122. Bezruchko В.Р., Dikanev T.V., and Smirnov D.A. Role of transient processes for reconstruction of model equations from time series // Phys. Rev. E, 2001, V. 64. 036210 (P. 1-7).

123. Bezruchko В.Р., Seleznev Y.P., and Smirnov D.A. On the possibility of constructing a bifurcational diagram from an experimental time series // Proc. Int. Symp. NOLTA, Dresden, 2000, V. 2. P. 775-778.

124. Смирнов Д.А. Реконструкция карты динамических режимов по временному ряду // Материалы научной школы-конференции "Нелинейные дни в Саратове для молодых -2000", Саратов, 2000, С. 19-22.

125. Прохоров М.Д., Смирнов Д.А. Эмпирическая дискретная модель колебательного контура с диодом // Радиотехника и электроника, 1996, Т. 41, № 11, С. 1340-1343.

126. Долгов А.В., Прохоров М.Д., Смирнов Д.А. Восстановление модельных отображений по временному ряду // Тезисы докладов V конференции «Нелинейные колебания механических систем», Нижний Новгород, 1999, С. 9091.

127. Безручко Б.П., Прохоров М.Д., Смирнов Д.А. Нелинейные колебания осциллятора с «мягкой пружиной» (дискретные модели) // Тезисы докладов IV конференции «Нелинейные колебания механических систем», Нижний Новгород, 1996. С. 14-15.

128. Безручко Б.П., Смирнов Д.А. Статистическое моделирование по временным рядам (учебно-методическое пособие), Саратов, ГосУНЦ «Колледж», 2000. 23 с.

129. Безручко Б.П., Смирнов Д.А. Построение модельных отображений по хаотическим временным рядам (учебно-методическое пособие), Саратов, ГосУНЦ «Колледж», 2000. 38 с.-173

130. Безручко Б.П., Смирнов Д.А. Реконструкция обыкновенных дифференциальных уравнений по временным рядам (учебно-методическое пособие), Саратов, ГосУНЦ «Колледж», 2000. 46 с.

131. Безручко Б.П., Левин Ю.И., Смирнов Д.А. Моделирование неавтономных систем по временным рядам (учебное пособие), Саратов, ГосУНЦ «Колледж», 2001. 44 с.

132. Kaplan D.T. Exceptional events as evidence for determinism // Physica D, 1994, V. 73. P. 738-748.

133. Кравцов Ю.А. Случайность, детерминированность, предсказуемость// Успехи физ. наук, 1989, Т. 158, № 1. С. 93-115.

134. Кравцов Ю.А. Фундаментальные и практические пределы предсказуемости// Пределы предсказуемости (под ред. Кравцова Ю.А.). М.: ЦентрКом, 1997. С. 170-200.

135. May R.M. Simple mathematical models with very complicated dynamics // Nature, 1976, V. 261. P. 459-467.

136. Rossler O.E. An equation for continuous chaos // Phys. Lett., 1976, V. 57A, No. 5. P. 397-398.

137. Hegger R., Kantz H., Schmuser F., Diestelhorst M., Kapsch R.-P., and Beige H. Dynamical properties of a ferroelectric capacitors observed through nonlinear time series analysis // Chaos, 1998, V. 8, № 3. P. 727-754.

138. Хаслер M. Электрические цепи с хаотическим поведением // ТИИЭР, 1987, Т. 75, В. 8. С. 40-55.

139. Безручко Б.П., Селезнев Е.П. Сложная динамика возбуждаемого осциллятора с кусочно-линейной характеристикой // Письма в ЖТФ, 1994, Т. 20, В. 19. С. 75-79.

140. Хованова Н.А., Хованов И.А. Методы анализа временных рядов (учебное пособие). Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2001. 120 с.

141. Коновалов И.Б., Мольков Я.И., Фейгин A.M. Механизмы сложного динамического поведения мезосферной фотохимической системы // Вестник-174

142. ННГУ им. Н.И. Лобачевского. Нелинейная динамика синхронизация и хаос, 1997, В. 2. С. 119-142.

143. Feigin A.M., Konovalov I.B., and Molkov Y.I. Toward an understanding of the nonlinear nature of atmospheric photochemistry: essential dynamic model of the mesospheric photochemical system // J. Geophys. Research, 1998, V. 103, No. D19. P. 25447-25460.

144. Фейгин A.M., Мольков Я.И., Мухин Д.Н., Лоскутов E.M. Прогноз бифуркаций слабонеавтономных динамических систем на основе наблюдаемых временных рядов // Препринт № 508, Институт прикладной физики РАН, Нижний Новгород, 1999. 54 с.

145. Scheffczyk G., Parlitz U., Kurz Т., Knop W., and Lauterborn W. Comparison of bifurcation structures of driven dissipative nonlinear oscillators // Phys. Rev. A,1991, V.43,No. 12. P.6495-6502.

146. Noack B.R., Ohle F., and Eckelmann H. Construction and analysis of differential equations from experimental time series of oscillatory systems // Physica D,1992, V. 56. P. 389.

147. Froyland J. Some symmetric, two-dimensional, dissipative maps // Physica 8D, 1983. P. 423.

148. Waller I. and Kapral R. Spatial and temporal structure in systems of nonlinear oscillators // Phys. Rev. A, 1984, V. 30. P. 2047.

149. Кузнецов С.П. Универсальность и подобие в поведении связанных систем Фейгенбаума//Известия ВУЗов. Радиофизика, 1985. Т. 28. № 8. С. 991.

150. Кузнецов С.П., Пиковский А.С. Переход от симметричного к несимметричному режиму хаотической динамики в системе диссипативно связанных рекуррентных отображений // Известия ВУЗов. Радиофизика, 1989, Т. 32, № 1.С. 49.

151. Pikovsky A.S. and Grassberger P. Symmetry breaking bifurcation for coupled chaotic attractors // J. Phys. A: Math Gen., 1991, V. 24. P. 4587.

152. Astakhov V., Shabunin A., Kapitaniak Т., Anishchenko V., Loss of chaos synchronization through the sequence of bifurcations of saddle periodic orbits // Phys. Rev. Lett., 1997, V. 79. P. 1014.

153. Пасынков B.B., Чиркин JLK., Шинков А.Д. Полупроводниковые приборы. М.: Высшая школа, 1981. 488 с.

154. Степаненко И.П. Основы микроэлектроники. М.: Лаборатория базовых знаний, 2000.-431 с.

155. Linsay P.S. Period doubling and chaotic behavior in a driven anharmonic oscillator // Phys.Rev.Lett., 1981, V. 47, No. 19. P. 1349-1352.

156. Testa J., Perez J., and Jeffries C. Evidence for universal behavior of a driven nonlinear oscillator // Phys.Rev.Lett., 1982, V. 48, No. 11. P. 714-717.

157. Klinker Т., Meyer-Ilse W., and Lauterborn W. Period doubling and chaotic behavior in a driven Toda oscillator // Phys. Lett. A, 1984, V. 101, No. 8, P. 371375.

158. Bronson S.D., Dewey D., and Linsay P.S. Self-replicating attractor of a driven semiconductor oscillator // Phys. Rev. A, 1983, V. 28. P. 1201-1203.

159. Астахов B.B., Безручко Б.П., Селезнев Е.П. Исследование динамики нелинейного колебательного контура при гармоническом воздействии // Радиотехника и электроника, 1987, Т. 32, № 12. С. 2558-2566.

160. Matsumoto Т., Chua L.O., Tanaka S. Simplest chaotic nonautonomous circuit // Phys. Rev. A, 1984, V. 30. P. 1155-1158.

161. Максимов A.C., Максимов H.A. Динамика нелинейного колебательного конутра с р-п-переходом при различных напряжениях смещения и воздействии внешнего гармонического сигнала // ЖТФ, 1989, Т. 59. No. 8. С. 147-149.

162. Кипчатов А.А. Особенности сложной динамики неавтономного нелинейного контура // Изв. ВУЗов. Радиофизика, 1989, Т. 33. No. 2. С. 182-190.

163. Su Z., Rollings R.W., Hunt E.R. Simulation and characterization of atrange at-tractors in driven diode resonator systems // Phys. Rev. A, 1989, V. 40, No. 5. P. 2698-2705.

164. Buskirk R., Jeffries C. // Phys. Rev. A. 1985. V. 31. N. 5. P. 3332.

165. Мацумото Т. // ТИИЭР, 1987, Т. 75, В. 8. С. 66.

166. Perez J.M. Mechanism for global features of chaos in driven nonlinear oscillator//Phys. Rev. A, 1985, V. 32, No. 4. P. 2513-2516.

167. Bezruchko B.P., Prokhorov M.D., Seleznev E.P. Multiparameter model of a dis-sipative nonlinear oscillator in the form of one-dimensional map // Chaos, Solitons and Fractals, 1995, V. 5, No. 11. P. 2095-2107.

168. Безручко Б.П., Прохоров М.Д., Селезнев Е.П. Модель диссипативного нелинейного осциллятора в виде одномерного отображения с тремя параметрами // Письма в ЖТФ, 1994, Т. 20, В. 12. С. 78-82.

169. Боровиков В.П., Боровиков И.П. Statistica. Статистический анализ и обработка данных в среде Windows. М.: Информационно-издательский дом «Фи-линъ», 1997.-608 с.1. Благодарности

170. Благодарю за поддержку Российский фонд фундаментальных исследований (гранты №№ 96-02-16755, 99-02-17735, 01-02-06039) и Американский фонд гражданских исследований и развития для государств бывшего Советского Союза CRDF (грант № REC-006).