Статистические свойства оценок сигналов и изображений при пороговой вейвлет-обработке в моделях с аддитивным шумом тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.05, кандидат физико-математических наук Маркин, Артём Васильевич

• Маркин, Артём Васильевич
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Маркин, Артём Васильевич

Сокращения.

Обозначения

Введение.

Глава 1. Асимптотические свойства оценки риска при пороговой обработке вейвлет-коэффициентов.

1.1. Вводные сведения.

1.1.1. Вейв лет-преобразование.

1.1.2. Связь вейвлет-коэффициентов и регулярности функции.

1.1.3. Обработка дискретных данных.

1.1.4. Пороговая обработка.

1.2. Свойства оценки риска при известной дисперсии шума.

1.3. Сходимость по вероятности оценки риска при оцениваемой дисперсии шума

1.4. Сходимость по распределению оценки риска при оцениваемой дисперсии шума.

1.5. Примеры оценок дисперсии шума.

Глава 2. Асимптотики оценки риска при пороговой обработке вейвлет-вейглет коэффициентов в задаче томографии

2.1. Вводные сведения.

2.1.1. Компьютерная томография.

2.1.2. Вейвлет-вейглет разложение (WVD).

2.1.3. Дискретизация и модель шума.

2.1.4. Пороговая обработка.

2.2. Асимптотика оценки риска при известной дисперсии шума.

2.3. Свойства оценки риска при использовании оценки дисперсии шума.

Глава 3. Обработка кардиосигналов.

3.1. Вводные сведения.

3.1.1. Электрокардиограмма и ритмограмма

3.1.2. Построение ритмограммы.

3.1.3. Эктопические импульсы.

3.1.4. Математические модели ритмограммы.

3.2. Удаление шума из ЭКГ

3.3. Доверительные интервалы для разностей ритмограммы.

3.4. Метод робастной регрессии.

3.5. Алгоритм отсева эктопических импульсов.

3.6. Результаты работы метода отсева.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Статистические свойства оценок сигналов и изображений при пороговой вейвлет-обработке в моделях с аддитивным шумом»

Актуальность работы. Теория вейвлет-преобразования является одним из молодых и активно развивающихся направлений современной математики. Термин «вейвлет» (wavelet) можно перевести, как «маленькая волна», он был введен А. Гроссманом и Ж. Морле [73], которые занимались изучением сейсмических сигналов. Название отражает главное отличие вейвлетов от тригонометрических функций, используемых в классическом преобразовании Фурье - их локальность по времени. Поэтому если преобразование Фурье вычисляется с помощью растяжений единственной функции, то вейвлет-преобра-зование использует растяжения и сдвиги базового вейвлета. Поначалу в отечественной литературе не было единства терминологии, наравне с «вейвлетами» употреблялся термин «всплески» (см. работы Н. М. Астафьевой [1] и И. Я. Новикова и С. Б. Стечкина [20]). Но можно утверждать, что сейчас термин «вейвлеты» является общепринятым.

Фундаментальные теоретические результаты были получены в 80-90-х годах прошлого столетия. Тогда же были разработаны основные численные алгоритмы вейвлет-преобразования. Эти результаты связаны с именами И. Мейера, И. Добеши, С. Малла, Р. Койф-мана, А. Коэна и других ученых. На сегодняшний день вейвлет-анализ является мощным математическим аппаратом. Одной из первых монографий, посвященной теории вейвлетов и построения вейвлет-базисов, является книга И. Мейера «Ondelettes et Operateurs», вышедшая в 1990 году на французском языке (ее английский перевод [102] был издан два года спустя). И. Добеши предложила метод построения вейвлетов с компактным носителем [5, 53]. С. Малла разработал алгоритм вейвлет-преобразования асимптотически более быстрый, чем быстрое преобразование Фурье [13]. Ряд вероятностных аспектов теории вейвлет-разложения рассмотрен в уже упомянутой книге С. Малла [13], а также в монографиях Б. Видаковича [114], В. Хардла и др. [75] и книге А. А. Короновского и А. Е. Храмова [10].

Основные задачи, решаемые с помощью вейвлетов, заключаются в сжатии сигналов, удалении шумов (случайных и неслучайных), получении временной и частотной информации о сигнале. Например, ФБР использует вейвлеты для анализа и хранения отпечатков пальцев; вейв лет-разложение составляет основу стандарта сжатия изображений JPEG2000.

Главным инструментом сжатия сигналов и удаления шума является пороговая обработка вейвлет-коэффициентов. Основополагающие результаты в этой области получены американскими математиками Д. Донохо и И. Джонстоном, а также Р. Койфманом, Д. Пикардом, Дж. Керкячарианом, В. Хардлом, А. Цыбаковым [54, 58, 60-62, 65, 75]. Было предложено несколько стратегий выбора порога, в том числе, обладающих хорошими асимптотическими свойствами. Позднее эти идеи были развиты в работах Р. Аверкампа, К. Удре, Й. Элдар, X. Гао, Т. Цай, J1. Брауна, Г. Нэйсона, Я. Ванга и других [35, 43, 66, 71, 72, 103, 104, 115].

При теоретическом обосновании того или иного порога внимание уделялось свойствам ошибки (или риска в моделях со случайным шумом) пороговой обработки с исследуемым порогом. Сам риск неизвестен, т. к. на практике неизвестен чистый исходный сигнал. Но это не мешает получить асимптотические свойства риска и показать, что теоретически результат обработки в среднем должен быть близок к оригинальному незашум-ленному сигналу.

По наблюдаемым данным возможно построить оценку риска. Для вычисления одного из порогов (SureShrink) используется минимизация этой оценки, которая при определенных условиях является несмещенной. Представляют теоретический и практический интерес асимптотические свойства этой оценки риска, ее способность оценивать неизвестный теоретический риск как меру ошибки пороговой обработки. Ранее при изучении оценки риска дисперсия шума полагалась известной, что, во-первых, заметно упрощает выкладки, а во-вторых, влияет на структуру оцеики (см. работы Д. Донохо и И. Джонстона [61, 78], а также упомянутые выше монографии [13, 75, 114]). В практических же задачах дисперсия шума всегда оценивается, причем зачастую по самому исследуемому сигналу. Поэтому необходимо учитывать и асимптотику оценки дисперсии шума, и характер зависимости этой оценки от наблюдаемого сигнала. Изучение свойств оценки риска пороговой обработки при оцениваемой дисперсии шума является основной задачей данной диссертации.

Вейвлет-анализ нашел успешное применение, в том числе в медицине. Например, в обработке кардиосигналов - электрокардиограмм (ЭКГ) и ритмограмм. Существует ряд количественных и качественных методик для диагностики различных сердечных заболеваний по этим сигналам. Т. к. типичная ЭКГ содержит от нескольких сотен тысяч до нескольких миллионов значений, то вычислительный аспект при обработке ЭКГ является весьма важным. Аппарат вейвлетов предоставляет сверхбыстрые алгоритмы прямого и обратного преобразования и при этом обеспечивает весьма высокое визуальное качество обработки.

С помощью пороговой обработки коэффициентов разложения можно эффективно удалять шум из ЭКГ, упрощая качественный анализ. Риск пороговой обработки неизвестен, но можно построить и вычислить его оценку. Используя масштабное свойство вей-влетов, возможно организовать автоматический поиск различных волн в ЭКГ (см., например, работы [33, 83, 86, 90]). По ЭКГ строится производный кардиосигнал - ритмограмма, основная задача обработки которой заключается в оценке спектральных характеристик. При этом в ритмограмме обычно присутствуют паразитные импульсы, и для правильной оценки спектра необходимо либо удалить эти импульсы, либо использовать методы, устойчивые к выбросам.

Вейвлеты находят применение и в задачах обращения ряда линейных однородных операторов, когда по косвенным наблюдениям требуется восстановить исходную функцию. Например, в задаче обращения оператора Радона (называемой также задачей томографии или задачей восстановления томографических изображений). Задача обращения этого оператора относится к т. н. некорректным задачам, и как следствие, для решения требует специальных подходов, получивших название методов регуляризации. Д. Донохо [59] предложил решать задачу томографии с использованием вейвлетов и специальных функций - вейглетов (vaguelettes). При этом регуляризация производится с помощью пороговой обработки коэффициентов разложения. Такой подход зарекомендовал себя как эффективный метод восстановления томографических изображений и впоследствии был развит в работах Э. Колашика, Н. Ли, Б. Люсьера, Ф. Абрамовича, Б. Сильвермана, Дж. Калифа, С. Малла, И. Джонстона и других [31, 78, 80, 81, 84, 85, 88, 89]. Здесь тоже возникает задача нахождения ошибки пороговой обработки с помощью оценки риска. Кроме того, стоит выяснить, как влияют на свойства оценки риска асимптотические свойства оценки дисперсии шума и некорректность задачи томографии.

Объектом исследований являются нелинейные вейвлет-оценки сигналов и изображений в моделях со случайными шумами.

Целью диссертационной работы является изучение асимптотических свойств оценки риска пороговой обработки вейвлет-коэффициентов при прямом и косвенном наблюдении объекта.

Задачи диссертационной работы.

1. Выяснить, обладает ли оценка риска свойством состоятельности и асимптотической нормальности.

2. Проанализировать, как влияют свойства оценки дисперсии шума на асимптотику оценки риска.

3. Исследовать асимптотики оценки риска пороговой обработки в задаче томографии.

4. Применить полученные результаты для решения прикладных задач в области обработки кардиосигналов.

Методы исследования. В работе использованы аналитические методы математического анализа, неравенства и предельные теоремы теории вероятностей, аппарат математической статистики. Кроме того, использована теория преобразования Радона и метод преобразования Фурье, адаптированный для неравномерной временной сетки.

Научная новизна и основные результаты. Все основные результаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем.

1. Обоснованы свойства состоятельности и асимптотической нормальности оценки риска при пороговой обработке вейвлет-коэффициентов в случае прямого наблюдения одномерного объекта.

2. Изучено влияние на свойства оценки риска использование оценки дисперсии шума. Рассмотрен случай оценивания дисперсии шума как по независимой выборке, так и по коэффициентам исследуемого сигнала.

3. Получены асимптотические свойства оценки риска при оцениваемой дисперсии шума в задаче обращения оператора Радона.

4. В задаче обработки кардиосигналов вычислены значения оценок риска, проведено сравнение полученных результатов с теоретическими значениями. Предложен метод очистки кардиосигналов от нежелательных выбросов.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертации носят как теоретический, так и практический характер. Они могут быть использованы при решении таких практических задач, как сжатие и очистка от шума и паразитных импульсов сигналов и изображений.

Личный вклад автора. Все основные результаты диссертации получены лично автором или при его непосредственном участии.

Структура и объем диссертации. В работе принята двойная нумерация формул, определений, теорем и рисунков. Первое число указывает на номер главы, а второе - на порядковый номер соответствующего объекта в главе.

Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на разделы, заключения и списка литературы, включающего в себя 115 наименований. Общий объем работы составляет 104 страницы.

Заключение диссертации по теме «Теория вероятностей и математическая статистика», Маркин, Артём Васильевич

3.6. Результаты работы метода отсева

Выясним, как робастная регрессия оценивает параметры модельной функции. В качестве таковой использовалась функция y(t) = 0.08 sin(0.23 • 27rt + 1.0) + 0.03 sin(0.1 • 2тгt + 2.0) + e(t) + 0.8, (3.13) где e(t) ~ Л/"(0,0.012), t = 1,2, .,300. Коэффициенты выбраны близкими к тем, что получаются при анализе реальных данных. К этой функции добавлено 15 паразитных импульсов. Функция и амплитуда частотных компонент, оцененная методом робастной регрессии, приведена на рисунке 3.8. Пики выборочного спектра имеют абсциссы 0.1 Гц и 0.23 Гц, погрешности оценок соответствующих амплитуд равны 1.6% и 0.3%.

Теперь рассмотрим результаты оценки спектральных характеристик реальных данных. На рисунке 3.9 приведена ритмограмма с рисунков 3.2 и 3.5, но предварительного ручного удаления эктопических импульсов, как на рисунке 3.5, не проводилось. Рассмотрим, как паразитные импульсы повлияли на оценку методом робастной регрессии. Погрешности оценки амплитуд низкочастотного и высокочастотного пиков составляют соответственно 4.0% и 11.6%. Абсциссы пиков отличаются соответственно на 0% и 1.3% (абсцисса низкочастотного пика равна 0.069 Гц; абсцисса высокочастотного пика равна 0.31 Гц в случае предварительной очистки ритмограммы и 0.306 Гц в случае использования применения робастной процедуры). В принципе, робастная оценка спектра позволяет достаточно точно

1.5 1

0.5

50 100 150 200 250 300

0.08

0.06

0.04

0.02 0 4

Рис. 3.8. Модельная функция (вверху) и график амплитуды частотных компонент (внизу). На верхнем графике по оси абсцисс отложено время в секундах, по оси ординат отложена длина ДД-интервала в секундах. На нижнем графике ось абсцисс - частота в герцах

1.2 1

0.8 0.6 0.4

50 100 150 200 250 300 хЮ"3

4 2 0

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4

Рис. 3.9. Исходная ритмограмма (вверху) и робастная оценка амплитуды частотных компонент (внизу). На верхнем графике по оси абсцисс отложено время в секундах, по оси ординат отложена длина ДД-интервала в секундах. На нижнем графике ось абсцисс - частота в герцах оценить отношение максимальных амплитуд в НЧ и ВЧ областях и без отсева эктопических импульсов. Но отсеяв эктопические импульсы, можно оценить это отношение ещё более точно, причем без использования робастных процедур.

Используя полученные значения частот и амплитуд, проводилась фильтрация ритмограммы путем построения доверительных интервалов для разностей. Доверительный уровень был выбран равным 95%, т.е. 7 = 0.05. Результаты представлены на рисунке 3.10. Отметим, что хотя границы доверительных интервалов объединены пунктирной линией, эта линия не является границей доверительной области с уровнем доверия не ниже 1 — 7 для кривой разностей ритмограммы. Как видим, все эктопические импульсы успешно

1.2 1

0.8 0.6 0.4

0.4 0.2 0 -0.2

Рис. 3.10. Исходная ритмограмма (вверху), разности длин ДД-интервалов и доверительные интервалы для этих разностей (внизу). По всем осям отложено время в секундах. Звездочками помечены импульсы, которые определены как эктопические. Границы доверительных интервалов изображены пунктирными линиями удалены. Кроме того, были удалены три точки (56.58 сек, 114.7 сек и 201.2 сек), которые давали разности, немного выходящие за границы доверительного интервала. Такого эффекта можно избежать, уменьшив 7, т. е. повысив доверительный уровень. Результаты третьей главы опубликованы в работах [16, 96].

Заключение

В диссертационной работе получены свойства состоятельности и асимптотической нормальности оценки риска пороговой обработки вейвлет-коэффициентов. На защиту выносятся следующие результаты.

1. Обоснование состоятельности оценки риска в случае использования оценки дисперсии шума при прямом наблюдении объекта.

2. Обоснование асимптотической нормальности оценки риска при оценивании дисперсии шума по независимой выборке и по коэффициентам исследуемого сигнала.

3. Обоснование асимптотических свойств оценки риска пороговой обработки при использовании оценки дисперсии шума в задаче томографии.

4. Применение полученных результатов для оценки рисков при решении задачи очистки ЭКГ от шума. Метод отсева выбросов из ритмограмм на основе робастных процедур и компенсированного преобразования Фурье.

Полученные результаты составляют основу для дальнейшей работы в данной области. Во-первых, для практического применения нормальной аппроксимации одного факта асимптотической нормальности оценки, вообще говоря, недостаточно. Необходимо выяснить скорость сходимости к предельному закону, т. е. выяснить порядок скорости и найти или оценить константы, входящие в остаточные члены.

Во-вторых, представляет интерес случай негауссовского шума. Нередко на практике ошибки имеют распределение с более тяжелыми, чем у нормального распределения, хвостами, например, распределение Лапласа. Практический интерес представляет и случай зависимых случайных ошибок.

В-третьих, асимптотические свойства оценки риска могут быть исследованы для задач обращения других линейных операторов, не обладающих непрерывными обратными.

Все обозначенные выше задачи являются практически важными и требуют дальнейшего изучения.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Маркин, Артём Васильевич, 2010 год

1. Астафьева Н. М. Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения // Успехи физических наук. — 1996. - Т. 166, № И. - С. 1145-1170.

2. Бакушинский А. Б., Гончарский А. В. Некорректные задачи. Численные методы и приложения. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1989.

3. Бокс Д., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. Выпуск 1. — М.: Мир, 1974.

4. Боровков А. А. Математическая статистика. — М.: Наука, 1984.

5. Добеши И. Десять лекций по вейв летам. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001.

6. Ивченко Г. И., Медведев Ю. И. Математическая статистика.— М.: Высшая школа, 1984.

7. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра. — М.: Наука, 1984.

8. Кендалл М. Д., Стьюарт А. Теория распределений.— М.: Наука, 1966.

9. Королёв В. Ю. ЕМ-алгоритм, его модификации и их применение к задаче разделения смесей вероятностных распределений. Теоретический обзор, — М.: Изд-во ИПИРАН, 2007.

10. Короновский А. А., Храмов А. Е. Непрерывный вейвлетный анализ и его приложения. — М.: Физматлит, 2003.

11. Лидбеттер М., Линдгрен Г., Ротсен X. Экстремумы случайных последовательностей и процессов. — М.: Мир, 1989.

12. Луитт Р. М. Алгоритмы реконструкции с использованием интегральных преобразований // ТИИЭР. 1983. - Т. 71, № 3. - С. 125-147.

13. Малла С. Вейвлеты в обработке сигналов.— М.: Мир, 2005.

14. Маркин А. В. Предельное распределение оценки риска при пороговой обработке вейвлет-коэффициентов // Информатика и ее применения.— 2009.— Т. 3, № 4.— С. 57-63.

15. Маркин А. В. Состоятельность оценки риска при пороговой обработке вейвлет-коэффициентов // Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2009. — Т. 16, № 6. С. 1094-1095.

16. Маркин А. В., Шестаков О. В. Отсев эктопических импульсов из ритмограммы с использованием робастных оценок // Информатика и ее применения. — 2008. — Т. 2, № 2. С. 47-54.

17. Маркин А. В., Шестаков О. В. Асимптотики оценки риска при пороговой обработке вейвлет-вейглет коэффициентов в задаче томографии // Информатика и ее применения. 2010. - Т. 4, № 2. — С. 2-11.

18. Маркин А. В., Шестаков О. В. О состоятельности оценки риска при пороговой обработке вейвлет-коэффициентов // Вестник Московского университета, серия 15, вычислительная математика и кибернетика. — 2010. — № 1. — С. 26-33.

19. Наттерер Ф. Математические аспекты компьютерной томографии.— М.: Мир, 1990.

20. Новиков И. Я., Стечкин С. Б. Основы теории всплесков // Успехи математических наук. 1998. - Т. 53, № 6. - С. 53-128.

21. Струтынский А. В. Электрокардиограмма: анализ и интерпретация. — М.: МЕДпресс-информ, 2007.

22. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач.— М.: Наука, 1979.

23. Троицкий И. Н. Статистическая теория томографии. — М.: Радио и связь, 1989.

24. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. — М.: Мир, 1967. — Т. 1.

25. Хермен Г. Восстановление изображений по проекциям: основы реконструктивной томографии. — М.: Наука, 1983.

26. Хьюбер П. Робастность в статистике. — М.: Мир, 1984.

27. Чуй Ч. Введение в вейвлеты. — М.: Мир, 2001.

28. Ширяев А. Н. Вероятность. — М.: МЦНМО, 2004.

29. Abramovich F., Benjamini У. Adaptive thresholding of wavelet coefficients // Computational statistics & data analysis. — 1996. — Vol. 22, no. 4. — Pp. 351-361.

30. Abramovich F., Sapatinas Т., Silverman B. W. Wavelet thresholding via a Bayesian approach // Journal of the Royal Statistical Society, series В. — 1998.— Vol. 60, no. 4.— Pp. 725-749.

31. Abramovich F., Silverman B. W. Wavelet decomposition approaches to statistical inverse problems // Biometrika.— 1998. — Vol. 85. — Pp. 115-129.

32. Albrecht P., Cohen R. J. Estimation of heart rate power spectrum bands from real world data: dealing with ectopic beats and noisy data // Computers in cardiology, proceedings. — 1988. Pp. 311-314.

33. Alexandridi A., Panagopoulos I., Manis G., Papakonstantinou G. R-peak detection with alternative Haar wavelet filter // Proceedings of the 3rd IEEE International Symposium on signal processing and information technology. — 2003. — Pp. 219-222.

34. Andrews D. F. A robust method for multiple linear regression // Technometrics. — 1974. — Vol. 16, no. 4.- Pp. 523-531.

35. Averkamp R., Houdre C. Wavelet thresholding for non-necessarily Gaussian noise: idealism // The Annals of Statistics. — 2003. — Vol. 31, no. 1. — Pp. 110-151.

36. Azuaje F., Clifford G. D., McSharry P. E. Advanced methods and tools for ECG data analysis. — Artech House Publishers, 2005.

37. Bahadur R. R. A note on quantiles in large samples // The Annals of Mathematical Statistics. — 1966. — Vol. 37, no. 3. — Pp. 577-580.

38. Benjamini Y., Hochberg Y. Controlling the false discovery rate: a practical and powerful approach to multiple testing // Journal of the Royal Statistical Society, series B. — 1995. — Vol. 57, no. 1. Pp. 289-300.

39. Berger J. O. Statistical decision theory and Bayesian analysis. — Springer-Verlag, 1985.

40. Bickel P. J. Some contributions to the theory of order statistics // Proceedings of the fifth Berkeley Symposium on mathematical statistics and probability. — 1967. — Vol. 1. — Pp. 575-591.

41. Birkett C. L., Kienzle M. G., Mayers G. A. Interpolation over ectopic beats increases low frequency power in heart rate variablity spectra // Computers in cardiology, proceedings. 1991. - Pp. 257-259.

42. Bultheel A. — Wavelets with applications in signal and image processing. — 2003.

43. Cai Т. Т., Brown L. D. Wavelet shrinkage for nonequispaced samples // Statistics & Probability Letters. — 1999. — Vol. 42, no. 3. — Pp. 313-321.

44. Chang S. G., Yu В., Vetterli M. Adaptive wavelet thresholding for image denoising and compression // IEEE transactions on image processing. — 2000. — Vol. 9, no. 9. — Pp. 1532-1546.

45. Chipman Ii. A., Kolaczyk E. D., McCulloch R. E. Adaptive Bayesian wavelet shrinkage // Journal of the American Statistical Association. — 1997. — Vol. 92, no. 440. — Pp. 1413-1421.

46. Clayton R. H., Lord S. W., McComb J. M., Murray A. Comparison of autoregressive and Fourier transform based techniques for estimating RR interval spectra // Computers in cardiology. 1997. — Pp. 379-382.

47. Clifford G. D. Signal processing methods for heart rate variability: PhD dissertation / University of Oxford. — Department of engineering science, 2002.

48. Clifford G. D., McSharry P. E. Method to filter ECGs and evaluate clinical parameter distortion using realistic ECG model parameter fitting // Computers in Cardiology.— 2005.- Pp. 715-718.

49. Clifford G. D., Tarassenko L. Quantifying errors in spectral estimates of HRV due to beat replacement and resampling // IEEE transactions on biomedical engineering. — 2005.— Vol. 52, no. 4. Pp. 630-638.

50. Clyde M., George E. I. Flexible empirical Bayes estimation for wavelets // Journal of the Royal Statistical Society, series B. — 2000. — Vol. 62, no. 4. — Pp. 681-698.

51. Clyde M., Parmigiani G., Vidakovic B. Multiple shrinkage and subset selection in wavelets // Biometrika. — 1998. — Vol. 85, no. 2, — Pp. 391-401.

52. Cohen A., Daubechies I., Vial P. Wavelets on the interval and fast wavelet transforms // Applied and computational harmonic analysis.— 1993. — Vol. 1, no. 1. — Pp. 54-81.

53. Coifman R. R., Donoho D. L. Translation-invariant de-noising // Lecture notes in statistics. — 1995. — Vol. 103. — Pp. 125-150.

54. DasGupta A. Asymptotic values and expansions for the correlation between different measures of spread // Journal of statistical planning and inference. — 2006. — Vol. 136, no. 7. — Pp. 2197-2212.

55. David H. A., Nagaraja H. N. Order statistics. — John Wiley & Sons, 2003.

56. Donoho D. L. Interpolating wavelet transforms. — 1992.

57. Donoho D. L. De-noising by soft-thresholding // IEEE transactions on information theory. — 1995. — Vol. 41, no. 3. Pp. 613-627.

58. Donoho D. L. Nonlinear solution of linear inverse problems by wavelet-vaguelette decomposition // Applied and computational harmonic analysis. — 1995. — Vol. 2. — Pp. 101-126.

59. Donoho D. L., Johnstone I. M. Ideal spatial adaptation via wavelet shrinkage // Biometrika. 1994. - Vol. 81, no. 3. - Pp. 425-455.

60. Donoho D. L., Johnstone I. M. Adapting to unknown smoothness via wavelet shrinkage // Journal of the American Statistical Association. — 1995. — Vol. 90. — Pp. 1200-1224.

61. Donoho D. L., Johnstone I. M. Neo-classical minimax problems, thresholding and adaptive function estimation // Bernoulli. — 1996. — Vol. 2, no. 1. — Pp. 39-62.

62. Donoho D. L., Johnstone I. M. Minimax estimation via wavelet shrinkage // The Annals of Statistics. 1998. — Vol. 26, no. 3. — Pp. 879-921.

63. Donoho D. L., Johnstone I. M. Asymptotic minimaxity of wavelet estimators with sampled data // Statistica Sinica. — 1999. — Vol. 9, no. 1. — Pp. 1-32.

64. Donoho D. L., Johnstone I. M., Kerkyacharian G., Picard D. Wavelet shrinkage: asymp-topia? // Journal of the Royal Statistical Society, series В. — 1995.— Vol. 57, no. 2.— Pp. 301-369.

65. Eldar Y. C. Generalized SURE for exponential families: applications to regularization // IEEE transactions on signal processing. — 2009. — Vol. 57, no. 2. — Pp. 471-481.

66. Ferraz-Mello S. Estimation of periods from unequally spaced observations // The Astronomical Journal. — 1981. — Vol. 86, no. 4. — Pp. 619-624.

67. Foster G. The cleanest Fourier spectrum // The Astronomical Journal.— 1995.— Vol. 109, no. 4. Pp. 1889-1902.

68. Foster G. Time series analysis by projection. I. Statistical properties of Fourier analysis // The Astronomical Journal. — 1996. — Vol. Ill, no. 1. — Pp. 541-554.

69. Foster G. Time series analysis by projection. II. Tensor methods for time series analysis // The Astronomical Journal. — 1996. — Vol. Ill, no. 1. — Pp. 555-566.

70. Gao H.-Y. Wavelet shrinkage denoising using the non-negative garrote // Journal of computational and graphical statistics. — 1998. — Vol. 7, no. 4. — Pp. 469-488.

71. Gao H.-Y., Bruce A. G. Waveshrink with firm shrinkage // Statistica Sinica. — 1997.— Vol. 7, no. 4. Pp. 855-874.

72. Grossmann A., Morlet J. Decomposition of Hardy functions into square integrable wavelets of constant shape // Society for Industrial and Applied Mathematics. — 1984. — Vol. 15, no. 4. Pp. 723-736.

73. Hall P., Welsh A. H. Limits theorems for median deviation // Annals of the Institute of Statistical Mathematics. — 1985. —Vol. 37, no. 1, — Pp. 27-36.

74. Hardle W., Kerkyacharian G., Picard D., Tsybakov A. Wavelets, approximation and statistical applications // Lecture notes in statistics. — 2000. — Vol. 129.

75. Horowitz L. L. The effects of spline interpolation on power spectral density // IEEE transactions on acoustics, speech and signal processing. — 1974. — Vol. 22, no. 1. — Pp. 22-27.

76. Hossjer 0., Rousseeuw P. J., Croux C. Asymptotic of the repeated median slope estimator // The Annals of Statistics. — 1994. Vol. 22, no. 3. — Pp. 1478-1501.

77. Johnstone I. M. Wavelet shrinkage for correlated data and inverse problems: adaptivity results // Statistica Sinica. — 1999. — Vol. 9, no. 1. — Pp. 51-83.

78. Johnstone I. M., Siverman B. W. Empirical Bayes selection of wavelet thresholds // The Annals of Statistics. — 2005. — Vol. 33, no. 4. — Pp. 1700-1752.

79. Kalifa J., Laine A., Esser P. D. Tomographic reconstruction with non-linear diagonal estimators // Proceedings of SPIE, the International Society for Optical Engineering. — 2000. — Vol. 4119. — Pp. 576-586.

80. Kalifa J., Mallat S. Thresholding estimators for linear inverse problems and deconvolu-tions // The Annals of Statistics. — 2003. — Vol. 31, no. 1. — Pp. 58-109.

81. Kiefer J. On Bahadur's representation of sample quantiles // The Annals of Mathematical Statistics. — 1967. — Vol. 38, no. 5. — Pp. 1323-1342.

82. Kohler B. U., Henning C., Orglmeister R. The principles of software QRS detection // IEEE engineering in medicine and biology magazine. — 2002. — Vol. 21, no. 1. — Pp. 42-57.

83. Kolaczyk E. D. Wavelet methods for the inversion of certain homogeneous linear operators in the presence of noisy data: PhD dissertation / Stanford University. — Department of statistics, 1994.

84. Kolaczyk E. D. A wavelet shrinkage approach to tomographic image reconstruction // Journal of the American Statistical Association.— 1996.— Vol. 91, no. 435.— Pp. 1079-1090.

85. Kozakevicius A. J., Rodrigues C. R., Nunes R. C., Filho R. G. Adaptive ECG filtering and QRS detection using orthogonal wavelet transform // BioMed 2005 — Biomedical Engineering / Ed. by K. P. Adlassnig, M. Bracale. — 2005. — P. 731.

86. Lavrik I., Jung Y. Y., Ruggeri F., Vidakovic B. Bayesian false discovery rate wavelet shrinkage: theory and applications // Communications in statistics: simulation and computation. — 2008. — Vol. 37, no. 6. — Pp. 1086-1100.

87. Lee N. Wavelet-vaguelette decompositions and homogenous equations: PhD dissertation / Purdue University. — 1997.

88. Lee N., Lucier B. J. Wavelet methods for inverting the Radon transform with noisy data // IEEE transactions on image processing. — 2000. — Vol. 10. — Pp. 79-94.

89. Li C., Zheng C., Tai C. Detection of ECG characteristic points using wavelet transforms // IEEE transactions on biomedical engineering. — 1995. — Vol. 42, no. 1. — Pp. 21-28.

90. Lomb N. R. Least-squares frequency analysis of unequally spaced data // Astrophysics and Space Science. 1976. — Vol. 39. — Pp. 447-462.

91. Luisier F., Blu Т., Unser M. A new SURE approach to Image denoising: interscale or-thonormal wavelet thresholding // IEEE transactions on image processing. — 2007. — Vol. 38, no. 5. Pp. 1323-1342.

92. Malik M. Heart rate variability // European Heart Journal. — 1996. — Vol. 17, no. 3. — Pp. 354-381.

93. Mallat S. Multiresolution approximations and wavelet orthonormal bases of L2(R) // Transactions of the American Mathematical Society.— 1989.— Vol. 315, no. 1,— Pp. 69-87.

94. Mallat S., Hwang W. L. Singularity detection and processing with wavelets // IEEE transactions on information theory. — 1992. — Vol. 38, no. 2. — Pp. 617-643.

95. Markin A. V., Shestakov О. V. Elimination of ectopic beats from heart tachogram using robust estimates // XXVIII International Seminar on Stability Problems for Stochastic Models. 2009. - P. 54.

96. Mateo J., Laguna P. Improved heart rate variability signal analysis from the beat occurrence iimes according to the IPFM model // IEEE transactions on biomedical engineering. 2000. - Vol. 47, no. 8. — Pp. 985-996.

97. Mateo J., Laguna P. Analysis of heart rate variability in the presence of ectopic beats using the heart timing signal / / IEEE transactions on biomedical engineering. — 2003. — Vol. 50, no. 3. Pp. 334-343.

98. Mazumder S., Serfling R. Bahadur representations for the median absolute deviation and its modifications // Statistics & Probability Letters. — 2009. — Vol. 79, no. 16. — Pp. 1774-1783.

99. McSharry P. E., Clifford G. D., Tarassenko L., Smith L. A. A dynamical model for generating synthetic electrocardiogram signals // IEEE transactions on biomedical engineering. — 2003. — Vol. 50, no. 3. — Pp. 289-294.

100. McSharry P. E., McGuinness M. J., Fowler A. C. Confronting a cardiovascular system model with heart rate and blood pressure data // Computers in Cardiology. — 2005. — Pp. 587-590.

101. Meyer Y. Wavelets and operators. — Cambridge University Press, 1992.

102. Nason G. P. Wavelet shrinkage using cross-validation // Journal of the Royal Statistical Society, series В. — 1996. — Vol. 58, no. 2. — Pp. 463-479.

103. Nason G. P. Choice of the threshold parameter in wavelet function estimation // Lecture notes in statistics. — 1998. — Vol. 103. — Pp. 261-280.

104. Rousseeuw P. J., Croux C. Alternatives to the median absolute deviation // Journal of the American Statistical Association. — 1993. — Vol. 88, no. 424. — Pp. 1273-1283.

105. Scargle J. D. Studies in astronomical time series analysis. II Statistical aspects of spectral analysis of unevenly spaced data // Astrophysical Journal. — 1982. — Vol. 263. — Pp. 835-853.

106. Serfling R., Mazumder S. Exponential probability inequality and convergence results for the median absolute deviation and its modifications // Statistics & Probability Letters. — 2009. —Vol. 79, no. 16.-Pp. 1767-1773.

107. Serfling R. J. Approximation theorems of mathematical statistics. — John Wiley & Sons, 1980.

108. Solem К., Laguna P., Sornmo L. An efficient method for handling ectopic beats using the heart timing signal // IEEE transactions on biomedical engineering. — 2006. — Vol. 53, no. l.-Pp. 13-20.

109. Spangl В., Dutter R. On robust estimation of power spectra // Austrian journal of statistics. 2005. - Vol. 34, no. 2. - Pp. 199-210.

110. Stein С. M. Estimation of the mean of a multivariate normal distribution // The Annals of Statistics. — 1981. — Vol. 9, no. 6. — Pp. 1135-1151.112. van der Vaart A. W. Asymptotic statistics. — Cambridge University Press, 2000.

111. Vidakovic B. Nonlinear wavelet shrinkage with Bayes rules and Bayes factors // Journal of the American Statistical Association. — 1998. — Vol. 93, no. 441. — Pp. 173-179.

112. Vidakovic B. Statistical modeling by wavelets.— John Wiley & Sons, 1999.

113. Wang Y. Function estimation via wavelet shrinkage for long-memory data // The Annals of Statistics. — 1996. — Vol. 24, no. 2. — Pp. 466-484.