Стабильные элементы автоморфизмов свободной нильпотентной группы тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Ковыршина, Анна Ивановна

• Ковыршина, Анна Ивановна
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ковыршина, Анна Ивановна

Введение

Глава 1. Предварительные сведения

1.1 Общие понятия.

1.2 Базисные коммутаторы.

1.3 Автоморфизмы группы ,Рзд2.Ю

Глава 2. Метод нахождения стабильных элементов

2.1 Преобразование видов базисных коммутаторов.

2.2 Общая схема нахождения стабильных элементов. . 21 2.2 Пример стабильного элемента.

Глава 3. Нестабильные элементы группы ^здг

3.1 Вспомогательная лемма.

3.2 Теорема о строении нестабильных элементов -Рзд2.

Глава 4. Стабильные элементы группы ^здг

4.1 Вспомогательные утверждения.

4.2 Основной результат.

Глава 5. Стабильные элементы группы ^2,

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Стабильные элементы автоморфизмов свободной нильпотентной группы»

Диссертация посвящена вопросам существования стабильных элементов относительно всех автоморфизмов нильпотентной группы ступени 12.

Стабильные элементы свободных нильпотентных групп относительно всех автоморфизмов группы тесно связаны с инвариантами Ли свободных колец Ли. Условия существования инвариантов Ли были найдены в работах Вефера (1949 г.) [19] и Барроу (1958 г.) [14, 15] (см. также [12]), это давало основание считать, что в свободных нильпотентных группах также могут существовать нетривиальные стабильные элементы при определенных условиях на ранг и ступень нильпотентности группы. Отметим, что вопрос о существовании таких элементов в группах был поставлен А. Мясниковым в проекте MAGNUS [17] (вопрос N1):

Пусть G - свободная нильпотентная группа конечного ранга г. Пусть элемент g £ G неподвижен относительно всех автоморфизмов группы G. Верно ли, что g = 1 ?

Отрицательный ответ на этот вопрос был получен В.В. Блу-довым [1] в 1998 году, который привел примеры нетривиальных стабильных элементов свободной нильпотентных групп ранга 2. Например, элемент [a,b,a,[a,b,b],[a,b]] — стабилен относительно любого автоморфизма свободной нильпотентной группы ранга два и ступени восемь.

В 2001 году независимо друг от друга А. Папистас [18] и

Е. Форманек [16], основываясь на работах [19, 14, 15], классифицировали все пары (г, с), при которых существуют нетривиальные стабильные элементы в свободных нильпотентных группах ранга г и ступени с. Доказана

Теорема ([16], Теорема 5.) Пусть F(r,c) — свободная нильпо-тентная группа ранга г и ступени с. Нетривиальные стабильные элементы группы F(r, с) существуют тогда и только тогда, когда a) г — 2 или г = 3 и с = 2кг, к > 2. b) г > 4 и с — 2кг, к> 1.

Поэтому, для г — 3 наименьшая ступень нильпотентности, при которой существуют нетривиальные стабильные элементы равна 12. При этом конкретный вид стабильных элементов в работах [16, 18] не был указан, его нахождение представляет определенную техническую сложность. Первые примеры стабильных элементов в свободных нильпотентных группах ранга 3 получены в 2004 году и опубликованы в 2008 году в работе соискателя [5].

В представленной работе приведены классификационные теоремы (Теоремы 3.1, 4.1, 5.1, 5.2), описывающие строение стабильных элементов. На основании этих результатов получено полное описание (в терминах базисных коммутаторов) всех стабильных элементов с однородным вхождением образующих в свободных нильпотентных группах рангов 2 и 3, ступени 12.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, разбитых на 10 параграфов, заключения, списка литературы и приложения.

Заключение диссертации по теме «Математическая логика, алгебра и теория чисел», Ковыршина, Анна Ивановна

Заключение

На защиту выносятся следующие результаты.

1. Получен метод нахождения стабильных элементов свободной нильпотентной группы.

2. Найдены условия на линейные комбинации базисных коммутаторов свободных нильпотентных групп ступени 12, рангов 2 и 3, при которых эти комбинации не являются стабильными элементами.

3. В свободных нильпотентных группах ступени 12, рангов 2 и 3, найдены подгруппы рангов 9 и 33 соответственно, любой элемент которых является стабильным.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ковыршина, Анна Ивановна, 2011 год

1. Блудов В.В. Неподвижные точки относительно всех автоморфизмов в свободных нильпотентных группах. Третий Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике. Тез. докл. часть 5. Новосибирск, 1998.

2. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп.- М.: Наука, 1982. 239 с.

3. Клейменов В.Ф., Ковыршина А.И. Неподвижные элементы в свободных нильпотентных группах // "Алгебра, логика и кибернетика: материалы межд. конф.": Тез. докл. Иркутск, 2004. - С. 53-54.

4. Ковыршина А.И. Неподвижные элементы в свободных нильпотетных группах ранга три // Вестник НГУ. Серия: Математика, механика, информатика. 2008. - Т.8, вып.2.- С. 85-91.

5. Ковыршина А.И. Описание неподвижных элементов свободных нильпотентных групп ранга три //Межд. конф. "Алгебра, логика и приложения": Тез. докл. Красноярск,2010. С. 48-49.

6. Ковыршина А.И. Стабильные элементы в свободных нильпотентных группах ранга три // Вестник Омского университета. 2010. - №4 (58). - С. 20-23.

7. Ковыршина А.И. Стабильные элементы в свободных нильпотентных группах ранга два // Известия Иркутского государственного университета. Серия: Математика. 2010. - Т.З, № 4. - С. 50-59.

8. Курош А.Г. Теория групп. М.: Наука, 1967. - 648 с.

9. Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп. М.: Мир, 1980. - 477 с.

10. Магнус В., Каррас А., Солитэр Д. Комбинаторная теория групп. М.: Наука, 1974. - 455 с.

11. Холл М. Теория групп. М.: ИЛ, 1962. - 468 с.

12. Burrow M.D. Invariants of free Lie rings // Communications on pure and applied mathematics. 1958. - Vol. 11. - P. 419431.

13. Burrow M.D. The enumeration of Lie invariants // Communications on pure and applied mathematics. 1967.- Vol.20. P. 401-411.

14. Formanek E. Fixed points and centers of automorphism groups of free nilpotent groups // Communications in algebra. 2002.- Vol.30. P. 1033-1038.17. http://www.grouptheory.org/group-theory.org/projects-and-problems.

15. Papistas A. A note on fixed points of certain relatively free nilpotent groups // Communications in algebra. 2001. -Vol.29. - 4693-4699.

16. Wever F. Ueber Invarianten in Lieschen Ringen // Mathematische Annalen. 1949. - Vol.120, P. 563-580.