Исследование математической модели фильтрации диффузионных процессов с использованием явных формул для аналитических решений стохастических дифференциальных уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Мухаметова, Гульнара Зуфаровна

• Мухаметова, Гульнара Зуфаровна
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Мухаметова, Гульнара Зуфаровна

Введение

Глава 1. Математическое моделирование фильтрации диффузионных процессов с использованием явных формул для решений стохастических дифференциальных уравнений

1.1. Основные обозначения и сведения

1.2. Постановка задачи фильтрации диффузионных процессов

1.3. Предварительные сведения о стохастических дифференциальных уравнениях в частных производных

1.4. Одномерные линейные стохастические дифференциальные уравнения и их детерминированные аналоги

1.5. Построение явных формул для решений стохастических дифференциальных уравнений с линейными коэффициентами

1.6. Явные формулы для решений линейных стохастических дифференциальных уравнений с многомерным винеровским процессом

1.7. Нелинейные стохастические дифференциальные уравнения в частных производных

1.8. Построение решений задачи фильтрации диффузионных процессов с использованием решений систем дифференциальных уравнений в частных производных

Глава 2. Разработка математического аппарата для решения задачи фильтрации диффузионных процессов

2.1. Некоторые сведения о симметричных интегралах

2.2. Симметричные интегралы и замена переменных

2.3. Замена переменных в расширенных симметричных интегралах

2.4. Локальные времена и задача возмущения для выходного сигнала в задаче фильтрации

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование математической модели фильтрации диффузионных процессов с использованием явных формул для аналитических решений стохастических дифференциальных уравнений»

Многие математические и технические задачи допускают следующую математическую постановку в терминах теории случайных процессов. На некотором вероятностном пространстве ($7, F, Р) задан частично наблюдаемый случайный процесс Zt = (Xt,Yt), t > 0, у которого наблюдаться может лишь вторая компонента Yt, t > 0. В каждый момент времени t требуется, основываясь на наблюдениях У[о^] = {К,, 0 < s < £}, давать оценку (ненаблюдаемых) значений Xt. Эта задача оценивания (иначе - задача фильтрации) Xt по У[о,*] и является предметом рассмотрения настоящей работы.

Хорошо известно, что если E-Xf < оо, то оптимальной в среднеквадра-тическом смысле оценкой Xt является апостериорное среднее rrit = E(Xt\Ff), где Fj = g{uj • Ys,s < t} есть сг-алгебра, порожденная величинами Таким образом, решение задачи оптимальной (в сред-неквадратическом смысле) фильтрации сводится к отысканию условных математических ожиданий rrit = Е(Xt\Ff).

В общем случае эта оценка нелинейно зависит от наблюдений и называется фильтром. Формула Байеса для условного математического ожидания дана в [50] для случая, когда Xt и наблюдаемый "шум" независимы, однако она полезна только для случая фиксированного t. Когда наблюдения поступают непрерывно (как это и происходит в большинстве приложений), то требуется оценка, которую можно непрерывно корректировать, чтобы учитывать новые данные. Формула Байеса не позволяет проводить рекурсивных вычислений подобного рода, так как оценку в момент времени t нельзя эффективно использовать для вычисления оценки в момент t + h. Практический метод, который является также и математически более приемлимым, состоит в том, чтобы вывести стохастическое дифференциальное уравнение для вычисления фильтра и использовать стохастическое исчисление Ито.

В 40-х годах XX века японский математик К.Ито заложил основы теории стохастических дифференциальных уравнений (см. [45]), за которыми впоследствии укрепилось название "стохастические уравнения Ито". В дальнейшем теория уравнений Ито бурно развивалась и продолжает развиваться в настоящее время. С ее современным состоянием можно ознакомиться по монографиям И.И.Гихмана, А.В.Скорохода [5], К.Ито, Г.Маккина [12], Н.В.Крылова [17], Р.Ш.Липцера, А.Н.Ширяева [20], С.Ватанабе, Н.Икеды [1] и др.

Первоначально уравнения Ито предназначались для описания на вероятностном языке диффузии в газах и жидкостях (первые варианты такого описания были получены в работах Л.Башелье [37], А.Эйнштейна, М.Смолуховского [35], Н.Винера [63], И.И.Гихмана [4], [5] и др.) Однако впоследствии оказалось, что они являются очень удобным аппаратом для решения многих других физических и инженерных задач. В частности, эти уравнения с успехом применяются в теории управления динамическими системами по неполным данным (см., например, [14], [19], [33]).

Одним из важнейших этапов управления по неполным данным и является "фильтрация" - выделение полезной информации из комбинации " сигнал"+" шум". Эта задача принадлежит к числу классических задач статистики случайных процессов. Первые замечательные результаты, связанные с фильтрацией стационарных процессов, были получены А.Н.Колмогоровым [15] и Н.Винером [64]. После появления работы Р.Калмана и Р.Бьюси [51] в 60-70-х годах XX века бурно развивалась теория фильтрации для систем, динамика которых описывается уравнениями Ито.

Значительные результаты этой теории были получены Р.Ш.Липшером и А.Н.Ширяевым. В монографии [20] этих авторов подробно рассмотрены вопросы оптимальной фильтрации (а также смежные задачи интерполяции, экстраполяции, последовательного оценивания, различения гипотез и т. п.) для случая непрерывного времени. Привлекательность этих задач в случае непрерывного времени объясняется (помимо их собственного интереса) тем, что для них удается получать прозрачные формулировки и компактные формулы. Для условно-гауссовских процессов (0,£) получена замкнутая система уравнений оптимальной нелинейной фильтрации. Тем самым выделен очень широкий класс случайных процессов, для которых удается эффективным образом решить задачу построения оптимального нелинейного фильтра. Помимо фильтрации, в [20] изложены соответствующие результаты для задач интерполяции и экстраполяции. Даются применения теории фильтрации к разнообразным задачам статистики случайных процессов. Подробно рассмотрены задачи линейного оценивания, даются применения к некоторым задачам управления, теории информации. Даны применения к небайесовским задачам статистики (оценки максимального правдоподобия для коэффициентов линейной регрессии, последовательное оценивание и последовательное различение статистических гипотез).

Широкое распространение в приложениях получил метод фильтрации, применимый к процессам, которые описываются линейными стохастическими дифференциальными уравнениями, так называемый метод Калмана-Бьюси (см. [20]).

Известно (см. [30]), что решение задачи фильтрации для процессов, описываемых уравнениями Ито, эквивалентно решению некоторого уравнения, называемого обычно уравнением фильтрации. Это уравнение фильтрации относится к совершенно новому типу, оно сочетает в себе черты уравнений Ито и уравнений в частных производных. Уравнения такого типа называют стохастическими дифференциальными уравнениями Ито в частных производных.

Как выяснилось, теория фильтрации не обладает монополией на использование уравнений такого типа. Они возникают во многих областях знания: физике, химии, биологии и других.

Наиболее подробно в настоящее время исследованы линейные стохастические дифференциальные уравнения в частных производных, которые изучены в монографии Б.Л.Розовского [30]. Общий метод решения таких уравнений был предложен Ф.С.Насыровым [27]. Данный метод основан на теории потраекторных симметричных интегралов [26], которые в случае винеровского процесса являются детерминированными аналогами стохастических интегралов Стратоновича. Ф.С.Насырову с помощью техники симметричных интегралов удалось при определенных условиях свести решение стохастического дифференциального уравнения Ито в частных производных к решению некоторой системы (неслучайных) дифференциальных уравнений в частных производных. Ранее в теории обыкновенных стохастических дифференциальных уравнений случаи, когда известна явная формула для определения (сильного) решения стохастического дифференциального уравнения, были немногочисленны (см. [1]).

В настоящей работе для решения задачи фильтрации диффузионных процессов применяется новая техника симметричных интегралов по произвольной непрерывной функции, которые, с одной стороны, являются ослабленными вариантами интегралов типа Стилтьеса, а с другой стороны, в случае винеровского процесса, совпадают со стохастическими интегралами Стратоновича.

Цель и задачи исследований. Целью настоящей работы является построение явных формул для решения задачи фильтрации диффузионных процессов. В работе решались следующие задачи.

1. Построение явных формул для решения задачи фильтрации диффузионных процессов в терминах систем (неслучайных) дифференциальных уравнений в частных производных и вывод явных формул для аналитических решений стохастических дифференциальных уравнений в частных производных в линейном и нелинейном случае.

2. Получение некоторых способов замены переменных в симметричном и расширенном симметричном интегралах, которые позволяют значительно упростить уравнение для фильтрационной плотности.

3. Решение задачи возмущения локальных времен для выходного сигнала задачи фильтрации.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Мухаметова, Гульнара Зуфаровна

Основные результаты работы можно сформулировать следующим образом.

1. Построены явные формулы для решения одномерной задачи фильтрации диффузионных процессов. Они позволяют свести решение стохастического дифференциального уравнения для ненормализованной фильтрационной плотности к решению системы дифференциальных уравнений в частных производных, с помощью которой можно найти явные формулы для решения задачи фильтрации диффузионных процессов.

Пусть X(t), Y(t) - некоторые диффузионные процессы, которые задаются стохастическими дифференциальными уравнениями Ито: X(t) =X(0) + fic1(8iX(8),Y(s))d8+fid11(8,X(8),Y(s))dw(8) + + tid12(s,X(s),Y(s))dv(s),

Y(t) =Y(0) + ftc2(s,X(s),Y(s))ds + jtd22(s,Y(s))dv(s), где W(s) = (u;(s), - двумерный винеровский процесс.

Предположим, что диффузионный процесс Y(t) доступен наблюдениям, a X(t) — нет. Наша задача состоит в том, чтобы по значениям Y(t) построить условное распределение случайной величины X(t). Тогда интересующее нас математическое ожидание можно выразить следующим образом:

E(f(X(t))\frm) = /д/№(*(<) € dx\fr№) = JRf(x) p(t,x)dx, где p{t,x)dx = Р(X(t) £ dx\(3Ym), p(t,x) = (X(t) < x\(3Ym) - нормализованная фильтрационная плотность. Сама p(s, х) может быть найдена следующим образом: p(s, х) = rj(s, х) (Jr ф, x)dx) , где rj(s, х) - это ненормализованная фильтрационная плотность, она удовлетворяет так называемому уравнению фильтрации t ф, х) - 77(0, х) = Jq [(a(s, х, Y(s))rj(st х))хх - (b(s, х, Y(s))rj{s, х))х + J* [- ж, ж))® + h(s,x,Y(s))r](s,x) dv(s), ds+ где а = ~{(dn)2+ (du)2), b = ci, a = ^ h = Уравнение фильтрации после дифференцирования примет вид:

7](t, х) - 77(0, х) = J* [ajcxfs, х, Y(s))rj(s, х) + 2ax(s, х, Y(s))r?x(s, х)+ a(s, х, У (s))ijxx(s, х) - bx(s, х, Y(s))rj(s, х) - 6(s, х, Y(s))rjx(s, х) ds+ Jo [ ~ ax(S'Х' ~~ У /i(s,ж,y(s))77(s,х) dv(s).

Это уравнение является стохастическим дифференциальным уравнением Ито в частных производных. Таким образом, решение задачи фильтрации сводится к решению стохастических дифференциальных уравнений в частных производных. Решение этого уравнения r}(s,x) можно найти как решение r](s,x) = ip(s, х, v(s)) системы дифференциальных уравнений в частных производных ipu = —ах<р - а<рх + hip, 4>S = Vxx [а - \а2] + <рх [2ах - Ь- \аах + ah] + ахх — Ьх — ах)2 + hax - \аахх + \hxa - \h2] , с начальным условием 99(0, х, ^(0)) = т](0,х).

Найден аналитический метод решения некоторых классов стохастических дифференциальных уравнений в частных производных, с помощью которой и решается уравнение фильтрации.

2. Получены некоторые способы замены переменных в симметричных интегралах, позволяющие значительно упростить уравнение фильтрации и систему диффенциальных уравнений в частных производных, к которой сводится задача вычисления фильтрационной плотности.

3. Решена задача возмущения локальных времен для выходного сигнала в задаче фильтрации, состоящая в том, что для аддитивной задачи фильтрации вычислено локальное время выходного сигнала в предположении, что "шум" обладает локальным временем.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации получены явные формулы для решения задачи фильтрации диффузионных процессов, найдена методика решения стохастических дифференциальных уравнений в частных производных с линейными и нелинейными коэффициентами, которая необходима для решения задачи фильтрации, рассмотрены некоторые способы замены переменных в симметричных интегралах, позволяющие упростить уравнение фильтрации, и решена задача возмущения локальных времен для выходного сигнала задачи фильтрации.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Мухаметова, Гульнара Зуфаровна, 2004 год

1. Ватанабе С., Икеда Н. Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы. М.: Наука, 1986. 448 с.

2. Вентцель А.Д. Курс теории случайных процессов. М.: Наука, 1996. 400 с.

3. Вишик М.И., Фурсиков А.В. Математические задачи статистической гидромеханики. М.: Наука, 1980. 440 с.

4. Гихман И.И. О некоторых дифференциальных уравнениях со случайными функциями. // Укр. мат. журн., 1950. Т. 2. N 3. С. 45-69.

5. Гихман И.И. К теории дифференциальных уравнений случайных процессов. Ч. I. // Укр. мат. журн., 1950. Т. 2. N 4. С. 37-63. Ч. II. // Укр. мат. журн., 1951. Т. 3. N 3. С. 317-339.

6. Гихман И.И., Скороход А.В. Теория случайных процессов. М.: Наука, 1971. 664 с.

7. Гихман И.И., Скороход А.В. Стохастические дифференциальные уравнения и их приложения. Киев: Наукова думка, 1982. 611 с.

8. Гихман И.И., Скороход А.В. О плотностях вероятностных мер в функциональных пространствах. // Успехи мат. наук, 1996. Т. 21. N 5. С. 83-152.

9. Григелионис Б. О стохастических уравнениях нелинейной фильтрации случайных процессов. // Лит. мат. сб., 1972. V. 12. N 4. С. 37-51.

10. Дьячков A.M. О существовании интеграла Стилтьеса. // ДАН, 1996. Т. 350. N 2. С. 156-161.

11. Жакод Ж., Ширяев А.Н. Предельные теремы для случайных процессов. М.: Физматлит, 1994. Т. 1. 368 с. Т. 2. 544 с.

12. Ито К., Маккин Г. Диффузионные процессы и их траектории. М.: Мир, 1986. 329 с.

13. Каллианпур Г. Стохастическая теория фильтрации. М.: Наука, 1987. 320 с.

14. Квакернаак X., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. М.: Мир, 1977. 650 с.

15. Колмогоров А.Н. Интерполирование и экстраполирование стационарных и случайных последовательностей. // Изв. АН СССР. Сер. мат., 1941. Т. 5. N 1. С. 3-14.

16. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1989. 624 с.

17. Крылов Н.В. Управляемые процессы диффузионного типа. М.: Наука, 1977. 399 с.

18. Крылов Н.В., Розовский Б.Л. Стохастические дифференциальные уравнения в частных производных и диффузионные процессы. // Успехи мат. наук, 1982. Т. 37. N 6. С. 75-95.

19. Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977. 392 с.

20. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Статистика случайных процессов. М.: Наука, 1974. 696 с.

21. Маккин Г. Стохастические интегралы. М.: Мир, 1972. 182 с.

22. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Минск: Вычайшая школа, 1974. 768 с.

23. Мацаев В.И., Соломяк М.З. Об условиях существования интеграла Стилтьеса. // Матем. сборник, 1972. Т. 88. N 4. С. 522-535

24. Мейер П.-А. Вероятность и потенциал. М.: Мир, 1973. 324 с.

25. Насыров Ф.С. О локальных временах для функций и случайных процессов 1. // Теория вероятн. и ее примен. 1995. Т. 40. Вып. 4. С. 798-812.

26. Насыров Ф.С. Симметричные интегралы и их применение в финансовой математике. // Труды МИАН, 2002. Т. 237. С. 265-278.

27. Насыров Ф.С. Симметричные интегралы и потраекторные аналоги стохастических дифференциальных уравнений. // Вестник УГАТУ.

28. Уфа: УГАТУ, 2003 г. Т. 4. N 2. С. 55-66.

29. Насыров Ф.С. Обобщенная формула Ито и стохастическое исчисление Ито для непредсказуемых функций. // Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н.В.Ефимова: Труды участников. -Ростов-на-Дону: Изд-во ООО "ЦВВР", 2004 г. С. 269-271.

30. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М.: Наука, 1974. 480 с.

31. Розовский Б.Л. Эволюционные стохастические системы. Линейная теория и приложения к статистике случайных процессов. М.: Наука, 1983. 208 с.

32. Скороход А.В. Линейные стохастические дифференциальные уравнения и стохастические полугруппы. // Успехи мат. наук, 1982. Т. 37. N 6. С. 157-183.

33. Терехин А.П. Приближение функций ограниченной р-вариации. // Изв. вузов, 1965. Т. 2(45). С. 171-187.

34. Флеминг У., Ришел Р. Оптимальное управление детерминированными и стохастическими системами. М.: Мир, 1978. 316 с.

35. Ширяев А.Н. Вероятность. М.: Наука, 1989. 640 с.

36. Эйнштейн А., Смолуховский М. Броуновское движение. // Сб. ст. М.: ОНТИ, 1936. 287 с.

37. Berman S.M. Nonincrease almost everywhere of certain measurable function with applications to stochastic processes. // Proc. Amer. Math. Soc., 1983. V. 8. N 1. P. 141-144.

38. Bachelier L. Theorie de la speculation. // Ann. sci. Ecole norm super., 1900. V. 17. N 3. P. 21-86.

39. Cramer H. On some classes of non-stationary processe. // Proc. Foufth Berkeley Symp. Math. Statist. Probability. Vol. II. Berkeley and Los Angeles: University of California Press., 1961. P. 57-58.

40. Fleming W.H. Distributed parameter stochastic systems in populationbiology. // Lect. Notes Econ. and Math. Syst., 1975. V. 107. P. 179-191.

41. Follmer H., Protter P., Shiryayev A.N. Quadratic covariation and an extension of Ito's formula. // Bernoulli, 1995. V. 1. P. 149-169.

42. Friedman A. Stochastic Differential Equations and Applications. Vol. 1. New York: Academic., 1975.

43. Geman D. A note on the continuity of local times. // Proc. Amer. Math. Soc., 1976. V. 57. N 4. P. 321-326.

44. Geman D., Horowitz J. Occupation densities. // Ann. Probab. 1980. V. 8. N 1. P. 1-67.

45. Geman D., Horowitz J. Smooth perturbations of a function with a smooth local time. // Trans. Amer. Math. Soc. V. 267. N 2. 1981. P. 517-530.

46. Ito K. On a stochastic integral equation. // Proc. Jap. Acad., 1946. V. 22. P. 32-35.

47. Ito K. Multiple Wiener integrals. // Journal of Math. Soc. Japan., 1951. V. 3. P. 157-169.

48. Ito K. Spectral type of the shift transformation of the differential processes with stationary increments. // Trans. Amer. Soc. 1656. V. 81. P. 253-263.

49. Ito K. Lectures on Stochastic Processes. // Tata Ins. Fundamental Research. Bombay, 1961.

50. Ito K., Nisio M. On stationary solutions of a stochastic differential equation. // Journal of Math. Kyoto Univ. 1964. V. 4. P. 1-75.

51. Kallianpur G., Struiedel C. Estimation of stochastic processes with additive white noise observation errors. // Ann. Math. Statist. 1968. V. 39. P 785-801.

52. Kalman R.E., Bucy R.S. New results in linear filtering and prediction theory. // Trans. ASME Ser. D. J. Basic Eng., 1961. V. 83. P. 95-108.

53. Kondurar V. Sur l'integrale de Stieltjes. // Recueil Math., 1937. V. 2.1. P. 381-366.

54. Kunita H. Stochastic integrals based on martingales taking values in Hilbert space. // Nagoya Math. J., 1970. V. 38. N 1. P. 41-52.

55. Kunita H. Cauchy problem for stochastic partial differential equations arising in nonlinear filtring theory. // Syst. and Contr. Lect., 1981. V. 1. N 1. P. 37-41.

56. Kunita H. On the decomposition of solutions of stochastic differential equations: Proc. Durham Conf. Stoch. Integrals. // Lect. Notes in Math., 1981. V. 851. P. 213-255.

57. Levy P. Processus stochastiques et mourement Brownien. Paris, 1965.

58. Luxemburg W.A.J. Rearrangement-invariant Banah function spaces. // Proceedings of Simposium in Analisis Queen's University, June, 1967.

59. Meyer P.A. Integrales stochastiques I, II, III, IV. // Seminare de Probabilities I. Universite de Strasbourg. Lecture Notes 39. Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag. 1967. P. 72-162.

60. Meyer P.A. Sur un probleme de filtration. // Seminaire de Probabilites VII. Universite de Strasbourg. Lecture Notes 321. Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag. 1973. P. 223-247.

61. Meyer P.A. Un cours sur les integrales stochastiques. // Seminaire de Probabilities X. Lecture Notes in Math. V. 511, Springer-Verlag, Berlin and New York, 1976.

62. Nasyrov F.S. On continuous local times for continuous functions and stochastic processes. // Journal of Math. Sciences. Proceedings of XVII Seminar on Stability Problems of Stochastic Models, 1997. V. 84. N 3. P. 1128-1137.

63. Nasyrov F.S. Quasi-integrals and stochastic integration. // Journal of Math. Sciences. Proceedings of XVII Seminar on Stability Problems of Stochastic Models, 1998. V. 91. N 3. P. 1962-1974.

64. Wiener N. Differential space. //J. Math. Phys., 1923. V. 2. P. 131-174.

65. Wiener N. Extrapolation, interpolation and smoothing of stationary-time series. // N. Y.: J. Wiley and Sons, 1949. 207 p.

66. Мухаметова Г.З. О проблеме возмущения локальных времен. // Лобачевские чтения 2002: Материалы Международной Молодежной научной школы-конференции. - Казань: Издательство Казанского математического общества, 2002 г. С. 65-66.

67. Мухаметова Г.З. Локальные времена и задача возмущения. // Вестник УГАТУ. Уфа: УГАТУ, 2003 г. Т. 4. N 2. С. 155-158.

68. Мухаметова Г.З. О явных формулах для решения задачи фильтрации диффузионных процессов. // Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н.В.Ефимова: Труды участников. -Ростов-на-Дону: Изд-во ООО "ЦВВР", 2004 г. С. 266-268.

69. Мухаметова Г.З. Замена переменных в симметричных интегралах. / / Актуальные проблемы математики. Математические модели современного естествознания: Межвузовский научный сборник. Уфа: УГАТУ, 2004 г. С. 178-184.

70. Мухаметова Г.З. Решение задачи фильтрации диффузионных процессов. / / Актуальные проблемы математики. Математические модели современного естествознания: Межвузовский научныйсборник. Уфа: УГАТУ, 2004 г. С. 194-204.

71. Мухаметова Г.З., Насыров Ф.С. О явных формулах для решений эволюционных стохастических дифференциальных уравнений в частных производных. // Вестник УГАТУ. Уфа: УГАТУ, 2004 г. Т. 5. N 2(10). С. 58-66.

72. Muhametova G.Z. Smooth Perturbations of a Borel Function. // Колмогоров и современная математика: Сборник трудов Международной конференции. Москва: Механико-математический факультет МГУ им. М.В.Ломоносова, 2003 г. С. 514.