Численные методы расчета безарбитражных цен американских опционов в математических моделях финансовых рынков тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Ромаданова, Мария Михайловна

• Ромаданова, Мария Михайловна
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ромаданова, Мария Михайловна

Оглавление

Введение

1 Модели финансовых рынков и задача отыскания безарбитражных цен американских опционов

1.1 Финансовые рынки и арбитраж, цены американских опционов

1.2 Модель Блэка-Шоулса

1.3 Модель с диффузией и скачками

1.4 Модель с переключениями

1.5 Обобщенная модель Хестона

2 Численные методы расчета цен американских опционов, основанные на решении уравнений в частных производных

2.1 Численный метод решения системы конечномерных неравенств

2.2 Метод подвижной границы

2.3 Метод штрафов

2.3.1 Модель Блэка-Шоулса

2.3.2 Модель финансового рынка с диффузией и скачками

3 Аналитические и численные методы расчета цен американских опционов, основанные на вероятностном подходе

3.1 Аналитические методы расчета цен бессрочных американских опционов

3.1.1 Цена бессрочного американского онциона в модели Блэка-Шоулса

3.1.2 Цены бессрочных американских опционов в моделях типа Мертона

3.2 Расчет цен американских опционов с конечным сроком действия в Б-Ш-модели

3.3 Расчет цен американских опционов в модели с диффузией и скачками

3.4 Расчет цены американского опциона в модели с переключениями

3.4.1 Безарбитражная цена бессрочного американского опциона в модели с переключениями

3.4.2 Цена американского опциона с конечным сроком исполнения

3.5 Расчет цен американских опционов в модели Хестона

3.5.1 Расчет цены бессрочного американского иут-опциона

3.5.2 Американский пут-опцион с конечным сроком исполнения в модели Хестона

Заключение

Литература

Приложение

А Необходимые сведения из теории стохастических дифференциальных уравнений

В Аналитические и численные результаты

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численные методы расчета безарбитражных цен американских опционов в математических моделях финансовых рынков»

Введение

Диссертация посвящена исследованию различных моделей финансовых рынков и разработке аналитических и численных методов расчета цен одного из наиболее популярных классов производных ценных бумаг, а именно расчету цен американских опционов.

Актуальность работы. Финансовые рынки за последние десятилетия стали оказывать существенное влияние на жизнь государства и общества как в отдельно взятой стране, так и. вследствие глобализации, на жизнь мирового сообщества. Положение на финансовых рынках влияет на экономику, на социальную жизнь, на развитие науки и техники и т.д. Поэтому понимание структуры финансовых рынков и их развития играет все более важную роль, что свидетельствует о необходимости их серьезного изучения и построения адекватных моделей.

Математическое описание финансовых рынков, разработка моделей их функционирования, и методов расчета стоимости финансовых инструментов являются важной задачей финансовой математики.

С математической точки зрения расчет цен американских опционов сводится к решению различных краевых задач для уравнений в частных производных. В частности, при этом возникает задача со свободной границей -одна из наиболее сложных краевых задач для эллиптических или параболических уравнений или систем второго порядка, а также задача Коши. Наряду с этим, в зависимости от модели, мы сталкиваемся с необходимостью решения соответствующих задач для интегро-дифференицальных уравнений и систем. При решении этих задач возникают как различные теоретические вопросы, так и технические и практические вопросы. К теоретическим вопросам мы относим доказательство существования и единственности решения рассматриваемой задачи в том или ином функциональном классе и интерпретацию неклассических решений. К техническим и практическим вопросам мы от-

носим вопросы, связанные с построением алгоритмов построения численных решений рассматриваемой задачи, исследованием вопросов сходимости численных решений, разработкой и применением программ, получением численных результатов и использованием полученных программных продуктов для исследования финансовых рынков. Поскольку, как правило, рассматриваемые задачи не имеют явных решений, то построение эффективных численных методов их решения является крайне актуальным. Наконец, отметим, что необходимость решения задачи со свободной границей возникает также в различных задачах математической физики, теории фазовых переходов, теории горения и других.

Неопределенность финансовых рынков свидетельствует о вероятностной природе их динамики и о том, что цены базовых активов, которыми торгуют на этих рынках, представляют собой случайные процессы, описание которых возможно в рамках теории стохастических уравнений. Наряду с базовыми активами на финансовых рынках все более многочисленными становятся так называемые производные ценные бум а!-и или опционы.

Обзор литературы. Финансовая математика - одна из бурно развивающихся областей математики, находящаяся на стыке теории случайных процессов, теории уравнений в частных производных, численного анализа и ряда других. Теория арбитража или теория расчета справедливых цен финансовых инструментов составляет существенную часть этой области. К сожалению, на русском языке литература на эту тему не слишком обширна. Здесь следует упомянуть ряд монографий [1]- [6], представляющих собой введение в эту обширную область, а также некоторое количество статей например, [7]. С другой стороны, область эта активно развивается и количество монографий вышедших в мире и посвященных различным задачам теории арбитража исчисляется десятками, а число статей - сотнями. Упомянем здесь лишь наиболее близкие к теме диссертации монографии [8|- [18].

Одна из наиболее трудных задач, решаемых финансовыми аналитиками -это задача определения справедливой цены американского опциона. Существует два варианта подхода к решению этой задачи. Один из них состоит в построении вероятностной модели финансового рынка, на котором присутствуют лишь базовые активы, задании на этом рынке мартингальной меры и построении безарбитражной цены американского опциона как решения зада-

чи об оптимальной остановке для случайного процесса .5"(£), описывающего динамику базового актива, на который пишется опцион, по этой мере. Решение соответствующей задачи позволяет определить справедливую цену рассматриваемого опциона. Напомним, что справедливую цену называют также мартингальной или риск-нейтральной ценой.

В модели Блэка-Шоулса [19] (Б-Ш-модели) в такой постановке задача впервые была решена в работе Мертона [20], где был использован подход, предложенный Маккином [21] для решения соответствующей задачи для уравнения теплопроводности. Распространение этого подхода на более сложные современные модели рассматривалось в большом количестве работ, например, [22]- [26].

Альтернативный подход к рассматриваемой задаче состоит в том, чтобы описать модель финансового рынка в терминах эллиптических, параболических или интегро-дифференциальных уравнений и найти цену американского опциона как решение задачи Коши (которая возникает при нахождении цены американского колл-опциона) или задачи со свободной границей (которая возникает при нахождении цены американского колл-опциона на акции с выплатой дивидендов, нут-опциона и др.) для соответствующего уравнения. Такой подход развивался в работах [25]- [30].

Описанные выше задачи можно решать как с использованием методов теории уравнений в частных производных, например, используя дискретизацию задачи или метод Фурье, так и с использованием чисто вероятностных вычислительных методов , в частности метода Монте Карло. Хотя в диссертационной работе в чистом виде последние методы не используются, однако, частично их идеи используются в главе 3.

1) Метод Фурье. Весьма эффективным при решении рассматриваемых задач является использование преобразования Фурье [31]- [34].

В частности, пусть Р{1, з) - цена европейского опциона с контрактной функцией , такой, что существует преобразование Фурье — ещ>(гхх)'ф{х)(1х, где Ф{х) = Ф(еа:) и г принадлежит некоторой полосе (зависящей от выбора Ф) в комплексной плоскости. Тогда

где У = 1п 5 + г(Т —£), ^ = и + т и (рх&, и) — Е схр(гиХ(1)) - характеристическая функция процесса Функция (рх&,и) при и £ К представляет собой преобразование Фурье плотности распределения случайного процесса Х{{) = 1п 3(1) и во многих случаях допускает аналитическое продолжение при и н-> г Е С регулярное в некоторой полосе ¿>х.

Свойства характеристической функции процесса Леви будут активно использоваться нами в третьей главе диссертации, где с учетом вероятностных представлений рассматриваемых задач, будут описаны модифицированные численные схемы построения цен американских опционов.

2) Метод Монте- Карло. Безарбитражная цена 5) американского опциона с контрактной функцией Ф(з) сроком жизни Т — I может быть определена соотношением

и, следовательно, её вычисление связано с вычислением среднего на траектории случайного процесса. Таким образом, для того чтобы воспользоваться методом Монте Карло, нужно, во-первых, уметь численно решать стохастические уравнения, моделирующие цены базовых активов и, кроме того, приближенно вычислять условные средние. Один из популярных алгоритмов метода Монте Карло может быть описан следующим образом. Пусть для простоты г = 0 и опцион может быть исполнен лишь в дискретные моменты времени £ = ¿о < ¿1 < ¿2 < • • • < ¿т = Т (иногда такое условие составляет часть контракта и такие контракты называют бермудскими). Пусть = £>(£,:) - значение случайного процесса в момент £,:, полученное, например, с помощью численного решения соответствующего стохастического дифференциального уравнения. Обратимся к формулировкам вычисления цены американского опциона, приведенным выше, и заметим, что они естественно связаны с методом динамического программирования. Пусть к(в, в) - зависящая от времени контрактная функция, в е [£, Т], к(Ь, в) = 0 и обозначает цену опциона в момент ^ при условии, что й'(^) = 5 и контракт не был исполнен ранее. Нас интересует цена контракта в момент ^ = ¿о - Определим ее с помощью

следующих рекурентных соотношений

Ъп(з) = М«), (1)

Е^(з) = тах{/г?_1(5), - §]}, г = 1,... ,т. (2)

Как и выше, наряду с рассмотрением рекурентных соотношений, позволяющих определить цену опциона, можно определить эту цену, рассматривая моменты остановки и области непрерывности С и исполнения £, определенные выше. Любой момент остановки т для марковской цепи 5о, 5ь ..., 5ТО определяет (субоптимальную) цену

= (3)

и наоборот, сопоставляя величину /¿(з) каждой паре {и, в) так. чтобы Р]п(,з) — Кт(в), мы определим момент остановки соотношением

т = гшп{г е {1,2,..., т] : Мй) > ^(«(й))}. (4)

Область исполнения £, определяемая значением цены ^(в) в г-й момент исполнения, - это множество вида {5 : /г,;(в) > ^-(б*)}, а область непрерывности С представляет собой ее дополнение. Момент остановки можно также задать как первый момент, в который цепь 5г- попадает в область исполнения. Цена С .¡{в) американского опциона в области С задается соотношением

<ЗД = = в], г = 1,...,т - 1 (5)

и может быть вычислена с помощью рекурентных соотношений

Ст = О, С;0) = ^[тах{^+1(5ш),(7г+1(^+1)}|5г = в], г = 0,...,т-1.

(6)

Цена опциона совпадает с величиной СДз) = СЬ(5о)-

Значения ^ определяют цену С^з) в области продолжения с помощью соотношений = = 5] и наоборот значения С^з) поз-

воляют задать Ц(в) = тах{/г,; (й),С\(з)},г = 1 ,...,т, так, что, зная

Сг(з) , мы получим

Цель работы. Целью диссертационной работы является разработка численных методов расчета безарбитражных цен американских опционов в различных моделях финансовых рынков, построение алгоритмов и создание программ. позволяющих реализовать эти алгоритмы.

Для достижения этой цели необходимо решить следующие задачи:

1) разработать и исследовать модели современных финансовых рынков, позволяющие, в частности, учитывать влияние рейтинга компании на цену ее акций и непостоянство волатильности динамики базовых активов:

2) вывести уравнения для расчета безарбитражных цен американских опционов в этих моделях:

3) разработать аналитические и численные методы решения задачи со свободной границей для ряда эллиптических и параболических уравнений, а также интегро-дифференциальных уравнений, основанные на вероятностных представлениях ее решения;

4) на основе развитых в п. 3 методов создать алгоритмы расчета справедливых цен американских опционов;

5) разработать эффективные программы, реализующие эти алгоритмы, и проанализировать результаты численных экспериментов.

Математическая постановка соответствующих задач приводит к необходимости решения задачи со свободной границей для параболических и интегро-дифференциальных уравнений и тесно связана с теорией марковских процессов и теорией стохастических дифференциальных уравнений. Поэтому нашей задачей является также исследование свойств решений соответствующих стохастических дифференциальных уравнений.

Методы исследования. Для решения поставленных задач использовались методы и результаты классической и современной теории уравнений в частных производных, теории стохастических уравнений, теории марковских цепей и марковских диффузионных и скачкообразных процессов. Программирование осуществлялось в среде МАТЬАВ и на языке С .

Научная новизна диссертационного исследования состоит в следующем:

1) предложены новые модели, позволяющие учитывать в портфеле наличие акций, стоимость которых зависит от рейтинга компании, а также модель с аффинной стохастической волатильностью. обобщающая модель Хестона;

2) разработаны новые модификации численных методов построения решения краевых задач для ряда уравнений в частных производных, основанные на вероятностных представлениях соответствующих решений:

3) показано, что численная схема, построенная на основе вероятностного подхода, к решению задачи со свободной границей в модели Блэка-Шоулса дает результаты, близкие к результатам, полученным другими численными методами. Показана также эффективность разработанных в диссертации численных схем при нахождении цен американских опционов в более сложных моделях таких, как модели с переключениями, аффинные модели и модели типа Мертона:

4) разработан комплекс программ, позволяющих получить численные решения задачи со свободной границей для уравнений и систем параболического и эллиптического типа, а также для некоторого класса интегро-дифференциальных уравнений.

Теоретическая и практическая значимость. Теоретическая значимость исследования состоит в разработке двух модифицированных моделей финансового рынка, позволяющих учитывать влияние рейтинга компании на цены ее акций и/ил и непостоянство волатильности, а также в построении вероятностных представлений решения задачи со свободной границей для системы параболических уравнений, описывающих цены опционов в этих моделях. а его практическая значимость заключается в создании комплекса компьютерных программ, который позволяет находить численные решения задачи со свободной границей для эллиптических и параболических уравнений, а также интегро-дифференциальных уравнений, возникающих в математических моделях финансовых рынков.

При этом разработанные алгоритмы и программы, реализующие их, могут использоваться как для анализа динамики фондовых рынков и расчета цен производных ценных бумаг, в частности цен американских опционов, так и для решения задач со свободной границей, возникающих в других областях - в математической физике, теоретической биологии и других.

Полученные в диссертации результаты будут полезны для финансовых аналитиков и используются в у чебном процессе при чтении курсов лекций но финансовой математике и теории арбитража.

На защиту выносятся следующие результаты:

1) модифицированные модели финансового рынка, позволяющие учитывать влияние различных факторов на безарбитражные цены контрактов;

2) численные методы расчета цен американских опционов в модифицированных моделях финансового рынка, основанные на вероятностных представлениях решений рассматриваемых задач;

3) комплекс программ, позволяющий получить численные решения задачи со свободной границей.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на ряде научно-практических конференций:

- на 61-й, 62-й и 63-й Международной научно-технической конференции молодых ученых (аспирантов, докторантов) и студентов "Актуальные проблемы современного строительства" СПбГАСУ (2008, 2009, 2010гг.);

- на 66-й, 67-й и 68-й научной конференции профессоров, преподавателей, научных работников, инженеров и аспирантов университета СПбГАСУ (2009, 2010, 2011гг.);

- на Российской школе-конференции "Математика, информатика, их приложения и роль в образовании", Москва, РУДЫ, 14-18 декабря 2009г.;

- на международной конференции "Modern Stochastics: Theory and Applications II", Киев, Украина, 7-11 сентября 2010г.;

- на научной конференции преподавателей, аспирантов и студентов Новгородского государственного университета им. Ярослава Мудрого, Великий Новгород, март-апрель 2011г.;

- на международной конференции "Third Northern Triangular Seminar", Санкт-Петербург, 11-13 апреля 2011г.

Работа поддержана грантом для студентов, аспирантов, молодых ученых, молодых кандидатов наук вузов и академических институтов расположенных на территории Санкт-Петербурга. Диплом серия ПСП №10577, номер гранта 2.1 /02-06/01 б (2010 год). Тема проекта: "Развитие численных методов, основанных на вероятностных подходах к решению задач оптимального управления и задач со свободной границей для параболических уравнений".

Также работа выполнена при финансовой поддержке СПбГАСУ, проект №4-Ф-11 (2011-2012 гг.). Тема проекта: "Развитие вероятностных методов решения краевых задач для нелинейных задач математической физики и фи-

нансовой математики".

Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в 10 работах, в том числе 3 работы в научных журналах, рекомендованных перечнем ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и двух приложений. Библиография содержит 52 наименования. Общий объем работы 148 страниц.

Содержание работы.

Во введении обоснована актуальность темы, сформулирована цель работы и задачи, которые приходится решать для достижения этой цели, основные научные положения, выносимые на защиту, показана нау чная новизна и практическая значимость полученных диссертации результатов. Приводятся также основные результаты диссертационной работы.

В первой главе приводится математическое описание основных объектов и структур финансового рынка, рассматриваемых в диссертации, формулируются различные постановки задачи нахождения справедливой цены американских опционов в ряде моделей финансового рынка.

В параграфе 1.1 вводится определение финансового рынка, самофинансируемого портфеля, арбитража и безарбитражной цены финансового инструмента (базового актива, производной ценной бумаги, платежного обязательства и т.д.). Далее формулируются различные варианты постановки задачи нахождения цены американского опциона - как на языке теории случайных процессов, так и на языке краевых задач для уравнений в частных производных. При этом цена американского опциона определяется либо соотношениями А), В) вида

A) F{t,s) = sup Et,s[e-r{T-4{S{T))], s £ R+:

B) F(t,s)= sup Eule-^^HSirs*))}, S*(r),T€[t,T\

где ts* момент первого выхода процесса S на границу оптимального исполнения 3*(в), 0 G [t,T], которая определяется в процессе решения задачи.

либо соотношениями С). О) вида

С)

Щ- + СР — г^ = о, F(M) = К-з,

Щ- + СЕ-гР< О,

^(Г, 5) = тах(£Г - 5,0) = [К - «]_

£ < Г, 5 > ^(Г),

г < г, 5 < * < г,

г < Г, 5 е

(где С - генератор марковского процесса 3{{), а 5*(/:) интерпретируется как неизвестная свободная граница),

О)

% + - г^ < 0,

в (0 ,Т)хД+, (¿,5) 6 [0,Г] х

+ =0 в (0,Т)хД+,

Здесь же приводится обзор литературы, посвященной задаче о нахождении справедливой цены опциона американского типа.

Далее рассматриваются различные модели финансовых рынков. Рассматриваемые модели постепенно усложняются, что позволяет учитывать различные факторы, влияющие на цены базовых активов на рынке. Также формулируются различные постановки задачи о нахождении цены американского опциона.

Параграф 1.2 посвящен различным вариантам постановки задачи нахождения цены американского опциона в классической модели Блэка-Шоулса. Эти постановки используются в дальнейшем для создания различных вычислительных схем и алгоритмов, позволяющих находить численные решения.

Модель Блэка-Шоулса (Б-Ш) - это модель финансового рынка, состоящего из двух активов - безрискового и рискового, цены В{9) и 3(9) которых удовлетворяют следующей системе уравнений

аВ{9) = гВ{9)й9, В (г) = 1,

dS{9) = S(9) [rd9 + adw{9)l S(t) = s, 0 < t < 9 < Г, где w(t) - винеровский процесс, заданный на вероятностном пространстве

(О, Т, Q).

Расчет справедливой цены для американского колл-опциона в модели Б-Ш приводит к необходимости решать задачу Коши

^+£BSF-rF = 0, F(T, s) = [s — К}+,

п т-1 QF , 1 1 i)d2F

где Lßsr — rs-j^ + a ПРИ рассмотрении пут-оициона или колл-

оициона на акции с выплатой дивидендов возникает необходимость решать

задачу со свободной границей [35]. Здесь приведён также явный вид для цены

бессрочного американского опциона в Б-Ш-модели.

Б-Ш-модель сыграла огромную роль в развитии финансовой математики - в ряде случаев она позволила явно решить задачу расчета справедливой цены опциона, а в других случаях подсказала эффективные пути для численного нахождения цены. Однако, современные финансовые рынки не удовлетворяют этой модели, что приводит к необходимости построения новых моделей, учитывающих влияние большего количества факторов.

В параграфе 1.3 рассматриваются постановки задачи о нахождении цен американских опционов в классической модели Мертона (М-модель), в которой цена базового рискового актива S(t) имеет как диффузионную, так и скачкообразную компоненту и удовлетворяет стохастическому уравнению

dS(9) = S(9-)

(г - 5)d9 + adw(9) + / (ez - l)(i{d9, dz)

Jr+

, S(t) = s,

где 0<1<9<Т, йг) - пуассоновская случайная мера на (О, Т7, О) с параметром = d9^т{dz) и = — йвк^х) - ком-

пенсированная пуассоновская случайная мера.

В этом случае роль оператора С, играет оператор См [17] вида

„ л 1 2 ъ&Р дР СмР = -¿О- + Г8-

/+ОС -OG

2 ds2 ds

F(t, sey) - F(t, s) - s(ey - 1)

dF' ds

ir{y)dy.

В параграфе 1.4 рассматривается рынок, на котором цены S\...., S<i рисковых базовых активов (т.е. акций различных компаний) могут зависеть не только от функционирования самих компаний, но и от общего состояния рынка или от рейтинга компании. Другими словами, делается предположение, что динамика цен рисковых активов задается СДУ вида

d

dSk{0) = Sk{e)[rd6 + kj(y(e))dwj{e)l Sk(t) = sk, к = 1,..., d, (7)

i=i

где у {в) £ Л4 - марковская цепь с конечным числом состояний Л4 = {1,... ,1,..., М} и генератором

м

ПвФ (s,l) = ^2С1т{8)[Ф(8,т)-Ф(811)]. (8)

т= 1

При этом цена американского опциона с контрактной функцией Ф(й, I) удовлетворяет либо задаче Коши (для колл-опциона)

+ + = I = 1,..., М, (9)

то= 1

жт,5) = ф/(в), (10)

где

j=i J к=1¿¿=1 г J либо соответствующей задаче со свободной границей. Вероятностное представление решения задачи (9), (10) задается теоремой 1.3.

Теорема 1.3. Пусть fi(t,s) = f(t,s,l){0 < t < Т, s £ Rd,l £ М) -классическое решение задами (9'), (10). Тогда оно допускает, вероятностное представление вида

fifos) = <Г>^ЕШ, [Ф(S(T),V(X))}, (Н)

где процесс S(0) удовлетворяет (7) и у(в) - скачкообразный процесс с генератором, 1ТЧ вида (8) .

Теорема 1.3 позволяет найти выражение для цены американского колл-оициона на акции, цены которых зависят от рейтинга компании. Соответствующие результаты для цены американского пут-оициона получены в главе 3.

Наконец, в параграфе 1.5 волатильноеть цены базового актива моделируется решением некоторого СДУ. С этой целью рассматривается аффинная модель финансового рынка (обобщенная модель Хестона), в которой динамика рискового актива относительно мартингальной меры С) задается следующей системой стохастических дифференциальных уравнений

(18(#) = + у/АЩ+Сёи)^)}, £(*) — з > О, 0 < £ < $ < Т,

_ (12)

= к^вг - у^йд + <ПУ/Щ&) + С(Ьо2{'&), у(г) = У>0. (13)

Здесь й\ ($) £ Я1, £ К1 - ф-винеровские процессы.

Е[&Ш1(гд)(1'Ш'2{'0)] = р(М. г, , 9\, ах, А, С и коэффициент корреляции р -заданные константы. Будем считать, что г, 0\, <7\ - положительны, коэффициент корреляции \р\ < 1, а константы Л и С удовлетворяют условию

(Ааг)2 <2к1(А91 + С),

гарантирующему положительность Ау($) + С для £ < $ < Т.

Обозначим С\ линейный оператор, действующий в пространстве С$(Я) по формуле

С\г = г в——I- к,1{в1 — V)-

дз ду

+2*(Лу + + + с)аV* + +

и пусть 5*(£, г>) делит область С = {(£, з, у)} С Я+ х Я+ х Я+] на, две части £ = [О, Т] х [0, 5*(£, г>)] х [0, оо), где оптимально исполнение опциона, и С = [0,Т] х [Б*(Ь,у),оо) х [0, оо), где исполнение опциона не оптимально. Задача нахождения безарбитражной цены американского пут-опциона я, у) в рассматриваемой модели, сформулированная как задача со свободной границей, имеет вид

ар

— + = С, (14)

dF

—- + CiF - rF < 0, (t,s,v)e£, (15)

(_/ (y

где С. S задаются соотношениями

F(t, s, v) — К — s, если S*(t> v) > s, то есть s G £, F(t, s, г>) > /\ — s, если г>) < s, то есть seC.

и S*(t,v) - неизвестная функция, подлежащая определению в процессе решения задачи. Соответствующие начальные и граничные условия имеют вид

lim Fit, s, v) = [A" - s]+, lim F(t, s, v) = K, lim F{t, s, v) = 0, (16)

s-J-0 s-toc

lim F(t,s,v) = K-S*(t,v), lim ^(M^) = t € [0,T\. (17)

s->S*(t,v) ' 8->S*(t,v) ds ' '

Полезным при этом оказывается следующее утверждение. Лемма 1.7. Пусть двумерный случайный процесс S(;d), v (0) (0 <t< $ < Т) удовлетворяет системе стохастических дифференциальных уравнений (12)-(13). Тогда случайные процессы X(i9). y(ß), заданные соотношениями = ехр(Х($)+да/(0)); v{&) = ^[(1 +a2cr2)y(i9)—C], удовлетворяют стохастическим уравнениям,

dX{ti) = + y/Widw^), X{t) = х,

dy(#) = к{9 - + *y/t№)dw2('&), y(t) = у,

'где Wi(t), W'2(t) - независимые винеровские процессы,

У

а(у) = г- ак{9 - у)

2(1-Р2)'

К = къ 0 = (в\А + С)(1 — р2), а = Aaiy/l - р2, а =

Р

A<Ji(l — р2)'

При этом замена переменных

5 = К<:': Kf(t,x,y) = (18)

Ф(в) = max (К - s,0) = Kmax{\ - г'' iri//.0) =

сводит задачу (14)-(15) к задаче с постоянными коэффициентами по переменной х и исключает смешанные производные.

Вторая глава посвящена развитию численных методов решения задачи Коши и задачи со свободной границей для параболических и интегро-дифференциальных уравнений и применению их к решению задачи нахождения справедливой цены американского опциона в Б-Ш-модели и М-модели.

В параграфах 2.1 и 2.2 ищется справедливая цена американского пут-онциона в Б-Ш-модели в постановке D) как с помощью разностной схемы Бренана. так и с помощью метода подвижной границы, чтобы в дальнейшем сопоставить полученные численные решения с решениями, полученными с помощью численных методов, основанных на вероятностных подходах. Здесь же приведены явные выражения для цен бессрочных опционов американского типа.

В параграфе 2.3 рассматривается решение линейной двойственной задачи методом штрафов как в Б-Ш-модели, так и в М-модели. Поскольку в М-модели оператор См уже не является эллиптическим оператором, то явное решение не удается получить даже для бессрочного опциона. Для получения численных решений в рамках метода штрафов линейная двойственная задача D) сводится к нелинейному уравнению вида

Ft + MF-rF + p(F^) = 0,

где p(F, Ф) - штрафное слагаемое и M. = Cbs или «M = Av • Далее это уравнение решается с помощью разностной схемы.

Третья глава посвящена разработке численных схем решения рассматриваемых задач, основанных на вероятностных представлениях цен американских опционов, и разработке соответствующих вычислительных алгоритмов.

Вероятностный подход к решению задачи со свободной границей, позволяет получить дополнительную информацию о структуре решения рассматриваемой задачи. В некоторых случаях он подсказывает способ получения явного решения задачи, а в других позволяет разработать эффективные численные схемы ее решения для параболических и интегро-дифференциальных уравнений, что является важной и актуальной задачей. В этой главе используются методы и результаты работ Kappa [36], а также Боярченко и Левен-

дорского [15.37].

В параграфе 3.1 рассматривается задача нахождения цены F(s) бессрочного американского опциона на акции с выплатой дивидендов в Б-Ш-модели. Цена F(s) задается соотношением F(s) = ы\ртеТ Es[e~rT <I>(S (т))}. которое в безразмерных координатах приобретает вид f(x) = f(x, h) = Ех\е-ГТкф{У{т}1))). Здесь ф(х) = К~ЩК(?) и

Y (в) =х + [г-б- \а2]{в -t) + a[w(0) - w(t)]

Ld

- диффузионный процесс с генератором Су, h — 1п[£(т*)] — In К и тh = т^ - момент оптимальной остановки процесса Y (в). При вычислении f(x) важную роль играют резольвентный оператор Ry процесса Y (в), В!уф(х) = Ех [j^ (Tqtф(У{t))d¡£\ , причем Ry(q — Су)ф = Ф, и тесно связанные с ним операторы £у,£+,£~ вида £уф(х) = дЩ,ф(х).

J гос />0

1 е~!3+уф{х + y)dy, £~ф{х) = -/Г / е~Р~уф{х + y)dy, 0 J-оо

где /3~ - корни квадратного уравнения —^¡З2 — (г — ó — + q = 0.

Используя соотношение £yf = £+£~~f = £~£+f, представляющее собой частный случай факторизации Винера-Хопфа [38] и справедливое для любой ограниченной измеримой функции /, доказывается следующее утверждение.

Лемма 3.1. Пусть функция д(х) = (г — Су)ф непрерывна, монотонна (не убывает или не возрастает), изменяет знак и удовлетворяет некоторым дополнительным; условиям. Тогда f(x, h) допускает представление

f(x,h) = h{xji) = r~1(£+I{h^oc)£~g)(x), если g(-oo) < 0 < g(oo), или /О, h) = f2(x, К) = r~1{£~Ii_00jl)£+g){x), если g(-oo) > 0 > g(oo).

Используя теорему Дынкина и связи между введенными выше операторами можно найти оптимальное значение h как корень уравнения т(х) = £~g{x) = Eg(x + Z~) — 0 и явное выражение для функции fi(x,h) вида h{x,h) = r-1£+I(h_oc)£-g){x) =r-1E[I{h^)(x + Z+)m(x + Z+)}, где - экспоненциально распределенные случайные величины со значениями в [0, оо) и (—оо,0] соответственно с параметрами [z^]"1.

Отметим еще одну важную интерпретацию операторов 8у и £+, 8". Пусть Т - экспоненциально распределенная случайная величина со средним г-1, не зависящая от процесса У(£). Плотность распределения Т имеет вид ге~н и. следовательно, £уд{%) = Е[д(х + У(Т))}. Рассмотрим, наряду с процессом У(£), также процессы У(£) = вир0<в<4 У (в) и У (¿) = т^к.^ У(з). Известно, что У(Т) - это экспоненциально распределенная случайная величина на положительной полуоси со средним , а У (Т) - это экспоненциально распределенная случайная величина на отрицательной полуоси со средним -тр. Таким образом, действие операторов и £~ можно представить в виде

£+9{х) = Е\д{х + У(Т))} = гЕ

рос

/ e-rtg{x + Y{t))dt

Jo

рос

/ e-rtg{x + Y_{t))dt

J о

е-д(х) = Е[д(х + У(Т))]=гЕ

U о

Эта интерпретация и факторизация Винера-Хопфа для процесса Леви позволяют получить соответствующие выражения для цены бессрочного опциона и границы оптимального исполнения в модели Мертона.

Параграфы 3.2 и 3.3 посвящены расчету безарбитражных цен опционов американского типа с конечным сроком действия Т в Б-Ш-модели и М-модели. Как и в случае бессрочных опционов, рассматриваемая задача сводится к задаче со свободной границей для параболического уравнения с постоянными коэффициентами. Для решения этой задачи используется метод рандомизации Kappa [36]. который представляет собой следующую трехша-говую процедуру.

Шаг 1. Рассмотрим американский опцион с конечным сроком действия Т и соответствующий ему американо-канадский опцион с датой исполнения т, где т - это экспоненциально распределенная случайная величина со средним Ет = А-1 = Т. Пусть pi{s) — Е [е"ггФ(5(т))] - цена этого опциона.

Шаг 2. Найдем цену pn(s) американо-канадского опциона с датой исполнения г"', где тп - это сумма п независимых экспоненциально распределенных случайных величин с параметрами А& = тр. При этом распределение случайной величины т" = Ylk=iTk имеет вид

Р{т" € dt} = , sAn-le~xtdt, (п— 1)!

И Етп = Т.

Шаг 3. Зададим pn(i, s) с помощью некоторой рекурентной процедуры, основанной на задании p"(s) и перейдем к пределу при п оо, чтобы получить цену исходного американского опциона, имеющего силу до момента Т.

Для того, чтобы объяснить смысл третьего шага, заметим, что распределение случайной величины тп сходится к дельта функции Дирака, сосредоточенной в точке Л-1 = Т. При этом, если для непрерывной функции д(1) определить g* (Т) по формуле

лос (rvt\n-î

Jo {п — 1)! Т

то получим linin^oc g* (T) = д(Т), что и лежит в основе метода рандомизации Kappa.

В Б-Ш-модели процедура нахождения цены американского опциона с конечным сроком действия имеет следующий вид. Пусть Т - фиксированная дата исполнения опциона. Разделим интервал [О, Т) на п подинтервалов О = to <•••< tn = Т и обозначим А = tk+i — tk и q = А"1 + г. Аппроксимацию границы hk оптимального исполнения на интервале (tk,tk+1) и аппроксимацию fk функции f(t}-7 х) построим, используя обратную индукцию. Для к — п положим fn{x) = ф{х), а для к = п— 1, п—2,..., зададим fk как решение дискретизованного по времени варианта задачи в постановке С) (после перехода к безразмерным координатам) на интервале [tk, tk+i] с оптимальной границей исполнения, определяемой так, чтобы максимизировать }'к{х), т.е. рассмотрим задачу

(q - Ly)fk(x) = A~1fk+1(x), х > hk, (19)

fk(x) = ф(х), x < hk, (20)

где Lyf = (r — y)Jx + yÎxx ~ генератор марковского процесса Y(t).

Отметим, что задачу (19), (20) можно получить в результате применения преобразования Лапласа-Кареона к задаче С)

на интервале [tk, tk-fi] ; что в точности соответствует рандомизации момента tk+i исполнения опциона, рассматриваемого на интервале 1] •

На интервале tk+l] граница оптимального исполнения - это константа кк и процедура определения /А" и состоит в следующем:

при к = п зададим /п = , а при к = п — 1, п — 2,... пусть

е-^-^СУСт*))] ,

где тк - это оптимальный момент остановки, максимизирующий величину /к(х). В соответствии с теоремой Дынкина }'к{х) удовлетворяет задаче (19), (20), и тк - это первый момент попадания процесса У{1) в интервал (—оо, 1ък].

Наконец, доказывается следующее утверждение, позволяющее сформулировать алгоритм численного решения рассматриваемой задачи.

Теорема 3.5. Пусть функция д(х) = (г — Ьу)ф удовлетворяет некоторым дополнительным условиям. Тогда для, к = п— 1, п—2,..., 0 и /к — /к—ф справедливы следующие утверждения:

1) функция ук = (А^1 /к+1 — (г — Ьу)ф) является неубывающей функцией, имеющей единственный ноль при х = Ьк, т.е. Нк - корень уравнения ук(х) = 0;

2) т^ - оптимальный момент остановки;

3) /к = (Г18;1{}1кМик;

4) +

5) Функция у не убывает и обращается в ноль при х < Ь^ .

Наконец, в 3.4 и 3.5 параграфах разработаны аналогичные алгоритмы

для нахождения безарбитражных цен американских опционов, как бессрочных, так и с конечным сроком действия, в модели с переключениями и в обобщённой модели Хестона. В этом случае задача отыскания цены американского опциона сводится к решению задачи Коши или задачи со свободной границей для системы уравнений.

В заключении приведены выводы по диссертационной работе.

Разработанные в диссертации численные схемы и вычислительные алгоритмы, построенные на их основе, были реализованы в виде комплекса программ. Реализация этих схем, проведение численных экспериментов и полученные результаты представлены в диссертации в приложении В. При этом в приложении А приведен ряд основных фактов из теории процессов

1к{х) = Ех

+ ЕХ

Леви и теории стохастических дифференциальных уравнений, которые были использованы при проведении исследования.

Основные результаты диссертационной работы отражены в следующих публикациях.

Публикации в журналах, входящих в перечень ВАК ведущих периодических изданий

1. Белопольская, Я. И. Вероятностный подход к задаче со свободной границей и расчет цен американских опционов / Я. И. Белопольская, М. М. Ромаданова // Записки научных семинаров ПОМИ. - СПб.. 2010. -Т. 384. - С. 40-77.

2. Белопольская, Я. И. Вероятностные представления решений краевых задач для систем параболических уравнений / Я. И. Белопольская. М. М. Ромаданова // Вестник гражданских инженеров. - 2011. - № 4 (29). -С. 149-155.

3. Ромаданова, М, М. Расчет цен бессрочных американских опционов в обобщенной модели Хестона / М. М. Ромаданова // Вестник гражданских инженеров. - 2012. - № 2 (31). - С. 350-354.

Публикации в других изданиях

4. Ромаданова, М. М. Расчет безарбитражных цен американских опционов / М. М. Ромаданова // Актуальные проблемы современного строительства: сб. материалов 61-й Международной научно-технической конференции молодых ученых / Санкт-Петербургский гос. архит.-строит. ун-т. -СПб.. 2008. - Ч. IV. - С. 106-114.

5. Ромаданова, М. М. Расчет цен американских опционов в модели со скачками / М. М. Ромаданова // Актуальные проблемы современного строительства: сб. материалов 62-й Международной научно-технической конференции молодых ученых / Санкт-Петербургский гос. архит.-строит. ун-т. -СПб., 2009. - В 5 ч. Ч. I. - С. 117-122.

6. Белопольская, Я. И. Расчет цен американских опционов в моделях со скачками / Я. И. Белопольская, М. М. Ромаданова // Математика, информатика, их приложения и роль в образовании : тезисы докладов Российской школы конференции. - М.: РУДН, 2009. - С. 27-30.

7. Ромаданова, М. М. Расчет цен американских опционов в моделях финансовых рынков с диффузией и скачками / М. М. Ромаданова // Докла-

ды 67-й научной конференции профессоров, преподавателей, научных работников, инженеров и аспирантов университета / Санкт-Петербургский гос. архит.-строит. ун-т. - СПб, 2010. - В 5 ч. Ч. IV. - С. 128-133.

8. Ром,адапова, М. М. Расчет цен американских опционов в модели Хе-стона / М. М. Ромаданова // Актуальные проблемы современного строительства: 63-я Международная научно-техническая конференция молодых ученых / Санкт-Петербургский гос. архит.-строит. ун-т. — СПб, 2010. — В 3 ч. Ч. I. - С. 127-132.

9. Belopolskaya, Ya„ American option pricing in various financial market models / Ya. Belopolskaya, M. Romadanova /7 Abstracts of International Conference: Modern Stochastics: Theory and Applications II. - Kyiv: Taras Shevchenko National University of Kyiv, Ukraine, 2010. - P. 52.

10. Romadanova, M. American option pricing in stochastic volatility models / M. Romadanova // Programme and Abstracts of Third Northern Triangular Seminar. - St.Petersburg, 2011. - P. 17-19.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Ромаданова, Мария Михайловна

Основные результаты диссертационной работы состоят в следующем.

1. Предложены модификации моделей финансовых рынков, позволяющие учитывать влияние различных факторов на цены базовых активов, в частности, влияние рейтинга компании на цену ее акций или влияние состояния рынка на эту цену. В этом случае рейтинг компании рассматривается как некоторый скачкообразный слу чайный процесс с дискретным множеством состояний. При этом задача отыскания цен американских опционов типа колл-опциона на акции приводит к рассмотрению задачи Коши для системы параболических уравнений, а пут-опциона на акции - к соответствующей задаче со свободной границей для системы параболических уравнений.

Предложена также модификация модели Хестона - аффинная модель (обобщенная модель Хестона). в которой динамика рискового актива S(t) относительно мартингальной меры Q задается следующей системой стохастических дифференциальных уравнений dS(tf) = + y/Av{ti) + Cdwi{ti)\, S(t) = s > 0, 0 < t < tf 0.

Здесь w>i($) G R1, uhiß) G Rl Q-винеровские процессы, E[dw\('d)dw2('â)] = pd/â. г, к\, 9\, о\, A, С и коэффициент корреляции р -заданные константы. Коэффициенты г, 9\. 0\ - положительны, коэффициент корреляции \р\ < 1, а константы А и С удовлетворяют условию

Ааг)2 < 2к1(А91 + С), гарантирующему положительность Avfö) + С для t < i) < Т.

2. При исследовании модифицированных моделей было обнаружено, что классические численные методы оказываются мало эффективны при нахождени и цен американских опционов в сложных моделях. Классические численные методы: метод подвижной границы, метод штрафов, численный метод решения системы конечномерных неравенств - работают практически одинаково (но точности и по времени вычислений) в модели Блэка-Шоулса (одномерной по пространственной переменной), но мало эффективны при расчете более сложных моделей, например, модели со скачками или модели Хестона. В связи с этим были разработаны численные методы на основе вероятностных представлений решений задачи со свободной границей. Эти методы были использованы для нахождения цен американских опционов в модели с переключениями и в обобщенной модели Хестона.

3. Методы, разработанные в диссертации, были протестированы на модели Блэка-Шоулса и было показано, что они дают результаты, совпадающие с результатами известных численных методов.

4. Разработан комплекс программ, позволяющий получать численные решения задачи со свободной границей для некоторых классов эллиптических, параболических и интегро-дифференциальных уравнений и систем, соответствующей следующим математическим моделям финансового рынка:

- модели Блэка-Шоулса,

- модели со скачками (модели типа Мертона) при различных видах плотности меры Леви,

- модели с переключениями,

- обобщенной модели Хестона.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ромаданова, Мария Михайловна, 2012 год

Литература

[1] Ширяев, А. Н. Основы стохастической финансовой математики. Т. 1. Факты, Модели. / А. Н. Ширяев // М.: ФАЗИС. - 1998. - 512 с.

[2] Ширяев, А. Н. Основы стохастической финансовой математики. Т. 2. Теория. / А. Н. Ширяев // М.: ФАЗИС. - 1998. - 544 с.

[3] Мельников, А. В. Финансовые рынки: стохастический анализ и расчет производных ценных бумаг. / А. В. Мельников // М.: ТВП Научное изд-во. - 1997. - 130 с.

[4] Мельников, А. В. Математические методы финансового анализа / А. В. Мельников, Н. В. Попова, В. С. Скорнякова // М.: АНКИЛ. -2006. - 440 с.

[5] Фелъмер, Г. Введение в стохастические финансы. Дискретное время / Г. Фельмер, А. Шид // М.: МДНМО. - 2008. - 496 с.

[6] Бьорк, Т. Теория арбитража в непрерывном времени. / Т. Бьорк // М.: МЦНМО. - 2010. - 560 с.

[7] Ширяев, А. Н. К теории расчетов опционов Европейского и Американского типов. II. Непрерывное время / А. Н. Ширяев, Ю. М. Кабанов, Д. О. Крамков, А. В. Мельников // М.: ТВП. - 1994. - № 1 (39). -

C. 80-129.

[8] Wilmott, P. Option pricing. Mathematical models and computation / P. Wilmott, J. Dewynne, S. Howison // Oxford Financial Press. - 1994. -457 p.

[9] Lambert,on, D. Introduction to stochastic calculus applied to finance /

D. Lamberton, B. Lapeyre // London: Chapman & Hall. - 1996. - 200 p.

flO] Achdou, Y. Computational methods for option pricing. Frontiers in applied mathematics / Y. Achdou, O. Pironneau // Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM). - 2005. - 297 p.

[11] Jaillet, P. Variational inequalities and the pricing of American options / P. Jaillet, D. Lamberton, B. Lapeyre // Acta Applicandae Mathematieae. -1990. - № 3 (21). - P. 263-289.

[12] Wilmott, P. The mathematics of financial derivatives / P. Wilmott, S. Howison, J. Dewynne // Cambridge: Cambridge Univ. Press - 1996. -317 p.

[13] Almendral, A. Numerical valuation of American options under the CGMY process. В книге Exotic Option Pricing and Advanced Le'vy Models. / A. Almendral Ed. A. Kyprianou, W. Schoutens, P. Wilmott // Wiley. -2005. - 344 p.

[14] Musiela, M. Martingale methods in financial modelling / M. Musiela, M. Rutkowsky // Berlin: Springer Verlag. - 1997.

[15] Boya,rchenko, S. I. Irreversible decisions under uncertainty: optimal stopping made easy / S. I. Boyarchenko, S. Z. Levendorskii // Berlin: Springer -Verlag. - 2007. - 283 p.

[16] Kwok, Y. K. Mathematical models of financial derivatives / Y. K. Kwok // Springer Finance, 2nd ed. - 2008. - 386 p.

[17] Cont, R. Financial modelling with jump processes / R. Cont, P. Tankov //' Chapman & Hall CRC Press. - 2009. - 543 p.

[18] Pham, H. PDE formulation survey. В книге Encyclopedia of Quantitative Finance, Wiley, ed. R. Cont.

[19] Black, F. The pricing of options and corporate liabilities / F. Black, M. S choies /,/ Journal of Political Economy. - 1973. - № 3 (81). - P. 637-654.

[20] Merton, R. C. Theory of rational option pricing / R. C. Merton // Bell Journal of Economics and Management Science. - 1973. - № 1 (4). - P. 141183.

[21] McKean, H. P. Appendix: a free boundary problem for the heat equation arising from a problem in mathematical economics / H. P. McKean // Industrial Management Review. - 1965. - № 6. - P. 32-39.

[22] Carr, P. The fine structure of asset returns: an empirical investigation / P. Carr, H. Geman, D. Madan. M. Yor // Journal of Business. - 2002. -№ 2 (75). - P. 305-332.

[23] Carr, P. Alternative characterizations of American put options / P. Carr. R. Jarrow, R. Myneni // Mathematical Finance. - 1992. - № 2 (2). - P. 87106.

[24] Friedman, A. The free boundary for variational inequalities with nonlocal operators / A. Friedman. M. Robin // SIAM J. Control Optim. - 1978. -№ 2 (16). - P. 347-372.

[25] Wang, I. R. Robust numerical valuation of European and American options under the CGMY process / I. R. Wang. J. W. L. Wan. P. A. Forsyth //' The Journal of Computational Finance. - 2007. - № 4 (10). - P. 31-69.

[26] Alili, L. Some remarks on first passage of Le'vy processes, the American put and pasting principles / L. Alili, A. E. Kyprianou // The Annals of Applied Probability. - 2005. - № 3 (15). - P. 2062-2080.

[27] Jacka, S. D. Optimal stopping and the American Put / S. D. Jacka // Mathematical Finance. - 1991. - № 2 (1). - P. 1-14.

[28] Pham, H. Optimal stopping, free boundary, and American option in a jump-diffusion model / H. Pham /'/ Appl. Math. Optim. - 1997 - № 35. -P. 145-164.

29] Brennan, M. J. The valuation of American put options / M. J. Brennan, E. S. Schwartz // Journal of Finance. - 1977. - № 32 - P. 449-462.

30] Forsyth, P. A. Quadratic convergence for valuing american options using a penalty method / P. A. Forsyth, K. R. Vetzal // SIAM Journal on Scientific Computing. - 2002. - № 6 (23). - P. 2095-2122.

[31] Cherubini, U. Fourier transform methods in finance / U. Cherubini, G. Lunga, S. Mulinacci, P. Rossi // Wiley Finance. - 2009. - 256 p.

[32] Lord, R. Fourier methods in options pricing. Encyclopedia of quantitative finance / .R. Lord // Wiley. - 2010.

[33] Lord, R. A fast and accurate FFT-based method for pricing early-exercise options under Levy processes / R. Lord, F. Fang, F. Bervoets, C. Oosterlee // SIAM J. on Scientific Computing. - 2008. - № 4 (30). - P. 1678-1705.

[34] Chiarella, C. American call options on jump-diffusion processes: a Fourier transform approach / C. Chiarella, A. Ziogas // Quantitative Finance Research Centre, Research Paper Series. - 2006. - № 174.

[35] Detemple, J. American-style derivatives: valuation and computation / J. Detemple // New York: Chapman & Hall / CRC Financial Mathematics Series. - 2005. - 248 p.

[36] Carr, P. Randomization and the American put / P. Carr // Rev. Financ. Stud. - 1998. - № 11 (3). - P. 597-626.

[37] Boyarchenko, S. I. Non-Gaussian Merton-Black-Scholes theory / S. I. Boyarchenko, S. Z. Levendorskii // Singapore: World Scientific. - 2002. -398 p.

[38] Sato, K. Levy processes and infinitely divisible distributions / K. Sato // Cambridge: Cambridge University Press. - 1999. - 486 p.

[39] Oksendal, B. Applied stochastic control of jump diffusions / B. Oksendal, A. Sulem // Springer. - 2005. - 208 p.

[40] Heston, S. L. A closed-form solution for options with stochastic volatility with applications to bond and currency options / S. L. Heston // The Review of Financial Studies. - 1993. - № 2 (6) - P. 327-343.

[41] Muthuraman, K. A moving boundary approach to American option pricing / K. Muthuraman // Journal of Economic Dynamics and Control. - 2008. -№ 11 (32). - P. 3520-3537.

[42] Fleming, W. H. Controlled Markov processes and viscosity solutions / W. H. Fleming, H. M. Soner // Springer. - 2006. - 448 p.

[43] Friedman, A. Variational principles and free-boundary problems / A. Friedman 11 N.Y.: Wieley. - 1982. - 710 p.

[44] Бородин, А. Справочник но броуновскому движению / А. Бородин, П. Салминен // СПб.: Лань - 2000. - 640 с.

[45] Оксендалъ, Б. Стохастические дифференциальные уравнения. Введение в теорию и приложения / Б. Оксендаль // М.: Мир. - 2003. - 408 с.

[46] d'Halluin, Y. A penalty method for American options with jump diffusion processes / Y. d'Halluin, P. A. Forsyth, G. Labahn // Numerische Mathematik: Springer. - 2004. - № 2 (97). - P. 321-352.

[47] Huang, Y. Methods for pricing American options under regime switching / Y. Huang, P. A. Forsyth, G. Labahn // SIAM Journal on Scientific Computing. - 2011. - № 5 (33). - P. 2144-2168.

[48] Ватапабэ, С. Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы / С. Ватанабэ, Н. Икэда // М.: Наука. - 1986. - 445 с.

[49] Boyarchenko, S. I. Exit problems in regime-switching models / S. I. Boyarchenko, S. Z. Levendorskii // Journal of Mathematical Economics. - 2008. - № 2 (44) - P. 180-206.

[50] Fahuai, Yi. American put option with regime-switching volatility (finite time horizon) - variational inequality approach / Yi Fahuai // Mathematical Methods in the Applied Sciences. - 2008. - № 12 (31) - P. 1461-1477.

[51] Adolfsson, T. Pricing American options under stochastic volatility / T. Adolfsson, C. Chiarella. A. Ziogas // Quantitative Finance Research Centre, University of Technology, Sydney. - 2009. - Working paper.

[52] Chiarella, C. The evaluation of American option prices under stochastic volatility and jump-diffusion dynamics using the method of lines / C. Chiarella, B. Kang, G. H. Meyer, A. Ziogas ,// Journal of Theoretical and Applied Finance. - 2009. - № 3 (12). - P. 393-425.