Развитие численных методов для математического моделирования нахождения значений собственных функций возмущенных самосопряженных операторов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Какушкин, Сергей Николаевич

• Какушкин, Сергей Николаевич
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Какушкин, Сергей Николаевич

Содержание

Введение

1 Дискретные операторы. Регуляризованные следы операторов

1.1 Основные понятия

1.2 Дискретные операторы

1.3 Свойства дискретных операторов

1.4 Метод регуляризованных следов вычисления собственных чисел возмущенной спектральной задачи

2 Метод нахождения значений первых собственных функций возмущенных самосопряженных операторов

2.1 Функциональные ряды „взвешенных" поправок теории возмущений

2.2 Нахождение „взвешенных" поправок теории возмущений

2.3 Вычисление значений собственных функций возмущенных самосопряженных операторов

2.4 Алгоритм нахождения значений собственных функций возмущенных операторов методом регуляризованных следов

2.5 Описание пакета программ „Нахождение значений собственных функций возмущенных самосопряженных операторов методом регуляризованных следов"

3 Математические модели задач нахождения значений

собственных функций

3.1 Спектральная задача для возмущенного оператора Ла-

пласа

3.2 Математическая модель плоскопараллельного течении вязкой несжимаемой жидкости

3.3 Алгоритм нахождения значений собственных функций задачи Орра-Зоммерфельда

3.4 Математическая модель электрических колебаний в протяженной линии

3.5 Алгоритм вычисления значений собственных функций задачи Штурма-Лиувилля

Заключение

Список литературы

Приложение 1. Результаты вычисления значений собственных функций возмущенного оператора Лапласа

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Развитие численных методов для математического моделирования нахождения значений собственных функций возмущенных самосопряженных операторов»

Введение

Постановка задачи. Рассмотрим задачу о нахождении собственных функций оператора Т + Р:

(т + р)и =

/ш,

где Т - дискретный полуограниченный снизу оператор, а Р - ограниченный оператор, заданные в сепарабельном гильбертовом пространстве Н с областью определения в £). Предположим, что известны собственные числа {Лтг}^11 оператора Т, занумерованные в порядке неубывания их действительных величин, и ортонорми-рованные собственные функции {г;тг(аг)}^=1з отвечающие этим собственным числам. Пусть собственные функции {^(ж)}^ образуют базис в Н. Обозначим через ип кратность собственного числа Ап, а количество всех неравных друг другу Ап, лежащих внутри

окружности 1щ радиуса рПо = --- с центром в начале ко-

£

ординат комплексной плоскости, через по- Пусть - собствен-

ные числа оператора Т + Р, занумерованные в порядке неубывания их действительных частей, а {«п^)}^! ~ соответствующие им собственные функции. Если для всехп > по, выполняются неравенства 2\\Р\\

~ Г\- Г ^ т0ГДа линейный оператор Т+Р является дискретным и внутри окружности ТПо находится одинаковое количество собственных значений операторов Т и Т + Р (см., напр. [92], гл. 5,

По

§ 4, лемма 3). При этом то = ^ ип собственных функций оператора

п=1

Т + Р являются решениями системы нелинейных уравнений [85]:

то то Ь

з=1 ¿=1 к=1

(0.1)

Здесь

= 1 \р[КТ{х,гк,Х) о Ргк]к о КТ{гк,у,Х)<1\

т

по

к-тые поправки теории возмущений к „взвешенной" спектральной функции оператора Т + Р целого порядка р; Кт(х, у, Л) - ядро резольвенты 11\(Т) оператора Т; операция „о" вводится по правилу

(К о Р О у, Л) = J к(х, г, \)Р2(Э(г, у,

С 1 00 м

а ж, г/) = X) ат (то, х,у), № Е N - остатки сумм функ-

т=£+1

циональных рядов Рэлея-Шредингера.

Правые части уравнений (0.1) явно выражаются через характеристики невозмущенного оператора Т и возмущающего оператора Р, а „взвешенные" поправки теории возмущений а£\то, х, у) вычисляются с помощью теории вычетов.

Система уравнений (0.1) позволяет разработать новый численный метод нахождения значений собственных функций возмущенных самосопряженных операторов. Идея метода, названного авторами методом регуляризованных следов (РС)[36], впервые была высказана В. А. Садовничим и В. В. Дубровским в работе [85] и состоит в следующем. Составим систему нелинейных уравнений (0.1) относительно шо произведений щ(х)щ(у) = 1,шо) собственных функций возмущенного оператора Т + Р. Собственные числа ¡лп возмущенного оператора Т+Р, стоящие в левой части составленной системы уравнений (0.1) могут быть найдены известными методами, к примеру, по простым формулам, полученным в работе С. И. Кадченко [37]. Определитель системы (0.1) является определителем Вандермонта,

отличным от нуля, следовательно, система имеет единственное решение.

Предельные абсолютные погрешности найденных значений произведений ип(х)йп(у) первых собственных функций оператора Т+Р в узлах дискретизации будут зависеть от того с какой точностью

вычислены собственные числа оператора Т + Р и с какой

00 , .

точностью найдены суммы функциональных рядов ^ а:^ (гао, х, у)

к=1

„взвешенных" поправок теории возмущений.

Чтобы метод можно было применять для численных расчетов необходимо:

1. Построение математических моделей нахождения значений первых собственных функций задач Орра-Зоммерфельда, электрических колебаний в протяженной линии, спектральных задач для возмущенного оператора Лапласа.

2. Создание эффективных алгоритмов вычисления значений „взвешенных" поправок теории возмущений а^\гпо,х^у) оператора Т + Р.

3. Разработка способов оценки сходимости метода и нахождение предельных абсолютных погрешностей вычисления значений первых собственных функций оператора Т+Р.

4. Разработка численного метода вычисления значений собственных функций ип(х) из произведений вида ип(х)йп(у).

5. Программная реализация алгоритма метода регуляризованных следов нахождения значений собственных функций возмущенных самосопряженных операторов.

Процесс математического моделирования состоит из трех основных этапов: создания математической модели, разработки на ее ос-

нове алгоритмов вычислений и написания пакетов программ, позволяющих проводить на ЭВМ вычислительные эксперименты. В диссертации разработан новый метод вычисления значений собственных функций возмущенных самосопряженных операторов в узлах дискретизации, который лежит в основе математических моделей, позволяющих находить значения собственных функций спектральных задач для широкого класса операторов. Для проверки метода написаны пакеты программ в среде „Maple", использованные в численных расчетах. При сравнении метода PC с известными методами Крылова А. Н. и Данилевского А. М., показана его высокая эффективность.

Актуальность темы диссертации. Современные методы математического моделирования задач вычисления значений собственных функций возмущенных дискретных операторов основываются на составлении матрицы линейного оператора и нахождении собственных векторов этой матрицы. Суть метода А. М. Данилевского нахождения собственных векторов матрицы заключается в приведении векового определителя к нормальному виду Фробениуса. Согласно методу А. М. Данилевского, переход от исходной матрицы А размера пхпк подобной ей матрице Фробениуса В осуществляется с помощью 71—1 преобразований подобий, последовательно преобразующих строки матрицы А, начиная с последней, в соответствующие строки матрицы В. Сложности метода А. Н. Крылова связаны с решением системы линейных уравнений относительно коэффициентов характеристического полинома. При этом начальный вектор задается произвольно, что при неудачном его выборе может привести к тому, что система уравнений не будет иметь единственного решения.

Теория регуляризованных следов позволяет разработать численный метод основанный не на матричном представлении дискретных операторов, а на спектральных характеристиках невозмущенного оператора. При этом для нахождения значений собственных функций используются простые алгебраические формулы.

Толчком к развитию теории следов линейных операторов послужил фундаментальный результат линейной алгебры: инвариантность относительно выбора базиса матричного следа линейного оператора и совпадение его со спектральным следом. Большое количество задач современной теории операторов в гильбертовом пространстве появились в результате поиска аналогов инвариантного следа для операторов, заведомо не имеющих следа в обычном смысле. Вначале конечномерный результат перенесли на случай ядерных операторов, а именно, было доказано (см. [14]), что если оператор А -ядерный, то для любой пары {Ф}п=г) ортонормированных

базисов верно равенство

+оо +оо

<рп) = Фп) (0.2)

71= 1 П=1

и также верно равенство, известное как теорема В. Б. Лидского [46]:

+оо

(рп) = ^ Ап, (0.3)

п=1 п

где {Атг} - все собственные числа оператора А. Если А не имеет собственных чисел, то в правой части (0.3) стоит 0.

Классическая теория завершается этими результатами, так как здесь максимально охвачен весь класс операторов со следом. Далее начинается теория регуляризованных следов (РС) линейных операторов.

Первые результаты, являющиеся началом этой теории, были получены в 1947-52 годах И.М. Лифшицем (финальная работа серии статей - [48]), рассмотревший задачу о вычислении следа оператора F(L + А) — F(L), где L - невозмущенный эрмитов оператор, А -конечномерный оператор возмущения, F(x) - некоторая (принадлежащая достаточно широкому классу) функция. Там же был найден физический смысл формул регуляризованных следов: И. М. Лиф-шиц с помощью полученной формулы посчитал изменение свободной энергии кристалла при внедрении в него чужеродной примеси.

Началом теории PC дискретных операторов стала работа И. М. Гельфанда и Б. М. Левитана [13], в которой для оператора Штурма-Лиувилля

-у" + q{x)y = А у, у\0) = 0, у'(-к) = 0, (0.4)

7Г

q(x) 6 С1 [0,7г], при условии f g(x)dx = 0, была получена формула

о

00 1 п=О

где цп - собственные числа оператора (0.4), Ап =■ п2 - собственные числа того же оператора с g (ж) = 0.

Формула (0.5) послужила началом теории, которая началась с исследования конкретных операторов, а, затем, в общем виде охватила изучение регуляризованных следов дискретных операторов. В статьях [4], [12], [25], [26], [75] активно развивается абстрактное направление спектрального анализа. Сильный результат для конечномерных возмущений получен в [74], где были охвачены некоторые классы неограниченных возмущений. Наиболее интенсивно в этом направлении работают В.А. Садовничий и его ученики [1], [5], [6],

[9], [21] - [24], [52], [53], [64] - [70], [73], [76] - [78], [82], [89] - [91], [96], Муртазин Х.Х [3], [58] - [60], Хасанов A.B. [104].

Постановка задачи обобщения понятия следа для дискретных операторов ставится следующим образом: доказать соотношение

+оо

<рп) - {Афп, фп)) = О, (0.6)

п=1

аналогичное формуле (0.2) при расходимости ряда из матричных элементов оператора. Однако, без существенных уточнений в постановке вопроса формулы (0.2) и (0.6) эквивалентны. Это очевидно, так как, если ряд из матричных элементов расходится в некотором базисе {</?n}i£Lij то существует такая перенумерация векторов этого базиса, которую можно принять за другой базис {фп}™=1, так, что ряд (0.6) расходится. Следовательно, для любых пар базисов равенство (0.6) не выполняется для различных неядерных операторов А. Таким образом, разумная постановка основной задачи принимает вид: указать класс операторов А и соответствующий класс пар базисов ({<Аг}п^=ъ (^nj^Li), Для которых верна инвариантность следа в смысле (0.6).

Естественной идеей выбора базисов дискретных операторов, является спектральная формулировка следа (0.3): в качестве первого базиса берется базис из собственных векторов оператора А, а для определения второго базиса оператор „расщепляется" в сумму двух: А = Aq + В, причем предполагается подчиненность оператора В оператору Ло, и формула (0.6) будет иметь вид:

+со +оо

5~2{{А<рп, ipn) - (Афп, Фп)) = - fin + (Bipn, срп)) = 0, (0.7)

п=1 п=1

где {фп}п=1 ~ базис из собственных векторов оператора А с собствен-

ными числами {/¿н}^^ 1 ~ базис из собственных векторов

оператора Ао с собственными числами

На протяжении долгого времени обычным результатом, получаемым разными авторами для следов дискретных операторов, было то, что формула (0.5) для возмущенного оператора не имела вида (0.7). В работе [17] Л. А. Дикий дал другое доказательство для первой формулы Гельфанда-Левитана, показав, что формула (0.5) фактически и есть формула (0.7).

Впервые идеи нового метода приближенного вычисления первых собственных чисел возмущенных самосопряженных операторов (метода РС) были сформулированы в работе [85]. Идея метода состоит в следующем. Составим систему нелинейных уравнений вида

По По оо

Е^ = Е+Еак\по), р=т^ (о-в)

к=1 к=1 к=1

относительно щ первых собственных чисел {^п}п=1 оператора Т +

Р. Здесь 4Р)Ы = -Уг^ / А^-1[РРл(Т)

2ттЫ г

¿п о

к

¿X - к-тые поправ-

ки теории возмущений оператора Т + Р целого порядка р, Я\{Т) - резольвента оператора Т. Выразим симметрические многочлены

По _

р = 1, щ от щ переменных через правые части системы урав-

к=1

нений (0.8). Получим многочлен степени щ со старшим коэффициентом равным единице, используя теорему Виета. Остальные коэффициенты могут быть найдены со сколь угодно большой точностью, к примеру, по формулам Ньютона. Корнями полученного многочлена будут собственные числа {цп}п=1 оператора Т + Р. Так как комплексные корни многочлена со старшим коэффициентом, равным единице, непрерывно зависят от его коэффициентов, то решая приближенно подходящим способом это уравнение, можно найти его

корни {^п}п=1 с достаточной точностью.

Предельные абсолютные погрешности первых собственных чисел оператора Т+Р будут зависеть от того, как точно вычислены суммы

оо , .

числовых рядов ^ а^' (щ) поправок теории возмущения оператора к=1

Т + Р. В этой же работе В. А. Садовничий и В. В. Дубровский получили оценки поправок теории возмущений дискретного

полуограниченного снизу оператора Т:

в случае, когда существует такое натуральное число йо, что оператор ^Дх(Т)^ является ядерным. Здесь ёПо = АПо+1 — Это позволи-2||р||

ло при —-—- < 1 и условии ограниченности оператора Р записать нелинейные уравнения

к=1 к=1 к=1 п°

¿р > во, Р =

для нахождения первых щ собственных чисел {^п}п=1 возмущенного оператора Т + Р. При этом было показано, что ряды поправок

оо . . . .

теории возмущений ^ (щ) сходятся, а а^ (щ) явно вычисля-

к= 1

ются через характеристики операторов Т и Р с помощью теории вычетов.

Так как поправки теории возмущений вычисляются для

большого класса операторов, область применения этого метода гораздо шире, чем других известных методов. Замечательным обстоятельством является применение этого метода для нахождения собственных чисел дифференциальных операторов в частных производных.

В. В. Дубровский и В. В. Распопов в работе [31], опираясь на результаты исследований С. И. Кадченко [32] - [34], обобщили методики применения метода РС к некоторых задачам гидродинамической теории устойчивости на случай полуцелых регуляризованных следов.

Хотелось бы отметить, что с краевыми задачами теории гидродинамики вязкоупругих сред тесно связаны работы Г.А. Свиридюка и его учеников [94] - [95].

Различные результаты в теории следов были получены методами теории возмущений дискретных операторов, отраженные в работах М. Г. Крейна, В. А. Садовничего, В. А. Любишкина, В. В. Дубровского [42], [79], [80], [81], [83], [84].

Дальнейшее развитие метод регуляризованных следов получил в серии работ С. И. Кадченко (см., например, [36]- [32]), где были получены простые, вычислительно эффективные формулы нахождения собственных чисел возмущенных самосопряженных операторов. Естественным продолжением этих работ является вопрос об использовании метода РС для вычисления значений собственных функций дискретных полуограниченных снизу операторов в узлах дискретизации.

Методы исследования. Для решения поставленных задач использовались методы функционального анализа, спектрального анализа линейных операторов, теории возмущений и вычислительной математики. Основными методами в работе являются методы, разработанные В. А. Садовничим, В. В. Дубровским и С. И. Кадченко. Для вычисления собственных чисел возмущенных самосопряженных операторов использовалась модификация метода регуляризо-

ванных следов, полученная в работах С. И. Кадченко.

Научная новизна диссертации заключается в разработке математической модели нахождения значений собственных функций возмущенных самосопряженных операторов. Модель применима для широкого класса дифференциальных и интегральных операторов. Доказана сходимость и получены оценки остатков сумм функциональных рядов Рэлея-Шредингера возмущенных дискретных операторов. Впервые получены формулы нахождения „взвешенных" поправок теории возмущений и оценки для них. Создан алгоритм вычисления значений собственных функций возмущенных самосопряженных операторов из значений произведений собственной функции возмущенного оператора на ее сопряженную. Разработан и реализован в виде пакета программ для ЭВМ алгоритм численного метода вычисления значений собственных функций возмущенных самосопряженных операторов.

Теоретическая значимость. Разработка математических моделей, в основе которых лежит новый метод нахождения значений собственных функций возмущенных самосопряженных операторов, расширяет возможности в решении спектральных и краевых задач. Полученные в работе новые численные методы позволяют эффективно восстанавливать первые собственные функции краевых, начально-краевых и спектральных задач. Причем в их основе лежат неитерационные методы. Результаты диссертации могут быть использованы при дальнейших исследованиях в спектральной теории операторов и разработке модификаций метода РС.

Практическая значимость. Результаты диссертации применимы к задачам линейной гидродинамической теории устойчивости,

электрических колебаний в протяженной линии, сейсморазведки, идентификации композитных материалов, проблем неразрушающе-го контроля, нелинейных эволюционных уравнений, редукции измерений за характеристику направленности антенны, обработки изображений (иконика), определения функций распределения истинных конфигураций тройных звезд и другим задачам, приводящим к нахождению собственных функций возмущенных дискретных операторов. Полученные результаты могут найти применение в исследованиях, проводимых в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова, в математическом институте им. В. А. Стеклова РАН, в математическом институте им. С. Л. Соболева, в ЮжноУральском государственном университете, во Владимирском государственном педагогическом университете, в Воронежском государственном университете, в Башкирском государственном университете, в Магнитогорском государственном университете. На основе результатов диссертации создан и зарегистрирован пакет программ позволяющий вычислять собственные функции задач, порожденных линейными дифференциальными и интегральными операторами.

Апробация работы. Результаты, вошедшие в диссертацию докладывались: на VI, VII Международных симпозиумах по фундаментальным и прикладным проблемам науки (Непряхино Челябинской области, ЮУрГУ, 2011, 2012 гг.); на Всероссийской конференции „Статистика. Моделирование. Оптимизация" (г. Челябинск, ЮУрГУ, 2011 г.); на Всероссийской научной конференции с международным участием „Дифференциальные уравнения и их приложения" (г. Стерлитамак, ГАНУ „ИПИ" Академии наук РБ, 2011 г.); на ХЫХ, Ь внутривузовских научных конференциях преподавате-

лей МаГУ, (г. Магнитогорск, МаГУ, 2011, 2012 гг.); на IV, V Международных научных конференциях „Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования" (г. Воронеж, ВГУ, 2011, 2012 гг.); Spectral Theory and Differential Equations STDE-2012 International Conference (Kharkiv, B. Verkin Institute for Low Temperature Physics and Engineering of NASU, 2012 г.); на Всероссийской научно-практической конференции „Физико-математические науки и образование" (Магнитогорск, МаГУ, 2012); на Научно-практической конференции с международным участием „Математические методы и информационные технологии в социально-экономической сфере" (Уфа, ВЗФЭИ, 2012 г.); на Международной конференции „Нелинейные уравнения и комплексный анализ" (г. Уфа, Институт математики с вычислительным центром УНЦ РАН, 2013 г.).

Результаты работы обсуждались на научных семинарах профессора С. И. Кадченко, профессора Г. А. Свиридюка.

Научные результаты, содержащиеся в работе „Нахождение собственных чисел и собственных функций возмущенных самосопряженных операторов методами регуляризованных следов" признаны Межрегиональным советом по науке и технологиям в качестве основы для подготовки и последующей защиты диссертации на соискание ученой степени кандидата наук (№197 18.10.2012 г.).

Краткое содержание диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и двух приложений.

Во введении представлена постановка задачи, обосновывается актуальность темы исследования, теоретическая и практическая зна-

чимость, описаны методы исследования, сформулированы цели, задачи и научная новизна диссертации. Кратко излагается содержание работы.

Первая глава состоит из четырех параграфов, в ней рассмотрены формулировки теорем и определения спектральной теории линейных операторов, которые используются в диссертации. В первом параграфе приведены основные определения и утверждения спектральной теории линейных операторов. Второй параграф содержит основные свойства дискретных и резольвентных операторов. Третий параграф описывает свойства дискретных операторов, позволяющие получить оценки сумм функциональных рядов Рэлея-Шредингера. В четвертом параграфе рассматривается метод регуляризованных следов нахождения собственных чисел возмущенных самосопряженных операторов.

Вторая глава состоит из пяти параграфов и посвящена теоретическому обоснованию метода регуляризованных следов. В первом параграфе получены оценки „взвешенных" поправок теории возмущений, используя которые доказывается сходимость сумм функциональных рядов Рэлея-Шредингера, и оцениваются их остатки. Во втором параграфе получены формулы нахождения „взвешенных" поправок теории возмущений и приведены аналитические формулы нахождения первых четырех „взвешенных" поправок теории возмущений, не содержащие производных. В третьем параграфе приведена схема работы с системой нелинейных уравнений, для эффективного получения значений собственных функций возмущенных самосопряженных операторов в узлах дискретизации. В четвертом параграфе составлен алгоритм применения нового метода РС. В пя-

том параграфе описывается пакет программ, созданный на основе алгоритма метода РС вычисления значений собственных функций возмущенных дискретных операторов.

Третья глава состоит из пяти параграфов и посвящена вычислительным экспериментам по нахождению значений собственных функций различных математических моделей. В первом параграфе рассматривается спектральная задача по нахождению значений собственных функций возмущенного оператора Лапласа, заданного на прямоугольной области. Во втором параграфе рассматривается модель плоскопараллельного течения вязкой несжимаемой жидкости. К задаче Орра-Зоммерфельда применяется метод РС. В третьем параграфе описывается алгоритм метода РС в применении к задаче Орра-Зоммерфельда. В четвертом параграфе рассматривается задача об электрических колебаниях в протяженной линии. В пятом параграфе описывается алгоритм метода РС в применении к краевой задаче Штурма-Лиувилля. Следует отметить, что численные расчеты показали высокую эффективность нового метода нахождения значений собственных функций возмущенных самосопряженных операторов разработанного в диссертации.

В заключении представлены выводы по результатам исследований и их соответствие паспорту специальности 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ.

В приложении 1 представлены численные расчеты вычисления значений собственных функций возмущенного оператора Лапласа при различных значениях возмущающего оператора.

В приложении 2 представлено свидетельство о регистрации пакета программ „Вычисление значений собственных функций возму-

щенных самосопряженных операторов методом регуляризованных следов".

Публикации. По теме диссертации опубликовано 20 работ, в том числе 6 статей в ведущих российских рецензируемых научных журналах и изданиях, рекомендованных ВАК. Получено свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ. В работах [107] - [117], [121] - [124] научному руководителю Кадченко С. И. принадлежит общая постановка задач, а диссертанту - все основные полученные результаты. Список работ приводится в конце списка литературы.

Результаты, выносимые на защиту

1. Математические модели нахождения значений первых собственных функций задач Орра-Зоммерфельда, электрических колебаний в протяженной линии и спектральных задач для возмущенного оператора Лапласа.

2. Метод нахождения „взвешенных" поправок теории возмущений дискретных операторов.

3. Способы оценки остатков сумм функциональных рядов Рэлея-Шредингера, используемые для нахождения предельных абсолютных погрешностей значений собственных функций возмущенных самосопряженных операторов.

4. Численный метод вычисления значений собственных функций ип{х) из произведений вида ип(х)йп(у).

5. Пакет программ для нахождения значений собственных функций возмущенных самосопряженных операторов в узлах дискретизации, зарегистрированный в реестре программ для ЭВМ.

1 Дискретные операторы. Регуляризованные следы операторов

В данной главе приводится теоретический материал, необходимый для обоснования разработанных в диссертации теоретических положений. Излагаемые понятия, теоремы и леммы взяты из монографий [39], [40], [41], [71], [92], [98].

1.1 Основные понятия

Пусть А - линейный ограниченный оператор, заданный в гильбертовом пространстве Н. Предположим, что для некоторого Л оператор А — ХЕ имеет обратный R\(A) = (А — ХЕ)~г, который называется резольвентным оператором для оператора А. Значения Л назовем регулярными значениями оператора А или принадлежащими резольвентному множеству оператора А, если R\(A) существует, определен во всем пространстве Н и ограничен. Спектром оператора А называется множество всех Л, не являющихся регулярными. Таким образом, спектр оператора - это множество, являющееся дополнением к резольвентному множеству, и все собственные числа оператора принадлежат его спектру.

Если для Л выполняется неравенство ^ ^ < 1, то оператор А —

И

ХЕ имеет обратный R\(A), причем

Таким образом, спектр оператора А принадлежит множеству |А| <

PII-

Спектр оператора можно разделить на следующие виды:

1. Точечный спектр - это значения Л, при которых существует ненулевое решение А/ = А/. Точечный спектр оператора совпадает с множеством собственных чисел оператора.

2. Непрерывный спектр - значения Л, для которых оператор А — XЕ имеет обратный Л\(А) с плотной областью определения, не совпадающей со всем пространством.

3. Остаточный спектр - это те значения Л, для которых оператор А — ХЕ имеет обратный К\(А), но область его определения не плотна во всем пространстве.

Спектр линейного ограниченного оператора состоит из трех непересекающихся множеств: точечного, непрерывного и остаточного.

Определение 1.1.1 Пусть Т - линейный оператор, заданный в гильбертовом пространстве Н, и его область определения Ит плотна в Н. Поставим в соответствие элементу д £ Н некоторый элемент д* таким образом, чтобы для всех / е Вт выполнялось равенство (Т/,д) = (/,<7*). Формула д* = Т*д задает некоторый линейный оператор Т*, называемый сопряженным к оператору Т, а элемент д* однозначно определяется элементом д.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Какушкин, Сергей Николаевич, 2013 год

Список литературы

[1] Александрова, Е. В. Формулы следов в задачах колебаний стержней и труб, а также некоторых классов сингулярных операторов: дис... канд. физ.-мат. наук / Е. В. Александрова. - М.: МГУ, 1997.

[2] Араманович, И. Г. Уравнения математической физики / И. Г. Араманович, В. И. Левин. - М., 1969. - 288 с.

[3] Ахмерова, Э. Ф. Спектральная асимптотика для негладких возмущений дифференциальных операторов и формулы следов / Э. Ф. Ахмерова, X. X. Муртазин // ДАН. - 2003. - Т. 388, №6. - С. 731-733.

[4] Баскаков, А.Г. Метод подобных операторов и формулы регуля-ризованных следов / А. Г. Баскаков // Изв. высших учебных заведений. Математика. - 1984. №3. - С. 3-12.

[5] Белаббаси, Ю. О следах обыкновенных дифференциальных операторов, порожденных многоточечными задачами: дис... канд. физ.-мат. наук / Ю. Белаббаси. - М.: МГУ, - 1980.

[6] Бобров, А. Н. Формулы следов псевдодифференциальных операторов с периодическим гамильтоновым потоком: дис... канд. физ.-мат. наук / А. Н. Бобров. - М.: МГУ, - 2000.

[7] Боголюбов, А. Н. Задачи по математической физике: Учеб. пособие / А. Н. Боголюбов. - М.: Изд-во МГУ, 1998. - 350 с.

[8] Валеев, Н. Ф. О задаче определения параметров граничных условий оператора Штурма-Лиувилля по спектру / Н. Ф. Ва-

леев, С. А. Рабцевич, Э. Р. Нугуманов // Вестник СамГУ -Естественнонаучная серия. - 2009. - №6(72). - С. 12-20.

[9] Винокуров, В.А., Асимптотика собственных значений и собственных функций и формула следа для потенциала, содержащего 6 - функции / В. А. Винокуров, В. А. Садовничий // ДАН (России). - 2001. - Т. 376. - С. 445-448.

[10] Владимиров, В. С. Уравнения математической физики: Учебник / В. С. Владимиров. - М.: Наука, 1988. - 512 с.

[11] Гантмахер, Ф. Р. К алгебраическому анализу метода ак. А. Н. Крылова преобразования векового уравнения / Ф. Р. Гантмахер // Тр. 2-го Всесоюзного матем. съезда. - 1937. - С. 45 -48.

[12] Гасымов, М. Г. О сумме разностей собственных значений двух самосопряженных операторов / М. Г. Гасымов // ДАН СССР. - 1963. - Т. 150, №6. С. 1202-1205.

[13] Гельфанд, И. М Об одном простом тождестве для собственных значений дифференциального оператора второго порядка / И. М. Гельфанд, Б. М. Левитан // Докл. АН СССР. - 1953. - Т. 88, №4. - С. 593-596.

[14] Гохберг, И. Ц. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве / И. Ц. Гохберг, М. Г. Крейн. - М.: Наука, 1965.

[15] Данилевский, А. М. О численном решении векового уравнения / А. М. Данилевский // Матем. сб. - 1937. - №2. - С. 169-171.

[16] Демидович, Б. П. Основы вычислительной математики / Б.П. Демидович, И. А. Марон. - М.: Наука, 1966. - 664 с.

[17] Дикий, Л. А. Об одной формуле Гельфанда-Левитана / Л. А. Дикий // УМН. - 1953. Т. 8, №2. - С. 119-123.

[18] Дикий, Л. А. Новый способ приближенного вычисления собственных чисел задачи Штурма-Лиувилля / Л. А. Дикий // ДАН СССР. - 1957. - Т. 116, №1. - С. 12-14.

[19] Дикий, Л. А. Формулы для дифференциальных операторов Штурма-Лиувилля / Л. А. Дикий // УМН. - 1958. - Т.13, №3.

- С. 111-143.

[20] Дородницын, А. А. Асимптотические законы распределения собственных значений для некоторых видов дифференциальных уравнений второго порядка / А. А. Дородницын // УМН.

- 1952. - Т. 7, №6. - С. 3-96.

[21] Дубровский, В. В. Об одной абстрактной теореме возмущений, о формулах регуляризованных следов и о дзета-функции операторов / В. В. Дубровский, В. А. Садовничий // Дифференциальные уравнения. - 1977. - Т. 13, №7. - С. 1264-1271.

[22] Дубровский, В. В. Регуляризованный след билапласиана с периодическими краевыми условиями на квадрате / В. В. Дубровский // ДАН БССР. - 1980. - Т. 24, №3. - С. 210-213.

[23] Дубровский, В. В. О регуляризованных следах дифференциальных операторов в частных производных /В. В. Дубровский // Тр. семинара им. И.П. Петровского. - М.: МГУ, 1983. - Вып. 9. - С. 40-44.

[24] Дубровский, В. В. О формулах регуляризованных следов самосопряженных эллиптических дифференциальных операторов второго порядка / В. В. Дубровский // Дифференциальные уравнения. - 1984. - Т. 20, №11. - С. 1995-1998.

[25] Дубровский, В. В. Абстрактные формулы регуляризованных следов эллиптических гладких дифференциальных операторов, заданных на компактных многообразиях / В. В. Дубровский // Дифференц. уравнения. - 1991. - Т. 27, №12. - С. 21642166.

[26] Дубровский, В. В. К абстрактной формуле Гельфанда-Левитана / В. В. Дубровский // УМН. - 1991. - Т. 46, №4. - С. 187-188.

[27] Дубровский, В. В. О сходимости формально собственных чисел / В. В. Дубровский, Е. М. Малеко // Вестник Челябинского гос. университета. - Челябинск: ЧелГу, 1999. - С. 56-72.

[28] Дубровский, В. В. Оценка разности спектральных функций операторов типа Гегенбауэра по норме Ьч / В.В. Дубровский, А.И. Седов // Известия высших учебных заведений. Сер. Математика. - 1999. - №8(447). - С. 20-25.

[29] Дубровский, В. В. Оценка разности спектральных функций операторов типа Лежандра / В.В. Дубровский, А.И. Седов // Фундаментальная и прикладная математика. - 2000. - Т. 6, №4. - С. 1075-1082.

[30] Дубровский, В. В. Оценка разности спектральных функций самосопряженных операторов / В.В. Дубровский, А.И. Седов //

Электромагнитные волны и электронные системы. - 2000. - Т. 5, №5. - С. 10-13.

[31] Дубровский, В. В. Формула регуляризованного следа одного обыкновенного дифференциального оператора четвертого порядка / В. В. Дубровский, В. В. Распопов // Дифференциальные уравнения. - 2002. - Т. 38, №7. - С. 979-981.

[32] Кадченко, С. И. Новый метод вычисления собственных чисел спектральной задачи Орра-Зоммерфельда / С.И. Кадченко // Электромагнитные волны и электронные системы. - 2000. - Т. 5, №6. - С. 4-10.

[33] Кадченко, С. И. Новый метод вычисления первых собственных чисел дискретных несамосопряженных операторов / С. И. Кадченко // Уравнения соболевского типа. Сб. науч. работ. Челябинск: Челяб. гос. ун-т. - 2002. - С. 42-59.

[34] Кадченко, С. И. Новый метод нахождения собственных чисел возмущенных самосопряженных операторов / С. И. Кадченко // Вестник МаГУ. Математика. - Магнитогорск: МаГУ, 2003. - Вып. 4. - С. 48-79.

[35] Кадченко, С. И. Вычисление собственных значений возмущенных дискретных полуограниченных операторов / С. И. Кадченко, И. И. Кинзина, // Журн. вычисл. математики и мат. физики. - 2006. - Т. 46, №7. - С. 1265-1272.

[36] Кадченко, С. И. Вычисление сумм рядов Рэлея-Шредингера возмущенных самосопряженных операторов / С. И. Кадчен-

ко // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2007. - Т. 47, №9. - С. 1494-1505.

[37] Кадченко, С. И. Численный метод нахождения собственных значений дискретных полуограниченных снизу операторов / С. И. Кадченко, JI. С. Рязанова // Вестник ЮУрГУ. Серия „Математическое моделирование и программирование". - 2011. -№17(234), вып. 8. - С. 46-51.

[38] Кадченко, С. И. Новый метод вычисления собственных чисел возмущенных самосопряженных операторов: дис. ... доктора физ.-мат. наук / С. И. Кадченко. М., 2003.

[39] Канторович, JI. В. Функциональный анализ / JI. В. Канторович, Г. П. Акилов. - М.: Наука, - 1977. - 752 с.

[40] Като, Т. Теория возмущений линейных операторов / Т. Като.

- М.: Мир, 1972. - 740 с.

[41] Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. - М.: Наука, 1981. - 543 с.

[42] Крейн, М. Г. О формуле следов в теории возмущений / М. Г. Крейн // Математический сборник. - 1953. - Т. 33, Вып. 3. -С. 597-626.

[43] Крылов, А. Н. О численном решении уравнения, которым в технических вопросах определяются частоты малых колебаний материальных систем / А. Н. Крылов // HAH ОМЕН. - 1931.

- №4. - С. 491-539.

[44] Левитан, Б. М. Введение в спектральную теорию / Б. М. Левитан, И. С. Саргсян. - М.: Наука, 1970. - 381 с.

[45] Левитан, Б. М. Операторы Штурма-Лиувилля и Дирака / Б. М. Левитан, И. С. Саргсян. - М.: Наука, 1988. - 432 с.

[46] Лидский, В. Б. Несамосопряженные операторы, имеющие след / В. Б. Лидский // Докл. АН СССР. - 1959. - Т. 125, №3. - С. 485-487.

[47] Линь, Ц. Ц. Теория гидродинамической устойчивости / Ц. Ц. Линь. - М.: ИЛ, 1958. - 195 с.

[48] Лифшиц, И. М. Об одной задаче теории возмущений, связанной с квантовой статистикой / И. М. Лифшиц // УМН. - 1952. Т. 7, т. - С. 171-180.

[49] Лойцянский, Л. Г. Механика жидкости и газа / Л. Г. Лойцян-ский. - М.: Наука, 1973. - 840 с.

[50] Лузин, Н. Н. О методе ак. А. Н. Крылова составления векового уравнения. / Н. Н. Лузин // ИАН ОМЕН. - 1931, - С. 903-958.

[51] Лузин, Н. Н. О некоторых свойствах перемещающегося в методе акад. А. Н. Крылова. / Н. Н. Лузин //I, И, III, ИАН ОМЕН. - 1932. - С. 596 - 638, С. 735 - 762, С. 1065 - 1102.

[52] Любишкин, В. А. О некоторых вопросах теории регуляри-зованных следов дифференциальных операторов: дис... канд. физ.-мат. наук / В. А. Любишкин. - М.: МГУ, 1981.

[53] Любишкин, В. А. Регуляризованные следы оператора Штурма - Лиувилля на полуоси в случае неограниченно убывающего

потенциала / В. А. Любишкин // Дифференциальные уравнения. - 1982. - Т. 18, №2. - С. 345-346.

[54] Малеко, Е. М. К обоснованию метода вычисления собственных чисел ядерных операторов с помощью теории следов / Е. М. Малеко // Сб. науч. трудов. Фундаментальные и прикладные исследования. - Магнитогорск: МГПИ, 1998. - С. 43-46.

[55] Малеко, Е. М. О вычислении первых собственных чисел некоторых линейных операторов: дис... канд. физ.-мат. наук / Е. М. Малеко. - Магнитогорск.: МаГУ, 2000.

[56] Малеко, Е. М. О новом методе нахождения собственных чисел несамосопряженных ядерных операторов / Е. М. Малеко // Вестник МаГУ. Магнитогорск: Периодический научный журнал Магнитогорского государственного университета. - 2002. -С. 233-235.

[57] Марчук, Г. И. Методы вычислительной математики / Г. И. Марчук. - М.: Наука, 1977. -456 с.

[58] Муртазин, X. X. Спектральный анализ многочастичного оператора Шредингера / X. X. Муртазин, В. А. Садовничий. - М.: МГУ, 1988.

[59] Муртазин, X. X. О формулах следов для неядерных возмущений / X. X. Муртазин, 3. Ю. Фазуллин // ДАН (России). -1999. - Т. 368, №4. - С. 442-444.

[60] Муртазин, X. X. Регуляризованный след двумерного гармонического осциллятора / X. X. Муртазин, 3. Ю. Фазуллин // Математический сборник. - 2001. - Т. 192, №5. - С. 87-134.

[61] Наймарк, М. А. Линейные дифференциальные операторы / М. А. Наймарк. - М.: Наука, 1969. - 528 с.

[62] Никифоров, А. Ф. Основы теории специальных функций / А. Ф. Никифоров, В. Б. Уваров. - М.: Наука, 1974. - 304 с.

[63] Печенцов, А. С. Регуляризованные следы для одной задачи второго порядка / А. С. Печенцов // Теоретико-функциональные методы исследования физических процессов.

- М.: Энергоатомиздат, 1983. - С. 42-47.

[64] Печенцов, А. С. Регуляризованные суммы собственных значений для некоторых краевых задач / А. С. Печенцов // Функциональные методы в задачах математической физики. - М.: Энергоатомиздат, 1985. - С. 34-42.

[65] Печенцов, А. С. О следах сингулярных дифференциальных операторов высших порядков / А. С. Печенцов // ДАН СССР.

- 1990. - Т. 312, №6. - С. 1321-1324.

[66] Печенцов, А. С. Регуляризованные следы обыкновенных дифференциальных операторов / А. С. Печенцов // УМН. - 1996.

- Т. 51(5). - С. 177-178.

[67] Печенцов, А. С. Регуляризованные следы краевых задач в случае кратных корней характеристического полинома / А. С. Печенцов // ДАН (России). - 1999. - Т. 367, №5. - С. 600-602.

[68] Порецков, О. А. Алгоритмы и методы вычисления первого регуляризованного следа оператора Лапласа-Бельтрами с негладким потенциалом на единичной двумерной сфере: дис...

канд. физ.-мат. наук /О. А. Порецков. - Магнитогорск: МаГУ, 2003.

[69] Распопов, В. В. Алгоритмы вычисления полуцелых регуляри-зованных следов дискретных полуограниченных операторов: дис... канд. физ.-мат. наук / В. В. Распопов. - Магнитогорск: МаГУ, 2002.

[70] Расторгуев, В. А. Формулы регуляризованных следов некоторого класса дифференциальных операторов с особенностью: дис... канд. физ.-мат. наук / В. А. Расторгуев. - М.: МГУ, 1991.

[71] Рисс, Ф. Лекции по функциональному анализу / Ф. Рисс, Б. Секифальви-Надь. - М.: Мир, 1979. - 589 с.

[72] Розе, Н. Г. Теоретическая гидромеханика / Н. Г. Розе, И. А. Кибель, Н. Е. Кочин. - М.: ТТЛ, 1937. - 584 с.

[73] Садовничий, В. А. Аналитические методы в спектральной теории дифференциальных операторов / В. А. Садовничий. - М.: МГУ, 1973. - 154 с.

[74] Садовничий, В. А. Дзета-функция и собственные числа дифференциальных операторов / В. А. Садовничий // Дифференциальные уравнения. - 1974. - Т. 10, Вып. 7. - С 1276-1285.

[75] Садовничий, В. А. Об одной абстрактной теореме теории функций, о формулах регуляризованных следов и о дзета-функции операторов / В. А. Садовничий, В. В. Дубровский // Дифференциальные уравнения. - 1977. - Т. 13, Вып. 7. - С 1264-1271.

[76] Садовничий, В. А. О некоторых соотношениях для собственных чисел дискретных операторов. Формулы следов дифференциальных операторов в частных производных / В. А. Садовничий, В. В. Дубровский // Дифференциальные уравнения. - 1977. - Т. 13, №11. - С. 2033-2041.

[77] Садовничий, В. А. Свойства спектра дискретных операторов / В. А. Садовничий, В. В. Дубровский // Вестн. Моск. ун-та. Сер. Математика, Механика. - М.: МГУ, 1977. - №5. - С. 37-44.

[78] Садовничий, В. А. О некоторых свойствах оператора с дискретным спектром / В. А. Садовничий, В. В. Дубровский // Дифференциальные уравнения. - 1979. - Т. 15, №7. - С. 12061211.

[79] Садовничий, В. А. О некоторых вопросах возмущений линейных операторов / В. А. Садовничий, В. А. Любишкин // Дифференциальные уравнения. - 1981. - Т. 17, №10. - С. 1910-1914.

[80] Садовничий, В. А. Регуляризованные суммы корней одного класса целых функций экспоненциального типа / В. А. Садовничий, В. А. Любишкин // ДАН СССР. - 1981. - Т. 256, №4. - С. 794-798.

[81] Садовничий, В. А. Регуляризованные следы дискретных операторов / В. А. Садовничий, В. А. Любишкин // ДАН СССР.

- 1981. - Т. 261, т. - С. 290-293.

[82] Садовничий, В. А. Следы дискретных операторов / В. А. Садовничий, В. В. Дубровский, В. А. Любишкин // ДАН СССР.

- 1982. - Т. 263, №4. - С. 830-832.

[83] Садовничий, В. А. О некоторых новых результатах теории ре-гуляризованных следов дифференциальных операторов / В. А. Садовничий, В. А. Любишкин // Дифференциальные уравнения. - 1982. - Т. 18, №1. - С. 109-116.

[84] Садовничий, В. А. Конечномерные возмущения дискретных операторов и формулы следов / В. А. Садовничий, В. А. Любишкин // Функцион. анализ и его прил. - 1986. -Т. 20, вып. 3. - С. 55-65.

[85] Садовничий, В. А. Замечание об одном новом методе вычислений собственных значений и собственных функций дискретных операторов / В.А. Садовничий, В.В. Дубровский // Тр. семинара им. И.Г. Петровского. - М.: МГУ, 1994. - Вып. 17. - С. 244-248.

[86] Садовничий, В. А. О вычислении первых собственных значений оператора Штурма -Лиувилля / В. А. Садовничий, В. Е. Подольский // ДАН (России). - 1996. - Т. 346, №2. - С. 162164.

[87] Садовничий, В. А. Об одном способе приближенного нахождения собственных чисел оператора Штурма - Лиувилля / В. А. Садовничий, В. В. Дубровский, Е. М. Малеко // ДАН (России). - 1999. - Т. 369, №1. - С. 16-18.

[88] Садовничий, В.А. Вычисление первых собственных значений задачи гидродинамической устойчивости течения вязкой жидкости между двумя вращающимися цилиндрами / В.А. Са-

довничий, В.В. Дубровский, С.И. Кадченко, В.Ф. Кравченко // Дифференц. уравнения. - 2000. - Т. 36, №6. - С. 742-746.

[89] Садовничий, В. А. Регуляризованный след оператора с ядерной резольвентой, возмущенного ограниченным / В. А. Садовничий, С. В. Конягин, В. Е. Подольский // ДАН (России). -2000. - Т. 373, №1. - С. 26-28.

[90] Садовничий, В. А. Следы операторов с относительно ядерных возмущением / В. А. Садовничий, В. Е. Подольский // ДАН (России). - 2001. - Т. 378, №3. - С. 1-2.

[91] Садовничий, В. А. Следы операторов с относительно компактным возмущением / В. А. Садовничий, В. Е. Подольский // Математический сборник. - 2002. - Т. 193, №2. - С. 129-151.

[92] Садовничий, В. А. Теория операторов / В.А. Садовничий. -М.: Дрофа, 2004. - 384 с.

[93] Свиридюк, Г. А. Быстро-медленная динамика вязкоупругих сред / Г. А. Свиридюк, Т. Г. Сукачева // ДАН СССР. - 1989. - Т. 308, т. - С. 791-794.

[94] Свиридюк, Г. А. Об одной модели слабосжимаемой вязкоупру-гой жидкости / Г. А. Свиридюк // Известие ВУЗов. Математика. - 1994. - №1. - С. 62-70.

[95] Свиридюк, Г. А. О разрешимости нестационарной задачи динамики несжимаемой вязкоупругой жидкости / Г. А. Свиридюк, Т. Г. Сукачева // Матем. заметки. - 1998. - Т. 63, №3. - С. 442-450.

[96] Сидоренко, С. В. Регуляризованные следы возмущенных самосопряженных операторов: дис... канд. физ.-мат. наук / С. В. Сидоренко. - М.: МГУ, 2000.

[97] Тихонов, А. Н. Уравнения математической физики: Учебник для вузов / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. - М.: МГУ, 2004. - 798 с.

[98] Треногин, В. А. Функциональный анализ / В. А. Треногин. -М.: Наука, 1980. - 496 с.

[99] Фаддеев, Д. К. О преобразовании характеристического уравнения матрицы / Д. К. Фаддеев // Л., Тр. ин-та инж. пром. строит. - 1937. - №4. - С. 78-96.

[100] Фаддеев, Д. К. Вычислительные методы линейной алгебры / Д. К. Фаддеев, В. Н. Фаддеева. - М.: Гостехиздат, 1950. - 656 с.

[101] Фихтенгольц, Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления / Г. М. Фихтенгольц. - М:. Наука, 1970. Т. 2. - 810 с.

[102] Харди, Г. Г. Ряды Фурье: Пер. с англ. / Г. Г. Харди, В. В. Рогозинский. - М.: КомКнига, 2006. - 152 с.

[103] Хартри, Д. Расчеты атомных структур / Д. Хартри. - М.: ИЛ., 1960. - 270 с.

[104] Хасанов, А. Б. Вычисление регуляризованного следа оператора Штурма-Лиувилля с особенностью в потенциале / А. Б.

Хасанов, А. Б. Яхшимуратов // ДАН. - 2002. - Т. 382, №2. -С. 170-172.

[105] Хлодовский, И. Н. К теории общего случая преобразования векового уравнения методом акад. А. Н. Крылова / И. Н. Хлодовский // ИАН ОМЕН. - 1933. - №8. - С. 1077-1102.

[106] Шкарин, С. А. О способе Гельфанда-Дикого вычисления первых собственных чисел оператора Штурма-Лиувилля / С. А. Шкарин // Вест. Моск. Ун-та. Сер. 1. Математика, механика. - 1996. №1. - С. 39-44.

[107] Кадченко, С. И. Вычисление первых поправок теории возмущений дискретных операторов с кратным спектром / С. И. Кадченко, С. Н. Какушкин // Вестник МаГУ. Математика. -Магнитогорск: МаГУ, 2010. - Вып. 12. - С. 35-42.

[108] Кадченко, С. И. Нахождение собственных функций возмущенных самосопряженных операторов с кратным спектром методом регуляризованных следов / С. И. Кадченко, С. Н. Какушкин // Фундаментальные и прикладные проблемы науки. Материалы IV международного симпозиума. - М.: РАН, 2011. -Т. 1. - С. 12-15.

[109] Кадченко, С. И. Нахождение первых четырех поправок теории возмущений дискретных полуограниченных снизу операторов с произвольной кратностью собственных значений / С. И. Кадченко, С. Н. Какушкин // Вестник ЮУрГУ. Серия „Математическое моделирование и программирование". - 2011. - №25 (242), вып. 9. - С. 16-21.

[110] Кадченко, С. И. Новый метод нахождения первых собственных функций дискретных операторов / С. И. Кадченко, С. Н. Какушкин // Статистика. Моделирование. Оптимизация: сборник трудов Всероссийской конференции. - Челябинск: Издательский центр ЮУрГУ, 2011. - С. 128-131.

[111] Кадченко, С. И. Нахождение значений первых собственных функций возмущенных дискретных операторов с простым спектром / С. И. Кадченко, С. Н. Какушкин // Вестник ЮУрГУ. Серия „Математическое моделирование и программирование". - 2012. - №5 (264), вып. 11. - С. 25-32.

[112] Кадченко, С.И. Вычисление значений собственных функций дискретных полуограниченных снизу операторов методом ре-гуляризованных следов / С. И. Кадченко, С. Н. Какушкин // Вестник СамГУ - Естественнонаучная серия. - 2012. - №6 (97). - С. 13-21.

[113] Кадченко, С. И. Методика нахождения значений собственных функций возмущенных самосопряженных операторов / С. И. Кадченко, С. Н. Какушкин // Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования „ПМТУММ - 2012": материалы V Международной конференции. - Воронеж: Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета, 2012. - С. 147-149.

[114] Кадченко, С. И. Численные методы нахождения собственных чисел и собственных функций возмущенных самосопряженных операторов / С. И. Кадченко, С. Н. Какушкин // Вестник

ЮУрГУ. Серия „Математическое моделирование и программирование". - 2012. - №27 (286), вып. 13. - С. 45-57.

[115] Кадченко, С. И. Алгоритм нахождения значений собственных функций возмущенных самосопряженных операторов методом регуляризованных следов / С. И. Кадченко, С. Н. Какушкин // Вестник ЮУрГУ. Серия „Математическое моделирование и программирование". - 2012. - №40 (299), вып. 14. - С. 71-76.

[116] Кадченко, С. И. Численный метод нахождения собственных чисел и алгоритм вычисления значений собственных функций возмущенных дискретных операторов / С. И. Кадченко, С. Н. Какушкин // Вестник МаГУ. Математика. - Магнитогорск: МаГУ, 2012. - Вып. 14. - С. 96-115.

[117] Кадченко, С. И. Метод регуляризованных следов / С. И. Кадченко, С. Н. Какушкин // Дифференциальные уравнения и смежные проблемы: Труды международной научной конференции. - Уфа: РИЦ БашГУ, 2013. - С. 47 - 54.

[118] Какушкин, С. Н. Алгоритм вычисления значений собственных функций возмущенных самосопряженных операторов /С. Н. Какушкин // Физико-математические науки и образование: сборник трудов участников Всероссийской научно-практической конференции. - Магнитогорск: МаГУ, 2012. -Вып. 12. - С. 87-89.

[119] Какушкин, С. Н. Нахождение значений собственных функций возмущенных самосопряженных операторов методом регуляризованных следов [Электронный ресурс] / С. Н. Какушкин

// Хроники объединенного фонда электронных ресурсов "Наука и образование". - 2012, №6 (37) июнь. - Режим доступа: http: / / ofernio.ru / portal / newspaper / ofernio/2012/6.doc

[120] Какушкин, С. Н. Нахождение значений собственных функций возмущенных самосопряженных операторов методом регуляризованных следов / С. Н. Какушкин // Свидетельство №18420; правообладатель ФГБОУ ВПО „МаГУ". - №50201250983; заявление 04.05.2012; зарегестрирован 28.06.2012, реестр программ для ЭВМ.

[121] Какушкин, С. Н. Нахождение поправок теории возмущений к "взвешенной"спектральной функции возмущенного самосопряженного оператора / С. Н. Какушкин, С. И. Кадченко // Физико-математические науки и образование: сборник трудов участников Всероссийской научно-практической конференции. - Магнитогорск: МаГУ, 2012. - Вып. 12. - С. 89-93.

[122] Какушкин, С. Н. Нахождение собственных чисел и собственных функций возмущенных самосопряженных операторов методами регуляризованных следов / С. Н. Какушкин, С. И. Кадченко, А. И. Кадченко // Фундаментальные и прикладные проблемы науки. Материалы VII Международного симпозиума. -М.: РАН, 2012. - Т. 1. - С. 32-42.

[123] Какушкин, С. Н. Численный метод вычисления значений собственных функций возмущенных самосопряженных операторов / С. Н. Какушкин, С. И. Кадченко // Математические методы и информационные технологии в социально-

экономической сфере: Сб. науч. тр. - Уфа: Изд-во Аркаим, 2012. - С. 53-55.

[124] Какушкин, С. Н. Математическое моделирование нахождения значений собственных функций задачи гидродинамической теории устойчивости Орра-Зоммерфельда методом регу-ляризованных следов / С. Н. Какушкин, С. И. Кадченко // Вестник ЮУрГУ. Серия „Компьютерные технологии, управление, радиоэлектроника". - 2013. - Т. 13, №3. - С. 30-36.

[125] Какушкин, С. Н. Численный метод нахождения значений собственных функций дискретных операторов методом регуляри-зованных следов / С. Н. Какушкин // Нелинейные уравнения и комплексный анализ. - Уфа, 2013. - С. 33-35.

[126] Какушкин, С. Н. Математическое моделирование спектральной задачи об электрических колебаниях в протяженной линии методом регуляризованных следов / С. Н. Какушкин // Вестник ЮУрГУ. Серия „Математическое моделирование и программирование". - 2013. Т. 6, №3. - С. 125 - 129.

[127] Kadchenko, S. I. Firsts "weighted"correction of the perturbation theory for the perturbed self-adjoin operators finding / S. I. Kadchenko, S. N. Kakushkin // Spectral Theory and Differential Equations STDE-2012 International Conference: book of abstract. - Kharkiv: B. Verkin Institute for Low Temperature Physics and Engineering of NASU, 2012. - P. 49-50.

Приложение 1. Результаты вычисления значений собственных функций возмущенного оператора Лапласа.

п X У ип йп \и„ - ип| ип— ип 07 1 1

1 0,22 0,22 1,2277949 + 0,0044957« 1,2278057-0,0042655« 0,0000099 0,000813

0,22 0,33 1,6565221 + 0,0047339« 1,6565321 - 0,0043272« 0,0000087 0,000531

0,22 0,44 1,8884005 + 0,0035046« 1,8884043-0,0028878« 0,0000027 0,000145

0,22 0,55 1,896431 + 0,0013475« 1,8964256 - 0,0005408« 0,0000058 0,000306

0,33 0,22 1,4892400 + 0,0048573« 1,4892428-0,0048056« 0,0000025 0,000174

0,33 0,33 2,0090895 + 0,0046755« 2,0090924 - 0,004586« 0,0000027 0,000138

0,33 0,44 2, 2900251 + 0,0026136« 2,2900265 - 0,0024607« 0,0000013 0,000058

0,33 0,55 2,2993781 - 0,0005276« 2,2993764 + 0,0007641« 0,0000015 0,000065

0,44 0,22 1,4173573 + 0,0040158« 1,4173494-0,0041988« 0,0000073 0,000521

0,44 0,33 1,9119410 + 0,0033633« 1,9119346 -0,0036901« 0,0000057 0,000301

0,44 0,44 2,1789915 + 0,0008194« 2,1789898-0,0012814« 0,0000014 0,000068

0,44 0,55 2,1874983 - 0,0027052« 2,1875019 + 0,0021727« 0,0000029 0,000136

0,55 0,22 1,0284621 + 0,0025431« 1,02845 -0,00281783« 0,0000114 0,001115

0,55 0,33 1,3872356 + 0,0017766« 1,3872254 -0,0022656« 0,0000095 0,000685

0,55 0,44 1, 5808143 - 0,0004246« 1,5808112-0,0002822« 0,0000032 0,000201

0,55 0,55 1,5867458-0,003309« 1,5867515 + 0,0024593« 0,0000042 0,000262

2 0,22 0,22 1,8850059 + 0,0004272« 1,88500701 + 0,0004706« 0,0000012 0,000063

0,22 0,33 1,6784847 + 0,0034971« 1,67826304 + 0,0037777« 0,000221 0,013171

0,22 0,44 0,6994813 + 0,0070236« 0,69948269 + 0,7156526« 0,0000027 0,00039

0,22 0,55 -0,6018627 + 0,0085762« -0,6018597 + 0,0085335« 0,0000036 0,000597

0,33 0,22 2, 2870274 + 0,0004618« 2,2870278 + 0,0004908« 0,0000003 0,000015

0,33 0,33 2,0366146 + 0,004053« 2,0363444 + 0,0043579« 0,0002695 0,013235

0,33 0,44 0,8494149 + 0,0077875« 0,8494154 + 0,0078879« 0,0000014 0,000168

0,33 0,55 -0, 7284031 + 0,008672« -0,7284013 + 0,0086151« 0,0000025 0,000337

0,44 0,22 2.1772798 + 0,0003818« 2,1772789 + 0,0003854« 0,0000008 0,000037

0,44 0,33 1.9390401 + 0,0036649« 1.9387817 + 0,0039191« 0,0002579 0,013303

0,44 0,44 0,8094209 + 0,0066661« 0,8094202 + 0,0067014« 0,0000004 0,000047

0,44 0,55 -0,6915945 + 0,006490381« -0,6915942 + 0,0064204« 0,0000009 0,000132

0,55 0,22 1,5802695 + 0,0002418« 1,5802682 + 0,0002298« 0,0000013 0,00008

0,55 0,33 1,4074509 + 0,0025418« ], 4072626 + 0,0027042« 0,000188 0,013359

0,55 0,44 0,5879461 + 0,0043815« 0,5879449 + 0,0043715« 0,0000012 0,000211

0,55 0,55 -0,5008262 + 0,0036323« -0,5008267 + 0,0035652« 0,00000002 0,000004

п X У ип ип \ип - ип| ип ип о^ 1 ип 1

3 0,22 0,22 1,4187905 - 0,0051851г 1,4188759-0,0057146г 0,0000874 0,0061611

0,22 0,33 1,9129145 -0,0040801г 1,9129666-0,0047342г 0,0000535 0,0027981

0,22 0,44 2,1788502 - 0,0005046г 2,1790041 - 0,001328г 0,0001542 0,007076

0,22 0,55 2,1863271 + 0,0039513г 2,1866724 + 0,0029744г 0,0003437 0,01572

0,33 0,22 0,4113426-0,0021685г 0,4111416 -0,0025359г 0,0001989 0,048372

0,33 0,33 0, 5535044 - 0, 0010144г 0, 5534391 - 0,0016927г 0,0000637 0,011504

0,33 0,44 0,629121 + 0,0013327г 0,6284397 + 0,0012098г 0,0006816 0,108455

0,33 0,55 0,630164 + 0, 0036967г 0,6292143+ 0,0039061г 0,0009484 0,1507218

0,44 0,22 -0,9427961+ 0,0021345г -0,9427938 + 0,0015746г 0,0000034 0,000365

0,44 0,33 — 1,2733068 + 0,0030433« -1, 2733446+ 0,0023681г 0,0000363 0,0028558

0,44 0,44 -1,4529489+ 0,0032497г -1,4532817 + 0,0028594г 0,0003319 0,022847

0,44 0,55 -1,4601338+ 0,0024015г -1,4608663+ 0,0025289г 0,0007327 0,050182

0,55 0,22 -1,4993769+ 0,0041142г -1,4992294+ 0,0035299г 0,0001489 0,0099374

0,55 0,33 -2,0238185 + 0,0046577г -2,0238457 + 0,0041449г 0,0000261 0,001288

0,55 0,44 -2,3079068+ 0,0035688г -2,307408 + 0,0025263г 0,0005001 0,0216738

0,55 0,44 -2,3181168+ 0,0010602г -2,3172614 - 0,0002723г 0,0008556 0,036923

Таблица 1. Значения собственных функций, найденные методом РСип и методом А. М. Данилевского ип для возмущенного оператора Лапласа, вычисленные при а = Ь = 1 ир(х, у) = (1+1)ху2.

X У иц(х,у) и4(х,у) |«4 - 1М| |«4 -"4 : /о 1 »»4 1

0,22 0,22 -1,85462215 + 0,00517426» -1, 85524142 + 0, 00451547» 0,00061755 0,033298

0, 22 0,33 -1,65070236 + 0,00841857» -1, 65082052 + 0, 00829097» 0,00011751 0,007119

0, 22 0,44 -0,68643245 + 0,01052082» -0, 68587470 + 0, 01118612» 0,00054716 0, 079764

0,22 0, 55 0,59548727 + 0,01039197» 0,59622038 + 0,01097173» 0,00074338 0,124817

0,22 0,66 1,60684349 + 0,00823595» 1, 60699108 + 0, 00836610» 0,00014825 0, 009226

0, 22 0,77 1, 88364206 + 0,00522878» 1, 88299142 + 0, 00459912» 0,00065227 0, 034640

0,33 0, 22 -1,75547279 + 0,00585729» -1,75554010 + 0,00577419» 0,00006704 0,003819

0,33 0,33 -1,56362087 + 0,00763645» -1,56375393 + 0,00753074» 0,00013254 0,008476

0,33 0, 44 -0,65262263 + 0,00739091» -0, 65260825 + 0, 00746730» 0,00001352 0,002071

0,33 0,55 0, 55925295 + 0, 00509504» 0, 55946875 + 0,00538079» 0,00021847 0,039063

0,33 0,66 1, 51600109 + 0, 00200445» 1, 51614759 + 0, 00220637» 0,00014678 0,009682

0,33 0,77 1, 77872642 - 0, 00024662» 1, 77857301 - 0, 00036345» 0,00015338 0,008624

0,44 0,22 -0,91742851 + 0,00565095» -0,91683891 + 0, 00625627» 0,00058565 0,063876

0,44 0,33 -0,81911810 + 0, 00431652» -0, 81924803 + 0, 00424329» 0, 00012954 0,015814

0,44 0,44 -0,34548986 + 0,00035851» -0, 34611542 - 0, 00025354» 0,00062546 0,181037

0,44 0, 55 0,28630312 - 0,00416561» 0, 28587444 - 0, 00440787» 0,00042501 0,148651

0,44 0, 66 0,78655670-0, 00692116» 0,78667872 - 0,00675166» 0,00012054 0,015324

0,44 0, 77 0,92554465 - 0,00678249» 0,92599695 - 0,00633879» 0,00044914 0,048525

0,55 0,22 0,30817228 + 0,00530433» 0, 30893775 + 0, 00612706» 0,00078057 0,253254

0,55 0,33 0, 27090478 + 0, 00066826» 0,27077738 + 0,00057665» 0,00012760 0,047125

0,55 0,44 0,10711175 -0,00646187» 0,10631389 - 0,00716129» 0,00075168 0,705444

0,55 0, 55 -0,10688190 - 0,01165372» -0,10747606 - 0,01265553» 0,00070325 0,654097

0,55 0, 66 -0, 27252829 - 0,01220819» -0, 27241161 - 0, 01232308» 0,00011139 0,040849

0,55 0, 77 -0,31479529 - 0,00888249» -0, 31417934 - 0, 00842491» 0,00062831 0,199912

0, 66 0,22 1, 40671889 + 0,00511914г 1,40703142 + 0,00566817» 0,00031463 0, 022366

0,66 0, 33 1,24882924 - 0,00157377» 1,24869574 - 0,00170729» 0,00013332 0,010676

0,66 0,44 0,51539526 - 0,00989967» 0,51486755 - 0,00921652» 0,00054029 0,104921

0,66 0,55 -0,45465229 - 0.01372646» -0,45548726 - 0,01640268» 0,00092305 0,202931

0,66 0,66 -1,21571626 - 0,01094009» -1,21570596 - 0,12127772» 0,00000097 0,000079

0,66 0,77 -1,42058518 - 0,00492765» -1,42042301 - 0, 00539509» 0,00016047 0,011297

0, 77 0, 22 1, 91637179 + 0, 00473015» 1, 91598731 + 0, 00434772» 0,00038538 0,020114

0, 77 0,33 1, 70336005 - 0,00203422» 1, 70323124 - 0, 00213596» 0,00012869 0,007555

0, 77 0,44 0,70705719 - 0, 00934495» 0, 70738254 - 0, 00904730» 0,00032145 0,045459

0, 77 0,55 -0,61225916 - 0,01084574» -0,61174561 - 0,01038204» 0,00052151 0,085238

0,77 0, 66 -1,64869841 - 0,00549953» -1, 64854667 - 0,00551079» 0,00015169 0, 009202

0,77 0,77 -1,92933245 + 0,00146593г -1, 92977500 + 0, 00086069» 0,00044219 0, 022919

Таблица 2. Значения четвертой собственной функции, найденные методом РС щ(х,у) и методом А. Н. Крылова щ(х,у) для возмущенного оператора Лапласа, вычисленные при а = Ъ = 1 и р(х,у) = (1 + г)ху2.

X У Що(х,у) йю(х,у) |«ю - «ю | 1 «ю - «10 1 «10 1

0,22 0 22 0,44112479 - 0,00104674« 0,44116660 + 0,00005617« 0,004705 0, 009195

0,22 0 33 -1,01168026-0,00135114« -1,01170379 + 0,00003890« 0,002951 0,002236

0,22 0 44 -0,82017858 - 0,00149305« -0,82027541 - 0,00000449« 0,000561 0,011639

0,22 0 55 0,70438500 - 0,00148938» 0,70429465 - 0,00004938« 0,003958 0,013052

0,22 0 66 1,08414601 — 0,00133969г 1,08416851 -0,00006744« 0,005723 0,001999

0,22 0 77 -0,29822374 - 0,00103481« -0,29807508 - 0,00005498« 0,005356 0,050475

0,33 0 22 0,60087708 + 0,00646559» 0,60162097 + 0,00013244« 0,004116 0,118007

0, 33 0 33 -1,37948490 + 0,00965086« -1,37947705 + 0,00010186« 0, 004028 0,003016

0,33 0 44 -1,11768027 + 0,01166907г -1,11849100 + 0,00000684« 0, 000749 0,067084

0, 33 0 55 0,96125693 + 0,01166638г 0,96031290 - 0,00010693« 0,001015 0,105675

0, 33 0 66 1,47853265 + 0,00965187« 1,47825918 - 0,00017002« 0,000305 0, 206301

0, 33 0 77 -0,40706531 + 0, 64980922« -0,40652973 - 0,00015913« 0, 000587 0,014449

0,44 0 22 0,69544073 + 0, 00671659« 0, 69719428 + 0, 00023809« 0,001721 0,247479

0,44 0 33 -1,59838607 + 0,01127991г -1,59834887 + 0,00019016« 0, 000077 0,004817

0,44 0 44 -1, 29419004 + 0, 014433731 -1,29599750 + 0,000026431« 0, 001727 0,133432

0,44 0 55 1,11468354 + 0,01431017» 1,11267021 -0,00018031« 0,002105 0,189201

0,44 0 66 1,71316278 + 0,010948211 1,71276816-0,00031166« 0,000429 0,025081

0,44 0 77 -0, 47262409 + 0, 00630739г -0,47117343 - 0,00031346« 0,001493 0,316792

0, 55 0 22 0,71480911 - 0,00112327г 0, 71755223 + 0,00034171« 0,002742 0,383644

0, 55 0 33 -1,64476930 + 0,00199295г -1,64471619 + 0,00027907« 0,000054 0,003302

0,55 0 44 -1,33087921 + 0,00476198« -1,33364249 + 0,00004782« 0,002755 0,206987

0,55 0 55 1,14787932 + 0,00448023« 1,14493842 - 0,00024629« 0,002949 0,257622

0,55 0 66 1,76269075 + 0,00120961« 1, 76241443 - 0,00045047« 0,000277 0,015699

0,55 0 77 -0,48763264 - 0,00218809« -0,48500177 - 0,00047419« 0,002635 0, 543409

0,66 0 22 0,65708899 - 0,00617439« 0,66046792 + 0,00041059« 0, 003350 0, 509809

0,66 0 33 -1,51366802 - 0,00401102« -1,51359942 + 0,00033196« 0,000074 0,004882

0,66 0 44 -1,22400428 - 0,00146831« -1,22736822 + 0,00006069« 0,003363 0,274759

0,66 0 55 1,05717523 - 0,00176138« 1,05365511 -0,00028056« 0,003522 0,334222

0,66 0 66 1,62206977 - 0,00485413« 1,62187863 - 0,00053302« 0,000198 0, 012228

0,66 0 77 -0,44986628 - 0, 00739317« -0,44648064 - 0,00057985« 0, 003446 0,771816

0,77 0 22 0,52870599 - 0, 00181710« 0,53207474 + 0, 00039604« 0,003365 0,636602

0,77 0 33 -1, 21925648 + 0, 00180891« -1,21916972 + 0,00032033« 0,000088 0, 007223

0,77 0 44 -0,98531144 + 0, 00518769« -0,98864751 + 0,00005983« 0,003322 0,337189

0,77 0 55 0,85222832 + 0, 00507209« 0, 84868897 - 0, 00026252« 0,003554 0,418809

0,77 0 66 1,30666324 + 0,00143123« 1,30636099 - 0,00051264« 0,000303 0,023189

0,77 0 77 -0, 36293882 - 0, 00245472« -0,35972975 - 0,00057153« 0,003217 0,894256

Таблица 3. Значения десятой собственной функции, найденные методом РС що(х,у) и методом А. Н. Крылова що(х,у) для возмущенного оператора Лапласа, вычисленные при а = Ь = 1 м р{х,у) = (1 + г)ху2.

п У x йп ип |ип - un\ Un\ х 100% 1 ип \

1 0,2 0,2 1,055176 1,054458 0,000718 0,06808

0,4 0,2 1,707129 1,706150 0,000979 0,05739

0,6 0,2 1,706897 1,70615 0,000747 0,04380

0,8 0,2 1,054794 1,054458 0,000336 0,03187

0,2 0,4 1,363366 1,362589 0,000776 0,05699

0,4 0,4 2,2056 2, 204716 0,000883 0,04009

0,6 0,4 2,205081 2, 204716 0,000365 0,01655

0,8 0,4 1,362481 1,362589 0,000107 0,00790

0,2 0,6 0, 706656 0,706302 0,000353 0,05010

0,4 0,6 1,14306 1.142822 0,000238 0,02083

0,6 0,6 1,142594 1,142822 0,000227 0,01993

0,8 0,6 0,705863 0,706303 0,000439 0,06220

0,2 0,8 -0,450115 -0,449893 0,000222 0, 04942

0,4 0,8 -0,728074 -0, 727942 0,000132 0,01816

0,6 0,8 -0,727758 -0, 727942 0,000184 0,02529

0.8 0,8 -0,449577 -0,449893 0,000315 0,07023

2 0,2 0,2 1,706643 1,706484 0,000159 0,00933

0,4 0,2 1,054195 1,054766 0,000571 0,05417

0.6 0,2 -1,055815 -1,054437 0,001378 0,13075

0,8 0,2 -1,70742 -1,70628 0,00114 0,06681

0,2 0,4 2, 205432 2,205147 0,000284 0,01291

0,4 0,4 1,362487 1.362987 0, 0005 0,03670

0,6 0,4 -1,363518 -1,362561 0,000956 0,07018

0,8 0,4 -2,205196 -2,204884 0,000312 0,01415

0,2 0,6 1,143141 1,143045 0,000096 0,00841

0,4 0,6 0,706387 0,706509 0,000122 0,01728

0,6 0,6 -0,706174 -0, 7062885 0,000113 0,01611

0,8 0,6 -1,142299 -1,142909 0,000609 0.05337

0,2 0,8 -0,728138 -0,728084 0,000053 0,00736

0,4 0,8 -0,449958 -0,450024 0,000065 0,01459

0,6 0,8 0,449753 0,449883 0,000131 0,02903

0,8 0,8 0,727537 0, 727997 0,000459 0,06318

Таблица 4. Значения собственных функций, найденные методом РС ип и методом А. Н. Крылова ип для возмущенного оператора Лапласа, вычисленные при а = у^, 6 = 1« р(х, у) = х^у2.

Приложение 2. Свидетельство о регистрации пакета программ.

20(>0-(|«.Ш

КАП

1ипЭВМ

^ Л А ,'П 1И (-1 : ! 1 '. ; ¡ли,-'.; ч. ! \И 1 номер г,'

^^¡^ ^ !-И

Ф \П

I ЛИП ВИП'.Ц

Ш2 1 нп и 1 среич ПС

I5 К| стр>!че1п<п»йсе ПО

Ол^ратюл!;! ттп,

ИШП1 А'

'АщскмчХР

Мгрк \

Рашони ;ность ПС Про! раммаып ь

Программа „IIикеч промшум Коми ¡ск г 1 рсч рами

Ьнилиотека грогр1»'*' 82 Программой ч сисгсиа 91 ]]ро|р!1чн <»1И комплекс 28 Информационная стругана * 7 Прочее

¿«9715?

кол программы по ['СНД

070971] 1 ОО.Ш 01

84 Объем программы [?58!

716? Грек оьшжажа р^лрабогки | 2012 0р 04

47 Описаний программы 56 Описание приченени 54 МО

Распространение ГШ ^ I 1 Сертификации

35 Оргсши пция гпрабогчнк 34 СЧр шфпцировава 44 Организация, «удушай ФМ14А |Не еерТ«фи»нропзна

»слепня об орг.¡ни мцяк пред о ста и чяютен АН!) ьо Н11'1 НЦ

а? Кол ОКНО 2934 ¡екфон 2394 Т<_ <ефаю 275 Пороз

!!ГЗ!1

38 И 2!

Магн^кч орел

•>2 Сокращенное название министерства (ве ломсгва) Мшюорнауы! России

2403 кол ватиц

'') Полное наименование ор!аж-шцш!

фглерал' ыри веп»ое ою*ыл:т аоо обраюйиТС'ЬНое) лг йнешгго ггрэф»ссиоа:алмого обралоаашт

' Млнлюгор! ьаи (л.'р,. гьенлш: VI иаари! ¡с!'

К Сокраиешша }'анмецо£а<ша ор{а изации

5 Адрес ор| алл ли ми

ФГЪОУ ШЮ "МаГ^"1

038, Чсяьбин^ая оил г Магнитогорск, просп Ленина, т П4

ведения об орган и¡ации-разрабогчике

& Зелефои '087 1елефакс 27«! Сород

14-23 * 592^2 Мапытогорск

7 Наименование орынизашш

фелеральшх-, ос},} араеенное бш гжеыое обра^овзю ллк«- }лре-|.л?нле высшего гфофессионадшо! о образования "Магнитогорский госудирыъенныП \ ниш-рс-ятет"

35 Сокращенное нлименстллло орпщпацяи ФГ ЬОУ ШТО "МаГУ"

%% Адрес организации

038 Челябинская оба, г Магнитогорск, проси Ленина д 114

О1) 06,2012