Спектральные задачи для некоторых линейных систем дифференциальных уравнений в частных производных тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Корниенко, Дмитрий Васильевич

• Корниенко, Дмитрий Васильевич
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Корниенко, Дмитрий Васильевич

Введение

1 Граничные задачи и операторные уравнения

1.1 Пространство Н и его представления

1.2 Описание спектральных задач.

1.3 Дифференциальный оператор В и его расширение.

1.4 Обобщённое решение; общие вопросы исследования спектра

2 Спектральные задачи для некоторых линейных систем

2.1 Задача Дирихле для КГ систем первого и второго типа

2.1.1 КГ система первого типа.

2.1.2 КГ система второго типа.

2.1.3 Сравнительный анализ и примеры.

2.2 Нелокальная задача для КЭ систем первого и второго типа

2.2.1 КЭ системы первого типа.

2.2.2 КЭ системы второго типа.

2.2.3 Сравнительный анализ и примеры.

2.3 Задача Коши для КГ и КЭ систем.

2.3.1 КГ системы первого и второго типа.

2.3.2 КЭ системы первого и второго типа.

2.4 Периодическая задача для системы уравнений смешанного типа.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Спектральные задачи для некоторых линейных систем дифференциальных уравнений в частных производных»

Диссертация посвящена исследованию спектральных характеристик ряда граничных задач для некоторых линейных систем дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка по выделенной переменной t, рассматриваемых в ограниченной области конечномерного евклидова пространства. Изучаемые системы уравнений удобно записать в виде так называемого операторного или дифференциально-операторного уравнения [И]

L(Dt, В)и aDtu + ЬВи = /, (1)

Здесь а, Ь-матрицы (2x2); Д-операция дифференцирования по переменной t. Оператор В действует в некотором сепарабелыюм комплексном гильбертовом пространстве Нх и удовлетворяет определённым требованиям, формулируемым в терминах спектральной теории операторов. Присоединив к уравнению, изучаемому на конечном отрезке Vt = [Ti, Т2], —00 <Т\^.0^Т2 < +оо, значений переменного t, систему условий

Г,« = 0, (2) описывающую поведение функции и = u(t) в точках Т\,Т2, получим граничную задачу, под решением которой мы понимаем сильное решение. Определив (обобщенное) решение граничной задачи (1), (2), получим замкнутый оператор L, действующий в соответствующим образом подобранном функциональном пространстве Н. Под спектральными характеристиками граничной задачи (1), (2) мы понимаем спектральные свойства оператора L : Я -» Я. В дальнейшем, как условия разрешимости, так и свойства решений изучаемой граничной задачи описываются или в терминах свойств резольвенты R\ = (L — А)-1, или в терминах свойств системы собственных вектор-функций замкнутого оператора L, сопоставляемого задаче.

Необходимость исследования линейных систем дифференциальных уравнений в частных производных возникает при изучении разнообразных физических, химических, биологических, социальных процессов и явлений. Например, системы С. JI. Соболева для случая сжимаемой жидкости-в гидродинамике, системы уравнений смешанного типа возникают в трансзвуковой газодинамике. К исследованию таких систем уравнений приводят также многие актуальные задачи теории малых изгибаний поверхности вращения, безмоментной теории оболочек с кривизной переменного знака, теории изгибов пластинки переменной толщины с острым углом. Важные приложения теории систем уравнений в частных производных и проблемы, связанные с исследованием свойств разрешимости формулируемых краевых задач стимулировали исследование соответствующих спектральных задач. Спектральная теория операторов, порождённых краевыми,задачами как для уравнений, так и для систем уравнений в частных производных, начала развиваться сравнительно недавно в ряде работ российских и зарубежных математиков. Изучались при этом как асимптотическое поведение собственных значений и расположение спектра на комплексной плоскости, так и базисные свойства систем, составленных из собственных элементов. Исследование структуры спектра и возможности разложения решений по системе собственных элементов является в настоящее время одним из основных направлений при изучении вопросов спектральной теории краевых задач для систем дифференциальных уравнений в частных производных. Несмотря на значительный интерес к указанной проблематике, до сих пор не разработан метод, позволяющий ответить на возникающие вопросы даже для простейших систем уравнений при числе переменных больше двух; общие вопросы спектральной теории граничных задач для линейных систем дифференциальных уравнений в частных производных также изучены недостаточно полно. В большей степени это относится к системам, не относящихся к классическим типам: эллиптическим, гиперболическим, параболическим. Учитывая важность свойств граничных задач для неклассических систем линейных уравнений, изучение спектральных характеристик последних весьма актуально.

Теория граничных задач для систем уравнений в частных производных, имея разнообразные применения, базируется на многочисленных методах (асимптотический, вариационный, проекционный, численные методы, методы интегральных уравнений, функциональные и другие) и формах (последовательные приближения, сжимающие отображения, различные формы интегральных преобразований, спектральные и другие) исследования. В связи с этим замечанием отметим, что проводимые нами исследования базируется на методах, которые принято называть функциональными, а свойства разрешимости описываются в терминах спектральной теории линейных операторов. Функциональные методы развивали и широко использовали в своих научных исследованиях К.Фридрихе, Л.Хёрмандер, С.Л.Соболев, А.А.Дезин, В.Н.Масленникова, В. А. Ильин, В. К. Романко, Е. И. Моисеев, А. П. Солдатов, А. С. Ма-кин, Н.Х. Агаханов, их ученики и последователи.

Спектральная теория дифференциальных операторов, порождённых граничными задачами для уравнений и систем уравнений в частных производных начала развиваться сравнительно недавно. В работах Т. Ш. Кальменова [17], Е. И. Моисеева [32], А. А. Дезина [10], [И], В. К. Романко [39] и ряда других авторов исследовались вопросы спектра граничных задач для уравнений смешанного типа. Изучались при этом как структура спектра, так и асимптотическое распределение собственных значений на комплексной плоскости. Свойства систем собственных функций в связи с изучением вопросов спектральной теории дифференциальных операторов в частных производных изучали А. В.Бицадзе [2], А.А.Дезин [И], В.А.Ильин [15], [16], В.П.Михайлов [31], Е.И.Моисеев [33], [34], [35], Н.Ю.Капустин [18], Б.Т.Билалов [1]. Соответствующие исследования нашли своё отражение в предлагаемой работе.

В диссертации проводится сравнительное изучение спектральных характеристик ряда краевых задач для однотипных линейных систем дифференциальных уравнений в частных производных, рассматриваемых в ограниченной области конечномерного евклидова пространства. Изучение ведётся с позиций дифференциально-операторных уравнений первого порядка по выделенной переменной. Простейшими примерами классических систем уравнений в частных производных, попадающих в поле наших рассмотрений, могут служить эллиптические системы вида:

Dtu1 - Dxu2 - ей2 = /\ Dtu2 + ДУ + ей1 = /2; (3)

- Dtul + Dxu2 + ей2 = f\ Dtu2 + Dxul + ей1 = /2. (4)

Отметим, что система (4) подобна системе (3) в следующем смысле: после умножения первого уравнения системы (4) на —1 и формальной замены —f1 на /1 (в силу произвольности правой части), получаем систему (3). Эти преобразования могут наводить на мысль о совпадении свойств разрешимости краевых задач для данных систем безотносительно к условиям, определяющим краевую задачу. Если это так, то что можно сказать о совпадении спектральных свойств операторов, порождённых произвольной наперёд заданной краевой задачей для систем (3) и (4)? Исследования автора показывают, что спектральные свойства рассматриваемых дифференциальных операторов (порождаемых, например, нелокальной задачей по переменным t,x) принципиально различны. Эти различия проявились как в структуре спектра, так и в свойствах базисности систем собственных вектор-функций. Изучаемые в работе краевые задачи содержат классическую задачу сопряжения для систем уравнений смешанного типа и для систем уравнений классических типов с разрывными коэффициентами.

Сделаем несколько замечаний о структуре и оформлении диссертации. Диссертация состоит из введения, глав и списка литературы, вынесенных в оглавление. В оглавление вынесены также пункты и подпункты.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Корниенко, Дмитрий Васильевич, 2006 год

1. БилаловБ.Т. Базисы из экспонент, косинусов и синусов, являющиеся собственными функциями дифференциальных операторов // Дифференц. уравнения.-2003.-Т. 39, №5.-С. 619-623.

2. Бицадзе А. В. Об одной системе функций // Успехи математических наук.-1950.-Т. 5, вып. 4(38).-С. 154-155.

3. ДанфордН., ШварцДж.Т. Линейные операторы, Т.1. Общая теория- М.: И.Л., 1962.-895с.

4. ДанфордН., ШварцДж.Т. Линейные операторы, Т.2. Спектральная теория- М.: И.Л., 1966.-1063с.

5. Дезин А. А. Граничные задачи для некоторых симметричных линейных систем первого порядка // Матем. сборник-1959.-Т. 49(91), выпуск 4.-С. 459-484.

6. Дезин А. А. Теоремы существования и единственности решения граничных задач для уравнений с частными производными в функциональных пространствах // Успехи матем. наук-1959.-Т. 14, вып. 3(87)-С. 21-73.

7. Дезин А. А. Операторы с первой производной во ',времеии"и нелокальные граничные условия // Изв. АН СССР. Сер. матем.-1967.-Т. 31, Выпуск 1.-С. 61-86.

8. Дезин А. А. Несуществование некоторых разрешимых расширений // Докл. АН СССР.-1968.-Т. 183, ДОЗ.-С. 507-510.

9. Дезин А. А. Общие вопросы теории граничных задач-М.: Наука, 1980.-207с.

10. Дезин А. А. Вырождающиеся операторные уравнения // Математический сборник.-1981.-Т. 115(157), №3(7).-С. 323-336.И. Дезин А. А. О слабой и сильной иррегулярности // Дифференц. уравнения. -1981. Т. 17, МО.-С. 1851-1858.

11. Дезин А. А. Дифференциально-операторные уравнения. Метод модельных операторов в теории граничных задач.-М.: Наука-МАИК "Наука/Интерпериодика", 2000.-175с. (Тр.МИАН; Т.229).

12. ЖураН.А., Ораевский А. Н. Задача Коши для одной гиперболической системы с постоянными коэффициентами // Докл. АН России-2004.-Т. 396, №5-с. 590-594.

13. Ильин В. А. Метод Фурье для гиперболического уравнения с разрывными коэффициентами // Докл. АН СССР.-1962.-Т. 142, №1.-С. 21-24.

14. Ильин В. А. О безусловной базисности на замкнутом интервале системы собственных и присоединённых функций дифференциальных операторов второго порядка // Докл. АН СССР. -1983. Т. 273, №5-С. 1048-1053.

15. Ильин В. А. Необходимые и достаточные условия базисности Рисса корневых векторов разрывных операторов второго порядка // Дифференц. уравнения.-1986.-Т. 22, №12.-С. 2059-2071.

16. КальменовТ. Ш. О регулярных краевых задачах и спектре для уравнений гиперболического и смешанного типов: Дисс. .доктора, физ.-мат. наук. М., МГУ, 1982.-241с.

17. Капустин Н.Ю., Моисеев Е. И. О спектральных задачах со спектральным параметром в граничном условии // Дифференц. уравнения.-1997.-Т. 33, М.-С. 115-119.

18. КачмажС. ШтейнгаузГ. Теория ортогональных рядов-М.: Гос.из-во физ.-мат. литературы, 1958.-508с.

19. Корниенко Д. В. О спектре вырождающихся уравнений // Методология и методика непрерывного образования: межвузовский сборник научных трудов. Елец: ЕГУ им. И.А.Бунина, 2001.-С. 118-121.

20. Корниенко Д. В. //О спектре слабо иррегулярных уравнений. // Дисс. .магистра физ.-мат. наук, Самарканд, СамГУ, 2001.-51с.

21. Корниенко Д. В. О спектре граничных задачах для систем линейных дифференциально-операторных уравнений // Вестник Елецкого госуниверситета им. И.А.Бунина. Вып. 5: Серия "Математика, физика".-Елец: ЕГУ им. И.А.Бунина, 2004.-С. 63-71.

22. Корниенко Д. В. О спектральных задачах для систем линейных дифференциально-операторных уравнений // Вестник Елецкого госуниверситета им. И.А.Бунина. Вып. 5: Серия "Математика, физика".-Елец: ЕГУ им. И.А.Бунина, 2004.-С. 71-78.

23. Корниенко Д. В. О спектре задачи Дирихле для КГ систем первого и второго типов. Сборник тезисов XLI Всероссийской конференции по проблемам математики, информатики, физики и химии", -Москва РУДН 2005г.

24. Корниенко Д. В. Некоторые вопросы применения универсальных математических систем // Информатизация образования-2005: Материалы международной научно-практической конференции.-Елец: Елецкий государственный университет им. И.А.Бунина, 2005.-С. 225-229.

25. Корниенко Д. В. О КЭ системах первого и второго типов // Вестник Елецкого госуниверситета им. И.А.Бунина. Вып. 8: Серия "Математика. Компьютерная математика".-Елец: ЕГУ им. И.А.Бунина, 2005.-М.-С. 48-59.

26. Корниенко Д. В. Об одной спектральной задаче для двух гиперболических систем уравнений // Дифференц. уравнения.-2006.-Т. 42, т.-С. 91-100.

27. Макин А. С. О базисности системы собственных функций одной нелинейной спектральной задачи // Дифференц. уравнения.-2003.-Т. 39, №5.-С. 612-618.

28. Масленникова В. Н. О смешанных задачах для одной системы уравнений математической физики // Докл. АН СССР.-1955.-Т. 102, №5.-С. 885-888.

29. Михайлов В. П. О базисах Рисса в С2{0,1). Докл. АН СССР. -1962. -Т. 144, №5.-С. 981-984.

30. Моисеев Е. И. Некоторые вопросы спектральной теории уравнений смешанного типа: Дисс. .доктора физ.-мат. наук.-Москва, МГУ, 1979.

31. Моисеев Е. И. О базисности системы синусов и косинусов // Докл. АН СССР.-1984.-Т. 275, №4.-С. 794-798.

32. Моисеев Е. И. О базисности одной системы синусов // Дифференц. уравнения.-1987.-Т.23, М.-С. 177-179.

33. Моисеев Е. И. Уравнения смешанного типа со спектральным пара-мером-изд-во МГУ, 1988г.-150с.

34. НаймаркМ.А. Линейные дифференциальные операторы-М.: Наука, 1969.-526с.

35. Номировский Д. А. Обобщённая разрешимомсть параболических систем с неоднородными условиями сопряжения типа неидеального контакта // Дифференц. уравнения.-2004.-Т. 40, №10.-С. 1390 — 1399.

36. РоманкоВ.К. Граничные задачи для общих дифференциальных операторов с выделенной переменной: Дисс. .доктора физ.-мат. наук, М., МИАН, 1980.

37. РоманкоВ.К. О собственных значениях краевых задач для некоторых уравнений, меняющих тип // Дифференц. уравнения. -1983. Т. 19, №10.-С. 1759-1764.

38. Романко В. К. Нелокальные граничные задачи для некоторых систем уравнений // Матем.заметки АН СССР. -1985. Т. 37, выпуск 5. - С. 727-733.

39. РоманкоВ.К. Смешанные краевые задачи для одной системы уравнений // Докл. АН СССР.-1986.-Т. 286, №1.-С. 47-50.

40. РоманкоВ.К. О системах операторных дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения.-1987.-Т. 23, №9. -С. 1574-1585.

41. Романко В. К. Граничные задачи для вырожденных систем уравнений // Дифференц. уравнения.-1989.-Т. 27, №12. -С. 2138-2147.

42. Садовничий В. А. Теория операторов-М.: Высшая школа, 1999. — 368с.

43. Соболев С. JI. Некоторые приложения функционального анализа в математической физике-М.: Наука, 1998,-334с.

44. СолдатовА. П. Задача Римана-Гильберта для системы Лаврентьева- Бицадзе в смешанной области с характеристическим участком границы // Дифференц. уравнения.-2002.-Т. 398 №12. -С. 16531663.

45. СолдатовА.П. О первой и второй краевых задачах для эллиптических систем на плоскости // Дифференц. уравнения.-2003.-Т. 39, №5. -С. 674-686.