Исследование некоторых классов интегродифференциальных уравнений, возникающих в теплофизике и акустике тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Раутиан, Надежда Александровна

• Раутиан, Надежда Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Раутиан, Надежда Александровна

Введение

1 Разрешимость интегродифференциальных уравнений в пространствах Соболева

1.1 Вектор-функции в гильбертовом пространстве и их свойства.

1.2 Пространства Соболева вектор-функций

1.3 Интегродифференциальные уравнения первого порядка.

1.4 Интегродифференциальные уравнения второго порядка.

2 Спектральный анализ интегродифференциальных уравнений.

2.1 Общая структура спектра оператор-функции Ь{А).

2.2 Асимптотика комплексной части спектра оператор-функции Ь{\) в случае, когда принадлежит пространству И/11(М+).

2.3 Асимптотика комплексной части спектра оператор-функции

Ь(Х) в случае, когда принадлежит пространству £і(М+).

3 Представления решений интегродифференциальных уравне

3.1 Представление в виде ряда решения задачи (0.7), (0.8) для однородного уравнения (/(£) = 0).

3.2 Представление в виде ряда решения задачи (0.7), (0.8) с однородными начальными условиями (</?о = <¿>1 = 0).

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование некоторых классов интегродифференциальных уравнений, возникающих в теплофизике и акустике»

Актуальность темы.

Широкий класс задач, возникающих в приложениях, приводит к необходимости изучения начально-краевых задач для интегродифференциальных уравнений.

Укажем ряд задач, которые естественно приводят к необходимости исследования упомянутых интегродифференциальных уравнений. 1. Задачи распространения тепла в средах с памятью.

В работе [44] было выведено интегродифференциальное уравнение, описывающее процесс распространения тепла в средах с памятью с конечной скоростью, которое имеет вид аАхи(Ь, х) + / К'^ — з)Ахи(з,х)с1з/(х,£)

По видимому, после этой работы в зарубежной литературе уравнения указанного вида стали называться уравнениями Гуртина-Пипкина. Наряду с уравнениями второго порядка по временной переменной £ рассматриваются и уравнения первого порядка вида щ(х,г) = / К{Ь - т)Ахи(х,т)йт +

Уравнение такого вида изучалось в работе [56]. Уравнения указанного вида также называются уравнениями Гуртина-Пипкина.

В книге [20] исследуются различные модели теплопроводности с памятью, среди которых при определенных значениях параметров возникает и модель, соответствующая уравнению Гуртина-Пипкина. В работе [45] изучаются вопросы управления решением с помощью граничных и распределенных воздействий.

2. Теория вязкоупругости, задачи наследственной механики.

В теории вязкоупругости ядро свертки K(t) определяется в результате эксперимента. Полученные кривые часто приближаются функцией roo -tr

I<(t) ~ / -ф(т),

J о г где положительная мера d¡i с компактным носителем определяется возрастающей, непрерывной справа функцией распределения ¡л. Интеграл понимается в смысле Стильтьеса. Динамика одномерной вязкоупругости среды описывается следующим уравнением второго порядка по временной переменной t putt = кихх + (3utxx + K'(t — r)uxx(x, r)dr + f(x, t)

J 0

Последнее уравнение интегрированием no t может быть преобразовано в уравнение, аналогичное уравнению Гуртина-Пипкина с дополнительным слагаемым (Зихх. Это слагаемое соответствует в исходной модели мгновенному трению Кельвина-Фойгхта.

3. Теория сильнонеоднородных сред. Теория усреднения.

В теории сильнонеоднородных сред уравнение Гуртина-Пипкина возникает в результате процедуры усреднения двухфазной среды, состоящей из двух жидкостей. Предполагается, что смесь имеет периодическую структуру (модельный случай) и линейные размеры одной ячейки периодичности равны по величине е, где е - малый параметр. Предельный переход при е —> 0 в краевых задачах для описанной выше двухфазной среды исследован в книге

34] (см. также работы [14], [26] и [32]). В результате предельного перехода при е —> 0 в решении указанной краевой задачи для двухфазной среды получается уравнение на предельное звуковое давление. Это уравнение имеет вид

Pt= I divD(t)Vxp{x,r)dr, х = (XI,X2,X3), J о где Dit) - так называемая „динамическая матрица Дарси", коэффициенты которой dij{t) - функции времени, представляющие собой суммы экспонент оо dy(t) = £Çe"7fct + (7fe +оо). к=1

Если включение одной фазы в другую в пределах одной ячейки периодичности обладает полной симметрией (т.е. оно симметрично относительно трех взаимно-перпендикулярных плоскостей симметрии в трехмерном случае), то матрица Dit) является скалярной матрицей и определяется одним диагональным элементом d(t), для которого имеет место представление оо

Ск d(t) = £ — e~7fci + Со.

Если рассматривать только однородные движения для усредненной (эффективной) среды (все неизвестные функции зависят от одной пространственной переменной х\), то уравнение для звукового давления примет вид уравнения Гуртина-Пипкина, причем

00

Ск

Ы I7* где (а это имеет существенное значение для анализа собственных колебаний рассматриваемой среды) оо оо

Ск ОО, У^С/с = ОО- (0.1) к=1 7к к=1

Последние два условия означают, что величина ^(0) конечна, но производная К'{1) имеет особенность в точке £ = 0 {К'(Ь) € £].(]{&+)). Эти условия могут быть доказаны строго, с помощью методов теории усреднения (см., например, книгу [34]).

Если бы микроструктура смеси жидкостей имела бы непрерывную плотность из пространства И^1 (т.е. смесь не имела бы резких границ между фазами), то были бы выполнены условия что соответствует конечности величин К(0) и Х'(0)(т.е. К'{1) € И^М^.)). Более подробное изложение содержится в работе [18]. В диссертации показано, какое значение имеет выполнение условий конечности (или бесконечности) величины -КТ'(О) для качественного анализа спектральных свойств уравнения Гуртина-Пипкина.

Здесь необходимо упомянуть также работы [14], [15], в которых проведено подробное исследование близких задач параболического типа. 4. Кинетическая теория газов.

Уравнения, по структуре и свойствам напоминающие исследуемое в настоящей работе уравнение Гуртина-Пипкина возникают в кинетической теории газов. В кинетической теории газов уравнения сплошной среды выводятся из законов попарного взаимодействия молекул. Из уравнения Больцмана с помощью метода Грэди можно вывести цепочку уравнений для моментов. Моменты - это усреднения функции распределения молекул по координатам и скоростям по переменным скорости с определенными весами. В частности, обычные компоненты системы Навье-Стокса - скорость, давление, плотность (как функции пространственных переменных и времени) могут быть представлены как моменты в цепочке моментных уравнений. оо оо

0.2)

Уравнение Навье-Стокса может быть получено из моментной системы с помощью процедуры описанной в работе [27]. Применение указанной процедуры приводит к системе типа Навье-Стокса с интегральными членами типа свертки. В качестве модельного примера приведем уравнение

При отбрасывании нелинейного члена последнее уравнение совпадает с исследуемым в данной работе уравнением Гуртина-Пипкина. В более общих случаях аналогичная система для консервативных переменных будет сложнее, однако, по своим свойствам она напоминает уравнение Гуртина-Пипкина.

Основное внимание в диссертации уделено вопросам корректной разрешимости, спектральным вопросам, а также асимптотическому поведению решений характеристических уравнений (символов), возникающих в результате преобразования Лапласа по времени. В связи с этим, естественней и удобнее рассматривать интегродифференциальные уравнения с неограниченными операторными коэффициентами (абстрактные интегродифференциальные уравнения), которые при необходимости могут быть реализованы как интегродифференциальные уравнения с частными производными по пространственным переменным. Самосопряженный положительный оператор А, фигурирующий в дальнейшем, может быть реализован, как А2у = —у"(х), где х Є (0,7г), 2/(0) = у{тт) = 0, либо как А2у — —Ду с условиями Дирихле в ограниченной области с гладкой границей. Также, возможен случай Ау = — у"(х), где х Є (0,7г), 7/(0) = у(7г) = 0, или Ау = —Ау с условиями Дирихле в ограниченной области с гладкой границей.

В настоящее время имеется значительное число работ, посвященных изучению вопросов разрешимости и асимптотического поведения решений интегродифференциальных уравнений в банаховых и, в частности, в гильл бертовых пространствах. Отметим, что изучение интегродифференциальных уравнений с операторными коэффициентами в этих пространствах является естественным развитием теории операторно-дифференциальных уравнений и тесно связано с теорией полугрупп, берущих свое начало с работ Т. Като, Э. Хилле, Р. Филлипса, С. Г. Крейна, С. Агмона и Л. Ниренберга, а также нашедших отражение в недавней монографии К. Енгела и Р. Г. Найгела.

В дальнейшем, исследования дифференнциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами были продолжены в работах А. А. Шкаликова (см., например, работу [35] и указанную там библиографию).

Изучение интегродифференциальных уравнений с операторными коэффициентами естественно приводит к исследованию оператор-функций, являющихся символами (аналогами характеристических квазимногочленов) указанных уравнений.

Изучением интегродифференциальных уравнений, главной частью которых является абстрактное параболическое уравнение занимались многие авторы. Ограничимся здесь упоминанием наиболее близких к предмету рассмотрения работ [1], [2], [5], [57], [62].

Значительно меньше работ, посвященных интегродифференциальным уравнениям, главной частью которых является абстрактное волновое уравнение. Наиболее близкими являются работы [23] - [18].

Цель работы.

- Получить результаты о корректной разрешимости начально-краевых задач для некоторых классов интегродифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве, возникающих в приложениях.

- Провести спектральный анализ оператор-функций, являющихся символами рассматриваемых уравнений. Исследовать асимптотику комплексной части спектра, в зависимости от свойств ядер рассматриваемых ин-тегродифференциальных уравнений.

- Получить результаты о представлении сильных решений интегродиффе-ренциальных уравнений в виде сумм рядов по экспонентам, отвечающим точкам спектра, указанных оператор-функций. На этой основе, получить результаты о структуре и асимптотических свойствах решений изучаемых интегродифференциальных уравнений.

Методика исследования.

В работе применяются методы функционального и комплексного анализа, а также методы теории дифференциальных уравнений в частных производных.

Научная новизна.

В диссертации получены новые результаты, основные из них состоят в следующем:

1) Получены результаты о корректной разрешимости начально-краевых задач в пространствах Соболева вектор-функций на положительной полуоси для интегродифференциальных уравнений первого и второго порядка по временной переменной, включающих в себя задачи с трением Кельвина-Фойгхта.

2) Проведен спектральный анализ оператор-функций, являющихся символами интегродифференциальных уравнений: установлена общая структура спектра, получены асимптотики вещественной и комплексной частей спектра указанных оператор-функций. Изучена зависимость локализации спектра от свойств ядер интегральных операторов, входящих в изучаемые уравнения.

3) Получены результаты о представлении решений в виде сумм рядов по экспонентам, отвечающим точкам спектра оператор-функций, являющихся символами изучаемых уравнений. На основе этого изучены асимптотические свойства решений упомянутых уравнений.

Теоретическая и практическая ценность.

Работа носит теоретический характер. Результаты работы могут быть полезны как специалистам, работающим в области дифференциальных уравнений в частных производных и функционального анализа, так и в исследованиях прикладного характера.

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались на следующих научных семинарах:

• семинар "Асимптотические методы для уравнений математической физики" кафедры дифференциальных уравнений механико-математического факультета МГУ под руководством проф. В. В. Жикова, проф. Е. В. Радкевича, проф. А. С. Шамаева, проф. Т. А. Шапошниковой. (2009-2011 гг., неоднократно);

• семинар "Интегродифференциальные и функционально-дифференциальные уравнения и их спектральный анализ" кафедры математического анализа механико-математического факультета МГУ под руководством проф. В. В. Власова, проф. А. С. Шамаева (2009-2011 гг., неоднократно);

• семинар "Операторные модели в задачах математической физики" кафедры теории функций и функционального анализа механико-математического факультета МГУ под руководством проф. А. А. Шпаликова (2009-2011 гг., неоднократно);

• семинар по теории функций кафедры теории функций и функционального анализа механико-математического факультета МГУ под руководством проф., ч л .-корр. РАН Б. С. Кашина, проф. Б. И. Голубова, проф. М. И. Дьяченко, проф. С. В. Конягина (2011 г.);

• семинар "Негармонический анализ" кафедры математического анализа механико-математического факультета МГУ под руководством проф. А. М. Седлецкого (2011 г.).

• семинар по дифференциальным уравнениям в частных производных МИРАН им. В. А. Стеклова под руководством проф. В. П. Михайлова и проф. А. К. Гущина (2011 г.).

Результаты диссертации докладывались также на следующих научных конференциях:

• Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. (Суздаль, 2010);

• Международная конференция „Качественная теория дифференциальных уравнений и приложения" (Москва, МЭСИ, 2010);

• Международная конференция „Актуальные направления развития прикладной математики в энергетике, энергоэффективности и информационно-коммуникационных технологиях", посвященная 180-летию МГТУ им. Н. Э. Баумана (Москва, МГТУ);

• Воронежская зимняя математическая школа „Современные методы теории функций и смежные проблемы" (Воронеж, 2011);

• Международная конференция „Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященная памяти И. Г. Петровского (Москва, МГУ, 2011).

Публикации.

Результаты диссертации опубликованы в 9 работах автора, 3 из которых опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения и трех глав, подразделенных в общей сложности на 9 параграфов. Объем диссертации составляет 121 страницу. Список литературы включает 62 наименования.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Раутиан, Надежда Александровна, 2011 год

1. Власов В. В. О разрешимости и свойствах решений функционально-дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве // Мат. сб. - 1995. - 186. N 8.- 0. 67-92.

2. Власов В. В. О разрешимости и оценках решений функционально-дмфференциальных уравнений в пространствах Соболева// Тр. Мат. инта им. В. А. Стеклова. 1999. - 227. - С. 109-121.

3. Власов В. В. О корректной разрешимости абстрактных параболических уравнений с последействием// Докл. РАН. — 2007. — 415. е 2. — С. 151152.

4. Власов В. В., Шматов К. И. Корректная разрешимость уравнений гиперболического типа с запаздыванием в гильбертовом пространстве// Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова. 2003. - 243. - С. 127-137.

5. Власов В. В., Медведев Д. А. Функционально-дифференциальные уравнения в пространствах Соболева и связанные с ними вопросы спектральной теории. // Современная математика. Фундаментальные направления. 2008. - 30. - С. 3-173.

6. Власов В. В., Ву Дж. Спектральный анализ и разрешимость абстрактных гиперболических уравнений с последействием.// Дифференциальные уравнения. -2009. -45 —N 4. -С. 524-533.

7. Власов В. В., Гавриков А. А., Иванов С. А., Князьков Д. Ю., СамарииB. А., Шамаев А. С. Спектральные свойства комбинированных сред. // Современные проблемы математики и механики. — 2009. — 5. — N 1. —C. 134-155.

8. Власов В. В., Ву Док,., Кабирова Г. Р. Корректная разрешимость и спектральные свойства абстрактных гиперболических уравнений с последействием. // Современная математика. Фундаментальные направления. — 2010. 35. - С. 44-59.

9. Власов В. В., Раутиан Н. А. Корректная разрешимость и спектральный анализ абстрактных гиперболических интегродифференциальных уравнений. // Труды семинара им. И. Г. Петровского. —2011. —29 — С. 73-112.

10. Власов В. В., Раутиан Н. А., Шамаев А. С. Разрешимость и спектральный анализ интегродифференциальных уравнений, возникающих в теплофизике и акустике. // Доклады РАН. —2010. 34 —№ 1. —С. 12-15.

11. Власов В. В., Раутиан Н. А., Шамаев А. С. Спектральный анализ и корректная разрешимость абстрактных интегродифференциальных уравнений, возникающих в теплофизике и акустике. // Современная математика. Фундаментальные направления. —2011. —39 —С. 36-65.

12. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов. — М. "Наука" 1967.

13. Гринив Р. О., Шкаликов А. А. О пучке операторов, возникающем в задаче о колебаниях стержня с внутренним трением//Матем. заметки, — 1994, 56 - №2, - с. 114-131

14. Жиков В. В. Об одном расширении и применении метода двухмасштаб-ной сходимости. // Математический сборник. —2000. —191 —N 7. —С. 31-72.

15. Жиков В. В. О двухмасштабной сходимости. // Труды семинара им. И. Г. Петровского. -2003. -Вып. 23 -М. „МГУ" -С. 149-187.

16. Иосида К. Функциональный анализ. — М. „Мир" 1967.

17. Копачевский Н. Д., Крейн С. Г. Operator approach to Linear // Problems of Hydrodynamics. Vol. 2. Nonself adjoint Problems for Viscous Fluids. — Berlin: Basel-Boston, 2003.

18. Космодемьянский Д. А., Шамаев А. С. О некоторых спекральных задачах в пористых средах, насыщенных жидкостью.// Современная математика. Фундаментальные направления. — 2006. —17. — С. 88-109.

19. Лионе Ж. П., Мадэюепес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. — М. 1971.

20. А.В.Лыков Проблема тепло- и массообмена — Минск „Наука и техника" 1976.

21. Маркус А. С. Введение в спектральную теорию полиномиальных операторных пучков. — Кишинев. „Штиинца" 1986. — 260с.

22. Милославский А. И. Об устойчивости некоторых классов эволюционных уравнений// Сиб. матем. журнал, — 1985, — 26, — С. 118-132.

23. Милославский А. И. Спектральные свойства операторного пучка, возникающего в вязкоу пру гости. // Депонировано в Укр. НИИНТИ. 13.07.87. N 1229-УК87. Харьков. 1987. - С. 53.

24. Мило слав ский А. И. О спектре неустойчивости операторного пучка // Матем. заметки, — 1991, —49— №4, — с. 88-94.

25. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. — М. „Наука" 1976.

26. Михлин С. Г. Линейные уравнения в частных производных. — М. „Высшая школа" 1977.

27. Палин В. В., Радкевич Е. В. Законы сохранения и их гиперболические регуляризации. // Современные проблемы математики и механики. — 2009. —5 —И 1., Дифференциальные уравнения. —С. 88-115.

28. Раутиан Н. А. О структуре и свойствах решений интегродифференци-альных уравнений, возникающих в теплофизике и акустике. // Математические заметки. —2011. —90 —№ 3. —С. 474-477.

29. Раутиан Н. А. О представлении решений интегродифференциальный уравнений, возникающих в теплофизике и акустике. // Материалы Воронежской зимней математической школы „Современные методы теории функций и смежные проблемы". —Воронеж —2011. —С. 279-280.

30. Сандраков Г. В. Многофазные осредненные модели диффузии для задач с несколькими параметрами.// Известия РАН. Серия математическая. -2007. -71 —N 6. -С. 119-72.

31. Сандраков Г. В. Спектральные свойства однородных моделей диффузии в сильно неоднородных средах.// Доклады РАН. Серия математическая. -2006. —411 —N 2. -С. 167-170.

32. Санчес. Паленсия Э. Неоднородные среды и теория колебаний. — М. „Мир" 1984.

33. Шкаликов А. А. Эллиптические уравнения в гильбертовом пространстве и спектральные задачи, связанные с ними// Тр. семин. им. И. Г. Петровского, -1989. -14. С. 140-224.

34. Avdonin S. A., Ivanov S. A. Families of Exponentials. Method of Moments in Contrallability Problems for Distributed Parameter Systems. — Cambridge UK: Cambridge University Press, 1995.

35. Biot M. A. Generalized theory of acoustic propagation in porous dissipative media // J. Acoust. Soc. Amer. 1962. - 34. - P. 1254-1264.

36. Desch W., Miller R. K. Exponential stabilization of Volterra Integrodifferential equations in Hilbert space. //J. Differential Equations. — 1987. 70. - P. 366-389.

37. Di Blasio G. Parabolic Volterra equations of convolution type// J. Integral Equations Appl. — 1994. —6. -P. 479-508.

38. Di Blasio G., Kunisch K., Sinestari E. L2-regularity for parabolic partial integrodifferential equations with delays in the highest order derivatives// J. Math. Anal. Appl. 1984. -102. -P. 38-57.

39. Di Blasio G., Kunisch K., Sinestari E. Stability for abstract linear functional differential equations// Izrael. J. Mathematics. — 1985. — 50. e 3. — P. 231263.

40. Engel K-J., Nagel R. One-Parameter Semigroup for Linear Evolution Equations. —Springer, 1999.

41. A. Eremenko, S.Ivanov. Spectra of the Gurtin-Pipkin type equations // SIAM. Journal on Mathematical Analysis. (Accepted.)

42. Gurtin M. E., Pipkin A. C.Theory of heat conduction with finite wave speed// Arch. Rat. Mech. Anal. 1968. - 31. - P. 113-126.

43. Ivanov S., Pandolfi L. Heat equations with memory: lack of controllability to the rest. Jornal of Mathematical analysis and applications. — 2009. — 355. C. 1-11.

44. Ivanov S. A., Sheronova T. L. Spectrum of the heat equation with memory. — arXiv;http://arxiv.org/abs/0912.1818vl.

45. Ivanov S. A. 'Wave type' spectrum of the Gurtin-Pipkin equation of the second order. — arXiv;http://arxiv.org/abs/1002.2831.

46. Kunisch K., Mastinsek M. Dual semigroups and structual operators for partial differential equations with unbounded operators acting on the delays// Differ. Integral Equations. — 1990. — 3. e 4. — P. 733-756.

47. Kunisch K., Shappacher W. Necessary conditions for partial differential equations with delay to generate /o~semigroup// J. Differ. Equations. — 1983. 50. - P. 49-79.

48. Medvedev D. A., Vlasov V. V., Mi J. Solvability and structural properties of abstract neutral functional differential equations// J. Functional Differential Equations. 2008. - 15. e 3-4, - P. 249-272.

49. A. Meirmanov Acoustic and filtration properties of a thermoelastic porous medium: Biot's equations of thermo poroelasticity. // Sbornik Mathematics - 2008. — 3 — P. 1-24.

50. Miller R. K. Volterra Integral Equation in Banach Space // Funkcialaj Ekvac. 1975. - 18. - P. 163-194.

51. Miller R. K. An integrodifferential equation for rigid heat conductors with memory// J. Math. Anal. Appl. 1978. - 66. - P. 313-332.

52. Miller R. K., Wheeler R. i.Well-posedness and stability of linear Volterra interodifferential equations in abstract spaces// Funkcialaj Ekvac. — 1978. — 21. P. 279-305.

53. Nguetseng G. A general convergence result for a functional related to the theory of homogenezation// SIAM. Anal. 1990. -21.-N 6. - P. 13961414.

54. Pandolfi L.The controllability of the Gurtin-Pipkin equations: a cosine operator approach. // Appl. Math. Optim. — 2005. — 52. — P. 143-165.

55. Priiss J. Evolutionary Integral Equations amd Applications// Monographs in Mathematics. —1993. —87, Birkhauser Verlag. Basel-Baston-Berlin.

56. Vlasov V. V., Wu J. Solvability and Spectral Analysis of Abstract Hyperbolic equations with delay// J. Functional Differential Equations. — 2009. — 16. — N 4. P. 751-768.

57. Wu J. Semigroup and integral form of class of partial differential equations with infinite delay// Differ. Integr. Equations. — 1991. — 4. e 6. — P. 13251351.

58. Wu J. Theory and applications of partial functional differential equations. Appl. Math. Sci. — New York: Springer-Verlag, 1996. —119.