О смешанных задачах для одного класса систем не типа Коши-Ковалевской тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Янов, Сергей Иванович

• Янов, Сергей Иванович
• кандидат физико-математических наук
• 1983

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Янов, Сергей Иванович

ВВЕДЕНИЕ

СОДЕРЖАНИЕ

ГЛАВА. I. О корректной разрешимости смешанных задач для одного класса систем не типа Коши-Ковалевской в четверти пространства.

§ I. Основные определения и предположения.

§ 2. Решение смешанной задачи с постоянными коэффициентами.

§ 3, Решение смешанной задачи с переменными коэффициентами.

ГЛАВА II. О сведении смешанных задач в цилиндрической области,для одного класса систем не типа Коши-Ковалевской?к уравнениям Фредгольма второго рода.

§ 4. Определения и предположения.

§ 5. Сведение смешанных задач к уравнениям Фредгольма второго рода.

§ 6.06 условиях ортогональности на правые части.

ГЛАВА III. О доведении при t—> решения первой смешанной краевой задачи для п -мерной системы Соболева С.Л.

§ 7. Оценки внутри области при "t —> ^ решения первой смешанной 1фаевой задачи для И - мерной системы Соболева С.Л.

§ 8,0 поведении решения первой смешанной краевой задачи для и- мерной системы Соболева СЛ. ,в случае, когда область имеет специальный вид.

ЗАКЛКНЕНИЕ.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О смешанных задачах для одного класса систем не типа Коши-Ковалевской»

Диссертация посвящена изучению общих смешанных краевых задач для одного класса систем линейных дифференциальных уравнений в частных производных, определитель матриц которых не разрешен относительно старшей производной по времени а также исследованию в отдельных случаях поведения решения при Ь -—*

В рассмотренный класс систем CI) входят различные линеаризации системы уравнений Бавье-Стокса} имеющие приложение в гидродинамике.

Так например система

- [V х CJJ+vumoI р=о (2) dlvV = О, здесь V -вектор скорости, Р-давление, (jl)=(0; 0; 1) , рассмотренная в 1943г. C.JI. Соболевым в связи с исследованием устойчивости движения симметрического волчка обладающего полостью,заполненной жидкостью.

С.Л.Соболевым была установлена разрешимость задачи Коши,а также первой и второй краевых задач в ограниченной области,получены критерии устойчивости по первому приближению в случае когда полость цилиндр. Результаты исследований были опубликованы им позднее [7CQ , J7l] и в дальнейшем систему (2) стали называть системой Соболева.

С системой вида

-h&sixU + V^O,

Qt £ > (з)

V°u= О,

52. - вектор угловой скорости вращения Земли,аналогичной системе Соболева и принадлежащей нашему классу (1)^ связано изучение гироскопических волн в жидкости,см.например [46], там же имеется библиография работ посвященных некоторым исследованиям этих волн,наиболее полно уровень исследований отражает [17] . В рассмотренный класс (I) входит также система

-/V-'-fP^o,

Цф+j-P^O, (4) где (г - ограниченная область .моделирующая при различных £ у J = = С О И i>~t , длинные гравитационные волны в однородной жидкости, при условии,что поверхность жесткая и плоская [4б| , баротропные планетарные волны в однородной жидкости,при условии,что поверхностные колебания малы [4б] , горизонтально-поперечные колебания на поверхности вращавдегося глобуса [48] .

Как уже отмечалось,развитие теории подобных неклассических задач было положено в работах С.Л.Соболева [70] , [71],где было введено уравнение

ДЫ (5) сы1 ; {bJ

И = 3 ,тесно связанное с системой (2),получено решение задачи Кош для (5) .проведены некоторые качественные исследования. Эти исследования были развиты в работах Р.А. Александряна

3 - б], Т.И.Зеленяка [25 - 34] , С. А. Гальперна {jE3,I4] , А.С. Калашникова [37] , В.Н. Масленниковой [50 - 59] , М.Е. Боговского [56,58,59] , А.А. Дезина [18 - 20] и др. Особенно значительные результаты получены в последнее время в работах С.В. Успенского [83 - 87]и Г.В. Демиденко [21 ,86,87,22] . Достаточно полную библиографию обсувдаемых вопросов можно найти в выше перечисленных работах.

Вопросам существования, единственности и представления решения граничных задач для операторов вида (2), (5) посвящено большое количество работ.TaKfсуществование,единственность, представление решения задачи Коши для операторов типа Соболева исследовались в работах С.А.Гальперна [13,14] ,где впервые рассмотрены условия ортогональности, А.Г.Костюченко, А.И.Вольперта и С.И. Худяева [12] , Ю.А. Дубинского [24], А.С. Калашникова [37] , В.Н. Масленниковой [52] ,где методом преобразования Фурье было получено явное представление решения задачи

-[tfxwl+^aclp =о,

4>t divV- 0, с начальными данными Y°C*) , ol IV V = 0 в области

6) t=0 1 для и)^(о,о/и)]) где Сх) — О , в виде сверток начальных данных о фундаментальными решениями, имеющими локально интегрируемые j особенности , В.Н.Масленниковой и М.Е. Боговского [583 »где рассмотрено представление решения аналогичной задачи для системы с учётом конвективных членов.

Отметим ещё работу А.Л.Павлова [бз], посвященную изучению общих краевых задач в полупространстве для уравнений,не разрешенных относительно старшей производной.

В работе С.В. Успенского и Г.В.Демиденко [86] были рассмотрены общие краевые задачи в полупространстве для уравнений с постоянными коэффициентами вида уп m—d. ~ к о,

К=0 где L С- эллиптический оператор, получены явные представления решений общих краевых задач, в частности представление решения задачи Коши для h -мерного уравнения Соболева (5). Более подробно на исследованиях задачи Коши для операторов Соболева останавливаться мы не будем,так как в данной работе мы не затронем этого вопроса.

Вопросы существования и единственности решений общих смешанных краевых задач в квадранте^ для уравнений не разрешенных относительно старшей производной^ изучались в работе А.Л.Павлова С63] • Первая и вторая смешанная краевая задача для однородной системы С.Л. Соболева с постоянными коэффициентами в квадранте : divV= О,

PI = 4>(x',t) шш V - V«t) исследовалась в работе B.H. Масленниковой [5l] ,ею было получено условие ортогональности

YO*', t) о/ X = О (7) на правую часть граничного условия^в случае второй смешанной краевой задачи,предетавление решений,а также оценки .В работе Г.В« Демиденко [2l] были исследованы общие смешанные краевые задачи в квадранте Е = jt>Х^ 0;X6 J. для уравнений с переменными коэффициентами вида Ы

ЩЦ*.«У ^ U~(8)

L к-о

В этот класс уравнений вошло уравнение Соболева (5) ,а рассматриваемый класс смешанных задач для него содержал первую и вторую краевые задачи.Было выяснено,что в отличие от параболических и гиперболических уравнений, смешанные краевые г + + 9 задачи в квадранте t для уравнений типа

Соболева,удовлетворяющие условию Лопатинского,не всегда разрешимы в соболевских классах V\49 с экспотенциальным весом по t*у при гладких правых частях (f, . У^ )щ В этой работе был выделен класс правых частей {f,f±y%. ^J » ортогональных некоторым полиномам,для которых соответствующая краевая задача корректно разрешима, при этом число условий ортогональности зависит от порядков операторов и размерности пространства. В [22] приведен пример,показывающий что эти условия необходимы для разрешимости в классах V% v .

Исследования цроведенные в [21] существенно опираются на работы С.В.Успенского [83-85].

В главе I настоящей работы, основываясь на результатах [83-85], [21,22] и некоторых других,изучаются общие смешанные 1фаевые задачи в квадранте h+ =( t ^О.Х^О, ЭееР А h+i L > n 3 n-ij для одного класса систем уравнений, определитель матриц которых, не разрешен относительно старшей производной по времени (подробнее определение класса см. в § I) .Строится явное представление решений смешанных задач для систем с постоянными коэффициентами,доказаны теоремы существования и единственности решений,цроведены оценки решений через правые части. Затем результаты исследований переносятся на системы с переменными коэффициентами,достаточно мало отличащимися от постоянных. В качестве примеров рассматриваются первая и вторая смешанные краевые задачи для системы Соболева с переменными коэффициентами. Результаты исследования для систем уравнений аналогичны результатам для уравнений C2l], т.е. смешанные краевые задаг + + чи в квадранте для рассмотренного класса систем, удовлетворяющие условию Лопатинского, не всегда разрешимы в пространствах типа Соболева W^j с экспотенциальным весом по t у при гладких правых частях (£, Y) .Установлены условия ортогональности на правую частьf) ,при выполнении которых соответствующая смешанная краевая задача корректно разрешима,при этом число условий ортогональности зависит от порядков операторов и размерности пространства. В случае второй смешанной 1фаевой задачи для системы Соболева^ при правой части ( О yj , условие ортогональности совпадает с условием (7)^ полученным В.Н. Масленниковой. В заключении § 2 гл.1 приведен пример показывающий,что условие ортогональности / yyj „ необходимо дан разрешимости в классах типа VV^ ^ В цилиндрических областях &х(0<t<^) ( g: - ограниченная область) смешанные паевые задачи для операторов типа Соболева изучались различными авторами. Одной из первых следует отметить работу М.И. Вишика Щ , в которой мя уравнений вида (8), со старшей производной по t второго порядка и некоторыми условиями на операторы LK (®x)j доказана корректная разрешимость задачи Дирихле в классах W^ .Исследование первой краевой задачи для одного класса уравнений^ не разрешенных относительно старшей производной^проведено в работах Р.Шовалтера и Т.Тинга [76-81] .Для таких уравнений в работах Дж.Лагнезе [42-43] рассматриваются более общие постановки краевых задач,доказываются теоремы о разрешимости в классах С. А.А.Дезин,исследуя инвариантные дифференциальные операторы и граничные задачи,получил в частности П - мерное обобщение системы Соболева: i i см. [18] , здесь & уже произвольная кусочно непрерывная коварианта не зависящая от t . Там же он рассмотрел смешанные краевые задачи для системы (9) в ограниченной области :в случае первой смешанной краевой задачи было доказано существование и единственность решения,а в случае второй смешанной краевой задачи оказалось,что для разрешимости нужно требовать выполнение условия ортогональности

СЮ) а для единственности условия

IOa)

В.Н.Масленникова в [5l] получила априорные оценки решения первой и второй смешанных краевых задач для системы Соболева с переменными коэффициентами dlvV-O, там же было введено условие ортогональности на правую часть граничного условия^ в случае второй краевой задачи f

Qfe (П)

Для уравнения (5) V\ =3 отметим работу Т.И.Зеленяка [28] , а также Б.В. Капитонова [39] .В работе С.В.Уопенского и Г.В. Демиденко [87] были рассмотрены общие смешанные краевые задачи в цилиндрической области & для одного класса уравнений^не разрешенных относительно старшей производнойгс переменными коэффициентами.Шло показано,"что решение общих смешанных краевых задач сводится к решению операторного уравнения Фредгольма второго рода, выделен класс смешанных краевых задач,корректно разрешимых в класх / сах W^ у .Близкие вопросы были рассмотрены ранее в работах В.К.Романко [65,66] .

В главе II данной работы, пользуясь методикой [87] , а также существованием регуляризаторов для эллиптических операторов Сем. например [il] )f исследуются общие смешанные 1фаевые задачи для одного класса систем,определитель матриц которых не разрешен относительно старшей цроизводной по времени ,с переменными коэффициентами (подробнее определение класса см. в § 4 гл.11).Показано,что решение смешанных краевых задач сводится к решению операторного уравнения Фред-гольма второго рода,рассмотрены условия однозначной разрешимости ,дана оценка решения через правые части в пространствах типа Соболева. Особое внимание уделено условиям ортогональности на правые части, доказано § 6 гл. II,что эти условия вообще говоря необходимы для разрешимости смешанных краевых задач,в пространствах типа W, v удовлетворяющих

-л» условиям Лопатинского^ с гладкими правыми частями С ? f ).

В качестве примера рассмотрена первая и вторая смешанная краевая задача для И - мерной системы Соболева с переменными коэффициентами : аы(х) ск^щ а, „с») ём^ 014йсх) аЛ1М аьас*) Л.

4 0l3Ci olx,. L dacv, cto„ О

Vi V. 4 л

11 f: I

12) X6©,t>Of

P| = Y , t > о v5?UY,t>0 при "t < О первая краевая задача) вторая краевая задача)

Эта система при К) = 2,3 содержит системы (2),(3) (4). Для первой смешанной краевой задачи доказано,что решение существует и единственно.В случае же второй смешанной краевой задачи показано,что для разрешимости необходимо и достаточно выполнения условия ортогональности а для единственности условия ортогональности Р постоянным в скалярном произведении т.е. условия (10а) .

Следует обратить внимание на то,что если рассматривать вторую смешанную задачу для системы (12) при ас^)- кх) =1 то при Vs 0 условие (13) совпадает с условием (10), рассмотренным А.А.Дезиннм в [18] , а при ^=0 условие (13) совпадает с условием (II), введенным В.Н.Масленниковой в \pl\. Пока мы говорили только о корректности постановок граничных задач .Другим важным вопросом теории дифференциальных уравнений является исследование поведения решения при 00 . Этим вопросом для операторов вида (2),(5), после исследования С.Л.Соболева [70,71] , занималось ряд авторов.

В работах В.Н. Масленниковой и Н.Е.Боговского[56,58,59] исследовано асимптотическое поведение решений задачи Коши и первых двух, краевых задач в квадранте для системы Соболева при И ^ 3 .В случае учёта вязкости^ вопрос поведения решения задачи Коши рассмотрен в работах В.Н. Масленниковой [53-55], И.М.Петунина [64], В случае учёта вязкости и сжимаемости^ вопрос асимптотики решения задачи Коши исследован А.В.Глушко в [15]. В работе С.В.Успенского и Г.В. Демиденко [8б] для уравнения (5) при произвольном У\ получены оценки решения задачи Кош: | uCx^U Г^/* * эс€ 1С «при 3 они следуют из работ В.Н. Масленниковой.Таким образом асимптотика решения задачи Коши исследована достаточно полно.Сложнее дело обстоит с исследованием поведения решения при t —* 00 смешанных задач для операторов вида (2),С5) в цилиндре G X (О <t<°°) .В этом направлении следует отметить работы Р.А.Александряна [3-6] , В.А. Ильина [36,6] , Р.Т.Денчева [23], С.Г. Овсепяна [62], Г.В.Вирабяна [9] ,Т.И.Зеленяка [25-27,29-34] , В.П.Маслова [бо], М.В.Фокина [88],Б.В.Капитонова [38], Ю.Н.Григорьева [16] , В.Г.Лежнева [47] ,В.В.Сказки [68], А.М.Ильина [35] , С.В.Успенского[87], Г.В.Демиденко[87,2|

Рассмотрим несколько подробнее работы посвященные этому вопросу.При исследовании поведения решения смешанных задач когда t —> 00 , даже для (2) или (5) не удаётся получить асимптотического разложения решения при t —.Здесь можно выделить два подхода.Дать определенную характеристику поведения решения при t 00 может оценка решения и его производных при больших t .Этот подход развивался в работах Т.И.Зеленяка,см.нацример [3l], Б.В.Капитонова [38] ,где были получены оценки решения первой смешанной краевой задачи для уравнения С5) при h =3 ,а также для системы Соболева С2),

B.В.Сказки [б8],где были получены оценки решений смешанных задач для уравнения. (5) в плоском случае,А.М.Ильина [Зб].

C.В.Успенским и Г.В. Демиденко в [87]проведены оценки решения, при t —> 00 , первой смешанной краевой задачи для уравнения (5) при произвольном П , а также оценки решения первой смешанной краевой задачи для уравнения Ди -+■ ibx и =0 (t> О хеё с ЕИ

С И

При этом для вывода оценок решений ими была использована схема получения априорных оценок решений краевых задач для эллиптических уравнений второго порядка.

В § 7 гл. III настоящей работы автор рассматривает на основании методики проведенной в Q37] оценки решения первой смешанной краевой задачи внутри области & для одной из у\ - мерных систем Соболева по работе А.А. Дезина [18];

•bt О

-60 О о о

1)t г

ООО fbXi ^Хд,

О Э. QiX О

Ъ. О.

T>t <"йХ,, о v

V, V Ь Р 05t>o,

VL" v° > и-1 dlvVo = 0 } Ы = (-1) Сй

Эта систеш содержит цри Г) = 2,3 системы С2),(3), (4) с постоянными коэффициентами.При И =2 в § 8 глЛП характер поведения решения (14) приведен более точно,оно является периодической функцией (см. Замечание 3.1), Другим подходом изучения поведения решения смешанных задач для операторов вида (2),(5) является исследование поведения решений этих задач в областях специального вида.

Это вызвано тем,что поведение решений при "t—* 00 существенно зависит от геометрических свойств области. Основные V результаты здесь,дня уравнения (5) при И =2,3 и системы Соболева (2) получены в работах Р.А. Александряна [3-6] Т.И.Зеленяка £29-31,34^ Р. Т. Денчева [23]?С.Г.0всепяна [62] Г.В. Вирабяна^Э], В. П. Мае лова [60] ,М.В.Фокина [88], Ю.Н.Григорьева [16] , В.Г.Лежнева [4^.

В § 8 гл. III настоящей работы проводится исследование поведения решения первой смешанной краевой задачи,для одной из Y\ -мерных систем Соболева (14), в случае когда область 6 имеет специальный вид : - область с достаточно гладкой границей в плоскости XlsX, , область с достаточно гладкой границей в пространстве К, (для VI = 3 (у - есть цилиндр с образующей параллельной оси Хъ ) .Показана ограниченность решения и его производных когда t —> 00 .При V\ = 3 аналогичный результат см. например в работе Ю.Н.Григорьева [16] или Т.И.Зеленяка, М.В.Фокина [33] .Вторая смешанная краевая задача для системы Соболева (2) (К1 = 3) в областях подобного вида рассмотрена Т.И.Зеленяком в £34]

Диссертация состоит из введения, трех глав,объединяющих 8 параграфов,заключения и библиографии,содержащей 93 наименования.В главу I вошли § I, § 2, § 3 , в главу II § 4,§ 5, § 6, в главу III § 7, § 8 .Нумерация формул,лемм,теорем,замечаний и следствий сплошная для каждой главы,ссылка на формулу другой главы содержит номер соответствующей главы.Леммы,теоремы, замечания и следствия всюду снабжены двойным индексом, первая компонента которого указывает на принадлежность к соответствующей главе,а вторая порядковый номер.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Янов, Сергей Иванович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации был рассмотрен вопрос существования и единственности решений смешанных задач для одного класса систем не типа Коши-Ковалевской.Выяснено как задавать начальные и краевые условия,чтобы решение существовало и было единственным в четверти пространства.Получено,что в цилиндрической области (г вопрос о разрешимости смешанных задач сводится к вопросу о разрешимости уравнений Фредгольма второго рода. Проведены оценки решений.

Таким образом можно сделать вывод,что рассмотренный класс систем по свойствам близок к эллиптическим системам.На взгляд автора,вопрос существования и единственности решений смешанных задач для этого класса систем выяснен.Иначе дело обстоит с вопросом о поведении при "t—> 00 решений смешанных задач в цилиндрической области & * CP i00) даже для П - мерной системы Соболева.

В главе III приведено два метода исследования поведения решения.Метод § 7 позволяет получить оценки решения и его производных как внутри области так и вблизи границы,но точность этих оценок гарантировать мы не можем.

В § 8 для областей частного вида показано,что можно получить точные оценки поведения при t —> 00 решения первой смешанной краевой задачи для одной из П - мерных систем Соболева.Но этот метод затруднительно применить к областям более общего вида из-за отсутствия удобного явного цредстав-ления решения первой (второй) краевой задачи для уравнения Пуассона.Идеальным исследованием этого воцроса было бы получение главного члена асимптотического разложения решения.Далёк от полного исследования и вопрос о почти периодичности решений. Интересно было бы выяснить условия на геометрию области,которые обеспечили бы почти периодичность решения.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Янов, Сергей Иванович, 1983 год

1.1 Л} to oft} Л. $oufytti)LMire'n£№<i. hUync/te^moin

2. Ue iowdlary, г ьоШоокд^о^МсрШ par>tia£> Solo/iclary, comdLUon^.Ijl! Cobnfr?;Pure Appt.1. Mdtfi. aOa^j, 11(196Ь) 3

3. Агранович M.C. Вишик М.И. Эллиптические задачи с параметром и параболические задачи общего вида. Успехи матем.наук, т. XIX вып. 3 (117) (1964) с.54-155

4. Александрии Р.А. К воцросу о зависимости качественных свойств решений некоторых смешанных задач от вида облас-ти-Канд.дисс., МГУ,1949.

5. Александрии Р.А. Смешанная задача для одного класса систем дифференциальных уравнений типа С.Л.Соболева, Труды всесоюзного совещания по дифференциальным уравнениям, Ереван,ноябрь ,1958 г.

6. Александрии Р.А. Спектральные свойства операторов, порожденных системами дифференциальных уравнений типа С.Л.Соболева, Тр.Моск.матем.об-ва, 9 (I960), 455-505.

7. Александрии Р.А. ,Березанский Ю.М.,Ильин В.А. ,Костючен-ко А. Г.Некоторые вопросы спектральной теории для уравнений с частными производными.- В кн.:Дифференциальные уравнения.Труды симпозиума .М. :Наука,1970,с,3-35.

8. Бесов 0.В.,Ильин В.П.,Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения.-М. :Наука, 1975.-480 с.

9. Ю.Вишик М.И. Задача Коши для уравнений с операторными коэффициентами,смешанная краевая задача для систем дифференциальных уравнений и приближенный метод их решения .-Мат.сб.,1956,т.39, № I, с.51-148

10. П.Волевич Л. Р.Разрешимость краевых задач для общих эллиптических систем.-Мат.сб.,1965,т.68,,№.3, с.373-416

11. Вольперт А.И. ,!Худяев С.И. 0 задаче Коши для составных систем нелинейных дифференциальных уравнений.-Матем. сборн.,1972,т.87, J& 4, с.504-528.

12. Гальперн С.А.Задача Коши для общих систем линейных уравнений с частными производными.-Тр.Моск.мат.об-ва, I960,т.9, с.401-423.

13. Гальперн С.А. Задача Коши для уравнения С.Л.Соболева -Сиб.мат.журн. ,1963,т.4, №4, с.758-773.

14. Глушко А.В. Асимптотика по времени решения задачи Коши для линеаризованной системы уравнений Навье--Стокса с нулевой правой частью.-В кн.:Теория кубатур-ных формул и приложения функционального анализа к задачам математической физики (Труды семинара

15. С.Л.Соболева),1981, Л I с.5-33

16. Григорьев Ю.Н. 0 качественных свойствах решений некоторых задач в проблеме С.Л.Соболева :Дис.на соиск. учён. с теп. канд. физ. -мат. наук (00.01.02) -Новосибирск,1. Б.И.,1974.

17. Гринспен X. Теория вращавдихся жидкостей.-Л. :Гидрометео издат, 1975.

18. Дезин А.А. Инвариантные дифференциальные операторы и граничные задачи.^.Мат. ин-та АН СССР, 1962с.3-88.

19. Дезин А.А.,Масленникова В.Н. Неклассические граничные задачи.- В кн.:Дифференциальные уравнения.Труды симпозиума.М.,Наука, 1970, с.96-118.

20. Демиденко Г.В. О смешанных краевых задачах для уравнений типа Соболева с переменными коэффициентами.

21. В кн.: Дифференциальные уравнения с частными производными (Труды семинара С.Л.Соболева)Новосибирск, 1979, В 2 с.52-91.

22. Демиденко Г.В. Общие сметанные задачи для уравнений с переменными коэффициентами,не разрешенные относительно старшей цроизводной.-Дис.на соиск.учён.степ. канд.физ.-мат.наук (00.01.02)-Новосибирск,Б.И. ,1981

23. Денчев Р.Т. О спектре одного оператора.-Докл. АН СССР,1959,т.126 № 2, с 259-262.

24. Дубинский Ю.А. О некоторых дифференциально-операторных уравнениях произвольного порядка.-Матем.сборн., 1973,т.90, № I с.3-22.

25. Зеленяк Т.И. О поведении при "Ь—* 00 решений одной задачи С.Л.Соболева, Доклады Ак.наук СССРД39, J£ 3 (1961), 531-533.

26. Зеленяк Т.И. О поведении при 1/ —* <*> решений одной задачи С.Л.Соболева-Дис. на соиск.учён.степ.канд. физ.-мат.наук (00.01.02)-Новосибирск,1962 г.

27. Зеленяк Т.И. Об одной задаче С.Л.Соболева, Доклады Ак.наук СССР,158, Л 6 (1964), с.1268-1270.

28. Зеленяк Т.И. О зависимости от границы решений некоторых смешанных задач дня уравнений малых колебаний вращающейся жидкости,Доклады Ак. наук СССР, 164,6 (1965), 1225-1228

29. Зеленяк Т.И. Об обобщённых собственных функциях оператора,связанного с одной задачей С.Л.Соболева.-Сиб.мат.журн.,1968, т.9, № 5, 1075-1092.

30. Зеленяк Т.И. О поведении при большом времени решений первой краевой задачи для уравнения Соболева в случае.двух пространственных переменных.-Дисс.на соиск.учёной степени докт.физ.-мат.наук.Новосибирск, 1969г.

31. Зеленяк Т.И. Избранные вопросы качественной теории уравнений с частными производными.-Новосибирск, НГУ, 1970-164 с.

32. Зеленяк Т.И.,Михайлов В.П. Асимптотическое поведение решений некоторых краевых задач математической физики при "t —> .-В кн.:Дифференциальные уравнения. Труды симпозиума.,М.Наука, 1970, с. 96-118.

33. Зеленяк Т.И.,Фокин М.В. О некоторых качественных свойствах решений уравнений С.Л.Соболева.- В кн.: Теория кубатурных формул и приложения функционального анализа к некоторым задачам математической физики., Новосибирск,Наука,1973 г. с.121-124.

34. Зеленяк Т.И. О некоторых вопросах теории малых колебаний вращающейся жидкости.- В кн.: Симпозиум по механике сплошной среды и родственным проблемам анализа. Тбилиси,1973 г. т. I с.115-124.

35. Ильин A.M. О поведении решения одной краевой задачи npnt->oo .-Мат.сб. ,1972,т.87, В 4, с.529-553.

36. Ильин В.А. О сходимости разложений по собственным функциям оператора Лапласа, УМН 13.1 (1958), с.87-180.

37. Калашников А.С. Классы единственности решения задачи Коши для линеаризованной системы уравнений вращающейся жидкости.-Успехи мат.наук, 1976, т.31, в.4, с.263-264.

38. ЮгеилН.О. VtUcit Boundary, м&ме, pisoifamb |ог ^ире/^о^бС/ tyvfew*. -Conn. Риге omd ilppE.Matt.jW^v.W^pw-ieS,

39. Ладыженская O.A. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости.-М. :Наука,1970-288 с.

40. Ландау Л.Д. ,Лифшиц Е.М. Механика сплошных сред. Физматгиз,1963.

41. Ле Блон П., Майсек Л. Волны в океане т. 1-2- М.: Мир.1981.т.1 478 е.,т.2. 360 с.

42. Лежнев В.Г. Убывание решения одной краевой задачи для уравнения Соболева.-Дифференц.уравн. ,1973,т.3, с 511-526.

43. Htj^twd PZaVietyiff' wav&t ov) ct notcttuvi^ iphe-U'Jj E-Ргос. Ro^ Ai?3, 136k}1. Ы!ЪЧ) Mlk} 1MS}N 139S.

44. Лопатинский Я.Б. Об одном методе сведения краевых задач для систем дифференциальных уравнений эллиптического типа к регулярным интегральным уравнениям, Укр. матем. ж. ,5, № 2 (1953), с. I23-I5I.

45. Масленникова В.Н. Решение в явном виде задачи Коши для одной системы уравнений .Изв.Ан.СССР,сер.матем. 2,1958, стр. 135-160.

46. Масленникова В.Н. Явные представления и априорные оценки решений граничных задач для системы Соболева.-Сиб.мат.журн.,1968,т.9, № 5 C.II82-II98.

47. Масленникова В.Н.,Оценки в Lp и асимптотика при ^ <х> решения задачи Коши для системы С.Л.Соболева ,Труды МИАН СССР, 103 (1968), C.II7-I4I.

48. Масленникова В.Н. О скорости затухания вихря в вязкой жидкости.-Тр.Мат.ин-та АН СССР, 1973, т.126,с. 46-72.

49. Масленникова В.Н. О скорости затухания вихря в вязкой жидкости в случае двух пространственных переменных. Докл.АН СССР,1973, т.212 4, с.834-837.

50. Масленникова В.Н. О скорости убывания при большом времени решения системы Соболева с учётом вязкости. Мат.сб.,1973, т.92 4, с.589-610.

51. Масленникова В.Н. Боговский М.Е. Система Соболева в случае двух пространственных переменных,Докл. АН СССР, 221 № 3 (1975) ,с.563-566.7

52. Масленникова В.Н. К математической теории краевых задач динамики атмосферы и океана. Тр. Советско-Чехословатского симпозиума по применению функционального анализа к задачам мат.физики.Алма-Ата, 1976г, с.193-200.

53. Масленникова В.Н. Боговский М.Е. О системе Соболева с тремя пространственными переменными.-В кн.: Т^уды семинара С.Л. Соболева. Новосибирск,1976,с.49-68.

54. Масленникова В.Н. ,Боговский М.Е. Асимптотическое поведение решений краевых задач для системы Соболева в полупространстве и явление погранслоя.-В кн.: Математический анализ и смежные вопросы математики, Н.: Наука, 1978, с.109-152,

55. Маслов В.П. 0 существовании убывающего приЬ-^оо решения уравнения Соболева для малых колебаний вращающейся жидкости в цилиндрической области.- Сиб.матем.журн., 1968, т. 9, & 6.

56. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных .-М.:Наука. 1976- 391с.

57. Овсепян С.Г. 0 некоторых однородных краевых задачах для дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами.-Докл.АН СССРД961, т. 139, В 2,с. 298-301.

58. Павлов А.Л. Об общих краевых задачах для дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами в полупространстве.-Матем.сборн.,1977,т.103, № 3,с.367-391.

59. Романко В.К. Граничные задачи для некоторых дифференциально-операторных уравнений.-Докл.АН СССР, 1976,т. 227, № 4 с. 812-815.

60. Романко В.К. О граничных задачах для дифференциально-операторных уравнений,не разрешенных относительно старшей производной.-Докл. АН СССР, 1977,т.235,1. JG 5 с.ЮЗО-ЮЗЗ.

61. Седов Л.И. Механика сплошной среды ,тт.1.2. "Наука1,1 М., 1970 г.

62. Сказка В.В. Асимптотические оценки при "t—» 00 смешанных задач для одного уравнения математической физики.-Сиб.матем.журн.,1981,т.22. № I.

63. Слободецкий JI.H. Обобщенные пространства С.Л.Соболева и их приложение к краевым задачам для дифференциальных уравнений в частных производных. Учёные записки ЛШИ, т.197(1958), с.54-112.

64. Соболев С.Л. Об одной новой задаче математической физики .-Изв. АН СССР сер.мат. ,1954,т. 18, $ I,с. 3-50.

65. Соболев С.Л. О движении симметрического волчка с полостью,наполненной жидкостью.- П.М.Т.Ф. ,1960, J& 3 , с.20-25.

66. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физики,Изд. ЛГУ, 1950.

67. Солонников В.А. Оценки решений общих паевых задач для эллиптических систем .ДАН СССР, т. 151, гё 4 (1963), с. 783-785.

68. Солонников В.А. Об общих краевых задачах для систем, эллиптических в смысле А.Даглиса- Л.Ниренберга, 1.Изв. АН СССР, сер. мат., т.28, $ 3 (1964),с. 665-706.

69. Mymptotcc SeJiaVioz <?/ botutlohb of p wsc/o pa zcf!? о Uc-paxtiai ditfwwUal ewatioki.-Am. Math. pule. oppt /911,1. V 90,si. Шир Т W Paiadofoc, am с! p^udo-paicrftoUz, pontic* & dlffe-^tLai uwatioiib-l Mat ft, ЪраИ) /069, v.£l} а/з9

70. Гибель X. Теория интерполяции,функциональные пространства, дифференциальные операторы.-М.:ИЛ., 1980.-664 с.

71. Успенский С.В. О представлении функций,определяемых одним классом гипоэллиптических операторов.-Тр.Мат. ин-та АН СССР, 1972, т. 117, с.292-299.

72. Успенский С.В. О корректных задачах для одного класса частично-гипоэллиптических уравнений в полупространстве.-Тр. Мат.ин-та АН СССР, 1975, т. 134,с. 353-365.

73. Успенский С.В. Об общих краевых задачах для одного класса неклассических уравнений.-В кн.:Теория кубатурных формул и приложения функционального анализа.Материалы школы-конференции.Новосибирск, 1975, с. 221-223

74. Успенский С.В. Демиденко Г.В. О дифференциальных свойствах решений общих краевых задач для уравнений типа Соболева.-В кн. '.Математический анализи смежные вопросы математики. М.Наука, 1978, с.276-296.

75. Успенский С.В. Демиденко Г.В. О смешанных краевых задачах для одного класса уравнений,не разрешенных относительно старшей производной. В кн.: Дифференциальные уравнения с частными производными. (Труды семинара С.Л.Соболева), 1980, № 2, с.92-115.

76. Фокин М.В. О спектре одного оператора-Дифференц. уравн. 1971, т.7, № I с.135-141.

77. Эйдельман С.Д. О фундаментальных решениях параболических систем. Мат.сб.чЛ.1956, т.38, Jfc I, с.51-92; ч.2 1961 т.53 й Iс.73-135.

78. Янов С.И. О некоторых краевых задачах в полупространстве В кн.: Материалы 13 Всесоюзной научной студенческой конференции. Новосибирск, 1975г. с.52.

79. Янов С. И. О постановке смешанных задач для одного класса систем не типа Коши Ковалевской. - В кн.: Дифференциальные уравнения с частными производными (Труды семинара С.Л.Соболева). - Новосибирск; 1981, № 2 с.115-149.

80. Янов С.И. Оценки при решения первой краевой задачи для V\ мерной системы С.Л.Соболева.

81. В кн.: Теоремы вложения и их приложения (Труды семинара С.Л.Соболева) Новосибирск 1982, № I с.139-147.