Спектральные свойства фермионных динамических систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.05, кандидат физико-математических наук Ботвич, Дмитрий Дмитриевич

• Ботвич, Дмитрий Дмитриевич
• кандидат физико-математических наук
• 1983

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ботвич, Дмитрий Дмитриевич

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. Спектральные свойства свободной динамики в квазисвободном состоянии.

§ I. Свободная динамика на С -алгебре КАС. Полиномы

Вика и их свойства.

§ 2. Спектральное разложение для ^рнс в к^31*свободном состоянии

§ 3. Спектральные свойства температурной динамики идеального ферми-газа в ив К

ГЛАВА 2. Ферми-газ с локальным • взаимодействием

§ I. Существование морфизмов 'Мейлёра при локальных возмущениях идеального ферми-газа в Ж

§ 2. Обратимость морфизмов Меллера при локальных возмущениях идеального ферми-газа в 1.

§ 3. Унитарная эквивалентность динамик идеального и локально возмущенного ферми-газов в £.

§• 4. Существование и обратимость морфизмов Меллера при локальных возмущениях идеального ферми-газа в 1К

ГЛАВА 3. Кластерные свойства модулярного оператора решетчатой квантовой системы.

§ I. Кластерное разложение для состояния в

§ 2. Построение кластерного базиса для модулярного оператора.

§ 3. Кластерные свойства модулярного оператора в кластерном базисе

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Спектральные свойства фермионных динамических систем»

В диссертации рассматривается ряд задач некоммутативной теории вероятностей и некоммутативной эргодической теории, сочетающих в себе методы теории вероятностей и функционального анализа. Дадим основные определения.

Определение ( [30] ). С*-динамической системой называетд. ся пара ( 01 ^ , где О^ -некоторая С -алгебра, Т сильнонепрерывная однопараметрическая группа * -автоморфизмов С*-алгебры С7£ .

Определение ( [30^ ) Состояние ^ на С -алгебре называется (Т^ ^ -КМШ состоянием, £ е К если: для любых В ^ О^ существует функция Рд ^ такая, что: а) Г. п аналитична в Л) ;

А,В Л б) Рд ^ непрерывна и ограничена в 3)^ в) Гд - V где 3) =• £ г •. о < при > о и

Ъ = I ^ ' < о ^ при ^ < о

Если ^ - + °° , то КМШ состояние называется основным.

Важными примерами С*-динамических систем являются фермигаз на решетке и решетчатые квантовые системы.

-х

В первом случае С -алгеброй ОТ. является С -алгебра каионических антикоммутационных соотношений ( С -алгебра КАС ), во втором - С -алгеброй квазилокальных наблюдаемых ( см. ниже, [30]).

Динамика Т , в обоих случаях, определяется с помощью теоремы Робинсона ( [30] ), которая утверждает, что при некоторых условиях на взаимодействие, динамика Т есть сильный предел динамик Т^ при Л? , где Т М определена в конечном объеме Л с ( см. [22] , (34] ). ^ КМШ состояние <л) для этих динамических систем есть слабый предел изд при Л ^ , где гиббсовское состояние в объеме /Ч с 2! при температуРе Л ' ^^ К ( )в

Состояние и) назовем Т - инвариантным, если ^(А), V ( ол )

Заметим, что если ио есть р) КМШ состояние и , то ц) - тг - инвариантно ([30] ).

Пусть ( } ^ есть циклическое ПС-представление С -алгебры по состоянию ([5]).

Определение ( [30]). Пусть ^ 01 > Т^ С -динамическая система и со есть Т - инвариантное состояние. Назовем инфинитезимальный генератор унитарной однопараметрической группы

V в такой, что

V У{е1К оператором Нрнс .

Оператор ^рцс с^00011?^6®1™1 в ТС^ » что следует из сильной непрерывности унитарной однопараметричес-кой группы У в силу теоремы Стоуна ( [19]).

Исследованию спектральных свойств группы V = е. в случае КМШ состояния и посвященна диссертация.

При исследовании спектра ^гнс ш пРименяем методы теории рассеяния в С^-алгебрах, где аналогами волновых операторов являются морфизмы Меллера.

Определение ([30]). Пусть (^т^) и (0^ т^)две С -динамические системы. Морфизмами Меллера называются отображения ; (X <Х такие, что

0.3) если эти.-пределы существуют.

Определение ([41]). Пусть тг некоторая динамика в С-ал-гебре (Л- и У=Л/"*€ 01 . Локально возмущенной динамикой называется следующая сильнонепрерывная группа -К -автоморфизмов т"7" , где V А € ог.

-Г^Т^г^Ь-Л 04)

1 л.

Ряд ( 0.4 ) для Т^ ввел Д.Робинсон в работе [41] . Д.Робинсон и Д.Эванс в работах [41] , [3£Г\ доказали существование морфизмов Меллера

V (Ь) = ь - Г^т (А) V Аеог ( 0.5 ) х 4-> £ сХЛ т- х для некоторого класса локальных возмущений V =У б (X свободной динамики идеального ферми-газа , где в непрерывном случае V $ € ( ^ ) т.,(), %(Ч0)= и Н = ~ Л » ^ ^ » ^ -единственное самосопряженное расширение Лапласиана в Ь^К ) .В дискретном случае определяется аналогично с помощью дискретного Лапласиана.

Обратимость морфизмов Меллера, то есть существование обратных морфизмов Меллера у ^ » гДе

УА£01> (0.7) была исследована только в случае внешнего поля , то есть для возмущений вида: V - У С"*-) а ос а-у ,

В этом случае локально возмущенная динамика т оказывает ется тоже свободной, только порожденной оператором Н + V | где V оператор умножения на действительную функцию УС*-") » и все сводится к исследованию волновых операторов р. -¡АГНмО с-ЬИ

Л/ ^ = 5 - е ^ е 4. ( 0.8 )

Обратимость или необратимость в £ влечет, соответственно, обратимость или необратимость в Ог ,

В диссертации исследована' задача об обратимости морфизмов Меллера при малом параметре. В теоремах 4, 4 , б, б' утверждается, что в широком классе локальных возмущений V = V е О. в размерности У > Ъ при достаточно малом е > о , о зависящем от V и , при -£<£<.£ морфизмы Меллера ( А) =г Б - 6т Ос ( 0.9 ) существуют и обратимы.

В размерностях ^ = 2. показано, что аналогичное утверждение не имеет места. В непрерывном случае пример такого "V" = Ос из рассматриваемого нами класса локальных возмущений, для которого не выполнено сформулированное выше утверждение, построил К.Маассен в работе [40].

Перейдем к краткому изложению результатов диссертации.

В первой главе диссертации исследуется спектр И в г НС» случае свободной эволюции т и квазисвободного калиб-ровочно инвариантного состояния и) о

Определение ([21]). Квазисвободным калибровочно инвариантным состоянием на С -алгебре КАС 01~-01(х) называется линейный непрерывный функционал и)^ такой, что его п -точечная функция имеет следующий вид V } ^. е Л <Р <*е-Ь(.0 (0.10)

Уу\ гу ^ с ;> <>.) V >

-в с*) = 1, где I единица С -алгебра Ог. » б линейный оператор и о,, * а $ ± ( о.и )

Ж ° Х- •

Квазисвободные калибровочно инвариантные состояния были впервые введены в работе Шейла и Стайнспринга [21] • Там же доказано, что условие ( О.П) на оператор В необходимо и достаточно для того, чтобы линейный функционал был состоянием.

Определение. Свободная динамика , порожденная И » или просто свободная динамика определяется следующим образом на мономах а*Ш-а%)а('}1)~а(}л) ' * ^ > Ж и далее по линейности, где Н самосопряженный оператор с плотной областью определения 3) <=■ Ж.

В теореме 2 второго параграфа построено спектральное разложение для И „ в случае когда свободная сохраняет инвариантным квазисвободное калибровочно инвариантное состояние. Заметим, что условие инвариантности состояния относительно динамики необходимо для того, чтобы вообще можно было говорить об унитарной однопараметрической группе Т/, с

В данном с.лучае условие инвариантности эквивалентно тому, что В и И коммутируют ( см. лемму I §1 ).

Теорема 2 ( Спектральное разложение для ^Гнс

Пусть квазисвободное калибровочно инвариантное состояние инвариантно относительно свободной динамики Т, , с порожденной Н . Обозначим ~ (V" в)\ \ - к а* hfV 1TL as AS ( ®.®z±) ® (pe^®.® гл п.

Тогда существуют подпространства и унитарный операrn тор V : X Ж такие, что X л »п)Л лых гл > о п^о т+п. > о инвариантны для имно ортогональны, причем и для любых цеН

ГНС и взаX

X = ©

10 D ^ Г\ V Л

И v

ГНС m л m

2Z ® И ® 1

L= i m + v\ i - ШЛ + 1

X А ЗС с

1 ®.<Е> и ® Л. 0.13 ) X а I на плотной области определения 5

С Ж W w где i --v —■ > / >

D = Э Г> w

1 >

1 — ■ - "1 > ^ область определения И Инвариантные ортогональные подпространства ~К стро

-к/ а ятся с помощью полиномов Вика от мономов а ( См. определение полиномов Вика в §1 главы I.) Полиномы Вика на алгебре НАС есть обобщение этого понятия для гауссовских случайных величин и они, в частности, обладают многими похожими свойствами.

Теорема I ( Свойства полиномов Вика ). Пусть ^ квазисвободное калибровочно инвариантное состояние, тогда:

2- ^е--(К) ^ ь ^ € ^ ^ п+т > о ; у > ь > ^,е * •

Равновесное состояние идеального ферми-газа в большом л * каноническом ансамбле Гиббса при температуре в есть квазисвободное калибровочно инвариантное состояние с а = (ол4) где И = - Д + ^ , К , Л - решетчатый лапласиан в * = (см. [28], [30]).

Для идеального ферми-газа при ненулевой температуре верен следующий результат.

Следствие 2 из теоремы 2, Пусть И - ~ Д ^ решетчатый лапласиан, ^ е -химический потенциал, тогда для любой температуры — , Р> € К в равновесном состоянии идеального ферми-газа на решетке Ж в большом каноническом ансамбле Гиббса имеет место

Аналогичный результат верен и для ферми-газа в К С см. следствие 3 из теоремы 2 ).

Следует отметить, что спектральное разложение динамики идеального ферми-газа при ненулевой , ^ е не зависит от температуры. Это формально верно и для отрицательной температуры ( см. [30]).

Таким образом спектр идеального ферми-газа в /. ив К бесконечно кратен и абсолютно непрерывен ( за исключением невырожденного собственного значения О ).

Во второй главе диссертации изучается ферми-газ с локальным взаимодействием. Рассмотрим симметричную действительную

О ^ функцию V (* 5 • ^ в ~Ж х Л , которая финитна по двум аргументам. В фоковском антисимметричном пространстве & (Ж)~ = © , построенном по X =■ ^ (> рассмотрим о оператор

V: £

С^О такой, что инвариантно для V" и на Ж." У есть оператор умножения на функцию £ 52 хЛ . Как нетрудно видеть ([II) 1 *. ( 0.16 )

V = г , Ч». а) а

X 5 л " со.г^ где а.* = а*( V г е = { °

2. = и. Знак # означает либо , либо ее отсутствие.)

Рассмотрим теперь возмущенную динамику Т^ , порожденную формальным гамильтонианом с1 Г(Н) + V 9 Где с1 Г(Н) вторичное квантование оператора Н = ~ Д + № 1 . Локаль

J Х но возмущенная динамика тг задается с помощью ряда С 0.4 ), точнее

V - ^(с! Г(НУУ) Н с1Г(Н)+У)

-г (А} - е А е — 0.17 )

1 п где свободная динамика, порожденная Н

Можно интерпретировать полученную модель ферми-газа следующим образом. Ферми-частицы описываются кинетической энергией ( ей соответствует свободный гамильтониан И = и потециальным взаимодействием друг с другом, которому соответствует оператор умножения на функцию ^ 2 ~ ^О в соответствующем подпространстве Х , но взаимодействие "выключено", если хотя бы одна из пари частиц находится вне некоторого объема ^ ^ Ж , , ьи^у с д.хЛ , Иначе говоря вместо V(ж - ^ рассматривается функция

Ч^з), ^г* ( Оле )

Равновесное состояние при температуре , ¡К , соответствующее гамильтониану с|Г(Н)+У единственно ([30]). и является (т^ ^ КМШ состоянием.

Оказывается, что динамика е гнс ферми-газа с локальным взаимодействием V в размерности V » 3 при достаточно малых ¿ е [К унитарно эквивалентна свободной динамике е , где „¿V гне -Ч^ЧЛ(0Л9)

V А с V 1€ К .

Более того, оказывается, что в этих условиях существуют и обратимы морфизмы Меллера.

Точные формулировки результатов следующие: Теорема 3. Для любой действительной симметричной финитний функции V ^ •) при существуют морфизмы Меллера (А") = s - ttm г'V т (ь} V А е сл .

Аналогичное теореме 3 утверждение содержится в работах Д.Робинсона ( [41]) и Д.Званса ([34]). Д.Робинсону принадлежит и достаточное условие существовония морфизмов Меллера [41] ( см. утверждение 8 ).

Теорема 4. При V ^ Ъ для любой действительной симмет О ричной действительной финитной функции в ^ * Z существует £0 > о , зависящее от V и \> такое, что при £ < £о морфизмы Меллера (А) = s - ^ (А\ V Ае ог

-h во "t "t существуют и обратимы.

Следствие из теоремы 4. При V ^ Т> для любой действительной симметричной финитной функции V (• ; •) в ^ * для О ферми- газа в Z. в равновесном состоянии при jb € 1R существует £ >о , зависящее от V и V такое, i-H-Н ° itH*v что при -¿о <. t < €о динамики е гн и е гн с. унитарно эквивалентны, где

L-t К , е гнс = ir^C^ (А))^ VAc Q,

Напомним, что при ^ » 1 динамика е гнс унитарно uarvi-n -иаггн) эквивалентна е 4 ® е в тензорном произведем-. нии пространств ST (it) и Т (X) } =

Имеют место следующие обобщения теорем 3 и 4. Пусть алгебра порождается полиномами от четного числа операторов рождения и уничтожения. Рассмотрим в & подалгебру , которая состоит из полиномов от четного числа операторов рождения и уничтожения от локальных функций. Очевидно, что является С -подалгеброй О*. и есть плотное множество в . Рассмотрим также в 02.° подмножество , которое состоит из конечных линейных комбинаций мономов с.одинаковым числом операторов рождения и уничтожения от некоторых локальных функций

Теорема 3 . Пусть V ^ существуют морфизмы Меллера

Теорема 3 . Пусть V ^ ± , тогда для любого Л^Л^е

10 (А) = * - ^ г V А е ог . о

Теорема 4 . Пусть V ^ 3 и V ® V £ ^^ , тогда существует ¿о > о , зависящее от V" и У такое, что при -£ < £ < н.в морфизмы Меллера п ¿V 3 - т т (АЛ VA€aí существуют и обратимы.

Следствие из теоремы 4 . При V £ 3> для любого У

V £ для ферми-газа в 21 в равновесном состоянии при ^ с \ [ о} существует £о > о , зависящее от "V" и , такое, что при £ < £о динамики е*" ГКе и

Нг е унитарно эквивалентны.

Следовательно 01° есть класс локальных возмущений свободной динамики т^ , для которого существуют и при малом параметре в размерности V ^ Ъ обратимы морфизмы Меллера.

Для ферми-газа в теоремы 3 и 4 выполняются, то

-0 о лько при определении Сл.е и под локальностью функции ^ нужно понимать в точности

Отметим, что из теоремы 4 вытекает интересное следствие о спектральных свойствах решетчатого лапласиана.

Следствие. Пусть V ^ и действительная симметричная финитная функция в Ж^ х и & - лапласиан в 1С = . Рассмотрим два самосопряженных ОПераив) иО\ тора Но и £ ' где

V £ € . ^

Тогда существует > о , зависящее от J•) и 9 такое, что для любого п > 1 при < € < £ существуют и

• О унитарны волновые операторы & е £ Г и операторы Н^ и Н^ унитарно эквивалентны на .

0 £

Кластерные разложения и кластерная техника широко нами применяется при исследовании спектральных свойств модулярного оператора — е ^^ГНС решетчатой квантовой системы

Иг\ос1 при высоких температурах ( мало, р^К ), что и составляет содержание третьей главы.( Определение решетчатой квантовой системы см. в §1 главы 3 ).

Кластерные разложения используются для построения предельного состояния на 01 = и О? . При этом предполал<=г* л гается, что задано направленное (по возростанию) семейство конечных подмножеств Д ^ . Пусть для каждого Д из нашего семейства задано состояние < • > на С -алгебре ,

Л Л причем 0 О- , если \ ° Л .

Л1 2. л ^

Определение. Пусть для любого конечного А с. 2. , для любого ^д € 01 и для любого Л А из нашего семейства имеет место равенство

А>Л = * (0.21) где сумма берется по всем конечным £ с Л , а числа (Чд^) обладают следующими свойствами: а) сходятся к некоторым числам & для всех £

К. ^ К при Л ^ Ж ; б) 1 М ограничены числами £ равномерно по Л , причем ряд 2 ь сходится (сумма берется по всем конечным подмножествам К с 2 ). Легко видеть, что тогда предел

А А Л Я - * существует и определяет предельное состояние. Ряд ( 0.21 ) называется кластерным разложение состояния <• , а ряд ( 0.22 ) кластерным разложением предельного состояния. Это определение кластерного разложения дано в работе ( [17]).

Кластерные разложения позволяют наиболее полно исследовать предельное гиббсовское состояние.

Формальные ряды кластерных разложений используются в физике уже сравнительно давно. Первое же доказательство сходимости получено Н.Н.Боголюбовым и Б.И.Хацетом в 1947 г. ([2]). С тех пор теория кластерных разложений получила широкое развитие. Многие ноше идеи и результаты принадлежат Н.Н.Боголюбову, Дк.Глимму, А.Дкаффе, Т.Спенсеру, В.Гринбергу, P.A. Минлосу, Я.Г.Синаю, В.А.Малышеву, Д.Робинсону, Д.Яголнитце-ру, Б.Суйару, П.Федербушу, Д. Жинибру и другим ([2J , [6], [7], [9], [10], [II] , [16], [17] , [18], [23] ,[30], [35-39], [43] ,&4] ).

В частности, В.Гринберг в работе[35]впервые построил кластерное разложение предельного гиббсовского состояния решетчатой квантовой системы при высоких температурах. Он использовал для этой цели уравнения Кирквуда-Зальцбурга.

Кластерные разложения применялись для исследования спектра гамильтониана в двухчастичной области в работах Ж.Димока, Ж.Экмана[33] , Т.Спенсера ([43], [44]), Ч.Бурнала ([31]), В.А. Малышева, Р.А.Минлоса ([38], 139]) и других.

И.Кашапов исследовал спектр трансфер-матрицы фермионного поля на решетке, определенного с помощью формализма граесма-новых алгебр ( £14]).

При исследовании спектра гамильтониана широко используются оценки семиинвариантов. В советской вероятностной школе семиинварианты изучались в работах В.П.Леонова и А.Н.Ширяева ( [13]) и И.Г.Журбенко ( [I2J ). Сильные кластерные оценки семиинвариантов были получены в [-5-J . Равномерно сильные кластерные семиинвариантов получены в работе В.А.Малышева [I7J.

В [17] предложена достаточно общая схема получения кластерных разложений. Более того, там получено так называемое экспоненциально регулярное кластерное разложение.

Этйй схеме мы в основном и следуем при получении кластерных разложений.

Теорема 7. Пусть Ф =■ ^ , А с финитный трансляцион-но инвариантный решетчатый потенциал, тогда при достаточно больших температурах для предельного гиббсовского состояния существует экспоненциально регулярное кластерное разложение.

Кластерная техника до сих пор применялась для исследования трансфер-матрицы. В диссертации предпринята попытка применить ее к изучению модулярного оператора. Полученные результаты носят предварительный характер и представляются совершенно необходимыми для получения дальнейшей информации о спектре гамильтониана.

Легко видеть, что матричные элементы модулярного оператора в конечном объеме выглядят следующим образом С Тг(е*%* Л^е^Тг^Ч" С 0.23)

- —; = , V г, У* От.

Тт. € V» "л Л 7 5 Л

В бесконечном объеме соотношение

СЧ/)Л<> > Л = < Г»* > { 0.24 ) остается в силе на плотном множестве ""^.^(оО

Как видно из ( 0.24 ) матричные элементы модулярного оператора Л^ выглядят достаточно просто, поэтому естественно пытаться изучать кластерные свойства оператора А , .

УтчосД

В §2 третьей главы строится так называемый кластерный бабазис [ £ ^ , где 1 пробегает все последовательности

Этот базис получается из базиса для Ц' с помощью некоторого процесса ортогонолизации, идея которого принадлежит Р.А.Минлосу ([18}). Для этого вводится понятие условного отображения < . | А > , А п А -ф > I А: 1 < 00 » которое

1- л,и Л^ » 3- 1 1 во много аналогично условному математическому ожиданию. В конечном объеме А = А и Л , Л п А - ф ±. 12. где ^ £ , - условный след.

В предложении 13 обсуждаются многие полезные свойства отображений • \ ^^лил " ^ пРЗДложении доказано существование аналога кластерного разложения для < ■ \ А, ^ в случае когда А {"Ц- одна точка, а Д Т, , где1

Т|= ^эсс^ •. означает лексикографическое упорядочение в ).

Основной результат главы 3 сформулирован в теореме 8.

Теорема 8. Пусть Ф = £ ф Афинитный трансляционно

А) ^ инвариантный потенциал, тогда: а) при достаточно малых | ^ | , ^ е » для любых наборов I и I ' ^ К^Л')-(0.26) I где суммирование по всем разбиениям 3 и. и з и з' и. и 3 ' / 1 к 1 множеств I и 1 соответственно; к б) при достаточно малых имеет место оценка 1 СР>\ ^З и У (0.27) где С не зависит от 3 I и для набора Л = Определение ^ и с! (см. в §1 главы 3.)

При доказательстве теоремы 8 широко используется техника, развитая для исследования спектра трансфер-матрицы в работе В.А.Малышева ( [17]).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [25], [26], [27].

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ботвич, Дмитрий Дмитриевич, 1983 год

1. Еерезин 3>.А. Метод вторичного квантования. - М.: Наука, 1965, 236«.

2. Боголюбов H.H., Хацет Б.И. О некоторых математических вопросах теории статистического равновесия. ДАН» 1949, т.66, РЗ, с.321-424.

3. Боголюбов H.H., Ширков Д.В. Введение в теорию квантованных полей. Изд.2, перераб. М.: Наука, 1973, 416 с.

4. Боголюбов H.H., Логунов A.A., Тодоров И.Т. Основы аксиоматического подхода к квантовой теории поля. М.: Наука, 1969, 424 с.

5. Браттели 0., Робинсон Д. Операторные алгебр! и квантовая статистическая механика. М.: Мир, 1982, т.1, 473 с.

6. Дюно М., Суйар Б. Кластерные свойства решетчатых и непрерывных систем. В кн.: Гйббсовские состояния в статистической физике. -М.: Мир, 1978, с.89-106.

7. Дюно М., Суйар Б., Яголницер Д. Убывание корреляций в системах с бесконсзчным радиусом взаимодействия. В кн.: Гиббсовс-кие состояния в статистической физике. М.: Мир, 1978, с. I07-I2I.

8. Гкеденко Б.В. Курс теории вероятностей. Изд. 5, М.: Наука, 1969, 400 с.

9. Добрушин P.JI. Гкббсовские случайные поля. Общий случай. Функц. анализ и его примен., 1969, т.З, №1, с.27-35.

10. Журбенко И. Г. О сильных оценках смешанных семиинвариантов случайных процессов. Сиб. матем. ж., I97S, т.13, 1Ж, с.293-308.

11. Леонов В.П., Ширяев А.Н. К технике вычисления семиинвариантов. Теор. вер. и ее примен. 1959, т.4, с.342-355.

12. Кашапов И.А. Спектр трансфер-матрицы фермионных полей. -Успехи матем. наук, 1982, т.37, 182, с. 197-198.

13. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. Изд.4. -М.: Наука, 1976, 544 с.

14. Малышев В.А. Возмущение гиббсовских случайных полей. В кн. Многокомпонентные случайные системы. М.: Наука, 1978, с. 258-276.

15. Малышев В.А. Кластерные разложения в решетчатых моделях статистической механики. Успехи матем. наук, т.35, вып.2(212) с. 3-53.

16. Минлос Р.А., Синай Я.Г. Исследование спектров стохастических операторов, возникающих в решетчатых моделях газа. -Теорет. и матем. физика. 1970, т.2, №2, с. 230-243.

17. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Функциональный анализ. М.: Мир, 1977, т.1, 357 с.

18. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Теория рассеяния. М.: Мир, 1982, т.З, 44з с.

19. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Анализ операторов. -М.: Мир, т.4, 1982, 428 с.

20. Ноэль Д. Статистическая механика. Строгие результаты. Пер. с англ. М.: Мир, 1971, 367 с.

21. Синай Я.Г. Теория фазовых переходов. Строгие результата. М.: Наука, 1980, 207 с.

22. Сухов I0.M. Сходимость к равновесному состоянию для одномерной квантовой системы твердых стержней. Изв.АН СССР, Сер. матем., 1982, т.46, с.1274-1315.

23. Ботвич Д.Д. Модулярный оператор в ортонор.шрованном базисе. В кн.: Некоторые вопросы прикладной математики и программного обеспечения ЭШ. -М.: Изд.МГУ, 1982, с.74-76.

24. Ботвич Д. Д. Спектральные свойства Ж-гамильтониана в квазисвободном состоянии. Тезисы докладов 1У Советско-Японского симпозиума по теории вероятностей и математической статистике. Тбилиси: "Мецниераба", т.1, с.144-145.

25. Botvich D.D., Malyshev V.A. Unitary equivalence of temperature dynamics for ideal and locally perturbed fermi-gas.-Commun.Math.Phys., 1983, V.91, N 4, p.301-312.

26. Araki H., Wyss W. Representatiohs of the canonical anticommutation relations. Helv. Phys. Acta., 1964, V.37? N2, P.136-159.29» Araki H. On the dynamics and ergodic properties of the XI model. J. Stat. Phys., 1983, V.31, N 2, p.327-3^6.

27. Bratteli 0., Robinson D.W. Operator algebras and quantum statistical mechanics. Springer-Verlag, Berlin, 1981, V.2.

28. Burnap Ch. Isolated one particle states in boson quantum field theory models. Ann. Phys. , ,1977, V.104-, N 1, p.184-196.

29. Greenberg VJ. Correlation functionals of infinite volume quantum spin systems. Commun. Math. Phys., 1969, V.11, N 4, p.314-320.

30. Malyshev V.A., Minlos R.A. Invariant subspaces of clustering operator. I. J. Stat. Pyth., 1979, V.21, N.3, p.231-242.

31. Malyshev V.A., Minlos R.A. Invariant subspaces of clustering operator. II. Commun. Math. Pyth., 1981, V.82, p.211-226.

32. Maassen H . On the invertibility of Möller morphisms. -J. Math. Pyth., 1982, V.23, N 10, p.1848-1851.

33. Robinson D.W. Return to equilibrium. Commun. Math. Pyth.,1973, V.31, N 2, p.171-189.

34. Shale D., Stinespring W.F. States on the Clifford algebra. Ann. Math., 1964, V.80, p.365-381.-4-3. Spenser Th. The Bette-Salpeter kernel in Harvard Univer., Preprint, 1975*

35. Spenser Th., Zirilli Scattering states and bound states in x • ~ Commun. Math. Pyth., 1976, V.4-9, p.1-16. 4-5. Cook J.M. The mathematics of second quantization. Trans. Amer. Math. Soc., 1953, V.74-, p.222-275.