Синтез оптимальных регуляторов для распределенных систем управления на основе спектрального метода представления тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат технических наук Лебедев, Сергей Николаевич

• Лебедев, Сергей Николаевич
• кандидат технических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат технических наук Лебедев, Сергей Николаевич

ВВЕДЕНИЕ.

1. СОСТОЯНИЕ ПРОБЛЕМЫ, ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИССЕРТАЦИИ.

I 1.1. Методы анализа распределенных систем управления

1.2. Методы синтеза регуляторов для распределенных систем управления.

1.3. Точностные оценки получаемых оптимальных решений.

1.4. Цели и задачи диссертации.

1.5. Новизна научных результатов.

1.6. Внедрение результатов работы.

1.7. Основные результаты, выносимые на защиту.

2. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СПЕКТРАЛЬНОГО МЕТОДА ДЛЯ АНАЛИЗА ТРЕХМЕРНОЙ РАСПРЕДЕЛЕННОЙ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ.

2.1. Математическая модель распределенного объекта.

2.2. Определение спектральной характеристики по трем пространственным переменным.

2.3. Погрешности представления.

2.4. Свойства спектральных характеристик.

2.5. Представление дифференциального уравнения в спектральной форме.

2.6. Использование основной тригонометрической системы в качестве базисной системы функций.

2.6.1. Спектральные характеристики и операционные матрицы дифференцирования.

2.6.2. Представление модели распределенной системы при различных видах граничных условий.

2.6.3. Функция точечного источника.

2.6.4. Условия стыковки двух сред.

2.6.5. Пример использования спектрального метода для анализа систем с распределенными параметрами.

2.7. Выводы по второму разделу.

3. СИНТЕЗ ЛОКАЛЬНО-ОПТИМАЛЬНОГО РЕГУЛЯТОРА ДЛЯ РАСПРЕДЕЛЕННОЙ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ.

3.1. Постановка задачи управления для распределенной системы.

3.2. Синтез локально-оптимального регулятора для непрерывной системы.

3.3. Синтез локально-оптимального регулятора для дискретной системы

3.4. Пример синтеза регулятора для распределенной системы по критерию локальной оптимальности.

3.5. Сходимость оптимальных решений и оценка погрешностей.

3.6. Выводы по третьему разделу

4. АНАЛИЗ УРАВНЕНИЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ВИДА СПЕКТРАЛЬНЫМ МЕТОДОМ

4.1. Свойства спектральных характеристик.

4.2. Представление уравнения гиперболического вида в спектральной форме.

4.3. Примеры решения уравнения гиперболического вида спектральным методом.

4.4. Выводы по четвертому разделу.

5. АНАЛИТИЧЕСКОЕ КОНСТРУИРОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕГУЛЯТОРОВ ДЛЯ УПРУГОГО РАСПРЕДЕЛЕННОГО ОБЪЕКТА УПРАВЛЕНИЯ.

5.1. Синтез регулятора для упругого распределенного объекта управления

5.2. Выводы по пятому разделу.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Синтез оптимальных регуляторов для распределенных систем управления на основе спектрального метода представления»

В теории и практике современных систем автоматического управления широкое распространение получили системы с распределенными параметрами, в которых регулируемые переменные являются функциями пространственных координат и времени. Это обусловлено реальными пространственно-временными многомерными процессами, протекающими в живой и неживой природе. Распределенными объектами управления являются химико-технологические и металлургические производства, технологическая термообработка материалов и изделий, радиационные и магнито -гидродинамические процессы, задачи, связанные с управлением движением упругих жестких конструкций.

Проблемы, решаемые при построении систем автоматического управления с распределенными параметрами аналогичны тем, которые возникают в сосредоточенных системах. Это вопросы управляемости, наблюдаемости, устойчивости, идентификации, синтеза регуляторов. Однако, применительно к системам с распределенными параметрами эти задачи значительно усложняются. Это объясняется большим разнообразием уравнений с частными производными, которыми описываются процессы, протекающие в системах данного класса. Отсутствие единого методологического подхода для решения задач, связанных с системами с распределенными параметрами ставит перед их разработчиком проблемы, требующие использования нестандартных методов исследования и принятия инженерных решений в каждом конкретном случае.

В современных сосредоточенных системах автоматического управления для решения задач оптимизации, идентификации, фильтрации, расчета корректирующих устройств широкое распространение получили спектральные методы, обеспечивающие устойчивость вычислительных процедур и хорошую сходимость полученных решений при переходе от бесконечномерного представления динамических характеристик систем по ортогональным базисам к конечномерным матрично-операторным уравнениям. В качестве ортогональных базисов выбираются тригонометрические функции, функции Уолша или полиномы Чебышева первого рода, обладающие не только хорошими аппроксимативными свойствами, но и позволяющие использовать для расчетов на ЭВМ алгоритмы быстрых преобразований, что особенно актуально на современном этапе при использовании в контурах управления автоматическими системами вычислительной техники.

В настоящее время спектральный метод получил дальнейшее развитие и широко используется для анализа и синтеза распределенных управляемых систем [27], [28], [29]. При этом вводится понятие спектральной характеристики по пространственной переменной и дифференциальное уравнение в частных производных представляется бесконечномерной системой дифференциальных уравнений в форме Коши, в правую часть которых входят составляющие, учитывающие граничные условия, внешние возмущения, внутренние источники.

Основным преимуществом спектральной формы представления является широкая возможность использования хорошо формализованных методов пространства состояний для анализа и синтеза распределенных систем.

В связи со сказанным, актуальным, экономически целесообразным и практически значимым является решение проблем, связанных с дальнейшим развитием спектрального метода в части, касающейся его использования для управления трехмерными температурными полями и упругими конструкциями. Зтим вопросам и посвящена настоящая диссертационная работа.

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Лебедев, Сергей Николаевич

5.2. Выводы по пятому разделу

1. Дана оценка управляемости и наблюдаемости распределенного упругого объекта управления в спектральной области представления.

2. Для упругого распределенного объекта управления, описываемого уравнением гиперболического вида с учетом внутреннего сопротивления по Фойгхгу и неравномерным распределением массы и жесткости по длине, синтезирован регулятор по методу АКОР.

3. Проведен анализ влияния внутреннего сопротивления по Фойгхгу на динамику движений гибкого упругого объекта управления, описываемого уравнением в частных производных гиперболического вида.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основными результатами диссертационной работы являются:

1. Расширен класс задач решаемых на основе спектрального метода для распределенных управляемых систем. Спектральный метод применен для анализа распределенных объектов управления, описываемых уравнениями гиперболического вида, и развит на случай распределенных пространственно трехмерных объектов управления, математические модели которых описываются уравнениями параболического вида.

2. Получены новые свойства спектральных характеристик, благодаря которым осуществлен переход от описания в виде уравнений с частными производными параболического и гиперболического вида к описанию в области пространства состояний - векторно-матричному описанию в форме Коши относительно спектральных характеристик. Отличительной особенностью полученной модели является вхождение граничных условий и внешних воздействий в правую часть системы уравнений, описывающей объект управления.

3. Проведен анализ распределенных систем при различных типах граничных условий и внешних воздействий. Рассмотрены вопросы стыковки нескольких сред с различными физическими свойствами.

4. Для пространственно трехмерной распределенной системы в непрерывной и дискретной формах синтезирован локально-оптимальный закон управления, доставляющий в каждый момент времени минимум квадратичному критерию, содержащему ошибку рассогласования системы. Управление осуществляется с границ.

5. Для упругого распределенного объекта управления, описываемого уравнением гиперболического вида с неравномерным распределением массы и жесткости по длине и учетом внутреннего сопротивления по Фойгхгу, синтезирован оптимальный закон управления по методу АКОР.

6. На основе спектрального метода разработано алгоритмическое и программное обеспечение, обеспечивающее в диалоговом режиме анализ распределенных систем управления с заданными начальными и граничными условиями.

7. Показана сходимость решений на основе спектрального метода и даны точностные оценки погрешностей по оптимизируемым функционалам при замене систем с распределенными параметрами, описываемых бесконечномерными моделями, на конечномерные.

8. Показано, что решения на основе спектрального метода обладают достаточной жесткостью, устойчивостью вычислительных процедур и простотой для их реализации в программных комплексах управления.

9. Разработанные алгоритмы и программы использованы для анализа и синтеза распределенной системы управления температурным полем в установке вытяжки стеклоэлементов на ЗАО «ШАР» г. Саратова и расчета систем управления на ГНПП «АЛМАЗ».

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Лебедев, Сергей Николаевич, 2000 год

1. Александров А.Г. Синтез регуляторов многомерных систем. -М.: Машиностроение, 1986. 272 с.

2. Андрейченко К.П., Андрейченко Д.К. Динамическое моделирование гироскопической системы угловой стабилизации упругой ракеты II Доклады академии военных наук. -1999. №1, - С. 5-13.

3. Арсенин В .Я. Математическая физика. Основные уравнения и специальные функции. -М.: Наука, 1966. 367 с.

4. Бабаков И.М. Теория колебаний. -М.: Наука, 1968. 560 с.

5. Батурин В.В. О синтезе регуляторов для одного класса объектов с распределенными параметрами і і Аналитические методы синтеза регуляторов: Межвуз. научн. сб./ Сарат. политехи, ин-т. Саратов, -1988. - С. 72-77.

6. Батурин В.В., Герасимов С.М. Синтез дискретных систем управления для объектов с распределенными параметрами. / Сарат. политехи, ин-т. -Саратов, 1990. 30 с. -Деп. в ВИНИТИ 1990, № 4181-В90.

7. Батурин В.В., Герасимов С.М. Условия применения модальных методов управления для объектов с распределенными параметрами. / Сарат. политехи, ин-т. -Саратов, 1990. -7 с. -Деп. в ВИНИТИ 1990, № 4182-В90.

8. Бутковскнй А.Г. Структурная теория распределенных систем. -М.: Наука, 1977. 320 с.

9. Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. -М.: Наука, 1965. 474 с.

10. Бутковский А.Г. Характеристики систем с распределенными параметрами. -М.: Наука, 1979. 224 с.

11. Валеев Г. В., Жаутыков О. А. Бесконечные системы дифференциальных уравнений. -Алма-Ата: Наука Казахской ССР, 1974. -415 с.

12. Владимиров B.C. Уравнение математической физики. -М.: Наука, 1971.-560 с.

13. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике. -М.: Наука, 1979.-318 с.

14. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. -М.: Наука, 1988. -547 с.

15. Герасимов С.М. Алгебраический метод синтеза модальных, регуляторов для объектов с распределенными параметрами // Аналитические методы синтеза регуляторов: Межвуз. научн. сб./ Сарат. политехи, ин-т. -Саратов, -1990. С.19-27.

16. Герасимов С.М., Подчукаев В А Алгебраический подход к анализу и синтезу распределенных управляемых систем // Автоматика и телемеханика, 1991-№5. С. 57-62.

17. Дегтярев Г.Л. Оптимальное управление стахостическими процессами с распределенными параметрами при локальном критерии качества // Оптимальные процессы: Труды КАИ. Казань, -1975. -Вып. 188. -С. 37-41.

18. Дегтярев Г.Л., Ризаев И.С. Синтез локально-оптимальных алгоритмов управления летательными аппаратами. -М.: Машиностроение, 1991. 304 с.

19. Дегтярев Г. Л., Сиразетдинов Т.К. Теоретические основы оптимального управления упругими космическими аппаратами. -М.; Машиностроение, 1986. 216 с.

20. Дейч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа. -М.: Фитматгиз, 1958.

21. Джашитов В А, Панкратов В.М., Сучков A.B. Автоматизированное исследование смещения центров масс быстровращающихся роторов изделий машиностроения в неоднородном температурном поле // Проблемы машиностроения и надежности машин, -1990. -№ 4. -С. 106 -111.

22. Диткии В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. -М.: Физматгиз, 1961. 407 с.

23. Жаутыков O.A. Решение краевой задачи для бесконечной системы обыкновенных дифференциальных уравнений /У Укр. матем., -1960. Т.12. -№2. -С. 157-164.

24. Иванов В.И., Чемоданов Б.К., Медведев B.C. Математические осйовы теории автоматического регулирования. -М.: Высшая школа, 1971. 808 с.

25. Карслоу Г.С. Теория теплопроводности. -М.: ОГИЗ, 1947, -288 с.

26. Коваль ВА Метод пространственно частотной декомпозиции для управления в трехмерном евклидовом пространстве // Аналитические методы синтеза регуляторов : Межвуз. науч. сб. / Сарат. политехи, ин-т. Саратов, 1982.-С. 31-36.

27. Коваль В А Применение спектральных методов к анализу систем управления с распределенными параметрами // Аналитические методы синтеза регуляторов : Межвуз. науч. сб. / Саратовский гос.техн. ун-т. Саратов, -1994.- С. 18-36.

28. Коваль В.А. Применение ортогональных разложений для анализа распределенных систем управления // Аналитические методы синтеза регуляторов : Межвуз. науч. сб. / Саратовский гостехн. ун-т. Саратов, -1996.- С. 39-54.

29. Коваль ВА Спектральный метод анализа и синтеза распределенных управляемых систем. Саратов; Саратовский гостехн. ун-т., -1997. -192 с.

30. Коваль ВА, Лебедев С.Н. Автоматизированное управление в технических системах с распределенными параметрами. Программа, методические указания и контрольные задания. / Саратовский гос.техн. ун-т. -Саратов, -1998. -18 с.

31. Коваль В А, Лебедев С.Н. Пакет прикладных программ для анализа систем с распределенными параметрами // Аналитические методы синтеза регуляторов : Межвуз. науч. сб. / Саратовский гос.техн. ун-т. Саратов, -1996.- С. 39-54.

32. Коваль ВА, Лебедев С.Н. Применение спектрального метода для анализа уравнений гиперболического вида // Аналитические методы синтеза регуляторов : Межвуз. науч. сб. / Саратовский гос.техн. ун-т. Саратов, -1998! -С. 55-71.

33. Коваль В .А., Лебедев С.Н. Синтез регулятора для упругого распределенного объекта управления. II Доклады Российской академии естественных наук. -1999. №1, - С. 56-62.

34. Коваль В.А., Першин И.М. Применение метода пространственно частотной декомпозиции к анализу систем с распределенными параметрами // Аналитические методы синтеза регуляторов: Межвуз. науч. сб. / Сарат. политехи, ин-т. Саратов, -1981. - С. 49-56.

35. Лебедев С.Н. Пакет прикладных программ для ЭВМ «СПЕКТР» для анализа распределенных систем управления. Per. № 970358 в РОСАПО от 22.07.97, рукописно. 176 с.

36. Лебедев С.Н. Синтез локально-оптимального управления для систем с распределенными параметрами. // Аналитические методы синтеза регуляторов : Межвуз. науч. сб. / Саратовский гос.техн. ун-т. Саратов, -1998. -С. 104-115.

37. Лебедев A.A., Чернобровкин Л.С. Динамика полета беспилотных летательных аппаратов. -М.: Машиностроение, 1973. -616 с.

38. Лионе Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.: Мир, 1972. 414 с.

39. Лыков А.В. Теория теплопроводности. -М.: Высшая школа, 1967. 600 с.

40. Первозванский А.А., Солонина Н.В. Субоптимальный конечномерный регулятор для объекта с распределенными параметрами. . 1. Детерминированная задача аналитического конструирования fi Автоматика и телемеханика, 1984. -Na 4. С. 48-59.

41. Персидский К.П. об устойчивости решений счетной системы дифференциальных уравнений // Изв. АН Каз. ССР, серия матем. и механ. -1948.-Вып.2. -С. 2-35.

42. Першин И.М. Об одной структуре регулятора для систем управления с распределенными параметрами // Аналитические методы синтеза регуляторов : Межвуз. науч. сб. / Сарат. политехн. ин-т. Саратов, -1982. -С. 15-30.

43. Першин И.М. Частотный метод синтеза регуляторов для систем с распределенными параметрами // Аналитические методы синтеза регуляторов : Межвуз. науч. сб. / Сарат. политехн. ин-т. Саратов, -1984. - С. 70-84.

44. Першин И.М. Синтез многомерных систем частотным методом // Аналитические методы синтеза регуляторов : Межвуз. науч. сб. / Сарат. политехн. ин-т. Саратов, -1990. - С. 53-63.

45. Плотников В.И. О сходимости конечномерных приближений (в задаче об оптимальном нагреве неоднородного тела произвольной формы) К Журн. вычислит, математ. и мат. физики, 1968. Т.8. -№1. С. 136-157.

46. Подчукаев В.А. Аналитическая теория автоматического управления. -Саратов: Саратовский гос.техн. ун-т., 1996. с. 200.

47. Подчукаев В.А. Устойчивость, качество и коррекция систем автоматического управления: Учебное пособие для студентов втузов. -Саратов: Сарат. политехн. ин-т., 1989. 80 с.

48. Подчукаев В.А. Быстрые алгоритмы анализа и синтеза систем автоматического регулирования на основе полиномиальных функций их параметров. Саратов: Саратовский гос.техн. ун-т., 1986. -112 с.

49. Рапопорт Э.Я. Задача равномерного приближения при оптимизации распределенной системы, описываемой уравнением параболического типа // Сиб. мат. журнал, 1982. Т.23. -№ 5. -С. 168-191.

50. Рапопорт Э.Я. Оптимизация процессов индукционного нагрева металла. -М.: Металлургия, 1993. 278 с.

51. Рапопорт Э.Я. Чебышевские приближения в задачах параметрической оптимизации управляемых процессов. 1-Ш //Автоматика и телемеханика, 1992. № 2. -С. 60-67; N8 З.-с! 59-64; № 5. -С. 168-191.

52. Рапопорт Э.Я., Лившиц М.Ю., Плешивцева Ю.Э. Конечномерные приближения в одном классе задач оптимизации систем с распределенными параметрами // Вестник Самар. гос. техн. ун-та. Сер. Физико-математические науки, 1996. Выл. 4. С. 24 -36.

53. Ризаев И. С. Синтез оптимального управления в дискретных линейных стохастических системах при локальном критерии качества // Оптимизация процессов в авиационной технике: Межвуз. сб. / Казань: Изд. КАИ, -1992. -С. 30-33.

54. Ризаев И.С., Хасанова Н.Г. Параметрический синтез локально-оптимального управления по результатам предыдущих измерений // Теория и проектирование систем автоматического управления и их элементов: Межвуз. научн. сб. / Уфа: Изд. УАИ, -1985. -С. 7-11.

55. Ройтенберг Я.Н. Автоматическое управление. -М.: Наука, 1971. -396 с.

56. Сиразетдинов Т.К. Оптимизация систем с распределенными параметрами. -М.: Наука, 1977. -480 с.

57. Снеддон И. Преобразования Фурье. -М.: ИЛ, 1955.

58. Солодовников В.В., Дмитриев АН., Егупов Н.Д. Спектральные методы расчета и проектирования систем управления. -М.: Машиностроение, 1986.-440 с.

59. Солодовников В.В., Семенов В.В. Спектральная теория нестационарных систем управления. -М.: Наука, 1974. 329 с.

60. Солодовников В.В. Чулин H.A. Частотный метод анализа и синтеза многомерных систем автоматического управления: Учеб. пособие. -М.: Высшая школа, 1981.-46 с.

61. Тихонов А.М., Самарский A.A. Методы математической физики. -М.: Наука, 1966. 727 с.

62. Толстое Г.П. Ряды Фурье. -М.: Наука, 1980. 384 с.

63. Трантер К.Дж. Интегральные преобразования в математической физике. -М.: Гостехиздат, 1957. 345 с.

64. Холл Дж., Уатт Дж. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. -М.: Мир, 1979. 312 с.

65. Balas M.J. Exponentially stabilizing finite-dimensional controllers for linear distributed parameter systems: Galerkin approximation of infinite dimensional controllers // J. Math. Anal, and Appl. -1986. Vol. 117, -№2, -P. 358-384.

66. Balas M.J. Finite-dimensional control of by Galerkin approximation of infinite dimensional controllers И J. Math. Anal, and Appl. 1986. Vol. 114, -№1, -P. 17-36.

67. Kaiman R. Contributions to the Theory of optimal control. Boletín de la Sociedad Matematica Mexicana, v. 5, Segunda serie, 1960, -№1, -P. 102-119. '

68. Kobayashi Т. Regulator design for continuos-time distributed parameter systems by discrete-time controls II Int. J. Syst. Sci. -1987. -Vol.18, -Na6. -P.1003-1120.

69. Kobayashi T. Regulator design for distributed parameter systems with constant disturbances // Int. J. Syst. Sci. -1984. -Vol. 15, -№4. -P. 375-399.

70. Logemann H., Boutsema Owens D.H. Low-gain control of distributed parameter systems with unbounded control and observation // Contr.: Theor. and Adv. Techno!. -1988. -Vol. 4, -№4. -P. 429-446.

71. Kazemi-Dehkordi M.A. A method of successive approximation for optimal control of distributed parameter systems // J. Math. And Appl. 1988. -Vol. -133, -№4. -P. 484-497.

72. Semenov V.V., Sotskova I.L. The spectral method for solving the Fokker-Planck-Kolmogorov equation for stochastic control system analysis // IFAC stochastic control, Vilnius, Lithuanian SSR, USSR, 1986, -P. 503-508.

73. Shimemura E., Uchida K. A design method of an LQ regulator for DSP locating poles in the specified region // Distrib. Parameter Syst Modell. and Simul .: Proc. IMACS /IFAC Int. Symp., Hiroshima , 6-9 oct., 1987, -Amsterdam, etc., 1989. -P. 115-120.

74. Wang M., Chang R. Optimal control of linear distributed parameter by shifted Legendre polynomial function II Trans. ASME: J. Oy. Syst. Meas. and Contr. -1983. -Vol.105, -№4 -P. 226.

75. Wang S. Reduction of a distributed system to a lumped system via state feedback ft Proc. 26 th. IEEE conf. Decis. and Contr., Los Angeles, Califo., Dec. 9-11, 1987. -NewYork, 1987.-P. 2154-2157.

76. Watanabe E., Yamamoto Т., Omatu S. A design method for a self-tuning regulator for a distributed parameter system // Int. J. Contr. -1985. -Vol. 43, -№1. -P. 271-283.

77. Zhu J., Lu Y. Hierarchical optimal control for distributed parameters systems via block pulse operator II Int. J. Contr. -1988. -Vol. 48, -№2. -P. 685-703.»і-;«:-,:"«