Синтез нелинейного регулятора системы управления параметрически неопределенным объектом тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.06, кандидат технических наук Старых, Алексей Анатольевич

• Старых, Алексей Анатольевич
• кандидат технических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат технических наук Старых, Алексей Анатольевич

ОГЛАВЛЕНИЕ.

СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ.

ПРЕДИСЛОВИЕ.

ВВЕДЕНИЕ.

1 ОБЗОР НЕКОТОРЫХ МЕТОДОВ СИНТЕЗА НЕЛИНЕЙНОГО УПРАВЛЕНИЯ.

1.1 Метод функций Ляпунова.

1.2 Геометрический подход.

1.3 Пассивность и пассификация.

1.4 Бэкстеппинг.

1.5 Выводы.

2 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ САМОВОЗБУЖДАЮЩЕГОСЯ ЭЛЕКТРОГИДРАВЛИЧЕСКОГО ТОРМОЗА.

2.1 Принцип работы самовозбуждающегося электрогидравлического тормоза.

2.2 Построение математической модели объекта.

2.3 Упрощенная модель объекта.

2.4 Выводы.

3 СИНТЕЗ НЕЛИНЕЙНОГО УПРАВЛЕНИЯ НА ОСНОВЕ МЕТОДА ЛИНЕАРИЗАЦИИ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ.

3.1 Требования к качеству системы управления электрогидравлическим тормозом.

3.2 Преобразование координат и линеаризация по входу-выходу упрощенной модели объекта.

3.3 Синтез управления для линеаризованной модели объекта.

3.4 Робастность замкнутой системы управления.

3.5 Выводы.

4 ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОБЪЕКТА УПРАВЛЕНИЯ.

4.1 Использование системы Maple для синтеза нелинейного управления.

4.1.1 Особенности системы Maple.

4.1.2 Синтез управления нелинейной структуры.

4.2 Имитационное моделирование объекта управления в системе MATLAB.

4.2.1 Особенности системы MATLAB/Simulink.

4.2.2 Имитационное моделирование системы управления с пропорциональным регулятором.

4.2.3 Имитационное моделирование системы управления с нелинейным регулятором.

4.3 Имитационное моделирование в системе DSHplus.

4.3.1 Особенности специализированной систем ы DSHp/us.

4.3.2 Имитационное моделирование объекта управления в системе DSHplus.

4.4 Использование результатов работы.

4.4.1 Опытный образец SEHB.

4.4.2 Автоматизированный трибологический комплекс ТК-2.

4.5 Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Синтез нелинейного регулятора системы управления параметрически неопределенным объектом»

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю д.т.н., профессору В.Г. Букрееву за неоценимую помощь, оказанную им в ходе аспирантской подготовки автора на кафедре электропривода и электрооборудования электротехнического института Томского политехнического университета.

Автор благодарит М. Лирмана, результаты научного сотрудничества с которым содержатся в настоящей работе, и чья помощь была незаменимой во время и после прохождения автором исследовательской стажировки в институте гидропривода и управления Аахенского технического университета.

Особую благодарность за колоссальную поддержку во время обучения в аспирантуре автор приносит своим родителям.

Алексей Старых Томск, 2009

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность проблемы. Теория нелинейных систем является чрезвычайно важной и активно развивающейся областью науки во всем мире. В общем случае физические системы, и технические системы в частности, являются, как правило, нелинейными и характеризуются многомерностью, нестационарностью, большой размерностью и неопределенностью математической модели. Синтез законов управления для таких систем часто связан со значительными трудностями как теоретического, так и вычислительного характера, что приводит к сложности их инженерной реализации.

В последние десятилетия разработан ряд эффективных методов синтеза управления нелинейными объектами. Значительный вклад в их развитие внесли российские ученые Б.Р. Андриевский, A.A. Бобцов, A.A. Красовский, П.Д. Крутько, И.В. Мирошник, В.О. Никифоров, A.JI. Фрадков, ЯЗ. Цыпкин, В.А. Якубович и др., а также зарубежные ученые DJ. Hill, P.A. Ioannou, А. Isidori, I. Kanellakopoulos, H.K. Khalil, P.Y. Kokotovic, M. Krstic, R. Marino, K.S. Narendra, P. Tomei, S.S. Sastry, E.D. Sontag и др.

Ввиду сложности нелинейных систем, особую роль играют преобразования к линейной форме (методы линеаризации), которые предоставляют возможность использования известных инструментов анализа и синтеза линейной теории.

В настоящее время для решения проблем линеаризации применяется несколько методов. Например, в гидро- и пневмосистемах с дроссельным регулированием для линеаризации нелинейного уравнения расхода рабочей среды через проходное сечение традиционно используется метод линейной аппроксимации. Основное ограничение метода заключается в том, что линеаризация осуществляется в достаточно малой окрестности рабочей точки. Однако, как известно, во многих ситуациях динамика системы существенно меняется при изменении рабочих режимов, что должно учитываться инженером при синтезе регулятора. В связи с этим более перспективным представляется метод линеаризации обратной связью, который допускает практически полную формализацию процесса построения закона управления.

Ввиду вышеизложенного актуальным является применение данного метода для разработки алгоритма синтеза регулятора системы управления сложным динамическим объектом, что и послужило мотивацией для проведения исследований, представленных в работе.

Цель работы. Целью диссертационной работы является разработка и исследование алгоритма синтеза нелинейного регулятора для динамического объекта - самовозбуждающегося электрогидравлического тормоза, характеризующегося высоким порядком, нелинейностью и интервальной параметрической неопределенностью.

Для достижения указанной цели поставлены следующие основные задачи, требующие решения:

• анализ неопределенности параметров самовозбуждающегося электрогидравлического тормоза и построение его математической модели;

• постановка задачи управления объектом и формирование требований к качеству управления;

• разработка алгоритма синтеза нелинейного регулятора;

• исследование системы управления при наличии неопределенности модели объекта;

• имитационное моделирование системы управления в вычислительной среде МАТЬАВ/^итшНпк;

• доказательство работоспособности и эффективности разработанного алгоритма нелинейного регулятора в специализированной вычислительной системе ОЗНр/глу.

Методы исследований. Для решения поставленных задач в работе использованы методы теории автоматического управления, аппарат линейной алгебры и дифференциальных уравнений. Математическое и имитационное моделирование выполнено в вычислительных системах Maple, MATLAB/Simulink и DSHplus.

Научная новизна. Научная новизна заключается в следующем:

• построена редуцированная математическая модель самовозбуждающегося электрогидравлического тормоза, являющаяся более приемлемой для применения методов синтеза по сравнению с исходной моделью объекта высокого порядка;

• разработан алгоритм синтеза нелинейного регулятора, обеспечивающий получение монотонного переходного процесса выходной переменной аффинной системы с гладкими нелинейностями;

• синтезирован нелинейный регулятор, гарантирующий монотонность тормозного усилия самовозбуждающегося электрогидравлического тормоза в заданных границах величины тормозной силы и обладающий нечувствительностью к изменениям коэффициента затухания плунжера золотникового распределителя.

Практическая ценность результатов работы состоит в следующем:

• разработана имитационная модель самовозбуждающегося электрогидравлического тормоза в вычислительной системе MATLAB/Simulink и S-функция, реализующая алгоритм нелинейного регулятора;

• в виде дополнительной компоненты специализированной вычислительной среды DSHplus на языке программирования С++ разработан программный модуль, выполняющий функции синтезированного нелинейного регулятора.

Достоверность полученных результатов. Достоверность результатов работы подтверждается математическим обоснованием разработанных моделей, сопоставимостью результатов теоретических исследований с существующими положениями теории автоматического управления, сравнением результатов имитационного моделирования и экспериментальных исследований в специализированной вычислительной среде DSHp>/ws.

Реализация результатов работы. Основные результаты работы получены при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ и немецкой службы академических обменов DAAD (грант 7.375.С 2007).

Результаты исследований используются в настоящее время для испытаний опытных образцов самовозбуждающегося электрогидравлического тормоза в лаборатории института гидропривода и управления Аахенского технического университета (IFAS RWTH Aachen University, Germany) и для модернизации алгоритмов и программного обеспечения автоматизированного трибологического комплекса ТК-2 (ООО фирма «Техносинтез», г. Томск), а также в учебном процессе Томского политехнического университета.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на Международной научно-технической конференции «Электромеханические преобразователи энергии» (г. Томск, 2007); научном семинаре стипендиатов DAAD программы «Михаил Ломоносов» 2007/08 (г. Москва, 2008); научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Инновации в атомной отрасли: проблемы и решения» (г. Северск, 2008); научно-техническом семинаре кафедры Электропривода и электрооборудования ЭЛТИ ТПУ (г. Томск, 2008).

Публикации. Результаты выполненных исследований отражены в 8 печатных работах, которые включают в себя 2 статьи в журналах, рекомендуемых ВАК, тезисы 5-ти докладов на международных и всероссийских конференциях, и авторское свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из предисловия, введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложения. Общий объем работы составляет 128 страниц, в том числе рисунков - 34, таблиц - 9, список литературы из 65 наименований, приложение на 5 страницах.

В главе 1 дается краткий обзор некоторых современных методов синтеза нелинейного управления. Рассматривается метод функций Ляпунова, вводятся понятия относительной степени и нуль-динамики нелинейной системы, описывается идея метода линеаризации обратной связью и процедуры пошагового синтеза (бэкстеппинг), приводится определение пассивной системы и рассматривается задача пассификации нелинейного объекта.

В главе 2 представлена новая концепция самовозбуждающегося электрогидравлического тормоза для колесной пары железнодорожной тележки, предложенная в институте гидропривода и управления Аахенского технического университета (IFAS RWTH Aachen University, Germany). Проводится построение исходной математической модели объекта. В связи с тем, что высокий порядок исходной модели делает ее малопригодной для применения методов синтеза, строится редуцированная модель объекта.

В главе 3 формулируются основные требования к качеству управления объектом исходя из недостатков системы управления SEHB с пропорциональным регулятором. Разрабатывается алгоритм синтеза нелинейного регулятора на основе метода линеаризации обратной связью. Исследуется роба-стность системы управления с синтезированным регулятором относительно неопределенностей модели объекта.

Глава 4 посвящена имитационному моделированию самовозбуждающегося электрогидравлического тормоза. Рассматриваются программные продукты MATLAB/Simulink, Maple и DSHplus. Дается краткое описание этих систем и демонстрируется их использование для проведения математического и имитационного моделирования объекта управления. Приводится краткое описание опытного образца самовозбуждающегося электрогидравлического тормоза.

В заключении изложены основные результаты исследований, представленных диссертационной работы.

В приложении приведены акты внедрения результатов исследований в промышленность и учебный процесс подготовки специалистов в Томском политехническом университете.

Заключение диссертации по теме «Автоматизация и управление технологическими процессами и производствами (по отраслям)», Старых, Алексей Анатольевич

4.5 Выводы

• В главе с помощью системы символьной математики Maple получено аналитическое выражение закона управления, синтезированного на основе метода линеаризации обратной связью.

• Построена имитационная модель системы управления объектом с предложенным алгоритмом управления в среде MATLAB/Simulink. Результаты моделирования показали, что разработанный алгоритм синтеза обеспечивает монотонность тормозного усилия самовозбуждающегося электрогидравлического тормоза в заданных границах величины тормозной силы.

• Для доказательства работоспособности и эффективности синтезированного нелинейного регулятора построена имитационная модель системы управления в специализированной вычислительной среде DSHp/ш. Алгоритм управления реализован на языке программирования С++ в виде дополнительной компоненты программы. Результаты моделирования в системах DSHp/ш и MATLAB/Simulink показали, что значения переменных состояния объекта в каждой из вычислительных систем различаются не более чем на 7 %.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

По результатам проведенных в диссертационной работе исследований сформулированы следующие выводы:

• Построена редуцированная математическая модель самовозбуждающегося электрогидравлического тормоза 4-го порядка, которая является нелинейной и включает в себя все неопределенности исходной модели объекта 10-го порядка, а именно, неопределенность параметров золотника и коэффициента трения тормозных колодок. Таким образом, наиболее важные структурные свойства исходной модели были сохранены. Пониженный порядок редуцированной модели делает ее более приемлемой для применения методов синтеза.

• Разработан алгоритм синтеза нелинейного регулятора, обеспечивающий получение монотонного переходного процесса выходной переменной и обладающий свойством робастности за счет компенсации нелинейных функций а(х) и Ь(х) (см. (3.10)).

• Синтезирован нелинейный регулятор, обладающий нечувствительностью по отношению к неопределенности параметра затухания золотника, что дает возможность применять для 8ЕНВ золотниковые распределители с разной массой плунжера. Значение функционала, характеризующего затраты на управление в 4-11 раз меньше по сравнению с затратами на управление в системе с пропорциональным регулятором, а максимальное значение входного напряжения золотника ниже как минимум в 2 раза. Поэтому система управления с нелинейным регулятором может обеспечивать функционирование 8ЕНВ при использовании источников электрической энергии меньшей мощности.

• Разработана на языке программирования С 8-функция вычислительной системы МАТЬАВ/81тиНпк, реализующая алгоритм синтеза нелинейного регулятора и использующаяся для моделирования опытного образца самовозбуждающегося электрогидравлического тормоза.

• Разработан программный модуль на языке программирования С++ в виде дополнительной компоненты специализированной вычислительной системы ВЭНр/м^, реализующий алгоритм синтеза нелинейного регулятора и использующийся для проведения имитационного моделирования и экспериментальных исследований прототипа 8ЕНВ.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Старых, Алексей Анатольевич, 2009 год

1. Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Избранные главы теории автоматического управления с примерами на языке MATLAB1®. - СПб.: Наука, 2000. - 475 с.

2. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического управления. Изд. 4-е. - СПб.: Изд-во «Профессия», 2003. - 752 с.

3. Бобг(ов A.A. Адаптивное и робастное управление параметрически и функционально неопределенными объектами в условиях возмущений и запаздывания: Дис. . д-ра техн. наук. Москва. 2006. 309 с.

4. Букреев В.Г., Краснов И.Ю. Основы теории регулирования непрерывных систем: Учебное пособие. Томск: Изд-во ТПУ, 2005. - 114 с.

5. Букреев В.Г., Старых A.A. Параметрический синтез регуляторов электромеханических систем // Известия вузов. Электромеханика. 2006. -№ 3. - С. 69-71.

6. Букреев В.Г., Старых A.A. Робастное управление электромеханическим объектом с параметрическими возмущениями // Материалы международной научно-технической конференции «Электромеханические преобразователи энергии». Томск: Изд-во ТПУ, 2007. - С. 217-220.

7. Инструкг^ия по эксплуатации тормозов подвижного состава железных дорог № ЦТ-ИЭ-ЦЛ-ВНИИЖТ-227. М.: Транспорт, 2008. - 148 с.

8. Кернигаи Б., Ритчи Д. Язык программирования Си / Пер. с англ., 3-е изд. СПб.: "Невский Диалект", 2001. - 352 с.

9. Крылов В.И., Крылов В.В. Автоматические тормоза подвижного состава: Учебник для техникумов ж.-д. транспорта. Изд. 4-е. - М.: Транспорт, 1983.-360 с.

10. Ларионов С.А., Пушкаренко А. Б. Устройство нагружения к машине трения. Патент на изобретение №2073845. Роспатент. Москва. 20.02.1997.

11. Мирошник И.В. Теория автоматического управления. Линейные системы. СПб.: Питер, 2005. - 336 с.

12. Мирошник КВ. Теория автоматического управления. Нелинейные и оптимальные системы. СПб.: Питер, 2006. - 272 с.

13. Мирошник И.В., Никифоров В.О., Фрадков A.JI. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами. СПб.: Наука, 2000. - 549 с.

14. Нагорный B.C., Денисов A.A. Устройства автоматики гидро- и пневмо-систем: Учеб. пособие техн. вузов. М.: Высш. шк., 1991. — 367 с.

15. Никифоров В. О. Адаптивное и робастное управление с компенсацией возмущений. СПб.: Наука, 2003. - 282 с.

16. Павловская Т.А. C/C++. Программирование на языке высокого уровня.- СПб.: Питер, 2001. 464 с.

17. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. М.: Наука, 2002. - 303 с.

18. Попов Д.Н. Динамика и регулирование гидро- и пневмосистем: Учебное пособие. М.: Машиностроение, 1976. - 424 с.

19. Прохоров Г.В., Колбеев В.В., Желнов К.И., Леденев М.А. Математический пакет Maple V Release 4: Руководство пользователя. Калуга: Об-лиздат, 1998. -200 с.

20. Сдвижков O.A. Математика на компьютере: Maple 8. М.: СОЛОН-Пресс, 2003. - 176 с.

21. Справочник по теории автоматического управления / под ред. A.A. Красовского. М.: Наука, 1987. - 712 с.

22. Старых A.A. Синтез нелинейного управления самовозбуждающимся электрогидравлическим тормозом // Известия вузов. Электромеханика.- 2008. № 6. - С. 54-59.

23. Старых A.A. Синтез нелинейного робастного управления самовозбуждающимся электрогидравлическим тормозом // Сб. матер, научного семинара стипендиатов программы «Михаил Ломоносов» 2007/08 года. -Бонн: DAAD, 2008. С. 200-202.

24. Старых A.A. Синтез нелинейного регулятора на основе метода точной линеаризации // Материалы научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Инновации в атомной отрасли». -Северск: СГТА, 2008. С. 66.

25. Старых A.A. Система управления самовозбуждающимся электрогидравлическим тормозом с нелинейным регулятором. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2008615909. Роспатент. Москва. 10.12.2008.

26. ArcakМ. Unmodeled dynamics in robust nonlinear control: Diss. . PhD in electrical and computer engineering. Santa Barbara. 2000. 103 p.

27. DSHp/ws. Component Manual: Control and Mechanics. Aachen: FLUI-DON, 2001.-212 p.

28. DSHplus. Component Manual: Hydraulic. Aachen: FLUIDON, 2001. -381 p.

29. DSH/?/ws. Component Manual: Pneumatic. Aachen: FLUIDON, 2001. -284 p.

30. DSHp/ws. User Manual: Simulation, Analysis and Optimization. Aachen: FLUIDON, 2001.-290 p.

31. Feigel H.-J. Nichtlineare effekte am servoventilgesteuerten differentialzylinder Nonlinear effects of a servo controlled differential cylinder. // Ölhy-draulik und Pneumatik, 1987. V. 31. - № 1. - S. 42-48.

32. Fradkov A.L. Passification of non-square linear systems and feedback Yaku-bovich-Kalman-Popov lemma // European J. of Control, 2003 V. 6. - P. 573-582.

33. Fradkov A.L., Hill D.J. Exponential feedback passivity and stabilizability of nonlinear systems // Automatica, 1998 V. 6. - P. 697-703.

34. Fradkov A.L., Hill D.J., Jiang Z.P. Adaptive passification of interconnected nonlinear systems // Proc. of the 35th Conf. on Decision and Control. Kobe, Japan, 1996-P. 1945-1946.

35. Fradkov A.L., Miroshnik I. V., Nikifirov V.O. Nonlinear and adaptive control of complex systems. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1999. -528 p.

36. Freeman R.A., Kokotovic P. V. Robust Control of Nonlinear Systems. Boston: Birkhauser, 1996. - 258 p.

37. Grab bel J., Ivantysynova M. An investigation of swash plate control concepts for displacement controlled actuators // Intern. J. of Fluid Power, 2005 -V. 2.-P. 19-36.

38. Hangos K.M., Bokor J., Szederkenyi G. Analysis and control of nonlinear process systems. London: Springer-Verlag London Ltd, 2004. - 308 p.

39. Ioannou P.A., Sun J. Robust adaptive control. N.J.: Prentice-Hall, Engle-wood Cliffs, 1995.-834 p.

40. Isidori A. Nonlinear control systems. 3d ed. - London: Springer-Verlag London Ltd, 1995. - 549 p.

41. J. Willard C. III. A generalization of Sontag's formula for high-performance CLF-based control: Diss. . PhD in electrical and computer engineering. Brigham Young University, 2002. 122 p.

42. KhaliI H.K Nonlinear systems. 2nd ed. - N.-Y.: Prentice-Hall, 1996. -734 p.

43. Kokotovic P. V. Constructive nonlinear control: progress in the 90's // Prepr. 14th IF AC World Congress. Beijing, China, 1999. Plenary vol. - P. 49-77.

44. Kokotovic P. V., Sussmann H.J. A positive real condition for global stabilization of nonlinear systems // Systems and control letters, 1989 V. 13. - P. 125-133.

45. Krstic M., Kokotovic P.V. Control Lyapunov functions for adaptive nonlinear stabilization // Systems and Control Letters, 1995. V. 26. - P. 17-23.

46. Krstic M., Kanellakokoulos L, Kokotovic P.V. Nonlinear and adaptive control design. N.-Y.: John Willey and Sons, 1995. - 563 p.

47. Liermann M. Self-energizing Electro-Hydraulic Brake: Diss. RWTH Aachen University. Aachen: Shaker Verlag, 2008. - 175 p.

48. Liermann M., Stammen C. Development of a self-energizing electro-hydraulic brake (SEHB) for rail vehicles // The 10th Scandinavian Intern. Conf. on Fluid Power «SICFP07». Tampere, Finland, 2007. Tampere: Su-viSoft - CD-Rom.

49. Liermann M., Stammen C. Selbstverstärkende hydraulische Bremse fur Schienenfahrzeuge Self-energizing hydraulic brake for rail vehicles. // 01-hydraulik und Pneumatik, 2006. V. 50. - № 10. - S. 500-506.

50. Liermann M., Stammen С., Murrenhoff H. Pressure tracking control for a self-energizing hydraulic brake 11 Symp. on Power Transmission and Motion Control «РТМС07». Bath, England, 2007. Bath: Hadleys. - P. 315-330.

51. Marino R., Tomei P. Nonlinear control systems design. N.J.: Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 1995. - 409 p.

52. MATLAB. Начало работы с MATLAB. Ver. 5. / Пер. с англ. В.В. Ко-нюшенко. The Math Works, 1998. - 74 с.

53. Merritt Н. Hydraulic control systems. N.-Y.: John Willey & Sons, 1967. -362 p.

54. Parr A. Hydraulics and pneumatics: A technician's and engineer's guide. -Oxford: Butterworth-Heinemann, 1991. 225 p.

55. Sastry S.S, Bobson M. Adaptive Control: Stability, Convergence and Robustness. N.J.: Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 1989. - 395 p.

56. Schwarz H. Einfuehrung in die Systemtheorie nichtlinearer Regelungen. -Aachen: Shaker Verlag, 1999. 543 S.

57. Sepulchre R., Jankovic M., Kokotovic P. V. Constructive nonlinear control. -N.-Y.: Springer-Verlag, 1996. 327 p.

58. Sontag E.D. A «universal» construction of Artstein's theorem on nonlinear stabilization // System and Control Letters, 1989. № 13. - P. 117-123.

59. Sontag E.D. Mathematical Control Theory. N.-Y.: Springer, 1998. - 544 p.

60. Tao G. Adaptive control design and analysis. N.J.: John Willey & Sons, 2003.-637 p.

61. Willems J. C. Dissipative dynamical systems, part I: General theory // Arch. Rational Mechanics and Analysis, 1972. V. 45. - P. 321-351.

62. Williams II R.L., Lawrence D.A. Linear state-space control systems. N.J.: John Willey & Sons, 2007. - 475 p.1. ХРСЕЕЙСКАЯ ГСЕЩЯТАДШ!га гак га и га га к га га1. К $га $б гам № Й Ш Й га гав* &га •к га га >2 Й Е1. Й £Й