Синтез, анализ и моделирование алгоритмов обнаружения и измерения случайных импульсных сигналов с неизвестными параметрами при частичном нарушении условий регулярности решающей статистики тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Сальникова Александра Валериевна

• Сальникова Александра Валериевна
• кандидат наук
• 2023

Оглавление диссертации кандидат наук Сальникова Александра Валериевна

Введение

1 Алгоритмы обнаружения и измерения стохастического радиоимпульса с неизвестным временным положением

1.1 Постановка задачи

1.2 Максимально правдоподобный алгоритм оценивания временного положения стохастического радиоимпульса

1.3 Характеристики максимально правдоподобного алгоритма оценивания временного положения стохастического радиоимпульса

1.4 Характеристики оптимального алгоритма обнаружения стохастического радиоимпульса с неизвестным временным положением

1.5 Моделирование работы алгоритмов обнаружения и измерения стохастического радиоимпульса с неизвестным временным положением

1.6 Выводы

2 Алгоритмы обнаружения и измерения стохастического радиоимпульса с неизвестными временным положением и средней мощностью

2.1 Квазиоптимальный алгоритм оценки временного положения и средней мощности стохастического радиоимпульса

2.2 Характеристики квазиоптимального алгоритма оценивания временного положения и средней мощности стохастического радиоимпульса

2.3 Характеристики квазиоптимального алгоритма обнаружения стохастического радиоимпульса с неизвестным временным положением

и средней мощностью

2.4 Моделирование работы алгоритмов обнаружения и измерения стохастического радиоимпульса с неизвестными временным положением

и средней мощностью

2.5 Выводы

3 Алгоритмы обнаружения и измерения стохастического радиоимпульса с неизвестными временным положением при неточно известной длительности

3.1 Квазиправдоподобный алгоритм оценки временного положения стохастического радиоимпульса

3.2 Характеристики квазиправдоподобного алгоритма оценивания временного положения стохастического радиоимпульса

3.3 Характеристики квазиправдоподобного алгоритма обнаружения стохастического радиоимпульса с неизвестным временным положением

3.4 Моделирование работы квазиправдоподобных алгоритмов обнаружения и измерения стохастического радиоимпульса с неизвестным временным положением

3.5 Выводы

4 Алгоритмы обнаружения и измерения стохастического радиоимпульса с неизвестными временным положением, средней мощностью при неточно известной длительности

4.1 Квазиоптимальный алгоритм оценки временного положения и средней мощности стохастического радиоимпульса

4.2 Характеристики квазиоптимального алгоритма оценивания временного положения и средней мощности стохастического радиоимпульса

4.3 Характеристики квазиоптимального алгоритма обнаружения стохастического радиоимпульса с неизвестным временным положением

и средней мощностью

4.4 Моделирование работы алгоритмов обнаружения и измерения стохастического радиоимпульса с неизвестными временным положением

и средней мощностью

4.5 Выводы

Заключение

Список обозначений и сокращений

Список использованных источников

Приложение А

Приложение Б

Приложение В

Приложение Г

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Синтез, анализ и моделирование алгоритмов обнаружения и измерения случайных импульсных сигналов с неизвестными параметрами при частичном нарушении условий регулярности решающей статистики»

Введение

Во многих задачах статистической радиотехники анализируемые сигналы необходимо описывать с помощью моделей стохастических (флуктуирующих) процессов. Например, такие модели целесообразно использовать, если облучается цель, представляющая собой совокупность большого числа «блестящих» точек. Отражённый от такой цели сигнал достаточно часто адекватно описывается реализацией нормального (гауссовского) случайного процесса [1-5]. Другими примерами допускающих математическое представление в виде стохастических процессов могут служить сигналы на выходе канала со случайно изменяющимися параметрами [6], шумоподобные сигналы либо сигналы с шумовой (стохастической) несущей [7-11], сигналы, распространяющиеся в канале с мультипликативными искажениями [12,13], сложные сигналы, форма которых априори неизвестна [14] и т.д. Также случайный характер поведения, обуславливающий стохастичность наблюдаемых данных, свойственен таким каналам передачи информации, как линии связи с использованием тропосферного рассеивания, атмосферные каналы оптических систем и подводные акустические каналы [15,16].

В ряде приложений в качестве модели флуктуирующего полезного сигнала используется стохастический импульсный сигнал, являющийся произведением прямоугольного видеоимпульса и реализации быстрофлуктуирую-щего (с временем корреляции, много меньшим длительности импульса) стационарного низкочастотного или высокочастотного гауссовского случайного процесса [3,5,17-20]. Однако в силу реальных условий распространения сигналов (отражений от различных препятствий, дисперсии среды и пр.) форма принимаемого импульса может отличаться от прямоугольной [21-23]. В этой связи представляется актуальным выполнить обобщение известных результатов на случай приема стохастических радиоимпульсов с огибающей произвольной формы.

Одними из часто встречающихся в различных практических приложениях задач, связанных с приемом и обработкой зашумленных стохастических импульсов, являются задачи обнаружения полезного сигнала и оценки его неизвестных параметров. На практике наиболее распространенными методами анализа импульсных процессов являются методы, основанные на их временной фиксации [24-26]. Однако при приеме импульсов, имеющих стохастическую несущую, характеристики алгоритмов обработки, получаемых с помощью данных подходов, могут значительно отличаться от потенциальных (особенно, с увеличением мощности флуктуационной составляющей импульса) [27]. В этом случае для обеспечения удовлетворительного качества приема синтез приемного устройства следует производить на основе аппарата теории статистических решений [3,17,18,28-34].

Если известны количественные потери, возникающие при вынесении каждого возможного решения, и удается задать полное статистическое описание наблюдаемых данных как при наличии, так и при отсутствии информационного сигнала (сигналов), то можно построить байесовские правила обнаружения и оценивания [28-36], обеспечивающие наилучшие точностные характеристики соответствующих приемных устройств. Однако, зачастую одно или несколько из указанных условий не выполняется: неизвестны априорные вероятности моделей наблюдений при различных гипотезах, отсутствует информация об априорных распределениях неизвестных параметров сигналов и их случайных искажений, затруднительно хотя бы приблизительно аналитически определить потери при принятии возможных статистических решений. В этой связи при проектировании приемных устройств широкое распространение получил метод максимального правдоподобия (МП) и его адаптивные варианты [28-36]. В отличие от байесовского метод МП требует при своей реализации меньшего объема априорной информации и позволяет получать более простые (технически или вычислительно) по сравнению с соответствующими байесовскими алгоритмы обработки. При этом синтезированный МП алгоритм в условиях отсутствия сингулярностей явля-

ется асимптотически оптимальным (байесовским) для широкого класса сигналов, функций распределения и потерь [28,35-37].

Следует заметить, что для принятия решения в пользу того или иного алгоритма обработки требуется определить не только степень его оптимальности, но и точностные характеристики, описывающие качество его функционирования. При этом в ряде практически важных задач следует учитывать, что часть априорных сведений может содержать неточную информацию, а реальные условия работы устройств могут быть несколько иными по сравнению с ожидаемыми. Таким образом, наряду с задачей синтеза необходимо также решать задачу анализа, состоящую в определении характеристик, позволяющих количественно оценить качество работы синтезированных алгоритмов обработки. Наиболее просто такой анализ удается провести для регулярных моделей наблюдаемых данных. В этом случае точностные характеристики обнаружителей и измерителей могут быть найдены на основе известных аналитических соотношений, полученных с помощью методов малого параметра [28] и Ибрагимова-Хасьминского [35-37] (в задаче оценивания), или на основе анализа среднего числа выбросов пуассоновского процесса за достаточно высокий уровень (в задаче обнаружения) [29,31]. Однако при наличии сингулярностей [36,37] в моделях наблюдений, вследствие которых реализации функционала отношения правдоподобия (ФОП) оказываются не-дифференцируемыми хотя бы дважды по одному или нескольким неизвестным параметрам ни в каком вероятностном смысле, указанные подходы являются либо неприменимыми (число выбросов пуассоновского процесса за любой фиксированный уровень оказывается бесконечным), либо дают тривиальную нулевую нижнюю границу для характеристик выносимых решений (метод малого параметра), либо требуют своей модификации (метод Ибраги-мова-Хасьминского).

Применение метода Ибрагимова-Хасьминского и его обобщений для анализа байесовского или МП алгоритма обработки в случае, если модель наблюдений содержит сингулярности типа «касп», изложено в [36-38]. Для

гораздо более широко используемых при описании реальных сигналов и помех моделей с сингулярностями типа «скачок», рассматриваемых в настоящей работе, более целесообразным представляется подход, впервые продемонстрированный в [39] при определении характеристик оценки временного положения видеоимпульса прямоугольной формы и обобщенного в [29,40] для произвольных моделей разрывных квазидетерминированных сигналов с неизвестными параметрами (метод локально-марковской аппроксимации). В отличие от метода Ибрагимова-Хасьминского метод локально-марковской аппроксимации и его обобщения позволяют найти явный вид не только предельных (при неограниченном возрастании отношения сигнал/шум (ОСШ)) законов распределения, но и аналитических выражений для статистических характеристик выносимых решений.

Некоторые вопросы приема и обработки стохастических импульсных сигналов рассматривались и ранее. Так, в [17,41-44] найдены структура и характеристики синтезированных по методу МП алгоритмов обнаружения и оценки временного положения и средней мощности стохастического радиоимпульса с огибающей прямоугольной формы при наличии случайных искажений типа белого шума. В работах [45-49] помимо неизвестных временного положения и средней мощности полагалось, что длительность импульсного сигнала либо центральная частота спектральной плотности (СП) его флуктуационной составляющей могут быть известны неточно. В [50] рассмотрены алгоритмы обнаружения и оценки временного положения и длительности стохастического импульсного сигнала с огибающей прямоугольной формы, в [51-53] - алгоритмы обнаружения и оценки временных и энергетических параметров импульсных сигналов, а в [54-59] - алгоритмы обнаружения и оценки временных, энергетических и частотных параметров прямоугольных стохастических импульсов, в том числе с учетом аномальных эффектов. В [60] выполнено исследование приемника МП стохастического видеоимпульса с огибающей близкой к прямоугольной и неизвестным моментом появления, а в [61], кроме того, с неизвестными математическим

ожиданием (МО) и средней мощностью. Наконец, в [62] предложены эвристические подходы к решению задачи обнаружения стохастического радиоимпульса с неизвестным временным положением и непрерывной огибающей произвольной формы. Отметим, что вопросы фильтрации сигналов, описываемых различными стохастическими моделями, достаточно подробно освещены в [63-67].

Таким образом, актуальность темы диссертации обусловлена целесообразностью разработать новые способы получения аппаратурно (вычислительно) простых оптимальных и квазиоптимальных (КО) алгоритмов обнаружения и измерения импульсных сигналов произвольной формы в условиях действия мультипликативных и аддитивных помех, сингулярностей в наблюдаемых данных типа «скачок» и параметрической априорной неопределенности, определить структуру и возможности практической реализации соответствующих устройств обработки, а также предложить методики аналитического расчета их технических характеристик и процедуры моделирования их работы, позволяющие установить границы применимости полученных теоретических результатов.

Объектом исследования являются радиосигналы с неизвестными параметрами, описывающиеся кусочно-непрерывными функциями и наблюдаемые в условиях действия мультипликативных и аддитивных случайных искажений.

Предметом исследования являются методы статистического синтеза, анализа и моделирования алгоритмов и устройств обнаружения импульсных случайных процессов и измерения их информативных параметров, оптимальных и КО в том или ином смысле.

Цель и задачи диссертационной работы. Целью работы является разработка способов повышения эффективности обработки радиоимпульсов при наличии мультипликативных и аддитивных случайных искажений, сингу-лярностей типа «скачок» и априорной неопределенности относительно временных, энергетических и частотных параметров принимаемых сигналов, с

аналитическим и экспериментальным определением эффективности функционирования синтезированных с использованием предложенных подходов обнаружителей и измерителей. Для реализации этой цели в работе решены следующие задачи:

1. Представлена общая методика получения алгоритмов обнаружения импульсов произвольной формы и измерения их неизвестных параметров при наличии быстрофлуктуирующих мультипликативных и аддитивных гауссовских искажений с возможностью ее очевидного обобщения на случай синтеза алгоритмов совместного обнаружения-оценивания импульсных сигналов и их последовательностей в условиях различной помеховой обстановки.

2. Определена структура новых МП, квазиправдоподобных (КП) и КО алгоритмов обнаружения и измерения стохастических радиоимпульсов с неизвестными временными, энергетическим и частотным параметрами, технически (вычислительно) существенно более простых по сравнению с аналогами, получаемыми на основе подходов, описанных в известной литературе.

3. Найдены аналитические выражения для численного расчета точностных характеристик синтезированных алгоритмов обнаружения и измерения стохастических радиоимпульсов при заданных условиях. Установлены границы устойчивости алгоритмов при различиях реальной и ожидаемой (используемой при синтезе алгоритма обработки) моделей наблюдений.

4. Разработана новая методика синтеза алгоритмов обнаружения и измерения квазидетерминированных и стохастических разрывных (имеющих сингулярность типа «скачок») сигналов с двумя неизвестными разрывными параметрами, приводящая к двухканальной структуре соответствующих обнаружителей и измерителей вместо известных многоканальных аналогов.

5. Предложены способы программной реализации инерционных линейных преобразований над наблюдаемой реализацией детерминированного или стохастического процесса, требующие минимального числа арифметических операций.

6. С помощью статистического моделирования определены границы применимости асимптотических формул для характеристик качества функционирования разработанных обнаружителей и измерителей при конечных значениях выходного отношения сигнал/шум (ОСШ).

7. Проведен сравнительный анализ разработанных алгоритмов обнаружения стохастических радиоимпульсов и оценки их регулярных и сингулярных параметров, определены возможности практического применения того или иного обнаружителя или измерителя в зависимости от сформулированных условий к простоте аппаратурной или вычислительной реализации приемного устройства, допустимой погрешности выносимых решений, а также имеющихся априорных данных.

Методы проведения исследования. При решении поставленных в диссертации задач использовались аналитические и вычислительные методы статистической радиотехники, а именно, аппарат теории вероятностей и математической статистики, методы теории статистических решений, аппарат теории марковских случайных процессов, методы математической физики, в частности, методы решения краевых задач для уравнений с частными производными второго порядка параболического типа, аналитические методы математического анализа, современные численные методы и методы программирования, методы моделирования стохастических процессов и алгоритмов их анализа.

Научная новизна. В работе получены следующие новые научные результаты.

1. Общая методика разработки оптимальных и КО (близких по своим характеристикам к оптимальным и при некоторых условиях в них переходящие) алгоритмов обнаружения импульсов произвольной формы и измерения их неизвестных параметров при наличии быстрофлуктуирующих мультипликативных и аддитивных гауссовских искажений.

2. Развитие метода локально-марковской аппроксимации применительно к информационным процессам, описывающихся кусочно-непрерывными

функциями, что, в частности, позволяет получать асимптотически точные (с ростом ОСШ) выражения для расчета характеристик алгоритмов обработки в условиях параметрической априорной неопределенности и при наличии син-гулярностей типа «скачок», в том числе с учетом аномальных решений.

3. Новая методика синтеза алгоритмов совместной оценки двух разрывных параметров квазидетерминированных и стохастических разрывных сигналов, приводящая к двухканальной структуре соответствующих обнаружителей и измерителей вместо получаемых на основе имеющихся подходов многоканальных аналогов.

4. Структура и характеристики новых технически (вычислительно) существенно более простых (по сравнению с аналогами) алгоритмов обнаружения и измерения информационных сигналов, а именно,

- МП и КП алгоритмов обнаружения и оценки временного положения стохастического радиоимпульса с априори известной или неточно известной длительностью,

- КО алгоритмов обнаружения и оценки временного положения и средней мощности стохастического радиоимпульса при возможной ненулевой расстройке по его длительности,

- МП и КП алгоритмов оценки временного положения стохастического радиоимпульса при неизвестной центральной частоте его флуктуационной составляющей,

- КО алгоритма оценки временного положения и длительности прямоугольного видеоимпульса,

- быстрого алгоритма текущего интегрирования сигнала на интервале времени заданной длительности,

- алгоритма измерения действующего значения детерминированного или случайного сигнала.

5. Методика статистического моделирования работы обнаружителей и измерителей стохастических радиоимпульсов с неизвестными параметрами,

позволяющая снизить число арифметических операций при их практической реализации и повысить быстродействие разрабатываемых радиотехнических устройств.

Теоретическая и практическая значимость результатов работы заключается в том, что они могут быть использованы для создания новых и усовершенствования имеющихся систем радиосвязи, радиомониторинга, технической диагностики и др. на основе использования быстрых (с минимизацией числа вычислительных операций) процедур обнаружения и измерения информационных процессов, описывающихся кусочно-непрерывными функциями, в условиях различной (параметрической, непараметрической, ком-плесной) априорной неопределенности и при наличии быстрофлуктуирую-щих мультипликативных и аддитивных случайных искажений. На основе найденных в работе замкнутых выражений для характеристик синтезированных алгоритмов обнаружения и измерения, представляется возможным аналитически (без проведения имитационных или натурных экспериментов) оценить возможность применения того или иного устройства обработки в каждом конкретном случае. Результаты работы могут найти применение при

- разработке перспективных (обладающих повышенной скрытностью и помехоустойчивостью) систем связи, использующих стохастические радиоимпульсы (импульсы с хаотической несущей) в качестве информационных сигналов,

- проектировании систем мониторинга радиосигналов сложной и априори неизвестной формы,

- обработке импульсных сигналов, электромагнитного, оптического, акустического диапазонов, сигналов в технической и медицинской диагностике,

- исследовании физических и статистических свойств объектов природного и искусственного происхождения по их спонтанным и вынужденным импульсным откликам,

- аппаратурном анализе случайных процессов.

Основные результаты и положения, выносимые на защиту:

- структура предложенных обнаружителей и измерителей неизвестных параметров быстрофлуктуирующих стохастических импульсов, описывающихся кусочно-гладкими или кусочно-непрерывными функциями, является аппаратурно (вычислительно) более простой по сравнению с соответствующими приемными устройствами, приводимыми в известной литературе;

- разработанные методики статистического анализа позволяют в каждом конкретном случае аналитически определять работоспособность и эффективность синтезированных алгоритмов обнаружения и измерения стохастических радиоимпульсов с неизвестными регулярными и разрывными параметрами, в том числе при наличии возможных аномальных эффектов;

- предложенные новые МП, КП и КО алгоритмы обработки быстро-флуктуирующих случайных процессов обеспечивают возможность практической реализации обнаружителей и измерителей стохастических радиоимпульсов в условиях различной (параметрической, непараметрической, комплексной) априорной неопределенности с достижением высокой апостериорной точности обработки при выходных ОСШ, больших 4...5, и минимальными требованиями к аппаратным ресурсам;

- найденные асимптотические формулы, описывающие точностные характеристики синтезированных алгоритмов обнаружения и измерения стохастических радиоимпульсов и соответствующие им экспериментальные данные хорошо согласуются в широком диапазоне значений параметров принимаемого случайного процесса и, таким образом, позволяют аналитически обосновать целесообразность применения того или иного устройства обработки в зависимости от заданных требований к его эффективности, быстродействию, наличию аппаратных (вычислительных) ресурсов, а также имеющихся априорных данных;

- при приеме импульсов прямоугольной формы с двумя неизвестными разрывными параметрами применение КО подхода, заключающегося в фиксации одного из неизвестных параметров его минимально возможным значе-

нием и последующем дифференцировании решающей статистики, позволяет получать двухканальные состоятельные измерители параметров импульсных сигналов, технически существенно более простые либо более эффективные по сравнению с аналогами, синтезированными на основе других методик;

- использование предложенного быстрого цифрового алгоритма обработки реализации наблюдаемых данных позволяет разрабатывать высокоскоростные и высокоточные алгоритмы обработки и измерения информационных характеристик входных сигналов, в том числе текущего интегрирования на интервале заданной длительности, измерения действующего значения, среднего значения, средней мощности и др.

Достоверность полученных результатов и обоснованность сформулированных на их основе выводов и положений подтверждаются корректным применением математического аппарата, удовлетворительным согласованием теоретических и экспериментальных данных, а также совпадением в ряде частных и предельных случаев полученных в диссертации аналитических выражений с приводимыми в известной литературе.

Соответствие паспорту специальности. Диссертационное исследование соответствует пункту 1 «Исследование процессов и явлений в радиотехнике, позволяющих повысить эффективность радиотехнических устройств и систем», пункту 6 «Разработка и исследование методов и алгоритмов обработки сигналов и информации в радиотехнических устройствах и системах различного назначения, включая системы телевидения и передачи информации, при наличии помех с целью повышения помехоустойчивости», пункту 10 «Разработка и исследование методов и устройств передачи, приема, обработки, отображения, регистрации, хранения и распространения информации, включая беспроводные, космические, эфирные, кабельные и мобильные системы передачи информации» и пункту 13 «Создание теории синтеза, анализа и адаптации радиотехнических устройств и систем, алгоритмов обработки сигналов и информации в этих системах» паспорта специальности 2.2.13 «Радиотехника, в том числе системы и устройства телевидения».

Тема и содержание диссертации соответствуют отрасли технических

наук.

Внедрение научных результатов. Представленные в диссертационной работе результаты внедрены в ЗАО «Специальные системы» и использовались при выполнении научных проектов в рамках федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы (соглашения 14.B37.21.2015, 14.B37.21.2032, 14.B37.21.2102, 2012 г.), Базовой части государственного задания Министерства образования и науки РФ (проекты FSWF-2020-0022, FSWF-2023-0012), а также поддержанных Российским научным фондом (проекты №№ 14-4900079, 15-11-10022, 17-11-01049) и Российским фондом фундаментальных исследований (проекты №№ 13-08-97538 р_центр_а, 13-08-00735 А, № 20-5115001).

Апробация работы. Результаты исследований, приведенные в диссертации, были представлены в виде докладов и обсуждались на

Международной научно-технической конференции «Фундаментальные проблемы радиоэлектронного приборостроения» (INTERMATIC), Россия, 2011 г., 2012 г.

XV Международной конференции по мягким вычислениям и измерениям, Россия, 2012 г.

10-й и 11-й Международной конференции «ELEKTRO», Словакия, 2014 г., 2016 г.

1-й и 2-й Международной конференции по моделированию, симуляциям и прикладной математике (MSAM), Таиланд, 2015 г., 2017 г.

Международной конференции по мехатронике, управлению и автоматизации (MCAE2016), Таиланд, 2016 г.

Международной научно-практической конференции «Новая наука: проблемы и перспективы» (МНПК-103), Россия, 2016 г.

4-й Международная конференция по производственной инженерии и технологиям для роста промышленного производства, Сингапур, 2017 г.

3-й, 4-й, 5-й Международной конференции по вопросам обработки сигналов (ICFSP), Франция, 2017 г., 2018 г., 2019 г.

Международном семинаре по разработке и производству электронных устройств (SED), Чехия, 2019 г.

4-й и 6-й Международной конференции «Вычислительные методы в системах и программном обеспечении» (CoMeSySo), Чехия, 2020 г., 2022 г.

III Международной научной конференции «Прикладная физика, информационные технологии и инжиниринг» (APITECH), Россия, 2021 г.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 25 научных работ [68-92], в том числе 4 статьи [68-71] в журналах, включенных в Перечень рецензируемых научных изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени кандидата наук, на соискание ученой степени доктора наук, 13 публикаций [7284] в изданиях, индексируемых в международных базах Web of Science/Scopus, 2 текста докладов [85,86] в сборниках материалов международных научно-технических конференций, индексируемых в РИНЦ, 6 патентов на изобретения [87-92].

Личный вклад соискателя. Соискателем найдены новые аппроксимации решающих статистик, позволяющие практически реализовывать технически или вычислительно простую (по сравнению с использованием известных выражений) и эффективную обработку информационных процессов, описывающихся кусочно-непрерывными функциями, при наличии быстро-флуктуирующих мультипликативных и аддитивных случайных искажений и различной (параметрической, непараметрической, комплексной) априорной неопределенности. На основе предложенных аппроксимаций разработаны новые алгоритмы и блок-схемы устройств обнаружения стохастических радиоимпульсов и оценки их неизвестных параметров. Выполнено теоретическое и экспериментальное исследование качества их функционирования, сформулированы рекомендации по их применению, сделаны выводы по работе. Основные результаты, представленные в диссертации, получены соискателем лично.

Краткое содержание диссертации. Диссертация состоит из введения, 4 разделов, заключения, списка использованных источников, состоящего из 147 наименований и 4 приложений.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Сальникова Александра Валериевна, 2023 год

Список использованных источников

1. Delano, R.H. A theory of target glint or angular scintillation in radar tracking / R.H. Delano // Proceedings of the IRE. - 1953. - Vol. 41. - No. 4. - Р. 61-63.

2. Peters L., Weimer F.S. Tracking radars for complex targets / L. Peters, F.S. Weimer // Proceedings of the IEE. - 1963. - Vol. 110. - No. 12. - P. 21492162.

3. Van Trees, H.L. Detection, Estimation, and Modulation Theory. Part I. Detection, Estimation and Filtering Theory / H.L. van Trees, K.L. Bell, Z. Tian. -New York: Wiley, 2013. - 1176 p.

4. Островитянов, Р.В. Статическая теория радиолокации протяженных целей / Р.В. Островитянов, Ф.А. Басалов. - М.: Радио и связь, 1982. - 232с

5. Вопросы статистической теории радиолокации / П.А. Бакут, И.А. Большаков, Б.М. Герасимов и др.; Под ред. Г.П. Тартаковского. - М.: Сов. радио, 1963. - Т.1. - 426 с.

6. Кириллов, Н.Е. Помехоустойчивая передача сообщений по линейным каналам со случайно изменяющимися параметрами / Н.Е. Кириллов. -М.: Связь, 1976. - 256 с.

7. Харкевич, А.А. Передача сигналов, модулированных шумом. Избранные труды / А.А. Харкевич. - Т. 2. - М.: Наука, 1973. - 566 с.

8. Трифонов, А.П. Импульсная частотно-временная модуляция шумовой несущей / А.П. Трифонов, В.И. Парфенов // Радиотехника и электроника. - 1988. - Т. 33. - № 1. - С. 87-95.

9. Гантмахер, В.Е. Шумоподобные сигналы. Анализ, синтез, обработка / В.Е. Гантмахер, Н.Е. Быстров, Д.В. Чеботарев. - СПб: Наука и техника, 2005. - 400 с.

10. Дмитриев, А.С. Высокоскоростная передача цифровых данных с использованием динамического хаоса / А.С. Дмитриев, С.В. Емец, С.О. Старков // Радиотехника и электроника. - Т.44. - 1999. - № 3. - С. 324-329.

11. Дмитриев, А.С. Перспективы создания прямохаотических систем связи в радио и СВЧ диапазонах / А.С. Дмитриев, Б.Е. Кяргинский, Н.А. Максимов и др. // Радиотехника. - 2000. - № 3. - С. 9-20.

12. Васильев, К.К. Прием сигналов при мультипликативных помехах / К.К. Васильев. - Саратов: Изд. СГУ, 1983. - 128 с.

13. Кремер, И.Я. Модулирующие помехи и прием радиосигналов / И.Я. Кремер, В.И. Владимиров, В.И. Карпухин. - М.: Сов. радио, 1972. - 480 с.

14. Ахманов, С.Я. Введение в статистическую радиофизику и оптику / С.Я. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин. - М.: Наука, 1981. - 640 с.

15. Кловский, Д.Д., Конторович В.Я., Широков С.М. Модели непрерывных каналов связи на основе стохастических дифференциальных уравнений / Д.Д. Кловский, В.Я. Конторович, С.М. Широков. - М.: Радио и связь, 1984. - 248 с.

16. Смирнов, А.А. Модели каналов связи с замираниями. От математических моделей к практическому применению / А.А. Смирнов, О.Н. Смирнова, Д.А. Белоконь. - М.: LAP Lambert Academic Publishing, 2020. - 116 с.

17. Трифонов, А.П. Обнаружение стохастических сигналов с неизвестными параметрами / А.П. Трифонов, Е.П. Нечаев, В.И. Парфенов. - Воронеж: ВГУ, 1991. - 246 с.

18. Прикладная теория случайных процессов и полей / Васильев К.К., Драган Я.П., Казаков В.А. и др.; Под ред. Васильева К.К., Омельченко В.А. -Ульяновск: УлГТУ, 1995. - 256 с.

19. Инфокоммуникационные системы и технологии: проблемы и перспективы / Под ред. А.В. Бабкина. - СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2007. -592 с.

20. Моделирование развития информационно-телекоммуникационных систем / Под ред. А.В. Бабкина - СПб.: Изд-во «Синтез Бук», 2009. - 384 с.

21. Долуханов, М.П. Оптимальные методы передачи сигналов по линиям радиосвязи / М.П. Долуханов. - М.: URSS, 2021. - 176 с.

22. Скляр, Б. Цифровая связь. Теоретические основы и практическое применение. - М.: Издательский дом «Вильямс», 2003. - 1104 с.

23. Чердынцев, В.А. Прием сигналов на фоне помех / В.А. Чердынцев, В.М. Козел, М.В. Дорошевич. - Мн.: БГУИР, 2005. - 174 с.

24. Митяшев, Б.Н. Определение временного положения импульсов при наличии помех / Б.Н. Митяшев. - М.: Сов. радио, 1962. - 200 с.

25. Дианов, А.П. О точности измерения временного положения импульсного сигнала / А.П. Дианов, Б.Н. Митяшев // Радиофизические методы обработки сигналов. - М.: МФТИ, 1983. - С. 27-30.

26. Поиск, обнаружение и измерение параметров в радионавигационных системах / В.П. Ипатов, Ю.М. Казаринов, Ю.А. Коломенский, Ю.Д. Ульяновский; Под ред. Ю.М. Казаринова. - М.: Сов. радио, 1975. - 296 с.

27. Chernoyarov, O.V. Discriminating signals by arrival time under the influence of additive and multiplicative random distortions / O.V. Chernoyarov, A.V. Zakharov, A.A. Makarov, I.A. Buravlev // Engineering Letters. - 2021. -Vol. 29. - No. 3. - P. 1060-1071.

28. Куликов, Е.И. Оценка параметров сигналов на фоне помех / Е.И. Куликов, А.П. Трифонов. - М.: Сов. радио, 1978. - 296 с.

29. Трифонов, А.П. Совместное различение сигналов и оценка их параметров на фоне помех / А.П. Трифонов, Ю.С. Шинаков. - М.: Радио и связь, 1986. - 264 с.

30. Перов, А.И. Статистическая теория радиотехнических систем / А.И. Перов. - М.: Радиотехника, 2003. - 400 с.

31. Теория обнаружения сигналов / П.С. Акимов, П.А. Бакут, В.А. Богданович и др.; Под ред. П.А. Бакута. - М.: Радио и связь, 1984. - 440 с.

32. Helstrom, C.W. Elements of signal detection and estimation / C.W. Hel-strom. - Hoboken: Prentice-Hall, 1994. - 586 p.

33. Тисленко, В.И. Статистические методы обработки сигналов в радиотехнических системах: Учебное пособие [Электронный ресурс] / В.И. Ти-

сленко. - Томск: ТУСУР, 2007. - 245 с. - Режим доступа: https://edu.tusur.ru/publications/2123

34. Böhme, J.F. Stochastic Signal Processing / J.F. Böhme, P.-J. Chung. -Berlin: Springer Vieweg Wiesbaden, 2012. - 326 p.

35. Ибрагимов И.А. Асимптотическая теория оценивания / И.А. Ибрагимов, Р.З. Хасьминский. - М.: Наука, 1979. - 528 с.

36. Kutoyants Y.A. Identification of dynamical systems with small noise / Y.A. Kutoyants. Dordrecht: Kluwer, 1994. - 298 p.

37. Чернояров, О.В. Об ошибках оценивания в оптической связи и локации / О.В. Черноояров, С. Дашян, Ю.А. Кутоянц, А.В. Зюльков // Автоматика и телемеханика. - 2021. - Т.82. - № 12. - С. 8-47.

38. Chernoyarov, O.V. On misspecifications in regularity and properties of estimators / O.V. Chernoyarov, Y.A. Kutoyants, A.P. Trifonov // Electronic Journal of Statistics. - 2018. - Vol. 12. - No. 1. - P. 80-106.

39. Терентьев, А.С. Распределение вероятности временного положения абсолютного максимума на выходе согласованного фильтра / А.С. Терентьев // Радиотехника и электроника. - 1968. - Т.13. - № 4. - С. 652-657.

40. Трифонов, А.П. Эффективность совместных оценок параметров сигналов при нарушении условий регулярности решающей статистики / А.П. Трифонов, А.В. Захаров // Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Физика. Математика. - 2002. - № 1. - С. 59-68.

41. Трифонов, А.П. Прием сигнала с неизвестной временной задержкой при наличии модулирующей помехи / А.П. Трифонов, А.В. Захаров // Известия высших учебных заведений. Радиоэлектроника. - 1986. - Т.29. - №4. - С 36-41.

42. Трифонов, А.П. Оценка задержки сигнала при неизвестных параметрах модулирующей помехи / А.П. Трифонов, А.В. Захаров // Известия высших учебных заведений. Радиоэлектроника. - 1988. - Т.31. - №1. - С. 2428.

43. Трифонов, А.П. Оценка дисперсии случайного импульса с неизвестным временем прихода / А.П. Трифонов, А.В. Захаров, О.В. Чернояров // Радиотехника и электроника. - 1996. - Т.41. - №10. - C. 1207-1210.

44. Трифонов, А.П. Оптимальное оценивание момента появления импульсного сигнала со случайной субструктурой / А.П. Трифонов, О.В. Чернояров // Известия высших учебных заведений. Радиофизика. - 1998. - Т.41. - № 8. - С. 1058-1069.

45. Трифонов, А.П. Совместная оценка задержки и длительности сигнала при наличии модулирующей помехи / А.П. Трифонов, В.К. Бутейко, А.В. Захаров // Известия высших учебных заведений. Радиоэлектроника. -1990. - Т.33. - №4. - С. 89-91.

46. Трифонов, А.П. Пороговые характеристики квазиправдоподобной оценки времени прихода случайного радиоимпульса / А.П. Трифонов, А.В. Захаров, О.В. Чернояров // Известия высших учебных заведений. Радиоэлектроника. - 1998. - Т.41. - №10. - С. 18-28.

47. Трифонов, А.П. Оценка длительности случайного радиосигнала с неизвестной центральной частотой при наличии помехи с неизвестной интенсивностью / А.П. Трифонов, В.И. Парфенов // Известия высших учебных заведений. Радиоэлектроника. - 2001. - Т.44. - № 11. - С. 3-14.

48. Чернояров, О.В. Оценка дисперсии и временных параметров случайного радиоимпульса на фоне белого шума / О.В. Чернояров, Е.В. Черноя-рова, Д.Н. Шепелев // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Серия "Информатика. Телекоммуникации. Управление". - 2007. - № 4-1(52). - С. 122127.

49. Chernoyarov, O. Measuring random pulses with unknown time-frequency and power parameters / O. Chernoyarov, A. Golikov, A. Gulmanov, A. Makarov // Lecture Notes in Networks and Systems. - 2021. - Vol. 228. - P. 138149.

50. Трифонов А.П. Прием стохастического сигнала с неизвестными моментами появления и исчезновения / А.П. Трифонов, А.В. Захаров // Изве-

стия высших учебных заведений. Радиофизика. - 2008. - Т.51. - №8. - С. 717729.

51. Трифонов, А.П. Эффективность приема случайного импульсного сигнала с неизвестными параметрами / А.П. Трифонов, А.В. Захаров, В.И. Парфенов // Радиотехника и электроника. - 1991. - Т.36. - №7. - С. 13001308.

52. Трифонов, А.П. Оценка времени прихода и длительности случайного импульса с неизвестным математическим ожиданием / А.П. Трифонов, А.В. Захаров // Известия высших учебных заведений. Приборостроение. -1997. - Т.40. - № 4. С. 9-13.

53. Трифонов, А.П. Теоретическое и экспериментальное исследование оценок параметров случайного сигнала с неизвестными моментами появления и исчезновения / А.П. Трифонов, А.В. Захаров // Радиотехника и электроника. - 1996. - Т.41. - №8. - С. 972-978.

54. Трифонов, А.П. Оценка частотно-временных параметров разрывного случайного импульса с неизвестной величиной спектральной плотности / А.П. Трифонов, А.В. Захаров, Е.В. Проняев // Радиотехника и электроника. -1997. - Т.42. - № 8. - С.1068-1074.

55. Трифонов, А.П. Совместные оценки частотных и временных параметров импульса со случайной субструктурой / А.П. Трифонов, А.В. Захаров, Е.В. Проняев // Радиотехника. - 1998. - №12. - С. 34-38.

56. Трифонов, А.П. Оценка частотных параметров случайного радиоимпульса с неизвестными моментами появления и исчезновения / А.П. Трифонов, А.В. Захаров // Радиотехника и электроника. - 1999. - Т.44. - № 4. - С. 463-468.

57. Трифонов, А.П. Эффективность обнаружения разрывного случайного радиоимпульса с неизвестными временем прихода и центральной частотой / А.П. Трифонов, А.В. Захаров // Радиотехника и электроника. - 2000. -Т.45. - № 11. - С. 1329-1337.

58. Трифонов, А.П. Пороговые характеристики совместных оценок времени прихода и центральной частоты флуктуирующего радиоимпульса / А.П. Трифонов, А.В. Захаров // Радиотехника и электроника. - 2002. - Т. 47. - № 9. - С.1068-1071.

59. Трифонов, А.П. Адаптивное обнаружение стохастического сигнала в условиях параметрической априорной неопределённости / А.П. Трифонов, А.В. Захаров, Е.В. Проняев // Проблемы передачи информации. - 2002. -Т.38. - № 3. - С. 45-61.

60. Трифонов, А.П. Теоретическое и экспериментальное исследование приемника максимального правдоподобия случайного импульса с неизвестным временем прихода / А.П. Трифонов, В.И. Парфенов // Радиотехника и электроника. - 1998. - Т.43. - №7. - С. 828-834.

61. Трифонов, А.П. Теоретическое и экспериментальное исследование приемника максимального правдоподобия случайного импульса с неизвестными параметрами / А.П. Трифонов, В.И. Парфенов // Радиотехника и электроника. - 2000. - Т.45. - №7. - С. 937-945.

62. Захаров, А.В. Оптимизация алгоритма обнаружения флуктуирующего радиоимпульса с неизвестным временем прихода / А.В. Захаров // Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Физика. Математика. - 2005. - № 1. - С. 46-56.

63. Kovacevic, B. Fundamentals of stochastic signals, systems and estimation theory with worked examples / B. Kovacevic, Z. Durovic. - New York: Springer, 2008. - 380 p.

64. Kutoyants, Y.A. Parameter estimation for Kalman-Bucy filter with small noise / Y.A. Kutoyants, H. Pohlmann // Statistics. - 1994. Vol. 25. - No. 4. - P. 307-323.

65. Kutoyants, Y.A. Volatility estimation of hidden Markov processes and adaptive filtration / Y.A. Kutoyants // ArXiv.org. - 36 p. - URL: https://arxiv.org/rdf/2010.07603. Дата публикации: 22.11.2022.

66. Kutoyants, Y.A. Hidden ergodic Ornstein-Uhlenbeck process and adaptive filter / Y.A. Kutoyants // ArXiv.org. - 43 p. - URL: https://arxiv.org/rdf/2304.08857. Дата публикации: 18.04.2023.

67. Kutoyants Y.A. Hidden AR process and adaptive Kalman / Y.A. Kutoyants // ArXiv.org. - 41 p. - URL: https://arxiv.org/rdf/2304.09531. Дата публикации: 19.04.2023.

68. Чернояров, О.В. Квазиправдоподобный обнаружитель случайного импульсного сигнала произвольной формы с неизвестными временными параметрами на фоне помех / О.В. Чернояров, А.В. Сальникова // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Серия "Информатика. Телекоммуникации. Управление". - 2009. - № 2(76). - С. 63-69.

69. Чернояров, О.В. Обнаружение случайного радиоимпульса с неизвестными временными параметрами на фоне помех / О.В. Чернояров, А.В. Сальникова // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Серия "Информатика. Телекоммуникации. Управление". - 2009. - № 3(80). - С. 80-86.

70. Чернояров, О.В. Квазиправдоподобная оценка времени прихода случайного импульса с огибающей произвольной формы и неточно известной длительностью / О.В. Чернояров, А.Е. Розанов, А.В. Сальникова // Радиотехника. - 2013. - № 10. - С. 65-70.

71. Голиков, А.А. Оценка времени прихода радиосигнала с огибающей произвольной формы и неизвестной центральной частотой при наличии модулирующей помехи / А.А. Голиков, А.А. Макаров, А.В. Сальникова, Д.Н. Шепелев // Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Физика. Математика. - 2020. - № 4. - С. 5-17.

72. Chernoyarov, O.V. Application of the local Markov approximation method for the analysis of information processes processing algorithms with unknown discontinuous parameters / O.V. Chernoyarov, Sai Si Thu Min, A.V. Salni-kova, B.I. Shakhtarin, A.A. Artemenko // Applied Mathematical Sciences. - 2014. - Vol. 8. - No. 90. - P. 4469-4496.

73. Chernoyarov, O.V. Statistical characteristics of the magnitude and location of the greatest maximum of Markov random process with piecewise constant drift and diffusion coefficients / O.V. Chernoyarov, A.V. Salnikova, A.E. Roza-nov, M. Marcokova // Applied Mathematical Sciences. - 2014. - Vol. 8. - No. 147. - P. 7341-7357.

74. Chernoyarov, O.V. Threshold characteristics of the appearance time estimate of the random radio pulse with free-form envelope and inaccuracy unknown duration / O.V. Chernoyarov, A.V. Salnikova, A.E. Rozanov, B.I. Shakhtarin // 10th International Conference «ELEKTRO2014»: proceedings. - Rajecke Teplice, Slovakia, May 19-20, 2014. - P. 52-57.

75. Chernoyarov, O.V. Statistical analysis of fast fluctuating random signals with arbitrary-function envelope and unknown parameters / O.V. Chernoyarov, M. Vaculik, A. Shirikyan, A.V. Salnikova // Communications - Scientific Letters of the University of Zilina. - 2015. - Vol. 17. - No. 1A. - P. 35-43.

76. Chernoyarov, O.V. The comparative analysis of estimates of the time discontinuous parameter of the random pulse synthesized using Bayesian and maximum-likelihood approaches / O.V. Chernoyarov, A.V. Salnikova, L.A. Golpaie-gani, M. Kuba // 11th International Conference «ELEKTRO2016»: proceedings. Strbske Pleso-High Tatras, Slovakia, May 16-18, 2016. - P. 518-522.

77. Chernoyarov, O.V. The single-channel measurer of the time of appearance and the duration of the fast-fluctuating stochastic signal / O.V. Chernoyarov, L.A. Golpayegani, A.V. Salnikova, A.V. Ostankov // 2017 4th International Conference on Manufacturing Engineering and Technology for Manufacturing Growth (METMG 2017): proceedings. Singapore, Singapore, May 7-8, 2017. - P. 17-22.

78. Chernoyarov, O.V. On probability of the Gaussian random processes crossing the barriers / O.V. Chernoyarov, A.V. Salnikova, L.A. Golpaiegani // 2017 3rd International Conference on Frontiers of Signal Processing (ICFSP 2017): proceedings. Paris, France, September 6-8, 2017. - P. 1-7.

79. Chernoyarov, O.V. Features of the distribution of the estimate of the time of arrival of the random radio pulse with inexactly known duration / O.V.

Chernoyarov, A.N. Faulgaber, A.V. Salnikova // 2018 4th International Conference on Frontiers of Signal Processing (ICFSP 2018): proceedings. Poitiers, France, September 24-27, 2018. - P. 69-74.

80. Salnikova, A.V. The fast digital algorithm for measuring the parameters of the random processes / A.V. Salnikova, V.P. Litvinenko, B.V. Matveev, A.N. Glushkov, Y.V. Litvinenko, A.A. Makarov // 2019 International Seminar on Electron Devices Design and Production (SED): proceedings. Prague, Czech Republic, April 23-24, 2019. - 5 p.

81. Chernoyarov, O.V. Simulation of the measurer of the time of appearance and the average power of the random pulse signal / O.V. Chernoyarov, A.V. Salnikova, A.A. Makarov // 2019 5th International Conference on Frontiers of Signal Processing (ICFSP 2019): proceedings. Marseille, France, September 18-20, 2019.

- P. 105-110.

82. Chernoyarov, O.V. The common approach to calculating the characteristics of the signal parameters joint estimates under the violation of the decision statistics regularity conditions / O.V. Chernoyarov, A.V. Zakharov, A.P. Trifonov, A.V. Salnikova, A.A. Makarov // Engineering Letters. - 2020. - Vol. 28. - No. 2.

- P. 492-503.

83. Studenikin, A. Analysis of data gathering and processing modes during the primary identification of radio signals through the panoramic spectral analysis / A. Studenikin, A. Tokarev, T. Demina, S. Pergamenshchikov, A. Salnikova // Lecture Notes in Networks and Systems. - 2023. - Vol. 596. - P. 540-562.

84. Chernoyarov, O.V. On an identification of a source of emission on the plane: a survey / O.V. Chernoyarov, S. Dachian, Y.A. Kutoyants, A.V. Salnikova // AIP Conference Proceedings. - 2023, in press.

85. Чернояров, О.В. Эффективность приема случайного импульсного сигнала с огибающей произвольной формы при неточно известной длительности / О.В. Чернояров, А.В. Сальникова // Материалы Международной научно-технической конференции "Фундаментальные проблемы радио-

электронного приборостроения" (INTERMATIC - 2011). - М.: МГТУ МИРЭА - ИРЭ РАН, 2011, часть 3. - С. 23-26.

86. Чернояров, О.В. Новый подход к синтезу одноканальных квазиоптимальных состоятельных оценок временных параметров информационных сигналов / О.В. Чернояров, А.В. Сальникова //Новая наука: проблемы и перспективы: Международное научное периодическое издание по итогам Международной научно-практической конференции (26 сентября 2016 г, г. Стерлитамак) / в 2 ч. Ч.1 - Стерлитамак: АМИ, 2016. - С. 32-38.

87. Чернояров, О.В. Устройство для измерения временного положения и длительности видеоимпульса / О.В. Чернояров, Ю.А. Кутоянц, А.В. Сальникова, К.Д. Титов // Патент на изобретение № 2648304, Россия, МПК G01R 29/02, G04F 10/00, опубл. 23.03.2018 (Бюл. № 9).

88. Чернояров, О.В. Устройство для измерения временного положения и длительности случайного импульсного сигнала / О.В. Чернояров, Ю.А. Кутоянц, А.В. Сальникова, Л.А. Голпайегани // Патент на изобретение № 2655465, Россия, МПК G01R29/02, G04F10/00, опубл. 28.05.2018 (Бюл. № 16).

89. Чернояров, О.В. Цифровой интегратор / О.В. Чернояров, А.В. Сальникова, В.П. Литвиненко, Ю.В. Литвиненко, Б.В. Матвеев, Е.А. Пчелинцев // Патент на изобретение № 2670389, Россия, МПК G06F7/00, опубл. 22.10.2018 (Бюл. № 30).

90. Чернояров, О.В. Цифровой измеритель действующего значения сигнала / О.В. Чернояров, А.В. Сальникова, Е.А. Пчелинцев В.П., Литвиненко, Ю.В. Литвиненко, Б.В. Матвеев // Патент на изобретение № 2685062, Россия, МПК G01R 19/02, опубл. 16.04.2019 (Бюл. № 11).

91. Чернояров, О.В. Цифровой интегратор / О.В. Чернояров, А.А. Макаров, А.В. Сальникова, А.Н. Глушков, В.П. Литвиненко, Ю.В. Литвиненко // Патент на изобретение № 2710990, Россия, МПК G06F 7/00, опубл. 14.01.2020 (Бюл. № 2).

92. Чернояров, О.В. Цифровой имитатор случайных сигналов / О.В. Чернояров, С.М. Пергаменщиков, А.В. Сальникова, А.Н. Глушков, В.П. Лит-виненко, Литвиненко Ю.В. // Патент на изобретение № 2718417, Россия, МПК G06F 7/58, опубл. 02.04.2020 (Бюл. № 10).

93. Харкевич, А.А. Спектры и анализ / А.А. Харкевич. - М.: Физматгиз, 1952. - 191 с.

94. Мирский, Г.Я. Электронные измерения / Г.Я. Мирский. - М.: Радио и связь, 1986. - 440 с.

95. Калинин, В.И. Сверхширокополосная шумовая радиолокация на основе антенных решеток c рециркуляцией сигналов / В.И. Калинин, В.В. Ча-пурский // Радиотехника и электроника. - 2008. - Т.53. - № 10. - С. 12661277.

96. Gupta, S. Noice-correlating radar based on retrodirective antennas / S. Gupta, T.R. Brown // IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems. -2007. - V.43. - №2. - P. 472-479.

97. Kailath, T. Some integral equations with nonrational kernals / T. Kailath // IEEE Transactions on Information Theory. - 1966. - V.12. - No. 4. - P. 442447.

98. Тихонов, В.И. Марковские процессы / В.И. Тихонов, М.А. Миронов. - М.: Сов. радио, 1977. - 488 с.

99. Трифонов, А.П. Статистические свойства высоты и положения абсолютного максимума марковского случайного процесса типа Башелье / А.П. Трифонов, Ю.Э. Корчагин, М.Б. Беспалова // Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Физика. Математика. - 2014. - № 4. - С. 54-65.

100. Pickands, J. Upcrossing probabilities for stationary Gaussian process / J. Pickands // Transactions of the American Mathematical Society - 1969. - V.145. - №11. - P. 51-73.

101. Qualls, C. Asymptotic properties of Gaussian processes / C. Qualls, H. Watanabe // The Annals of Mathematical Statistics. - 1972. - V.3. - №2. - P. 580596.

102. Справочник по специальным функциям / Под ред. М. Абрамовица и И. Стиган. - М.: Наука, 1979. - 832 с.

103. Тихонов, В.И. Статистическая радиотехника / В.И. Тихонов. - М.: Радио и связь, 1982. - 624 с.

104. Корн, Г. Справочник по математике для научных работников / Г. Корн, Т. Корн. - М.: Наука, 1984. - 831 с.

105. Быков, В.В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике / В.В. Быков. - М.: Сов. радио, 1971. - 326 с.

106. Литвиненко, В.П. Моделирование случайных процессов: учебное пособие / В.П. Литвиненко, О.В. Чернояров. - Воронеж: Воронежский государственный технический университет, 2017. - 177 с.

107. Вентцель, Е.С. Теория вероятностей и ее инженерные приложения: учебное пособие / Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров. - 5-е изд., стер. - М.: ЮСТИЦИЯ, 2018. - 480 с.

108. Миддлтон, Д. Введение в статистическую теорию связи / Д. Мидд-лтон. - М.: Сов. радио, 1961. - Т.1. - 782 с.

109. Бассвиль М. Обнаружение изменений свойств сигналов и динамических систем / М. Бассвиль, А. Вилски, А. Банвентист и др. - М.: Мир, 1989. - 278 с.

110. Трифонов А.П. Асимптотические характеристики совместных оценок параметров сигнала / А.П. Трифонов, А.В. Захаров, А.М. Воробьев // Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Физика. Математика. - 2003. - № 2. - С. 77-92.

111. Мудров В.И. Методы обработки измерений. Квазиправдоподобные оценки / В.И. Мудров, В.Л. Кушко. - М.: Радио и связь, 1983. - 304 с.

112. Shepp, L.A. Radon-Nykodym derivaties of Gaussian measures / L.A. Shepp // The Annals of Mathematical Statistics - 1966. - V.37. - №4 - P. 321354.

113. Siegmund, D. Boundary crossing probabilities and statistical applications / D. Siegmund // The Annals of Statistics. - 1986. - V.14. - №2. - P. 361404.

114. Жиглявский, А.А. Обнаружение разладки случайных процессов в задачах радиотехники / А.А. Жиглявский, А.Е. Красковский. - Л.: ЛГУ, 1988. - 224 с.

115. Тартаковский, А.Г. Обнаружение сигналов со случайными моментами появления и исчезновения / А.Г. Тартаковский // Проблемы передачи информации. - 1988. - Т.24. - Вып.2. - С. 39-50.

116. Репин, В.Г. Обнаружение сигнала с неизвестными моментами появления и исчезновения / В.Г. Репин // Проблемы передачи информации. -1991. - Т.27. - Вып. 1. - С. 61-72.

117. Трифонов, А.П. Совместная оценка двух параметров разрывного сигнала на фоне белого шума / А.П. Трифонов, В.К. Бутейко // Радиотехника и электроника. - 1989. - Т.34. - №11. - С. 2323-2329.

118. Мальцев, А.А. Оптимальное оценивание моментов случайных скачкообразных изменений параметров сигналов / А.А. Мальцев, А.М. Силаев // Радиотехника и электроника. - 1989. - Т.34. - №5. - С. 1023-1033.

119. Трифонов, А.П. Оптимальный прием прямоугольного импульса с неизвестными моментами появления и исчезновения / А.П. Трифонов, Ю.Э. Корчагин // Известия высших учебных заведений. Радиофизика. - 2000. -Т.43. - №3. - С. 271-282.

120. Chernoyarov, O.V. A new calculation technique of characteristics of multichannel measurer / O.V. Chernoyarov, M. Vaculik, A.E. Rozanov // Science Journal of Circuits, Systems and Signal Processing. - 2013. - V.2. - №3. - P. 7884.

121. Прокис, Д. Цифровая связь / Д. Прокис. - М.: Радио и связь. 2000.

- 800 с.

122. Лайонс, Р. Цифровая обработка сигналов / Р. Лайонс. - М.: ООО «Бином-Пресс», 2006. - 656 с.

123. Мирошник, И.В. Теория автоматического управления. Линейные системы / И.В. Мирошник. - СПб.: Питер, 2005. - ЗЗ6 с.

124. Местергази, В.А. К вопросу программного целочисленного интегрирования сигналов АЦП / В.А. Местергази // Цифровая обработка сигналов.

- 2012. - №2. - С. 57-64.

125. Мейзда, Ф. Электронные измерительные приборы и методы измерений / Ф. Мейзда. - М.: Мир, 1990. - 535 с.

126. Батраков, А.М. Прецизионные цифровые интеграторы с точной синхронизацией / А.М. Батраков, И.В. Ильин, А.В. Павленко // Автометрия. -2015. - Т.51. - №1. - С. 62-69.

127. Пейтон, А.Дж. Аналоговая электроника на операционных усилителях / А.Дж. Пейтон, В. Волш. - М.: Бином, 1994. - 352 с.

128. Metrolab: Precision Digital Integrator PDI5025 : сайт. - URL: http://www.metrolab.ch/uploads/Document/WEB_CHEMIN_118_1158928352.pd f (дата обращения: 31.05.2023).

129. Гутников, В.С. Фильтрация измерительных сигналов / В.С. Гутни-ков. - Л.: Энергоатомиздат, 1990. - 122 с.

130. Солонина, А.И. Основы цифровой обработки сигналов / А.И. Солонина, Д.А. Улахович, С.М. Арбузов, Е.Б. Соловьева. - СПб.: БХВ Петербург, 2005. - 768 с.

131. Glushkov, A.N. Basic algorithm for the coherent digital processing of the radio signals / A.N. Glushkov, V.P. Litvinenko, B.V. Matveev, O.V. Chernoya-rov, A.V. Salnikova // 2015 International Conference on Space Science and Communication: proceedings. - Langkawi, Malaysia, August 10-12, 2015. - P. 1-5.

132. Glushkov, A.N. Basic algorithm for the noncoherent digital processing of the narrowband radio signals / A.N. Glushkov, V.P. Litvinenko, B.V. Matveev,

O.V. Chernoyarov // Applied Mathematical Sciences. - 2015. - V.9. - №95. - P. 4727-4735.

133. Мак-Кракен, Д. Численные методы и программирование на Фортране / Д. Мак-Кракен, У. Дорн. - М.: Мир, 1977. - 552 с.

134. Chernoyarov, O.V. Algorithms and devices for noncoherent digital radio signal processing / O.V. Chernoyarov, A.N. Glushkov, V.P. Litvinenko, B.V. Matveev, A.A. Makarov // Engineering Letters. - 2020. - V.28. - №4. - P. 12381248.

135. Кушнир, Ф.В. Электрорадиоизмерения / Ф.В. Кушнир. - Л.: Энер-гоатомиздат, 1983. - 320 с.

136. Electrical measurement, signal processing, and displays / Edited by J.G. Webster. - Boca Raton: CRC Press, 2003. - 768 p.

137. Dataforth Corporation: Measuring RMS values of voltage and current (Application Note AN101) : сайт. - URL: https://www.dataforth.com/measuring-rms-values (дата обращения: 31.05.2023).

138. Analog Devices: Data sheet AD8436 low cost, low power, true RMS-to-DC converter : сайт. - URL: https://www.analog.com/media/en/technical-documentation/data-sheets/AD8436.pdf (дата обращения: 31.05.2023).

139. Staley, J., Using the AD8436 true RMS to DC converter (Application Note AN-1341) // Analog Devices: сайт. URL: https://www.analog.com/media/en/technical-documentation/data-sheets/AD8436.pdf. Дата публикации: 28.06.2014.

140. Analog Devices: Now-true RMS-to-DC measurements, from low frequencies to 2.5 GHz : сайт. - URL: https://www.analog.com/en/analog-dialogue/articles/true-rms-to-dc-measurements-to-2-5ghz.html (дата обращения: 31.05.2023).

141. Moulin, E., RMS calculation for energy meter applications using the ADE7756 (Application Note AN-578) // Analog Devices: сайт. URL: https://www.analog.com/en/products/ade7756.html. Дата публикации: 04.11.2003.

142. Taha, S.M.R. Direct digital RMS measuring device / S.M.R. Taha, M.A.H. Abdul-Karim // International Journal of Electronics. - 1985. - V.59. - №2.

- P. 199-210.

143. Rohde & Schwarz: Methods to obtain trusted RMS results on the R&S®RTM : сайт. - URL: https://www.rohde-schwarz.com/hk/applications/methods-to-obtain-trusted-rms-results-on-the-r-s-rtm-application-card_56279-138306.html (дата обращения: 31.05.2023).

144. Измерения в электронике. Справочник / Под ред. В.А. Кузнецова.

- М.: Энергоатомиздат, 1987. - 512 с.

145. Чернояров, О.В. Полиномиальная аппроксимация нелинейных функций на основе ортогональных многочленов / О.В. Чернояров, Д.Н. Шепелев, С.В. Выборнов // Материалы 5-й Международной конференции "Телевидение: передача и обработка изображений". - СПб.: СПбГЭТУ, 2007. - С. 78-80.

146. Chernoyarov, O.V. Restoration of deterministic and interference distorted signals and images with use of the generalized spectra in bases of orthogonal polynomials and functions / O.V. Chernoyarov, M. Breznan, A.V. Terekhov // Communications - Scientific Letters of the University of Zilina. - 2013. - V.15. -№2A. - P. 71-77.

147. Максфилд, К. Проектирование на ПЛИС / К. Максфилд. - М.: Издательский дом «Додэка XXI», 2007. - 408 с.

Приложение А

АЛГОРИТМЫ ОЦЕНКИ ВРЕМЕННОГО ПОЛОЖЕНИЯ СТОХАСТИЧЕСКОГО РАДИОИМПУЛЬСА С НЕИЗВЕСТНОЙ ЦЕНТРАЛЬНОЙ ЧАСТОТОЙ

Постановка задачи

В разделах 1-4 исследованы алгоритмы обработки стохастического радиоимпульса (1.2) с неизвестными временными и энергетическим параметрами. Однако, вследствие условий распространения сигнала в пространстве либо перемещения источника излучения помимо временного положения может иметь место априорная неопределенность относительно центральной частоты принимаемого импульса. В этой связи представляет интерес выполнить синтез и анализ алгоритмов оценки временного положения сигнала (1.2) по наблюдениям (1.1) в условиях различной априорной неопределенности относительно центральной частоты его флуктуационной составляющей.

Для получения алгоритма оценивания будем использовать метод МП [3,28-30,32,35,36,63], согласно которому, следуя (1.12), запишем выражение для логарифма ФОП как функции текущих значений X, 0 неизвестных параметров X о, в виде

(А.1)

(А.2)

Здесь q0 определяется также как в (1.12), а y(t,3) = [ x(t') h(t -1', 3) dt' - отклик фильтра с

АЧХ H (ю, 3), удовлетворяющей условию (1.13) при замене 3о на 3, и произвольной ФЧХ, на вход которого поступает реализация x(t)

- от-

(1.1). Тогда оценка неизвестного параметра, синтезированная по методу МП, определяется как положение наибольшего максимума решающей статистики (А.2).

Квазиправдоподобный алгоритм оценивания

Рассмотрим вначале случай, когда параметр 0о е [©1, ©2 ] является неизвестным на приемной стороне, но можно указать его некоторое ожидаемое (предполагаемое) значение из априорного интервала [©1, ©2 ]. Тогда, заменяя в (А.1), (А.2) неинформативную переменную 0 фиксированным значе-

*

нием 0 и максимизируя затем решающую статистику по переменной X, получаем КПО х до временного положения Xо вида

Хдо = а^Бир ^(х,0*)= аг§Бир м(х,0*). (А.3)

Хе[Л1,Л2 ] Хе[ЛьЛ2 ]

*

При 0 = 0о КПО Xдо (А.3) переходит в ОМП (1.14). Блок-схема измерителя

(А.3) может быть очевидным образом получена из блок-схемы, представленной на рисунке 1.1, при замене фильтра 2 с АЧХ Н (ю, 0о) на фильтр с АЧХ

Н (ю, 0*).

Найдем характеристики КПО Xд0 (А.3), для чего представим зависящий от наблюдений член логарифма ФОП М (х, 0*) (А.1) как сумму сигнальной (/) = (м(х, 0* и шумовой (/) = М(х, 0*)- ^М(х, 0* составляющих [28,29]:

М (х, 0* )= М* (/) = (/)+^ (/). (А.4)

Здесь I - безразмерная переменная (1.15), а усреднение осуществляется по всем возможным наблюдениям х(:) (1.1) при фиксированных значениях неизвестных параметров х о, 0 о. В условиях «быстрых» флуктуаций процесса

^), когда выполняются неравенства (1.7), (1.8), для сигнальной составляющей £3 (/) находим

4 (/ ) = то Во С (83) £ (/ - /о ,0)+^, (А.5)

где £(х, у), и С.(х) определяются также, как в (1.17) и (1.28), а

83 = (3 -&о)/^о - относительная расстройка по центральной частоте СП (1.4) стохастического радиоимпульса (1.2).

Также, как в [17], можно показать, что шумовая составляющая N3(/) является асимптотически (при р^-да) гауссовским случайным процессом, для полного статистического описания которого достаточно задать его МО У* (/)) и корреляционную функцию

в'т(/и 12 ) = (к (/1)-(«3 (/. }))к (/2 )-( N 3 (/2 }))).

По определению (А.4) МО

случайного процесса N3 (/) равно нулю, а для корреляционной функции путем непосредственного усреднения по реализациям наблюдаемых данных (1.1 ) находим

Вт(/., /2 )=т2 Е2Н (С.(8з)В. (/., /2, /о,о) + В2 (/., /2,о)Ур, (А.6) где Еу и В.(/.,/2,/о,х), В2(/.,/2,х) определены в (1.12) и (1.21).

Из (А.5) следует, что сигнальная составляющая (/) решающей статистики Мз(/) (А.4) имеет единственный максимум в точке / = /о. Тогда по определению [28,29] выходное ОСШ для КП алгоритма (А.3) определится

как

2 гд3

X

у /4 (~~)

-V 2. + Чо/2 (~ t)

53 (/о )- ^

2

N 32 (/о )) = Р4о2С2 (83)

X

.2

I /4 (~~)

-12

С. (83)+

1 - С.(83) (1 + Чо/2 (~ ~ )f_

(А.7)

7 I I

причем >>. при выполнении (1.8), Чо > о и (831 <..

2

Для минимизации набора параметров при анализе далее будем рассматривать безразмерную (нормированную) оценку

/д 0 =х д 0 До (А.8)

временного положения радиоимпульса (1.2). Если выполняется условие / (±уто/2) = о, то решающая статистика М * (/) (А.4) является дважды дифференцируемой по переменной I (параметр хо является регулярным [28,29]), и характеристики КПО (А.8) могут быть записаны на основе формул, приведенных в [28]. В этой связи рассмотрим более сложный случай (1.3), когда

функционал М* (/) (А.4) не дифференцируем по переменной I ни в каком вероятностном смысле.

При 2д0 ^^ оценка /д0 (А.8) сходится к истинному значению /о в

среднеквадратическом смысле. Тогда можно считать, что в условиях высокой апостериорной точности, когда 2д0 >> 1, характеристики оценки /д0 определяются статистическими свойствами функционала М * (/) (А.4) лишь в некоторой малой окрестности точки / = /о [17,29]. Обозначим Д = тах{ /1 -/о|,\/2 -/о|,/1 -/2! }. Устремляя при выполнении (1.8) Д^о и пренебрегая величинами порядка 2л/По , для (А.5), (А.6) получаем следующие асимптотические представления:

5*(/)= 5оС1 (80) С1 (/ - /о)+ + 0(Д),

(А.9)

Вт (У2 ) = И)С1(80)С3 (/о, /1, /2 ) + 4С1(/1 - /2 )+о(Д),

2 2 I \

где 5о, , , С3 (х, у, г) определяются также, как в (1.28).

Выберем некоторую фиксированную величину 8 (8>Д), определяющую 8-окрестность Л5 = [/о -8, /о + 8] точки /о, в пределах которой выражения (А.9) допускают аппроксимацию главными членами асимптотических разложений с приемлемой точностью, так что величинами более высокого порядка малости по сравнению с Д можно пренебречь. Тогда, полагая, что

lq§ еЛ5 с вероятностью, стремящейся к 1, искомую условную функцию распределения fq (x/q) КПО аналогично (1.29) запишем в виде

f$(x|/q )= P\_lq& < x]= P max u!j(l)> max u<j(l) , l, x еЛ

l <x l>x

5:

где

* /,\ /

*f* (/)-M * (x )J/ct s

w»(l )=(m* (l)-M* (x ))/c

а а2 =а5С1(80)+аН (1 - С^)).

На основе результатов [97] можно показать, что на интервале Л8 процесс и0(/) является асимптотически (при ц^-го) гауссовским марковским случайный процесс диффузионного типа. При этом, используя соотношения (1.31), для его коэффициентов сноса Кю и диффузии К20 в случае / > х имеем

- ^ , 1, l < l0, V -U2 ■ -2М-2

ш =zq^1-1, l > l , N

(- N2)/

Аналитические формулы для функций распределения и моментов величины и положения абсолютного максимума гауссовского марковского процесса, коэффициенты сноса и диффузии которого имеют скачок в некоторой внутренней точке интервала его определения приведены, например в [72,73,99]. Используя результаты [72,73,99], для условных смещения

Ьо (/0 /о )=^/0 - /о) и рассеяния у (/0 /о )=^(/0 - /о) ^ КПО /0 можем записать

Ьо(/0/о)= о, Уо(д/о)= 13К22/8К4 = 13(2- g. (А.10) Погрешность формул (А.10) уменьшается с увеличением ц (3) и 1д0 (А.7). Отметим, что при 80 = о формулы (А.10) совпадают с (1.34) и описывают характеристики нормированной ОМП (1.14) временного положения стохастического радиоимпульса (1.2) с априори известными остальными парамет-

рами. Если же / (у? ) = 1, то из (А.10) приходим к выражениям для условных смещения и рассеяния нормированной КПО временного положения сигнала (1.2) с прямоугольной огибающей и неточно известной центральной частотой СП (1.4), найденные в [49].

Зависимости (А.10) позволяют оценить влияние отклонений ожидае-*

мого значения 3 неизвестной центральной частоты спектральной плотности (1.4) от истинного значения на точность КПО (А.3). Для этого введем в

рассмотрение отношение % = V(/3* /0)/V(/3* /0)

рассеяния КПО (А.3) к

5^=0

рассеянию ОМП (1.14).

Для примера на рисунке А.1 нанесены зависимости отношения % от величины 5з при приеме колоколообразного импульсного сигнала с огибающей вида / (у? )= ехр (-у 2t2), у = 1. Кривая 1 соответствует ^ = 0,1, 2 - 0,5, 3

/ //

V 2 7

/

0 0,1 0,2 0,3 5Э

Рисунок А.1 - Проигрыш в точности квазиправдоподобной оценки временного положения стохастического радиоимпульса из-за расстройки по центральной частоте его флуктуационной составляющей

Из рисунка А.1 следует, что с ростом расстройки 80 точность КПО

(А.3) существенно ухудшается, причем с уменьшением параметра qо КПО

*

(А.3) оказывается более критичной к выбору предполагаемого значения 0 .

1 1 *

При этом если начинает выполняться условие 80 > 1 ( 0 -0о > ^о), то полоса частот полезного сигнала и рабочая полоса частот приемного устройства не перекрываются. В результате решающая статистика M (X, 0 ) (А.1) не зависит от истинных значений параметров радиоимпульса (1.2), и КП алгоритм оценивания (А.3) является неработоспособным.

Максимально правдоподобный алгоритм оценивания

В случае, когда не удается указать приемлемое приближенное значение

*

0 величины 0о (обеспечить приемлемую погрешность измерения параметра X о), повысить точность оценки временного положения стохастического радиоимпульса (1.2) можно путем максимизации решающей статистики (А.1) или (А.2) по всем входящим в нее переменным. Тогда ОМП Xт0 и 0т временного положения X о и центральной частоты 0о сигнала (1.2) определятся как

(X т0, 0т )= а^Бир L(X, 0)= а^Бир M (X, 0). (А.11) Хе[ЛьЛ 2 ],0е[©1,0 2 ] Xe[ЛьЛ 2 ],0е[©ь©2 ]

Найдем характеристики совместных ОМП (А.11), для чего, как и ранее, представим решающую статистику M (X, 0) (А.2) в виде суммы сигнальной 50(/,V) = (Ы(X,0)) и шумовой N0(/,V) = M(X,0) - (Ы(X,0)) составляющих:

M (X, 0)= 50 (/, V) + N 0(/, V),

где V = 0/0о - нормированное текущее значение неизвестной центральной частоты СП (1.4).

Поскольку функционал Ы(X, 0) (А.2) является асимптотически (при ц ^ го) гауссовским, для его полного в статистическом смысле описания до-

статочно задать МО и корреляционную функцию. Проводя усреднение (А.2) по всем возможным наблюдениям (1.1) и опуская на основе неравенств (1.8) величины порядка 2л/П о , получаем

53(/, V) = То£>о С (V - Уо)^(/ - /о,0) + ^,

(А.12)

((м (^1,31) - ( М (^1,31 )))(м (X 2, 32 )-( м (X 2,32 )») = ( Нз(/Ъ V )#з(/2, У2 )) =

= BN3(/1,/2, v1,У2)= (С3(v0,У2)В1(/1,/2,/0)+ С1(у2 - V )В2(/1^2й/ц • Здесь Уо = 3о/Оо, EN определяется из (1.12), (х,у), ^ - (117), B1 (/\, /2, /0, х), В2 (/ь /2, х) - из (1.21), а С (х), С3 (х, у, г) - из (1.28).

Предположим, что выходное ОСШ г (1.27) для МП алгоритма (А.11) достаточно велико, так что с вероятностью, стремящейся к 1 нормированные ОМП

Ш =Хш/Т0 , Ут = 3ш/(А.13) находятся в пределах малой окрестности Л5 точки (/о,Уо). Обозначим

Д' = тах(|/-/ о| ,V-Уо|). Тогда, устремляя Д'^0 при г2 >> 1, для моментов (А.12) функционала М (X, 3) (А.1) получаем асимптотические представления вида

53 (/, V ) = 5о-|/-0 - V - Уо| + 5N + о(Д'),

(А.14)

BN3(/1>/2,v1,У2Ь(а5)(1 + т1п(0,/1 --/0)-тах(0,/1 --/0) +

+ т1П(0, - Vо, У2 - Уо ) - тах(0, V - У2 - У0 й + ^ (1 -1 / 2 - - |У2 - V \}+ о(Д,),

2 2

где 5о, а 5, а N определяются также, как в (1.28). Из (А.14) следует, что

5 3(/, V) + 53 (/ о, Уо )= 53 (/, Уо)+ 53 (/ о, V ) + о(Д'),

(А.15)

BN3(/1^2, У2 )+ BN3(/ 0,/0, v0, У0 )= BN3(/1,/2, ^ У0 )+ BN3(/ 0,/0, У2 )+о(Д,).

Введем в рассмотрение гауссовскую случайную величину Yq с характеристиками (Yq ) = S(/q , vq ), ^(yq - (Yq ) )2 ^ = Bm (l0, l0, vq, vq ) и гауссовские случайные процессы Lt (l), Lf (v ) с характеристиками

(Lt (l)) = St (l) = So (1 -11 - /q| )+ Sn + o(A'), (Lf (v )) = Sf (v ) = Sq (1 -| v - vQ ) + Sn + o(A'),

(А.16)

Bl (h>l 2 )=(fo (l1 M Lt (l1 )»(L (l2 M L (l2 )))HN (1 -I l2 - h\) +

+ (aS - aN )(1 + min(0, l1 - /q, l2 - /q ) - max(0, l1 - /q,l2 - /q )) + o(A'),

Bf (V1,V2) = (Lf (V1 )-(Lf (v)))L (V2)-(Lv(v2)>)) = aN(1 -|V2 -)+

+ (aS - aN)(1 + min(0,v1 - vq,v2 - vq)-max(0,v1 - vq,v2 - vq))+o(A'), причем M(X, 0), Yq , Lt (l), Lf (v) взаимно статистически независимы. Вид

МО и корреляционных функций (А.16) подобран таким образом, чтобы моменты функционала M (X, 0) + Yq с точностью до членов более высокого порядка малости по сравнению с A' совпадали с соответствующими моментами гауссовского случайного поля M'(/, v ) = Lt (l) + Lf (v ).

Согласно (А.15) сигнальная составляющая S (l, v) функционала M(X, О) (А.2) имеет наибольший максимум в точке l = /q , v = vq . При этом реализации шумовой составляющей N (/, v ) непрерывны с вероятностью 1. Тогда при

z ^да (1.27) ОМП X, 0m (А.11) сходятся к истинным значениям Xq , Oq

в среднеквадратическом [28,29,35,36]. Будем считать, что обеспечивается тал

кое значение ОСШ z (1.27), при котором в окрестности Л5 локализации нормированных ОМП (lmo,vm) (А.13) можно использовать асимптотики (А.14)-(А.16) в пренебрежении величинами o(A ' ). Тогда в силу статистической эквивалентности функционалов M (X, 0) + Yq и M' (l, v ) характеристики оценок lmo и vm (А.13) совпадают с характеристиками оценок

l'rn§ = afg sup M'(иVm)= arg sup Lt(/), ЦЛЬЛ2 J J

(А.17)

v'm = arg sup M'(m, v)= arg sup Lf (v),

ve ve

соответственно. Здесь Лi, i = 1,2 определяются из (1.24), а 0i = 0г /Qо •

Как следует из (А.16), моменты функционалов Lt (l), Lf (v) с точностью до обозначений соответствуют моментам (1.28) функционала M(X,то,Do)

(1.16). В результате оценки 1'т3, (А.17) являются статистически эквивалентными надежной ОМП 1т (1.22), и их характеристики могут быть найдены согласно (1.34). Следовательно, зависимости на рисунке А.1 соответ-

рассеянию ОМП X ш3 (А.11). Как видно из рисунка А.1, в условиях достаточно больших значений выходного ОСШ выигрыш в точности ОМП Xш3 (А.11) по сравнению с КПО X^ (А.3) может быть значительным. Однако, по

сравнению с КП алгоритмом техническая (вычислительная) реализация МП алгоритма оценивания временного положения стохастического радиоимпульса (1.2) с неизвестной центральной частотой оказывается существенно сложнее.

При / (у? ) = 1 из (1.24) получаем выражения для условных смещений и рассеяний ОМП временного положения и центральной частоты сигнала (1.2) с огибающей прямоугольной формы [49].

Отметим также, что качество КП алгоритма оценивания временного положения стохастического радиоимпульса (1.2), рассчитанного на некоторое фиксированное ожидаемое значение центральной частоты СП его флук-туационной составляющей, во многом определяется абсолютным значением относительной расстройки 53 (А.5). При > 0,05 ^ 0,1 потери в точности

выносимой оценки существенно возрастают. Более того, если 1 (истин-

ствуют также отношению

рассеяния КПО Xq§ (А.3) к

ное значение центральной частоты отличается от ожидаемого более чем на ширину полосы частот принимаемого сигнала), то КП алгоритм становится неработоспособным.

Полученные результаты дают возможность сделать обоснованный выбор в пользу того или иного алгоритма оценки временного положения стохастического радиоимпульса в зависимости от имеющейся априорной информации и требований, предъявляемых к точностным характеристикам измерителя и аппаратным ресурсам для его реализации.

Приложение Б

ОДНОКАНАЛЬНЫЕ КВАЗИОПТИМАЛЬНЫЕ АЛГОРИТМЫ ОЦЕНКИ ВРЕМЕННЫХ ПАРАМЕТРОВ ИНФОРМАЦИОННЫХ СИГНАЛОВ

Задача оценки временных параметров импульсных сигналов имеет широкие приложения в радио- и гидролокации, радиосвязи, сейсмологии и т.д. [115,116]. В [117] предложен измеритель временного положения и длительности прямоугольного видеоимпульса, синтезированный по методу максимального правдоподобия. Однако, его техническая реализация возможна лишь в многоканальном варианте, причем при конечном числе каналов выносимые оценки не являются состоятельными. В работе [118] рассмотрена более общая задача приема сигнала, претерпевающего скачкообразные изменения в М случайных моментов времени. Но для нахождения оценок этих моментов даже в простейшем случае, когда М = 2, необходимо решать довольно сложные нелинейные стохастические уравнения. В [119] на основе МП и байесовского подходов синтезированы двухканальные алгоритмы оценки моментов появления и исчезновения прямоугольного импульса. Однако, область их применимости ограничивается задачами локализации информационного сигнала (когда априорный интервал возможных значений момента появления/исчезновения импульса не превышает двух его минимально возможных длительностей).

Ниже показано, что на основе модификации метода МП удается получить достаточно простой и относительно легко реализуемый алгоритм оценки временного положения и длительности прямоугольного видеоимпульса без ограничений на область возможных значений неизвестных параметров.

Пусть в течение интервала времени [о, Т] на вход приемного устройства поступает аддитивная смесь вида

х^ )= s(t, X о, то)+ п(:). (Б.1)

Здесь

/ ч Г t - Хп ^ / ч |1 , XI < V2 , s(t,Xо,То)= а1 -0 , I(*Ы (Б.2)

V т0 ) 0 , |*| > 12

- полезный сигнал, представляющий собой прямоугольный видеоимпульс с амплитудой а, временным положением Xо и длительностью То, а п(?) -гауссовский белый шум с односторонней спектральной плотностью N0.

По наблюдаемой реализации (Б.1) необходимо оценить параметры X о, Т0 , принимающие значения из соответствующих априорных интервалов [Ль Л 2 ], [Т\, Т2 ]. При этом полагаем, что для Л1, Л 2 выполняется условие вида 0 < Л1 - Т2/2 < Л2 + Т2/2 < Т, т.е. импульс (Б.2) всегда находится внутри интервала наблюдения [0, Т ].

В соответствии с [28,29] запишем логарифм функционала отношения правдоподобия (ФОП) как функцию текущих значений X, т неизвестных параметров X о, То следующим образом:

9 ^Т/ 2 2

¿(X,т)=— Г *(?) а? - ^. (Б.3)

N0 XV N ( )

При максимизации (Б.3) по переменным X, т получаем оценки максимального правдоподобия (ОМП) временного положения и длительности импульса (Б.1), определяемые как [117]

^ ш, Тш)= ш^р L(х, т) . (Б.4)

Xe[Лl, Л 2 ] , те[Ть Т2 ]

Нетрудно видеть, что измеритель (Б.4) имеет многоканальную структуру, причем для точной его реализации число каналов должно быть бесконечным, что вряд ли возможно на практике.

Рассмотрим возможности получения технически более простых и практически реализуемых оценок параметров Xо, То. С этой целью исследуем

поведение логарифма ФОП (Б.3) как функцию переменной X при фиксиро-

* I * \

ванном значении т = т . Следуя [28,29], представим функционал ¿(X,т ) в

виде суммы сигнальной £ ¿(X, т* ) и шумовой функций N М = ¿(X, т* )-( ¿(X, т* ):

sup MI (a, t* )=MI (a, q, т*)

Ае[Ль Л 2 ]

* \>

T ) c.

<

(Б5)

Здесь ( ) обозначают операцию усреднения по всем реализациям наблюдаемых данных (Б.1) при фиксированных значениях А о, то. Для сигнальной функции из (Б.3) получаем

S(А) = 2a2C(А - A0)/N0 - a2tVN0

где

C (A) =

(o,To -t* ),

T0 - max(0,Tn-T I, IA| <

(to -t* у2 -|a| ,

Tn -T

/2 .

тп -т

0

А|>(т0 + t* У2 .

12 <|А|<(т0 + t* У2 ,

Шумовая функция N (А) представляет собой центрированный гауссов-ский случайный процесс с корреляционной функцией вида

(N(A1 )N(А2)) = (2a 2/N0) max [ 0, т* - |А2 - А11 .

Как известно [28], логарифм ФОП (Б.3), а также любое взаимно однозначное безынерционное преобразование от него является достаточной статистикой, содержащей всю информацию о неизвестных параметрах А 0, T0, которая может быть получена на основе реализации наблюдаемых данных (Б.1). Применим в качестве такого преобразования к (Б.5) операцию дифференцирования (по переменной А). Тогда имеем

M (а) = L' (a, т* )=

2a2

Nc

I

"А-б01Л

т • V ^min у

I

т • V ^min у

+ ^(А).

(Б6)

Здесь

00i = An - т

0 т max

/2:

002 =А0 +тmax/2 > тmax = max(т0, т* \

In = min (т0,т*), £,(А) - гауссовский белый

'min

шум с односторонней спек-

тральной плотностью N^ = 8a2/N0 Из (Б.6) следует, что при

* „ T <T

(Б.7)

*

*

<

задача оценки временного положения и длительности импульса (Б.2) может

быть сведена к задаче оценки временных положений двух разнополярных

*

прямоугольных видеоимпульсов длительности т каждый. Действительно, сформировав на основе (Б.6) оценки , 02д параметров 9о1, 002, для оценок Xд, тд параметров Xо, То получаем

Xд =(02д +01д V2' Тд =02д - 01д . (Б.8)

Оценки 01д , 02д могут быть найдены одним из возможных оптимальных способов, например, с помощью корреляционного приема [28]. Тогда имеем

0+Т 2

01д =

01 е

argsup

* / * /

Л1 -Т /2,Л2-Т /2

MI (01), МI (0)= Г М (X) dX,