Синтез, анализ и моделирование алгоритмов определения скачкообразных изменений статистических характеристик случайных процессов в условиях параметрической априорной неопределенности тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.12.04, кандидат наук Голпайегани Лейла Абдолмаджид

• Голпайегани Лейла Абдолмаджид
• кандидат наук
• 2019

Оглавление диссертации кандидат наук Голпайегани Лейла Абдолмаджид

ВВЕДЕНИЕ

1 АЛГОРИТМЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СКАЧКООБРАЗНОГО ИЗМЕНЕНИЯ НЕИЗВЕСТНОЙ СРЕДНЕЙ МОЩНОСТИ НИЗКОЧАСТОТНОГО ГАУССОВСКОГО ПРОЦЕССА

1.1 Постановка задачи

1.2 Обнаружение скачкообразного изменения средней мощности случайного процесса

1.3 Измерение средней мощности случайного процесса и момента ее скачкообразного изменения

1.4 Моделирование синтезированных алгоритмов определения скачкообразного изменения средней мощности случайного процесса

1.5 Выводы

2 АЛГОРИТМЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СКАЧКООБРАЗНОГО ИЗМЕНЕНИЯ НЕИЗВЕСТНЫХ СРЕДНЕГО ЗНАЧЕНИЯ И СРЕДНЕЙ МОЩНОСТИ НИЗКОЧАСТОТНОГО ГАУССОВСКОГО ПРОЦЕССА

2.1 Постановка задачи

2.2 Обнаружение скачкообразного изменения среднего значения и средней мощности случайного процесса

2.3 Измерение среднего значения и средней мощности случайного процесса и момента их скачкообразного изменения

2.4 Моделирование синтезированных алгоритмов определения скачкообразного изменения среднего значения и средней мощности случайного процесса

2.5 Выводы

3 АЛГОРИТМЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СКАЧКООБРАЗНОГО ИЗМЕНЕНИЯ НЕИЗВЕСТНОЙ ШИРИНЫ ПОЛОСЫ ЧАСТОТ НИЗКОЧАСТОТНОГО ГАУССОВСКОГО ПРОЦЕССА

3.1 Постановка задачи

3.2 Обнаружение скачкообразного изменения ширины полосы частот случайного процесса

3.3 Измерение ширины полосы частот случайного процесса и момента ее скачкообразного изменения

3.4 Моделирование синтезированных алгоритмов определения скачкообразного изменения ширины полосы частот случайного процесса

3.5 Выводы

4 ОЦЕНКА ПАРАМЕТРА СИГНАЛА ПРИ ОШИБКЕ В ВЫБОРЕ МОДЕЛИ

4.1 Постановка задачи и общие положения

4.2 Функционал отношения правдоподобия при ошибке в выборе модели

4.3 Характеристики оценки при регулярном принимаемом и разрывном прогнозируемом сигналах

4.4 Характеристики оценки при разрывном принимаемом и регулярном прогнозируемом сигналах

4.5 Характеристики оценки разрывного параметра при принимаемом и прогнозируемом сигналах различной формы

4.6 Выводы

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ПЕРЕЧЕНЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ И СОКРАЩЕНИЙ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

ПРИЛОЖЕНИЕ А

ПРИЛОЖЕНИЕ Б

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Синтез, анализ и моделирование алгоритмов определения скачкообразных изменений статистических характеристик случайных процессов в условиях параметрической априорной неопределенности»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность и разработанность темы исследования. Одним из современных направлений статистической радиотехники является разработка методов синтеза и анализа оптимальных алгоритмов обнаружения и измерения случайных процессов, статистические характеристики которых скачкообразно меняются в некоторый момент времени. Ситуации, когда момент скачкообразного изменения параметров сигнала априори неизвестен, могут возникать в радио- и гидролокации (при обнаружении отраженных от объекта с неизвестным местоположением сигналов), в связных системах (например, при приеме появляющихся в произвольный момент времени стартстопных комбинаций), в системах телеуправления и телесигнализации (например, при спорадической передаче управляющих сигналов в виде одиночных импульсов или кодовых групп) и т.д. При этом обработка таких сигналов зачастую реализуется приближенными эвристическими методами, а уверенный прием достигается либо за счет помехозащищенного кодирования, либо за счет избыточной энергии сигнала. Однако применение таких подходов имеет очевидные практические ограничения, связанные с допустимыми минимальной скоростью передачи информации и максимальной мощностью передатчика. Это приводит к необходимости использования статистических методов приема скачкообразно меняющихся сигналов для повышения помехоустойчивости и работоспособности системы приемо-передачи информации [12].

Если имеется полное в статистическом смысле описание наблюдаемой реализации информационного потока и могут быть количественно заданы потери при вынесении правильных и неправильных решений, то наиболее эффективным (обеспечивающим наилучшее качество функционирования) является применение байесовских алгоритмов [25, 26, 34, 38, 41, 42, 57, 80 и др.] обнаружения и измерения момента разладки и других неиз-

вестных информационных параметров анализируемого случайного процесса. Однако, на практике процедура синтеза байесовских обнаружителей и измерителей зачастую не может быть реализована вследствие имеющейся неопределенности относительно априорных вероятности наличия и вероятности отсутствия обнаруживаемого скачкообразного изменения, количественных значений потерь при принятии правильных и ошибочных решений, априорных законов распределения неизвестных параметров полезного сигнала и шума. В этой связи особую популярность приобрел метод максимального правдоподобия (МП) [25, 26, 34, 38, 41, 42, 53, 57, 80 и др.], требующий в отличие от байесовского меньшее количество априорных данных при своем применении и позволяющий синтезировать устройства обработки, эффективные или асимптотически эффективные (оптимальные) для широкого класса моделей сигналов, видов параметрических распределений и функций (матриц) потерь. Кроме того, структура МП обнаружителей и измерителей сигналов с неизвестными параметрами оказывается, как правило, технически существенно более простой по сравнению с оптимальными (байесовскими) аналогами.

Отметим, что для принятия решения о целесообразности использования на практике того или иного обнаружителя или измерителя недостаточно установить степень его оптимальности. Окончательный вывод здесь может быть сделан только после анализа количественных показателей эффективности его функционирования. При этом во многих случаях некоторые из априорных данных могут оказаться неточными, вследствие чего работа приемного устройства будет происходить в условиях, отличающихся от принятых при его синтезе. Таким образом, работоспособность синтезированных обнаружителей и измерителей как в ожидаемых, так и в изменившихся условиях может быть установлена только посредством расчета и сопоставления с требуемыми численных значений точностных характеристик предлагаемых алгоритмов обработки. Поскольку, математическая мо-

дель процесса со скачкообразным изменением характеристик содержит точки разрыва первого рода, то реализации функционала отношения правдоподобия (ФОП) и его логарифма могут оказаться недифференцируемы-ми (ни в каком вероятностном смысле) по некоторым текущим значениям неизвестных параметров. Такие процессы в литературе принято называть разрывными [15, 35, 53, 57]. Для аналитического определения качества функционирования алгоритмов обнаружения и оценивания при недиффе-ренцируемом логарифме ФОП будем использовать подход, основанный на аппроксимации решающей статистики или ее приращения в малой окрестности точки максимума ее регулярной составляющей марковским процессом диффузионного типа. Впервые такой подход, названный впоследствии методом локально-марковской аппроксимации, был применен в [39] для расчета характеристик оценки времени прихода видеоимпульса прямоугольной формы и далее обобщен в [15, 48, 49, 53, 57, 61] для разрывных квазидетерминированных и стохастических сигналов. В случае, если на основе метода локально-марковской аппроксимации не удается получить замкнутых аналитических выражений для моментов оценки неизвестного параметра, при анализе качества оценки будем использовать универсальную методику, предложенную в [17] и развитую в [67, 76]. С помощью данной методики в условиях высокой апостериорной точности удается найти скорость сходимости и предельное распределение оценки, если может быть записан явный вид ФОП.

Ряд задач по определению скачкообразного изменения статистических характеристик случайных процессов рассматривался и ранее, например, в обзорах [10, 20, 21, 45, 81], библиографиях [74, 77], монографиях [1,

12, 23, 31, 53, 62, 65] специальных выпусках [30, 33], диссертациях [4, 8,

13, 32] и др. В частности, в работах [6, 47, 54-56 и др.] выполнен синтез и анализ байесовских и максимально правдоподобных алгоритмов обнаружения и оценки неизвестных момента появления и/или исчезновения пря-

моугольного квазидетерминированного и стохастического (гауссовского) импульсного сигнала, наблюдаемого на фоне гауссовского белого шума. В работах [7, 14, 16, 50, 51] выполнено обобщение результатов [6, 47, 54-56] на случай приема импульсов с неизвестными временными и энергетическими параметрами. Ограниченность полученных здесь результатов состоит в предположении, что априори задано направление изменения (увеличение или уменьшение) значений энергетических параметров при разладке. В работах [28, 29] предложен общий подход, позволяющий синтезировать алгоритмы обнаружения и оценки параметров сигнала со скачкообразными изменениями в М (где М - произвольное число) случайных моментов времени; найдена структура и характеристики соответствующих обнаружителей и измерителей. Однако при этом для определения моментов разладки следует решать достаточно сложные нелинейные стохастические дифференциальные уравнения. В [1, 12, 22 и др.] для обнаружения скачкообразных изменений значений параметров квазидетерминирован-ных и стохастических сигналов рассмотрены различные варианты алгоритма кумулятивных сумм. К сожалению, их применение при наличии неизвестных параметров анализируемого случайного процесса, как правило, сводится к необходимости реализации вычислительно трудоемких итерационным процедур, работоспособных только при весьма малом уровне помех (больших отношениях сигнал/шум (ОСШ)). В ряде других работ [4, 8, 65 и др.] синтез алгоритмов определения скачкообразных изменений статистических характеристик реализации наблюдаемых данных выполнен в основном для некоторых узких классов случайных процессов (авторегрессии, с некоррелированными отсчетами и пр.). Это существенно снижает область применения полученных результатов. Кроме того, во многих указанных случаях остается открытым вопрос о количественных показателях эффективности предложенных алгоритмов. Наконец, в работах [60, 61] предложены достаточно общие подходы для получения технически про-

стых обнаружителей и измерителей разладки быстрофлуктуирующих гаус-совских сигналов в условиях параметрической априорной неопределенности с аналитическим определением качества их функционирования. Однако решенный там класс задач сводится к определению скачкообразного изменения неизвестного среднего значения низкочастотного случайного процесса и скачкообразного изменения неизвестной средней мощности высокочастотного случайного процесса.

Таким образом, актуальность темы диссертации обусловлена необходимостью развить общие подходы к синтезу технически простых алгоритмов определения скачкообразных изменений случайных процессов в условиях параметрической априорной неопределенности, предложить структурные схемы соответствующих обнаружителей и измерителей, а также разработать способы аналитического определения их эффективности при заданных условиях и процедуры имитационного моделирования их работы, позволяющие установить границы применимости полученных теоретических результатов.

Объектом исследования являются случайные процессы со скачкообразным изменением параметров в неизвестный момент времени.

Предметом исследования являются способы обнаружения и измерения момента разладки и неизвестных скачкообразно меняющихся параметров случайных процессов с аналитическим определением эффективности функционирования синтезированных приемных устройств.

Цель и задачи диссертационной работы. Целью работы является разработка способов и алгоритмов статистического анализа случайных процессов со скачкообразным изменением неизвестных параметров; получение с использованием развитых подходов структурно более простых (по сравнению с синтезированными на основе известных методик) обнаружителей и измерителей кусочно-стационарных стохастических сигналов с

аналитическим определением характеристик качества их функционирования.

Для реализации этой цели в работе поставлены и решены следующие основные задачи:

1) развита общая методика синтеза и анализа алгоритмов обработки быстрофлуктуирующих разрывных случайных сигналов в условиях параметрической априорной неопределенности.

На основе развитых подходов

2) предложены новые обнаружители и измерители скачкообразного изменения неизвестных параметров низкочастотных информационных процессов, допускающих практическую реализацию в виде одноканальных устройств;

3) найдены замкнутые аналитические выражения для точностных характеристик синтезированных обнаружителей и измерителей;

4) посредством статистического имитационного моделирования подтверждена работоспособность и эффективность синтезированных обнаружителей и измерителей, а также определены погрешности приближенных формул, описывающих качество их функционирования;

5) найдены потери в качестве оценки неизвестного параметра при ошибке в выборе модели принимаемого информационного сигнала.

Методы проведения исследования. При решении поставленных в диссертации задач использовались классические и современные методы статистической радиотехники, а именно, методы теории вероятностей и математической статистики, аппарат теории марковских случайных процессов, методы теории проверки статистических гипотез и теории оценок параметров (включая метод локально-марковской аппроксимации, метод Ибрагимова-Хасьминского и их обобщения), аналитические методы математического анализа, численные методы и методы программирования.

Экспериментальные исследования выполнялись методами статистического имитационного моделирования на ЭВМ.

Научная новизна. В данной работе получены следующие новые научные результаты:

1. Общие способы синтеза алгоритмов обнаружения и измерения скачкообразных изменений неизвестных параметров кусочно-стационарных быстрофлуктуирующих низкочастотных случайных процессов, основанные на пренебрежении величинами порядка и менее времени корреляции наблюдаемого случайного процесса. Использование предложенных подходов позволяет получать практически реализуемые алгоритмы обработки, технически более простые по сравнению с известными аналогами.

2. Методика статистического анализа алгоритмов обнаружения и измерения разладки быстрофлуктуирующих низкочастотных случайных процессов с неизвестными параметрами, с применением которой удается найти аналитические формулы для теоретического расчета характеристик их функционирования, в том числе с учетом аномальных эффектов.

3. Новая методика аналитического определения предельных законов распределения и моментов оценки параметра сигнала при ошибке в выборе типа (регулярности) модели. Найденные на основе данной методики новые скорости сходимости оценок параметров сигналов при различных свойствах регулярности моделей принимаемого и опорного сигналов.

4. Полученные с помощью указанных методов новые алгоритмы обработки кусочно-стационарных низкочастотных случайных процессов со скачкообразно изменяющимися параметрами, а именно:

- адаптивный (по методу максимального правдоподобия) алгоритм обнаружения скачкообразного изменения неизвестной средней мощности случайного процесса,

- максимально правдоподобный алгоритм оценки момента скачкообразного изменения неизвестной средней мощности случайного процесса и ее значений до и после разладки,

- адаптивный (по методу максимального правдоподобия) алгоритм обнаружения скачкообразного изменения неизвестных среднего значения и средней мощности случайного процесса,

- максимально правдоподобный алгоритм оценки момента разладки и неизвестных скачкообразно меняющихся среднего значения и средней мощности случайного процесса,

- адаптивный (по методу максимального правдоподобия) алгоритм обнаружения неизвестного скачкообразного изменения полосы частот случайного процесса,

- максимально-правдоподобный алгоритм оценки момента разладки и неизвестного скачкообразного изменения полосы частот случайного процесса,

а также характеристики эффективности этих алгоритмов.

5. Методики статистического имитационного моделирования алгоритмов обработки разрывных случайных процессов с неизвестными параметрами, позволяющие экономить машинное время при реализации соответствующих обнаружителей и измерителей на ЭВМ, а также повысить быстродействие проектируемых радиотехнических систем.

Достоверность результатов работы и обоснованность представленных основных положений и выводов подтверждаются корректным применением математического аппарата статистической радиотехники, статистическим моделированием на ЭВМ, а также совпадением полученных в диссертации новых результатов с известными ранее в ряде частных и предельных случаев.

Теоретическая и практическая значимость результатов, полученных в диссертационной работе, заключается в том, что они могут

быть использованы для проектирования новых и усовершенствования имеющихся радиотехнических систем (радиолокации, связи, мониторинга, технической диагностики и др.), реализующих в процессе своего функционирования процедуры обнаружения и измерения разрывных случайных процессов с неизвестными параметрами. Найденные в работе аналитические выражения для количественного расчета показателей эффективности работы предлагаемых измерителей и обнаружителей стохастических сигналов, характеристики которых описываются ступенчатыми функциями, позволяют сделать обоснованный выбор между этими и другими устройствами обработки в зависимости от ограничений, обусловленных требуемыми точностными характеристиками устройства обработки и возможностями его технической реализации, а также в зависимости от объема имеющихся априорных данных. Результаты работы могут быть использованы при

- обработке радио-, гидролокационных и оптических сигналов,

- проектировании перспективных локационных и связных систем, использующих в качестве информационных сигналов импульсы с шумовой несущей,

- проектировании систем мониторинга радиосигналов сложной формы, систем телеуправления и телесигнализации,

- анализе сигналов в технической и медицинской диагностике,

- исследовании физических и статистических свойств природных и искусственных объектов по их спонтанным и вынужденным импульсным откликам,

- аппаратурном анализе случайных процессов.

Основные результаты и положения, выносимые на защиту:

- применение развитых методик статистического синтеза алгоритмов обработки случайных процессов в условиях быстрых флуктуаций реализации наблюдаемых данных позволяет разрабатывать обнаружители и изме-

рители скачкообразных изменений статистических характеристик анализируемых стохастических сигналов в условиях различной параметрической априорной неопределенности, с возможностью их практической реализации в виде одноканальных устройств, технически более простых по сравнению с получаемыми на основе известных подходов;

- разработанные методики статистического анализа алгоритмов обработки информационных случайных процессов со скачкообразным изменением в неизвестный момент времени одного или нескольких неизвестных параметров позволяют (в отличие от известных способов) теоретически рассчитать количественные характеристики качества их функционирования, в том числе с учетом аномальных эффектов;

- предложенные новые максимально правдоподобные алгоритмы обработки кусочно-стационарных случайных процессов позволяют практически реализовывать обнаружители и измерители их момента разладки и неизвестных скачкообразно меняющихся параметров с минимальными требованиями к аппаратным ресурсам и в условиях высокой апостериорной точности, если удается достичь выходных ОСШ, больших 4;

- найденные приближенные (асимптотически точные) формулы для характеристик эффективности функционирования синтезированных алгоритмов обработки кусочно-стационарных случайных процессов удовлетворительно описывают соответствующие реальные характеристики в широком диапазоне выходных ОСШ и дают возможность теоретически сделать обоснованный выбор между предложенными и другими алгоритмами в зависимости от требований, предъявляемых к степени простоты аппаратурной реализации алгоритма обработки и качеству его работы;

- разработанные методики моделирования синтезированных алгоритмов обнаружения и измерения разладки информационных случайных процессов позволяют оптимизировать вычислительные и временные затраты при программной и аппаратной реализации алгоритмов, полученные с

их помощью экспериментальные результаты подтверждают корректность и достоверность сформулированных в работе теоретических выводов и рекомендаций;

- развитый метод статистического анализа характеристик оценки информационного параметра сигнала при различных свойствах регулярности принимаемого и опорного сигналов позволяет аналитические (в отличие от известных результатов) определить потери в точности выносимой оценки, синтезированной с помощью байесовского или максимально правдоподобного подходов, при ошибке в выборе модели анализируемого процесса.

Достоверность полученных результатов подтверждается применением апробированных современных математических методов статистической радиотехники, удовлетворительным согласованием представленных теоретических расчетов с экспериментальными данными, полученными с помощью статистического моделирования на ЭВМ, совпадением полученных в диссертации новых результатов с известными ранее в ряде частных и предельных случаев.

Соответствие паспорту специальности. Диссертационное исследование соответствует пункту 1 «Разработка и исследование методов и алгоритмов обработки радиосигналов в радиосистемах телевидения и связи при наличии помех. Разработка методов разрушения и защиты информации» и пункту 7 «Разработка методов и устройств передачи, приема, обработки, отображения и хранения информации. Разработка перспективных информационных технологий, в том числе цифровых, а также с использованием нейронных сетей для распознавания изображений в радиотехнических устройствах» паспорта специальности 05.12.04 - «Радиотехника, в том числе системы и устройства телевидения».

Тема и содержание диссертации соответствуют отрасли технических

наук.

Внедрение научных результатов. Представленные в диссертационной работе результаты использовались при выполнении проектной части государственного задания Министерства образования и науки РФ (проект № 2.3208.2017/4.6).

Апробация работы. Результаты исследований, приведенные в диссертации, были представлены в виде докладов и обсуждались на

1. 11-й и 12-й Международной конференции «ELEKTRO», Словакия, 2016 г., 2018 г.

2. Международных научно-технических семинарах с элементами научной школы для молодых ученых «Методы статистического синтеза, анализа и моделирования алгоритмов обработки сигналов, изображений и полей», «Обнаружение изменений свойств сигналов и динамических систем», Москва, 2016 г.

3. 4-й Международной конференции по машиностроению и технологиям роста машиностроения (METMG 2017), Сингапур, 2017 г.

4. 3-й Международной конференции по вопросам обработки сигналов (ICFSP2017), Франция, 2017 г.

5. Международной научно-технической конференции «INTERMATIC-2017», Москва, 2017 г.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 научных работ [82-91], в том числе 3 статьи [82, 89, 90] в журналах, включенных в Перечень рецензируемых научных изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени кандидата наук, на соискание ученой степени доктора наук, 4 текста докладов [84, 85, 87, 88] в сборниках трудов международных научных конференций, индексируемых в международных базах Web of Science/Scopus, 1 статья [86] в журнале, индексируемом в международной базе MathSciNet, 1 текст доклада [83] в сборнике материалов международ-

ной научно-технических конференции, индексируемом в РИНЦ, 1 патент на изобретение [91].

Личный вклад соискателя. Соискателем самостоятельно найдены базовые выражения для решающих статистик алгоритмов статистического анализа скачкообразных изменений низкочастотных гауссовских процессов в условиях параметрической априорной неопределенности. При разработке новых алгоритмов обнаружения и оценки момента разладки и скачкообразно изменяющихся параметров случайных процессов соискателю принадлежит конкретизация решения задач синтеза, анализ и интерпретация полученных результатов в виде радиотехнических устройств, а также проведение моделирования на ЭВМ синтезированных алгоритмов обработки. Основные результаты, представленные в диссертации, получены соискателем лично.

Краткое содержание диссертации. Диссертация состоит из введения, 4 разделов, заключения, списка использованных источников, состоящего из 91 наименования, двух приложений. Объем диссертации составляет 156 страниц, включая 122 страницы основного текста, 11 страниц списка использованных источников, 23 страницы приложений.

В первом разделе рассмотрены технически простые способы обнаружения скачкообразного изменения в неизвестный момент времени неизвестной средней мощности быстрофлуктуирующего низкочастотного случайного процесса и измерения указанных параметров. Приведены структурные схемы соответствующих обнаружителя и измерителя в виде одно-канальных устройств. Используя модификацию метода локально-марковской аппроксимации, представлены аналитические способы расчета характеристик синтезированных алгоритмов обработки, в том числе с учетом аномальных эффектов. С помощью статистического имитационного моделирования установлено, что предложенная методика статистического анализа разладки случайных процессов с неизвестными параметрами в ус-

ловиях быстрых флуктуаций является работоспособной, получаемые на ее основе обнаружители и измерители - технически простыми и достаточно эффективными, а найденные теоретические выражения для вероятностей ложной тревоги и пропуска сигнала (в задаче обнаружения) и условных смещений (систематических ошибок) и рассеяний (средних квадратов ошибок) выносимых оценок неизвестных момента разладки и средней мощности случайного процесса (в задаче оценивания) демонстрируют удовлетворительное согласование с соответствующими экспериментальными данными в широком диапазоне значений параметров наблюдаемого случайного процесса.

Во втором разделе выполнен синтез, анализ и моделирование алгоритмов обнаружения и измерения скачкообразного изменения неизвестных среднего значения и средней мощности быстрофлуктуирующего низкочастотного случайного процесса в неизвестный момент времени. Предложены новые асимптотические выражения для логарифма ФОП и его адаптивных вариантов (после максимизации по неизвестным регулярным параметрам) при различных гипотезах. Разработаны одноканальные технически простые структурные схемы соответствующих обнаружителя и измерителя. С помощью выполненного обобщения метода локально-марковской аппроксимации получены приближенные формулы для характеристик качества обнаружения (вероятностей ложной тревоги и пропуска сигнала) и оценивания (условных смещений и рассеяний оценок момента разладки, среднего значения и средней мощности). Представлены способы нахождения плотности вероятности и моментов ошибок оценки разрывного параметра (момента скачкообразного изменения) с учетом аномальных эффектов. Методами статистического имитационного моделирования на ЭВМ установлено удовлетворительное согласование полученных теоретических результатов с соответствующими экспериментальными данными.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Голпайегани Лейла Абдолмаджид, 2019 год

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Бассвиль, М. Обнаружение изменений свойств сигналов и динамических систем / М. Бассвиль, А. Вилски, А. Бадвентист и др.; под ред. М. Бассвиль, А. Банвентиста. - М.: Мир, 1989. - 278 с.

2. Бендат, Дж. Измерение и анализ случайных процессов / Дж. Бен-дат, А. Пирсол. - М.: Мир, 1974. - 464 с.

3. Богданович, В. А. Теория устойчивого обнаружения, различения и оценивания сигналов / В. А. Богданович, А.Г. Вострецов. - М.: Физматлит, 2004. - 320 с.

4. Буркатовская, Ю.Б. Обнаружение разладок и оценивание параметров авторегрессионных процессов по зашумленным наблюдениям / Ю.Б. Буркатовская // Дисс. на соиск. уч. ст. канд. физ.-мат. наук: 05.13.16. -Томск, 2000. - 138 с.

5. Быков, В.В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике / В.В. Быков. - М.: Сов. радио, 1971. - 326 с.

6. Ванжа, A.B. Оптимальное оценивание момента появления импульсного возмущения сигнала в дискретном времени / A.B. Ванжа, A.A. Мальцев, A.M. Силаев // Известия высших учебных заведений. Радиофизика. - 1993. - Т. 36. - № 6. - С. 498-511.

7. Ванжа, А.В. Оптимальное оценивание импульсных сигналов со случайными амплитудами и моментами появления / A.B. Ванжа, A.M. Силаев // Известия высших учебных заведений. Радиофизика. - Т. 38. - 1995. - № 12. - С. 1257-1266.

8. Воробейчиков, С.Э. Последовательное обнаружение моментов разладки случайных процессов / С.Э. Воробейчиков // Дисс. на соиск. уч. ст. докт. физ.-мат. наук: 05.13.16. - Томск, 2000. - 249 с.

9. Галун, С. А. Применение уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова для анализа обработки разрывных сигналов / С. А. Галун // В кн.: Прикладная математика и механика. - Саратов: СГУ, 1983. - С. 75-87.

10. Гришин, Ю.П. Обнаружение нарушений в динамических системах / Ю.П. Гришин // Зарубежная радиоэлектроника. - 1981. - № 5. - С. 4253.

11. Ермаков, С.М. Статистическое моделирование / С.М. Ермаков, Г. А. Михайлов. - М.: Наука, 1982. - 296 с.

12. Жиглявский, А. А. Обнаружение разладки случайных процессов в задачах радиотехники / А. А. Жиглявский, А.Е. Красковский. - Л.: ЛГУ, 1988. - 224 с.

13. Житлухин, М.В. Последовательные методы проверки статистических гипотез и обнаружения разладки / М.В. Житлухин // Дисс. на соиск. уч. ст. канд. физ.-мат. наук: 01.01.05. - Москва, 2013. - 98 с.

14. Захаров, А.В. Оценка параметров скачкообразного случайного возмущения с неизвестным моментом появления / А.В. Захаров // Вестник Воронежского государственного университета. Серия Физика. Математика. - 2008. - № 1. - С. 17-28.

15. Захаров, А.В. Применение локально-аддитивной аппроксимации для анализа характеристик совместных оценок параметров сигналов при частичном нарушении условий регулярности решающей статистики / А.В. Захаров // Вестник Воронежского государственного университета. Серия Физика. Математика. - 2004. - № 2. - С. 38-53.

16. Захаров, А.В. Обнаружение скачкообразного случайного возмущения / А.В. Захаров, А.П. Трифонов, Е.В. Проняев // Известия РАН. Теория и системы управления. - 2001. - № 6. - С. 29-37.

17. Ибрагимов, И. А. Асимптотическая теория оценивания / И. А. Ибрагимов, Р.З. Хасьминский. - М.: Наука, 1979. - 528 с.

18. Ибрагимов, И. А. Оценка параметра сигнала в гауссовском белом шуме / И.А. Ибрагимов, Р.З. Хасьминский // Проблемы передачи информации. - 1974. - Т. 10. - Вып. 1. - С. 39-59.

19. Ибрагимов, И.А. Оценка параметра разрывного сигнала в белом гауссовском шуме / И.А. Ибрагимов, Р.З. Хасьминский // Проблемы передачи информации. - 1975. - Т. 11. - Вып. 3. - С. 31-43.

20. Кириченко, А.А. Оценивание параметров движения маневрирующих объектов / А.А. Кириченко, Т.А. Коломейцева, В.П. Логинов, И.Г. Тихомирова // Зарубежная радиоэлектроника. - 1983. - № 4. - С. 3-30.

21. Клигене, Н. Методы обнаружения моментов изменения свойств случайных процессов / Н. Клигене, Л. Телькснис // Автоматика и телемеханика. - 1983. - Вып. 10. - С. 5-56.

22. Козинов, И.А. Модифицированный алгоритм обнаружения разладки случайного процесса и его применение при обработке многоспектральных данных / И.А. Козинов, Г.Н. Мальцев // Информационно-управляющие системы. - 2012. - № 3. - С. 9-17.

23. Конев, В.В. Последовательные оценки параметров стохастических динамических систем / В.В. Конев, Ф.П. Тарасенко. - Томск: Изд-во ТГУ, 1985. - 267 с.

24. Крамер, Г. Стационарные случайные процессы / Г. Крамер, М. Лидбеттер. - М.: Мир, 1969. - 400 с.

25. Куликов, Е.И. Оценка параметров сигналов на фоне помех / Е.И. Куликов, А.П. Трифонов. - М.: Сов. радио, 1978. - 296 с.

26. Левин, Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники / Б .Р. Левин. - М.: Сов. Радио, 1969. - 752 с.

27. Малахов, А.Н. Кумулянтный анализ случайных негауссовых процессов и их преобразований / А.Н. Малахов. - М.: Сов. радио, 1978. - 376 с.

28. Мальцев, A.A. Оптимальное обнаружение сигналов со случайными скачкообразными изменениями параметров / A.A. Мальцев, A.M. Силаев // Радиотехника и электроника. - 1987. - Т. 32. - № 6. - С. 1241-1250.

29. Мальцев, A.A. Оптимальное оценивание моментов случайных скачкообразных изменений параметров сигналов / A.A. Мальцев, A.M. Силаев // Радиотехника и электроника. - 1989. - Т. 34. - № 5. - С. 1023-1033.

30. Методы распознавания случайных процессов // Статистические проблемы управления. - Вильнюс, 1990. - Вып. 89. - С. 3-235.

31. Никифоров, И.В. Последовательное обнаружение изменения свойств временных рядов / И.В. Никифоров. - М.: Наука, 1983. - 200 с.

32. Николаев, Н.А. Методы обнаружения и оценивания моментов разладок в задачах идентификации стохастических объектов / Н.А. Николаев // Дисс. на соиск. уч. ст. канд. физ.-мат. наук: 01.01.09. - Ульяновск, 1999. - 118 с.

33. Обнаружение изменений свойств случайных процессов. // Статистические проблемы управления. - Вильнюс, 1984. - Вып. 65. - С. 9-243.

34. Перов, А.И. Статистическая теория радиотехнических систем / А.И. Перов. - М.: Радиотехника, 2003. - 400 с.

35. Прикладная теория случайных процессов и полей / Васильев К.К., Драган Я.П., Казаков В.А. и др.; под ред. К.К. Васильева, В.А. Омель-ченко. - Ульяновск: УлГТУ, 1995. - 256 с.

36. Справочник по специальным функциям / Под ред. М. Абрамови-ца и И. Стиган. - М.: Наука, 1979. - 832 с.

37. Стратонович, Р. Л. Избранные вопросы теории флуктуаций в радиотехнике / Р. Л. Стратонович. - М.: Сов. радио, 1961. - 560 с.

38. Теория обнаружения сигналов / П.С. Акимов, П.А. Бакут, В.А. Богданович и др.; под ред. П.А. Бакута. - М.: Радио и связь, 1984. - 440 с.

39. Терентьев, А. С. Распределение вероятности временного положения абсолютного максимума на выходе согласованного фильтра / А.С. Те-рентьев // Радиотехника и электроника. - 1968. - Т.13. - № 4. - С. 652-657.

40. Тихонов, В.И. Выбросы случайных процессов / В.И. Тихонов. -М.: Наука, 1970. - 392 с.

41. Тихонов, В.И. Статистическая радиотехника / В.И. Тихонов. -М.: Сов. Радио, 1966. - 680 с.

42. Тихонов, В.И. Оптимальный прием сигналов / В.И. Тихонов. -М.: Радио и связь, 1983. - 320 с.

43. Тихонов, В.И. Марковские процессы / В.И. Тихонов, М.А. Миронов. - М.: Сов. радио, 1977. - 488 с.

44. Тихонов, В.И. Выбросы траекторий случайных процессов / В.И. Тихонов, В.И. Хименко. - М.: Наука, 1987. - 340 с.

45. Торговицкий, И.Ш. Методы определения момента изменения вероятностных характеристик случайных величин / И.Ш. Торговицкий // Зарубежная радиоэлектроника. - 1976. - № 1. - С. 3-52.

46. Трифонов, А.П. Характеристики совместных оценок параметров сигнала при частичном нарушении условий регулярности / А.П. Трифонов, В.К. Бутейко // Радиотехника и электроника. - 1991. - Т. 36. - № 2. - С. 319-327.

47. Трифонов, А.П. Прием сигнала с неизвестной временной задержкой при наличии модулирующей помехи / А.П. Трифонов, А.В. Захаров // Известия высших учебных заведений. Радиоэлектроника. - 1986. - Т.29. -№4. - С 36-41.

48. Трифонов, А.П. Эффективность совместных оценок параметров сигналов при нарушении условий регулярности решающей статистики / А.П. Трифонов, А.В. Захаров // Вестник Воронежского государственного университета. Серия Физика. Математика. - 2002. - № 1. - С. 59-68.

49. Трифонов, А.П. Асимптотические характеристики совместных оценок параметров сигнала / А.П. Трифонов, А.В. Захаров, А.М. Воробьев // Вестник Воронежского государственного университета. Серия Физика. Математика. - 2003. - № 2. - С. 77-92.

50. Трифонов, А.П. Эффективность приема случайного импульсного сигнала с неизвестными параметрами / А.П. Трифонов, А.В. Захаров, В.И. Парфенов // Радиотехника и электроника. - 1991. - Т. 36. - № 7. - С. 13001308.

51. Трифонов, А.П. Оценка дисперсии случайного импульса с неизвестным временем прихода / А.П. Трифонов, А.В. Захаров, О.В. Чернояров // Радиотехника и электроника. - 1996. - Т. 41. - № 10. - С. 1207-1210.

52. Трифонов, А.П. Эффективность оценки длительности сигнала с неизвестной амплитудой / А.П. Трифонов, Ю.Э. Корчагин, П.А. Кондратович // Известия высших учебных заведений. Радиоэлектроника. - 2011. - Т. 54. - № 11. - С. 3-12.

53. Трифонов, А.П. Обнаружение стохастических сигналов с неизвестными параметрами / А.П. Трифонов, Е.П. Нечаев, В.И. Парфенов. -Воронеж: ВГУ, 1991. - 246 с.

54. Трифонов, А.П. Оптимальный прием сигнала с неизвестной длительностью на фоне белого шума / А.П. Трифонов, В.И. Парфенов, Д.В. Мишин // Известия высших учебных заведений. Радиофизика. - 1997. - Т. 40. - № 12. - С. 1531-1541.

55. Трифонов, А.П. Оптимальный прием стохастического сигнала с неизвестной длительностью на фоне белого шума / А.П. Трифонов, В.И. Парфенов, Д.В. Мишин // Известия высших учебных заведений. Радиофизика. - 2001. - Т. 44. - № 10. - С. 889-902.

56. Трифонов, А.П. Оптимальное оценивание момента появления импульсного сигнала со случайной субструктурой / А.П. Трифонов, О.В.

Чернояров // Известия высших учебных заведений. Радиофизика. - 1998. -Т. 41. - № 8. - С. 1058-1069.

57. Трифонов, А.П. Совместное различение сигналов и оценка их параметров на фоне помех / А.П. Трифонов, Ю.С. Шинаков. - М.: Радио и связь, 1986. - 264 с.

58. Федорюк, М.В. Метод перевала / М.В. Федорюк. - М.: Наука, 1977. - 368 с.

59. Чернояров, О.В. Статистический анализ случайных импульсных сигналов на фоне белой и коррелированной помех с неизвестными интен-сивностями / О.В. Чернояров // В кн.: Инфокоммуникационные системы и технологии: проблемы и перспективы; под ред. А.В. Бабкина. - СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2007. - С. 185-247.

60. Чернояров, О.В. Разладка математического ожидания быстроф-луктуирующего гауссовского процесса с неизвестной интенсивностью / О.В. Чернояров, Сай Си Ту Мин // Вестник Московского энергетического института. - 2016. - № 4. - С. 135-142.

61. Чернояров, О. В. Разрывные сигналы с неизвестными параметрами. Статистический анализ информационных процессов со скачкообразным изменением характеристик / О.В. Чернояров, А.В. Сальникова, Сай Си Ту Мин. - LAP LAMBERT Academic Publishing GmbH&Co. KG. - 172 с.

62. Ширяев, A.H. Статистический последовательный анализ / А.Н. Ширяев. - M.: Наука, 1976. - 231 с.

63. Abrahams, J.A. Survey of Recent Progress on Level-Crossing Problems for Random Process / J.A. Abrahams // Communications and Networks. A Survey of Recent Advances. - New York: Springer-Verlag, 1986. - P. 6-25.

64. Akhouayri, E.-S. Signal stationary testing and detecting of its abrupt change / E.-S. Akhouayri, E.H.A. Laasri, D. Agliz, A. Atmani // Electronics, Communications and Photonics Conference (SIECPC), 2011 Saudi International: Riyadh Saudi Arabia, 2011, pp. 1-5.

65. Basseville, M. Detection of Abrupt Changes: Theory and Application / M. Basseville, I.V. Nikiforov. - New Jersey: Prentice-Hall, 1993. - 447 p.

66. Chernoyarov, O.V. On parameter estimation for cusp-type signals / O.V. Chernoyarov, S. Dachian, Y.A. Kutoyants // Annals of the Institute of Statistical Mathematics, vol. 70, 2018, no. 1, pp. 39-62.

67. Chernoyarov, O.V. On parameter estimation for cusp-type signals / O.V. Chernoyarov, Y.A. Kutoyants, A.P. Trifonov // Electronic Journal of Statistics, vol. 12, 2018, no. 1, pp. 80-106.

68. Chernoyarov, O.V. Definition of probability characteristics of the absolute maximum of non-Gaussian random processes by example of Hoyt process / O.V. Chernoyarov, A.V. Salnikova, Y.A. Kupriyanova // American Journal of Theoretical and Applied Statistics, vol. 2, 2013, no. 3, pp. 54-60.

69. Chernoyarov, O.V. Statistical characteristics of the magnitude and location of the greatest maximum of Markov random process with piecewise constant drift and diffusion coefficients / O.V. Chernoyarov, A.V. Salnikova, A.E. Rozanov, M. Marcokova // Applied Mathematical Sciences, vol. 8, 2014, no. 147, pp. 7341-7357.

70. Chernoyarov, O.V. The decision statistics of the Gaussian signal against correlated Gaussian interferences / O.V. Chernoyarov, M.M. Shahmora-dian, K.S. Kalashnikov // 2016 International Conference on Mathematical, Computational and Statistical Sciences and Engineering (MCSEE2016): proceedings. Shenzhen, China, October 30-31, 2016. - P. 426-431.

71. Devroye, L. Non-uniform Random Variate Generation / L. Devroye. -New York: Springer-Verlag, 1986. - 843 p.

72. Durbin, J. The first-passage density of a continuous Gaussian process to a general boundary / J. Durbin // Journal of Applied Probability, vol. 22, 1985, no. 1, pp. 99-122.

73. Kailath, T. Some integral equations with nonrational kernals / T. Kailath // IEEE Transactions on Information Theory, vol. 12, 1966, no. 4, pp. 442-447.

74. Kassam, S.A. A bibliography on nonparametric detection / S.A. Kas-sam // IEEE Transactions on Information Theory, vol. 26, 1980, no. 5, pp. 595602.

75. Kordzakhia, N.E. On limit distributions of estimators in irregular statistical models and a new representation of fractional Brownian motion / N.E. Kordzakhia, Y.A. Kutoyants, A.A. Novikov, L.-Y. Hin // Statistics and Probability Letters, vol. 139, August 2018, pp. 141-151.

76. Kutoyants, Y.A. Identification of Dynamical Systems with Small Noise / Y.A. Kutoyants. - Dordrecht: Kluwer Academic Publisher, 1994. - 301 p.

77. Shaban, S.A. Change point problem and two-phase regression: an annotated bibliography / S.A. Shaban // International Statistical Review, vol 48, 1980, no. 1, p. 83-93.

78. Shepp, L.A. Radon-Nykodym derivaties of Gaussian measures / L.A. Shepp // The Annals of Mathematical Statistics, vol. 37, 1966, no. 4, pp. 321354.

79. Slepian, D. First passage time for a particular Gaussian process / D. Slepian // The Annals of Mathematical Statistics, vol. 32, 1961, no. 2, pp. 610612.

80. Van Trees, H.L. Detection, Estimation, and Modulation Theory. Part I. Detection, Estimation and Filtering Theory / H.L. van Trees, K.L. Bell, Z. Tian. - New York: Wiley, 2013. - 1176 p.

81. Willsky, A.S. A survey of design methods for failure detection in dynamical systems / A.S. Willsky // Automática, Journal of IFAC, vol. 12, 1976, no. 6, pp. 601-611.

82. Литвиненко, В.П. Вероятностные характеристики абсолютного максимума гауссовского случайного процесса / В.П. Литвиненко, О.В. Чернояров, Л.А. Голпайегани // Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2017. - Т. 13. - № 4. - С. 59-62.

83. Чернояров О.В. Асимптотически эффективная и несмещенная оценка центральной частоты спектральной плотности стохастического сигнала / О.В. Чернояров, Л.А. Голпайегани, А. А. Макаров, А.Н. Фаульга-бер // Фундаментальные проблемы радиоэлектронного приборостроения / Материалы Международной научно-технической конференции «INTERMATIC-2017». - М.: МГТУ МИРЭА - ИРЭ РАН, 2017, часть 4. -С. 905-908.

84. Chernoyarov O.V. The comparative analysis of estimates of the time discontinuous parameter of the random pulse synthesized using Bayesian and maximum-likelihood approaches / O.V. Chernoyarov, L.A. Golpayegani, M. Kuba, A.V. Salnikova // 11th International Conference "ELEKTRO 2016": proceedings. Strbske Pleso-High Tatras, Slovakia, May 16-18, 2016. - Zilina, 2016. - P. 518-522.

85. Chernoyarov O.V. The single-channel measurer of the time of appearance and the duration of the fast-fluctuating stochastic signal / O.V. Chernoyarov, L.A. Golpayegani, A.V. Salnikova, A.V. Ostankov // 2017 4th International Conference on Manufacturing Engineering and Technology for Manufacturing Growth (METMG 2017): proceedings. Singapore, Singapore, May 7-8, 2017. - Bellflower, USA, 2017. - P. 17-22.

86. Chernoyarov O.V. Detection and measurement of the fast-fluctuating Gaussian random process dispersion abrupt change / O.V. Chernoyarov, M. Vaculik, A.V. Salnikova, L.A. Golpayegani // International Journal of Control Theory and Applications, vol. 10, 2017, no. 32, pp. 261-276.

87. Salnikova A.V. On probability of the Gaussian random processes crossing the barriers / A.V. Salnikova, O.V. Chernoyarov, L.A. Golpayegani //

2017 3rd International Conference on Frontiers of Signal Processing (ICFSP 2017): proceedings. Paris, France, September 6-8, 2017. - Paris, 2017. - P. 1-7.

88. Salnikova A.V. The radio signal phase estimate efficiency under the fast fades / A.V. Salnikova, O.V. Chernoyarov, L.A. Golpayegani, A.V. Zak-harov // 12th International Conference "ELEKTRO 2018": proceedings. Miku-lov, Czech Republic, May 21-23, 2018. - Zilina, Slovakia, 2018. - P. 1-7.

89. Голпайегани Л.А. Обнаружение неизвестного скачкообразного изменения энергетических параметров гауссовского процесса / Л.А. Голпайегани, К.С. Калашников, М.М. Шахморадиан // Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Физика. Математика. - 2019. - № 1. - С. 15-28.

90. Матвеев Б.В. Обнаружение неизвестного скачкообразного изменения ширины полосы частот гауссовского процесса / Б.В. Матвеев, Л.А. Голпайегани, М.М. Шахморадиан // Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2019. - Т. 15. - № 2. - 9 с.

91. Чернояров О.В. Устройство для измерения временного положения и длительности случайного импульсного сигнала / О.В. Чернояров, Ю.А. Кутоянц, А.В. Сальникова, Л.А. Голпайегани, Е.А. Пчелинцев // Патент на изобретение № 2655465, Россия, МПК G04F10/00, G01R29/02 (заявка № 2017113857, дата подачи заявки 21.04.2017, опубликовано 28.05.2018).

Приложение А

ВЕРОЯТНОСТЬ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ БАРЬЕРОВ ГАУССОВСКИМИ СЛУЧАЙНЫМИ ПРОЦЕССАМИ

Постановка задачи

Задача определения предельных характеристик гауссовских случайных процессов имеет широкие приложения в статистической радиофизике и радиотехнике, теории надежности, анализе предельных отклонений с устойчивости технических систем и т.д. В известной литературе получен ряд конструктивных результатов, связанных с пересечением барьеров гауссовскими случайными процессами [12, 40, 43, 44, 72 и др.]. Показано, что вид функции распределения

F(h) = P[ sup 4(t)< h] (А.1)

te[0,r ]

абсолютного максимума гауссовского случайного процесса 4(() зависит от существования его непрерывной производной. Ниже приведены общие формулы для функций распределения абсолютного максимума нестационарного дифференцируемого и недифференцируемого гауссовского случайного процесса.

Распределение абсолютного максимума дифференцируемого гауссовского случайного процесса

Рассмотрим нестационарный гауссовский случайный процесс 4(t ) с математическим ожиданием m(t)=(4,(t)) и корреляционной функцией

B(t1, 12 ) = ([[1) - m((1 )][(t2 ) - m(t2 )]], непрерывный в среднеквадратическом вместе с первой производной 4 (t ).

Обозначим П(к, т) - среднее число выбросов реализации ) за уровень к в элементарном интервале [, Т + &]. Положим, что порог к достаточно велик, т.е.

к - т(т)>>а(т), Т е [0,Т],

где а2() = В(,Т) - дисперсия процесса ). Тогда поток выбросов реализации £,(() за уровень к можно приближенно считать пуассоновским. К тому же выбросы на различных элементарных интервалах будут приближенно статистически независимы [24, 44]. Следовательно, вероятность непревышения порога к приближенно равна

(А.2)

Р[ Бир ^)< к]« ехр[- П(к)].

Те[0,Т ]

Т

где П(к )= |0 П(к, Т) Ж .

Общая формула для среднего числа выбросов нестационарного гауссовского случайного процесса получена в [40]:

[к - т(( )]2

П(к, Г ) = ^В2()ехр-

2ла2(()

2а2 (()

ехр

М2 (()

2

+

л/2^м1()ф[м1()]

, (А.3)

где

В2 ()= а 2 ()

д 2 В((Ь*2 ) "дВ(1,^ )

д ^д т2 t _ дт2 _

М1 () =

1

а

а2 +[к - т()

дВ(^, 12 )"

д и

а Ф(х) - интеграл вероятности (1.37).

В общем случае функция в правой части (А.2) не является неубывающей функцией к. Поэтому для произвольных к в качестве аппроксимации функции распределения абсолютного максимума процесса £,(() можно использовать выражение [82]

г

г

F (h )

ехр[-П(h)] , h > hmin,

0 .

h < h ■ min

(А.4)

где hmin - наименьшее значение h, для которого при любых s > 0 выполняется неравенство n(h ) > n(h + s).

Аппроксимация (А.4) функции распределения наибольших значений является приближенной, однако ее точность возрастает по мере увеличения h и T [24, 44]. При малых значениях h и T аппроксимация (А.4) может оказаться слишком грубой. Поскольку при T ^ 0 распределение наибольших значений процесса £,(t ) сходится к гауссовскому распределению, то аналогично [38] вместо (А.4) можно использовать также аппроксимацию вида [82]

Fg(h)exp[-n(h)] , h >hmin,

FG (hmin

)exp[ Г)(hmin )] h < hmin, где Fg (h)=0[(h - w(0))/a(0)] - функция распределения гауссовской

случайной величины с параметрами ~ N (m(0), а2 (0)). Аппроксимация (А.5) в отличие от (А.4) асимптотически точна не только при T ^ да, но и при T ^ 0. При больших значениях h и T аппроксимации (А.4) и (А.5) практически совпадают.

Формулы (А.4), (А.5) очевидным образом обобщаются на случай порога h(t ), зависящего от времени.

Если гауссовский случайный процесс является стационарным, так что m(t)= m , а2(t) = а2, B(tbt2) = B(t2 - ^), то формула (А.5) существенно

F (h )

(А.5)

упрощается и принимает вид [38]

F (h )

fg (h)exP Fg (m)exp

a 2л

exp

(h - m )2

a

2л

h > m

h < m

(А.6)

Здесь а = Т/хс , а хс = а/й2В(х)/йх2

- величина,

х=0

характеризующая время корреляции (эквивалентную ширину спектра) процесса £,(().

Формула (А.6) обладает удовлетворительной точностью при произвольных а и к > т + а .

Распределение абсолютного максимума недифференцируемого гауссовского случайного процесса

Рассмотрим недифференцируемый гауссовский случайный процесс £,(() с начальной плотностью вероятности

( - т0)2

^(х;0) =-= ехр

а ол/2л

2а 2

(А.7)

Здесь то = т(о) и а2 =а2(о) - математическое ожидание и дисперсия процесса в момент времени г = 0. Ограничимся частным, но важным случаем, когда процесс £,(г) является марковским или локально-марковским [38, 43] случайным процессом с постоянными коэффициентами сноса и диффузии Кь К2. Представим (А.1) в виде

Б(к)= ^[г|(г)> 0], г е[0,Т], где )= к - £,((). Тогда для вероятности (А.8) можно записать

да

Б (к )=| wц(z;T) й2 . (А.8)

0

Здесь w^(z; г) - одномерная плотность вероятности реализаций случайного процесса ), ни разу не достигших границ z = 0 и z = да на интервале

[0, г ].

В силу предполагаемой марковости (локальной марковости) процесса £,(() процесс л() также будет являться марковским с коэффициентами сноса и диффузии

К1ц = - К1

К2л = К2 .

(А.9)

и начальной плотностью вероятности, как это следует из (А.7),

w.

л

1

ехр

а,

(г - к + то )2 2а 2

(А.10)

В силу марковских свойств процесса л(т) функция wY[(z;г) может

быть найдена из решения уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова (ФПК) [43]:

дwY( Г, г) д IV / \1 1 д2 Г^ / ч1

""дТ"=" а? [ wY(г;г)]+2 [[ 2л wY(г;г Я

(А.11)

при начальном условии (А.10) и граничных условиях WY(0; г )= WY(да, г )= 0 Для решения (А.11) приведем его к каноническому виду. Обозначая

вида

/ т \

К,

w.

л

(г; г )= и л (г, г )ехр

' К 2

г + г 2 К 2л К2л

(А.12)

и

подставляя (А.12) в (А.11), получаем, что функция ил (г, г)

удовлетворяет уравнению

дил(х;г) К2л д2ил(г,г)

л дг

2

дг2

(А.13)

при начальном и граничных условиях

и л(г,0)= WY (г,0)ехр

л1

К

1л

К

г

2л

, и л(0, г )=и л (да, г )=0. (А.14)

л

Согласно [43] решение уравнения (А.13) с учетом (А.14) имеет вид

и л(г,г ) =

да

X

ехр

42кК2лг 0

( - г1)2

2 К 2лг

| ^(,0)ехр

К

1л

V К2л

г1

X

ехр

( + г,))

2 К 2лг

(А.15)

Подставляя (А.15) в (А.12), получаем решение уравнения ФПК

(А.11):

w.

л

(г, г)

2лг 0

| ^(гь0)ехр

К

1л

К

2К

г +

1л

К2

( - г,)

X

ехр

( - г1)2 2К 2лг

ехр

2л 2л

2

X

( + г1) 2 К 2лг

(А.16)

1-

Наконец, подставляя (А.16) в (А.8) с учетом (А.9) находим функцию распределения абсолютного максимума гауссовского марковского процесса с постоянными коэффициентами сноса и диффузии

1 ^^л;

X

ехр

2 0 0

г1)2 2 К 2Т

ехр

^Т - ^ (-г,) 2К 2 К / 17

2

( + г, ) 2К 2Т

(А.17)

Интегрирование в (А.17) по переменной г можно выполнить аналитически. В результате с использованием явного вида плотности вероятности

w.

л

(г,0) (А.10) получаем

1 да

р (к )=-1 ехр

а0Л/2л

( - к + т0 )2

X

Ф

ехр

0

г 2 К, г' V К 2 У

2а 2

X

1 -Ф

Г г + К,ТЛ Л

4КТ

/у

(А.18)

Здесь индекс "1" у переменной интегрирования опущен. Аналогичная методика может быть использована для нахождения вероятности пересечения гауссовским марковским случайным процессом с

1

1

произвольными коэффициентами сноса и диффузии наклонных барьеров, если при этом удается разрешить уравнение (А.11).

Если гауссовский марковский (локально марковский) случайный процесс £,(() является стационарным (в том числе с непостоянным коэффициентом сноса), функция распределения (А.1) может быть найдена следующим образом. Согласно [37], для вероятности (А.1) имеем

Р[ Бир £(г )< к]» ехр(- рТ), (А.19)

ге[0,Т ]

где

1=Кг !-йг-), (а-2°)

р К2 х° wst(х)

а wst (х) - стационарная плотность вероятности нормированного случайного процесса ), определяемая из (А.7). Формула (А.19) получена в [37] для случая, когда К^Т/2а2 >> 1 и

wst (к )<< 1. (А.21)

Очевидно, условие (А.21) выполняется, когда к >> т°.

Значение х° в (А.20) выбирается в области максимальной вероятности значений процесса £,(г), так что можно положить х° = т°. Тогда, используя для вычисления интеграла (А.20) асимптотическую формулу Лапласа [58], при к ^ да получаем

1 = 2а° ^l2n

Р К2 к - т0

Значит, при больших к согласно (А.19), (А.22) для вероятности (А.1)

ехр

(к - т°)2/2а2] [1 + о(к-1) . (А.22)

можно записать [82]

Р[ Бир £(г)< к]« ехр[-8ф(к)]. (А.23)

ге[о,Т ]

Здесь

Ф^^ ехр

(к - то)2 2а 0

а 8 = К2^/2а2 и имеет такой же физический смысл, как величина а в формуле (А.6). Как следует из вывода формулы (А.19) в [37], точность приближенной формулы (А.23) растет с увеличением 5 и к.

Поскольку правая часть (А.23) является неубывающей функцией лишь при к > кт^, для функции распределения абсолютного максимума

процесса £,(() используем аппроксимацию [82]

Р(к)\ ехрИф(к)] , к > ктт, (А.24)

I 0 , к <

где кт^п - наименьшее значение к, для которого при любых е > 0 выполняется неравенство ф(к)>ф(к + е). Нетрудно видеть, что

ктт = т0 +а0.

При не очень больших значениях 5 и к формулу (А.24) можно несколько уточнить, аналогично [38] положив [82]

Б(к) * { (к)бХР[~ 8Ф(к)] , к > ктт, (А 25)

1 (ктт )ехр[- 8ф(ктШ )], к< ктт,

где FQ(к) определяется также, как в (А.5). В отличие от (А.24) аппроксимация (А.25) асимптотически точна как при 8 ^ да, так и при 8 ^ 0. При больших 5 и к аппроксимации (А.24) и (А.25) практически совпадают.

Несмотря на асимптотический характер, формула (А.25) обладает удовлетворительной точностью при 8 > 5 и к > кт^ .

Примеры

А) Обнаружение регулярного случайного гауссовского сигнала

Проиллюстрируем применение полученных общих выражений (А.6), (А.18) для предельных характеристик гауссовского случайного процесса при решении задачи обнаружения случайного сигнала с неизвестной шириной полосы частот.

Пусть на вход приемного устройства в течение интервала времени [0,T] поступает реализация случайного процесса x(t), которая может быть помехой (гипотеза Hо): x(() = n(t) либо аддитивной смесью полезного сигнала и помехи (гипотеза Hi): x(t )=^(t)+ n(t). Под полезным сигналом £,(() будем понимать стационарный центрированный гауссовский случайный процесс, обладающий спектральной плотностью [35, 53]

G(q, Q0) = dg (ш/П0). (А.26)

Здесь d - величина спектральной плотности, Q0 - эффективная ширина полосы частот, определяемая формулой

Qо = [ G2(со,Qо)d©/supG2(со,Qo), а функция g(x) описывает форму

спектральной плотности и обладает свойствами: g(x)> 0, g(x)= g(— x),

max g (x) = 1, J g 2 (x) dx = 1.

Помеху n(t) аппроксимируем гауссовским белым шумом с односторонней спектральной плотностью N0. По наблюдаемой реализации x(() необходимо вынести решение в пользу одной из гипотез H0 или Hi. При этом параметр Q0 неизвестен и принимает значения из априорного интервала [Q m^n, Q max ].

Согласно [53, 57] алгоритм обнаружения сигнала £,(t) на фоне шума n(() запишем как

Hi

L(Qm ) = max l(q) c, Qm = argmax l(q). (А.27)

^ q<e[q min, Q max ]

H 0

Здесь l(q) - логарифм ФОП для гипотезы Hi против альтернативы Hо, зависящий от текущего значения Q неизвестной ширины полосы частот Qо, c - порог, рассчитываемый в соответствии с выбранным критерием оптимальности. Если логарифм ФОП превышает порог c, то выносится решение о наличии полезного сигнала в реализации наблюдаемых данных, иначе - о его отсутствии.

Положим, что флуктуации процесса £,(t) являются «быстрыми», так что выполняется условие

^min = QmnT/4л » 1. (А.28)

Тогда на основе результатов [53, 70] логарифм ФОП может быть представлен следующим образом

1 да q T

L(q) = — jy2((,Q)dt— — jln[i + qg(x)]dx. (А.29)

N0 J 4л J

v —да —да

Здесь q = 2d/N0 , а y((, Q)=i x((') h(( — t', Q) dt' - отклик фильтра,

—да

передаточная функция H (ю, Q) которого удовлетворяет условию |H(ю,Q)2 = qg(cö/Q)/[i + qg(ю/Q)], на реализацию наблюдаемых данных x(().

Определим характеристики обнаружителя (А.27), (А.29), в качестве которых будем использовать вероятности ошибок 1-го рода (ложной тревоги) и 2-го рода (пропуска сигнала) [34, 38, 42, 53, 57, 80]. Положим вначале, что полезный сигнал отсутствует. Тогда вероятность ложной тревоги а можно записать в виде

а = Р^ир ¿(П)> с|Я 0 ]. (А.30)

При выполнении (А.28), следуя [53], нетрудно показать, что при

выполнении (А.28) логарифм ФОП (А.29) (П) = L(П)Я является

гауссовским случайным процессом с математическим ожиданием

(П) = ^0 (л) = -ц шт AоY|Ys (А.31)

и корреляционной функцией

([¿0 (П,) - (Lо (П, ))]] (П 2) - (Lо (П 2 ))] = ^0 (л,, л2) =

ц шт q2 1 &(х/ л1 )g (х/ л2)Жх

(А.32)

Ys -да[1 + qg(х/л1)] [1 + qg(х/л 2)]

Здесь Ys = Пшт/Пшах , л = П/Пшах , л1,2 = П1,2/П1

qg (х )

шах

Ао = /

-да

1П(1 + qg (х))

1 + qg(х У

Жх.

Положим, что порог с в (А.27) достаточно высок, так что

с - ^о (л)>>ао (лХ л е [Ys,l], где

да2 а2 (л) = во (л, л)= Цшхп л Г

л5