Сети в расширенном пространстве тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат физико-математических наук Хабурдзания, Ражден Титикоевич

• Хабурдзания, Ражден Титикоевич
• кандидат физико-математических наук
• 1983

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Хабурдзания, Ражден Титикоевич

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. О трехмерных сетях в расширенных аффинном А5 и евклидовом пространствах

§ I. О сопряженных сетях на подмногообразиях

А;)с А*.

§ 2. Замечание о 3-сопряженной системе

§ 3. О понижении размерности подмногообразий (А^)

§ 4. О случаях, когда подмногообразия (А^ ) становятся плоскими.

§ 5. О прямой (МА5).

§ б. О сетях на подмногообразиях 'С* А; )с Е

§ 7. Ортогональность сети линий ( со со2 , со3 ) на подмногообразии С ).

§ 8. Оснащение подмногообразий ( А , ) С

ГЛАВА 2. О четырехмерных сетях в пространстве Б

§ I. О плоских сетях, описанных точками А^ в пространстве Е*

§ 2. О плоской сети, описанной точкой А

§ 3. Ортогональность сетей С оо , из , из , и) ; в пространстве

§ 4. О фокусах прямой ( А - А- ).

§ 5. Замечание о преобразованиях Лапласа

§ 6. О подмногообразии ( А ^ ) С £ * , описанном точкой А с , когда с1»т С А^) < Ч.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Сети в расширенном пространстве»

В настоящее время теория многомерных сетей занимает определенное место в дифференциальной геометрии обобщенных пространств. Её развитие происходит в основном в двух направлениях:

1) строятся различные обобщения богатой результатами теории двумерных сетей [37] ;

2) даются новые способы построения сетей, учитывающие специфику многомерной геометрии.

М.А.Акивис [2] изучил строение сопряженных систем общего типа на многомерных поверхностях ть -мерного аффинного пространства и получил достаточные условия слабой и сильной голоном-ности и сильной сопряженности сопряженной системы, рассматривал [3] тангенциально невырожденную поверхность \/т проективного пространства Рп , несущую сеть сопряженных линий, соприкасающаяся плоскость которой совпадала со всем пространством , при условии, что у\4.3/т » го. Для этой поверхности было построено инвариантное оснащение, внутренним образом связанное с сопряженной сетью.

А.В.Столяров [ 26 ] построил инвариантное оснащение гиперповерхности проективного пространства Р^ , на которой была фиксирована сеть сопряженных линий, изучил [27] двойственные геометрические образы - псевдофокусы и гармонические полюсы второго рода, гармонические прямые - порождаемые сетью на гиперповерхности проективного у\ -мерного пространства Рух, и доказал ряд теорем о специальных классах сетей а •

А.П.Гудзь [14^ , рассматривала на гиперповерхности , четырехмерного евклидова пространства ,

3-сопряженную систему относительно заданной сети Д1я , исследовела 2-поверхность ^^ " которая выделяется на V3 вполне интегрируемым пфаффовым уравнением иоЛ - О , трижды ортогонально - сопряженные системы и ортогональные системы на Vä в Еч .

Интересные результаты были получены М.К.Кузьминым |~18] , , который исследовал сети с определенным расположением псевдофокусов касательных к линиям сети, а требования ортогональности сети были опущены. Такое обобщение позволило рассматривать обобщенные канонические сети и в аффинном пространстве.

В.А.Тихонов доказал, что ступенчато-чебшевская сеть, на многомерной поверхности аффинного пространства, является сопряженной сетью, установил ^30^ ряд свойств обобщенной сту-пенчато-чебышевской сети в пространствах аффинной связности, изучил плоские сети, присоединенные к гиперраспределениям (in+'l )-мерного аффинного пространства, когда каждая аффинная нормаль (М , Ь ) этого распределения несла ^ различных фокусов.

Двумерные сети линий на поверхностях % vc -мерного проективного пространства рассматривал В.С.Ленёв 21 ] , [22] , а в пятимерном евклидовом пространстве Е.К.Сельдюков [ 2. Частные случаи двумерных сетей (например, когда оси Грина и Чебышева ■ сети совпадают и др.) изучил В.А.Камаев [ 17]

На 3-поверхности V^ евклидова пространства Е^ ^ сопряженные сети рассмотрел А.В.Абрамов [ i] и нашел геометрические свойства поверхности V3 . В.А.Есин изучил сети на поверхностях коразмерности два [ 1б]

Вангелдер [ 39^ рассматривал многообразие ; ос ~<X-(y)\fJvs') в пятимерном проективном пространстве .

Многообразие V^ в называется многообразием типа (I, I,

I, I), если оно имеет четыре различных системы асимптотических. Пусть на многообразии Va, с S^ даны две системы (С,( ) и ( С^ ) линий. Мы скажем, что эти две системы линий, заданных в указанном порядке, образуют на двойную сопряженную систему ( Cj , С2) первого рода, если касательные к кривым С^ в точках одной и той же кривой Cz образуют развертывающуюся поверхность. Когда С% описывает ( ), то ребро возврата этой поверхности порождает многообразие, в общем случае трехмерное, которое называется преобразованием многообразия V3 посредством системы (С< , С, ). Если обе двойные системы С С, , Cz ) и с с* ,0 является сопряженными, то говорят, что эти системы инволютивны. В этом случае ( ) и ( Cz ) принадлежат одной и той же системе поверхностей на V3 и мы возвращаемся к понятию сопряженной системы в традиционном смысле. Рассмотрен случай , когда первая система кривых двойной сопряженной системы С С-f , С& ) на многообразии Va, с является системой плоских кривых.

В работе В.Т.Базылева [4] рассматривалась поверхность Vp , с заданной на ней сетью Zip , лежащая в аффинном пространстве Ап . Для построения аффинно инвариантного оснащения оказалось, что удобно перейти к расширенному пространству , добавив к An несобственные точки, заполняющие несобственную гиперплоскость А^^ . Были рассмотрены примеры таких построений для малых значений р и vi

Цель предлагаемой работы состоит в следующем: сеть Zip , на р -мерном подмногообразии Vp расширенного аффинного или евклидова Еу, ) пространства, с помощью семейств касательных к своим линиям, порождает в несобственной плоскости систему из р новых сетей, лежащих в проективном F^.^ (или эллиптическом S^^^ ) пространстве. Свойства этой системы тесно связаны со свойствами данной сети 2Гр . Эту связь предстояло изучить в диссертации.

Тема настоящего исследования актуальна, так как теория многомерных сетей глубоко проникает в другие разделы современной геометрии: геометрию многообразий фигур, линейчатую дифференциальную геометрию, геометрию дифференцируемых отображений пространств и т.д. Существенную роль она играет и в вопросах преобразований многомерных поверхностей.

Методика исследований, имеющих локальный характер, основана на применении метода внешних форм Картана [32^ . Все используемые в работе функции предполагаются достаточное число раз дифференцируемыми.

Диссертация состоит из двух глав и является самостоятельным исследованием автора. Получены новые результаты по геометрии многомерных сетей, обзор которых приводится ниже.

В первой главе рассматриваются трехмерные сети в расширенных аффинном Д 5 и евклидовом Е 5 пятимерных пространствах.

В § I рассматривается сеть линий ( со* , ьо2 , оо3 ) на подмногообразии ^сД^/^иА^ , где Ач - несобственная гиперплоскость, несущая структуру проективного пространства Р^ . К подмногообразию присоединен подвижной репер ]£= лглъ> так, что Ае^г, А А I )- касательные к линиям данной сети J -[Д^А^с Д^ .

При перемещении точки А по подмногообразию Ц , каждая из точек А I, описывает в , в общем случае, 3 -подмногообразие ( А^), на котором естественным образом возникает сеть линий (со , ио , ио ). Именно, точка пбудет описывать линию оо , когда точка Л смещается вдоль линии на подмногообразии \4 . Формы (> ^и)* , входящие в дерирационные формулы репера I? , являются главными, то есть

И 2-Х

Доказана следующая теорема: пусть сеть линий (со , и) , и) ) А на подмногообразии \А, сопряженная, А--Де^Ца^Ц С = 3; Тогда а) если ЦА\ = 0(*Ь = О, Ц^+О^д^фО, то на подмногообразии (А4 ), б) если = = =0(Д = О, в^фО.,

Д^фО^Д^фО то на подмногообразиях (АЛ ) и (Ад) одновременно, в) если все (Х^- - О ( )', к различные), А^ + О^ ф О , то на всех подмногообразиях ( А^ ) одновременно, семейства линий (, ы\ оог ) образуют сопряженную сеть.

Показано, что условия теоремы не зависят от выбора оснащения. л

В § 2 сделано замечание о том, что все 0(-. = 0 (о , : , К

• Ц ¿и различные), +0, Д^ ФО . Это значит, что подмногообразие \/3 является 3-сопряженной системой в смысле Р.В.Смирнова [25"] . Подсчеты соответствующих форм для подмногообразий (А^) показали, что в этом случае и подмногообразие (А-Ъ)с Ац также 3-сопряженная г л ъ ъ л система относительно сети Соо , со ,оо причем у этой системы фо-I А кусы р.* на касательных (А-А* ) к линиям ьо" в точке А совпадают соответственно с точками А* . Приводится и * одна зависимость между фокусами прямых С А А ^ ) и (А^ )с Д* (I ф] ). Доказывается, что если подмногообразие \/ъ является 3-сопряженной системой, то фокусы .А , ^ , г^. прямых (АА.с), ( А Аз ), ( А^Аз ) соответственно, лежат на одной прямой (I , j , К различные).

Как отмечалось, в общем случае подмногообразия (А- ) - трехмерные. В £ 3 рассматривается случай понижения размерности этих

- г л г ъ \ ^ подмногообразии, когда сеть линии С со , оо , ио ; на подмногообразии \Л, сопряженная. Например: I) подмногообразие С А. ) двумерное, если на подмногообразии \Д существует такое семейство линий , что при смещении ■ точки А вдоль линии этого семей

I. стез, точка А- неподвижна; 2) подмногообразие (А- ) одномешое, с а с ж ' если на подмногообразии существует такое двумерное распределение , что при смещении точки А в направлении, принадлежащем (А ), точка Ас неподвижна.

В этих случаях доказаны соответствующие теоремы. В частности справедливы:

I) Если то JimCA-J-2 а Li а к

VC ct-J 0 Р аиг j J а* а vC <*tu

VC

Cleve GUj 2; пш движении точки А вдоль линии '• оз^ = О, оа = из -- (Х- 0 и «

С ^ , ^ , ус различные), точка неподвижно.

2') Если Ц-+0 ,то с!(т (АОтогда и только тогда, когда на касательной С А А) к линии соь сети С оо* , и)2, , и)3 ) на подмногообразии \Д фокусы-несобственные, СЗ(^-0 ( I , j , 1С различные; I - фиксировано). При движении точки А вдоль двумерного направления ( AAjA^c ), точка Д. неподвижна .

3) о1\"т(АО =0 ( I - фиксировано) тогда и только тогда, когда семейство линий 00° содержится в связке прямых с центром в точке А ^ . Все подмногообразия ( А^ ) одновременно вырождаются в точки тогда и только тогда, когда подмногообразие плоское. Данная сеть образована тремя семействами параллельных прямых.

Следующий § 4 касается тех случаев, когда подмногообразия ( ) становятся плоскими. Известно, что подмногообразие ( А-^ ) будет плоское,если соответствующая асимптотическая форма Ф; тождественно равна нулю. Доказано, что если на касательной (ДА,- ) I к линии сОс сети (со , со , со ) на подмногообразии фоку

-О. сы - несобственные, = О

I-5

1 00 ц Щ о( вырождается в прямую линию о1: .

1 ■ то подмногообразие ( А ¡, )

Если

И*1- 1-

На ^ис 0 к а

1и «I и]

5 'JJ а к. И Ч

1-е ю аг Ц Л О а* = = о а*- = = = = о ь , ^ , К, различные; £ - фиксировано), то каждое из двумерных подмногообразий , на которые расслаивается подмногообразие С Д5 вдоль линии ю* лежит в своем трехмерном расширенном пространстве Д ^

В § 5 подмногообразие N/5 рассматривается в пространстве Е5 = Е5 II Е * » где Е* - несобственная гиперплоскость, несущая структуру эллиптического пространства . Аналогично, как в § I присоединяем к подмногообразию подвижной репер & такой, что точки А ^ принадлежат ортогональному дополнению касательной плоскости, причем ( ААН ) 1 ( АА5 ).

На подмногообразии \Д рассматриваем сеть линий кривизны

ГЛ и1 , где Л\=±гСЛ , относительно средней нормали [А, Я] л 5 —^ ^ ь при =0 (то есть вектор /Ц направлен по вектору с Т9 4 ^ | ^ /Г* \ / средней кривизны г! = ^ ^ ъ¿j/л^ подмногообразия \/з в точке Д ). В этом случае сеть линий ( со* , со2" , со* ), кроме ортогональной, будет еще и сопряженной, относительно асимптотической формы • . Следовательно {¿- -о (^ ) . п к

Доказано, что если ь^+О , то сеть линий (со1 , саЗ2, , со3) на подмногообразии (М ) Еысекается развертывающимися подмногообразиями фокального семейства прямых (МД5), тогда и только тогда, когда на подмногообразии V3 сеть (со1 , и)3) линий кривизны относительно средней нормали [А,М] = [АД] сопряженная.

В § б изучается сеть линий (со1 ,иог ) на подмногообразиях ( ), если сеть линий (оэ^ , и)2 ,со5 ) на подмногообразии V5 является: I) сетью линий кривизны относительно средней нормали —^ —=? 2) V - сопряженной сетью, 3) сетью Фосса и доказаны соответствующие теоремы.

Так как пространство Б* несет структуру эллиптического пространства SH , то монно рассмотреть случай ортогональности сети линий (со"1 , со2, ,оог ) на подмногообразиях (А. ) a Ft . § 7 посвящен этому вопросу. Доказана следующая теорема: пусть сеть линий (оо1 } на подмногообразии Vj сопряженная,

V^j^K =0 • С I , j , К a:J. a3

К. ^ vc j an

0. различные), то сеть линий (со , оо ,со ) на подмногообразии ( ) ( I - фиксированно) будет ортогональной. В противном случае сеть

Н 3 Л линий (со , из , со ) на подмногообразии ( А ^ ) будет полуортогональной.

В § 8 строится оснащение подмногообразий (А^) с: Е^ .

К подмногообразию (А; ) строим нормаль (А- Л/: ), где точка А/* V * и * V

- нормальная точка - полюс касательной гиперплоскости е рассматриваемой точке А- подмногообразия (А- ), относительно абсолюта.Она

I* I» является пересечением четырех трехмерных полярных плоскостей точек А; , В;-. , где прямая ( А • Бг • ) является касательной к линии со-1 на подмногообразии ( А^ ) в точке А ^ . Для подмногообразия ( А^ ) доказаны следующие теоремы:

I. Пусть сеть линий (со1 , сог, иоь ) на подмногообразии Va сопа л л э ряженная, ФО , ф О . Если * * >

Л Л

I oil, aj. -Я 4í , е<М b ъ = 0, 0(,2 «л л» u i ✓ ча U2.3 , j = 2,3; í+j ), то развертывающиеся подмногообразия ce-мейства прямых (A^A/^) высекают сеть линий (со , u) , со ) на подмногообразии ( А 4 ).

2) Пусть на подмногообразии Vj сеть (со, сл)г , со5 ) является сетью линий кривизны относительно средней нормали [А^А^]. Если Hji +0 , то нормаль (А,,Л/!, ) не проходит ни через одну из точек Ая , А3 , А* репера R .

Во второй главе исследуются четырехмерные сети в пространстве г. т „ S 4 Z ъ м л й § I рассматривается сеть линии С со , со ,со ,оо ; на подмногообразии Уц сЕ5 = EsUE* . К подмногообразию Vl¡ присоединен подвижной psnep R = {А, А, А5"\ U=vO , AéV4 , (АА.) касательные к линиям данной сети, А5 лежит на нормали к подмногообразию в точке

А, {А;,А5| Е*.

Vh

Точки Al , А 5 , в общем случае, описывают 4-мерные плоские сети линий (и/1 , сог , ио , со4 ). Имеет место теорема: если подмногообразие \/ц - ^-сопряженная система относительно сети линий (со1, ol^HaUiU (stJ-V^ > то точки A-l также описывают 4-сопряженные системы относительно плоской сети линии С со , оо , со ,оо У этой системы фокусы К* , на касательных (А^А*) к линиям to' ъ точке А, совпадают соответственно с точками А * . и

§ , 4 2. J L ~

2 изучается плоская сеть линий С^ , u) ,оо ,оо j, описанная точкой А 5 • Справедлива теорема: если , то плоская сеть линий (оо'1 ,оой ),описанная точкой , является циклически сопряженной системой ^ рода, тогда и только тогда,когда подмногообразие V^ - 4-сопряженная система относительно сети (со1 , coz , со* , со** ) линии кривизны.

В § 3 мы изучаем случай ортогональности плоской сети линий 4 2- * к \ Л со , со , со , со ), описанной точкой A L . Доказана теорема: пусть сеть линий ( ооА , сoz , ооъ , со* ) на подмногообразии Vi, является сетью линий кривизны. Тогда плоская сеть линий ( со-1 , со2" , соъ , со^ ), описанная точкой А^ , будет ортогональной, тогда и только тогда, когда 211 «fj а^ = О С L, j л vc, р = V^ > j j М'О

В § 4 рассматриБаются фокусы на,прямой (AlAj ) в прост-с* ранстве t ^

В § 5 показано, что если подмногообразие V^ - 4-сопря-женная система (тогда сети, описанные точками А-и - также 4-сопряженные системы), то сети описанные точками А- , в пространстве Е* , являются преобразованиями Лапласа одна в другую. В § б изучаются некоторые случаи, когда dim (А;,) <Ц , где Г А- ) - подмногообразие в пространстве Ьц , описанное точкой д / J2. Ц N Справедливо следующее: если сеть линии С со , со , со ,со ) на подмногообразии Vq сопряженная и 1^0 , то

1)olim(A,,) =3 тогда и только тогда, когда ранг|| С(Д|| = 3, cUlla|*J=0 (L = Vi J t, J =2, Ъ^)', при движении^точки А вдоль линий семейства fl i оо = О , оог= cUt Ц СЯ^ , , а?ц110, сог = М11а}4, а; ,о4и©5 со* = где Q - параметрическая форма, точка Ал неподвижна, л

2) dlimCAi) =2 тогда и только тогда, когда рангII 0(1* = ^ ч " " 1 раиг\\ aJL\\-1 (Л = j t,j при движении точки

А вдоль двумерного распределения ( A Q^ Q^ ), где точки С^ и 02 порождены Еекторами (?,,=- а*3 + - оЦц/Ц + а,соответственно, точка Ал неподвижна,

3) Ы ¡ум С А ^) = 4 , тогда и только тогда, когда 0(^=0 л 1 ° к псеЕДофокусы ^ (и, 3=2,3,чз о * J ; на касательной С А А ^ ) к линии со1 сети линий (со1 , оог , со5 , со^ ) - несобственные; при движении точки А едоль трехмерного распределения ( ААгА^Ац ), точка Ал неподвижна.

О^тСАО =0 тогда и только тогда, когда семейство линии оо содержится е сеязкс прямых.

В последнем параграфе (§7) диссертации рассмотрено аналогичное построение для подмногообразия Vа с. Е5 . Доказаны следующие теоремы:

1) Если подмногообразие - 2-сопряженная система, ф О , то подмногообразие ( А-с ) - 2 - сопряженная система.

2) Пусть сеть линий ( со"1 , сог ) на подмногообразии является сетью линий кривизны относительно средней нормали 5

А,М] = [А,АЬ] . Если и «у

5 П5 ' II *> ч!

Ф 0, «¿1=^=0(1^5

Р5 р.5 Зл 5), то на подмногообразии ( А-с ) сеть линий ( оо* ,

2. \ ' Ь \ со ) оудет полугеодезическои Слиния со - геодезическая;.

Основные результаты предлагаемой работы опубликованы в статьях [33] - [Зб] . Результаты диссертации неоднократно докладывались на научном семинаре по дифференциальной геометрии в МГШ им.З.И.Ленина.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Хабурдзания, Ражден Титикоевич, 1983 год

1.B. - Некоторые вопросы геометрии V - сопряженных сетей. Сб."Дифференц.геометрия многообразии фигур". Калининград. 1978, № 9, с.5-10.

2. Акивис М.А. 0 строении сопряженных систем на многомерных поверхностях. Изв.высш.учебн.завед.Математика, 1970, № 10, с. 3-Й.

3. Акивис М.А. Об инвариантном оснащении поверхности»несущей сеть сопряженных линий. Уч.зап.МГШ им.В.И.Ленина. 1970,374, т.1, с.18-27.

4. Базылев В.Т. К геометрии сетей в расширенном пространстве. Сб. "Геометрия погруженных подмногообразий" М., 1978,с.3-9.

5. Базылев В.Т. 0 многомерных сетях и их преобразованиях. Сб.„Геометрия, 1963 (Итоги науки ВИНИТИ АН СССР)" М., 1965,с.138-164.

6. Базылев В.Т. Квазилапласовы преобразования р -мерных поверхностей У\ - мерного проективного пространства. Уч. зап.Моск.гор.пед.ин-та им.Потемкина, кафедра геометрии, т.35, вып.4, 1955, с.261-322.

7. Базылев В.Т. 0 многомерных сетях в евклидовом пространстве. Литовский математический сборник, У1, № 4, 1966, с.475-490.

8. Базылев В.Т. К геометрии плоских многомерных сетей. Уч. зап. МГПИ им.В.И.Ленина, т.243, 1965, с.29-37.

9. Базылев В.Т. Основы теории многомерных сетей. Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук. Москва, 1967, с.132.

10. Базылев В.Т. О V - сопряженных сетях в пространстве аффинной связности. Изв.высш.учебн.завед. Математика.5(144), 1974, с.25-30.

11. Гейдельман Р.М. К метрической теории гиперповерхности в четырехмерном неэвклидовом пространстве. Сб."Некоторые вопросы современной математики и их приложения". Труды МИИТа, вып. 230, 1966, с.141-179.

12. Гудзь Л.П. 0 некоторых свойствах трижды сопряженных систем в четырехмерном евклидовом пространстве. Сб."Геометрия", вып.3.Л.1975, с.26-35.

13. Гудзь Л.П. Об одном классе ортогональных сетей на гиперповерхности четырехмерного евклидова пространства. Сб.'Теомет-рия погруженных многообразий". М., 1972, с.39-45.

14. Есин В.А. К геометрии сетей на поверхностях коразмерности два. Сб."Геометрия погруженных многообразий", М., 1980,с.29-32.

15. Камаев В.А. К теории сетей двумерной поверхности. Науч.тр.Свердл.гос.пед.ин-та, сб.184, 1973, с.55-75.

16. Кузьмин М.К. 0 сетях, определяемых распределениями в евклидовом пространстве Е*, . Сб.'Теометрия", вып.4, Л.1975, с.95-106.

17. Кузьмин М.К. Сети определяемые распределениями в евклидовом пространстве Ел. и их обобщения. Сб."Проблемы геометрии. Т.7. (Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР)" М., 1975,с.215^229.

18. Лаптев Г.(В. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий. Тр.Моск.мат.о-ва. № 2. 1953, с.275-382.

19. Денёв B.C. 0 проективно-дифференциальной геометрии двумерных сетей Д, . Изв.высш.учебн.завед.Математика. № 7, 1974, с.53-59.

20. Ленёв B.C. 0 проективно-дифференциальной геометрии двумерных сетей Д . Изв. вцсш.учебн. завед.Математика, № 8, 1974, с.52-57.

21. Норден А.П. Пространства аффинной связности. Наука. М., 1976.

22. Сельдюков Е.К. Некоторые сети на двумерных поверхностях в пятимерном евклидовом пространстве. Сб."Геометрия погруженных многообразий" М. 1978, с.62-69.

23. Смирнов Р.В. Преобразование Лапласа р -сопряженных систем. ДАН СССР т.71 № 3. 1950, с.437-439.

24. Столяров A.B. Об инвариантном оснащении гиперповерхности, порождаемом сопряженной сетью. Волж.мат.сб., вып.23, 1973, с.66-70.

25. Столяров A.B. 0 двойственной геометрии сетей в полярно сопряженных конфигурациях на гиперповерхности. Изв. высш. учебн.завед.Математика, № 4, 1972, с.109-119.

26. Схоутен И.А., Стройк Д.Дж. Введение в новые методы дифференциальной геометри. Т. П . ГЖП. М., 1948.

27. Тихонов В.А. Ступенчато-чебшевские сети на многомерных поверхностях аффинного пространства. Сб."Дифференциальная геометрия многообразий фигур", вып.7. Калининград, 1976, с.119-129.

28. Тихонов В.А. Сети, определяемые гиперраспределениями в аффинном пространстве и их обобщения. Сб."Проблемы геометрии.- 122 T.8 (Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР)", M. 1977, с.197 -223.

29. Тихонов В.А. О плоских сетях, присоединенных к гиперраспределениям в аффинном пространстве. Сб.'Теометрия", вып.5. Л., 1976, с.131-134.

30. Фиников С.П. Метод внешних форм Картана. ГИТТЛ. М.,1948.

31. Хабурдзания Р.Т. О сопряженных сетях в расширенном пространстве. Сб."Современная геометрия", Л., 1981, с.137-140.

32. Хабурдзания Р.Т. К геометрии сопряженных сетей. Сообщения АН ГССР. т.100, № 2, 1980, с.289-291.

33. Хабурдзания Р.Т. 0 трехмерных сетях в расширенном евклидовом пространстве Е. Сообщения АН ГССР, т.108, № I, 1982, с.25-27.

34. Хабурдзания Р.Т. 0 сетях в расширенном евклидовом пространстве Е5 . Сообщения АН ГССР, т.108, № 2, 1982, с.24 5247.

35. Шуликовский В.И. Классическая дифференциальная гео-метря. Физматгиз. M., 1963.38., Эйзенхарт Л.П. Риманова геометрия. ГИИЛ. M., 1948.

36. Vttv\geldére J- Racberchers sur la ge'ome-tri£ projective olifferewtielle. des V5 de Mem: Soc.roj.Sei. Li¿ge, i SM J HO^ Ml pp.

37. Vangeldére. J- Quatre -llriéore'mes généraux relorbfs aux olouêles sjS-Ume$ conjugués de premiere espace, d'une V3 c^uelconc^ue oie Sg • Bull- Soc. roy- Soi. Liege, 496^ ь^ Л/ог5-6, 299-305.