Сечения многозначных отображений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат физико-математических наук Колесников, Олег Николаевич

• Колесников, Олег Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 1985

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Сечения многозначных отображений»

Терминологические.замечания . . 20

Глава I. Сечения многозначных отображений в пространства, являющиеся обобщениями метрических . 21

§1.1. Непрерывные сечения многозначных отображений в пространства, являющиеся обобщениями метрических . 22 § 1.2. Сечения первого класса многозначных отображений в пространства, являющиеся обобщениями метрических . . 27 . §1.3. Конечнозначные и бикомпактнозначные сечения многозначных отображений«^ пространства, являющиеся обобщениями метрических.•. 43

§ 1.4. Непрерывные сечения на всвду плотных подмножествах для многозначных отображений в пространства, являющиеся обобщениями метрических . 56

§ 1.5. О точках непрерывности полунепрерывных многозначных отображений. 60

Глава 2. Сечения Многозначных отображений в упорядоченные пространства. 64

§2.1. Непрерывные сечения многозначных отображений в упорядоченные пространства . 64

§ 2.2. Сечения первого класса многозначных отображений в упорядоченные пространства . 67

§2.3. Конечнозначные сечения многозначных отображений в . упорядоченные пространства. 73

Глава 3. Сечения многозначных'отображений в разреженные пространства. 76

§3.1. Непрерывные сечения многозначных отображений в разреженные пространства . 76

Стр.

§3.2. Сечения первого класса многозначных отображений в разреженные пространства . 81

§3.3. Конечнозначные и бикомпактнозначные сечения многозначных отображений в разреженные пространства . 87 § 3.4. Непрерывные сечения на всвду плотных подмножествах для многозначных отображений в разреженные пространства . 95

Глава 4. Непрерывные сечения многозначных отображений, определенных на экстремально несвязных пространствах, и бикомпактнозначные сечения многозначных отображений в полные по Чеху пространства . 97

§ 4.1. Непрерывные однозначные сечения, полунепрерывные бикомпактнозначные сечения и следствия . 97

§ 4.2. Полунепрерывные бикомпактнозначные сечения на всвду плотных подмножествах.101

Цитированная литература . . 103

Введение

Необходимость рассмотрения многозначных отображений возникает при изучении различных задач теории и практики. Во многих математических ситуациях возникает вопрос о существовании сечения многозначного отображения Р из X в У » так называется, вообще говоря, многозначное отображение Г из X в У » такое, что для всех • В зависимости от контекста, в котором возникла задача, требуется найти сечение, удовлетворяющее тем или иным ограничениям, например, непрерывное однозначное, измеримое однозначное, полунепрерывное сверху или снизу с конечными или бикомпактными образами, непрерывное однозначное на всвду плотном подмножестве.

Задача о существовании сечений содержит как частные случаи следующие задачи: а) задача о продолжении отображений, б) задача об униформизации множеств, в) задача о существовании явного решения неявных функций.

Важнейшим примером многозначного отображения является отображение, обратное к однозначному отображению. Отсвда каждой теореме о существовании сечения многозначного отображения соответствует теорема об однозначном оФображении, которая, например, в случае существования непрерывного сечения утверждает, что непрерывное отображение является гомеоморфизмом на некотором подмножестве. Следовательно, теория сечений многозначных отображений может .быть применена к вопросу о сохранении свойств топологических пространств при непрерывных отображениях, что является одной из основных задач общей топологии.

Первая глава диссертации посвящена исследованию вопроса о существовании сечений многозначных отображений в пространства, являющиеся обобщениями метрических. Начало теории непрерывных сечений для многозначных отображений в метрические пространства положено в трудах Э. Майкла [29], [зо]. В работах М.М. Чобана [l4], [l5] был предложен ряд новых результатов в этом направлении. Р. Эн-гелькинг [l7j и М.М. Чобан [14] рассмотрели сечения первого класса. В работе К. Куратовского и Рыль-Нарджевского [27] исследовались борелевские сечения многозначных отображений. Полунепрерывные компактнозначные сечения многозначных отображений впервые были рассмотрены в работе Э. Майкла [3l], затем существенное продвижение в этом направлении было сделано М.М. Чобаном в работах [14], [15] и С. Недевым в работе [35].

В диссертаций разработан новый метод построения сечений многозначных отображений, заключающийся в том, что сечение получается в виде пересечения семейства многозначных отображений. За счет этого ряд результатов о существовании сечений многозначных отображений в метрические пространства удалось перенести на пространства с Gg -диагональю.

Приступим к краткому изложению результатов первой главы, состоящей из пяти параграфов. ■ Введем необходимые обозначения и определения. ^

Через А(Х) (соответственно expnX) будет обозначаться пространство всех (соответственно замкнутых, замкнутых линделефовых, бикомпактных, конечных, мощности не большей 71 ) непустых подмножеств топологического пространства X в топологии Виеториса.

Пусть РООСД(Х). Тогда отображение f: Р( X называется сечением пространства

Р(Х) , если для любого ВеРОО . Сечение пространства называется также (экспоненциальным) сечением пространства X •

Подмножество Д пространства Ус (т^ -диагональю называется полным относительно счетной последовательности открытых покрытий У » такой, что для любого

У , если для любой невозрастающей последовательности {А^, 71€:1\1} замкнутых-в V множеств, для которой А-д Л А и А^ содержится в некотором элементе пересечение П (АпП пА )ф ф . Обозначим через СМКУ) пространство непустых полных подмножеств пространства У с Сг -диагональю, пусть также 1СМКУ) = КУ) о СМКУ) •

В первом параграфе исследуются непрерывные сечения. Теорема 1.1.1. Пусть У - нульмерный (в смысле паракомпакт с -диагональю, непрерывно. Тогда Р имеет непрерывное сечение.

Утверждение теоремы эквивалентно тому, что СМКУ) имеет непрерывное сечение. Эта теорема обобщает теорему М.М. Чобана ([14]. Следствие 2.2), доказанную им для нульмерного полного метрического пространства V •

Теорема 1.1.3. Пусть X - нульмерно, У - паракомпакт с Сс -диагональю, Г : Х^СМКУ) непрерывно. Тогда г имеет непрерывное сечение.

Эта теорема обобщает теорему М.М. Чобана (|14]. Теорема 3.4), доказанную им для полного метрического пространства "V .

Теорема 1.1.5. Пусть X - сильно паракомпактно, V - индуктивно нульмерное (в смысле 171с[ ) пространство с -диагональю, Р-' Х^СМКУ) ~ непрерывно. Тогда Р~ имеет непрерывное сечение.

Эта теорема нова и для метрического пространства У Напомним, что пространство У точечно совершенно, если каждая точка У является -множеством.

Теорема 1.1.7. Пусть X - -разреженный паракомпакт, У -регулярное точечно совершенное пространство, Р"'X—*С(У)~ не~ прерывно. Тогда р" имеет непрерывное сечение.

Эта теорема является аналогом для непрерывных отображений теоремы Б.А. Пасынкова, утверждающей, что полунепрерывное снизу замкнутозначное отображение. -разреженного паракомпакта в пространство с первой аксиомой счетности имеет непрерывное сечение.

Теорема 1.1.2. Пусть X - регулярно и имеет непрерывное сечение. Тогда X ~ бэровское пространство наследственно по замкнутым множествам.

Во втором параграфе рассматриваются оечения первого класса.

Теорема 1.2.1. Пусть X - полное муровское пространство.

Тогда X имеет сечение первого класса.

Эта теорема, являющаяся одним из основных результатов диссертации, обобщает теорему М.М. Чобана ([14], Теорема 3.1), доказанную им для полного метрического пространства. Следующая теорема также обобщает указанную теорему Чобана.

Теорема 1.2.2. Пусть V - нормальное полукружевное пространство , Р.'Х-СМКУ) - непрерывно.'Тогда г имеет сечение первого класса.

Если отображение бикомпактнозначно, то можно ослабить ограничения на V .

Теорема 1.2.4. Пусть V - совершенно нормальное субпара-компактное пространство с -диагональю, Р-.Х-ССУ) - непрерывно. Тогда Р имеет сечение первого класса.

Следующие две теоремы показывают, что полнота не является необходимым условием существования сечения первого класса.

Теорема 1.2.5. Пусть X - (У-компактное метрическое пространство. Тогда X имеет сечение первого класса.

ГТеорема 1.2.6. Пусть X — счетное —пространство с первой аксиомой счетности. Тогда X имеет сечение первого класса.

Построен пример счетного регулярного пространства, не имеющего сечения первого класса.

Теорема 1.2.8. Пусть X - X -пространство, имеющее сечение первого класса. Тогда X - совершенно.

В теореме 1.2.3 совершенность можно перенести с пространства V на пространство X •

Теорема 1.2.9. Пусть X - совершенно, V - паракомпакт с Сг -диагональю, ГХ—СМИУ)- непрерывно. Тогда г имео ет сечение первого класса.

Следующая теорема обобщает теоремы М.М. Чобана ([14]. Теоремы 5.3 и 5.1), доказанные им для полного метрического пространства V •

Теорема 1.2.13. Пусть X - паракомпакт (совершенно, субпа-ракомпактно), V - совершенно нормальное пространство с С^ -диагональю, Г: X ^ СМ У)- полунепрерывно снизу. Тогда £ имеет сечение первого класса.

Следующая теорема обобщает теорему, доказанную Р. Энгель-кингом ( [17] . Замечание 2) и М.М. Чобаном ([14]. Теорема 5.2) для метрического пространства.

Теорема 1.2.15. Пусть X ~ совершенно, У - совершенно нормальное субпаракомпактное пространство с (у^ -диагональю, РХ—полунепрерывно снизу. Тогда Р имеет сечение первого класса.

Построен пример, показывающий существенность компактнознач-ности отображения'р в приведенной теореме.

Теорема 1.2.17. Пусть X - полукружевное (совершенное, ^ , т.е. удовлетворяющее условию Шанина наследственно по замкнутым множествам) пространство, V - чешуйчатое пространство с -диагональю, ГХ-ЧСШУ)

- полунепрерывно сверху. Тогда р имеет сечение первого класса.

Эта теорема нова и для метрического пространства У .

Теорема 1.2.18. Пусть X - совершенно, субпаракомпактно, У - чешуйчатое пространство с -диагональю, Р СМ-полунепрерывно сверху. Тогда Р имеет сечение первого класса.

Эта теорема обобщает теорему М.М. Чобана ( [14] . Теорема. 9.3), доказанную им для метрического пространства V •

Следствие 1.2.1. Пусть X - совершенно, - чешуйчатое пространство с -диагональю, ПХ-С(У) - полунепрерывно сверху. Тогда Г имеет сечение первого класса.

Этот результат обобщает теорему, доказанную Р. Энгелышнгом ( 17 . Замечание I) и М.М. Чобаном ( 14 . Теорема 9.1) для метрического пространства У •

В третьем параграфе исследуются конечнозначные и бикомпакт-нозначные сечения многозначных отображений.

Теорема 1.3.1. Пусть 71 , *У - паракомпакт с диагональю, |-":Х—V) ~ непрерывно. Тогда р имеет полунепрерывное сверху сечение Р:Х—^^Хр^^ •

Теорема 1.3.3. Пусть X - нормально, слабо счетномерно. (совершенно нормально, счетномерно), У - паракомпакт с -диагональю, Р:Х—>C^fL(V) - непрерывно. Тогда Р имеет полунепрерывное сверху сечение р X—

Для нормального слабо счетномерного пространства X и метрического пространства У эта теорема доказана С. Недевым ([35].

I \ %

Предложение 2).

Теорема 1.3.5. Пусть X - нормально, У - паракомпакт с -диагональю, РХ-СМК У) - непрерывно. Тогда г имеет полунепрерывное сверху сечение X—*С(\)и полунепрерывное снизу сечение ^ : V), причем - сечение р .

Эта теорема обобщает теореглу М.М. Чобана ([14]. Теорема 3.3), доказанную им для полного метрического пространства У .

Теорема 1.3.6. Пусть д - паракомпакт, dim Х^п , У -регулярное пространство с -диагональю, непрерывно. Тогда F имеет полунепрерывное сверху сечение f: Х- ехрпу.

Следующая теорема дополняет теорему I.I.7.

Теорема 1.3.10. Пусть X - регулярное метакомпактное F^ -разреженное пространство, Y - регулярное точечно совершенное пространство, F: X—*С(У) - непрерывно. Тогда F имеет полунепрерывное снизу сечение

Теорема 1.3.13. Пусть X - совершенный счетномерный пара-компакт, у - муровское пространство,

RX-СШ Y)

- полунепрерывно снизу. Тогда F имеет полунепрерывное сверху сечениеМ-та

Эта теорема нова и для полного метрического пространства Y.

Следующая теорема дополняет теорему Б.А. Пасынкова, сформулированную после теоремы I.I.7.

Теорема 1.3.19. Пусть X - регулярное метакомпактное F^ -разреженное пространство, У удовлетворяет первой аксиоме счет-ности, полунепрерывно снизу. Тогда F имеет полунепрерывное снизу сечение

В четвертом параграфе рассматриваются непрерывные сечения на всюду плотных подмножествах.

Следующая теорема является одним из основных результатов диссертации.

Теорема 1.4.2. Пусть X ~ бэровское пространство, У -муровское пространство, F: X—*CML(V)- полунепрерывно снизу. Тогда F имеет непрерывное сечение на всюду плотном Gg -подмножестве.

Эта теорема нова и для полного метрического пространства У.

Для полунепрерывных сверху отображений получены следующие результаты.

Теорема 1.4.3. Пусть X - бэровское, полукружевное ((¿¿'(Х)^ ^ Н0) пространство, V - чешуйчатое пространство с -диагональю, - полунепрерывно сверху. Тогда Р имеет непрерывное сечение на всвду плотном -подмножестве.

Теорема 1.4.4. Пусть X - бэровское пространство, V -чешуйчатое пространство с -диагональю, X—^ ЬСМЬ^^) -полунепрерывно сверху. Тогда Р имеет непрерывное сечение на всвду плотном -подмножестве.

Теорема 1.4.5. Пусть X - бэровское пространство,У имеет Сг^ -диагональ, Г.-Х-С(У) - полунепрерывно сверху. Тогда р имеет' непрерывное сечение на всвду плотном Ст^ -подмножестве.

В пятом параграфе исследуются точки непрерывности полунепрерывных многозначных отображений.

Напомним, что пространство V имеет С^ -диагональ ([24]), если существует последовательность 1в¡\1} открытых покрытий У , такая, что^ Для любого •

Теорема 1.5.1. Пусть X - бэровское пространство, У име-е т -диагональ, - полунепрерывно сверху. Тогда

Р имеет всвду плотное С^ -множество точек непрерывности.

Эта теорема обобщает теорему П. Кендерова ({2б|. Следствие 1.4), доказанную им для пространства, уплотняющегося на метрическое пространство.

Вторая глава диссертации посвящена исследованию вопроса о существовании сечений многозначных отображений в упорядоченные пространства. Начало изучению сечений многозначных отображений в упорядоченные пространства положил Э. Майкл в работе [2§ , доказав, что если X - слабо упорядоченное пространство (т.е. уплотняется на упорядоченное пространство), то имеет непрерывное сечение (Леша 7.5.1)". Ван Милл'и Воттел ( [32] . Теорема) , доказали, что упорядоченность является необходимым условием существования непрерывного сечения для бикомпакта. Глава состоит из трех параграфов. В первом параграфе исследуются непрерывные сечения. Напомним, что X - СО -пространство, если А является подпространством некоторого упорядоченного пространства.

Следствие 2.1.1. Пусть А - нульмерное СО -пространство, У - СхО-пространство, • X *С(У)- полунепрерывно снизу. Тогда Р имеет непрерывное сечение.

Этот результат является одним из основных в диссертации. Во втором параграфе рассматриваются сечения первого класса. Теорема 2.2.3. Пусть У - совершенно нормальное -слабо упорядоченное пространство, Р'-Х-^С(У) - непрерывно. Тогда Г имеет сечение первого класса.

В.И. Пономаревым поставлен вопрос о^существовании сечений для образов упорядоченных пространств. Одним из результатов в этом направлении является следующая .теорема. Теорема 2.2.4. Пусть А - совершенное

СО -пространство, У - совершенный образ X - Тогда С(У) имеет сечение первого класса.

В следующих двух результатах сечение "Р выбирается так, что есть первый по порядку элемент

Гх, ссеХ •

Следствие 2.2.1. Пусть X - совершенно, У - совершенное

СО

-пространство,

Г--Х-С(У) - полунепрерывно сверху. Тогда V имеет сечение первого класса.

Теорема 2.2.6. Пусть X - совершенно,У - совершенное

СО

-пространство,

Г: X—*С{У) - полунепрерывно снизу. Тогда Р имеет сечение первого класса.

В третьем параграфе исследуются конечнозначяые сечения.

Теорема 2.3 Л. Пусть V - локально бикомпактный слабо упорядоченный паракомпакт, - непрерывно. Тогда г имеет полунепрерывное сверху сечение и полунепрерывное снизу сечение У-+ехрУ> причем ^ - сечение Г .

Третья глава диссертации посвящена исследованию вопроса о существовании сечений многозначных отображений в разреженные пространства. Важной особенностью большинства теорем является . то, что отображение не предполагается замкнутозначным.

Глава состоит из четырех параграфов.

В первом параграфе исследуются непрерывные сечения.

Л. Б. Шапиро был поставлен вопрос о существовании сечений для пространства всех -подмножеств топологического пространства. В этом направлений получен следующий результат. 1

Теорема 3.1.1. Пусть X - точечно совершенный разреженный паракомпакт. Тогда

А(Х) имеет непрерывное сечение.

Теорема 3.1.2. Пусть А - регулярно, и АОО имеет непрерывное сечение. Тогда X - наследственно бэровское пространство.

Из двух приведенных теорем вытекает следующая

Теорема 3.1.3. Пусть X - -дискретный паракомпакт.

Тогда А(Х) имеет непрерывное сечение тогда и только тогда, когда X разреженно.

Для непрерывных многозначных отображений получены следующие теоремы.

Теорема 3.1.4. Пусть X - экстремально несвязно, V - наследственно паракомпактное разреженное пространство, непрерывно. Тогда Р имеет непрерывное сечение.

Теорема 3.1.5. Пусть X - сильно паракомпактно, V - точечно совершенное индуктивно нульмерное разреженное пространство, Р:Х—-АСУ)" непрерывно. Тогда Р »имеет непрерывное сечение.

Тео£емаЗЛг6. Пусь X - нульвд яаракомпакт, У эегулярное точечно совершенное разреженное пространство,

- непрерывно. Тогда г имеет непрерывное сечение. Построен пример, показыващий, что в теоремах 3.1.1,. 3.1.5 и 3.1.6 существенна точечная совершенность пространства V .

Следующая теорема относится к числу основных результатов диссертации.

Теорема 3.1.7. Пусть У - совершенный нульмерный параком-пакт, V - разреженное пространство с первой аксиомой счетнос-ти,

- полунепрерывно снизу. Тогда г имеет непрерывное сечение.

Теорема 3.1.8. Пусть каждое полунепрерывное снизу отображение

Г:Х—А(У) где у - произвольное разреженное метрическое пространство, имеет непрерывное сечение. Тогда X - совершенный нульмерный паракомпакт.

Построен пример, показывающий, что в теореме 3.1.7 существенна первая аксиома счетности пространства V .

Во втором параграфе рассматриваются сечения первого класса. Теорема 3.2.1. Пусть X - регулярное точечно совершенное 0-измельчаемое разреженное пространство. Тогда А(Х) имеет сечение первого класса.

Следующая теорема является одной из основных в диссертации. Теорема 3.2.2. Пусть X - Т^ -пространство, и А 00 имеет сечение первого класса. Тогда X разреженно.

Для полунепрерывных снизу отображений основной является следующая

Теорема 3.2.4. Пусть X совершенно, субпаракомпактно-разреженное пространство,

ПХ-А(У)

- полунепрерывно снизу.

Тогда Р имеет сечение первого класса.

Теорема 3.2.5. Пусть X - совершенно, субпаракомпактно,V -регулярное Р^ -разреженное пространство, ПХ-С(У) - полунепрерывно снизу. Тогда Р имеет сечение первого класса.

Для полунепрерывных сверху многозначных отображений основными являются следующие результаты.

Теорема 3.2.6. Пусть X - полукружевное (совершенное, субпаракомпактно е,166,ЧХ)^ К© ) пространство, V - регулярное че-щуйчатое Р^ -разреженное пространство, - полунепрерывно сверху. Тогда р имеет сечение первого класса.

Теорема 3.2.8. Пусть X - совершенно, субпаракомпактно,V -регулярное чешуйчатое Р^ -разреженное пространство, р^Х— полунепрерывно сверху. Тогда Р имеет сечение первого класса.

Теорема 3.2.10./Пусть X - совершенно, субпаракомпактно, У - Р* -разреженное пространство, Г'Х *С(У) - полунепрерывно сверху. Тогда Р имеет сечение первого класса.

Теорема 3.2.II. Пусть X - совершенно, V - наследственно чешуйчатое -разреженное пространство,

- полунепрерывно сверху. Тогда Р имеет сечение первого класса.

Б третьем параграфе исследуются конечнозначные и бикомпакт-нозначные сечения. Основными являются следующие результаты. \ Теорема 3.3.1. Пусть V - наследственно паракомпактное разреженное пространство,

Р'Х^А/У)- непрерывно. Тогда Р имеет полунепрерывное сверху сечение

Эта теорема следует из теоремы 3.1.4.

Теорема 3.3.3. Пусть X - паракомпакт, У - регулярное точечно совершенное разреженное пространство, непрерывно. Тогда Р имеет полунепрерывное сверху сечение

Теорема 3.3.4. Пусть X - регулярно, метакомпактно,1 -регулярное точечно совершенное разреженное пространство,

- непрерывно. Тогда Г имеет полунепрерывное снизу сечение

Теорема 3.3.5. Пусть X - совершенный паракомпакт,(^£7ПХ^ ^ 71 , V - разреженное пространство с первой аксиомой счетнос-ти,

- полунепрерывно снизу. Тогда г имеет полунепрерывное сверху сечение

Теорема 3.3.6. Пусть X - паракомпакт,V - разреженное пространство с первой аксиомой счетности,

- полунепрерывно: снизу. Тогда. Р имеет полунепрерывное сверху сечение f ■Х-К(У).

Существование бикомпактнозначного полунепрерывного сверху сечения в этой теореме следует из того, что V является открытым образом полного метрического пространства (теорема 22 главы 2 книги [1б]), но за счет разреженности V удается получить более сильный результат.

Теорема З.Зф6* . Пусть X - совершений паракомпам, У -разреженное пространство с первой аксиомой счетности, полунепрерывно снизу. Тогда Р имеет полунепрерывное сверху сечение ^гХ ^КО^).

Теорема 3.3.7. Пусть X - нормально, метакомпактно,V -разреженное пространство с первой аксиомой счетности, полунепрерывно снизу. Тогда Р имеет полунепрерывное снизу сеченм^Х-КМ.

Теорема 3.3.8. Пусть X - совершенно, метакомпактно, V -разреженное пространство с первой аксиомой счетности, Р'Х~"*А(У)-полунепрерывно снизу. Тогда Р" имеет полунепрерывное снизу сечешеЫ^К(У).

В четвертом параграфе рассматриваются непрерывные сечения на всвду плотных подмножествах.

Теорема 3.4.1. Пусть V - разреженное пространство,

Р* Х~*/\(У) полунепрерывно снизу. Тогда Р имеет непрерывное сечение .на открытом всвду плотном подмножестве.

Эта теорема является одним из основных результатов диссертации.

Теорема 3.4.2. Пусть X - бэровское пространство, V -регулярное г-* -разреженное пространство, - полунепрерывно снизу. Тогда Р имеет непрерывное сечение на открытом всвду плотном подмножестве.

Для полунепрерывных сверху отображений основными являются следующие результаты.

Теорема 3.4.3. Пусть А - бэровское, полукружевное

ХМ Н© ) пространство, V - регулярное чешуйчатое Р^/ -разреженное пространство, полунепрерывно сверху. Тогда Р имеет непрерывное сечение на открытом всвду плотном подмножестве.

Теорема 3.4.4. Пусть X - бэровское пространство, V -регулярное чешуйчатое г-/ -разреженное пространство,

РХЧ(У)полунепрерывно сверху. Тогда Р имеет непрерывное сечение на. открытом всвду плотном подмножестве.

Теорема 3.4.5. Пусть V - разреженное пространство,

Г< X—сс У)

- полунепрерывно сверху. Тогда г имеет непрерывное сечение на открытом всвду плотном подмножестве.

Теорема 3.4.6. Пусть X - бэровское пространство,V --разреженное пространство, Р'*Х >С(У)- полунепрерывно сверху. Тогда Р имеет непрерывное^ сечение на открытом всвду плотном подмножестве.

Четвертая глава диссертации посвящена исследованию вопроса о существовании сечений многозначных отображений, определенных на экстремально несвязных пространствах, и бикомпактнозначных сечений многозначных отображений в полные по Чеху пространства. Сечения многозначных отображений, определенных на экстремально несвязных пространствах рассматривались в работе М. Хасуми [23|.

Глава состоит из двух параграфов.

В первом параграфе исследуются сечения, определенные на всем пространстве.

Приводятся три пары результатов о существовании непрерывных однозначных и полунепрерывных сверху бикомпактнозначных .сечений, где вторая теорема пары следует из первой.

Теорема 4.1.4. Пусть X - экстремально несвязно,V - полный по Чеху паракомпакт, непрерывно. Тогда г имеет непрерывное сечение.

Следующая теорема относится к числу основных результатов диссертации.

Теорема 4.1.5. Пусть V - полный по Чеху паракомпакт, Р'Х—~ непрерывно. Тогда К имеет полунепрерывное сверху сечение "р.'X—.

Эта теорема обобщает результат М.М. Чобана ( [14) . Теорема 3.3), полученный им для нормального X и полного метрическогоУ.

Теорема 4.1.7. Пусть X - экстремально несвязный паракомпакт, | - полно по Чеху,

Г-Х— 2У- непрерывно. Тогда Р имеет непрерывное сечение.

Теорема 4.1.8. Пусть X - паракомпакт,V - полно по Чеху, • X"—непрерывно. Тогда Р имеет полунепрерывное сверху сечение

Х-С(У).

Теорема 4.1.9. Пусть X - -разреженный паракомпакт, У - регулярное пространство точечно счетного типа, непрерывно. Тогда Р имеет полунепрерывное сверху сечение

Х-С(У).

Теорема 4.1.10. Пусть X - экстремально несвязный -разреженный паракомпакт,V - регулярное пространство точечно счетного типа, Р-Х—- непрерывно. Тогда Р имеет непрерывное сечение.

Во втором параграфе рассматриваются бикомпактнозначные сечения на всвду плотных подмножествах.

Теорема 4.2.1. Пусть X - бэровское пространство, V -полно по Чеху, - непрерывно. Тогда Г имеет полунепрерывное сверху сечение на всвду плотном подмножестве А .

Теорема 4.2.2. Пусть Л - бэровское, полукружевное т'СХк Яо ) пространство, V - чешуйчатое полное по Чеху пространство,

- полунепрерывно сверху. Тогда г имеет полунепрерывное сверху сечение на всвду плотном чтг -подмножестве А

Теорема 4.2.3. Пусть X - бэровское пространство,V -чешуйчатое полное по Чеху пространство, ПХ-ИУ)

- полунепрерывно сверху. Тогда имеет полунепрерывное сверху сечение "Г —*С(У)на всвду плотном -подмножестве А .

Основные результаты диссертации опубликованы в [б] - [э]. Все результаты по мере их получения обсуждались на кафедральном семинаре кафедры общей топологии и геометрии в Московском университете и на семинаре В.И. Пономарева. Результаты диссертации докладывались на ежегодном Всесоюзном топологическом семинаре им. П.С. Александрова в 1983 и 1984 г.г. и на Международной кон ференции выпускников МГУ по специальности "Геометрия и топология" в 1984 г.

Автор выражает глубокую благодарность профессору В.И. Пономареву за руководство работой, внимание и поддержку.

Терминологические^ замечания

Через AfV) (ооогветотвенно Li'У), С(У\ будет обозначаться пространство всех (соответственно замкнутых, замкнутых линделефовых, бикомпактных, конечных, мощности не большей Т1 ) непустых подмножеств топологического пространства V в топологии Биеториса.

Отображение RX-ACV) называется полунепрерывным снизу (соответственно сверху), если ( соответственно FHVMx^FxcV ) открыто для любого открытого VcY . Отображение - первого класса сверху, если ГЧВ) является ц. -множеством для любого замкнутого

BcY •

Отображение Т : X *A(Y/ называется сечением отображения

F'X-AiYj, если fx ¿Fx для любого хеХ . Если не указывается, какие значения принимает "р , то сечение предполагается однозначным. Пусть

PiX)cA(X) Отображение f -mhX называется сечением пространства Р(Х) , если для любого В еРОО . Сечение пространства а. называется также (экспоненциальным) сечением пространства X •

Пространство X нульмерно (соответственно индуктивно нульмерно) , если соответственно

Пространство X точечно совершенно, если каждая точка. X является Gg -множеством.

О бо значим. ш! ( X )= ¡ирЫ YhY - замкнутое подпространство Х| , где Ul(Y)- число Шанина пространства V .

Через IV обозначается множество натуральных чисел. Через D(r) обозначается дискретное пространство мощности .

Б целом мы следуем обозначениям и терминологии книги [l8] .