Явные модели распространения изгибных краевых и интерфейсных волн в тонких пластинах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Коссович, Елена Леонидовна

• Коссович, Елена Леонидовна
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Коссович, Елена Леонидовна

Содержание

Введение

Глава 1. Явные модели, описывающие распространение изгиб-ных краевых волн в полубесконечных изотропных пластинах

1.1. Постановка задачи о краевом изгибе тонкой полубесконечной

изотропной пластины

1.2. Свободные колебания торца пластины

1.3. Возбуждение изгибной краевой волны изгибающим моментом

на торце пластины

1.3.1. Точное решение

1.3.2. Методика построения явной согласованной модели, описывающей распространение изгибной краевой волны

1.3.3. Решение задачи об изгибе пластины, вызванном точечным изгибающим моментом, приложенным на торце

1.4. Возбуждение изгибной краевой волны перерезывающей силой

на торце пластины

1.4.1. Точное решение

1.4.2. Построение явной согласованной модели, описывающей распространение изгибной краевой волны

1.4.3. Решение задачи об изгибе пластины, вызванном точечной перерезывающей силой, приложенной на торце

Глава 2. Явные модели, описывающие распространение изгиб-ных интерфейсных волн типа Стоунли

2.1. Постановка задачи об интерфейсном изгибе тонких полубесконечных изотропных пластин

2.2. Свободные интерфейсные колебания пластин

2.3. Возбуждение интерфейсной волны типа Стоунли приложенным на стыке изгибающим моментом

2.3.1. Точное решение

2.3.2. Построение явной согласованной модели, описывающей распространение изгибной интерфейсной волны

2.3.3. Решение задачи об изгибе пластин, вызванном точечным изгибающим моментом, приложенным на стыке

2.4. Возбуждение изгибной интерфейсной волны типа Стоунли приложением перерезывающей силы на стыке двух полубесконечных пластин

2.4.1. Точное решение

2.4.2. Построение явной согласованной модели, описывающей распространение изгибной интерфейсной волны

2.4.3. Решение задачи об изгибе пластин, вызванном точечной перерезывающей силой, приложенной на стыке

Глава 3. Явные модели, описывающие распространение краевой изгибной волны в тонкой полубесконечной ортотропной пластине

3.1. Постановка задачи о краевом изгибе тонкой полубесконечной ортотропной пластины

3.2. Свободные колебания торца пластины

3.3. Возбуждение изгибной краевой волны изгибающим моментом

на торце пластины

3.3.1. Точное решение

3.3.2. Построение явной согласованной модели, описывающей распространение изгибной краевой волны

3.3.3. Решение задачи об изгибе пластины, вызванном точечным изгибающим моментом, приложенным на торце

3.4. Возбуждение изгибной краевой волны иеререзывающаей силой

на торце пластины

3.4.1. Точное решение

3.4.2. Построение явной согласованной модели, описывающей распространение изгибной краевой волны

3.4.3. Решение задачи об изгибе пластины, вызванном точечной перерезывающей силой, приложенной на торце

Приложение А. Распространение краевых изгибных волн в

многослойном графене

А.1. Механические свойства графена

А.2. Модели многослойного графена

А.З. Построение явных согласованных параболических-эллиптических моделей, описывающих распространение краевой волны

Коненкова в многослойных графеновых пластинах

А.3.1. Зависимость жесткости графеновой пластины от числа

слоев

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Явные модели распространения изгибных краевых и интерфейсных волн в тонких пластинах»

Введение

Актуальность работы. Актуальность исследования колебаний тонких пластин связана с их применением во многих областях промышленности, в том числе в авиа- и космической промышленности, судостроении, приборостроении и строительстве. В силу этого предъявляются высокие требования к оптимизации расчетных методов для определения динамических параметров конструкций, а также методов определения дефектов в таких конструкциях. Колебания, особенно высокочастотные, в телах различной формы, в том числе и в тонких пластинах, имеют чрезвычайно сложный характер и складываются из комплекса падающих волн. Особую роль в таких колебаниях играют локализованные волны. Эти волны возникают в упругих и вязкоупру-гих телах, имеющих протяженные границы, которые в этом случае служат волноводами. Исследование распространения локализованных волн связано с получением уравнений, решением которых будет служить скорость волны. Получение таких уравнений является сложной задачей, так как скорость локализованных волн не входит явно в общую постановку задачи о деформации исследуемых тел [58].

Уравнения для скорости поверхностной волны, первой локализованной волны, описанной аналитически, представлены в работе Рэлея [93]. Наиболее распространенный подход для построения его решения - это применение численных методов. Впервые приближенное аналитическое решение было получено И.А. Викторовым [3]. Аналогичные решения были построены и другими учеными, например, Дж.Д. Ахенбахом в [1], а точное выражение для скорости волны Рэлея было найдено М. Рахманом и Дж.Р. Барбером [91] и, позже, Д. Нкемзи [82]. Модификации данного решения были опубликованы в работах [76, 92].

Несмотря на тот факт, что волна Рэлея была впервые открыта для упру-

гого изотропного полупространства, ее аналоги существуют и для более сложных моделей рассматриваемых тел. Экспериментально показано, что поверхностные волны распространяются в изотропных дисках [88]. Аналитическое решение для подобной задачи оказывалось верным лишь для низкочастотного приближения. В случаях более высоких частот колебаний были разработаны несколько теорий [34, 77, 101]. Уравнения для скорости поверхностной волны в телах, изготовленных из ортогропных материалов, были представлены в статьях [31, 87, 109]. Точное решение этих уравнений было получено в [111]. Детальный обзор уравнений для локализованных волн в анизотропных телах был сделан в работе П. Чадвика и Г.Д. Смита [37]. Доказательства единственности решения для скорости поверхностной волны были приведены во многих работах, одной из наиболее важных из них является [78]. Влияние начальных напряжений на распространение волны Рэлея описано в работах [35, 45]. В настоящее время для объяснения законов распространения подобных волн используется трехмерная теория упругости (например, см. [70]).

Недавно было открыто, что поверхностные волны являются средством определения дефектов в конструкциях. На основе принципов, приведенных в статьях [65, 74, 75] создаются новые приборы, находящие позиционирование трещин в телах при помощи генерируемых поверхностных волн и их отражения.

Локализованные волны также возникают на границе раздела двух упругих материалов. Впервые такая волна была обнаружена Стоунли [103] и названа в честь автора. Уравнение для скорости волны Стоунли более сложное по сравнению с уравнением для поверхностной волны. Условия возникновения и распространения в анизотропных телах волн, аналогичных волне Стоунли, описаны в статьях [5, 30, 35, 36, 46]. Волны, возникающие на границе между упругой и акустической средами, были исследованы Дж. Дж. Шольте [97] и В.Т. Гоголадзе [11].

В середине XX века был открыт новый вид локализованных волн, возникающих в тонких пластинах. Эти волны, являющиеся подвидом изгибных волн, распространяются вдоль свободного края пластины или полосы и затухают в перпендикулярном направлении. Особенностями краевой изгибной волны являются ее дисперсность и зависимость ее скорости и амплитуды от толщины пластины [70]. Для полубесконечной изотропной пластины дисперсионное волновое уравнение для скорости этой волны было получено Ю.К. Коненковым в 1960 году [21]. Впоследствии краевая изгибная волна получила название волны Коненкова в честь ее первооткрывателя. В работах Г.И. Михасева и П.Е. Товстика [25] и М.В. Вильде, Ю.Д. Каплунова, Л.Ю. Кос-совича [4] приведены решения этого уравнения, учитывающие переменный характер скорости волны и выделяющие постоянный множитель при скорости волны, зависящий только от коэффициента Пуассона. Более ранняя работа А.Ю. Ишлинского [18], в которой описывается теория устойчивости пластин, предваряет работу Коненкова, приводя решение схожей задачи и получение аналогичного дисперсионного уравнения. Вплоть до настоящего времени краевая изгибная волна остается малоизученной и "открывается заново" (см. работы P.M. Де Ла Рю [43], Б.К. Синха [102], Р.Н. Терстнона и Дж. МакКенпы [107] и С. Кауффманна [64]). Как и поверхностные волны Рэлея, изгибные краевые волны возникают не только в изотропных тонких пластинах, но и при ортотропии (см. [2, 83, 89, 106]) и общей анизотропии пластин (например, [113], а также [48, 73]), также в слоистых пластинах [16, 49, 112]. Для случая круговых пластин точное дисперсионное уравнение, выраженное в терминах функций Бесселя, было получено в [44]. Исследование распространения изгибных волн в телах различной формы приведены в [51]. Отражение краевых волн от дефектов вблизи края пластины частично описано в [108]. Изгибная интерфейсная волна типа Стоунли, распространяющаяся на стыке двух пластин, была рассмотрена в [17]. Условия существования такой волны

на интерфейсе двух пластин при идеальном контакте были сформулированы в работе [26].

Уравнения для краевых волн, распространяющихся вдоль свободного края, можно получить в рамках теории Миндлина [79-81]. Этот факт был обнаружен А.Н. Норрисом, В.В. Крыловым и И.Д. Абрахамсом [84]. Приведенные в этой работе результаты хорошо согласуются с численными расчетами распространения краевых волн, показанными в статьях [32, 33, 67].

Вышеупомянутые краевые волны также могут быть получены в рамках трехмерной теории пластин. Естественно предположить, что все локализованные волны входят в состав полных решений [70]. Например, если исходить из конечноэлементного и экспериментального анализа, приведенного в [68], фундаментальная трехмерная антисимметричная краевая волна, взятая в низкочастотном приближении, становится волной Коненкова. В работах [57, 68, 71, 114] и [66] представлены интересные и полезные подходы к обнаружению краевых и поверхностных волн в трехмерных пластинах.

Краевые изгибные волны могут быть использованы для нахождения дефектов в тонких пластинах вблизи их края. Например, исследование закономерностей отражения изгибных краевых волн от трещин и других дефектов показано в работах [38, 85, 104, 105].

Локализованные волны также возникают в тонких оболочках, описываемых теорией Кирхгофа-Лява [24, 59, 63]. В них обнаружены как волны Рэ-лея, так и краевые волны, совпадающие с коротоковолновым приближением окружных волн, локализованных возле свободного торца оболочки (см. [60]). В данном случае кривизна оболочки не всегда пренебрежима в асимптотическом анализе, поэтому требуется учитывать ее влияние вследствие связанности изгибных и объемных перемещений [60]. Более того, в таких оболочках существует супер-низкочастотная краевая волна, не имеющая аналогов среди краевых волн в пластинах и описываемая так называемой безмоментной тео-

рией оболочек [12]. Описанию распространения краевых волн в тонких полубесконечных цилиндрических оболочках посвящены многочисленные работы современных авторов, например, [15, 25, 50, 62, 63].

Появление высокочастотных и чрезвычайно интенсивных колебаний около края тонкой пластины или оболочки, тесно связанных с локализованными волнами, называется краевым резонансом. Впервые это явление было обнаружено в экспериментальной работе Е.А.Г. Шау [98]. Краевые резонансы в тонких пластинах и полуполосах были описаны в работах [4,13, 14, 29, 42, 61, 90, 95]. Случай краевого резонанса в упругом полубесконечном цилиндре описан в [54]. В большинстве работ по исследованию явления краевого резонанса наиболее часто используется метод разложения по модам, также называемый методом однородных уравнений. Этот метод впервые был предложен Рэлеем [93] и Лэмбом [69], которые исследовали моды у поверхности плоского слоя. Для построения разрешающих систем таких уравнений обычно используются вариационные методы [29] или соотношения обобщенной ортогональности [115]. В работах [6, 7, 27] решение данных задач определяется методом разложения в виде суммы бесконечного ряда. Следует отметить, что в монографии И.П. Гетмана и Ю.А. Устинова [8] описано применение вышеуказанного метода к твердым нерегулярным волноводам и предложен удобный и универсальный способ построения систем алгебраических уравнений для определения коэффициентов разложения по модам.

Недавно была разработана новая методика описания распространения локализованных волн. Зачастую оказывается полезным строить явные приближенные модели, описывающие локализованные волны и выделяющие их вклад в общую постановку задачи. Модели, отражающие двойственную гиперболическую-эллиптическую природу поверхностных волн Рэлея и Гуля-ева-Блюштейна, были построены в работах Л.Ю. Коссовича и Ю.Д. Кап-лунова и др. [20, 41, 55, 56, 58]. Данные модели состоят из эллиптического

уравнения, описывающего затухание волны по направлению от поверхности, и гиперболического уравнения, характеризующего распространение волны на поверхности, и обеспечивают значительное упрощение постановки и решения задач, нацеленных на анализ распространения поверхностных волн.

Данная диссертационная работа посвящена построению явных аппроксимирующих моделей, описывающих изгибные краевые и интерфейсные волны. Разработка таких моделей не является тривиальным распространением подхода к построению приближенных моделей для поверхностных волн, особенно учитывая дисперсность краевой волны Коненкова и ее аналогов. Модели построены для ряда случаев краевого изгиба тонких полубесконечных пластин: изгиб тонкой изотропной пластины, интерфейсный изгиб на стыке двух изотропных пластин, а также случай краевого изгиба тонких ортотроп-ных пластин. Модели включают эллиптическое уравнение, характеризующее затухание волны в направлении от края пластины, а также параболическое уравнение, описывающее распространение волны вдоль торца. Построенные модели отражают двойственную параболическую-эллиптическую природу из-гибных краевых волн.

Цели диссертационной работы.

• Разработка методики построения явных согласованных моделей, описывающих распространение изгибных краевых и интерфейсных волн в тонких пластинах.

• Построение явных моделей, описывающих распространение изгибных краевых волн в тонких изотропных и ортотропных пластинах.

• Построение явных моделей, описывающих распространение изгибных интерфейсных волн типа Стоунли в тонких изотропных пластинах.

• Использование построенных моделей для исследования закономерно-

стей распространения изгибных краевых и интерфейсных волн в тонких пластинах.

Научная новизна. Разработана методика построения явных согласованных моделей, описывающих распространение изгибных краевых и интерфейсных волн в тонких полубесконечных пластинах. Методика положена в основу вывода уравнений, характеризующих затухание волны вглубь пластины и уравнений, описывающих распространение волны вдоль торца или стыка пластин. Построены явные согласованные модели, описывающие распространение краевых изгибных и интерфейсных волн тонких изотропных и орто-тропных пластинах.

Практическая значимость. Предложенные в диссертации явные модели позволяют упростить процесс выделения вклада краевых и интерфейсных изгибных волн в общее поле деформаций, могут быть применены для исследования прочности конструкции, для определения в них дефектов, а также могут лечь в основу создания приборов для исследования прочностных и структурных характеристик тонких пластин.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

• Методики построения явных согласованных моделей, описывающих распространение изгибной краевой и интерфейсной волны в тонких пластинах.

• Явная модель, описывающая распространение изгибной краевой волны в тонкой изотропной пластине.

• Явная модель, описывающая распространение изгибных интерфейсных волн в тонких изотропных пластинах.

• Явная модель, описывающая распространение изгибпой краевой волны в тонких ортотропных пластинах.

• Результаты вычислительных экспериментов по расчету смещений тонких изотропных и ортотропных пластин в рамках представленных моделей.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка цитированной литературы и приложения. Материал работы изложен на 122 страницах, содержит 60 рисунков. Список цитированной литературы содержит 115 наименований.

Первая глава посвящена построению явных моделей, описывающих распространение краевых изгибных волн при краевом изгибе тонкой полубесконечной изотропной пластины. Модели отражают двойственную природу изгибпой краевой волны, которая распространяется по параболическому закону вдоль края пластины и затухает в противоположном направлении (внутрь пластины). Использование решений, полученных при помощи модели, позволяет определить амплитуду колебаний, характер распространения волны вдоль края пластины и ее затухания внутрь.

Во второй главе строятся явные согласованные модели, описывающие распространение изгибных интерфейсных волн в двух тонких иолубесконеч-ных изотропных пластинах. Методика построения явных моделей, описывающих распространение интерфейсной изгибной волны типа Стоунли, аналогична описанной в первой главе. Использование построенных моделей позволяет выделить вклад изгибной интерфейсной волны в общее поле деформаций двух изотропных полубесконечных пластин.

В третьей главе методика построения явных моделей, описанная в главе 1, распространяется на случай нолубесконечной ортотропной пластины. Использование построенных моделей удобно при исследовании влияния

свойств ортотропных материалов на характер распространения краевой волны. Определены некоторые материалы, для которых вклад краевой изгибной волны в общее поле деформаций играет ключевую роль, либо носит прене-брежимый характер.

В приложении показано, что применение построенных моделей для исследования распространения изгибных краевых волн возможно для изотропных пластин, выполненных из новых материалов.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на

• научной конференции механико-математического факультета "Актуальные проблемы математики и механики" (ФГБОУ ВПО "Саратовский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского", Саратов, 2011, 2012 гг),

• XV Международной конференции "Современные проблемы механики сплошной среды" (ФГАОУ ВПО "Южный федеральный университет", Ростов-на-Дону, 2011 г.),

• IV Всероссийской студенческой научно-технической школе "Кадры будущего - 2012" (ГБОУ ВПО Московской области "Международный Университет природы, общества и человека "Дубна", Дубна, 2012 г.),

• международной школе для студентов и молодых ученых по оптике, лазерной физике и биофизике "Saratov Fall Meeting'12" (ФГБОУ ВПО "Саратовский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского", Саратов, 2012 г.),

• VI Конференции молодых ученых "Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика" (ФГБУН Институт радиотехники и электроники

имени В.А. Котельникова РАН. Саратовский филиал, Саратов, 2012

г.),

• XIV Международной научно-практической конференции "Фундаментальные и прикладные исследования, разработка и применение высоких технологий в промышленности и экономике" (Институт прикладных исследований и технологий, Санкт-Петербург, 2012 г.),

• 4-й научно-практической конференции "Presenting Academic Achievements to the World"(ФГБОУ ВПО "Саратовский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского", Саратов, 2013

г-),

• научных семинарах кафедры математической теории упругости и биомеханики и кафедры радиотехники и электродинамики ФГБОУ ВПО "Саратовский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского".

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 5 печатных работах, из них 3 статьи в журналах из списка ВАК [10, 19, 22], 2 статьи в сборниках тезисов конференций [9, 23].

Личный вклад автора. Изложенные в диссертационной работе научные результаты получены автором лично и самостоятельно. Постановка задач, обсуждение полученных результатов проводилась совместно с научным руководителем.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Коссович, Елена Леонидовна

Основные результаты и выводы

1. Разработана методика построения явных согласованных моделей, описывающих распространение изгибных краевыхй и интерфейсных волн в тонких пластинах.

2. Построена явная согласованная модель, описывающая распространение изгибной краевой и интерфейсной волн в тонких изотропных пластинах.

3. Построена явная согласованная модель, описывающая распространение изгибной краевой волны в тонких ортотропных пластинах.

4. Построенные модели выделяют вклад изгибных краевых и интерфейсных волн в общее поле деформаций тонких пластин. Исследовано влияние вклада изгибных краевых волн в общее волновое поле в зависимости от параметров ортотропии.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Коссович, Елена Леонидовна, 2013 год

Литература

1. Ахенбах Д. Д. Распространение волны в упругих твердых телах. North-Holland Publishing Со, 1975. Т. 16.

2. Белубекян М. В., Енгибарян И. А. Волны локализованные вдоль свободной кромки пластинки с кубической симметрией // Известия Российской Академии наук. Сер. Механика твердого тела. 1996. Т. 6. С. 139-143.

3. Викторов И. А. Физические основы применения ультразвуковых волн Рэлея и Лэмба в технике. Наука, 1966. С. 169.

4. Вильде М. В., Каплунов Ю. Д., Коссович J1. Ю. Краевые и интерфейсные резонансные явления в упругих телах. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010.

5. Гетман, И. П., Лисицкий, О. Н. Отражение и прохождение звуковых волн через границу раздела двух состыкованных упругих полуполос // Прикладная математика и механика. 1998. Т. 52. С. 1044-1048.

6. Гетман, И. П., Устинов, Ю. А. О потоке энергии при резонансах полуограниченных тел // Доклады Академии наук СССР. 1990. Т. 310, № 2. С. 309-312.

7. Гетман, И. П., Устинов, Ю. А. О распространении волн в упругом продольно-неоднородном цилиндре // Прикладная математика и механика. 1990. Т. 54. С. 1103-1108.

8. Гетман, И. П., Устинов, Ю. А. Математическая теория нерегулярных твердых волноводов. Ростов-на-Дону: изд-во Рост, ун-та., 1993. С. 144.

9. Глухова О. Е., Коссович Е. Л. Исследование возникновения краевых волн в многослойных графеновых пластинах при различных способах

укладки слоев // Тез. докл. V конф. молодых учен."Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика". - Саратов: изд-во Сарат. ун-та. 2012. С. 77-78.

10. Глухова О. Е., Коссович Е. Л. Явные модели распространения краевых волн в многослойных графеновых пластинах // Нано- и микросистемная техника. 2012. № 5. С. 8-14.

11. Гоголадзе В. Т. Волны Рэлея на границе сжимаемой жидкой среды и твёрдого упругого полупространства // Труды сейсмологического института АН СССР. 1948. Т. 127. С. 27-32.

12. Гольденвейзер А. Л. Теория упругих тонких оболочек. Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1976. С. 512.

13. Гринченко В. Т., Мелешко В. В. О краевом резонансе при планарных колебания прямоугольных пластин // Прикладная механика. 1975. Т. 11, № 10. С. 52-58.

14. Гринченко В. Т., Мелешко В. В. О резонансе в полубесконечной упругой полосе // Прикладная механика. 1980. Т. 16, № 2. С. 58-63.

15. Гулгазарян Г. Р., Гулгазарян Л. Г., Саакян Р. Д. Колебания тонкой упругой ортотропной круговой цилиндрической оболочки со свободным и шарнирно закрепленным краями // Прикладная математика и механика. 2008. Т. 72. С. 453-465.

16. Захаров Д. Д. Волны Коненкова в анизотропных слоистых пластинах // Акустический журнал. 2002. Т. 48, № 2. С. 202-210.

17. Зильберглейт А. С., Суслова И. Б. Контактные изгибные волны в тонких пластинах // Акустический журнал. 1983. Т. 29. С. 186-191.

18. Ишлинский А. Ю. Об одном предельном переходе в теории устойчивости упругих прямоугольных пластин // Доклады Академии Наук СССР. 1954. Т. 95, № 3. С. 477-479.

19. Каплунов Ю. Д., Коссович Е. Л., Мухомодьяров Р. Р., Сорокина О. В. Явные модели распространения изгибных краевых и интерфейсных волн в тонких изотропных пластинах // Известия Саратовского университета. Новая серия. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2013. Т. 13, № 1. С. 56-63.

20. Каплунов Ю. Д., Коссович Л. Ю. Асимптотическая модель для вычисления дальнего поля волны Рэлея в упругой плоскости // Доклады Академии Наук. 2004. Т. 395, № 4. С. 482-484.

21. Коненков Ю. К. Об изгибной волне "рэлеевского"типа // Акустический журнал. 1960. Т. 6. С. 124-126.

22. Коссович Е. Л. Явные модели распространения изгибных краевых волн в тонких полубесконечных ортотропных пластинах // Известия Саратовского университета. Новая серия. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2013. Т. 13, № 1. С. 64 69.

23. Коссович Е. Л., Каплунов Ю. Д. Явные модели распространения изгибных волн в тонких упругих пластинах // Тез. докл. XV межд. конф. "Современные проблемы механики сплошной среды"- Ростов-на-Дону: изд-во Южного федерального университета. 2011. С. 28-29.

24. Ляв А. Математическая теория упругости, изд.-во Объединенного научно-технологического института (ОНТИ) СПбГПУ, 1935.

25. Михасев Г. И., Товстик П. Е. Локализованые колебания и волны в

34. Cerv J. Dispersion of elastic waves and Rayleigh-type waves in a thin disc // Acta Technika C. 1988. Vol. 1. P. 89-99.

35. Chadwick P. Interfacial and surface waves in pre-strained isotropic elastic media // Zeitschrift fur Angewandte Mathematik und Physik (ZAMP). 1995. Vol. 46.

36. Chadwick P., Borejko P. Existence and uniqueness of Stoneley waves // Geophysical Journal International. 1994. Vol. 118, no. 2. P. 279-284.

37. Chadwick P., Smith G. D. Foundations of the theory of surface waves in anisotropic elastic materials // Advances in Theoretical and Applied Mechanics. 1977. Vol. 17. P. 303-376.

38. Chao H., Xueqian F., Wenhu H. Multiple scattering of flexural waves in a semi-infinite thin plate with a cutout // International Journal of Solids and Structures. 2007. Vol. 44. P. 436-446.

39. Chen W., Yan L. Centimeter-Sized Dried Foam Films of Graphene: Preparation, Mechanical and Electronic Properties // Advanced Materials. 2012. Vol. 24, no. 46. P. 6229-6233.

40. Courtney T. H. Mechanical Behavior of Materials. McGraw-Hill, New York, 1990.

41. Dai H.-H., Kaplunov J., Prikazchikov D. A. A long-wave model for the surface elastic wave in a coated half-space // Proceedings of the Royal Society of London, A. 2010. Vol. 466. P. 3097-3116.

42. de Billy M. End resonance in infinite immersed rods of different cross sections // Journal of the Acoustical Society of America. 1996. Vol. 100. P. 92-97.

43. De La Rue R. M. Experimental and theoretical studies of guided acoustic surface wave propagation: Ph. D. thesis / University College, London. 1972.

44. Destrade M., Fu Y. B. A Wave Near the Edge of a Circular Disk // The Open Acoustics Journal. 2008. Vol. 1. P. 15-18.

45. Dowaikh M. A., Ogden R. W. On suface waves and deformation in a pre-stressed incompressible elastic solid // IMA Journal of Applied Mathematics (Institute of Mathematics and Its Applications). 1990. Vol. 44, no. 3. P. 261-284.

46. Dowaikh M. A., Ogden R. W. Interfacial waves and deformation in pre-stressed elastic media // Proceedings: Mathematical and Physical Sciences. 1991. Vol. 433, no. 1888. P. 313-328.

47. Frank O., Tsoukleri G., Parthenios J. et al. Compression Behavior of Single-Layer Graphenes // ACS Nano. 2010. Vol. 4, no. 6. P. 3131-3138.

48. Fu Y. B. Existence and uniqueness of edge waves in a generally anisotropic elastic plate // The Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics. 2003. Vol. 56. P. 605-616.

49. Fu Y. B., Brookes D. W. Edge waves in asymmetrically laminated plates // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 2006. Vol. 54. P. 1-21.

50. Fu Y. B., Kaplunov J. Analysis of localised edge vibrations of cylindrical shells using the Stroh formalism // Mathematics and Mechanics of Solids. 2011. http://mms.sagepub.com/content/early/2011/06/30/1081286511412442.full.p( URL: http://mms.sagepub.com/content/early/2011/06/30/ 1081286511412442.abstract.

51. Gazis D. G., Mindlin R. D. Extensional vibrations and waves in a circular disc and a semi-infinite plate // Journal of Applied Mechanics. 1960. Vol. 27. P. 541-547.

52. Geim A. K. Graphene: Status and prospects // Science. 2009. Vol. 324. P. 1530-1534.

53. Hagan P. S. Travelling wave and multiple travelling wave solutions of parabolic equations // SIAM Journal on Mathematical Analysis. 1983. Vol. 13. P. 717-738.

54. Hoist A., Vassiliev D. Edge resonance in an elastic semi-infinite cylinder // Applicable Analysis. 2000. Vol. 74. P. 479-495.

55. Kaplunov J., Kossovich L., Zakharov A. An explicit asymptotic model for the Bleustein-Gulyaev wave // Comptes Rendus Mecanique. 2004. Vol. 332. P. 487-492.

56. Kaplunov J., Nolde E., Prikazchikov D. A revisit to the moving load problem using an asymptotic model for the Rayleigh wave // Wave motion. 2010. Vol. 47, no. 7. P. 440-451.

57. Kaplunov J., Prikazchikov D. A., Rogerson G. A. On three dimensional edge waves in semi-infinite isotropic plates subject to mixed face boundary conditions // Journal of the Acoustical Society of America. 2005. Vol. 118, no. 5. P. 2975-2983.

58. Kaplunov J., Zakharov A., Prikazchikov D. Explicit models for elastic and piezoelastic surface waves // IMA Journal of Applied Mathematics. 2006. Vol. 71. P. 768-782.

59. Kaplunov J. D., Kossovich L. Y., Nolde E. V. Dynamics of Thin Walled Elastic Bodies. Academic Press, 1997.

60. Kaplunov J. D., Kossovich L. Y., Wilde M. V. Free localized vibrations of a semi-infinite cylindrical shell // Journal of the Acoustical Society of America. 2000. Vol. 107, no. 3. P. 1383-1393.

61. Kaplunov J. D., Prikazchikov D. A., Rogerson G. A. Edge vibration of a pre-stressed semi-infinite strip with traction-free edge and mixed face boundary conditions // Zeitschrift fur Angewandte Mathematik und Physik (ZAMP). 2004. Vol. 55, no. 4. P. 701 719.

62. Kaplunov J. D., Wilde M. V. Edge and interfacial vibrations in elastic shells of revolution // Zeitschrift fur Angewandte Mathematik und Physik (ZAMP). 2000. Vol. 51. P. 530 549.

63. Kaplunov J. D., Wilde M. V. Free interfacial vibrations in cylindrical shells // Journal of the Acoustical Society of America. 2002. Vol. 111. P. 2692-2704.

64. Kauffmann C. A new bending wave solution for the classical plate equation // Journal of the Acoustical Society of America. 1998. Vol. 104. P. 2220-2222.

65. Kim J.-Y., Rokhlin S. I. Surface acoustic wave measurements of small fatigue cracks initiated from a surface cavity // International Journal of Solids and Structures. 2002. Vol. 39. P. 1487-1504.

66. Krushynska A. A. Flexural edge waves in semi-infinite elastic plates // Journal of Sound and Vibration. 2011. Vol. 330. P. 1964-1976.

67. Lagasse P. E. Higher-order finite-element analysis of topographic guides supporting elastic surface waves // Journal of the Acoustical Society of America. 1973. Vol. 53. P. 1116-1122.

68. Lagasse P. E., Oliner A. A. Acoustic flexural mode on a ridge of semi-infinite height // Electronics Letters. 1976. Vol. 12, no. 1. P. 11-13.

69. Lamb H. On waves in elastic plate // Proceedings of the Royal Society of London, A. 1917. Vol. 93, no. 648. P. 114-128.

70. Lawrie J. B., Kaplunov J. D. Edge waves and resonance on elastic structures: An overview // Journal of Mathematics and Mechanics of Solids. 2011. http: / / mms.sagepub.com/content / early/2011/07/09/1081286511412281 .full.p( URL: http://mms.sagepub.com/content/early/2011/07/09/ 1081286511412281.abstract.

71. Le Clezio E., Predoi M. V., Castaings M. et al. Numerical predictions and experiments on the free-plate edge mode // Ultrasonics. 2003. Vol. 41, no. 1. P. 25-40.

72. Lee C., Wei X., Kysar J. W., Hone J. Measurement of the Elastic Properties and Intrinsic Strength of Monolayer Graphene // Science. 2008. Vol. 321, no. 5887. P. 385-388.

73. Lu P., Chen H. B., Lu C. Further studies on edge waves in anisotropic elastic plates // International Journal of Solids and Structures. 2007. Vol. 44. P. 2192-2208.

74. Lu Y., Ye L., Su Z. Crack identification in aluminium plates using Lamb wave signals of a PZT sensor network // Smart Materials and Structures. 2006. Vol. 15. P. 839-849.

75. Makkonen T., Kondratiev S., Plessky V. P. et al. Surface Acoustic Wave Impedance Element ISM Duplexer: Modeling and Optical Analysis // IEEE Transactions on Ultrasonics, Ferroelectrics, and Frequency Control. 2001. Vol. 48, no. 3. P. 652-665.

76. Malischevsky P. G. Comment to "A new formula for the velocity of Rayleigh waves "by D. Nkemzi [Wave Motion 26(1997) 199-205] // Wave Motion. 2000. Vol. 31, no. 1. P. 93-96.

77. McCoy J. J., Mindlin R. D. Extensional waves along the edge of an elastic plate // Journal of Applied Mechanics. 1963. Vol. 30, no. 1. P. 75 78.

78. Mielke A., Fu Y. B. Uniqueness of the surface-wave speed: A proof that is independent of the Stroh formalism // Journal of Mathematics and Mechanics of Solids. 2004. Vol. 9, no. 1. P. 5-15.

79. Mindlin R. D. Influence of rotatory inertia and shear on flexural vibrations of isotropic, elastic plates // Journal of Applied Mechanics. 1951. Vol. 18. P. 31-38.

80. Mindlin R. D. Thickness-shear and flexural vibrations of crystal plates // Journal of Applied Physics. 1951. Vol. 22. P. 316-323.

81. Mindlin R. D. Waves and vibrations in isotropic, elastic plates // Proceedings of First Symposium on Naval Structural Mechanics (Standford, California, 1958). 1960. P. 199-232.

82. Nkemzi D. A new formula for the velocity of Rayleigh waves // Wave Motion. 1997. Vol. 26, no. 2. P. 199-205.

83. Norris A. N. Flexural edge waves // Journal of Sound and Vibration. 1994. Vol. 171. P. 571-573.

84. Norris A. N., Krylov V. V., Abrahams I. D. Flexural edge waves and comments on A new bending wave solution for the classical plate equation [J.Acoust. Soc. Am. 104,2220-2222(1998)] // Journal of the Acoustical Society of America. 2000. Vol. 107, no. 3. P. 1781-1784.

85. Norris A. N., Wang Z. Bending wave diffraction from strips and cracks on thin plates // The Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics. 1994. Vol. 47. P. 607-627.

86. Odegard G. M., Gates T. S., Nicholson L. M., Wise K. E. Equivalent-continuum modeling of nano-structured materials // Composites Science and Technology. 2002. Vol. 62, no. 14. P. 1869 - 1880.

87. Ogden R. W., Vinh P. C. On Rayleigh waves in incompressible orthotropic elastic solids // Journal of the Acoustical Society of America. 2004. Vol. 115, no. 2. P. 530-533.

88. Oliver J., Press F., Ewing M. Two-dimensional model seismology // Geophysics. 1954. Vol. 19, no. 2. P. 202-219.

89. Piliposian G. T., Belubekyan M. V., Ghazaryan K. B. Localized bending waves in a transersely isotropic plate // Journal of Sound and Vibration. 2010. Vol. 329. P. 3596-3605.

90. Prikazchikov D. A., Rogerson G. A., Sandiford K. J. On localised vibrations on incompressible pre-stressed transversely isotropic elastic solids // Journal of Sound and Vibration. 2007. Vol. 301, no. 3-5. P. 701-717.

91. Rahman M., Barber J. R. Exact expression for the roots of the secular equation for Rayleigh waves // Journal of Applied Mechanics, Transactions ASME. 1995. Vol. 62, no. 1. P. 250-252.

92. Rahman M., Michelitsch T. A note on the formula for the Rayleigh wave speed // Wave Motion. 2006. Vol. 43, no. 3. R 272-276.

93. Rayleigh J. W. S. On waves propagated along the plane surface of an elastic solid // Proceedings of the London Mathematical Society. 1885. Vol. 17, no. 253. P. 4-11.

94. Reddy C. D., Rajendran S., Liew K. M. Equilibrium configuration and continuum elastic properties of finite sized graphene // Nanotechnology. 2006. Vol. 17. P. 864-870.

95. Rogerson G. A., Krynkin A. V. Resonance phenomena at the interface of two perfectly bonded, prestressed elastic strips // Journal of Mechanics of Materials and Structures. 2007. Vol. 2, no. 5. P. 983-996.

96. Scharfenberg S.; Rocklin D. Z., Chialvo C. et al. Probing the mechanical properties of graphene using a corrugated elastic substrate // Applied Physics Letters. 2011. Vol. 98, no. 9. P. 091908(3).

97. Scholte J. G. The range of existence of Rayleigh and Stoneley waves // Geophysical Journal International. 1947. Vol. 5, no. s5. P. 120-126.

98. Shaw E. A. G. On the resonant vibrations of thick barium titanate disc // Journal of the Acoustical Society of America. 1956. Vol. 28. P. 38-50.

99. Shimpi R. P., Patel H. G. A two variable refined plate theory for orthotropic plate analysis // International Journal of Solids and Structures. 2006. Vol. 43. P. 6783-6799.

100. Shokrieh M. M., Rafiee R. Prediction of Young's modulus of graphene sheets and carbon nanotubes using nanoscale continuum mechanics approach // Materials and Design. 2010. Vol. 31. P. 790-795.

101. Sinclair R., Stephens R. W. B. Velocity dispersion of waves propagating along the edge of a plate // Acustica. 1971. Vol. 24, no. 3. P. 160-165.

102. Sinha B. K. Some remarks on propagation characteristics of ridge for acoustic waves at low frequencies // Journal of the Acoustical Society of America. 1974. Vol. 56. P. 16-18.

103. Stoneley R. Elastic waves at the surface of separation of two solids // Proceedings of the Royal Society of London A. 1924. Vol. 106, no. 732. P. 416-428.

104. Thompson I., Abrahams I. D. Diffraction of flexural waves by cracks in orthotropic thin elastic plates. I Formal solution // Proceedings of the Royal Society of London, A. 2005. Vol. 461. P. 3413-3436.

105. Thompson I., Abrahams I. D. Diffraction of flexural waves by cracks in orthotropic thin elastic plates. II Far field analysis // Proceedings of the Royal Society of London, A. 2007. Vol. 463. P. 1615-1638.

106. Thompson I., Abrahams I. D., Norris A. N. On the existence of flexural edge waves on thin orthotropic plates // Journal of the Acoustical Society of America. 2002. Vol. 112. P. 1756-1765.

107. Thurston R. N., McKenna J. Flexural acoustic waves along the edge of a plate // IEEE Transactions on Sonics and Ultrasonics. 1974. Vol. 21. P. 296-297.

108. Torvik P. J. Reflection of wave trains in semi-infinite plates // Journal of the Acoustical Society of America. 1967. Vol. 41. P. 346 353.

109. V. P. C., Ogden R. W. Formulas for the Rayleigh wave speed in orthotropic elastic solids // Archives of Mechanics. 2004. Vol. 56, no. 3. P. 247-265.

110. van den Berg J. B., Hulshof J., van der Vorst R. Travelling waves for fourth order parabolic equations // SIAM Journal on Mathematical Analysis. 2001. Vol. 32, no. 6. P. 1342-1374.

111. Vinh P. C., Ogden R. W. On the Rayleigh wave speed in otrhotropic elastic solids // Meccanica. 2005. Vol. 40, no. 2. P. 147-161.

112. Zakharov D. D. Analysis of the acoustical edge flexural mode in a plate using refined asymptotics // Journal of the Acoustical Society of America. 2004.

/ Vol. 116, no. 2. P. 872-878.

113. Zakharov D. D., Becker W. Rayleigh type bending waves in anisotropic media // Journal of Sound and Vibration. 2003. Vol. 261. P. 805-818.

114. Zernov V., Kaplunov J. Three-dimensional edge-waves in plates // Proceedings of the Royal Society of London, A. 2008. Vol. 464. P. 301-318.

115. Zernov V., Pichugin A. V., Kaplunov J. Eigenvalue of a semi-infinite elastic strip // Proceedings of the Royal Society of London, A. 2006. Vol. 462. P. 1255-1270.