Решение задач о течении однородной вязкой несжимаемой жидкости в каналах при заданном перепаде давления тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Гейдаров Назим Абульфат оглы

• Гейдаров Назим Абульфат оглы
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Гейдаров Назим Абульфат оглы

Введение.

Глава I Моделирование течений вязкой однородной несжимаемой жидкости в канале.

§1.1 Математическая постановка задачи.

§ 1.2 Аппроксимация системы дифференциальных уравнений.

§1.3 Метод решения системы алгебраических уравнений.

§1.4 Программный комплекс для решения задачи о течении при заданном перепаде давления.

Глава II Технология решения исследуемой задачи.

§2.1 Свойства задачи и общая технология ее решения.

§2.2 Тестовые расчеты.

§2.3 Определение скоростей на границах протекания.

Глава III Применение технологии при решении задачи о свободном истечении.

§3.1 Решение задачи о свободном истечении.

§3.2 Примеры задач о свободном истечении.

§3.3 Каналы с внутренними источниками.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Решение задач о течении однородной вязкой несжимаемой жидкости в каналах при заданном перепаде давления»

Изучение гидродинамических процессов протекания имеет как большое теоретическое, так и практическое значение. Такие исследования позволяют спроектировать водохранилища или трубопроводы, изучить уровень загрязнения затопленных шахт, увеличить эффективность систем вентиляции. Экспериментальный путь исследования обладает рядом очевидных минусов: прежде всего, сложность проведения^ эксперимента, возможные большие затраты, возможное разрушение исследуемого объекта. Поэтому, в связи- с увеличением- вычислительных мощностей, при решении задач гидродинамики- все чаще пользуются методами- математического моделирования.

Рассматриваемые в работе течения, вязкой однородной несжимаемой жидкости- моделируются системой дифференциальных уравнений Навье-Стокса, для которой обычно рассматриваются две постановки задачи (см. [9, 53,55,71,76]).

Одна из них является наиболее популярной и изученной ([53; 54, 76]) и заключается в задании на твердых стенках условия прилипания;, а на участках втеканиями вытекания жидкости.— вектора скорости. Но, так как в исходной«- постановке на границе не фиксируются значения^ функции давления, их при,численном решении приходится задавать с помощью какихлибо дополнительных^ соотношений (например, ~ — Этому посвящено достаточно большое число работ ([55, 106, 107], см: также обзор в [69]). Однако подобные соотношения- часто носят приближенный характер и в общем случае' могут не соответствовать физике течения (см. [69]). Эту проблему, как правило, преодолевают, исключая^ давление путем перехода к системе уравнений в форме Лямба-Громеки, записанной относительно функций тока и завихренности (в двумерном случае) или векторного потенциала (в трехмерном случае).

Вторая постановка заключается в задании на участках втекания-вытекания функции давления, а не скоростей, то есть движение жидкости в области протекания осуществляется за счет разности давлений (см. [3, 7, 8, 17,46, 48, 51, 57, 66-68, 72, 105]).

Несмотря на существенно меньшую изученность такой постановки задачи, на практике часто возникает необходимость исследования течений, возникающих в канале под действием именно перепада давления. Таковы, например, задачи о течениях жидкостей в трубопроводах, насосах или подземных каналах, течениях воздуха в вентиляционных и отопительных системах. Перепадом давления- обусловлен и ток крови в сосудах или течения, возникающие в результате работы аппарата искусственного кровообращения. Движение газа в шахтах, возникающее в процессе подземной газификации угля (т.е. в процессе сжигания угля непосредственно в огневом забое с получением энергии в виде выделяющегося горячего газа), также обеспечивается именно перепадом давления.

Задаче о течении при заданном перепаде давления посвящен ряд как теоретических, так и практических работ. В работах [66-68] обсуждаются вопросы существования и гладкости, а также единственности решения* краевой задачи, моделирующей течение вязкой однородной несжимаемой жидкости. Вфаботе [57] показано, что при некоторых условиях задачу можно сформулировать в терминах «вихрь-функция тока» (отметим, однако, что в этом случае условие на функцию давления^ принимает вид, который сложно использовать, при решении конкретных задач). Корректность краевой задачи Навье-Стокса для давления рассматривается также в [3].

В- работах [17, 51, 105] решена задача о нестационарном движении вязкой жидкости в, плоском разветвляющемся канале под действием приложенных давлений. Проведено исследование зависимости расходов жидкости через сечения от параметров задачи, установлена зависимость между параметрами задачи и получаемыми картинами течения. Работа [46] посвящена расчету ламинарных течений вязкой жидкости в осесимметричных каналах. В работах [7, 8] рассматривается сеточный метод приближенного решения задачи протекания с постоянным перепадом давления. Установлены равномерные оценки погрешностей приближений. В [48] метод расчета течений жидкости в плоских каналах рассматривается на примере задачи о течении в канале диффузорного типа. Установлено появление зон отрыва потока.

Как показано в работах [11, 13, 96], решение задачи о течении при заданном перепаде давления сопряжено с рядом существенных трудностей.

Во-первых, значения функции давления заданы лишь на части границы области решения. На тех участках границы, где давление не задано, необходимо поставить дополнительные условия, но так, чтобы они были согласованы с теми условиями^ что уже присутствуют в исходной постановке задачи.

Во-вторых, наг участках протекания границы отсутствуют условия на нормальную компоненту вектора скорости. Как показано в работе [66], для существования и единственности решения нестационарной задачи о течении, вызванном^ перепадом; давления;; кроме .задания давления? на участках втекания-вытекания; необходимо задать »только; одну из компонент скорости так, чтобы, вектор скорости на границе втекания-вытекания был ей перпендикулярен. Однако в этом случае отсутствие значения второй компоненты, вектора скорости не позволяет без алгоритмических и вычислительных трудностей построить процесс численного решения таких задач. Обычно численно решаются задачи протекания в каналах с параллельными осям координат прямыми границами и прямыми углами; (см. [51], [105]). На входе и выходе задаются «естественные» краевые условия на ди ■ п скорости вида (в двумерном случае) V — I), — = 0 (и = 0, ~ — и ), которые позволяют построить алгоритмически замкнутый численный метод решения. При этом условие на производную для одной из компонент вектора решения является,прямым следствием условия V = 0 (и — 0). Однако такое «простое» определение скоростей на границе не всегда возможно. Дело в том, что подобные краевые условия на вторую компоненту являются, вообще говоря, «лишними», и, для того чтобы краевая задача имела решение, необходимо, чтобы они были естественным образом согласованы с решением задачи, сформулированной без таких дополнительных условий. Вследствие возможного сложного характера течения вблизи границы, постановка дополнительных непротиворечивых условий на скорость на границах для построения процесса численного решения может представлять собой трудноразрешимую задачу.

Полученная краевая задача Навье-Стокса в общем случае не решена аналитически. При численном же решении стационарных задач для систем уравнений Навье-Стокса наиболее широко используется метод установления: решение исходной задачи находится как предел решения нестационарной задачи*. В этом случае чаще всего используют неявные схемы решения, в частности метод переменных направлений [1, 2, 84, 99] и расщепления [10, 15, 47, 52, 75, 85, 87, 88, 90, 97, 100, 113] (применение явных схем затруднено необходимостью введения достаточно малого шага по времени), которые требуют задания-краевых условий для всех компонент вектора неизвестных. Еще* одной; особенностью такого подхода является требование соленоидальности поля» скоростей на каждом временном слое, удовлетворение которого в трехмерном случае также является технически непростой задачей.

Второй» подход к решению стационарных задач состоит в следующем. В области решения^ вводится разностная сетка, на которой рассматривается разностный аналог дифференциальной задачи. Далее мы решаем каким-либо итерационным методом полученную систему нелинейных алгебраических уравнений, аппроксимирующую исходную стационарную задачу. При этом не возникает трудностей как с выполнением условия соленоидальности поля скоростей (соответствующее уравнение является частью решаемой системы), так и с устойчивостью применяемого итерационного метода. Однако возникает необходимость в эффективном решении системы алгебраических уравнений.

Рассмотрим схемы, применяемые при решении систем нелинейных алгебраических уравнений.

Метод Ньютона ([49, 61, 70]) обладает квадратичной сходимостью вблизи решения, однако имеет следующие недостатки:

1. Локальный характер сходимости: метод может расходиться в случае плохого начального приближения.

2. Необходимость вычисления матрицы Якоби первых частных производных оператора системы,

3. Необходимость решения на каждом^ шаге системы линейных алгебраических уравнений. Дополнительные трудности связаны с тем, что система может оказаться плохо обусловленной.

В работах [6, 21]; приводятся модифицированные методы Ньютона. G помощью введения итерационного параметра« достигается меньшая зависимость от выбора,начального приближения.

В» силу возможного сложного* характера вычисления' матрицы Якоби применяются также методы, использующие ее аппроксимацию.

Для« дискретного метода Ньютона ([116]) с переменным шагом; аппроксимации матрицы Якоби характерны следующие недостатки:

1. Скорость сходимости существенно ^ зависит от выбора шага аппроксимации:

2. сохраняются такие недостатки метода Ньютона, как локальный, характер сходимости и необходимость решения системы линейных алгебраических уравнений на каждом итерационном шаге.

Квазиньютоновские методы ([14, 19, 61, 81, 86, 89, 90, 91, 94, 95, 98, 109, 111, 112, 114]) имеют достаточно высокую1 скорость сходимости, но она носит локальный характер. Кроме того свойства разряженности и положительной определенности матрицы Якоби могут теряться: в этом случае метод становится неэкономичным, скорость сходимости становится линейной.

Обобщенные линейные методы (см. [19, 61, 70]) имеют слабые ограничения на оператор системы и обеспечивают глобальную сходимость, однако для выбора итерационных параметров необходима априорная информация. Скорость сходимости в общем случае сильно зависит от обусловленности матрицы Якоби. Кроме того методы характеризуются медленной сходимостью вблизи решения.

Усеченные методы Ньютона ([18, 82, 83, 110]) эффективны для задач с разряженной матрицей Якоби и большим числом неизвестных, а также характеризуются глобальным характером сходимости. Однако для выбора итерационного параметра необходима априорная информация' об операторе системы. Кроме того, необходимо заново вычислять на каждом итерационном шаге матрицу Якоби.

Таким образом, перечисленные методы решения систем нелинейных уравнений, являющиеся развитием метода Ньютона, налагают ограничения на оператор системы, требуют априорных данных об операторе либо не подходят при решении систем* уравнений больших размерностей. Общим недостатком является локальный характер сходимости методов.

Для решения систем нелинейных алгебраических уравнений применимы схемы неполной аппроксимации [43], которые оказались достаточно эффективными- при решении широкого класса задач. Применение схем неполной аппроксимации позволяет использовать сложные краевые условия при решении задач гидродинамики. При решении стационарных задач течения вязкой жидкости схемами неполной аппроксимации отпадает необходимость проведения внутренних итераций для решения промежуточных линейных задач. Схемы неполной аппроксимации продемонстрировали эффективность при решении задач с краевыми условиями на бесконечности [20]. В работах [4, 5] схемы неполной аппроксимации применены при решении задач методом конечных элементов.

Вопросы ускорения сходимости схем неполной аппроксимации рассматриваются в работах [32, 42, 101, 102]. Схемы неполной аппроксимации на примере различных нелинейных задач гидродинамики рассматривались в работах [22- 28, 29-31, 33, 34-38, 39-41, 56, 58-60, 64, 78, 80].

Необходимо отметить, что система алгебраических уравнений, аппроксимирующая дифференциальную задачу на конкретной сетке с заданным шагом, может иметь, в силу нелинейности, «побочные» решения, не соответствующие решению исходной задачи. Кроме того, задача о течении жидкости, вызванном перепадом давления, как4 и в случае задачи о течении, вызванном заданным полем, скоростей, также' может иметь неустойчивые решения при достаточно высоких значениях числа Рейнольдса.

Таким образом, при решении задачи о течении вязкой жидкости при заданном перепаде давления мы сталкиваемся-с существенными трудностями как на этапе построения разностной схемы и применения численного метода, так и на этапе интерпретации полученных результатов.

Цель настоящего исследования — разработка технологии решения стационарной задачи о течении вязкой однородной несжимаемой- жидкости в канале, вызванном» заданным перепадом1 давления и демонстрация^ ее применения.на примере двух- и трехмерных задач.

Технология должна включать в себя построение системы нелинейных алгебраических уравнений, аппроксимирующих краевую: задачу для системы. Навье-Стокса, применение метода решения системы нелинейных уравнений. Исследуемая задача может иметь неустойчивые решения, а также может иметь не одно решение система полученных нелинейных уравнений, следовательно, необходимо указать процесс верификации решений- и «отсева» возможных «побочных» неустойчивых решений.

Для достижения указанной цели были поставлены следующие задачи.

1. Адаптировать метод неполной аппроксимации для решения задачи о течении вязкой несжимаемой жидкости, вызванном заданным перепадом давления.

2. Как было указано; количество уравнений разностной схемы, аппроксимирующей исходную дифференциальную задачу, меньше числа неизвестных, в силу чего необходимо найти; способ замыкания) разностной задачи, аппроксимирующей систему нелинейных дифференциальных уравнений Ыавье-Стокса, моделирующую задачу о течении вязкой несжимаемой жидкости.

3. Численно. проверить устойчивость решений- исследуемой; задачи о течении вязкой; жидкости; вызванном;; заданным; перепадом давления:

4. Используя предложенный« метод; решить двух- и трехмерные задачи о течении. вязкой однородной: несжимаемой жидкости-в каналах различной конфигурации при заданном5; перепаде' давления.

5. Построить» программным комплекс,, реализующий численное решение исследуемой, задачи; легко? конфигурируемый" и расширяемый; представляющий^ результаты; расчетов? в-удобной для пользователя форме.

В результате: решения поставленных задач; были получены следующие результаты; выносимые на защиту.

11 Предложена! ТЕХНОЛОГИЯ численного решения' задачи, о течении вязкой" однородной несжимаемой жидкости в канале при заданном перепаде давления; включающая: аппроксимацию исходной системы- дифференциальных уравнений, замыкание полученной разностной задачи, применимое в тех случаях; когда сложно поставить условия на какие-либо компоненты, вектора решения на одной из границ, а также метода решения: системы нелинейных уравнений;

2. Построены градиентное обобщение метода последовательной верхней релаксации для решения систем линейных уравнений и метод последовательной верхней релаксации решения систем билинейных уравнений с покомпонентной вариационной оптимизацией итерационных параметров:

3. Создан расширяемый и конфигурируемый программный комплекс, предназначенный для решения« задачи о течении вязкой однородной несжимаемой жидкости, вызванном заданным перепадом давления. Данный комплекс состоит из конструктора областей, позволяющего задавать область течения, краевые условия. и< параметры» сетки, библиотек* классов, предназначенных для решения двух- и? трехмерных задач в указанной-постановке, модулей проверки решений, модуля- постобработки для последующей визуализации результатов.

4. Представлены результаты расчетов двух— и трехмерных, задач о течении вязкой однородной несжимаемой, жидкости в канале при заданном перепаде давления: Показано, что в случае, когда постановка1 условий' ш- компоненты, вектора скорости' затруднена на участках протекания границы, предлагаемая в. работе технология позволяет найти решения, для которых выполнены законы сохранения.

Далее в работе принята обычная система- ссылок на формулы. Если ссылка производится на формулу того же параграфа^ то* она1 обозначается просто числом, если внутри данной главы, то двумя- числами (номером параграфам номером формулы). Если же ссылка производится на формулу из другой главы, то она обозначается тремя числами: номерами- главы, параграфа и формулы.

Рисунки нумеруются двумя- числами: номер главы и номер рисунка внутри главы.